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% The Project Gutenberg EBook of Théorie des Fonctions Elliptiques, by    %
% Charles Briot and Jean Claude Bouquet                                   %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.net                          %
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% Title: Théorie des Fonctions Elliptiques                                %
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% Author: Charles Briot                                                   %
%         Jean Claude Bouquet                                             %
%                                                                         %
% Release Date: August 2, 2011 [EBook #36941]                             %
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% Language: French                                                        %
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% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ***
%                                                                         %
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\def\ebook{36941}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  For French hyphenation. Required.                      %%
%% babel:    French language features. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% textcomp: Better ditto marks. Optional.                          %%
%% fix-cm:   Larger fonts for title page. Optional.                 %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% mathrsfs: Math script font. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% array:    Enhanced tabular features. Required.                   %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Optional.                                           %%
%% textcase: Apply \MakeUppercase (et al.) only to text, not math.  %%
%%           Required.                                              %%
%%                                                                  %%
%% caption:  Extended captioning capabilities. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% wrapfig:  Illustrations surrounded by text. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Minor spelling and punctuation corrections are marked with     %%
%%   \DPtypo{original}{corrected}. Errata from the printed book's   %%
%%   list are marked with \Erratum{orig}{corr}. Other changes are   %%
%%   [** TN: noted] in the file.                                    %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behaviors may be controlled with a boolean flag. %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (recommended, true by default):                    %%
%%   Compile a print-optimized PDF file (two-sided layout, black    %%
%%   hyperlinks). Set to false for screen-oriented file (one-sided  %%
%%   layout, blue hyperlinks, raggedbottom).                        %%
%%                                                                  %%
%%   NormalizePunctuation (true by default):                        %%
%%   Uniformize punctuation in lists and at ends of equations; see  %%
%%   \DPchg and \Add macros.                                        %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 636                                                   %%
%% PDF page size: A4                                                %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% 82 PDF diagrams, 3 PDF glyphs, publisher's device (png).         %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Many overfull hboxes: Displays extend into the margin.         %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% June, 2011: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x4 # ToC requires several passes to stabilize       %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2011: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 36941-t.tex ..... FOUR times                          %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]

\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% For ditto marks
  \usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
}{}

\IfFileExists{fix-cm.sty}{%      %% For larger title page fonts
  \usepackage{fix-cm}[2006/03/24]%
  \newcommand{\Myhuge}{\fontsize{30}{38}\selectfont}%
  \newcommand{\MyHuge}{\fontsize{38}{48}\selectfont}%
}{%
  \newcommand{\Myhuge}{\huge}%
  \newcommand{\MyHuge}{\Huge}%
}

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols
\usepackage{mathrsfs} % math script font

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{array}[2005/08/23]   %% extended array/tabular features

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}
\usepackage{textcase}[2004/10/07]

\usepackage[labelformat=empty,textfont=small]{caption}[2007/01/07]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram,
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it,

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%        Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-ADJUSTED VERSION of the text %%
\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Normalize punctuation?
\newboolean{NormalizePunctuation}
% COMMENT the next line to revert to the book's punctuation
\setboolean{NormalizePunctuation}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par le
  Département des Mathématiques, Université de Glasgow.
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
  fichier \LaTeX\ source contient les notes sur ces corrections.
}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformaté pour être imprimé. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisé pour être imprimé, mais peut être aisément
    reformaté pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{210mm}% A4
  \setlength{\paperheight}{297mm}%
  \usepackage[body={5.5in,9in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{6.75in}%
  \setlength{\paperheight}{10in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5.5in,9in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Laura Wisewell,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages
\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{%
  \raggedbottom%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}{}% Else do nothing

% Set title, author here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
    \texorpdfstring{Théorie}{Theorie} des Fonctions Elliptiques},
  pdfauthor={Charles August Briot, Jean Claude Bouquet}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% Leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{10}{12}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

%%%% Misc. Formatting %%%%
\newcommand{\Squash}[2][0.75]{\scalebox{#1}[1]{#2}}

% Page separators
\newboolean{ShowSeparators}
\newcommand{\DPPageSep}[2]{%
  \ifthenelse{\boolean{ShowSeparators}}{%
    \mbox{}\marginpar{\centering\scriptsize #1}}{}%
  \ignorespaces
}

%% Graphics
% Input selected figure file by number.
\newcommand{\Input}[2][]{%
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% Default width
    \ifthenelse{#2 < 10}{% Graphics files for figures 1-9 are named fig0n.pdf.
      \includegraphics{./images/fig0#2.pdf}%
    }{%
      \includegraphics{./images/fig#2.pdf}%
    }
  }{% Specified width
    \ifthenelse{#2 < 10}{
      \includegraphics[width=#1]{./images/fig0#2.pdf}%
    }{%
      \includegraphics[width=#1]{./images/fig#2.pdf}%
    }
  }
}

\newcommand{\Figref}[2][fig.]{%
  \hyperref[fig:#2]{\textit{#1}~{\upshape#2}}\ignorespaces%
}
\newcommand{\Fig}[2][]{%
  \begin{figure}[hbt]
    \centering
    \caption{Fig.~#2.}
    \Input[#1]{#2}
    \label{fig:#2}
  \end{figure}%
}

\newcommand{\Figs}[4]{%
  \begin{figure}[hbt]
    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
      \centering
      \caption{Fig.~#2.}
      \null\vfill
      \Input[#1]{#2}
      \vfill
      \label{fig:#2}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
      \centering
      \caption{Fig.~#4.}
      \null\vfill
      \Input[#3]{#4}
      \vfill
      \label{fig:#4}
    \end{minipage}
  \end{figure}%
}

%% Titles and running heads
\newcommand{\Heading}[1]{\centering\scshape\MakeTextUppercase{#1}}

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% Table of contents
\makeatletter
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\makeatother

\AtBeginDocument{%
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% For internal bookkeeping
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%% Common initialization for Chapter-like units
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\newcommand{\MakeTitle}{%
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    \Squash{\textbf{\Myhuge THÉORIE}} \\[24pt]
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  \end{center}
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%%%% Sectioning: Chapter, Preface, Section... %%%%
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\newcommand{\Section}[2][]{%
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\newcommand{\Paragraph}[1]{%
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\newcommand{\SubPar}[1]{\textit{#1.}\ --- \ignorespaces}

\newcommand{\Exemple}[1]{\textit{Exemple~#1.}\ --- \ignorespaces}
\newcommand{\Exemples}{\textit{Exemples.}\ --- \ignorespaces}

% ** Used only in Livre VIII
\newcommand{\Case}[2]{\textsc{#1} #2\ --- \ignorespaces}
\newcommand{\Subcase}[1]{#1\ --- \ignorespaces}

% Add a bit of vertical space above the environments below
\newcommand{\Strut}[1][18pt]{\rule{0pt}{#1}}
\newenvironment{Classe}[2]{%
  \Strut%
  \textsc{#1} \textit{#2}\ --- \ignorespaces}{\normalfont\medskip}

\newcommand{\Remarque}[1][]{%
  \Strut%
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{%
    \textit{Remarque.}%
  }{%
    \textit{Remarque~#1.}%
  }\ --- \ignorespaces%
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\newcommand{\Remarques}{%
  \Strut%
    \textit{Remarques.}\ --- \ignorespaces%
}

\newenvironment{Lemme}[1][]{%
  \Strut%
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    \textsc{Lemme.}%
  }{%
    \textsc{Lemme~#1.}%
  }\ --- \itshape\ignorespaces}{\normalfont\medskip}

\newenvironment{Corollaire}[1][]{%
  \Strut%
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    \textsc{Corollaire.}%
  }{%
    \textsc{Corollaire~#1.}%
  }\ --- \itshape\ignorespaces}{\normalfont}

%[** TN: Same, but with non-italicized text]
\newenvironment{CorollaireUp}[1][]{%
  \Strut%
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{%
    \textsc{Corollaire.}%
  }{%
    \textsc{Corollaire~#1.}%
  }\ --- \ignorespaces}{\normalfont}

\newcommand{\ThmAttrib}{}

% If necessary, get attribution argument and set at the end
\newenvironment{Théorème}[2][]{%
  \Strut%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{%
    \renewcommand{\ThmAttrib}{\hfill\textsc{(#1.)}\qquad}%
  }{\renewcommand{\ThmAttrib}{}}
  \textsc{Théorème~#2.}\ --- \itshape\ignorespaces}{\ThmAttrib\normalfont\medskip}

%%%% Misc. semantic and convenience macros %%%%
\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi}
\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else{\ \textperiodcentered\ }\fi}

\let\LDots=\ldots
\renewcommand{\ldots}{\LDots\,}

\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}
\newcommand{\B}{\mathfrak{B}}
\newcommand{\C}{\mathfrak{C}}

\newcommand{\M}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\N}{\mathfrak{N}}

\newcommand{\fraka}{\mathfrak{a}}
\newcommand{\frakb}{\mathfrak{b}}

\newcommand{\scrA}{\mathscr{A}}
\newcommand{\scrB}{\mathscr{B}}
\newcommand{\scrP}{\mathscr{P}}
\newcommand{\scrR}{\mathscr{R}}

\newcommand{\dd}{\partial}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\Neg}{\phantom{-}}

%[** TN: Ensure square roots and fractions have uniform height]
\newcommand{\MStrut}{\vphantom{k_{9}'}}
\newcommand{\Sqrt}[2][]{\sqrt[#1]{#2\MStrut}}

\let\Frac=\frac
\renewcommand{\frac}[2]{\Frac{#1\MStrut}{#2\MStrut}}

\let\Dfrac=\dfrac
\renewcommand{\dfrac}[2]{\Dfrac{#1\MStrut}{#2\MStrut}}

\newcommand{\DotRow}[1]{%
  \settowidth{\TmpLen}{\ensuremath{\ds#1}}
  \makebox[\TmpLen][c]{\dotfill}
}

% Enlarge fractions in exponents
\newcommand{\efrac}[2]{\tfrac{#1}{#2}}

\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

% Same width as \thete with a subscript
\newcommand{\padtheta}{\PadTo[l]{\theta_{2}}{\theta}}

\newcommand{\Sum}{{\textstyle\sum}}

% Residue sum glyph
\newsavebox{\resglyph}
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    \hbox{\includegraphics[width=9pt]{./images/residue_sum_glyph.pdf}}
    \kern -6pt%
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}
\newcommand{\Rsum}{\usebox{\resglyph}}

\newsavebox{\bigresglyph}
\savebox{\bigresglyph}[11pt]{%
  \,\raisebox{-5pt}{%
    \hbox{\includegraphics[width=12pt,height=16pt]{./images/bigresidue_sum_glyph.pdf}}
    \kern -6pt%
  }
}
\newcommand{\BigRsum}{\usebox{\bigresglyph}}

\DeclareMathOperator{\Al}{Al}
\DeclareMathOperator{\am}{am}
\DeclareMathOperator{\ArcSin}{arc\,sin}
\renewcommand{\arcsin}{\ArcSin}
\DeclareMathOperator{\arctang}{arc\,tang}
\DeclareMathOperator{\tang}{tang}
\DeclareMathOperator{\tangh}{tangh}
\DeclareMathOperator{\cosec}{\text{coséc}}

\DeclareMathOperator{\Diff}{D}
\DeclareMathOperator{\Log}{L}
\DeclareMathOperator{\Modulus}{mod.}
\renewcommand{\mod}{\Modulus}

%% Upright capital letters in math mode
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C}
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\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X}
\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y}
\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z}

%% Equation tags; cross-referencing not practical
\newcommand{\Eq}[2][]{\ensuremath{#2}}
\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath{#1}}}

% \Ref{4.2}{Arbitrary text} % Livre IV Chapitre II
\newcommand{\Ref}[2]{\hyperref[chap#1]{#2}}

\renewcommand{\no}[1]{\hyperref[num:#1.]{n\textsuperscript{o}~#1}}
\newcommand{\nos}{n\textsuperscript{os}}
\newcommand{\nref}[1]{\hyperref[num:#1.]{#1}}

\newcommand{\bis}{\textsuperscript{bis}}
\newcommand{\ter}{\textsuperscript{ter}}

% Ordinals with no enforced following space
\newcommand{\Ord}[2]{{\upshape#1\textsuperscript{#2}}}
\newcommand{\Primo}{\Ord{1}{o}\;}
\newcommand{\Secundo}{\Ord{2}{o}\;}
\newcommand{\Tertio}{\Ord{3}{o}\;}
\newcommand{\Quarto}{\Ord{4}{o}\;}
\newcommand{\Cinqo}{\Ord{5}{o}\;}

\renewcommand{\ieme}{\textsuperscript{\textit{ième}}}
\renewcommand{\iemes}{\textsuperscript{\textit{ièmes}}}

\newcommand{\Ditto}{\text{»}}

\renewcommand{\(}{{\upshape(}}
\renewcommand{\)}{{\upshape)}}

%% "Thought breaks" -- Horizontal rules and vertical spacing
\newcommand{\tb}[1][0.75in]{\rule{#1}{0.5pt}}
\newcommand{\ctb}[1][0.75in]{%
  \begin{center}\tb[#1]\end{center}%
}

\newcommand{\Erratum}[2]{#2}% Corrections from book's errata list
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}% Corrections found at DP
\newcommand{\DPnote}[1]{}%   Comments.

\newcommand{\DPchg}[2]{%     Consistency changes.
  \ifthenelse{\boolean{NormalizePunctuation}}{#2}{#1}%
}
\newcommand{\Add}[1]{\DPchg{}{#1}}

% To facilitate alignment; sets #3 in a box of width #2, aligned at #1
% Examples: \PadTo{feet per sec.}{\Ditto}, \PadTo[l]{The value is}{2.}
\newlength{\TmpLen}
\newcommand{\PadTo}[3][c]{%
  \settowidth{\TmpLen}{$#2$}%
  \makebox[\TmpLen][#1]{$#3$}%
}

% For alignment; \PadTxt[a]{Size}{Text} sets Text in a box as
% wide as Size, with optional alignment (a = c, l, or r).
\newcommand{\PadTxt}[3][c]{%
  \settowidth{\TmpLen}{#2}%
  \makebox[\TmpLen][#1]{#3}%
}

% Loosen overall spacing
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\setlength{\headheight}{15pt}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\pagenumbering{alph}
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire}{Front}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Théorie des Fonctions Elliptiques, by 
Charles Briot and Jean Claude Bouquet

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.net


Title: Théorie des Fonctions Elliptiques

Author: Charles Briot
        Jean Claude Bouquet

Release Date: August 2, 2011 [EBook #36941]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\clearpage
%%%% Credits, dedication, and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, Amy Cunningham,
Colin Bell, and the Online Distributed Proofreading Team
at http://www.pgdp.net (The original copy of this book was
generously made available for scanning by the Department
of Mathematics at the University of Glasgow.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\vfill\vfill
\scriptsize
\tb[1in] \\
Ce livre électronique est dédié \\
à la mémoire de \\
\textsc{Laura Wisewell}, \oldstylenums{1976}--\oldstylenums{2007}. \\
\includegraphics[width=1.5in]{./images/LW.png}
\end{center}
\vfill
\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription}{Note sur la Transcription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\pagenumbering{Roman}
\pagestyle{empty}
\DPPageSep{001.png}{}
\null\vfill
%% THÉORIE
%% DES
%% FONCTIONS ELLIPTIQUES.
\MakeTitle
\vfill
\newpage
\DPPageSep{002.png}{}

Les Auteurs et l'Éditeur de cet Ouvrage se réservent le droit de le traduire ou de le faire
traduire en toutes langues. Ils poursuivront, en vertu des Lois, Décrets et Traités internationaux,
toutes contrefaçons, soit du texte, soit des gravures, et toutes traductions, faites au
mépris de leurs droits.

Le dépôt légal de cet Ouvrage a été fait à Paris, et toutes les formalités prescrites par les
Traités sont remplies dans les divers États avec lesquels la France a conclu des conventions
littéraires.
\ctb[0.375in]

Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci-dessous, la signature
de l'Éditeur sera réputé contrefait. Les mesures nécessaires seront prises pour atteindre,
conformément à la loi, les fabricants et les débitants de ces exemplaires.
\bigskip
\begin{flushright}
\includegraphics[width=3in]{./images/signature.pdf}
\end{flushright}
\vfill

\hrule
\begin{center}\scriptsize%
\textsc{Paris.\ --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de MALLET-BACHELIER}, \\
Quai des Augustins, 55.
\end{center}
\newpage
\DPPageSep{003.png}{}
\MakeTitle
\vfill
\begin{center}
{\footnotesize PAR} \\[16pt]
\textbf{\Squash{\LARGE MM. BRIOT} {\normalfont\footnotesize ET} \Squash{\LARGE BOUQUET},} \\[8pt]
{\scriptsize PROFESSEURS A LA FACULTÉ DES SCIENCES,} \\
{\scriptsize MAITRES DE CONFÉRENCES A L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.}
\vfill
\tb[1in]
\vfill
\Squash{\textbf{\Large DEUXIÈME ÉDITION.}}
\vfill
\includegraphics[width=1.5in]{./images/device.png}
\vfill

\textbf{\LARGE PARIS,} \\[8pt]
{\Large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} \\[8pt]
\makebox[\textwidth][s]{DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,} \\[8pt]
\Squash{\textbf{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,}} \\[8pt]
{\footnotesize Quai des Augustins, 55.} \\
\tb[0.25in] \\
\textbf{1875} \\[8pt]
{\scriptsize (Tous droits réservés.)}
\end{center}
\DPPageSep{004.png}{}
\DPPageSep{005.png}{I}


\Preface

La première Partie de cet Ouvrage est consacrée à l'exposition
d'une théorie des fonctions, d'après les idées de Cauchy. Le principe
fondamental de cette théorie est la considération des fonctions
d'une variable imaginaire. Il apparaît pour la première fois
dans le Mémoire célèbre de 1825 sur les intégrales définies prises
entre des limites imaginaires. Depuis, par les travaux de Cauchy
et des géomètres qui ont suivi ses traces, il a reçu des développements
tels, et a conduit à la découverte d'un si grand nombre
de vérités nouvelles, que son importance est aujourd'hui universellement
reconnue. Cependant on constate avec regret que, dans
quelques ouvrages consacrés à cet ordre de recherches, on ne
rend pas à Cauchy la justice qui lui est due.

Dans la théorie de Cauchy, la marche de la variable imaginaire
est figurée par le mouvement d'un point sur un plan. Pour représenter
les fonctions qui acquièrent plusieurs valeurs pour une
même valeur de la variable, Riemann regardait le plan comme
formé de plusieurs feuillets superposés et réunis par des soudures,
de manière que la variable puisse passer d'un feuillet à un autre
en traversant une ligne de raccordement. La conception des surfaces
\DPPageSep{006.png}{II}
à feuillets multiples présente quelques difficultés; malgré les
beaux résultats auxquels Riemann est arrivé par cette méthode,
elle ne nous a paru présenter aucun avantage pour l'objet que
nous avions en vue. L'idée de Cauchy se prête très-bien à la
représentation des fonctions multiples; il suffit de joindre à la
valeur de la variable la valeur correspondante de la fonction, et,
quand la variable a décrit une courbe fermée et que la valeur
de la fonction a changé, d'indiquer ce changement par un
indice.

Pour étudier la variation de la fonction, quand la variable~$z$ est
très-grande, on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, et l'on donne à~$z'$ des valeurs très-petites;
la nouvelle variable est figurée, comme la première, par
le mouvement d'un point sur un plan. Si l'on conçoit que les
deux plans relatifs aux variables $z$~et~$z'$ soient tangents à une
sphère aux extrémités d'un diamètre, on remarque que les droites
qui joignent les deux points correspondant aux extrémités du
diamètre percent la surface de la sphère en un même point; on
transporte ainsi sur la sphère les deux figures planes. Cette considération
de la sphère, due à M.~Neumann, est commode dans l'étude
des fonctions algébriques, elle simplifie les énoncés: nous l'avons
adoptée dans cette seconde édition. Toutefois, nous ferons remarquer
que le raisonnement reste le même; après avoir
étudié la marche de la fonction pour les valeurs finies de~$z$, sur le
premier plan, il est nécessaire d'opérer la transformation $z = \dfrac{1}{z'}$,
et d'étudier comment se comporte la fonction dans le voisinage
du point $z' = 0$, sur le second plan; on réunit ensuite les deux
parties de la démonstration à l'aide de la sphère. Ceci nous donne
\DPPageSep{007.png}{III}
l'occasion de répondre à des critiques qui nous ont été faites au
sujet de quelques théorèmes contenus dans la première édition de
cet Ouvrage; on oubliait sans doute la seconde partie de la démonstration,
sur laquelle, pour éviter les longueurs et les répétitions,
nous n'avons pas toujours assez insisté.

Après cette étude générale des fonctions, nous nous occupons
spécialement des fonctions doublement périodiques. Les fonctions
elliptiques sont les plus simples d'entre elles. Ce sont les intégrales
elliptiques qui se sont présentées d'abord dans le Calcul intégral;
elles ont été étudiées à ce point de vue, dès 1786, par Legendre,
qui en a trouvé un grand nombre de propriétés; le grand Traité
des Fonctions elliptiques, publié en 1825, contient le résultat de
ses longues et patientes recherches. Abel, le premier, en 1826, a
considéré les fonctions elliptiques proprement dites, qui sont les
inverses de ces intégrales, et a reconnu l'existence des deux périodes.
Vers la même époque, Jacobi s'est occupé du même sujet,
et les immortels travaux de ces deux grands géomètres ont paru
dans les premiers volumes du Journal de Crelle.

Les recherches d'Abel ne se rapportent pas seulement aux transcendantes
elliptiques, mais à d'autres transcendantes d'un ordre
plus élevé: il a découvert à ce sujet un théorème que l'on regarde
comme une des plus belles conquêtes de l'Analyse moderne.
La considération du chemin suivant lequel s'effectue l'intégration,
d'après les principes posés par Cauchy, était nécessaire pour
donner à ce théorème son sens précis et sa vraie signification.
C'est en suivant la voie ouverte par Abel qu'un grand nombre de
géomètres éminents de notre époque ont enrichi la Science de leurs
brillantes découvertes.
\DPPageSep{008.png}{IV}

Nous devons rappeler que M.~Liouville a exposé, dans un
cours professé au \DPtypo{Collége}{Collège} de France, une théorie des fonctions
elliptiques basée sur la considération de la double périodicité.
Le programme de ce cours a été publié dans les Comptes rendus
de 1851. Les savantes leçons de l'illustre géomètre, et les beaux
travaux de M.~Hermite sur le même sujet, ont été le point de départ
de nos propres recherches. Nous devons beaucoup aux affectueux
conseils que M.~Hermite a bien voulu nous donner pour
cette seconde édition de notre Ouvrage.
\DPPageSep{009.png}{1}
\mainmatter


%% [** TN: Printed by \Livre macro]
%% THÉORIE
%% DES
%% FONCTIONS ELLIPTIQUES.
\Livre{Premier}{Les Fonctions Algébriques}

\Chapitre{Premier}{Définitions}

\Paragraph{1.} On appelle \emph{quantité imaginaire} une expression de la forme
$x + y \sqrt{-1}$, dans laquelle $x$~et~$y$ sont des quantités réelles, positives
ou négatives. Pour simplifier l'écriture, nous représenterons le symbole~$\sqrt{-1}$
par la lettre~$i$.

En désignant par~$r$ un nombre positif et par~$\theta$ un angle, on peut
poser $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$, et la quantité imaginaire se met sous la
forme $r(\cos\theta + i \sin\theta)$. Le nombre positif~$r$ est le \emph{module}, l'angle~$\theta$
l'\emph{argument} de la quantité imaginaire. Le module d'une quantité imaginaire
est parfaitement déterminé; mais l'argument admet une infinité
de valeurs formant une progression arithmétique, dont la raison est~$2\pi$.

Si dans un plan on trace deux droites rectangulaires $Ox$~et~$Oy$ (\Figref{1}),
on peut figurer la quantité imaginaire $x + yi$ par le point~$z$, dont les
coordonnées sont $x$~et~$y$. Le module~$r$ est la longueur de la droite~$Oz$
qui joint l'origine au point~$z$, l'argument~$\theta$ est l'angle que fait cette
\DPPageSep{010.png}{2}
droite avec l'axe fixe~$Ox$, angle positif ou négatif, suivant qu'une droite,
partant de la position initiale~$Ox$, le décrit en tournant de~$Ox$ vers~$Oy$,
ou en sens inverse.

On dit qu'une quantité imaginaire $z = x + yi$ varie d'une manière
continue, lorsque les deux quantités réelles $x$~et~$y$ varient d'une manière
continue. Cette variation est figurée par la courbe que décrit le
\Fig[2.25in]{1}
point~$z$. Le module varie d'une manière continue et aussi chacun des
arguments. Il y a exception toutefois lorsque la quantité s'annule,
c'est-à-dire lorsque la courbe passe par l'origine; dans ce cas, l'argument
éprouve une variation brusque égale à~$\pi$, si la branche de courbe
décrite par le point~$z$ admet une tangente unique au point~$O$.


\Section{Fonctions d'une variable imaginaire}

\Paragraph{2.} Lorsque deux variables imaginaires $z$~et~$u$ sont liées entre elles de
telle sorte que la variation de l'une entraîne celle de l'autre, on dit que
les deux quantités sont \emph{fonctions} l'une de l'autre. On dira, par exemple,
que $u$~est fonction de~$z$, et l'on indiquera cette dépendance par la notation
habituelle $u = f(z)$.

Lorsque la quantité~$u$ varie d'une manière continue, quand le point~$z$
se meut dans une certaine partie du plan, on dit que la fonction est
continue dans cette partie du plan. Si l'on représente la fonction,
comme la variable, par un point~$u$ situé dans le même plan ou dans un
plan différent, quand le point~$z$ décrit une ligne, le point~$u$ décrit une
ligne correspondante.
\DPPageSep{011.png}{3}

\Section{Dérivée}

\Paragraph{3.} Soient $z$~et~$z'$ deux points voisins situés dans la partie du plan
considérée; lorsque le rapport
\[
\frac{f(z') - f(z)}{z' - z}
\]
tend vers une même limite, quand le point~$z'$ se rapproche indéfiniment
du point~$z$, d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la \emph{dérivée}
de la fonction; nous la représenterons, suivant l'usage, par la notation~$f'(z)$.

Dans tout ce qui suit, nous ne nous occuperons que des fonctions
qui admettent une dérivée. A cette propriété correspond une propriété
géométrique remarquable.

Si l'on pose
\begin{align*}
f'(z) &= a(\cos\alpha + i \sin\alpha), \\
z' - z&= \rho(\cos\theta + i \sin\theta),
\end{align*}
on~a
\[
\frac{u' - u}{z' - z}
  = \frac{f(z') - f(z)}{z' - z}
  = f'(z) + \epsilon
  = (a + \epsilon')\bigl[\cos(\alpha + \epsilon'') + i \sin(\alpha + \epsilon'')\bigr],
\]
la quantité imaginaire~$\epsilon$ tendant vers zéro, ainsi que les deux quantités
réelles $\epsilon', \epsilon''$, quand le point~$z'$ se rapproche du point~$z$. On en déduit
\[
u' - u
  = \rho(a + \epsilon')\bigl[\cos(\theta + \alpha + \epsilon'') + i \sin(\theta + \alpha + \epsilon'')\bigr];
\]
le module de $u' - u$ est $\rho(a + \epsilon')$, son argument $\theta + \alpha + \epsilon''$. Supposons
que le point~$z'$ décrive une courbe~$zz_{1}$ (\Figref{2}) ayant une tangente~$za_{1}$
au point~$z$; quand le point~$z'$ se rapproche du point~$z$, l'argument~$\theta$
de~$z' - z$ tend vers une limite~$\theta_{1}$ qui est l'angle de la tangente~$za_{1}$
avec l'axe~$\DPtypo{ox}{Ox}$; l'argument de~$u' - u$ tendant vers la limite $\theta_{1} + \alpha$, on
en conclut que le point~$u'$ décrit une courbe~$uu_{1}$, ayant une tangente~$ub_{1}$,
dont la direction est définie par l'angle~$\theta_{1} + \alpha$.

Concevons maintenant que le point~$z'$ décrive successivement deux
courbes $zz_{1}, zz_{2}$, ayant des tangentes $za_{1}, za_{2}$, dont les arguments sont
\DPPageSep{012.png}{4}
$\theta_{1}$~et~$\theta_{2}$; le point~$u'$ décrira deux courbes $uu_{1}, uu_{2}$, ayant des tangentes $ub_{1},
ub_{2}$, dont les arguments sont $\theta_{1} + \alpha$, $\theta_{2} + \alpha$; l'angle $b_{1}ub_{2}$ est égal
à~$\theta_{2} - \theta_{1}$, et par conséquent à l'angle $a_{1}za_{2}$. Ainsi, lorsqu'une fonction
$u = f(z)$ admet une dérivée, les courbes décrites par le point~$u$ se
\Fig[4in]{2}
coupent sous les mêmes angles que celles qui sont décrites par le
point~$z$. Ceci suppose toutefois qu'au point~$z$ la dérivée n'est pas
nulle.

\Paragraph{4.} Il résulte de là qu'une fonction ayant une dérivée donne un mode
de transformation des figures planes dans lequel les angles sont conservés.
Pour en montrer un exemple bien simple, considérons la fonction
$u = \dfrac{1}{z}$.

Si l'on pose
\[
z = r(\cos\theta + i \sin\theta),
\]
on~a
\[
u = \frac{1}{r} (\cos\theta - i \sin\theta).
\]
Quand le point~$z'$ décrit le prolongement~$zl$ (\Figref{3}) du rayon vecteur,
le point~$u'$ décrit la droite~$uO$, en se rapprochant de l'origine; à la
courbe~$zz_{1}$ correspond la courbe~$uu_{1}$, et l'angle~$b_{1}uO$ est égal à~$a_{1}zl$.
Faisons tourner la seconde figure autour de l'axe~$Ox$; le point~$u$ s'applique
en~$m$ sur le rayon vecteur~$Oz$, et la courbe~$uu_{1}$ prend la position~$mn$;
\DPPageSep{013.png}{5}
les tangentes $za_{1}$,~$mc$ aux courbes $zz_{1}$,~$mn$ font des angles égaux
avec le rayon vecteur; c'est la transformation par rayons vecteurs réciproques.

\Paragraph{5.} Concevons que le point~$z$ décrive deux séries de lignes orthogonales,
par exemple deux séries de droites, parallèles, les unes à l'axe~$Ox$,
\Fig{3}
les autres à l'axe~$Oy$; le point~$u$ décrira aussi deux séries de lignes orthogonales.
Ainsi toute fonction qui admet une dérivée transforme un
système de lignes orthogonales en un autre. Considérons, par exemple,
la fonction $u = z^{2}$; si l'on pose
\[
z = r  (\cos\theta  + i \sin\theta ),\quad
u = r' (\cos\theta' + i \sin\theta'),
\]
on~a
\[
r' = r^{2},\quad \theta' = 2 \theta;
\]
aux droites
\[
r \sin\theta = b,\quad
r \cos\theta = a,
\]
respectivement parallèles à~$Ox$ et à~$Oy$, correspondent les paraboles
homofocales
\[
r' = \frac{2 b^{2}}{1 - \cos\theta'},\quad
r' = \frac{2 a^{2}}{1 + \cos\theta'}.
\]
\DPPageSep{014.png}{6}

\Section{Autre méthode}

\Paragraph{6.} Nous allons envisager la question à un point de vue un peu différent.
Posons
\[
u = X + Yi,
\]
$X$~et~$Y$ étant des fonctions réelles de deux variables réelles et indépendantes
$x$~et~$y$. Laissant $y$~constant, faisons varier~$x$; nous aurons
\[
\Delta z = \Delta x,
\]
et
\[
\frac{\Delta u}{\Delta z}
  = \frac{\Delta X}{\Delta x} + i\frac{\Delta Y}{\Delta x};
\]
si le rapport $\dfrac{\Delta u}{\Delta z}$ tend vers une limite, les rapports $\dfrac{\Delta X}{\Delta x}$, $\dfrac{\Delta Y}{\Delta x}$ tendent respectivement
vers des limites déterminées. On en conclut que les deux
fonctions réelles $X$~et~$Y$ admettent des dérivées partielles par rapport
à~$x$.

Laissant $x$~constant, faisons maintenant varier~$y$; nous aurons
\[
\Delta z = i\Delta y,
\]
et par suite
\[
\frac{\Delta u}{\Delta z}
  = \frac{1}{i} \left( \frac{\Delta X}{\Delta y} + i\frac{\Delta Y}{\Delta y} \right)
  = \frac{\Delta Y}{\Delta y} - i\frac{\Delta X}{\Delta y};
\]
on en conclut de même que les fonctions réelles $X$~et~$Y$ admettent des
dérivées partielles par rapport à~$y$.

Si le rapport $\dfrac{\Delta u}{\Delta z}$ a dans les deux cas la même limite~$f'(z)$, on a la
relation
\[
\frac{\dd X}{\dd x} + i\frac{\dd Y}{\dd x}
  = \frac{\dd Y}{\dd y} - i\frac{\dd X}{\dd y}
\]
qui équivaut aux deux suivantes
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd X}{\dd x} =  \frac{\dd Y}{\dd y},\quad
\frac{\dd X}{\dd y} = -\frac{\dd Y}{\dd x}.
\]
Ces relations indiquent que les expressions
\[
Y\, dx + X\, dy,\quad
X\, dx - Y\, dy
\]
sont des différentielles exactes par rapport aux variables $x$~et~$y$.
\DPPageSep{015.png}{7}

\Paragraph{7.} Réciproquement, lorsque deux fonctions réelles et continues
$X$~et~$Y$ de deux variables indépendantes $x$~et~$y$ ont des dérivées partielles
satisfaisant aux relations~(1), l'expression $u = X + Yi$ peut être considérée
comme une fonction de la variable imaginaire $z = x + yi$, admettant
une dérivée.

Considérons, en effet, un point quelconque~$z$, et par ce point faisons
passer une courbe~$zz_{1}$ telle que les valeurs de~$z$ soient représentées le
long de cette courbe par la formule
\[
z = \phi(t) + i \psi(t)
\]
dans laquelle les fonctions réelles $\phi(t), \psi(t)$ de la variable réelle~$t$ admettent
des dérivées $\phi'(t), \psi'(t)$. On aura, le long de cette courbe,
\begin{align*}
\frac{dX}{dt}
  &= \frac{\dd X}{\dd x}\, \frac{dx}{dt}
   + \frac{\dd X}{\dd y}\, \frac{dy}{dt}, \\
\frac{dY}{dt}
  &= \frac{\dd Y}{\dd x}\, \frac{dx}{dt}
   + \frac{\dd Y}{\dd y}\, \frac{dy}{dt},
\end{align*}
d'où
\[
\frac{du}{dt} = \frac{dX}{dt} + i \frac{dY}{dt}
  = \left( \frac{\dd X}{\dd x}\, \frac{dx}{dt}
         + \frac{\dd X}{\dd y}\, \frac{dy}{dt} \right)
 + i\left( \frac{\dd Y}{\dd x}\, \frac{dx}{dt}
         + \frac{\dd Y}{\dd y}\, \frac{dy}{dt} \right),
\]
et, en vertu des relations~(1),
\[
\frac{du}{dt}
  = \left( \frac{\dd X}{\dd x} + i\frac{\dd Y}{\dd x} \right)
    \left( \frac{dx}{dt} + i\frac{dy}{dt} \right).
\]
On en déduit
\[
\Delta u = \left( \frac{\dd X}{\dd x} + i\frac{\dd Y}{\dd x} \right)
    \left( \frac{dx}{dt} + i\frac{dy}{dt} \right)(1 + \epsilon)\, \Delta t,
\]
$\epsilon$~s'évanouissant avec~$\Delta t$. Comme on~a
\[
\Delta z
  = \left( \frac{dx}{dt} + i\frac{dy}{dt} \right)(1 + \epsilon_{1})\, \Delta t,
\]
$\epsilon_{1}$~étant aussi une quantité infiniment petite, il en résulte
\[
\frac{\Delta u}{\Delta z}
  = \left( \frac{\dd X}{\dd x} + i\frac{\dd Y}{\dd x} \right)
    \frac{1 + \epsilon}{1 + \epsilon_{1}}.
\]
\DPPageSep{016.png}{8}
La fonction admet donc une dérivée $\dfrac{\dd X}{\dd x} + i \dfrac{\dd Y}{\dd x}$, indépendante de la
direction de la tangente à la courbe~$zz_{1}$ au point~$z$.

\Paragraph{8.} Nous démontrerons plus loin que la fonction~$f'(z)$ a aussi une
dérivée; il en résulte que les fonctions réelles $X$~et~$Y$ admettent des
dérivées partielles du second ordre par rapport aux deux variables $x$~et~$y$;
d'après les relations~(1), ces dérivées partielles satisfont aux
équations
\[
\frac{\dd^{2} X}{\dd x^{2}} + \frac{\dd^{2} X}{\dd y^{2}} = 0,\quad
\frac{\dd^{2} Y}{\dd x^{2}} + \frac{\dd^{2} Y}{\dd y^{2}} = 0.
\]
Ainsi toute fonction $u = f(z)$, ayant une dérivée, fournit deux solutions
particulières de l'équation aux dérivées partielles du second ordre
\[
\frac{\dd^{2} v}{\dd x^{2}} + \frac{\dd^{2} v}{\dd y^{2}} = 0.
\]

Il résulte de là que si l'on veut, à l'aide de deux fonctions réelles $X$~et~$Y$
des deux variables réelles et indépendantes $x$~et~$y$, composer une
fonction $u = X + Yi$ de la variable imaginaire $z = x + yi$ admettant
\emph{une} dérivée, on ne pourra prendre arbitrairement aucune de ces deux
fonctions.

\Paragraph{9.} Nous avons figuré la variable imaginaire~$z$ par le mouvement dans
un plan d'un point dont les coordonnées sont $x$~et~$y$. Concevons que, sur
la perpendiculaire au plan en ce point, on porte des longueurs respectivement
égales à~$X$ et à~$Y$, nous aurons deux surfaces dont l'ensemble
représentera la fonction~$u$. Les relations~(1) signifient que, si l'on fait
tourner d'un angle droit l'une des surfaces autour d'une perpendiculaire
au plan~$xOy$, les plans tangents aux deux surfaces aux points
situés sur cette perpendiculaire deviennent parallèles. En effet, la normale
à la surface~$X$ fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
proportionnels à
\[
\frac{\dd X}{\dd x},\quad
\frac{\dd X}{\dd y},\quad
-1;
\]
après la rotation d'un angle droit de $Ox$~vers~$Oy$, cette normale fait avec
\DPPageSep{017.png}{9}
les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
\[
-\frac{\dd X}{\dd y},\quad
 \frac{\dd X}{\dd x},\quad
-1,
\]
ou, en vertu des relations~(1), à
\[
\frac{\dd Y}{\DPtypo{}{\dd} x},\quad
\frac{\dd Y}{\dd y},\quad
-1;
\]
elle est alors parallèle à la normale à la seconde surface.

\Paragraph{10.} Voici quelques autres propriétés des surfaces $X$~et~$Y$ qu'il est
bon de remarquer:

Si l'on pose
\begin{align*}
\frac{\dd X}{\dd x} &= p, &
\frac{\dd X}{\dd y} &= q, &
\frac{\dd^{2} X}{\DPtypo{\dd x}{\dd x^{2}}} &= r, &
\frac{\dd^{2} X}{\dd x\, \dd y} &= s, &
\frac{\dd^{2} X}{\dd y^{2}} &= t, \\
%
\frac{\dd Y}{\dd x} &= p', &
\frac{\dd Y}{\dd y} &= q', &
\frac{\dd^{2} Y}{\dd x^{2}} &= r', &
\frac{\dd^{2} Y}{\dd x\, \dd y} &= s', &
\frac{\dd^{2} Y}{\dd y^{2}} &= t',
\end{align*}
on~a
\[
p' = -q,\quad
q' = p,
\]
et par suite
\[
r  = -t  = s',\quad
r' = -t' = -s.
\]
Le rayon de courbure~$R$ d'une section normale à la surface~$X$ est donné
par la formule
\[
R = \frac{\sqrt{1 + p^{2} + q^{2}}}
         {r \cos^{2}\alpha + t \cos^{2}\beta + 2s \cos\alpha \cos\beta}
  = \frac{\sqrt{1 + p^{2} + q^{2}}}
         {r (\cos^{2}\alpha - \cos^{2}\beta) + 2s \cos\alpha \cos\beta},
\]
$\alpha, \beta, \gamma$ étant les angles que fait avec les axes des coordonnées la tangente
à la section normale considérée. L'indicatrice de la surface~$X$ a
pour projection sur le plan~$xOy$ l'hyperbole équilatère
\[
r (\xi^{2} - \eta^{2}) + 2s\xi\eta = \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}}
\]
rapportée à son centre. L'indicatrice de la surface~$Y$ a de même pour
projection l'hyperbole équilatère
\[
r' (\xi^{2} - \eta^{2}) + 2s'\xi\eta = \Sqrt{1 + {p'}^{2} + {q'}^{2}}
\]
ou
\[
s (\eta^{2} - \xi^{2}) + 2r\xi\eta = \Sqrt{1 + q^{2} + p^{2}}.
\]
\DPPageSep{018.png}{10}
Si l'on fait tourner cette seconde hyperbole de $45$~degrés autour de son
centre, elle coïncide avec la première. Ainsi, les projections sur le
plan~$xOy$ des indicatrices des deux surfaces conjuguées aux points homologues
sont des hyperboles équilatères égales, et les asymptotes de
l'une coïncident avec les axes de l'autre.

Les rayons de courbure principaux de la surface~$X$ sont donnés par
l'équation du second degré
\[
\DPtypo{}{(} rt - s^{2}) R^{2}
  - \sqrt{1 + p^{2}+ q^{2}}\bigl[(1 + p^{2}) t + (1 + q^{2}) r - 2pqs\bigr] R
  + (1 + p^{2} + q^{2})^{2} = 0,
\]
qui se réduit à
\[
(r^{2} + s^{2}) R^{2}
  - \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}} \bigl[(p^{2} - q^{2}) r + 2pqs \bigr] R
  - (1 + p^{2} + q^{2})^{2} = 0;
\]
ceux de la surface~$Y$ par l'équation
\[
(r^{2} + s^{2}) R^{2}
  - \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}} \bigl[(p^{2} - q^{2}) s - 2pqr\bigr] R
  - (1 + p^{2} + q^{2})^{2} = 0.
\]
On voit que le produit des rayons de courbure principaux est le même
dans les deux surfaces, et par conséquent que les deux surfaces ont la
même courbure aux points homologues.


\Section{Fonctions monotropes}

\Paragraph{11.} Supposons que le point~$z$ soit astreint à rester dans une partie
du plan déterminée; si tous les chemins qui vont du point initial~$z_{0}$ à
\Fig{4}
un point quelconque~$z$ (\Figref{4}) situé dans cette partie du plan conduisent
à la même valeur de la fonction, nous dirons que la fonction est
\emph{monotrope} dans cette partie du plan.
\DPPageSep{019.png}{11}

Il est évident que, si le point mobile décrit une courbe fermée située
dans la partie du plan considérée, la fonction reprend sa valeur primitive.

Réciproquement, lorsque la fonction jouit de cette propriété, elle est
monotrope. Considérons, en effet, les deux chemins $z_{0}az, z_{0}bz$, qui
vont du point~$z_{0}$ au point~$z$; soit~$u_{0}$ la valeur initiale de la fonction,
$u$~la valeur qu'elle acquiert quand on suit le chemin~$z_{0}az$; en continuant
suivant~$zbz_{0}$, on ramène la valeur initiale~$u_{0}$; si maintenant on
rétrograde suivant~$z_{0}bz$, la fonction repassera par la même valeur en
chaque point, et par conséquent elle acquerra en~$z$ la valeur~$u$ obtenue
précédemment.

Une fonction entière, plus généralement une fonction rationnelle,
n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de~$z$, est monotrope dans une
partie du plan limitée par une courbe quelconque. Nous dirons pour
abréger que, dans ce cas, la fonction est monotrope dans toute l'étendue
du plan.


\Section{Exemples de fonctions polytropes}

\Paragraph{12.} Considérons d'abord la fonction
\[
u = \sqrt{(z - a_{1})(z - a_{2})\ldots (z - a_{n})}.
\]
Marquons dans le plan les points $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ (\Figref{5}); si l'on prend
pour origine successivement chacun de ces points, en conservant la
\Fig{5}
direction des axes, le même point représentera, par rapport à ces différents
systèmes d'axes, les binômes $z - a_{1}, z - a_{2}, \ldots, z - a_{n}$.
\DPPageSep{020.png}{12}

Posons
\[
\begin{array}{@{}r@{\,}c@{\,}l@{}}
z - a_{1} &=& r_{1} (\cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1}), \\
z - a_{2} &=& r_{2} (\cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2}), \\
\hdotsfor{3}, \\
z - a_{n} &=& r_{n} (\cos \theta_{n} + i \sin \theta_{n});
\end{array}
\]
on~a
\[
u = (r_{1} r_{2} \ldots r_{n})^{\efrac{1}{2}}
  \left(\frac{\cos\theta_{1} + \theta_{2} + \ldots + \theta_{n}}{2}
     + i\frac{\sin\theta_{1} + \theta_{2} + \ldots + \theta_{n}}{2}\right).
\]

Lorsque le point~$z$ décrit une courbe fermée ne comprenant aucun
des points $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, les arguments $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{n}$ reprennent leurs
valeurs primitives, et par conséquent la fonction~$u$ revient à la même
valeur. On en conclut que la fonction est monotrope dans toute partie
du plan ne comprenant aucun des points $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, que nous appellerons
\emph{points critiques}.

\Paragraph{13.} Supposons maintenant que le point~$z$ décrive une courbe fermée
comprenant un point critique~$a_{1}$ (\Figref{6}), dans un sens tel (pour la disposition
adoptée des axes) qu'un observateur, en décrivant le contour,
ait constamment à sa gauche l'aire enveloppée par la courbe, et dorénavant
\Figs{2.25in}{6}{1.5in}{7}
nous appellerons le sens de ce mouvement \emph{sens positif}; les arguments
$\theta_{2}, \theta_{3}, \ldots, \theta_{n}$ reprennent leurs valeurs primitives, mais $\theta_{1}$~augmente
de~$2 \pi$; l'argument de~$u$ augmente donc de~$\pi$, et par conséquent
la fonction change de signe.

Considérons deux chemins $z_{0}az, z_{0}bz$ (\Figref{7}), allant du point~$z_{0}$ au
point~$z$ et comprenant un seul point critique~$a_{1}$. Soit $u_{0}$~la valeur initiale
\DPPageSep{021.png}{13}
de la fonction au point~$z_{0}$, $u$~la valeur que l'on obtient au point~$z$,
quand on suit le chemin~$z_{0}az$; si l'on continue suivant~$zbz_{0}$, d'après
ce que nous venons de dire, la fonction change de signe et acquiert
en~$z_{0}$ la valeur~$-u_{0}$. En rétrogradant suivant~$z_{0}bz$ avec la valeur initiale~$-u_{0}$,
la fonction repasse par les mêmes valeurs et reprend en~$z$ la
valeur~$u$ obtenue précédemment. Si maintenant l'on décrit le chemin
$z_{0}bz$ avec la valeur initiale~$+u_{0}$, le signe du radical étant changé,
la fonction acquiert en~$z$ la valeur~$-u$. Ainsi, les deux chemins $z_{0}az,
z_{0}bz$, décrits avec la même valeur initiale~$u_{0}$, conduisent au point~$z$ à
deux valeurs de la fonction égales et de signes contraires, et par conséquent
la fonction cesse d'être monotrope.

\Paragraph{14.} Considérons en second lieu la fonction
\[
u = (z - a_{1})^{\efrac{p_{1}}{q_{1}}}
    (z - a_{2})^{\efrac{p_{2}}{q_{2}}} \ldots
    (z - a_{n})^{\efrac{p_{n}}{q_{n}}},
\]
dans laquelle les exposants sont des fractions irréductibles. En adoptant
les mêmes notations que précédemment, on~a
\[
u = r_{1}^{\efrac{p_{1}}{q_{1}}}
    r_{2}^{\efrac{p_{2}}{q_{2}}} \ldots
    r_{n}^{\efrac{p_{n}}{q_{n}}}
  \left[\cos \left(\frac{p_{1} \theta_{1}}{q_{1}}
                 + \frac{p_{2} \theta_{2}}{q_{2}} + \ldots\right)
     + i\sin \left(\frac{p_{1} \theta_{1}}{q_{1}}
                 + \frac{p_{2} \theta_{2}}{q_{2}} + \ldots\right) \right].
\]
Lorsque le point~$z$ décrit une courbe fermée ne comprenant aucun des
points $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, la fonction revient à sa valeur primitive. Elle est
donc monotrope dans toute partie du plan ne comprenant aucun des
points critiques $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$.

Supposons maintenant que le point~$z$ parte du point~$z_{0}$, la fonction
ayant la valeur initiale~$u_{0}$, et décrive, dans le sens indiqué, une courbe
fermée comprenant le point critique~$a_{1}$; les arguments $\theta_{2}, \theta_{3}, \ldots$ reprenant
leurs valeurs primitives et $\theta_{1}$~augmentant de~$2\pi$, il en résulte que
l'argument de~$u$ augmente de~$\dfrac{2p_{1}\pi}{q_{1}}$; la valeur de la fonction est donc
multipliée par la quantité
\[
j_{1} = \cos\frac{2p_{1}\pi}{q_{1}} + i\sin\frac{2p_{1}\pi}{q_{1}},
\]
qui est une racine primitive de l'équation binôme $x^{q_{1}} = 1$. Un second
\DPPageSep{022.png}{14}
tour donnera $u_{0} j_{1} × j_{1} = u_{0} j_{1}^{2}$; un troisième $u_{0} j_{1}^{3}$,~etc. La fonction
prend donc au même point~$z_{0}$ les $q_{1}$~valeurs
\[
u_{0},\quad
u_{0}j_{1},\quad
u_{0}j_{1}^{2},\quad \ldots,\quad
u_{0}j_{1}^{q_{1} - 1};
\]
un nouveau tour ramènerait la valeur initiale~$u_{0}$.

Si l'on tourne ensuite autour du second point critique~$a_{2}$ avec l'une
des $q_{1}$~valeurs précédentes prise comme valeur initiale, on obtiendra $q_{2}$~valeurs
différentes. La forme des valeurs ainsi obtenues est
\[
u_{0} j_{1}^{m_{1}} j_{2}^{m_{2}};
\]
si les nombres $q_{1}$~et~$q_{2}$ sont premiers entre eux, la fonction acquiert de
la sorte $q_{1} q_{2}$~valeurs, et ainsi de suite.

Lorsqu'une fonction, qui a une valeur initiale bien déterminée,
acquiert ainsi plusieurs valeurs pour une même valeur de~$z$, suivant les
chemins décrits par cette variable, nous dirons que la fonction est \emph{polytrope}.

La définition que nous venons de donner de la fonction $u = z^{a}$ s'étend
au cas où l'exposant~$a$ est un nombre incommensurable, positif ou
négatif. Si l'on pose
\[
z = r (\cos\theta + i \sin\theta),
\]
on~a
\[
u = z^{a} = r^{a}(\cos a\theta + \DPtypo{}{i} \sin a\theta).
\]
Mais ici, lorsque la variable~$z$ tourne autour du point critique~$z = 0$, la
fonction acquiert une infinité de valeurs différentes ayant même module
et dont les arguments forment une progression arithmétique dont
la raison est~$2a\pi$.


\Section{Fonctions holomorphes}

\Paragraph{15.} Lorsqu'une fonction est continue, monotrope, et a une dérivée,
quand la variable se meut dans une certaine partie du plan, nous dirons
qu'elle est \emph{holomorphe} dans cette partie du plan. Nous indiquons par
cette dénomination qu'elle est semblable aux fonctions entières qui
jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan.

Les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction devient nulle
sont les \emph{racines} ou les \emph{zéros} de la fonction.
\DPPageSep{023.png}{15}


\Section{Pôles}

\Paragraph{16.} Lorsqu'une fonction~$u$ est holomorphe dans une certaine partie
du plan, excepté en un point~$z_{1}$, où elle devient infinie, de manière
toutefois que la fonction~$\dfrac{1}{u}$ reste holomorphe dans le voisinage de ce
point, on dit que ce point est un \emph{pôle} ou un \emph{infini} de la fonction~$u$.

Une fraction rationnelle admet comme pôles les racines du dénominateur;
c'est une fonction holomorphe dans toute partie du plan qui ne
contient aucun de ses pôles.

Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan, excepté
en certains pôles, nous dirons qu'elle est \emph{méromorphe} dans cette partie
du plan, c'est-à-dire semblable aux fractions rationnelles.


\Section{Emploi de la sphère}

\Paragraph{17.} Pour étudier la variation d'une fonction, quand la variable~$z$ devient
très-grande, on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, et l'on donne à la nouvelle variable~$z'$ des
valeurs très-petites. Cette transformation peut être figurée de la manière
suivante:

A une sphère d'un diamètre égal à l'unité, menons deux plans tangents
$xOy, x'O'y'$ (\Figref{8}) en deux points diamétralement opposés $O$~et~$O'$;
la variable~$z$ est représentée par un point~$z$ situé dans le premier plan
tangent; la droite~$O'z$ perce la surface de la sphère en un point~$Z$; la
droite~$OZ$ prolongée rencontre le second plan tangent en un point~$z'$
qui, dans ce plan, représente la nouvelle variable~$z'$. En effet, nous
remarquons d'abord que, dans les triangles semblables $OO'z, OO'z'$,
on~a
\[
\frac{O'z'}{1} = \frac{1}{Oz}.
\]
Nous déterminerons les positions des droites $Oz, O'z'$, dans les plans tangents,
par les angles $\theta$~et~$\theta'$ qu'elles font respectivement avec des droites
fixes $Ox, O'x'$, situées dans un même plan méridien passant par le diamètre~$OO'$,
\DPPageSep{024.png}{16}
et nous conviendrons de compter les angles positifs dans un
sens tel, qu'un observateur placé sur l'un ou l'autre plan, les pieds en~$O$
ou en~$O'$, et la tête en dehors de la sphère, voie le rayon vecteur tourner
\Fig[2in]{8}
de droite à gauche. De cette manière, les deux droites $Oz, O'z'$, qui
sont contenues dans un même plan méridien, ont des arguments $xOz,
x'O'z'$ dont la somme est égale à~$2\pi$. D'ailleurs le produit des rayons
vecteurs $Oz, O'z'$ est égal à l'unité; on a donc
\[
zz' = 1.
\]

A une courbe décrite par la variable~$z$ dans le premier plan tangent
correspond une courbe décrite par la variable~$z'$ dans le second plan
tangent; mais ces deux courbes peuvent être remplacées par une seule,
celle que décrit le point~$Z$ sur la sphère. Quand le point~$z$ décrit dans le
premier plan, et dans le sens positif (\no{13}), une courbe fermée ne comprenant
pas l'origine~$O$, le point~$z'$ décrit dans le second plan, et aussi
dans le sens positif, une courbe fermée ne comprenant pas l'origine~$O'$;
à la partie du premier plan intérieure à la première courbe correspond
la partie du second plan intérieure à la seconde courbe. Mais lorsque
la première courbe, que nous supposons toujours décrite dans le sens
positif, comprend l'origine~$O$, la seconde, qui comprend aussi l'origine~$O'$,
est décrite dans le sens négatif par un observateur dont la tête
\DPPageSep{025.png}{17}
est tournée vers~$N'$; à la partie du premier plan extérieure à la première
courbe correspond la partie du second plan intérieure à la seconde
courbe, et \textit{vice versâ}. Si le rayon vecteur de chacun des points de
la première courbe augmente indéfiniment, celui de la seconde tend
vers zéro; de sorte que l'étude de la fonction pour les valeurs très-grandes
de~$z$ est ramenée à celle de la même fonction dans la partie de
la surface de la sphère voisine du point~$O'$.

\Paragraph{18.} Considérons, par exemple, une fonction entière
\[
u = A_{0}z^{m} + A_{1}z^{m-1} + \ldots + A_{m};
\]
si l'on pose
\[
z = \frac{1}{z'},
\]
on~a
\[
u = \frac{A_{0} + A_{1}z' + \ldots + A_{m} z'^{m}}{z'^{m}}.
\]
La fonction~$u$ devient infinie pour $z' = 0$; mais si l'on pose
\[
u = \frac{1}{u'},
\]
on~a
\[
u' = \frac{z'^{m}}{A_{0} + A_{1}z' + \ldots + A_{m}z'^{m}};
\]
la fonction~$u'$ est holomorphe dans le voisinage du point~$O'$; on dira donc
que le point~$O'$ sur la sphère est un pôle de la fonction~$u$. Ainsi la fonction
entière est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point~$O'$ qui
est un pôle.

Considérons maintenant une fraction rationnelle
\[
u = \frac{A_{0} z^{m} + A_{1} z^{m-1} + \ldots + A_{m}}
         {B_{0} z^{n} + B_{1} z^{n-1} + \ldots + B_{n}};
\]
en posant
\[
z = \frac{1}{z'},
\]
on~a
\[
u = z'^{n-m}\,
\Erratum{\frac{A_{m} + A_{m-1} z' + \ldots + A_{0} z'^{m}}
              {B_{n} + B_{n-1} z' + \ldots + B_{0} z'^{n}}}
        {\frac{A_{0} + A_{1} z' + \ldots + A_{m} z'^{m}}
              {B_{0} + B_{1} z' + \ldots + B_{n} z'^{n}}}.
\]
\DPPageSep{026.png}{18}
Si $m$~est égal ou inférieur à~$n$, la fonction~$u$ est holomorphe dans le voisinage
du point $z' = 0$, qui est ainsi un point ordinaire. Si $m$~est supérieur
à~$n$, la fonction~$u$ devient infinie pour $z' = 0$; mais la fonction $\dfrac{1}{u}$
reste holomorphe dans le voisinage de ce point, qui est un pôle de la
fonction~$u$.

Considérons enfin la fonction
\[
u = \sqrt{(z - a_{1})(z - a_{2})\ldots (z - a_{n})}
\]
que nous avons étudiée au \no{\Erratum{10}{12}}. Si l'on pose
\[
z = \frac{1}{z'},\quad
u = \frac{1}{u'},
\]
on~a
\[
u' = \frac{z'^{\efrac{n}{2}}}
          {\sqrt{(1 - a_{1}z')(1 - a_{2}z')\ldots(1 - a_{n}z')}}.
\]
Lorsque $n$~est pair, le point~$O'$ est un pôle de la fonction~$u$. Lorsque $n$~est
impair, c'est un point critique; car autour de ce point se permutent
les deux valeurs de~$u'$ et par conséquent celles de~$u$ qui sont très-grandes
dans le voisinage.
\DPPageSep{027.png}{19}


\Chapitre{II}{Les Fonctions Algébriques}

\Section{Nombre des racines d'un polynôme entier}

\Paragraph{19.} \begin{Lemme}[I]
Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une partie
du plan, la variation qu'éprouve l'argument de la fonction, quand la variable
décrit une ligne~$ad$ \(\Figref{9}\) située dans cette partie du plan, et ne
\Fig[1.25in]{9}
passant par aucune racine ni par aucun pôle, est égale à la somme des
variations qu'il éprouve sur les différentes portions $ab, bc, cd$ de cette ligne,
et cela quel que soit celui des arguments possibles que l'on prenne au commencement
de chacun des arcs.
\end{Lemme}

\Paragraph{20.} \begin{Lemme}[II]
Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une certaine
étendue, si l'on divise cette aire en plusieurs parties par des transversales,
la variation qu'éprouve l'argument de la fonction, quand la variable
décrit le contour de l'aire totale dans le sens positif, est égale à la somme
des variations qu'il éprouve, quand la variable décrit le contour de chacune
des aires partielles dans le sens positif.
\end{Lemme}
\DPPageSep{028.png}{20}

\Fig[1.75in]{10}
Considérons l'aire enveloppée par la courbe~$abcd$ (\Figref{10}), et qui est
divisée en quatre parties par des transversales. Nous supposons qu'aucune
des lignes ne passe par une racine ni par un pôle, et que chaque
contour est parcouru dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel
qu'un observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée par le
contour. La variation de l'argument de la fonction suivant le contour~$abea$
est égale à la somme des variations suivant les arcs $ab, be, ea$; de même
la variation de l'argument suivant le contour~$bceb$ est égale à la somme
des variations suivant les arcs $bc, ce, eb$, et ainsi de suite. Mais chacune
des transversales $ae, be, ce, de$ est parcourue deux fois dans des sens
opposés, ce qui donne des variations égales et de signes contraires; il
reste donc dans la somme les variations relatives aux arcs $ab, bc, cd, da$,
c'est-à-dire la variation relative au contour entier~$abcda$.
\Figs{1.25in}{11}{1.5in}{12}

\Paragraph{21.} \begin{Théorème}{I}
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une
partie du plan ne comprenant aucune racine, la variation de l'argument
de la fonction sur le contour de l'aire est nulle.
\end{Théorème}
\DPPageSep{029.png}{21}

Soit $z_{0}$ une valeur de la variable~$z$ à laquelle correspond pour la
fonction une valeur~$u_{0}$ différente de zéro. La fonction étant continue,
on peut assigner un nombre~$\rho$ tel que, si le module de $z - z_{0}$ est égal
ou inférieur à~$\rho$, le module de $u - u_{0}$ ou la distance~$u_{0}u$ soit moindre
que le module de~$u_{0}$ ou la distance~$Ou_{0}$. D'après cela, si le point~$z$ décrit
une courbe fermée (\Figref{11}) comprise dans le cercle décrit du
point~$z_{0}$ comme centre avec un rayon égal à~$\rho$, le point~$u$ décrira une
courbe fermée (\Figref{12}) située dans le cercle décrit du point~$u_{0}$ comme
centre avec un rayon égal à la distance~$Ou_{0}$; l'argument de~$u$ reprendra
donc sa valeur primitive.

Supposons maintenant que le point~$z$ décrive le contour d'une aire ne
comprenant aucune racine. On pourra partager cette aire en parties
assez petites (\Figref{13}) pour que chacune d'elles jouisse de la propriété
précédente. La variation de l'argument de la fonction étant nulle sur le
contour de chaque aire partielle, elle est nulle aussi sur le contour de
l'aire totale, d'après le lemme~II.
\Figs{1.5in}{13}{1.5in}{14}

\Paragraph{22.} \begin{Théorème}[Cauchy]{II}
La variation de l'argument d'un polynôme entier,
suivant le contour d'une aire parcourue dans le sens positif, est égale
au produit de~$2\pi$ par le nombre des racines comprises dans cette aire.
\end{Théorème}

Soient $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ (\Figref{14}) les racines situées dans l'aire plane
considérée; on~a
\[
f(z) = (z - a_{1}) (z - a_{2})\ldots (z - a_{n})\phi(z);
\]
l'argument du polynôme~$f(z)$ est égal à la somme des arguments des
\DPPageSep{030.png}{22}
facteurs; quand le point~$z$ décrit la courbe fermée, dans le sens positif,
l'argument de chacun des facteurs $z - a_{1}, z - a_{2}, \ldots, z - a_{n}$ augmente
de~$2\pi$; le polynôme~$\phi(z)$ n'ayant aucune racine à l'intérieur de
la courbe, son argument reprend sa valeur primitive; donc l'argument
de~$f(z)$ augmente de~$2\pi × n$. Ceci ne suppose pas que toutes les racines
soient distinctes.

\Paragraph{23.} \begin{Corollaire}
Un polynôme entier du degré~$m$ a $m$~racines.
\end{Corollaire}

Soit
\[
u = A_{0} z^{m} + A_{1} z^{m-1} + \ldots + A_{m}
\]
le polynôme proposé; si l'on pose
\[
z = \frac{1}{z'},
\]
ce polynôme devient
\[
u = \frac{A_{0} + A_{1} z' + \ldots + A_{m} z'^{m}}{z'^{m}}.
\]
Le numérateur ne s'annulant pas pour $z' = 0$, on peut assigner un
nombre~$r'$ tel que, si le module de~$z'$ est égal ou inférieur à~$r'$, le module
de $A_{1} z' + A_{2} z'^{2} + \ldots + A_{m} z'^{m}$ soit moindre que celui de~$A_{0}$; le numérateur
ne s'annulera donc pour aucune valeur de~$z'$ située à l'intérieur du
cercle décrit du point~$O'$ comme centre avec le rayon~$r'$ dans le second
plan tangent à la sphère (\no{17}), et par conséquent le polynôme proposé
n'aura aucune racine en dehors du cercle décrit du point~$O$ comme
centre avec le rayon $r = \dfrac{1}{r'}$ dans le premier plan tangent. Concevons
maintenant que le point~$z$ décrive la circonférence~$r$ dans le sens positif,
ou que le point~$z'$ décrive la circonférence~$r'$ dans le sens négatif,
l'argument du numérateur ne changeant pas, et celui de~$z'$ variant
de~$-2\pi$, l'argument de~$u$ éprouvera une variation égale à $2\pi × m$;
donc le polynôme a $m$~racines.

En désignant par~$a_{0}$ le module de~$A_{0}$ et par~$a$ le plus grand des modules
des coefficients suivants, on peut prendre $r' = \dfrac{a_{0}}{a_{0} + a}$; il en résulte
que le nombre $r = \dfrac{a_{0} + a}{a_{0}} = 1 + \dfrac{a}{a_{0}}$ est une limite supérieure des
modules des racines.
\DPPageSep{031.png}{23}


\Section{Manière de déterminer le nombre des racines d'un polynôme entier
comprises dans un contour donné}

\Paragraph{24.} D'après le théorème~II, pour connaître le nombre des racines de
l'équation $f(z) = 0$ comprises dans un contour donné~$C$, qui ne passe
par aucune des racines, il suffit de déterminer la variation qu'éprouve
l'argument de~$f(z)$, quand le point~$z$ décrit ce contour dans le sens
positif, et de diviser cette variation par~$2\pi$. Supposons que l'on ait,
le long de ce contour, $f(z) = X + iY$, $X$~et~$Y$ étant deux fonctions
réelles d'une même variable réelle~$t$. Soient $X_{0}, Y_{0}$ les valeurs de $X$~et~$Y$
pour $t = t_{0}$, $a_{0}$~le point correspondant de la courbe et~$\phi_{0}$ l'argument
de~$f(z)$; cet argument~$\phi_{0}$ est l'un des angles qui répondent à
la tangente~$\dfrac{Y_{0}}{X_{0}}$; si $X_{0}$~est positif, on peut prendre pour~$\phi_{0}$ un angle compris
entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et~$\dfrac{\pi}{2}$. Faisons varier~$t$ de telle sorte que le contour~$C$
soit parcouru dans le sens positif. Tant que~$t$, variant à partir de~$t_{0}$, n'atteint
pas une valeur pour laquelle $X$~s'annule et change de signe, l'argument
variable reste toujours compris entre les mêmes limites $-\dfrac{\pi}{2}$
et~$\dfrac{\pi}{2}$. Mais si le quotient~$\dfrac{Y}{X}$ devient infini, et passe d'une valeur positive
à une valeur négative, $\phi$~croît au delà de~$\dfrac{\pi}{2}$; si, au contraire, le quotient
passe d'une valeur négative à une valeur positive, $\phi$~décroît au-dessous
de~$-\dfrac{\pi}{2}$. Donc, en appelant~$\psi$ l'arc compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et~$\dfrac{\pi}{2}$ qui répond
à la nouvelle valeur de la tangente, on aura
\[
\phi = \epsilon_{1} \pi + \psi,
\]
$\epsilon_{1}$~étant égal à~$+1$ dans le premier cas et à~$-1$ dans le second cas.
Cette formule s'appliquera jusqu'à ce que $X$~en s'annulant change de
signe une seconde fois. A partir de cette nouvelle valeur de~$t$, on
aura
\[
\phi = \epsilon_{1} \pi + \epsilon_{2} \pi + \psi,
\]
$\epsilon_{2}$~étant encore égal à~$±1$, suivant que le quotient~$\dfrac{Y}{X}$ passe d'une valeur
\DPPageSep{032.png}{24}
positive à une valeur négative, ou inversement, et $\psi$~désignant toujours
l'arc compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et~$+\dfrac{\pi}{2}$, qui répond à la valeur de la tangente~$\dfrac{Y}{X}$.
Après un troisième changement de signe de~$X$, on aura
\[
\phi = \epsilon_{1}\pi + \epsilon_{2}\pi + \epsilon_{3}\pi + \psi,
\]
et ainsi de suite. Par conséquent, si $X$~a changé de signe $m$~fois avant
que le point~$z$ en suivant le contour~$C$ arrive dans le voisinage de~$a_{0}$,
on aura pour un pareil point
\[
\phi = \epsilon_{1}\pi + \epsilon_{2}\pi + \ldots + \epsilon_{m}\pi + \psi.
\]
Mais lorsque $z$~atteint~$a_{0}$, l'angle~$\psi$ devient égal à~$\phi_{0}$, et la variation
totale de l'argument est
\[
\pi (\epsilon_{1} + \epsilon_{2} + \ldots + \epsilon_{m});
\]
on a donc
\[
n = \frac{1}{2} (\epsilon_{1} + \epsilon_{2} + \ldots + \epsilon_{m}),
\]
$n$~étant le nombre des racines comprises dans le contour~$C$. Soient~$m'$ le
nombre des termes de la parenthèse dont la valeur est~$+1$, $m''$~le nombre
des termes dont la valeur est~$-1$; la formule s'écrit
\[
n = \frac{1}{2} (m' - m'').
\]
Lorsque la valeur initiale~$X_{0}$ de~$X$ est négative, on peut répéter le même
raisonnement en prenant pour $\phi_{0}$~et~$\psi$ des angles compris entre $\dfrac{\pi}{2}$
et~$3\dfrac{\pi}{2}$.

\Paragraph{25.} La somme $\epsilon_{1} + \epsilon_{2} + \ldots + \epsilon_{p}$, qui correspond à la variation de~$t$
entre les limites $t_{0}$~et~$t_{1}$, est ce que Cauchy nomme \emph{indice} de la fonction~$\dfrac{Y}{X}$
entre les limites $t_{0}$~et~$t_{1}$, et il représente cet indice par la notation
\[
I_{t_{0}}^{t_{1}} \left(\frac{Y}{X}\right)\quad \text{ou}\quad
I_{t_{0}}^{t_{1}}F(t).%[** TN: First mention of F]
\]
\DPPageSep{033.png}{25}

Si l'on partage une ligne quelconque en plusieurs parties, l'indice du
quotient~$\dfrac{Y}{X}$ relatif à cette ligne est évidemment égal à la somme des indices
du même quotient pour chacune des parties de la ligne.

On calcule aisément l'indice relatif à une ligne donnée, lorsque le
long de cette ligne $X$~et~$Y$ sont des fonctions entières de la variable~$t$, à
l'aide des remarques suivantes (Cauchy, \textit{Journal de l'École Polytechnique},
25\ieme~Cahier).

\Primo~Si le degré de~$Y$ surpasse celui de~$X$, en effectuant la division jusqu'à
ce que l'on parvienne à un reste~$Y_{1}$ de degré moindre que~$X$, on~a
\[
\frac{Y}{X} = Q + \frac{Y_{1}}{X},
\]
$Q$~étant une fonction entière. Il est clair que les quotients $\dfrac{Y}{X}$~et~$\dfrac{Y_{1}}{X}$ deviennent
infinis en même temps et ont des valeurs de même signe pour
les valeurs de la variable voisines de celles qui les rendent infinis; il
en résulte
\[
I_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\frac{Y}{X}\right)
  = I_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\frac{Y_{1}}{X}\right).
\]

\Secundo~Considérons les deux quotients inverses $\dfrac{Y}{X}, \dfrac{X}{Y}$ et leurs indices $I, I_{1}$
quand $t$~varie de~$t_{0}$ à~$t_{1}$. Chaque fois que l'une des fonctions $X, Y$ s'annule
et change de signe, l'un des deux quotients devient infini et son
indice augmente ou diminue d'une unité, suivant que ce quotient passe
d'une valeur positive à une valeur négative, ou inversement. Par conséquent,
si le quotient~$\dfrac{Y}{X}$ a le même signe pour $t_{0}$~et~$t_{1}$ le nombre des
changements de signes qu'il éprouve en allant d'une valeur positive à
une valeur négative est égal au nombre des changements de signes
qu'il éprouve en allant d'une valeur négative à une valeur positive, et
l'on~a
\[
I + I_{1} = 0.
\]
Mais si le quotient a des signes contraires pour $t_{0}$~et~$t_{1}$ on~a
\[
I + I_{1} = ±1,
\]
le signe~$+$ correspondant au cas où la quantité~$\dfrac{Y_{0}}{X_{0}}$ est positive, le
\DPPageSep{034.png}{26}
signe~$-$ à celui où elle est négative. D'une manière générale, les deux
indices $I$~et~$I_{1}$ satisfont à une relation de la forme
\[
I + I_{1} = \epsilon,
\]
dans laquelle $\epsilon$~désigne un nombre égal à zéro, à~$+1$ ou à~$-1$.

Il résulte de là que l'on peut exprimer l'indice de la fonction~$\dfrac{Y}{X}$ à
l'aide d'une somme de termes analogues à~$\epsilon$, et de l'indice d'un dernier
quotient dont le diviseur ne contiendra plus la variable~$t$, indice évidemment
égal à zéro. Pour fixer les idées, supposons que $X$~soit d'un
degré plus élevé que~$Y$, et, pour l'uniformité des notations, représentons
ce dernier polynôme par~$X_{1}$. Effectuons la division de~$X$ par~$X_{1}$,
jusqu'à ce que nous arrivions à un reste d'un degré moindre que celui
de~$X_{1}$; appelons~$X_{2}$ ce reste changé de signe. Divisons $X_{1}$~par~$X_{2}$; soit $X_{3}$
le reste changé de signe; en continuant cette série d'opérations, on
parviendra à un reste constant, puisqu'on peut supposer que les polynômes
$X$~et~$X_{1}$ n'ont pas de facteurs binômes communs; soit $X_{n}$ ce dernier
reste changé de signe. On a les relations
\[
\begin{array}{l}
I \left(\dfrac{X_{1}}{X}\right)
  - I \left(\dfrac{X_{2}}{X_{1}}\right) = \epsilon_{1}, \\
\Strut[22pt]
I \left(\dfrac{X_{2}}{X_{1}}\right)
  - I \left(\dfrac{X_{3}}{X_{2}}\right) = \epsilon_{2}, \\
\DotRow{I \left(\frac{X_{2}}{X_{1}}\right)
  - I \left(\frac{X_{3}}{X_{2}}\right) = \epsilon_{2}}\Add{,} \\
I \left(\dfrac{X_{n-1}}{X_{n-2}}\right)
  - I \left(\dfrac{X_{n}}{X_{n-1}}\right) = \epsilon_{n-1}, \\
\Strut[22pt]
I \left(\dfrac{X_{n}}{X_{n-1}}\right)
  - I \left(\dfrac{X_{n-1}}{X_{n}}\right) = \epsilon_{n}.
\end{array}
\]

En ajoutant ces égalités membre à membre, et observant que $I\left(\dfrac{X_{n-1}}{X_{n}}\right)$
est nul, il vient
\[
I\left(\frac{X_{1}}{X}\right)
  = \epsilon_{1} + \epsilon_{2} + \ldots + \epsilon_{n-1} + \epsilon_{n}.
\]

Pour obtenir $I\left(\dfrac{X_{1}}{X}\right)$, on calculera les valeurs
\begin{align*}
&(X)_{t_{0}}, &&(X_{1})_{t_{0}}, \ldots, &&(X_{p-1})_{t_{0}}, &&(X_{p})_{t_{0}}, \ldots, &&X_{n}, \\
&(X)_{t_{1}}, &&(X_{1})_{t_{1}}, \ldots, &&(X_{p-1})_{t_{1}}, &&(X_{p})_{t_{1}}, \ldots, &&X_{n}\Add{,}
\end{align*}
des fonctions~$X$ pour les deux valeurs $t_{0}, t_{1}$ de la variable~$t$. Considérons
\DPPageSep{035.png}{27}
deux termes consécutifs $(X_{p-1})_{t_{0}}, (X_{p})_{t_{0}}$ de la première suite, et
les termes correspondants $(X_{p-1})_{t_{1}}, (X_{p})_{t_{1}}$ de la seconde. Si les signes
des termes $(X_{p-1})_{t_{0}}, (X_{p})_{t_{0}}$ présentent une permanence ou une variation,
et de même les signes de $(X_{p-1})_{t_{1}}, (X_{p})_{t_{1}}$ une permanence ou une
variation, on aura
\[
\epsilon_{p} = 0.
\]
Si les signes des deux premiers termes présentent une permanence, les
signes des deux derniers une variation, on aura
\[
\epsilon_{p} = 1.
\]
Enfin, si les signes des deux premiers termes offrent une variation et
ceux des autres une permanence, on aura
\[
\epsilon_{p} = -1.
\]

Représentons par~$P_{v}$ le nombre des permanences de la première suite
qui se transforment en variations dans la seconde, et par~$V_{p}$ le nombre
des variations qui se changent en permanences, il est clair que
\[
I\left(\frac{X_{1}}{X}\right) = P_{v} - V_{p}.
\]
Mais, si l'on désigne par~$V$ le nombre des variations de la première suite,
et par~$V'$ le nombre des variations de la seconde, on a aussi
\[
V' = V + P_{v} - V_{p},
\]
d'où
\[
V' - V = P_{v} - V_{p},
\]
et
\[
I\left(\frac{X_{1}}{X}\right) = V' - V.
\]
Ainsi l'indice de la fonction $\dfrac{X_{1}}{X}$ est égal au nombre des variations gagnées
par la suite des polynômes, quand on passe de~$t_{0}$ à~$t_{1}$.

\Paragraph{26.} Supposons que le contour~$C$ soit un rectangle ayant ses côtés
parallèles aux axes des coordonnées (\Figref{15}). Appelons $y_{0}$~et~$y_{1}$ les ordonnées
des deux côtés $ab, cd$ parallèles à l'axe des~$x$, $x_{0}$~et~$x_{1}$ les
abscisses des deux côtés $ac, bd$ parallèles à l'axe des~$y$. Soit
\[
f(z) = f(x + y\sqrt{-1}) = \phi (x,y) + \sqrt{-1}\psi (x,y);
\]
\DPPageSep{036.png}{28}
on aura
\begin{align*}
&\text{le long de~$ab$\ldots\ldots}& X &= \phi(x, y_{0}),& Y &= \psi(x, y_{0}),&& \text{$x$~variant de~$x_{0}$ à~$x_{1}$;} \\
&\text{le long de~$dc$\ldots\ldots}& X &= \phi(x, y_{1}),& Y &= \psi(x, y_{1}),&& \text{$x$~variant de~$x_{1}$ à~$x_{0}$;} \\
&\text{le long de~$bd$\ldots\ldots}& X &= \phi(x_{1}, y),& Y &= \psi(x_{1}, y),&& \text{$y$~variant de~$y_{0}$ à~$y_{1}$;} \\
&\text{le long de~$ca$\ldots\ldots}& X &= \phi(x_{0}, y),& Y &= \psi(x_{0}, y),&& \text{$y$~variant de~$y_{1}$ à~$y_{0}$.}
\end{align*}
\Fig{15}

Supposons en second lieu que le contour~$C$ soit la circonférence d'un
cercle de rayon~$r$, ayant son centre à l'origine. On peut définir les
divers points de la circonférence par la formule $z = r (\cos\theta + i \sin\theta)$,
où $\theta$~désigne un angle variant de~$-\pi$ à~$+\pi$. Si l'on pose
\[
\tang \frac{\theta}{2} = t,
\]
on aura
\[
z = r \left(\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} + \frac{2ti}{1 + t^{2}}\right),
\]
et la variable~$t$ variera de~$-\infty$ à~$+\infty$. On abrége le calcul en opérant
de la manière suivante: on~a
\[
z = r\, \frac{1 + ti}{1 - ti};
\]
la substitution de cette valeur dans le polynôme~$f(z)$ donnera un résultat
de la forme $\dfrac{\phi(t) + i \psi(t)}{(1 - ti)^{n}}$. La variation de l'argument de ce quotient,
lorsque $t$~croît de~$-\infty$ à~$+\infty$, est égale à la différence entre la
variation de l'argument du numérateur et la variation de l'argument
\DPPageSep{037.png}{29}
du dénominateur. Mais l'argument de~$1 - ti$, passant de la valeur~$+\dfrac{\pi}{2}$
à la valeur~$-\dfrac{\pi}{2}$, éprouve une variation égale à~$-\pi$; donc la variation
de l'argument du dénominateur est~$-n\pi$. Par conséquent, si l'on représente
par~$I$ l'indice du numérateur, quand $t$~varie de~$-\infty$ à~$+\infty$,
la variation de l'argument du quotient sera~$\pi(I + n)$.

\Paragraph{27.} Soit, comme exemple, l'équation
\[
z^{4} - 5z + 1 = 0.
\]

Prenons d'abord pour contour un rectangle dont les côtés, parallèles
aux axes, sont déterminés par les abscisses $x_{0} = -1$, $x_{1} = +1$ et les
ordonnées $y_{0} = -1$, $y_{1} = +1$. on~a
\[
f(x + yi) = x^{4} - 6x^{2}y^{2} + y^{4} - 5x + 1 + (4x^{3}y - 4xy^{3}-5y)i.
\]
Le long du côté~$ab$
\begin{gather*}
X = x^{4} - 6x^{2} - 5x + 2,\quad
X_{1} = -4x^{3} + 4x + 5,\quad
X_{2} = 20x^{2} + 15x-8, \\
X_{3} = -3x - 124,\quad
X_{4} = -301868;
\end{gather*}
les signes des résultats des substitutions de $-1$~et~$+1$ étant
\[
\begin{array}{*{5}{l<{\quad}}}
  +, & +, & -, & -, & -, \\
  -, & +, & +, & -, & -,
\end{array}
\]
l'indice relatif à ce côté est~$1$. Le long du côté~$dc$, parallèle à~$ab$,
on~a
\[
X = x^{4} - 6x^{2} - 5x + 2,\quad
X_{1} = 4x^{3} - 4x - 5.
\]
Nous remarquons que sur les côtés $ab$~et~$dc$ les polynômes~$X$ sont
égaux, et les polynômes~$Y$ égaux et de signes contraires. Mais $x$~varie
sur le premier côté de~$-1$ à~$+1$, sur le second de~$+1$ à~$-1$; il en
résulte que les indices relatifs à ces deux côtés sont égaux. Le long du
côté~$bd$, on~a
\begin{gather*}
X = y^{4} - 6y^{2} - 3,\quad
X_{1} = -4y^{3} - y,\quad
X_{2} = 25y^{2} + 12, \\
X_{3} = -23y,\quad
X_{4} = -276;
\end{gather*}
\DPPageSep{038.png}{30}
les signes correspondant à~$-1$ et~$+1$ étant
\[
\begin{array}{*{5}{l<{\quad}}}
  -, & +, & +, & +, & -, \\
  -, & -, & +, & -, & -,
\end{array}
\]
l'indice est nul. Enfin, le long de~$ca$, on~a
\begin{gather*}
X = y^{4} - 6y^{2} + 7,\quad
X_{1} = 4y^{3} - 9y,\quad
X_{2} = 15y^{2} - 28, \\
X_{3} = 23y,\quad
X_{4} = 644.
\end{gather*}
En substituant d'abord~$+1$, puis~$-1$, les signes des résultats sont
\[
\begin{array}{*{5}{l<{\quad}}}
  +, & -, & -, & +, & +, \\
  +, & +, & -, & -, & +,
\end{array}
\]
l'indice est encore nul. On conclut de ce qui précède qu'une seule racine
est comprise dans le carré~$abdc$; cette racine est nécessairement réelle.
Il est bon de remarquer que les indices relatifs aux côtés $ab$~et~$dc$ du
rectangle sont égaux toutes les fois que ces deux côtés sont équidistants
de l'axe des~$x$.

Prenons maintenant pour contour une circonférence d'un rayon égal
à l'unité et ayant pour centre l'origine. On a sur cette circonférence
\[
f(z) = \frac{(7t^{4} - 12t^{2} - 3) + 10 (t^{3} + t)i}{(1 - ti)^{4}}.
\]
On obtient l'indice du numérateur à l'aide des polynômes
\begin{gather*}
X = 7t^{4} - 12t^{2} - 3,\quad
X_{1} = t^{3} + t,\quad
X_{2} = 19 t^{2} + 3, \\
X_{3} = -t,\quad
X_{4} = -3;
\end{gather*}
l'indice étant égal à~$-2$, on en conclut que la circonférence ne comprend
qu'une racine.

Si l'on remplace la circonférence dont le rayon est~$1$ par une autre
de rayon égal à~$2$, on~a
\[
f(z) = \frac{27 t^{4} - 102t^{2} + 7 + 40(-t^{3} + 2t)i}{(1 - ti)^{4}};
\]
\DPPageSep{039.png}{31}
l'indice du numérateur s'obtient à l'aide des fonctions
\begin{gather*}
X = 27t^{4} - 102t^{2} + 7,\quad
X_{1} = -t^{3} + 2t,\quad
X_{2} = 48t^{2} - 7, \\
X_{3} = -t,\quad
X_{4} = 7.
\end{gather*}
Cet indice étant égal à~$4$, on en conclut que la seconde circonférence
comprend les quatre racines de l'équation. Il est évident, à l'inspection
de l'équation, qu'elle n'admet que deux racines réelles comprises, l'une
entre zéro~et~$1$, l'autre entre $1$~et~$2$. Le module des deux racines
imaginaires conjuguées est donc compris entre $1$~et~$2$; on vérifie ce
résultat, en remarquant que ce module a pour expression
\[
\frac{1}{2} \sqrt{4\lambda + \frac{10}{\sqrt{2\lambda}}},
\]
$\lambda$~désignant la racine positive de l'équation
\[
8\lambda^{3} - 8\lambda - 25 = 0.
\]


\Section{Continuité des racines}

\Paragraph{28.} Soit $f(z, u) = 0$ une équation dont le premier membre est un
polynôme entier en $z$~et~$u$, du degré~$m$ par rapport à~$u$, et que nous
supposons irréductible, c'est-à-dire non décomposable en un produit
de polynômes entiers en $z$~et~$u$. Si l'on attribue à~$z$ une certaine valeur,
l'équation en~$u$ a $m$~racines; nous allons démontrer que, si le paramètre~$z$
varie d'une manière continue, ces $m$~racines varient aussi
d'une manière continue (Cauchy, \textit{Exercices d'Analyse et de Physique
mathématique}, 1841). Cette propriété importante résulte du théorème
suivant:

\begin{Théorème}{III}
Si pour $z = a$ l'équation a $n$~racines égales à~$b$, pour
une valeur de~$z$ voisine de~$a$, l'équation a $n$~racines voisines de~$b$.
\end{Théorème}

Pour abréger, remplaçons $z$~et~$u$ par $a + z'$ et~$b + u'$; pour $z' = 0$,
l'équation $f(a + z', b + u') = 0$ admet $n$~racines égales à zéro. En
ordonnant le premier membre de l'équation par rapport aux puissances
\DPPageSep{040.png}{32}
croissantes de~$u'$, on~a
\[
f(a + z', b + u')
  = Z_{0} + Z_{1} u' + Z_{2} u'^{2} + \ldots
  + Z_{n} u'^{n} + Z_{n + 1} u'^{n + 1} + \ldots + Z_{m} u'^{m}.
\]
Les polynômes $Z_{0}, Z_{1}, \ldots, Z_{n - 1}$ s'annulent pour $z' = 0$, mais $Z_{n}$~ne
s'annule pas. Du point~$a$ comme centre, décrivons un cercle de rayon~$\rho$
qui ne comprenne aucune racine du polynôme~$Z_{n}$, et assujettissons le
point~$z'$ à rester dans ce cercle. Soit $A$~le plus petit module du polynôme~$Z_{n}$
dans le cercle~$\rho$, $B$~le plus grand module de chacun des polynômes
suivants $Z_{n + 1}, Z_{n + 2}, \ldots, Z_{m}$ dans le même cercle. Nous pouvons
mettre le premier membre de l'équation sous la forme
\begin{multline*}
f(a + z', b + u')
  = Z_{n}u'^{n} \biggl( \frac{Z_{0}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'^{n}}
                     + \frac{Z_{1}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'^{n-1}} + \ldots
                     + \frac{Z_{n-1}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'} \\
  + 1 + \frac{Z_{n + 1}}{Z_{n}}\, u'
      + \frac{Z_{n + 2}}{Z_{n}}\, u'^{2} + \ldots
      + \frac{Z_{m}}{Z_{n}}\, u'^{m-n} \biggr),
\end{multline*}
ou
\[
f(a + z', b + u') = Z_{n} u'^{n}(1 + P + Q),
\]
en posant
\begin{align*}
P &= \frac{Z_{n + 1}}{Z_{n}}\, u'
   + \frac{Z_{n + 2}}{Z_{n}}\, u'^{2} + \ldots
   + \frac{Z_{m}}{Z_{n}}\, u'^{m-n}, \\
Q &= \frac{Z_{0}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'^{n}}
   + \frac{Z_{1}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'^{n-1}} + \ldots
   + \frac{Z_{n-1}}{Z_{n}}\, \frac{1}{u'}.
\end{align*}
Si l'on fait mouvoir le point~$u'$ sur la circonférence d'un cercle ayant
pour centre~$b$ et un rayon~$r$ plus petit que l'unité, on~a
\[
%[** TN: Changed "mod" to "mod." throughout]
\mod P < \frac{B}{A} (r + r^{2} + \ldots)
       = \frac{B}{A}\, \frac{r}{1 - r}.
\]
On choisira le rayon~$r$ de manière que
\[
\frac{B}{A}\, \frac{r}{1 - r} \leqq \frac{1}{2};
\]
il suffit pour cela de prendre
\[
r \leqq \frac{A}{A + 2B};
\]
\DPPageSep{041.png}{33}
alors le module de~$P$ sera plus petit que~$\dfrac{1}{2}$. Le rayon~$r$ étant choisi de
cette façon, et le point~$u'$ se mouvant sur cette circonférence, on~a
\[
\mod Q < \frac{1}{A}
  \left(\frac{\mod Z_{0}}{r^{n}}
      + \frac{\mod Z_{1}}{r^{n-1}} + \ldots
      + \frac{\mod Z_{n-1}}{r}\right).
\]
Les polynômes $Z_{0}, Z_{1},\ldots, Z_{n - 1}$ étant des fonctions continues de~$z'$,
qui s'annulent pour $z' = 0$, on peut trouver un rayon~$\rho'$ plus petit que~$\rho$,
et tel que, pour tout point~$z'$ situé dans le cercle décrit du point~$a$
comme centre avec le rayon~$\rho'$, le module de chacun de ces polynômes
soit moindre qu'un nombre donné~$C$, satisfaisant à la condition
\[
\frac{C}{A}
  \left(\frac{1}{r^{n}} + \frac{1}{r^{n-1}} + \ldots + \frac{1}{r}\right)
  \leqq \frac{1}{2}
\]
ou
\[
\frac{C}{A}\, \frac{1 - r^{n}}{r^{n} (1 - r)} \leqq \frac{1}{2};
\]
il suffit pour cela de prendre
\[
C \leqq \frac{A\, r^{n} (1 - r)}{2(1 - r^{n})}.
\]
Le rayon~$\rho'$ étant choisi de cette façon, le module de~$Q$ sera moindre
que~$\dfrac{1}{2}$ pour toutes les valeurs de~$z'$ situées dans le cercle~$\rho'$ et de~$u'$ situées
sur la circonférence~$r$, et de même le module de~$P$.

Le point~$z'$ restant fixe à l'intérieur du cercle~$\rho'$, concevons que la
variable~$u'$ décrive la circonférence~$r$ dans le sens positif, et considérons
l'expression
\[
f(a + z', b + u') = Z_{n} u'^{n} (1 + P + Q),
\]
qui est un polynôme entier en~$u'$. L'argument du facteur~$u'^{n}$ éprouve
une augmentation égale à~$2\pi × n$. Le facteur $1 + P + Q$, que nous
désignerons par~$v$, est une fonction monotrope de~$u'$; figurons-le par
un point~$v$ dans un plan (\Figref{16}), et marquons le point~$C$ qui correspond
à $v = 1$; la distance~$Cv$ est égale au module de~$P + Q$, qui est
moindre que l'unité. Quand la variable~$u'$ décrit la circonférence~$r$, le
point~$v$ décrit une courbe fermée située dans le cercle dont le point~$C$
\DPPageSep{042.png}{34}
est le centre et le rayon égal à l'unité, et par conséquent l'argument
de~$v$ reprend sa valeur primitive. Ainsi l'argument du polynôme
\Fig{16}
$f(a + z', b + u')$ éprouve une augmentation égale à~$2\pi × n$; on en
conclut que ce polynôme admet $n$~racines à l'intérieur du cercle~$r$.

\begin{Corollaire}
Si pour $z = a$ la valeur $u = b$ est racine simple, pour
une valeur de~$z$ voisine de~$a$ l'équation admettra une racine simple voisine
de~$b$ et une seule.
\end{Corollaire}


\Section{Définition d'une fonction algébrique}

\Paragraph{29.} Supposons que, pour $z = z_{0}$, $u_{0}$~soit racine simple de l'équation
$f(z, u) = 0$; faisons mouvoir le point~$z$ sur une courbe; en un point~$z_{1}$
voisin de~$z_{0}$ l'équation admet une racine simple~$u_{1}$ voisine de~$u_{0}$, et
une seule; en un point voisin de~$z_{1}$ elle admet une racine simple~$u_{2}$
voisine de~$u_{1}$, et ainsi de suite. La série des valeurs $u_{0}, u_{1}, u_{2},\ldots$ forme
une suite continue, que l'on regardera comme une fonction de~$z$.

On peut continuer de cette manière tant que la racine considérée~$u$
conserve une valeur finie et reste racine simple, c'est-à-dire ne devient
pas égale à une autre. Les points où une racine devient infinie sont les
racines du coefficient de la plus haute puissance de~$u$ dans l'équation;
leur nombre est au plus égal à~$m' - m$, $m$~désignant le degré de l'équation
par rapport à~$u$ et $m'$~le degré par rapport à $z$~et~$u$. On obtient
les points où l'équation admet des racines finies égales entre elles en
éliminant~$u$ entre les deux équations
\[
f(z,u) = 0,\quad
\frac{\dd f}{\dd u} = 0;
\]
\DPPageSep{043.png}{35}
leur nombre est au plus égal à~$m'(m' - 1)$. Telles sont les deux sortes
de points \emph{singuliers} que nous rencontrerons dans l'étude des fonctions
algébriques.

\Paragraph{30.} \begin{Théorème}{IV}
Lorsque, par des déformations successives, on peut
amener la courbe~$A$ \(\Figref{17}\) qui va du point~$z_{0}$ au point~$Z$ à la courbe~$B$
qui unit les mêmes points, sans franchir aucun point pour lequel la racine
considérée devient infinie ou égale à une autre, ces deux courbes conduisent
en~$Z$ à la même valeur de la fonction.
\end{Théorème}

Supposons d'abord que les deux courbes $A$~et~$B$ enveloppent une aire
dans laquelle il n'y ait aucun point singulier. Soit~$M$ le plus petit module
de la différence des racines prises deux à deux pour un point quelconque~$z$
de cette aire. D'après le théorème précédent, on peut assigner
un rayon~$\rho$ tel, que si $z$~se déplace dans un cercle de rayon~$\rho$ ayant pour
centre un point quelconque de l'aire, chacune des racines éprouvera une
variation ayant un module moindre que~$\dfrac{M}{2}$. Imaginons que le centre du
cercle~$\rho$ décrive une courbe~$G$ intermédiaire entre $A$~et~$B$, l'enveloppe
de ce cercle se composera de deux courbes $C$~et~$C'$ situées de part et
d'autre de la courbe~$G$ (\Figref{18}). Cela posé, considérons une courbe~$G'$
\Figs{2in}{17}{2.5in}{18}
voisine de~$G$ et située entre les deux courbes $C$~et~$C'$; marquons sur
les deux courbes $G$~et~$G'$ deux systèmes de points correspondants
\[
\begin{array}{*{4}{l<{\quad}}}
z_{0},& z_{1}, & z_{2}, \ldots,& Z, \\
z_{0},& z'_{1},& z'_{2},\ldots,& Z,
\end{array}
\]
tels que l'aire $z_{0} z_{1} z'_{1} z_{0}$ soit comprise dans le cercle décrit du point~$z_{0}$
\DPPageSep{044.png}{36}
comme centre avec le rayon~$\rho$, que l'aire $z_{1}z_{2}z'_{2}z'_{1}z_{1}$ soit comprise
dans le cercle décrit du point~$z_{1}$ comme centre avec le même rayon~$\rho$, etc.
Il suffirait pour cela de prendre pour $z_{1}, z'_{1}$ les points où le premier
cercle coupe les courbes $G$~et~$G'$, pour $z_{2}, z'_{2}$ les points où le second
cercle coupe $G$~et~$G'$, etc. Nous partons de~$z_{0}$ avec la valeur initiale~$u_{0}$;
les deux chemins $z_{0}z_{1}, z_{0}z'_{1}z_{1}$ conduisent en~$z_{1}$ à des valeurs qui diffèrent
chacune de~$u_{0}$ d'une quantité moindre que~$\dfrac{M}{2}$, et qui, par conséquent,
diffèrent entre elles d'une quantité moindre que~$M$; la différence
entre deux racines au point~$z_{1}$ étant plus grande que~$M$, on en conclut
que ces deux valeurs sont rigoureusement égales; ainsi les deux chemins
$z_{0}z_{1}, z_{0}z'_{1}z_{1}$ conduisent en~$z_{1}$ à la même valeur~$u_{1}$.

Considérons maintenant les deux chemins $z_{0}z_{1}z_{2}, z_{0}z'_{1}z'_{2}z_{2}$; on peut
remplacer le second par $z_{0}z'_{1}z_{1} + z_{1}z'_{1}z'_{2}z_{2}$, en parcourant la traverse
$z_{1}z'_{1}$ deux fois dans des sens contraires; la première partie $z_{0}z'_{1}z_{1}$
donnant~$u_{1}$ comme~$z_{0}z_{1}$, ceci revient à partir du point~$z_{1}$ avec la valeur
initiale~$u_{1}$ et à décrire les deux chemins $z_{1}z_{2}, z_{1}z'_{1}z'_{2}z_{2}$; ces deux
chemins, étant compris dans le cercle de rayon~$\rho$ décrit du point~$z_{1}$
comme centre, conduisent en~$z_{2}$ à la même valeur~$u_{2}$, et ainsi de suite.
On en conclut que les deux lignes $G$~et~$G'$ conduisent en~$Z$ à la même
valeur~$U$. Par une série de lignes intermédiaires, on passera de la
courbe~$A$ à la courbe~$B$.

\Fig[1.5in]{19}

Supposons qu'entre les deux courbes $A$~et~$B$ il y ait un point singulier~$a$
(\Figref{19}), où l'équation admette une racine infinie ou une racine
\DPPageSep{045.png}{37}
multiple~$b$, mais telle\DPtypo{,}{} que, lorsque la courbe~$A$ en se déformant passe
par ce point, la fonction~$u$ conserve une valeur finie ou reste racine
simple, et par conséquent diffère de la racine multiple~$b$. Ce point~$a$
se comportera, dans la question actuelle, comme un point ordinaire;
en effet, les courbes $A$~et~$B$ peuvent être remplacées par les lignes
$z_{0}mnpZ, z_{0}mn'pZ$, formées de deux parties communes et des deux
moitiés d'un cercle très-petit ayant pour centre le point~$a$; sur ces deux
nouveaux chemins, on parcourt d'abord la partie~$z_{0}m$ avec la même
valeur initiale~$u_{0}$, ce qui conduit en~$m$ à la même valeur~$u_{1}$, qui, par hypothèse,
est finie ou diffère de la racine multiple~$b$ d'une quantité finie;
les deux demi-circonférences conduisent en~$p$ à la même valeur~$u_{2}$; car
si les valeurs obtenues étaient différentes, elles différeraient peu l'une
de l'autre et différeraient de~$b$ de quantités finies; mais, dans le voisinage
du point~$a$, les racines peu différentes l'une de l'autre sont celles
qui diffèrent très-peu de~$b$. Enfin, la dernière partie~$pZ$ conduira en~$Z$
à la même valeur de la fonction.

\Paragraph{31.} \begin{Théorème}{V}
Une fonction algébrique est holomorphe dans
toute partie du plan limitée par une courbe~$A$ que l'on peut réduire à un
point, sans franchir aucun point où la racine considérée devienne infinie
ou égale à une autre.
\end{Théorème}

Prenons sur la courbe un point~$Z$ (\Figref{20}) voisin du point~$z_{0}$; la
courbe~$z_{0}AZ$ peut être ramenée, par hypothèse, à la ligne infiniment
\Fig{20}
petite~$z_{0}Z$, sans franchir aucun point singulier où la racine considérée
devienne infinie ou égale à une autre; il en résulte que, si la variable~$z$
\DPPageSep{046.png}{38}
décrit la courbe~$z_{0}AZ$, la fonction, dont la valeur initiale est~$u_{0}$,
acquiert en~$Z$ la même valeur que si la variable avait décrit la ligne
infiniment petite~$z_{0}Z$; la courbe fermée~$A$ ramène donc en~$z_{0}$ la valeur
initiale~$u_{0}$. Supposons maintenant que la variable aille du point~$z_{0}$ à un
point quelconque~$z$ situé dans la partie du plan considérée par deux
chemins $z_{0}mz, z_{0}nz$ situés dans cette partie du plan; la courbe fermée
$z_{0}Az_{0}$ pouvant être réduite à la courbe fermée $z_{0}mznz_{0}$, sans franchir
aucun point singulier, celle-ci ramènera, comme la première, la valeur
initiale~$u_{0}$; on en conclut (\no{11}) que les deux chemins $z_{0}mz, z_{0}nz$
conduisent en~$z$ à la même valeur de la fonction. Ainsi la fonction~$u$ a
une valeur unique en chacun des points situés dans la partie du plan
limitée par la courbe~$A$; c'est une fonction monotrope dans cette partie
du plan.

La fonction étant continue, à un accroissement infiniment petit~$\Delta z$
de la variable correspond un accroissement infiniment petit~$\Delta u$ de la
fonction, et l'on~a
\[
(f'_{z}·\Delta z + f'_{u}·\Delta u)
  + \frac{1}{2} (f''_{z^{2}}·\Delta z^{2}
  + 2f''_{zu}·\Delta z \Delta u
  + f''_{u^{2}}·\Delta u^{2}) + \ldots = 0.
\]
Si l'on pose $\Delta u = v\Delta z$ et si l'on divise tous les termes par~$\Delta z$, cette
équation devient
\[
(f'_{z} + vf'_{u})
  + \frac{1}{2} \Delta z (f''_{z^{2}} + 2vf''_{zu} + v^{2}f''_{u^{2}}) + \ldots
  = 0.
\]
Puisque $u$~est racine simple de l'équation $f(z, u) = 0$, la quantité~$f'_{u}$ est
différente de zéro. Pour $\Delta z = 0$, l'équation précédente a une racine
simple finie $\lambda = -\dfrac{f'_{z}}{f'_{u}}$. D'après le théorème de la continuité, à une
valeur très-petite de~$\Delta z$ correspond une valeur de~$v$ très-voisine de~$\lambda$, et
une seule; on en conclut que le rapport $\dfrac{\Delta u}{\Delta z}$ tend vers une limite finie
et déterminée~$\lambda$, quand l'accroissement~$\Delta z$ attribué à la variable tend
vers zéro d'une manière quelconque, et par conséquent que la fonction
admet une dérivée. Il résulte de ce qui précède que, dans l'aire~$A$, la
fonction algébrique est continue, monotrope, et admet une dérivée;
c'est donc une fonction holomorphe dans cette étendue.
\DPPageSep{047.png}{39}


\Section{Loi de la permutation des racines autour des points critiques}

\Paragraph{32.} Supposons qu'au point~$a$ l'équation admette une racine~$b$
d'ordre~$n$; en un point~$z_{1}$, voisin de~$a$, elle aura $n$~racines voisines de~$b$.
Désignons ces racines par
\[
u_{1},\quad
u_{2},\quad
u_{3}, \ldots,\quad
u_{n}.
\]
Si la variable~$z$ part de~$z_{1}$, la fonction ayant la valeur initiale~$u_{1}$, et
décrit un petit cercle autour du point~$a$ dans le sens positif, la fonction
reprend sa valeur primitive~$u_{1}$, ou bien, comme sa variation ne peut
être que très-petite, elle se change en une autre des $n$~racines précédentes,
par exemple en~$u_{2}$. Dans le premier cas, la racine~$u_{1}$, se
reproduisant elle-même, est une fonction monotrope de~$z$ dans le voisinage
du point~$a$. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle une
seconde fois avec la valeur initiale~$u_{2}$ obtenue après le premier tour, il
est impossible que l'on retrouve~$u_{2}$, car le mouvement inverse ramènerait~$u_{1}$;
on arrivera donc à~$u_{1}$, ou à une nouvelle racine~$u_{3}$. Dans
le premier cas, les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$ se permutent quand la variable~$z$
tourne autour du point~$a$. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle
une troisième fois avec la valeur initiale~$u_{3}$ obtenue après le second
tour, il est impossible que l'on retrouve $u_{3}$~ou~$u_{2}$, car le mouvement
inverse ramènerait $u_{2}$~ou~$u_{1}$; on arrivera donc à~$u_{1}$ ou à une nouvelle
racine~$u_{4}$. Dans le premier cas, les trois racines $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ forment ce
qu'on appelle un \emph{système circulaire}, ce qui veut dire que, si l'on place
les trois quantités sur un cercle, chacune d'elles se change en la suivante,
quand $z$~tourne autour du point~$a$. Supposons qu'en continuant
de cette manière on arrive à la dernière racine~$u_{n}$; en décrivant le cercle
encore une fois, on reviendrait nécessairement à la première racine~$u_{1}$,
et les $n$~racines voisines de~$b$ formeraient un seul système circulaire.
Ainsi:

\begin{Théorème}{VI}
Lorsqu'au point~$a$ l'équation admet une racine~$b$
d'ordre~$n$, les $n$~racines voisines de~$b$ pour une valeur de~$z$ voisine de~$a$
forment un ou plusieurs systèmes circulaires.
\end{Théorème}
\DPPageSep{048.png}{40}


%[** TN: Size-dependent page break]
\newpage
\Section{Manière d'obtenir les systèmes circulaires}

\Paragraph{33.} Si l'on pose $z = a + z'$, $u = b + u'$, l'équation prend la forme
\[
\Tag{(1)}
f(a + z', b + u') = \sum A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta} = 0;
\]
le premier membre est une somme de termes contenant les deux variables
infiniment petites $z'$~et~$u'$ à des puissances entières, ou une seule
d'entre elles. Il y aura un terme au moins indépendant de~$u'$ et un
terme au moins indépendant de~$z'$, sans quoi le premier membre de
l'équation serait divisible par une puissance de~$u'$ ou par une puissance
de~$z'$. Parmi les termes indépendants de~$z'$, celui qui contient~$u'$ au
degré le moins élevé est du degré~$n$, puisque l'équation admet $n$~racines
égales à zéro pour $z' = 0$. Considérons d'abord le cas particulier où,
parmi les termes indépendants de~$u'$, il y en a un contenant~$z'$ à la
première puissance; en groupant les deux termes dont nous venons de
parler, on mettra l'équation sous la forme
\[
\Tag{(2)}
(Az' + Bu'^{n}) + \phi(z', u') = 0,
\]
tous les termes du polynôme $\phi(z', u')$ étant infiniment petits par rapport
à l'un ou à l'autre des deux premiers. Si l'on pose
\[
z' = z''^{n},\quad
u' = vz'',
\]
les deux premiers termes contiendront~$z''^{n}$ en facteur, et chacun des
termes suivants une puissance de~$z''$ supérieure à~$n$; on pourra donc
diviser par~$z''^{n}$ tous les termes de l'équation, qui deviendra
\[
\Tag{(3)}
(A + Bv^{n}) + z''\psi(z'', v) = 0,
\]
$\psi(z'', v)$~étant un polynôme entier en $z''$~et~$v$.

Pour $z'' = 0$, l'équation~(3) se réduit à l'équation binôme
\[
\Tag{(4)}
A + Bv^{n} = 0,\quad \text{ou}\quad
v^{n} = -\frac{A}{B};
\]
\DPPageSep{049.png}{41}
elle admet $n$~racines simples, finies et différentes de zéro. Désignons
par
\[
v_{1},\quad v_{2}, \ldots,\quad v_{n}
\]
ces racines, rangées dans un ordre tel, que leurs arguments forment
une progression arithmétique ayant pour raison~$\dfrac{2\pi}{n}$. D'après le théorème
de la continuité, pour une valeur très-petite de~$z''$, l'équation~(3)
admet $n$~racines simples respectivement voisines des précédentes, et
chacune d'elles est une fonction holomorphe de~$z''$ dans le voisinage
de $z'' = 0$; nous les représenterons par
\[
v_{1} + \epsilon_{1},\quad
v_{2} + \epsilon_{2}, \ldots,\quad
v_{n} + \epsilon_{n},
\]
$\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \ldots, \epsilon_{n}$ étant des quantités très-petites qui s'évanouissent avec~$z''$.
On obtient ainsi les $n$~racines de l'équation~(1) voisines de zéro
\[
u'_{1} = (v_{1} + \epsilon_{1}) z'^{\efrac{1}{n}},\quad
u'_{2} = (v_{2} + \epsilon_{2}) z'^{\efrac{1}{n}},\quad \ldots,
u'_{n} = (v_{n} + \epsilon_{n}) z'^{\efrac{1}{n}},
\]
en donnant à~$z'^{\efrac{1}{n}}$ l'une quelconque de ses $n$~valeurs.

Chacune de ces racines se compose de deux parties, une partie infiniment
petite de l'ordre~$\dfrac{1}{n}$ et une autre d'ordre supérieur. La loi de
permutation des valeurs approchées
\[
v_{1}z'^{\efrac{1}{n}},\quad
v_{2}z'^{\efrac{1}{n}}, \ldots,\quad
v_{n}z'^{\efrac{1}{n}}
\]
est évidente: lorsque $z$~décrit un petit cercle autour du point~$a$, l'argument
de~$z'^{\efrac{1}{n}}$ augmente de~$\dfrac{2\pi}{n}$, ce qui revient à remplacer $v_{1}$~par~$v_{2}$,
$v_{2}$~par~$v_{3}$,\ldots, $v_{n}$~par~$v_{1}$; les $n$~valeurs approchées forment donc un système
circulaire.

Les valeurs exactes jouissent de la même propriété. En effet, la valeur
approchée de la première racine devenant~$v_{2}z'^{\efrac{1}{n}}$, la valeur exacte prend
la forme $(v_{2} + \epsilon'_{1})z'^{\efrac{1}{n}}$; il est impossible qu'elle soit égale à une racine
autre que la seconde, car si l'on avait, par exemple,
\[
(v_{2} + \epsilon'_{1}) z'^{\efrac{1}{n}}
  = (v_{3} + \epsilon_{3}) z'^{\efrac{1}{n}},
\]
\DPPageSep{050.png}{42}
on en déduirait
\[
v_{2} - v_{3} = \epsilon_{3} - \epsilon'_{1},
\]
et la quantité infiniment petite $\epsilon_{3} - \epsilon'_{1}$ serait égale à la quantité finie
$v_{2} - v_{3}$; on a donc $\epsilon'_{1} = \epsilon_{2}$, et la racine~$u'_{1}$ se change en~$u'_{2}$. De même
$u'_{2}$~se change en~$u'_{3}$, $u'_{3}$~en~$u'_{4}$,\ldots, $u'_{n}$~en~$u'_{1}$.

Remarquons que la formule $u = vz'^{\efrac{1}{n}}$, dans laquelle $v$~désigne l'une
quelconque des racines de l'équation~(3), représente le système circulaire
des $n$~racines de l'équation~(2), quand on fait tourner la variable~$z$
autour du point~$a$.

\Paragraph{34.} Considérons maintenant le cas où, dans l'équation~(1), le premier
terme indépendant de~$u'$ contient~$z'$ à une puissance~$l$ supérieure à la
première. Nous établirons d'abord le théorème suivant:

\begin{Théorème}{VII}
Le groupe des $n$~racines voisines de zéro se décompose
en sous-groupes tels, que le rapport de chacune des racines d'un même
sous-groupe à une même puissance commensurable de~$z'$ ait une limite
déterminée, finie et différente de zéro.
\end{Théorème}

Pour démontrer ce théorème, nous suivrons la méthode ingénieuse
qui a été employée par M.~Puiseux dans son remarquable \textit{Mémoire sur
les fonctions algébriques} (\textit{Journal de Mathématiques pures et appliquées},
t. XV; 1850). Traçons dans un plan deux axes rectangulaires $O\alpha, O\beta$
\Fig{21}
(\Figref{21}), et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants
$\alpha$~et~$\beta$ dans les différents termes de l'équation
\[
\Tag{(1)}
\sum A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta} = 0.
\]
\DPPageSep{051.png}{43}
Aux termes indépendants de~$z'$ correspondent des points situés sur
l'axe~$O\alpha$; le premier d'entre eux a une abscisse égale à~$n$. Aux termes
indépendants de~$u'$ correspondent des points situés sur l'axe~$O\beta$; le
premier d'entre eux a une ordonnée égale à~$l$. Concevons une droite
mobile appliquée d'abord sur l'axe~$O\alpha$; faisons-la tourner autour du
point~$n$ de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs
autres points; faisons-la tourner ensuite autour du dernier de ces points,
toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs
autres points; en continuant de la sorte, la droite arrivera à une dernière
position où elle passera par le point~$l$, situé sur l'axe~$O\beta$. Nous
formerons ainsi une ligne brisée convexe allant du point~$n$ au point~$l$, et
telle que la droite que l'on obtient en prolongeant chacun de ses côtés
laisse au-dessus d'elle tous les autres points. Nous verrons que chacun
des côtés de cette ligne convexe donne un sous-groupe de racines jouissant
de la propriété énoncée.

Posons $u' = vz'^{\mu}$, $v$~étant une quantité finie qui ne s'annule pas
avec~$z'$; le degré du terme $A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta}$ par rapport à~$z'$ est~$\alpha\mu + \beta$. Nous
remarquons que la droite $y - \beta = -\mu(x - \alpha)$, menée par le point
$(\alpha, \beta)$ et ayant pour coefficient angulaire~$-\mu$, coupe l'axe~$O\beta$ en un
point dont l'ordonnée $\alpha\mu + \beta$ est égale au degré du terme; il en résulte
que les termes de même degré sont en ligne droite et que la droite
s'éloigne de l'origine parallèlement à elle-même, à mesure que le degré
du terme augmente.

Considérons d'abord le premier côté de la ligne convexe, celui qui
part du point ($\alpha = n$, $\beta = 0$); sur ce côté se trouvent plusieurs points
auxquels correspondent des termes de même degré
\[
A u'^{n} + \sum A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}}u'^{\alpha_{1}} z'{\beta_{1}},
\]
que nous supposerons ordonnés par rapport aux puissances décroissantes
de~$u'$; nous désignerons ici par $A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta}$ un terme quelconque
intermédiaire de ce premier groupe. Ces termes étant du même degré,
on~a
\[
n\mu = \alpha\mu + \beta = \alpha_{1}\mu + \beta_{1},
\]
d'où
\[
\mu = \frac{\beta}{n - \alpha} = \frac{\beta_{1}}{n - \alpha_{1}};
\]
\DPPageSep{052.png}{44}
ainsi l'exposant~$\mu$ est un nombre commensurable~$\dfrac{q}{p}$. Posons $z' = z''^{p}$,
d'où $u' = vz''^{q}$, les termes du premier groupe seront du degré
\[
nq = \alpha q + \beta p = \alpha_{1} q + \beta_{1} p
\]
par rapport à~$z''$ et les autres termes d'un degré plus élevé. On pourra
donc diviser par~$z''^{nq}$ tous les termes de l'équation~(1), qui deviendra
ainsi
\[
(Av^{n} + \sum A_{\alpha\beta} v^{\alpha}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}} v^{\alpha_{1}}) + z''\phi(v, z'') = 0
\]
ou
\[
\Tag{(5)}
v^{\alpha_{1}} (Av^{n - \alpha_{1}}
  + \sum A_{\alpha\beta} v^{\alpha - \alpha_{1}}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}}) + z''\phi(v, z'') = 0,
\]
$\phi(v, z'')$~étant un polynôme entier en~$v$ et~$z''$. L'équation
\[
\Tag{(6)}
Av^{n - \alpha_{1}}
  + \sum A_{\alpha\beta} v^{\alpha - \alpha_{1}}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}} = 0
\]
admettant $n - \alpha_{1}$ racines finies et différentes de zéro, on en conclut
que, pour une valeur très-petite de~$z''$, l'équation~(5) admet $n - \alpha_{1}$ racines
voisines respectivement des précédentes, ce qui donne pour l'équation~(1)
un premier sous-groupe de $n - \alpha_{1}$ racines de la forme $vz'^{\efrac{q}{p}}$,
et telles que le rapport de chacune d'elles à~$z'^{\efrac{q}{p}}$ tend vers une limite
finie et différente de zéro.

Considérons maintenant le second côté de la ligne convexe; il donne
une nouvelle manière de constituer un groupe de termes
\[
A_{\alpha_{1}\beta_{1}} u'^{\alpha_{1}} z'^{\beta_{1}}
  + \sum A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta}
  + A_{\alpha_{2}\beta_{2}} u'^{\alpha_{2}} z'^{\beta_{2}}
\]
d'un degré moindre que tous les autres. on~a
\[
\alpha_{1}\mu + \beta_{1} = \alpha\mu + \beta = \alpha_{2}\mu + \beta_{2},
\]
d'où
\[
\mu = \frac{\beta - \beta_{1}}{\alpha - \alpha_{1}}
    = \frac{\beta_{2} - \beta_{1}}{\alpha_{1} - \alpha_{2}};
\]
l'exposant~$\mu$ est encore un nombre commensurable~$\dfrac{q}{p}$, mais il a une
valeur plus grande que la précédente, puisque, à mesure que le côté
tourne dans le sens indiqué, la valeur de~$\mu$ augmente. On posera,
\DPPageSep{053.png}{45}
comme précédemment, $z' = z''^{p}$, d'où~$u' = vz''^{q}$; tous les termes de
l'équation seront divisibles par $z''^{\alpha_{1}q + \beta_{1}p}$, et l'équation se réduira à
\[
\Tag{(7)}
v^{\alpha_{2}} (A_{\alpha_{1}\beta_{1}} v^{\alpha_{1} - \alpha_{2}}
  + \sum A_{\alpha\beta} v^{\alpha - \alpha_{2}}
  + A_{\alpha_{2}\beta_{2}}) + z''\phi(v, z'') = 0.
\]
L'équation
\[
\Tag{(8)}
A_{\alpha_{1}\beta_{1}} v^{\alpha_{1} + \alpha_{2}}
  + \sum A_{\alpha\beta} v^{\alpha - \alpha_{2}}
  + A_{\alpha_{2}\beta_{2}} = 0
\]
admettant $\alpha_{1} - \alpha_{2}$ racines finies et différentes de zéro, on en conclut
que, pour une valeur très-petite de~$z''$, l'équation~(7) admet $\alpha_{1} - \alpha_{2}$ racines
voisines respectivement des précédentes, ce qui donne pour
l'équation~(1) un second sous-groupe de $\alpha_{1} - \alpha_{2}$ racines de la forme~$vz'^{\efrac{q}{p}}$,
et telles, que le rapport de chacune d'elles à~$z'^{\efrac{q}{p}}$ tend vers une limite
finie et différente de zéro. On continuera de cette manière jusqu'au
dernier côté qui fournira un sous-groupe de $\alpha_{h} - 0$ racines.

Puisque
\[
(n - \alpha_{1}) + (\alpha_{1} - \alpha_{2}) + \ldots + (\alpha_{h} - 0) = n,
\]
on a ainsi les $n$~racines de l'équation~(1) voisines de zéro.

\Paragraph{35.} \begin{Théorème}{VIII}
Chaque sous-groupe se décompose en systèmes
circulaires.
\end{Théorème}

Considérons, par exemple, le premier sous-groupe; on~a
\[
\mu = \frac{\beta}{n - \alpha}
    = \frac{\beta_{1}}{n - \alpha_{1}}
    = \frac{q}{p};
\]
la fraction $\dfrac{q}{p}$ étant supposée irréductible, les dénominateurs $n - \alpha$,
$n - \alpha_{1}$ sont des multiples de~$p$ que nous désignerons par $kp$~et~$k_{1}p$;
l'équation~(6) devient
\[
\Tag{(9)}
Av^{k_{1} p} + \sum A_{\alpha\beta} v^{(k_{1} - k)p}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}} = 0;
\]
si l'on pose $v^{p} = \lambda$, cette équation se réduit à
\[
\Tag{(10)}
A\lambda^{k_{1}} + \sum A_{\alpha\beta} \lambda^{k_{1} - k}
  + A_{\alpha_{1}\beta_{1}} = 0.
\]
\DPPageSep{054.png}{46}
A une racine simple de l'équation~(10) correspondent $p$~racines simples
de l'équation~(9), fournies par l'équation binôme $v^{p} = \lambda$; ces racines
\[
v_{1},\quad
v_{2},\ldots,\quad
v_{p}
\]
ont même module, et nous les supposerons rangées dans un ordre tel
que leurs arguments soient en progression arithmétique ayant pour
raison~$\dfrac{2q\pi}{p}$. L'équation~(5) admet $p$~racines simples respectivement voisines
des précédentes
\[
v_{1} + \epsilon_{1},\quad
v_{2} + \epsilon_{2},\ldots,\quad
v_{p} + \epsilon_{p},
\]
et chacune d'elles est une fonction holomorphe de~$z''$ dans le voisinage
de $z'' = 0$. L'équation~(1) admet ainsi les $p$~racines
\[
u'_{1} = (v_{1} + \epsilon_{1}) z'^{\efrac{q}{p}},\quad
u'_{2} = (v_{2} + \epsilon_{2}) z'^{\efrac{q}{p}},\ldots,\quad
u'_{p} = (v_{p} + \epsilon_{p}) z'^{\efrac{q}{p}}.
\]
Les valeurs approchées
\[
v_{1} z'^{\efrac{q}{p}},\quad
v_{2} z'^{\efrac{q}{p}},\ldots,\quad
v_{p} z'^{\efrac{q}{p}}
\]
forment un système circulaire; car, lorsque la variable~$z$ tourne autour
du point~$a$, l'argument de~$z'^{\efrac{q}{p}}$ augmente de~$\dfrac{2q\pi}{p}$; ceci revient à remplacer
$v_{1}$~par~$v_{2}$, $v_{2}$~par~$v_{3}$,\ldots, $v_{p}$~par~$v_{1}$. On verra, comme précédemment
(\no{33}), que les valeurs exactes jouissent de la même propriété. Ce système
circulaire de $p$~racines de l'équation~(1) peut être représenté par la
formule $u' = v z'^{\efrac{q}{p}}$, $v$~étant l'une quelconque de celles des racines de
l'équation~(5) qui, pour $z' = 0$, se réduisent à une racine de l'équation
binôme $v^{p} = \lambda$, et étant une fonction holomorphe de~$z''$.

Ainsi chacune des racines simples de l'équation~(10) donne un système
circulaire de $p$~racines.

\Paragraph{36.} Supposons maintenant que l'équation~(10) ait une racine multiple~$\lambda$
d'ordre~$n'$; chacune des racines $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{p}$ de l'équation binôme
$v^{p} = \lambda$ sera une racine d'ordre~$n'$ de l'équation~(9); pour une
\DPPageSep{055.png}{47}
valeur très-petite de~$z''$, l'équation~(5) admet $n'$~racines voisines de~$v_{1}$,
$n'$~voisines de~$v_{2}$,\ldots, $n'$~voisines de~$v_{p}$. On en conclut que l'équation~(1)
admet $n'$~racines ayant la même valeur approchée $v_{1} z'^{\efrac{q}{p}}$, $n'$~autres ayant
la même valeur approchée $v_{2} z'^{\efrac{q}{p}}$, etc. Les valeurs approchées de ces
$pn'$~racines sont représentées par la formule $v_{1} z'^{\efrac{q}{p}}$, la variable~$z'$ tournant
autour du point~$a$; il en résulte que leurs valeurs exactes pourront
être représentées par la formule $u' = (v_{1} + v') z'^{\efrac{q}{p}}$, dans laquelle
$v'$~est une quantité infiniment petite. Ceci revient à remplacer~$v$ par
$v_{1} + v'$ dans l'équation~(5), qui prend alors la forme
\[
\Tag{(11)}
\sum A'_{\alpha\beta} v'^{\alpha} z''^{\beta} = 0.
\]
On lui appliquera la même méthode qu'à l'équation~(1); les termes indépendants
de~$z''$ proviennent des termes indépendants de~$z''$ dans l'équation~(5);
$v_{1}$~étant racine d'ordre~$n'$ de la parenthèse, le premier
terme sera~$A'v'^{n'}$; pour une valeur très-petite de~$z''$, l'équation~(11) admettra
donc $n'$~racines très-petites. Si les équations analogues à l'équation~(10)
n'admettent que des racines simples, ces $n'$~racines se disposeront
en systèmes circulaires de $p'$~racines, représentés chacun par une
formule telle que $v' = w z''^{\efrac{q'}{p'}}$\DPtypo{}{,} $w$~étant une fonction holomorphe de
$z''' = z''^{\efrac{1}{p'}} = z'^{\efrac{1}{pp'}}$ ne s'annulant pas pour $z''' = 0$.

L'équation~(1) admettra donc la solution
\[
u' = \left(v_{1} + w z'^{\efrac{q'}{pp'}}\right) z'^{\efrac{q}{p}}
   = v_{1} z'^{\efrac{q}{p}} + w z'^{\efrac{q_{1}}{pp'}},
\]
$q_{1}$~désignant le nombre entier $q' + qp'$ premier avec~$p'$. Il est aisé de
voir que cette formule donne un système circulaire de $pp'$~racines; il
suffit pour cela de considérer la valeur approchée
\[
v_{1} z'^{\efrac{q}{p}} + w_{1} z'^{\efrac{q}{pp'}},
\]
$w_{1}$~étant la valeur de~$w$ pour $z''' = 0$. Faisons tourner la variable~$z$
autour du point~$a$; après $p$~tours, le premier terme se reproduit, mais
\DPPageSep{056.png}{48}
l'argument du second augmente de~$\dfrac{2q_{1}\pi}{p'}$; ainsi les $p$~premières racines
diffèrent par le premier terme; ensuite, de $p$~en~$p$, elles diffèrent par
le second terme. Après $pp'$~tours, la fonction~$w$ reprend sa valeur primitive,
et l'on retrouve les mêmes racines dans le même ordre. On peut
représenter ce système circulaire de~$pp'$ racines par la formule
\[
u' = v z'^{\efrac{qp'}{pp'}},
\]
$v$~étant une fonction holomorphe de $z''' = z'^{\efrac{1}{pp'}}$ ne s'annulant pas pour
$z''' = 0$.

On continuera l'application de cette méthode jusqu'à ce qu'on ait des
expressions approchées distinctes pour les $n$~valeurs infiniment petites
de~$u'$. Cela arrivera nécessairement. Nous avons vu, en effet, que ces
$n$~racines se partagent généralement en plusieurs sous-groupes qui
correspondent aux différents côtés d'une ligne brisée convexe; les
$k_{1}p$~racines d'un sous-groupe se ramènent à l'équation~(9) et, plus simplement,
à l'équation~(10) du degré~$k_{1}$. Une racine de cette équation est
d'un ordre~$n'$ de multiplicité inférieur ou égal à~$k_{1}$ et par conséquent
à~$k_{1}p$, et par suite inférieur à~$n$; ainsi le nombre~$n'$ des racines infiniment
petites de l'équation~(11), à laquelle on arrive après la première
opération, est inférieur au nombre~$n$ des racines infiniment petites de
l'équation~(1). Après la seconde opération, le nombre~$n'$ sera remplacé
par un nombre~$n''$ encore plus petit; en continuant de cette manière,
on arrivera à une équation n'ayant qu'une racine infiniment petite, et la
séparation des racines en systèmes circulaires sera effectuée.

Pour que la séparation ne s'effectuât pas, il faudrait que, à partir
d'un certain rang, toutes les équations successives auxquelles on est
conduit eussent le même nombre de racines infiniment petites. Afin de
simplifier les notations, supposons que ceci ait lieu dès la première
opération; pour que $n' = n$, il faut que $k_{1} = n$, et, par suite, $p = 1$,
$\alpha_{1} = 0$, $\beta_{1} = l = nq$; la ligne convexe se réduit à une seule droite;
l'équation~(10), qui est alors identique à l'équation~(9) et du degré~$n$,
devant admettre une racine d'ordre~$n$, est de la forme $A(v - v_{0})^{n} = 0$.
On a posé $u' = vz'^{q}$; l'équation~(5) devient
\[
A(v - v_{0})^{n} + z'\phi(v, z') = 0.
\]
\DPPageSep{057.png}{49}
En posant ensuite $v = v_{0} + v'$, on arrive à l'équation~(11), dans laquelle
le premier terme indépendant de~$z'$ est~$Av'^{n}$. Si cette équation présente
les mêmes caractères, on effectuera la seconde opération en posant
$v' = wz'^{q'}$, $w = w_{0} + w'$, et ainsi de suite. De cette manière, les
$n$~racines infiniment petites auraient la même valeur approchée
\[
u' = v_{0} z'^{q} + w_{0} z'^{q + q'} + \ldots;
\]
elles ne différeraient donc entre elles que d'une quantité infiniment
petite d'un ordre aussi élevé qu'on voudrait; ce qui est impossible, si
l'équation proposée est irréductible et par conséquent n'admet pas de
racines égales pour toutes les valeurs de~$z$.

Concevons, en effet, que l'on ait formé l'équation aux différences
des racines de l'équation proposée deux à deux; cette équation admet
$n(n - 1)$ racines infiniment petites dans le voisinage du point $z = a$.
D'après le théorème~VII, à l'aide d'une ligne brisée convexe, on peut
partager ce groupe de racines en sous-groupes de racines d'un même
ordre fini et commensurable par rapport à~$z'$; l'ordre le plus élevé correspond
au dernier côté de la ligne brisée, celui qui contient le premier
terme en $z'$~seul. Ainsi la différence de deux racines est une quantité
infiniment petite dont l'ordre ne peut dépasser une limite déterminée.


\Section{Pôles d'une fonction algébrique}

\Paragraph{37.} Soit
\[
\Tag{(12)}
Z_{0} u^{m} + Z_{1} u^{m - 1} + \ldots + Z_{m} = 0
\]
l'équation proposée, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes
de~$u$. Quand la variable~$z$ tend vers un point~$a$, racine du polynôme~$Z_{0}$,
une ou plusieurs valeurs de~$u$ deviennent infinies; pour avoir ces
valeurs, on posera $z = a + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$, et l'on cherchera les racines
infiniment petites de l'équation
\[
Z_{0} + Z_{1} u' + \ldots + Z_{m} u'^{m} = 0,
\]
qui est de la forme
\[
\Tag{(13)}
\sum A_{\alpha\beta} u'^{\alpha} z'^{\beta} = 0.
\]
\DPPageSep{058.png}{50}

Quand, pour $z' = 0$, l'équation~(13) n'a qu'une racine nulle, elle
admet dans le voisinage du point~$a$ une racine très-petite, qui est une
fonction holomorphe de~$z$; le point~$a$ est, dans ce cas, un pôle. Mais si,
pour $z' = 0$, la racine $u' = 0$ est multiple et d'ordre~$n$, le point~$a$ sera
un point critique. On appliquera à l'équation~(13) la méthode indiquée
précédemment; les $n$~racines infiniment petites formeront un ou plusieurs
systèmes circulaires, dont chacun sera représenté par la formule
$u' = vz'^{\efrac{q}{p}}$, $v$~étant une fonction holomorphe de $z'' = z'^{\efrac{1}{p}}$ qui ne s'annule
pas avec~$z''$; chacun d'eux donne un système de $p$~valeurs infiniment
grandes de~$u$, représentées par la formule $u = \dfrac{1}{v} z'^{-\efrac{q}{p}} = wz'^{-\efrac{q}{p}}$, $w$~étant
une fonction holomorphe de~$z''$, ne s'annulant pas avec~$z''$. Le nombre
des pôles et des points critiques où des racines deviennent infinies est
au plus égal au degré de~$Z_{0}$, c'est-à-dire à~$m' - m$.

Enfin, pour étudier les racines quand la variable~$z$ est très-grande,
on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, et l'on donne à~$z'$ des valeurs très-petites; l'équation
proposée se transforme en une équation algébrique entre $z'$~et~$u$; on lui
appliquera la méthode précédente; le point $z' = 0$ dans le plan sur
lequel on figure la nouvelle variable~$z'$, et par conséquent le point~$O'$
sur la sphère, sera un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique.

Nous avons appelé, d'une manière générale, \emph{points singuliers} les valeurs
de la variable où la fonction cesse d'être holomorphe. Dans l'étude
des fonctions algébriques, pour toutes les valeurs finies ou infinies de la
variable~$z$, en d'autres termes sur toute la sphère, nous n'avons rencontré
que deux sortes de points singuliers: \Primo~des pôles, c'est-à-dire des points
où une branche de la fonction~$u$ devient infinie, de manière toutefois que
la branche correspondante de la fonction~$\dfrac{1}{u}$ reste holomorphe dans le
voisinage de ce point; \Secundo~des points critiques tels que, dans le voisinage
de chacun d'eux, une branche de l'une des fonctions $u$~ou~$\dfrac{1}{u}$ acquière un
nombre fini de valeurs différentes qui se permutent les unes dans les
autres quand la variable tourne autour de ce point, et qui deviennent
égales en ce point. Nous appellerons dorénavant \emph{points critiques algébriques}
les points critiques qui présentent ce caractère, et nous comprendrons
\DPPageSep{059.png}{51}
sous la dénomination de \emph{points singuliers algébriques} les pôles
et les points critiques algébriques. Il résulte de la discussion précédente
que le nombre des points singuliers d'une fonction algébrique sur toute
la sphère est fini. Nous rencontrerons plus tard, dans l'étude des fonctions
transcendantes, des points singuliers d'une autre espèce.


\Section{Système de lacets fondamentaux}

\Paragraph{38.} Nous pouvons maintenant compléter la définition des fonctions
algébriques. Soit $f(z, u) = 0$ une équation irréductible dont le premier
membre est un polynôme entier en $z$~et~$u$, du degré~$m$ par rapport
à~$u$; concevons que la variable~$z$ parte d'un point fixe~$z_{0}$, qui ne soit
ni un point critique, ni un pôle, et adoptons pour valeur initiale
de la fonction une racine correspondante~$u_{0}$. Marquons dans le plan les
points critiques $a_{1}, a_{2}, a_{3},\ldots$. Imaginons des courbes fermées qui ne
se coupent pas et qui, partant du point~$z_{0}$, enveloppent chacune un
point critique. Pour préciser, nous formerons ces courbes, auxquelles
nous donnerons le nom de \emph{lacets}, de lignes droites allant de l'origine~$z_{0}$ à
des points très-voisins des points critiques, et de cercles infiniment petits
décrits autour de ces points. Ainsi, quand la variable~$z$ parcourt le premier
lacet, elle va d'abord de~$z_{0}$ (\Figref{22}) à un point~$z_{1}$ très-voisin du
\Fig[3in]{22}
point critique~$a_{1}$; elle tourne ensuite autour du point~$a_{1}$ puis revient
en~$z_{0}$ par le même chemin~$z_{1}z_{0}$. Il est évident que tous les chemins qui
vont de l'origine~$z_{0}$ à un point quelconque~$z$ du plan se ramènent à un
chemin déterminé, par exemple à la droite~$z_{0}z$, ou à ce chemin précédé
d'un ou de plusieurs lacets, un même lacet pouvant d'ailleurs être
\DPPageSep{060.png}{52}
parcouru plusieurs fois. Ainsi, sur la figure, le chemin~$z_{0}gz$ se ramène
au lacet~$(a_{1})$ décrit dans le sens positif et suivi de la droite~$z_{0}z$; le
chemin~$z_{0}hz$ se ramène aux deux lacets $(a_{3})$~et~$(a_{2})$ décrits dans le
sens négatif et suivis de la droite~$z_{0}z$. Si la droite~$z_{0}z$ passait par un
point singulier, on éviterait ce point à l'aide d'un demi-cercle très-petit
d'un côté ou de l'autre.

Cela posé, concevons que la variable~$z$ parte du point~$z_{0}$, la fonction
ayant la valeur initiale~$u_{0}$, et décrive la droite~$z_{0}z_{1}$, la fonction acquerra
en~$z_{1}$ une certaine valeur. Supposons que cette racine appartienne à un
système circulaire de $p$~racines se permutant autour du point critique~$a$;
quand la variable aura décrit le petit cercle autour du point~$a$ dans le
sens positif, on obtiendra en~$z_{1}$ une autre racine; si l'on revient ensuite
à~$z_{0}$ par la droite~$z_{1}z_{0}$, la fonction aura en~$z_{0}$ une valeur~$u_{1}$ différente
de la première. Si l'on décrit une seconde fois le même lacet avec la
valeur~$u_{1}$, on retrouvera d'abord en~$z_{1}$ la racine précédente; un second
tour autour du point critique~$a$ dans le sens positif amènera une nouvelle
racine, et, en revenant au point~$z_{0}$, on aura une troisième valeur~$u_{2}$,
et ainsi de suite. Quand le lacet aura été parcouru $p$~fois successivement
dans le sens positif, on reviendra à la valeur initiale~$u_{0}$. De
cette manière, on peut dire que le lacet~$(a)$ unit les $p$~racines $u_{0}, u_{1},
u_{2},\ldots, u_{p - 1}$. Pour plus de clarté, nous regarderons ce lacet~$(a)$, relatif
à un point critique d'ordre~$p$, comme la réunion de $p$~lacets binaires
unissant chacun deux racines, et nous les désignerons par
\[
(a)^{1}_{0},\quad
(a)^{2}_{1},\ldots,\quad
(a)^{p - 1}_{p - 2},\quad
(a)^{0}_{p - 1},
\]
en les supposant tous décrits dans le sens positif. Les mêmes lacets,
décrits en sens négatif, seront
\[
(-a)^{p - 1}_{0},\quad
(-a)^{p - 2}_{p - 1}, \ldots,\quad
(-a)^{1}_{2},\quad
(-a)^{0}_{1}.
\]
Nous les avons écrits en ordre inverse, tels qu'ils se présentent quand
on les parcourt successivement. Si $p = 2$, on aura les deux lacets binaires
positifs $(a)^{1}_{0}, (a)^{0}_{1}$, conduisant, le premier de la racine~$u_{0}$ à la racine~$u_{1}$,
le second de~$u_{1}$ à~$u_{0}$. Le premier lacet négatif conduit aussi de~$u_{1}$ à~$u_{0}$,
le second de~$u_{0}$ à~$u_{1}$.

Un lacet relatif à un autre point critique unira d'autres racines entre
\DPPageSep{061.png}{53}
elles, ou bien unira l'une des racines précédentes à d'autres racines, et
ainsi de suite. Nous démontrerons plus tard (\no{135}) que, si l'équation
proposée $f(z, u) = 0$ est irréductible, on peut, en partant du point~$z_{0}$
avec la valeur initiale~$u_{0}$ et décrivant des lacets convenables, revenir à
ce point avec l'une quelconque des $m$~racines de l'équation $f(z_{0}, u) = 0$.
Si ensuite on décrit la droite~$z_{0}z$ avec chacune de ces $m$~valeurs, la
fonction acquerra $m$~valeurs différentes au point~$z$, savoir les $m$~racines
de l'équation $f(z, u) = 0$, dans laquelle l'inconnue est~$u$. De cette manière,
l'équation algébrique définit une fonction polytrope qui a $m$~valeurs
en chaque point.

Chacune des branches de la fonction, admettant une dérivée $u' = -\dfrac{f'_{z}}{f'_{u}}$,
est une fonction holomorphe de~$z$, dans toute partie du plan ne comprenant
aucun des pôles ou des points critiques où cette branche devient
infinie ou se permute avec d'autres.

\Paragraph{39.} Soient
\[
u_{0},\quad
u_{1},\quad
u_{2},\ldots,\quad
u_{m - 1}
\]
les $m$~racines de l'équation pour $z = z_{0}$; nous appellerons \emph{lacets fondamentaux}
(\bsc{Clebsch} et \bsc{Gordan}, \textit{Théorie des fonctions abéliennes}) un système
de $m - 1$ lacets binaires permettant de passer de la racine~$u_{0}$ à
toutes les autres. Voici comment on procédera pour former ce système:
après avoir décomposé les lacets complexes en lacets simples, comme
nous l'avons expliqué, on prendra un lacet~$(a_{1})$ unissant la racine~$u_{0}$
à une autre que l'on appellera~$u_{1}$, et l'on exclura tous les autres lacets
qui unissent $u_{0}$~et~$u_{1}$; parmi ceux qui restent, on prendra un lacet~$(a_{2})$
unissant l'une des racines $u_{0}$~et~$u_{1}$ à une autre que l'on appellera~$u_{2}$, et
l'on exclura tous les autres lacets qui unissent l'une des racines $u_{0}$~et~$u_{1}$
à~$u_{2}$; parmi ceux qui restent, on prendra un lacet~$(a_{3})$ unissant l'une des
racines $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ à une autre que l'on appellera~$u_{3}$, et l'on exclura tous
les autres lacets qui unissent l'une des racines $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ à~$u_{3}$, et ainsi
de suite; enfin, on prendra un dernier lacet~$(a_{m - 1})$ unissant l'une des
racines $u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{m - 2}$ à l'autre racine~$u_{m - 1}$. On obtient ainsi un système
de $m - 1$~lacets binaires unissant la racine~$u_{0}$ à toutes les autres;
ce sera un système de lacets fondamentaux.

Parmi les chemins formés de lacets fondamentaux et qui conduisent
\DPPageSep{062.png}{54}
de la racine~$u_{0}$ à la racine~$u_{n}$, il en est un dont les lacets successifs donnent
au point~$z_{0}$ des racines dont les indices vont en croissant; supposons,
en effet, que l'on veuille revenir de la racine~$u_{n}$ à la racine~$u_{0}$ par
des indices décroissants; d'après la manière même dont on a choisi les
lacets fondamentaux, la racine~$u_{n}$ n'est unie qu'à une seule racine d'indice
inférieur par un lacet fondamental; soit $u_{h}$~cette racine; le dernier
lacet sera~$(a_{n})^{n}_{h}$; de même, la racine~$u_{h}$ n'est unie qu'à une seule racine
d'indice inférieur par un lacet fondamental; soit $u_{g}$~cette racine; l'avant-dernier
lacet sera~$(a_{h})^{h}_{g}$; on continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on
arrive à la racine~$u_{0}$. On obtient ainsi un chemin formé de lacets fondamentaux
et ramenant de la racine~$u_{n}$ à la racine~$u_{0}$ par une série d'indices
décroissants; ce chemin décrit dans l'autre sens conduit de~$u_{0}$ à~$u_{n}$
par des indices croissants; nous le désignerons par~$(V)^{n}_{0}$.

Tous les autres chemins formés de lacets fondamentaux et conduisant
de~$u_{0}$ à~$u_{n}$ peuvent se ramener à ce chemin particulier par des suppressions
de lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des
sens contraires. En effet, supposons que dans un autre chemin l'indice
passe par un maximum~$p$, c'est-à-dire par une valeur plus grande que
la précédente et la suivante; puisque la racine~$u_{p}$ n'est unie qu'à une
seule racine~$u_{k}$ d'indice inférieur par un lacet fondamental, on arrivera
à la racine~$u_{p}$ par le lacet~$(a_{p})^{p}_{k}$; pour que l'indice diminue ensuite, il
est nécessaire que l'on parcoure le même lacet en sens inverse; la
ligne fermée $(a_{p})^{p}_{k} + (a_{p})^{k}_{p}$, composée du même lacet parcouru deux
fois successivement dans des sens contraires, se réduit évidemment à
un point et peut être supprimée. Si, après cette suppression, l'indice
passe encore par un maximum~$p'$, on aura la partie $(a_{p'})^{p'}_{k'} + (a_{p'})^{k'}_{p'}$,
composée du même lacet parcouru deux fois successivement dans des
sens contraires et que l'on pourra supprimer. Après plusieurs suppressions
de cette sorte, on arrivera au chemin~$(V)^{n}_{0}$, qui conduit de la
racine~$u_{0}$ à la racine~$u_{n}$ par une suite d'indices croissants. Il en résulte
que le chemin~$(V)^{n}_{0}$ est celui qui conduit de la racine~$u_{0}$ à la racine~$u_{n}$
par le moindre nombre de lacets fondamentaux.

Considérons les deux chemins $(V)^{n}_{0}$~et~$(V)^{p}_{0}$, formés comme nous venons
de le dire et conduisant de la racine initiale~$u_{0}$ aux deux racines
$u_{n}$~et~$u_{p}$. Soit $g$~le plus grand indice commun aux deux séries d'indices
croissants; d'après ce que nous avons dit, tous les indices précédents
\DPPageSep{063.png}{55}
sont les mêmes; les deux chemins commencent donc par une partie
commune~$(V)^{g}_{0}$, puis ils se séparent et continuent, l'un suivant~$(V)^{n}_{g}$,
l'autre suivant~$(V)^{p}_{g}$, ces deux derniers chemins n'ayant plus aucun
lacet commun. Pour aller de la racine~$u_{n}$ à la racine~$u_{p}$ par le moindre
nombre de lacets fondamentaux, il faut rétrograder sur le chemin~$(V)^{n}_{0}$
de~$u_{n}$ à~$u_{g}$, puis s'avancer sur le chemin~$(V)^{p}_{0}$ de~$u_{g}$ à~$u_{p}$. Nous représenterons
ce chemin par $(V)^{g}_{n} + (V)^{p}_{g}$; la série des indices est formée
d'une partie décroissante, suivie d'une partie croissante. Tous les chemins
formés de lacets fondamentaux et conduisant de la racine~$u_{n}$ à la
racine~$u_{p}$ peuvent être ramenés à celui-là par des suppressions de
lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires;
car, lorsque l'indice passe par un maximum~$p$, le chemin contient
une partie $(a_{p})^{p}_{k} + (a_{p})^{k}_{p}$ que l'on peut supprimer; après plusieurs
suppressions pareilles, on obtiendra une série ne présentant plus de
maximum et formée par conséquent d'une partie décroissante suivie
d'une partie croissante, l'une des parties pouvant être nulle; on arrivera
ainsi au chemin $(V)^{g}_{n} + (V)^{p}_{g}$, considérée plus haut. D'après cela, en
faisant abstraction des lacets parcourus chacun deux fois dans des sens
contraires, on peut dire qu'il n'y a qu'un chemin formé de lacets fondamentaux
et conduisant d'une racine à une autre.

Remarquons que les $p$~lacets binaires qui se rapportent à un système
circulaire de racines ne peuvent appartenir à un même système de
lacets fondamentaux; car en désignant ces lacets décrits dans le sens
positif par
\[
(a)^{\alpha_{1}}_{\alpha_{0}},\quad
(a)^{\alpha_{2}}_{\alpha_{1}},\ldots,\quad
(a)^{\alpha_{p - 1}}_{\alpha_{p - 2}},\quad
(a)^{\alpha_{0}}_{\alpha_{p - 1}},
\]
on voit que les $p - 1$ premiers lacets unissent la racine~$u_{\alpha_{0}}$ aux autres
racines du système circulaire; le dernier lacet, unissant la dernière
racine à la première, doit être exclu. Si l'on exclut ainsi l'un des
lacets de chaque système circulaire, le nombre des lacets binaires effectifs
dans toute l'étendue du plan est~$\sum(p - 1)$; ce nombre est égal ou
supérieur à~$m - 1$.

%[** TN: Moved up figure to position before page break]
\Fig{23}
Quand on représente la variation de~$z$ par le mouvement d'un point
sur la sphère, si le point~$O'$ est lui-même un point critique, on peut
joindre aux lacets précédents le lacet qui sur la sphère part du point~$z_{0}$
et enveloppe le point~$O'$. Mais les nouveaux lacets binaires introduits de
\DPPageSep{064.png}{56}
la sorte se ramènent à ceux qui correspondent aux valeurs finies de~$z$.
Nous pouvons, en effet, concevoir le lacet~$O'$ comme formé d'un arc
de grand cercle et d'une circonférence très-petite décrite autour du
point~$O'$; à ce lacet correspond dans le plan un \emph{circuit} formé d'une
droite~$z_{0}l$ (\Figref{23}), d'une circonférence d'un très-grand rayon ayant
pour centre le point~$O$, et de la droite~$lz_{0}$ parcourue en sens inverse; ce
circuit enveloppe tous les points critiques du plan, et il se ramène à la
suite des lacets $(a_{1}), (a_{2}), (a_{3}), \ldots$, parcourus dans un ordre déterminé.
On peut donc remplacer chaque lacet binaire~$(O')^{\beta}_{\alpha}$ par la suite des lacets
binaires $(a_{1}), (a_{2}), (a_{3}), \ldots$, qui entrent d'une manière effective dans
le circuit correspondant, c'est-à-dire dans le circuit parcouru avec la
racine~$u_{\alpha}$ prise comme valeur initiale; seulement nous rappelons que
le circuit est décrit dans le sens positif, lorsque le lacet~$(O')$ est décrit
dans le sens négatif pour un observateur placé en~$O'$ (\no{17}).
\DPPageSep{065.png}{57}


\Chapitre{III}{Exemples de Fonctions Algébriques}

\Paragraph{40.} \Exemple{I} Considérons l'équation
\[
u^{3} - 3u + 2z = 0.
\]
Il y a deux points critiques $a$~et~$b$ situés sur l'axe~$Ox$ (\Figref{24}), l'un
$z = 1$, pour lequel l'équation admet la racine double $u = 1$ et la racine
simple $u = -2$; l'autre $z = -1$, pour lequel l'équation admet la racine
double $u = -1$ et la racine simple $u = 2$. Les trois racines de
\Fig{24}
l'équation sont réelles pour toute valeur réelle de~$z$ telle que l'on ait
$z^{2} < 1$, c'est-à-dire en tous les points de la droite finie~$ab$. Pour voir
comment se comportent autour du point critique~$a$ les deux racines
voisines de l'unité, nous poserons
\[
z = 1 + z',\quad
u = 1 + u';
\]
l'équation devient
\[
(2z' + 3u'^{2}) + u'^{3} = 0;
\]
les deux valeurs infiniment petites de~$u'$, dont les valeurs approchées
sont
\[
u' = ±\sqrt{-\frac{2}{3}}\, z'^{\efrac{1}{2}},
\]
se permutent quand $z$~tourne autour du point critique~$a$~(33); en~$z_{1}$,
les deux valeurs de~$u$ étant réelles et voisines de l'unité, sont positives.
\DPPageSep{066.png}{58}
Quand on change le signe de~$z$, les trois valeurs de~$u$ changent de signe;
il en résulte que deux racines se permutent aussi autour du point~$b$,
et que ces deux racines ont en~$z_{2}$ des valeurs réelles et négatives, voisines
de~$-1$.

Nous prendrons comme origine des lacets le point $z = 0$. Pour $z = 0$,
les trois racines de l'équation sont $u_{0} = 0$, $u_{1} = \sqrt{3}$, $u_{2} = -\sqrt{3}$. Lorsque
la variable~$z$ décrit la droite~$Oz_{1}$, la fonction ayant la valeur initiale
$u_{0} = 0$, l'équation
\[
-u(3 - u^{2}) + 2z = 0
\]
montre que $u$~conserve une valeur positive et par conséquent acquiert
en~$z_{1}$ une valeur voisine de~$1$; quand la variable tourne ensuite autour
du point~$a$, cette racine se change en une autre racine positive, voisine
de~$1$; la variable revenant de~$z_{1}$ à~$O$, cette nouvelle racine, différente de
la première, reste positive et par conséquent acquiert au point~$O$ la valeur
$u_{1} = \sqrt{3}$. Ainsi le lacet~$(a)$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$. De même
le lacet~$(b)$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{2}$. Les deux lacets binaires $(a)^{1}_{0},
(b)^{2}_{0}$ forment un système de lacets fondamentaux.

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation devient
\[
(z' + 2u'^{3}) - 3z'u'^{2} = 0;
\]
pour les valeurs infiniment petites de~$z'$, les trois valeurs de~$u'$ sont
infiniment petites et ont pour valeurs approchées
\[
u' = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\, z'^{\efrac{1}{3}};
\]
elles se permutent circulairement, quand la variable tourne autour du
point $z' = 0$. Ainsi, sur la sphère, le point~$O'$ est un nouveau point critique;
le lacet, qui part de l'origine~$O$ et enveloppe le point~$O'$, unit les
trois racines $u_{0}, u_{1}, u_{2}$. Pour voir dans quel ordre s'effectue la permutation,
considérons le circuit qui sur le plan correspond au lacet~$(O')$ et
supposons que le rayon du circuit ait un argument compris entre $\pi$~et~$2\pi$;
le circuit, décrit dans le sens positif, peut être remplacé par la
suite des deux lacets $(a)$~et~$(b)$. Si l'on part du point~$O$ avec la valeur
initiale~$u_{0}$, le lacet~$(a)$ changeant $u_{0}$~en~$u_{1}$ et le lacet~$(b)$ étant neutre
\DPPageSep{067.png}{59}
par rapport à cette racine, on revient en~$O$ avec la racine~$u_{1}$. En décrivant
le circuit une seconde fois, comme le lacet~$(a)$ change $u_{1}$~en~$u_{0}$ et
ensuite le lacet~$(b')$ $u_{0}$~en~$u_{2}$, on revient en~$O$ avec la racine~$u_{2}$; en décrivant
le circuit une troisième fois, on ramène la valeur initiale~$u_{0}$.
Nous avons ainsi les trois lacets binaires $(O')^{1}_{0}, (O')^{2}_{1}, (O')^{0}_{2}$, décrits dans
le sens qui correspond au mouvement positif sur le circuit. On pourrait
former un système de lacets fondamentaux avec les deux lacets $(O')^{1}_{0},
(O')^{2}_{1}$, ou avec les deux lacets $(a)^{1}_{0}, (O')^{2}_{1}$.

\Paragraph{41.} \Exemple{II} Considérons l'équation
\[
u^{3} - 3u^{2} + z^{6} = 0.
\]

Pour $z = 0$, l'équation admet la racine simple $u = 3$ et deux racines
égales à zéro. Afin de voir comment se comportent ces deux dernières
racines dans le voisinage du point $z = 0$, on posera $u = vz^{3}$; l'équation
devient
\[
3v^{2} - 1 - v^{3}z^{3} = 0;
\]
les deux valeurs finies de~$v$ sont monotropes dans le voisinage du point
$z = 0$ et ont pour valeurs approchées
\[
v = ±\frac{1}{\sqrt{3}};
\]
les deux valeurs infiniment petites de~$u$ sont donc monotropes dans ce
voisinage et ont pour valeurs approchées
\[
u =  \frac{1}{\sqrt{3}}\, z^{3},\quad
u = -\frac{1}{\sqrt{3}}\, z^{3}.
\]
Ainsi le point $z = 0$ est neutre, relativement aux deux racines qui deviennent
égales en ce point. Nous désignerons les trois racines par $u_{0},
u_{1}, u_{2}$, et nous les distinguerons par leurs valeurs approchées
\[
u_{0} = 3,\quad
u_{1} =  \frac{z^{3}}{\sqrt{3}},\quad
u_{2} = -\frac{z^{3}}{\sqrt{3}}.
\]

Pour chacune des six valeurs de~$z$ satisfaisant à l'équation $z^{6} = 4$,
l'équation admet une racine simple $u = -1$ et une racine double $u = 2$.
\DPPageSep{068.png}{60}
Si l'on appelle~$z_{1}$ l'une de ces valeurs de~$z$, et si l'on pose $z = z_{1} + z'$,
$u = 2 + u'$, l'équation devient
\[
3u'^{2} + 6z_{1}^{5}z' + \ldots = 0;
\]
les deux valeurs infiniment petites de~$u'$, dont les valeurs approchées
sont
\[
u' = i \sqrt{2} z_{1}^{\Erratum{\efrac{5}{}}{\efrac{5}{2}}} z'^{\efrac{1}{2}},
\]
se permutent, quand on tourne autour du point critique. Il y a donc
six points critiques $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ (\Figref{25}), situés aux sommets
\Fig{25}
d'un hexagone régulier dont le centre est l'origine. Imaginons ces
points joints à l'origine par des lacets formés chacun d'un rayon et
d'un petit cercle. Sur chaque rayon, les trois racines sont réelles, deux
positives, une négative; chacune d'elles d'ailleurs conserve son signe;
sur les rayons $Oa_{0}, Oa_{2}, Oa_{4}$, la racine~$u_{1}$ est positive, la racine~$u_{2}$ négative;
sur les rayons $Oa_{1}, Oa_{3}, Oa_{5}$, au contraire, la racine~$u_{1}$ est négative,
la racine~$u_{2}$ positive. Quand on arrive près du point critique, les
deux racines positives acquièrent des valeurs voisines de~$2$ et se permutent
l'une dans l'autre. On en conclut que chacun des lacets $(a_{0}),
(a_{2}), (a_{4})$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$, et que chacun des lacets $(a_{1}),
(a_{3}), (a_{5})$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{2}$. Les deux lacets $(a_{0})^{1}_{0}, (a_{1})^{2}_{0}$
forment un système de lacets fondamentaux.

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation devient
\[
u'^{3} + z'^{6} - 3z'^{6}u' = 0.
\]
\DPPageSep{069.png}{61}
Pour $z' = 0$, les trois valeurs de~$u'$ sont égales à zéro. En posant
$u' = vz'^{2}$, on~a
\[
v^{3} + 1 - 3z'^{2} v = 0;
\]
chacune des valeurs de~$v$ est holomorphe dans le voisinage du point
$z' = 0$. Ainsi, sur la sphère, le point~$O'$ est pôle pour chacune des valeurs
de~$u$.

\Paragraph{42.} \Exemple{III} L'équation
\[
u^{3} - 3u + 2z^{2} (2 - z^{2}) = 0
\]
admet des racines égales pour les valeurs de~$z$ qui satisfont à l'équation
\[
(z^{2} - 1)^{2} (z^{4} - 2 z^{2} - 1) = 0.
\]
Pour $z = ±1$, la racine double est $u = 1$; si l'on pose $z = ±1 + z'$,
$u = 1 + u'$, l'équation devient
\[
(3u'^{2} - 8z'^{2}) + u'^{3} \mp 8z'^{3} - 2z'^{4} = 0;
\]
les deux valeurs infiniment petites de~$u'$ restent monotropes dans le
voisinage du point $z = 1$ ou $z = -1$ et ont pour valeurs approchées
\[
u' =  2\sqrt{\frac{2}{3}}\, z',\quad
u' = -2\sqrt{\frac{2}{3}}\, z';
\]
ainsi les deux points $z = ±1$, que nous marquons $c$~et~$c'$ (\Figref{26}),
sont neutres. Il y a quatre points critiques donnés par l'équation
$z^{4} - 2z^{2} - 1 = 0$; deux de ces points $a$~et~$a'$ sont situés sur l'axe des~$x$
%[** TN: Roots placed with numerical accuracy; loops smaller than in original]
\Fig[3.25in]{26}
et correspondent aux solutions $z = ±\sqrt{1 + \sqrt{2}}$; les deux autres $b$~et~$b'$
sont situés sur l'axe des~$y$ et correspondent aux solutions
\DPPageSep{070.png}{62}
$z = ±i\sqrt{\sqrt{2} - 1}$. En ces quatre points, la racine double est $u = -1$,
la racine simple $u = 2$.

Dans le voisinage de l'origine, les valeurs approchées des racines sont
\[
u_{0} = \frac{4}{3} z^{2},\quad
u_{1} = -\sqrt{3},\quad
u_{2} = +\sqrt{3}.
\]
Sur la droite finie~$bb'$, les trois racines sont réelles, une positive, deux
négatives; les deux racines négatives deviennent égales et se permutent
autour du point~$b$ et autour du point~$b'$; on en conclut que chacun des
deux lacets $(b)$~et~$(b')$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$. Sur la droite
finie~$aa'$, les trois racines sont encore réelles; entre les points $d$~et~$d'$,
qui correspondent à $z = ±\sqrt{2}$, deux racines sont positives et une négative;
sur $da$~et~$d'a'$, au contraire, deux racines sont négatives et une
positive; ceci provient de ce qu'en $d$~ou~$d'$ l'une des deux racines positives
$u_{0}$~et~$u_{2}$ s'annule et change de signe. Pour voir laquelle éprouve
ce changement, considérons la dérivée
\[
\frac{du}{dz} = \frac{8z(1 - z^{2})}{3(1 - u^{2})},
\]
et remarquons que $u$~n'acquiert la valeur~$+1$ que pour $z = ±1$. Quand
la variable~$z$ décrit la droite~$Oc$, la racine positive~$u_{0}$ reste comprise
entre zéro et~$1$; sa dérivée étant positive, elle croît de zéro à~$1$; ayant
dans le voisinage du point~$c$ la valeur approchée $u_{0} = 1 + 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\, (z - 1)$,
elle continue à croître et devient plus grande que~$1$; la dérivée reste
ainsi positive, et la racine~$u_{0}$ croît indéfiniment au delà du point~$c$. On
en conclut que c'est la racine~$u_{2}$ qui change de signe au point~$d$; on
peut d'ailleurs le voir directement; en effet, quand la variable~$z$ décrit
la droite~$Oc$, la racine~$u_{2}$ reste comprise entre $\sqrt{3}$~et~$1$; sa dérivée étant
négative, elle décroît de $\sqrt{3}$~à~$1$; ayant dans le voisinage du point~$c$ la
valeur approchée $u_{2} = 1 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\, (z - 1)$, elle continue à décroître et
devient plus petite que~$1$; la dérivée reste ainsi négative, et la racine~$u_{2}$
décroît de~$1$ à zéro, et de zéro à~$-1$ quand $z$~va de~$c$ en~$d$, et de~$d$ en~$a$.
La racine négative~$u_{1}$ décroît de~$-\sqrt{3}$ à~$-2$ quand $z$~décrit~$Oc$, puis
\DPPageSep{071.png}{63}
croît de~$-2$ à~$-1$ quand $z$~décrit~$ca$. Au point~$a$ les deux racines négatives
$u_{1}$~et~$u_{2}$ deviennent égales et se permutent; au delà elles sont
imaginaires. Il résulte de ce qui précède que chacun des lacets $(a)$~et~$(a')$
unit les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$. Les deux lacets $(b)_{0}^{1}, (a)_{1}^{2}$ forment
un système de lacets fondamentaux.

Sur la sphère, le point~$O'$ est un point critique autour duquel se
permutent les trois racines. Si le lacet~$(O')$ passe entre les points $b'$~et~$a$,
et est décrit dans le sens qui correspond au mouvement positif sur le
circuit, il est l'assemblage des trois lacets binaires $(O')_{0}^{2}, (O')_{2}^{1}, (O')_{1}^{0}$.

\Paragraph{43.} \Exemple{IV} L'équation
\[
u^{3} - 3u + 2z^{3}(2 - z^{3}) = 0
\]
admet des racines égales pour les valeurs de~$z$ qui vérifient l'équation
\[
(z^{3} - 1)^{2} (z^{3} - 1 - \sqrt{2}) (z^{3} - 1 + \sqrt{2}) = 0.
\]
Les points $c_{0}, c_{1}, c_{2}$ (\Figref{27}) qui correspondent à l'équation $z^{3} - 1 = 0$
sont neutres, parce que les deux racines qui deviennent égales restent
%[** TN: Roots placed with numerical accuracy; loops smaller than in original]
\Fig[2.75in]{27}
monotropes autour de ces points. A l'équation $z^{3} = 1 + \sqrt{2}$ correspondent
trois points critiques $a_{0}, a_{1}, a_{2}$, situés aux sommets d'un triangle
équilatéral; à l'équation $z^{3} = -(\sqrt{2} - 1)$, trois autres points critiques
$b_{0}, b_{1}, b_{2}$, situés aux sommets d'un second triangle équilatéral.
\DPPageSep{072.png}{64}

Pour $z = 0$, on a $u_{0} = \dfrac{4}{3} z^{3}$, $u_{1} = -\sqrt{3}$, $u_{2} = \sqrt{3}$. Sur la droite~$Ob_{0}$,
les trois racines sont réelles, une positive, deux négatives; ce sont les
deux racines négatives qui deviennent égales et se permutent autour
du point~$b_{0}$; ainsi le lacet~$(b_{0})$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$. Les
lacets $(b_{1})$~et~$(b_{2})$ unissent ces deux mêmes racines. Sur les droites $Oa_{0},
Oa_{1}, Oa_{2}$, les trois racines sont aussi réelles. Marquons les points $d_{0},
d_{1}, d_{2}$ qui correspondent à $z^{3} = 2$. Sur~$Od_{0}$, deux racines sont positives,
une négative; sur~$d_{0}a_{0}$, une positive, deux négatives. On verra, comme
dans l'exemple précédent, que c'est la racine~$u_{2}$ qui change de signe
au point~$d_{0}$; on en conclut que le lacet~$(a_{0})$ unit les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$.
Les lacets $(a_{1}), (a_{2})$ unissent ces deux mêmes racines. Les deux
lacets $(b_{0})^{1}_{0}, (a_{0})^{2}_{1}$ forment un système de lacets fondamentaux.

Sur la sphère, le point~$O'$ est pôle pour chacune des racines.

\Paragraph{44.} \Exemple{V} Considérons l'équation
\[
u^{3} + 3z^{2}u^{2} - (z^{2} - 1)^{2} - 4z^{6} = 0.
\]
La dérivée du premier membre par rapport à~$u$ est $3u(u + 2z^{2})$; elle
s'annule pour $u = -2z^{2}$ et $u = 0$. La première solution donne
\Fig{28}
$(z^{2} - 1)^{2} = 0$; mais les points $d$~et~$d'$ (\Figref{28}), qui correspondent à
$z = ±1$, sont neutres, parce que, autour de chacun d'eux, les racines
restent monotropes.
\DPPageSep{073.png}{65}

Pour $u = 0$, on a $(z^{2} - 1)^{2} + 4z^{6} = 0$, d'où
\[
z = ±i,\quad
z = ±\frac{\sqrt{7} ± i}{4};
\]
il en résulte six points critiques autour de chacun desquels deux racines
se permutent: deux, $c$~et~$c'$, sont situés sur l'axe des~$y$; les quatre
autres, $a, a', b, b'$, symétriques deux à deux par rapport à l'origine,
aux sommets d'un rectangle.

Pour $z = 0$, l'équation proposée se réduit à $u^{3} - 1 = 0$, et admet
les trois racines $u_{0} = 1, u_{1} = j, u_{2} = j^{2}$, $j$~désignant l'une des racines
imaginaires de l'équation $j^{3} - 1 = 0$. Sur la droite finie~$cc'$, l'équation
a une racine réelle~$u_{0}$ et deux racines imaginaires conjuguées $u_{1}$~et~$u_{2}$;
ce sont celles-ci qui deviennent égales en $c$~et~$c'$, et se permutent autour
de ces points; ainsi chacun des lacets $(c), (c')$ unit les deux
racines $u_{1}$~et~$u_{2}$. Le lacet~$(a')$ unit les mêmes racines que~$(a)$, le
lacet~$(b')$ les mêmes que~$(b)$. La fonction algébrique devant acquérir
au point $z = 0$ les trois valeurs $u_{0}, u_{1}, u_{2}$, il est nécessaire que l'un au
moins des deux lacets $(a), (b)$ unisse la racine~$u_{0}$ à l'une des deux
racines $u_{1}$~et~$u_{2}$. Nous remarquons d'ailleurs que si, sur le lacet~$(a)$,
on a $z = x + yi$, on a $z = x - yi$ sur le lacet~$(b)$, et par conséquent
les trois valeurs de~$u$ sur le lacet~$(b)$ sont respectivement conjuguées
de celles que l'on obtient sur le lacet~$(a)$; on en conclut que chacun
d'eux unit la racine~$u_{0}$ à l'une des racines $u_{1}$~et~$u_{2}$. Si le lacet~$(a)$ unit
$u_{0}$~et~$u_{1}$, le lacet~$(b)$ unira $u_{0}$~et~$u_{2}$. On formera un système de lacets
fondamentaux en prenant soit $(a)^{1}_{0}$~et~$(b)^{2}_{0}$, soit $(a)^{1}_{0}$~et~$(c)^{2}_{1}$, soit $(b)^{2}_{0}$~et~$(c)^{2}_{1}$.

Le point~$O'$, sur la sphère, est pôle pour chacune des racines.

\Paragraph{45.} \Exemple{VI} Soit l'équation
\[
\Tag{(1)}
u^{3} - 3zu + z^{3} = 0.
\]
Les points critiques sont donnés par l'équation $z^{3}(z^{3} - 4) = 0$, qui se
décompose en deux, l'une $z = 0$, l'autre $z^{3} - 4 = 0$.

Pour $z = 0$, les trois racines sont nulles. La méthode géométrique
du \no{34} montre qu'il y a deux manières de former le groupe des
\DPPageSep{074.png}{66}
termes principaux dans l'équation proposée (\Figref{29}). Dans le premier
mode, la partie principale étant $u^{3} - 3zu$, $u$~est du degré~$\frac{1}{2}$. Si l'on
pose $z = z'^{2}$, $u = vz'$, l'équation devient
\[
v(v^{2} - 3) + z'^{3} = 0;
\]
on obtient ainsi deux racines ayant pour valeurs approchées $±\sqrt{3} z^{\efrac{1}{2}}$,
et qui se permutent quand la variable~$z$ tourne autour du point~$O$. Dans
\Fig{29}
le second mode, la partie principale étant $-3zu + z^{3}$, $u$~est du degré~$2$.
Si l'on pose $u = vz^{2}$, l'équation devient
\[
(-3v + 1) + v^{3}z^{3} = 0,
\]
ce qui donne une racine ayant pour valeur approchée~$\dfrac{1}{3} z^{2}$ et monotrope
dans le voisinage du point~$O$.

L'autre équation $z^{3} - 4 = 0$ admet les racines
\[
2^{\efrac{2}{3}},\quad
2^{\efrac{2}{3}}\, e^{\efrac{2\pi i}{3}},\quad
2^{\efrac{2}{3}}\, e^{\efrac{4\pi i}{3}},
\]
auxquelles correspondent les sommets $a, b, c$ (\Figref{30}) d'un triangle
équilatéral; autour de chacun de ces points se permutent deux racines
de l'équation proposée.

Pour former les lacets, nous ferons partir la variable d'un point~$z_{0}$,
situé à une très-petite distance du point~$O$ sur l'axe~$Ox$; en ce point,
les trois racines se distingueront par leurs valeurs approchées
\[
u_{0} = \frac{1}{3} z^{2},\quad
u_{1} =  3^{\efrac{1}{2}}\, z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{2} = -3^{\efrac{1}{2}}\, z^{\efrac{1}{2}}.
\]
\DPPageSep{075.png}{67}
Le lacet~$(a)$ est formé, comme à l'ordinaire, d'une droite et d'un petit
cercle; le lacet~$(b)$, d'un arc~$z_{0}z_{1}$ égal à un tiers de circonférence,
d'une droite partant du point~$z_{1}$ et d'un petit cercle; le lacet~$(c)$, d'un
arc~$z_{0}z_{1}z_{2}$ égal à deux tiers de circonférence, d'une droite partant du
point~$z_{2}$ et d'un petit cercle; enfin le lacet~$(O)$, d'un cercle~$z_{0}z_{1}z_{2}z_{0}$.
Les lacets se succèdent dans l'ordre $(a), (b), (c), (O)$.

\Fig[2.25in]{30}

Sur la droite~$Oa$, les trois racines de l'équation proposée sont réelles,
deux positives, une négative; ce sont les deux racines positives qui se
permutent autour du point~$a$; ainsi le lacet~$(a)$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$.

Quand la variable~$z$ décrit l'arc~$z_{0}z_{1}$, les trois racines deviennent
\[
u_{0} = \frac{1}{3} z_{0}^{2}\, e^{\efrac{4\pi}{3}},\quad
u_{1} =  3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{\pi i}{3}}
      = -3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{4\pi i}{3}},\quad
u_{2} = -3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{\pi i}{3}}
      =  3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{4\pi i}{3}}.
\]
Sur le rayon~$Ob$, on a $z = xe^{\efrac{2\pi i}{3}}$; si l'on pose $u = u'e^{\efrac{4\pi i}{3}}$, l'équation
devient $u'^{3} - 3xu' + x^{3} = 0$. Ainsi, quand on passe du rayon~$Oa$ au
rayon~$Ob$, les trois racines sont multipliées par $e^{\efrac{4\pi i}{3}}$; les deux racines
positives se permutant autour du point~$(a)$, ce sont les deux racines $u_{0}$~et~$u_{2}$
qui se permutent autour du point~$b$, et par conséquent le lacet~$(b)$
unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{2}$.

Quand la variable~$z$ décrit l'arc~$z_{0}z_{1}z_{2}$, les trois racines deviennent
\[
u_{0} = \frac{1}{3} z_{0}^{2}\, e^{\efrac{8\pi i}{3}}
      = \frac{1}{3} z_{0}^{2}\, e^{\efrac{2\pi i}{3}},\quad
u_{1} =  3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{2\pi i}{3}},\quad
u_{2} = -3^{\efrac{1}{2}} z_{0}^{\efrac{1}{2}}\, e^{\efrac{2\pi i}{3}}.
\]
\DPPageSep{076.png}{68}
Quand on passe du rayon~$Oa$ au rayon~$Oc$, les racines sont multipliées
par~$e^{\efrac{2\pi i}{3}}$; ainsi le lacet~$(c)$ unit les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$.

D'ailleurs le lacet~$(O)$ unit les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$. On a ainsi les
quatre lacets $(a)^{1}_{0}, (b)^{2}_{0}, (c)^{1}_{0}, (O)^{2}_{1}$. Sur la sphère, le point~$O'$ est pôle
par rapport à chacune des racines. Le lacet~$(O')$ ou le circuit correspondant,
parcouru avec l'une quelconque des racines prise comme
valeur initiale, doit ramener la même racine, ce qu'il est facile de
vérifier.

\Paragraph{46.} \Exemple{VII} Soit l'équation
\[
\Tag{(1)}
u^{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{2}}\, zu + z^{3} + 1 = 0.
\]

On obtient les points critiques en résolvant l'équation
\[
\Tag{(2)}
z^{6} + 1 = 0,
\]
d'où
\[
z = \cos\frac{(2h + 1)\pi}{6} + i \sin\frac{(2h + 1)\pi}{6};
\]
ces points, au nombre de six, sont les sommets d'un hexagone régulier
\Fig{31}
ayant son côté égal à l'unité, et disposé comme l'indique la \DPchg{figure~31}{\Figref{31}}.
En chacun des sommets, l'équation~(1) admet une racine double et une
\DPPageSep{077.png}{69}
racine simple. La valeur de~$z$ relative à l'un des sommets et la racine
double correspondante n'annulent pas la dérivée partielle~$\DPtypo{\dfrac{df}{dz}}{\dfrac{\dd f}{\dd z}}$; on
en conclut que les deux valeurs de~$u$ voisines l'une de l'autre se permutent
lorsque $z$~décrit une petite courbe fermée autour de ce point.
A l'origine, les trois racines ont les valeurs
\[
u_{0} = -1,\quad
u_{1} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2},\quad
u_{2} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Imaginons que le point~$z$ s'avance, en suivant une ligne droite, de
l'origine vers un des sommets, puis décrive autour de ce point une
petite courbe fermée; les racines varient d'une manière continue en
partant de leurs valeurs initiales; dans le voisinage du sommet,
deux racines ont une différence très-petite et se permutent lorsque le
point~$z$ décrit la courbe qui entoure ce sommet. Cherchons quelles
sont les racines qui se permutent autour de chacun des points critiques.

Les racines de l'équation~(1) sont données par la formule
\[
\Tag{(3)}
u = A + \frac{z}{\sqrt[3]{2}}\, A
\]
dans laquelle $A$~désigne l'une quelconque des valeurs du radical
cubique
\[
\Tag{(4)}
A = \sqrt[3]{-\frac{1 + z^{3}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + z^{6}}}.
\]
Le long du rayon sur lequel marche~$z$, on~a
\[
z = r \left[ \cos(2h + 1) \frac{\pi}{6}
         + i \sin(2h + 1) \frac{\pi}{6} \right],
\]
et par conséquent
\[
z^{6} = -r^{6} \quad\text{et}\quad
z^{3} = ±ir^{3}.
\]
\DPPageSep{078.png}{70}
On prendra le signe~$+$ pour les valeurs $0, 2, 4$ de~$h$, c'est-à-dire lorsque
le point~$z$ s'avance sur l'un des rayons $Oa_{0}, Oa_{2}, Oa_{4}$, et le signe~$-$ si le
point~$z$ s'avance sur les rayons $Oa_{1}, Oa_{3}, Oa_{5}$ qui correspondent aux valeurs
$1, 3, 5$ de~$h$. Puisque le nombre~$r$ varie de zéro à l'unité, on peut
poser $r^{3} = \sin\phi$ et faire varier~$\phi$ de~$0$ à~$\dfrac{\pi}{2}$.

Considérons d'abord le cas où $h$~a l'une des valeurs $0, 2, 4$; l'expression
de~$A$ devient
\begin{align*}
A &= \sqrt[3]{-\frac{1 + i \sin\phi}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^{2}\phi}}
   = - \sqrt[3]{\cos \frac{\phi}{2}}
       \sqrt[3]{\cos \frac{\phi}{2} + i \sin \frac{\phi}{2}} \\
  &= - \sqrt[3]{\cos \frac{\phi}{2}}
       \left[ \cos \left( \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right)
          + i \sin \left( \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right) \right];
\end{align*}
il faudra attribuer à~$k$ successivement les trois valeurs $0, 1, 2$. On a en
même temps
\[
\frac{z}{\sqrt[3]{2}A}
  = - \sqrt[3]{\sin \frac{\phi}{2}}
     \left\{\cos\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} - \frac{\phi}{6} - \frac{2k\pi}{3}\right]
         + i\sin\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} - \frac{\phi}{6} - \frac{2k\pi}{3}\right]\right\}.
\]
Remarquons que, quelle que soit celle des valeurs $0, 2, 4$ que l'on attribue
à~$h$, si l'on fait~$\phi$ égal à zéro, les racines $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ correspondent
à $k = 0, k = 1, k = 2$. Faisons varier~$\phi$ de zéro à~$\dfrac{\pi}{2}$; pour $\phi = \dfrac{\pi}{2}$, les
valeurs de~$u$ sont données par la formule
\begin{multline*}
-\frac{u}{\sqrt[3]{\cos \frac{\pi}{4}}}
    = \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right)
  + i \sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) \\
    + \cos\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} - \frac{2k\pi}{3}\right]
  + i \sin\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} - \frac{2k\pi}{3}\right].
\end{multline*}
Dans cette formule, il faut remplacer $h$~par l'un des nombres $0, 2, 4$,
puis $k$~par $0, 1, 2$. Les arguments des valeurs correspondantes des
deux termes du second membre sont renfermés dans le tableau
\DPPageSep{079.png}{71}
suivant:
\begin{align*}
h &= 0 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &\dfrac{\pi}{12},  &\dfrac{\pi}{12}, \\
  k = 1, &\dfrac{9\pi}{12}, &\dfrac{17\pi}{12}, \\
  k = 2, &\dfrac{17\pi}{12},&\dfrac{9\pi}{12}.
\end{array}
\right.\displaybreak[1] \\
h &= 2 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &\dfrac{\pi}{12},   &\dfrac{9\pi}{12}, \\
  k = 1, &\dfrac{9\pi}{12},  &\dfrac{\pi}{12}, \\
  k = 2, &\dfrac{17\pi}{12}, &\dfrac{17\pi}{12}.
\end{array}
\right.\displaybreak[1] \\
h &= 4 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &\dfrac{\pi}{12},   &\dfrac{17\pi}{12}, \\
  k = 1, &\dfrac{9\pi}{12},  &\dfrac{9\pi}{12}, \\
  k = 2, &\dfrac{17\pi}{12}, &\dfrac{\pi}{12}.
\end{array}
\right.
\end{align*}
On conclut de ce tableau que le lacet~$(a_{0})$ unit les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$,
le lacet~$(a_{2})$ les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$, le lacet~$(a_{4})$ les deux racines
$u_{0}$~et~$u_{2}$.

Considérons maintenant le cas où l'on suppose que $h$~a l'une des valeurs
$1, 3, 5$. On a alors
\[
z^{3} = - ir^{3},
\]
puis
\begin{align*}
\llap{$A$} &= - \sqrt[3]{\cos \frac{\phi}{2}}
  \left[\cos\left( \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right)
    - i \sin\left( \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right)\right], \\
%
\llap{$\dfrac{z}{\sqrt[3]{2} A}$}
  &= - \sqrt[3]{\sin \frac{\phi}{2}}
    \left\{\cos\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} + \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right]
        + i\sin\left[(2h + 1)\frac{\pi}{6} + \frac{\phi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right]\right\}.
\end{align*}
Il faut observer que pour $\phi = 0$ les racines $u_{0}, u_{2}, u_{1}$ correspondent à
$k = 0, k = 1, k = 2$. Les valeurs de~$u$ à l'un des sommets $a_{1}, a_{3}, a_{5}$
\DPPageSep{080.png}{72}
sont données par la formule
\begin{multline*}
-\frac{u}{\sqrt[3]{\cos \dfrac{\pi}{4}}}
    = \cos \left(-\frac{\pi}{12} - \frac{2k \pi}{3}\right)
  + i \sin \left(-\frac{\pi}{12} - \frac{2k \pi}{3}\right) \\
    + \cos \left[(2h + 1) \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right]
  + i \sin \left[(2h + 1) \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right],
\end{multline*}
dans laquelle on doit remplacer~$h$ successivement par l'un des nombres
$1, 3, 5$, puis $k$~par l'un des nombres $0, 1, 2$. Les arguments des deux
termes du second membre ont des valeurs comprises dans le tableau
suivant:
\begin{align*}
h &= 1 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &-\dfrac{\pi}{12},      &\Neg\dfrac{7\pi}{12}, \\
  k = 1, &\Neg\dfrac{15\pi}{12}, &\Neg\dfrac{15\pi}{12}, \\
  k = 2, &\Neg\dfrac{7\pi}{12},  &-\dfrac{\pi}{12}.
\end{array}
\right.\displaybreak[1] \\
h &= 3 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &-\dfrac{\pi}{12},      &\Neg\dfrac{15\pi}{12}, \\
  k = 1, &\Neg\dfrac{15\pi}{12}, &-\dfrac{\pi}{12}, \\
  k = 2, &\Neg\dfrac{7\pi}{12},  &\Neg\dfrac{7\pi}{12}.
\end{array}
\right.\displaybreak[1] \\
h &= 5 \left\{
\begin{array}{l<{\quad}c<{\quad}c}
  k = 0, &-\dfrac{\pi}{12},      &-\dfrac{\pi}{12}, \\
  k = 1, &\Neg\dfrac{15\pi}{12}, &\Neg\dfrac{7\pi}{12}, \\
  k = 2, &\Neg\dfrac{7\pi}{12},  &\Neg\dfrac{15\pi}{12}.
\end{array}
\right.
\end{align*}
On en conclut que les lacets $(a_{1}), (a_{3}), (a_{5})$ unissent respectivement
les racines $u_{0}$~et~$u_{1}$, $u_{0}$~et~$u_{2}$, $u_{1}$~et~$u_{2}$.

Le point~$O'$, sur la sphère, est pôle pour chacune des racines.

\Paragraph{47.} \Exemple{VIII} Considérons l'équation
\[
u^{5} - (1 - z^{2}) u^{4} - \frac{4^{4}}{5^{5}} z^{2} (1 - z^{2})^{4} = 0.
\]
\DPPageSep{081.png}{73}
La dérivée partielle du premier membre par rapport à~$u$ étant égale à
$5u^{3}\left[u - \dfrac{4}{5} (1 - z^{2})\right]$, l'équation admet des racines égales lorsqu'on a,
soit $u = 0$, et par suite $z = 0$ ou $z = ±1$, soit $u = \dfrac{4}{5} (1 - z^{2})$, et par
suite $z = ±1$; ce dernier cas rentre dans le précédent. Pour $z = 0$,
l'équation a une racine simple $u_{0} = 1$ et quatre racines égales à zéro;
les valeurs approchées de ces quatre racines sont
\[
u_{1} =  \alpha z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{2} = -\alpha i z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{3} = -\alpha z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{4} =  \alpha i z^{\efrac{1}{2}},
\]
la quantité~$\alpha$ vérifiant l'équation $\alpha^{4} = -\dfrac{4^{4}}{5^{5}}$; les deux racines $u_{1}$~et~$u_{3}$
se permutent autour du point~$O$, de même $u_{2}$~et~$u_{4}$, ce qui donne deux
systèmes circulaires. Pour $z = ±1$, l'équation admet cinq racines égales
à zéro; si l'on pose $z = 1 + z'$, on~a
\[
u^{5} - \frac{4^{6}}{5^{5}} z'^{4} + \ldots = 0;
\]
les valeurs approchées des racines, dans le voisinage du point $z = 1$,
sont données par la formule $u = \dfrac{4}{5} 4^{\efrac{1}{5}} z'^{\efrac{4}{5}}$; elles forment un système circulaire
de cinq racines se permutant autour du point critique. Les racines,
étant respectivement égales pour des valeurs de~$z$ égales et de
signes contraires, se permutent suivant la même loi autour du point
$z = -1$. Il y a donc trois points critiques, l'origine~$O$ et les deux
points $a$~et~$b$ qui correspondent à $z = ±1$ (\Figref{32}).

Si l'on fait $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation devient
\[
\frac{4^{4}}{5^{5}} (1 - z'^{2})^{4} u'^{5}
  - z'^{8} (1 - z'^{2}) u' - z'^{10} = 0.
\]
Pour $z' = 0$, les cinq valeurs de~$u'$ sont égales à zéro. En posant $u' = vz'^{2}$,
on met l'équation sous la forme
\[
\frac{4^{4}}{5^{5}} (1 - z'^{2}) v^{5} - (1 - z'^{2}) v - 1 = 0;
\]
\DPPageSep{082.png}{74}
pour $z' = 0$, l'équation admet une racine double $v = -\dfrac{5}{4}$ et trois racines
simples. En posant $v = -\dfrac{5}{4} + v'$, on reconnaît aisément que les deux valeurs
infiniment petites de~$v'$ restent monotropes autour du point $z' = 0$.
On en conclut que sur la sphère le point~$O'$ est pôle relativement à chacune
des racines.

Il s'agit maintenant de voir dans quel ordre les racines se permutent
autour des points critiques $a$~et~$b$. De l'origine comme centre
\Fig[2.5in]{32}
avec un rayon très-petit, décrivons un cercle. Nous distinguerons les
racines par leurs valeurs approchées
\[
u_{0} = 1,\quad
u_{1} =  \alpha z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{2} = -\alpha i z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{3} = -\alpha z^{\efrac{1}{2}},\quad
u_{4} =  \alpha i z^{\efrac{1}{2}},
\]
au point initial~$z_{0}$ situé sur l'axe~$Ox$ à une très-petite distance du point~$O$.
Le lacet~$(a)$ est formé d'une droite et d'un petit cercle, le lacet~$(b)$ d'un
demi-cercle~$z_{0}mz_{1}$, d'une droite et d'un petit cercle autour du point~$b$,
le lacet~$(O)$ du cercle~$z_{0}mz_{1}nz_{0}$; de cette manière, les lacets se succèdent
dans l'ordre $(a), (b), (O)$. Quand la variable~$z$, parlant du point~$z_{0}$,
décrit le lacet~$(a)$ une première fois, dans le sens direct, la fonction~$u$
passe de la valeur initiale~$u_{0}$ à une autre que nous représenterons par~$\alpha z^{\efrac{1}{2}}$,
$\alpha$~étant une certaine racine de l'équation $\alpha^{4} = -\dfrac{4^{4}}{5^{5}}$. Je dis maintenant
que, si la variable~$z$ décrit le lacet~$(a)$ plusieurs fois successivement
dans le sens direct, les racines se succéderont dans l'ordre $u_{0}, u_{1},
u_{2}, u_{3}, u_{4}$. En effet, au lacet~$(O')$ sur la sphère correspond dans le plan
un circuit enveloppant les trois points critiques et se ramenant par
conséquent à la suite des trois lacets $(a), (b), (O)$; le point~$O'$ n'étant
pas critique, la racine prise comme valeur initiale doit se reproduire à
la fin du circuit. Or, si l'on part du point~$z_{0}$ avec la valeur initiale~$u_{0}$,
après le lacet~$(a)$ on a~$u_{1}$; la demi-circonférence~$z_{0}mz_{1}$ change~$u_{1}$ en~$u_{4}$;
le lacet~$(z_{1}b)$ devant ramener en~$z_{1}$ et par conséquent en~$z_{0}$ la première
\DPPageSep{083.png}{75}
racine~$u_{0}$, il est nécessaire que la racine~$u_{4}$ soit la cinquième du système
circulaire. Nous avons donc à choisir entre les deux dispositions
\[
\begin{array}{*{5}{l<{\quad}}}
u_{0},& u_{1},& u_{2},& u_{3},& u_{4}, \\
u_{0},& u_{1},& u_{3},& u_{2},& u_{4}.
\end{array}
\]
La seconde ne convient pas; car si l'on part du point~$z_{0}$ avec la valeur
initiale~$u_{1}$, on aurait~$u_{3}$ après le lacet~$(a)$, $u_{2}$~après le demi-cercle~$z_{0}mz_{1}$,
$u_{4}$~après le lacet~$(z_{1}b)$, $u_{1}$~après le demi-cercle~$z_{1}mz_{0}$, $u_{3}$~après le
lacet~$(O)$, et la valeur initiale~$u_{1}$ ne se reproduirait pas. Avec la première
disposition, on a $u_{2}$~après le lacet~$(a)$, $u_{1}$~après le demi-cercle~$z_{0}mz_{1}$,
$u_{2}$~après le lacet~$(z_{1}b)$, $u_{3}$~après le demi-cercle~$z_{1}mz_{0}$, $u_{1}$~après
le lacet~$(O)$, et la racine initiale~$u_{1}$ se reproduit. Ainsi le lacet complexe~$(a)$
est l'assemblage des cinq lacets binaires positifs
\[
(a)_{0}^{1},\quad
(a)_{1}^{2},\quad
(a)_{2}^{3},\quad
(a)_{3}^{4},\quad
(a)_{1}^{0}.
\]

Le lacet~$(b)$, dont l'origine est aussi en~$z_{0}$, se compose du demi-cercle~$z_{0}mz_{1}$,
du lacet~$(z_{1}b)$ symétrique du lacet~$(z_{0}a)$ par rapport
au point~$O$, et du demi-cercle~$z_{1}mz_{0}$. Les valeurs de~$u$ étant les mêmes
en deux points symétriques, la permutation s'effectue sur le lacet~$(z_{1}b)$
comme sur le lacet~$(z_{0}a)$. On part du point~$z_{0}$ avec la valeur initiale~$u_{0}$;
après le demi-cercle~$z_{0}mz_{1}$, on a en~$z_{1}$ la même valeur~$u_{0}$; le lacet~$(z_{1}b)$
change~$u_{0}$ en~$u_{1}$, et cette racine, après le demi-cercle~$z_{1}mz_{0}$, devient~$u_{2}$.
En décrivant le lacet~$(b)$ une seconde fois, on revient en~$z_{1}$ avec la
valeur~$u_{1}$; le lacet~$(z_{1}b)$ la change en~$u_{2}$, et, après le demi-cercle~$z_{1}mz_{0}$,
elle devient~$u_{3}$, et ainsi de suite. On obtient de la sorte les cinq lacets
binaires positifs
\[
(b)_{0}^{2},\quad
(b)_{2}^{3},\quad
(b)_{3}^{4},\quad
(b)_{4}^{1},\quad
 (b)_{1}^{0}.
\]

Le lacet~$(O)$ est neutre relativement à la racine~$u_{0}$; mais il unit les
racines $u_{1}$~et~$u_{3}$, $u_{2}$~et~$u_{4}$. Il est l'assemblage des deux lacets binaires
$(O)_{1}^{3}, (O)_{2}^{4}$.

On peut former le système des lacets fondamentaux de bien des manières,
par exemple avec les quatre lacets $(a)_{0}^{1}, (a)_{1}^{2}, (a)_{2}^{3}, (a)_{3}^{4}$, ou
bien avec les quatre lacets $(a)_{0}^{1}, (a)_{1}^{2}, (O)_{1}^{3}, (O)_{2}^{4}$. Dans ce second
\DPPageSep{084.png}{76}
mode, les chemins qui conduisent de la racine~$u_{0}$ à toutes les autres
sont (\no{39})
\[
V_{0}^{1} = (a)_{0}^{1},\quad
V_{0}^{2} = (a)_{0}^{1} + (a)_{1}^{2},\quad
V_{0}^{3} = (a)_{0}^{1} + (O)_{1}^{3},\quad
V_{0}^{4} = (a)_{0}^{1} + (a)_{1}^{2} + (O)_{2}^{4}.
\]

\Exemple{IX} Considérons enfin la fonction définie par l'équation
algébrique
\[
(u - a_{1})(u - a_{2}) \ldots (u - a_m) - z = 0.
\]
Quand la variable~$z$ décrit une circonférence ayant pour centre
l'origine, le produit des distances du point~$u$ aux $m$~points fixes $a_{1},
a_{2}, \ldots, a_{m}$ reste constant, et ce point décrit une cassinoïde à $m$~foyers.
Quand le point~$z$ décrit une droite partant de l'origine, le point~$u$
décrit une courbe telle\DPtypo{,}{} que la somme des arguments des droites qui
vont des $m$~foyers à chacun des points de la courbe est constante. Les
deux séries de lignes décrites par le point~$z$ étant orthogonales, les
deux séries de lignes correspondantes décrites par le point~$u$ sont aussi
orthogonales. En particulier, lorsque le polynôme est du second degré,
les deux séries de lignes orthogonales se composent de cassinoïdes à
deux foyers et d'hyperboles équilatères.
\DPPageSep{085.png}{77}


\Livre{II}{Fonctions Définies par des Séries}

\Chapitre[Propriétés des Séries]{Premier}
{Propriétés des Séries Ordonnées Suivant les Puissances
Entières et Croissantes de la Variable}

\Paragraph{48.} \begin{Lemme}
Lorsqu'on multiplie les termes d'une série convergente,
ayant tous ses termes positifs, par des nombres positifs inférieurs à un
nombre déterminé, on obtient une nouvelle série convergente.
\end{Lemme}

Soit
\[
a_{0} + a_{1} +a_{2} + \ldots
\]
une série convergente ayant tous ses termes positifs; si l'on multiplie
les termes de cette série par les nombres positifs
\[
b_{0},\quad
b_{1},\quad
b_{2},\ldots,
\]
plus petits qu'un nombre déterminé~$B$, on obtient une nouvelle série
convergente
\[
a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \ldots.
\]

En effet, soient $S_{n}$~la somme des $n$~premiers termes de la première
série, $S'_{n}$~la somme des $n$~premiers termes de la seconde série, on~a
$S'_{n} < BS_{n}$; mais la somme~$S_{n}$ est moindre que sa limite~$S$; on a donc
$S'_{n} < BS$, et par conséquent la seconde série est aussi convergente.

\Paragraph{49.} \begin{Théorème}[Abel]{I}
Étant donnée une série ordonnée suivant les puissances
\DPPageSep{086.png}{78}
entières positives et croissantes d'une variable imaginaire, si, pour
une valeur de la variable dont le module est~$r'$, les modules des termes de
la série sont moindres qu'un nombre déterminé, la série sera convergente
pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que~$r'$.
\end{Théorème}

Soit
\[
u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots
\]
la série proposée, dans laquelle $z$~désigne une variable imaginaire, $u_{0},
u_{1}, \ldots$ des coefficients réels ou imaginaires. Appelons $a_{0}, a_{1}, \ldots$ les
modules des coefficients. Nous supposons que les modules
\[
a_{0},\quad
a_{1}r',\quad
a_{2}r'^{2}, \ldots
\]
des différents termes de la série, pour une valeur de~$z$ dont le module
est~$r'$, sont plus petits qu'un nombre déterminé~$B$. Donnons à la variable
une valeur dont le module~$r$ soit plus petit que~$r'$, et considérons la
série convergente
\[
1 + \frac{r}{r'} + \left(\frac{r}{r'}\right)^{2} + \ldots;
\]
si nous multiplions les termes de cette série respectivement par les
nombres
\[
a_{0},\quad
a_{1}r',\quad
a_{2}r'^{2}, \ldots
\]
moindres que~$B$, nous obtiendrons, en vertu du lemme précédent, une
nouvelle série convergente
\[
a_{0} + a_{1}r + a_{2}r^{2} + \ldots.
\]
Ainsi, pour toute valeur de~$z$ ayant un module plus petit que~$r'$, la
série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée
est elle-même convergente.


\Section{Cercle de convergence}

\Paragraph{50.} Imaginons des valeurs croissantes du module pour lesquelles les
modules des termes de la série conservent des valeurs finies, c'est-à-dire
restent moindres qu'une quantité déterminée; ou ces valeurs croissantes
\DPPageSep{087.png}{79}
augmentent à l'infini, ou elles tendent vers une limite~$R$. Dans le premier
cas, la série proposée est convergente pour toutes les valeurs de~$z$;
car, soit~$r$ le module d'une valeur quelconque attribuée à~$z$, les modules
des termes de la série conservant des valeurs finies pour un module~$r'$
plus grand que~$r$, la série est convergente pour cette valeur de~$z$. Dans
le second cas, la série est convergente à l'intérieur du cercle décrit de
l'origine comme centre, avec un rayon égal à~$R$ (\Figref{33}); car, si l'on
\Fig[1.25in]{33}
attribue à la variable~$z$ une valeur ayant un module~$r$ inférieur à~$R$, les
modules des termes de la série conservant des valeurs finies pour un
module~$r'$ plus grand que~$r$, mais plus petit que~$R$, la série est convergente
pour cette valeur de~$z$. Pour tous les points situés à l'extérieur du
cercle~$R$, les modules des termes augmentant à l'infini, la série est
divergente. Ainsi la circonférence~$R$ partage le plan en deux régions:
pour tous les points situés à l'intérieur du cercle, la série est convergente;
pour tous les points situés à l'extérieur, elle est divergente. C'est
pourquoi nous donnerons à ce cercle le nom de \emph{cercle de convergence}.
Une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la
variable définit donc une fonction finie et monotrope dans le cercle de
convergence.

Sur la circonférence~$R$ elle-même, il y a incertitude: si, pour le module~$R$,
les modules des termes ne tendent pas vers zéro, la série sera
divergente sur toute la circonférence; si, pour ce même module, les
modules des termes tendent vers zéro, la série peut être convergente
ou divergente sur toute la circonférence, ou bien convergente en certains
points, divergente en d'autres.

Remarquons qu'en chacun des points situés à l'intérieur du cercle
de convergence non-seulement la série proposée est convergente, mais
encore la série des modules de ses différents termes.
\DPPageSep{088.png}{80}

\Exemples \Primo~La série
\[
1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{1·2} + \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots
\]
est convergente dans toute l'étendue du plan.

\Secundo~La série
\[
1 + z + z^{2} + z^{3} + \ldots
\]
est convergente dans le cercle de rayon~$1$; sur la circonférence, les
modules des termes étant égaux à l'unité, la série est divergente.

\Tertio~La série
\[
1 + \frac{z}{1^{2}} + \frac{z^{2}}{2^{2}} + \frac{z^{3}}{3^{2}} + \ldots
\]
est aussi convergente dans le cercle de rayon~$1$; sur la circonférence, la
série des modules des termes étant convergente, la série est elle-même
convergente.

\Quarto~La série
\[
1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} + \ldots
\]
est convergente dans le cercle de rayon~$1$; sur la circonférence, on
voit immédiatement qu'elle est convergente au point~$z = -1$, divergente
au point $z = +1$; on démontre d'ailleurs qu'elle est convergente
sur toute la circonférence, excepté en ce dernier point.

\Cinqo~Si l'on considère la série
\[
1 + 1·z + 1·2z^{2} + 1·2·3z^{3} + \ldots
\]
et si l'on attribue à~$z$ une valeur quelconque différente de zéro, les
modules des termes augmentent à l'infini; il en résulte que la série
n'est convergente que pour $z = 0$; dans ce cas, le rayon du cercle de
convergence se réduit à zéro.

\Paragraph{51.} \begin{Théorème}{II}
La fonction définie par une série ordonnée suivant
les puissances entières positives et croissantes de la variable est continue dans
le cercle de convergence.
\end{Théorème}
\DPPageSep{089.png}{81}

La série
\[
u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots
\]
étant convergente dans un cercle de rayon~$R$, appelons~$f(z)$ la somme
des termes de la série pour une valeur quelconque de $z$~située à l'intérieur
du cercle de convergence. Soit $\phi(z)$ la somme des $n$~premiers
termes de la série, et $\psi(z)$~le reste; nous aurons
\[
f(z) = \phi(z) + \psi(z).
\]

De l'origine comme centre, avec un rayon~$R'$ un peu plus petit que~$R$,
décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de~$n$ telle que, pour
cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste~$\psi(z)$
soit plus petit qu'une quantité très-petite donnée~$\dfrac{\alpha}{3}$, quelle que
soit la position de la variable~$z$ à l'intérieur du cercle~$R'$. Il suffit, pour
cela, de prendre~$n$ tel que l'on ait
\[
a_{n} R'^{n} + a_{n + 1} R'^{n + 1} + \ldots < \frac{\alpha}{3};
\]
ce qui est possible, puisque la série
\[
a_{0} + a_{1}R' + \ldots
\]
est convergente. Pour tout module~$r$ plus petit que~$R'$, on aura, à plus
forte raison,
\[
a_{n} r^{n} + \DPtypo{a^{n + 1}}{a_{n + 1}} r^{n + 1} + \ldots
  < \frac{\alpha}{3}.
\]
Le module du reste~$\psi(z)$, étant plus petit que cette somme, sera lui-même
moindre que~$\dfrac{\alpha}{3}$.

Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs
voisines $z$~et~$z'$ situées à l'intérieur du cercle~$R'$, la fonction prendra les
deux valeurs
\[
f(z) = \phi(z) + \psi(z),\quad
f(z') = \phi(z') + \psi(z'),
\]
dont la différence est
\[
f(z') - f(z) = \phi(z') - \phi(z) + \psi(z') - \psi(z).
\]
\DPPageSep{090.png}{82}

Le polynôme entier~$\phi(z)$ du degré~$n - 1$ étant une fonction continue
de la variable~$z$, on peut assigner un nombre~$\rho$ tel que, pour toutes
les positions du point~$z'$ à l'intérieur du cercle décrit du point~$z$ comme
centre avec un rayon égal à~$\rho$, la variation $\phi(z') - \phi(z)$ du polynôme
ait un module plus petit que~$\dfrac{\alpha}{3}$. Mais les modules des restes $\psi(z')$
et~$\phi(z)$ sont déjà plus petits que~$\dfrac{\alpha}{3}$; donc la variation $f(z') - f(z)$ aura
un module plus petit que~$\alpha$ pour toutes ces positions du point~$z'$; c'est
en cela que consiste la continuité. Ainsi la fonction, définie par la série,
varie d'une manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence.

\Paragraph{52.} \begin{Lemme}
Si l'on prend les dérivées des différents termes de la
série, on forme une nouvelle série convergente dans le même cercle que la
première.
\end{Lemme}

Soit la série
\[
f(z) = u_{0} + u_{1} + u_{2}z^{2} + \ldots
\]
convergente dans le cercle de rayon~$R$. Nous allons démontrer que la
série
\[
u_{1} + 2u_{2}z + 3u_{3}z^{2} + \ldots
\]
que l'on obtient en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente
dans le même cercle. De l'origine comme centre, avec un
rayon~$R'$ un peu plus petit que~$R$, décrivons un cercle, et donnons à~$z$
une valeur dont le module~$r$ soit plus petit que~$R'$. Si l'on multiplie les
termes de la série convergente
\[
1 + 2\frac{r}{R'} + 3\frac{r^{2}}{R'^{2}} + \ldots
\]
respectivement par les nombres
\[
a_{1},\quad
a_{2}R',\quad
a_{3}R'^{2},\ldots,
\]
qui tendent vers zéro, et qui par conséquent sont inférieurs à un nombre
fixe~$B$, on obtient une série convergente
\[
a_{1} + 2a_{2}r + 3a_{3}r^{2} + \ldots.
\]

Ainsi la nouvelle série est convergente dans le même cercle que la
\DPPageSep{091.png}{83}
première; elle définit dans ce cercle une fonction continue et monotrope
que nous désignerons par~$f'(z)$.

En prenant de même les dérivées des termes de cette seconde série,
on obtiendra une troisième série convergente dans le même cercle~$R$;
elle définit une fonction continue et monotrope, que nous désignerons
par~$f''(z)$, et ainsi de suite indéfiniment.

\Paragraph{53.} \begin{Théorème}{III}
La fonction définie par la série a une dérivée.
\end{Théorème}

Soit la série
\[
f(z) = u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots
\]
convergente dans le cercle~$R$. Du point~$z$ comme centre, décrivons un
cercle tangent au cercle~$R$; pour un point~$z + h$ situé dans ce petit
cercle, la série sera encore convergente, et l'on aura
\[
\Tag{(1)}
f(z + h) = u_{0} + u_{1}(z + h) + u_{2}(z + h)^{2} + \ldots.
\]
Concevons que l'on développe les puissances successives du binôme~$z + h$,
et que l'on dispose les termes en un tableau de la manière
suivante:
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{array}{*{9}{@{\,}c@{\,}}}
u_{0}      &+& 0            &+& 0           &+& 0          &+& \ldots, \\
u_{1}z     &+& u_{1}h       &+& 0           &+& 0          &+& \ldots, \\
u_{2}z^{2} &+& 2u_{2}zh     &+& u_{2}h^{2}  &+& 0          &+& \ldots, \\
u_{3}z^{3} &+& 3u_{3}z^{2}h &+& 3u_{3}zh^{2}&+& u_{3}h^{3} &+& \ldots, \\
\hdotsfor{9},
\end{array}
\right.
\]
en complétant le tableau par des zéros. La somme des termes d'une
même ligne horizontale constituant un terme de la série~(1), la somme
des termes contenus dans les $m$~premières lignes horizontales est égale
à la somme des $m$~premiers termes de la série~(1). Nous allons démontrer
que, si l'on évalue le tableau par colonnes verticales, au lieu de
l'évaluer par lignes horizontales, la série
\[
\Tag{(3)}
v_{0} + v_{1}h + v_{2}h^{2} + v_{3}h^{3} + \ldots,
\]
que l'on obtient et qui est ordonnée suivant les puissances croissantes
de~$h$, est convergente et a même somme que la série~(1).

Désignons par~$r$ le module de~$z$ et par~$\rho$ celui de~$h$; puisque $\rho$~est
\DPPageSep{092.png}{84}
plus petit que~$R - r$ et par suite $r + \rho$ plus petit que~$R$, la série
\[
\Tag{(1)'}
a_{0} + a_{1}(r + \rho) + a_{2}(r + \rho)^{2} + \ldots
\]
est convergente. Développons les puissances du binôme $r + \rho$ et disposons
les termes en un tableau analogue au précédent:
\[
\Tag{(2)'}
\left\{
\begin{array}{*{9}{@{\,}c@{\,}}}
a_{0}      &+& 0               &+& 0               &+& 0             &+& \ldots, \\
a_{1}r     &+& a_{1}\rho       &+& 0               &+& 0             &+& \ldots, \\
a_{2}r^{2} &+& 2a_{2}r\rho     &+& a_{2}\rho^{2}   &+& 0             &+& \ldots, \\
a_{3}r^{3} &+& 3a_{3}r^{2}\rho &+& 3a_{3}r\rho^{2} &+& a_{3}\rho^{3} &+& \ldots, \\
\hdotsfor{9}.
\end{array}
\right.
\]
Appelons $S_{m}$ la somme des $m$~premiers termes de la série~\Eq{(1)'}, $S$~la
limite vers laquelle elle tend, quand $m$~augmente indéfiniment. Les
$m$~premiers termes d'une colonne verticale quelconque du tableau~\Eq{(2)'}
appartenant aux $m$~premières lignes horizontales, leur somme est plus
petite que la somme des termes de ces $m$~premières lignes horizontales,
c'est-à-dire plus petite que~$S_{m}$ et, par conséquent, plus petite
que~$S$; cette somme tend donc vers une limite, quand $m$~augmente
indéfiniment; ainsi chaque colonne verticale, prise à part, constitue
une série convergente. Désignons par $b_{0}, b_{1}\rho, b_{2}\rho^{2},\ldots$ les sommes des
diverses colonnes verticales, et considérons la série
\[
\Tag{(3)'}
b_{0} + b_{1}\rho + b_{2}\rho^{2} + \ldots.
\]
Appelons~$S'_{n}$ la somme des $n$~premiers termes de cette série. Généralisons
le raisonnement que nous avons fait précédemment; les $m$~premiers
termes des $n$~premières colonnes verticales appartiennent aux
$m$~premières lignes horizontales; leur somme est plus petite que la
somme des termes de ces $m$~premières lignes horizontales, c'est-à-dire
plus petite que~$S_{m}$, si $m$~est plus grand que~$n$, et par conséquent plus
petite que~$S$. Si, laissant $n$~fixe, on fait augmenter~$m$ indéfiniment, on
en conclut que cette somme tend vers une limite plus petite que~$S$;
mais cette limite est précisément~$S'_{n}$; la quantité~$S'_{n}$ est donc plus petite
que~$S$. D'autre part, cette quantité~$S'_{n}$ est plus grande que la somme
des $n$~premiers termes des $n$~premières colonnes verticales, c'est-à-dire
plus grande que~$S_{n}$. La somme~$S'_{n}$, étant comprise entre $S_{n}$~et~$S$, tend
\DPPageSep{093.png}{85}
vers une limite égale à~$S$, quand $n$~augmente indéfiniment. Ainsi la
série~\Eq{(3)'} est convergente et a même somme que la série~\Eq{(1)'}.

Revenons maintenant au tableau~(2). Nous remarquons d'abord que
les termes d'une même colonne verticale, ayant pour modules les termes
correspondants du tableau~\Eq{(2)'}, forment une série convergente. Nous
avons désigné par $v_{0}, v_{1}h, v_{2}h^{2},\ldots$ les sommes des diverses colonnes
verticales; ces quantités ayant des modules respectivement moindres
que les termes de la série convergente~\Eq{(3)'}, la série~(3) est elle-même convergente.
Appelons~$\Sum_{n}$ la somme des $n$~premiers termes de la série~(1),
$\Sum'_{n}$~celle des $n$~premiers termes de la série~(3); la différence $\Sum'_{n} - \Sum_{n}$
est égale à la somme des termes des $n$~premières colonnes verticales
du tableau~(2), à partir de la \Ord{$n + 1$}{ième}~ligne horizontale; le module
de cette différence est moindre que la somme des modules des termes,
c'est-à-dire moindre que $S'_{n} - S_{n}$; elle tend donc vers zéro, quand $n$~augmente
indéfiniment. La somme~$\Sum_{n}$ tendant vers la limite~$f(z + h)$,
on en conclut que la somme~$\Sum'_{n}$ tend vers la même limite. On a donc
\[
f(z + h) = f(z) + f'(z) \frac{h}{1} + f''(z) \frac{h^{2}}{1·2} + \ldots.
\]

On déduit de là
\[
\frac{f(z + h) - f(z)}{h} = f'(z) + f''(z) \frac{h}{\Erratum{1}{2}} + \ldots.
\]
Le second membre de cette égalité est une fonction continue de~$h$;
quand $h$~est très-petit, il diffère très-peu de~$f'(z)$, et quand $h$~tend vers
zéro d'une manière quelconque, il tend vers~$f'(z)$. Ainsi le rapport de
l'accroissement de la fonction à celui de la variable tend vers une même
limite, de quelque manière que l'accroissement de la variable tende
vers zéro, et par conséquent la fonction~$f(z)$ a une dérivée qui est
représentée par la série~$f'(z)$.

De tout ce qui précède, on conclut qu'une série ordonnée suivant
les puissances entières, positives et croissantes d'une variable, définit
une fonction \emph{holomorphe} dans le cercle de convergence.

\Paragraph{54.} \Remarque[I] La série
\[
1 + z + z^{2} + \ldots
\]
\DPPageSep{094.png}{86}
est divergente en chaque point de la circonférence du cercle de convergence.
Cependant, si le point intérieur~$z$ s'approche d'un point de
cette circonférence autre que le point $z = 1$, la somme~$S$, qui est égale
à~$\dfrac{1}{1 - z}$, tend vers une limite parfaitement déterminée.

\Remarque[II] Supposons que la série $u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots$ soit
convergente en un point~$z_{1}$ de la circonférence du cercle de convergence,
et appelons~$A$ la somme en ce point; Abel a fait voir que, lorsque
le point~$z$ se rapproche du point~$z_{1}$ suivant le rayon~$Oz_{1}$, la somme
variable~$S$ tend vers une limite égale à~$A$.

On peut représenter, en effet, les valeurs de~$z$, pour les divers points
du rayon~$Oz_{1}$, par la formule $z = \zeta z_{1}$, $\zeta$~étant une quantité réelle qui
varie de~$0$ à~$1$. Si l'on représente en même temps par~$a_{n}$ le produit
$u_{n}z_{1}^{n}$, on aura
\[
S = a_{0} + a_{1}\zeta + a_{2}\zeta^{2} + \ldots + a_{n}\zeta^{n} + \ldots
\]
et
\[
A = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots.
\]
Appelons~$\sigma_{n}$ la somme des $n + 1$~premiers termes de cette dernière série,
le terme~$a_{n}$ sera égal à~$\sigma_{n} - \sigma_{n - 1}$, et l'on pourra exprimer la somme~$S$
de la manière suivante:
\begin{align*}
S &= \sigma_{0} + (\sigma_{1} - \sigma_{0})\zeta
  + (\sigma_{2} - \sigma_{1})\zeta^{2}
  + (\sigma_{3} - \sigma_{2})\zeta^{3} + \ldots \\
  &= (1 - \zeta) (\sigma_{0} + \sigma_{1}\zeta
                + \sigma_{2}\zeta^{2} + \sigma_{3}\zeta^{3} + \ldots) \\
  &= (1 - \zeta) (\sigma_{0} + \sigma_{1}\zeta
                + \sigma_{2}\zeta^{2} + \ldots + \sigma_{n-1}\zeta^{n-1}) \\
  &\quad+ (1 - \zeta) (\sigma_{n}\zeta^{n} + \sigma_{n + 1}\zeta^{n + 1} + \ldots) \\
  &= (1 - \zeta)(\sigma_{0} + \sigma_{1}\zeta + \ldots + \sigma_{n-1}\zeta^{n-1}) \\
  &\quad+ A(1 - \zeta) (\zeta^{n} + \zeta^{n + 1} + \ldots) \\
  &\quad+ (1 - \zeta)(\epsilon_{n}\zeta^{n} + \epsilon_{n + 1}\zeta^{n + 1} + \ldots),
\end{align*}
$\DPtypo{\epsilon^{n}}{\epsilon_{n}}, \DPtypo{\epsilon^{n + 1}}{\epsilon_{n + 1}},\ldots$ désignant les différences entre les sommes $\sigma_{n}, \sigma_{n + 1},\ldots$ et~$A$;
nous représenterons le nombre positif $1 - \zeta$ par~$\beta$. On peut supposer
$n$~assez grand pour que le plus grand des modules des quantités~$\epsilon_{n},
\epsilon_{n + 1},\ldots$ soit moindre qu'un nombre donné quelconque~$\dfrac{\alpha}{2}$; le module de
\[
(1 - \zeta)(\epsilon_{n}\zeta^{n} + \epsilon_{n + 1}\zeta^{n + 1} + \ldots)
\]
\DPPageSep{095.png}{87}
sera alors moindre que~$\dfrac{\alpha}{2} \zeta^{n}$, et par suite moindre que~$\dfrac{\alpha}{2}$. Le module de
\[
(1 - \zeta)(\sigma_{0} + \sigma_{1}\zeta + \ldots + \sigma_{n-1}\zeta^{n-1})
\]
est plus petit que~$n\beta M$, $M$~étant le plus grand des modules des sommes
$\sigma_{0}, \sigma_{1},\ldots \sigma_{n}, \sigma_{n + 1},\ldots$; la somme
\[
A(1 - \zeta)(\zeta^{n} + \zeta^{n + 1} + \ldots)
\]
est égale à~$A\zeta^{n}$ ou à~$A(1 - \beta)^{n}$. Considérons la différence
\[
A - A(1 - \beta)^{n} = A\bigl[1 - (1 - \beta)^{n}\bigr];
\]
on a $(1 - \beta)^{n} > 1 - n\beta$, la quantité $\bigl[1 - (1 - \beta)^{n}\bigr]$ est donc un
nombre positif moindre que~$n\beta$, et le module de~$A(1 - \beta)^{n} - A$ est
plus petit que~$n\beta A_{0}$, $A_{0}$~désignant le module de~$A$. Il résulte de ce qui
précède que le module de la différence $A - S$ est moindre que
\[
n\beta(A_{0} + M) + \frac{\alpha}{2},
\]
et par conséquent moindre que~$\alpha$, pour toute valeur de~$\beta$ plus petite
que $\dfrac{\alpha}{2n(A_{0} + M)}$. Ainsi la somme variable~$S$ a pour limite~$A$.

La démonstration précédente est de Lejeune-Dirichlet.
\DPPageSep{096.png}{88}


\Chapitre{II}{Fonctions Exponentielles et Circulaires}

\Section{Les fonctions $e^{z}$, $\sin z$, $\cos z$}

\Paragraph{55.} Considérons les séries
\begin{gather*}
\Tag{(1)}
1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{1·2} + \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots, \\
\Tag{(2)}
\frac{z}{1} - \frac{z^{3}}{1·2·3} + \frac{z^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots, \\
\Tag{(3)}
1 - \frac{z^{2}}{1·2} + \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots;
\end{gather*}
le rayon du cercle de convergence étant infini, ces trois séries définissent
des fonctions holomorphes de~$z$ dans toute l'étendue du plan.
On désigne ces trois fonctions par $e^{z}, \sin z, \cos z$, parce que, lorsque la
variable~$z$ a une valeur réelle~$x$, ces séries sont les développements de
la fonction exponentielle~$e^{x}$ telle qu'on la définit en Algèbre, et des
deux fonctions circulaires $\sin x$~et~$\cos x$ telles qu'on les définit géométriquement.
La fonction~$\sin z$ est impaire, la fonction~$\cos z$ paire.

On obtient la dérivée de chacune de ces fonctions en prenant la
dérivée de chaque terme de la série (\no{53}), ce qui donne
\[
\Diff e^{z} = e^{z},\quad
\Diff \sin z = \cos z,\quad
\Diff \cos z = -\sin z.
\]

Ces trois fonctions se ramènent à une seule d'entre elles; car si, dans
la série~(1), on remplace~$z$ par~$zi$ ou par~$-zi$, on~a
\begin{align*}
\Tag{(4)}
e^{zi} &= \cos z + i \sin z, \\
\Tag{(5)}
e^{-zi} &= \cos z - i \sin z;
\end{align*}
\DPPageSep{097.png}{89}
d'où l'on déduit
\begin{align*}
\Tag{(6)}
\cos z &= \frac{e^{zi} + e^{-zi}}{2}, \\
\Tag{(7)}
\sin z &= \frac{e^{zi} - e^{-zi}}{2i}.
\end{align*}
Les deux fonctions $\sin z$~et~$\cos z$ sont ramenées ainsi à la fonction exponentielle~$e^{z}$.

Il résulte aussi de la relation~(4) que toute quantité imaginaire
$z = r(\cos\theta + i \sin\theta)$ peut être mise sous la forme très-simple $z = re^{\theta i}$,
$r$~étant le module de cette quantité, $\theta$~l'un de ses arguments.

\Paragraph{56.} La propriété fondamentale de la fonction exponentielle consiste
dans la relation
\[
\Tag{(8)}
e^{z} × e^{z'} = e^{z + z'}.
\]
Pour la démontrer, appelons $\Sum_{n}, \Sum'_{n}, \Sum''_{n}$ les sommes des $n$~premiers
termes des séries qui définissent les trois fonctions $e^{z}, e^{z'}, e^{z + z'}$, savoir:
\begin{align*}
\Sum_{n}
  &= 1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{z^{n-1}}{1·2\cdots(n - 1)}, \\
\Sum'_{n}
  &= 1 + \frac{z'}{1} + \frac{z'^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{z'^{n-1}}{1·2\cdots(n - 1)}, \\
\Sum''_{n}
  &= 1 + \frac{z + z'}{1} + \frac{(z + z')^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{(z + z')^{n-1}}{1·2\cdots(n - 1)}.
\end{align*}
Désignons par $r$~et~$r'$ les modules de~$z$ et de~$z'$, et appelons de même $S_{n},
S'_{n}, S''_{n}$ les sommes des $n$~premiers termes des séries qui représentent
les fonctions réelles $e^{r}, e^{r'}, e^{r + r'}$, savoir:
\begin{align*}
S_{n}
  &= 1 + \frac{r}{1} + \frac{r^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{r^{n-1}}{1·2\cdots(n- 1)}, \\
S'_{n}
  &= 1 + \frac{r'}{1} + \frac{r'^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{r'^{n-1}}{1·2\cdots(n - 1)}, \\
S''_{n}
  &= 1 + \frac{r + r'}{1} + \frac{(r + r')^{2}}{1·2} + \ldots + \frac{(r + r')^{n-1}}{1·2\cdots(n - 1)}.
\end{align*}
\DPPageSep{098.png}{90}
Considérons, en outre, la somme des $2n - 1$~premiers termes de la
dernière série
\[
S''_{2n-1} = 1 + \frac{r + r'}{1} + \frac{(r + r')^{2}}{1·2} + \ldots
  + \frac{(r + r')^{2n - 2}}{1·2\cdots(2n - 2)}.
\]
Concevons que l'on ait effectué le produit des deux polynômes $S_{n}$~et~$S'_{n}$,
et que l'on ait développé les binômes dans les sommes $S''_{n}$~et~$S''_{2n-1}$; nous
remarquons que tous les termes de~$S''_{n}$ se trouvent dans le produit
$S_{n} × S'_{n}$, et que tous les termes de ce produit se trouvent dans $S''_{2n - 1}$;
on a donc
\[
S''_{n} < S_{n} × S'_{n} < S''_{2n-1};
\]
mais, quand $n$~augmente indéfiniment, les deux sommes $S''_{n}, S''_{2n - 1}$ tendent
vers la même limite $e^{r + r'}$. Il en résulte que la différence
$S_{n} × S'_{n} - S''_{n}$, qui est plus petite que $S''_{2n - 1} - S''_{n}$, a pour limite zéro.

Concevons de même que l'on ait effectué le produit des deux sommes
$\Sum_{n}$~et~$\Sum'_{n}$ et développé les binômes dans la somme~$\Sum''_{n}$; le produit contient
tous les termes de~$\Sum''_{n}$ avec d'autres quantités; les termes de la
différence $\Sum_{n} × \Sum'_{n} - \Sum''_{n}$ ayant pour modules les termes correspondants
de la différence $S_{n} × S'_{n} - S''_{n}$, on~a
\[
\mod (\Sum_{n} × \Sum'_{n} - \Sum''_{n}) < S_{n} × S'_{n} - S''_{n},
\]
et par suite
\[
%[** TN: Removed dot after lim]
\lim \mod (\Sum_{n} × \Sum'_{n} - \Sum''_{n}) = 0,
\]
ou
\[
\lim (\Sum_{n} × \Sum'_{n}) = \lim \Sum''_{n},
\]
c'est-à-dire
\[
e^{z} × e^{z'} = e^{z + z'}.
\]

\Paragraph{57.} La fonction~$e^{z}$ est \emph{périodique}. On a, en effet, d'après le théorème
précédent,
\[
\Tag{(9)}
e^{z + 2\pi i} = e^{z} × e^{2\pi i} = e^z (\cos2\pi + i \sin2\pi) = e^{z};
\]
la période est~$2\pi i$.

En vertu des relations (6)~et~(7), les fonctions $\sin z$~et~$\cos z$ sont aussi
périodiques; la période est~$2\pi$.
\DPPageSep{099.png}{91}

On a de même
\[
\Tag{(10)}
e^{z + \pi i} = e^{z} × e^{\pi i} = e^{z}(\cos\pi + i \sin\pi) = -e^{z},
\]
et par suite
\[
\Tag{(11)}
\sin(z + \pi) = -\sin z,\quad
\cos(z + \pi) = -\cos z.
\]

A l'aide des relations précédentes, on généralise aisément les relations
\begin{gather*}
\Tag{(12)}
\sin\left(\frac{\pi}{2} - z\right) = \cos z, \\
\Tag{(13)}
\sin^{2} z + \cos^{2} z = 1, \\
\Tag{(14)}
\sin(z + z') = \sin z \cos z' + \cos z \sin z', \\
\Tag{(15)}
\cos(z + z') = \cos z \cos z' - \sin z \sin z',
\end{gather*}
qui ont été établies en Trigonométrie pour les arcs réels.

On définit la fonction méromorphe~$\tang z$ en posant
\[
\Tag{(16)}
\tang z = \frac{\sin z}{\cos z};
\]
cette fonction est périodique, et admet la période~$\pi$.

Les tables ordinaires de logarithmes de sinus et de cosinus permettent
de calculer les valeurs des fonctions précédentes pour une valeur
imaginaire $x + yi$ attribuée à la variable~$z$. On a d'abord
\[
e^{x + yi} = e^{x} e^{yi} = e^{x} (\cos y + i\sin y);
\]
c'est une quantité imaginaire ayant pour module~$e^{x}$ et pour argument~$y$.
On a ensuite
\begin{alignat*}{2}
\cos(x + yi)
  &= \cos x \cos yi - \sin x \sin yi
  &&= \frac{e^{y} + e^{-y}}{2}\, \cos x - i \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}\, \sin x, \\
\sin(x + yi)
  &= \sin x \cos yi + \cos x \sin yi
  &&= \frac{e^{y} + e^{-y}}{2}\, \sin x + i \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}\, \cos x.
\end{alignat*}

\Paragraph{58.} Voici comment on peut se représenter la périodicité de la fonction~$e^{z}$.
Sur l'axe~$oy$ (\Figref{34}), portons de part et d'autre de l'origine des
longueurs égales à~$2\pi$, et, par les points de division $o, o_{1}, o_{2},\ldots$, $o_{-1},
o_{-2},\ldots$, menons des droites parallèles dans une direction arbitraire,
\DPPageSep{100.png}{92}
autre que~$oy$; ces parallèles diviseront le plan en bandes égales; aux
points homologues $m_{1}, m_{2}, m_{3},\ldots, m_{-1}, m_{-2},\ldots$ de ces différentes
\Fig[2.5in]{34}
bandes, c'est-à-dire aux points représentés par la formule $z + 2n\pi i$,
$n$~étant un nombre entier quelconque, la fonction reprend la même
valeur.

Dans chaque bande, la fonction
\[
e^{z} = e^{x} (\cos y + i \sin y)
\]
passe par toutes les valeurs possibles, et une fois seulement par chacune
d'elles; car son module~$e^{x}$ varie de zéro à l'infini, et, quand $x$~reste
constant, son argument~$y$ varie de~$y_{0}$ à~$y_{0} + 2\pi$. Quand la variable~$z$
s'éloigne indéfiniment dans une bande du côté des $x$~positifs ou du
côté opposé, le module de la fonction devient infini ou tend vers zéro.

Pour figurer la périodicité des fonctions $\cos z$~et~$\sin z$, on portera sur
l'axe~$ox$ des longueurs égales à~$2\pi$, et par les points de division on mènera
des droites parallèles dans une direction arbitraire autre que~$ox$.
Dans chaque bande, les fonctions passent par toutes les valeurs possibles
et deux fois par chacune d'elles. Si l'on veut en effet que la fonction~$\cos z$
ait une valeur donnée~$u$, on posera
\[
\frac{e^{zi} + e^{-zi}}{2} = u,
\]
d'où
\begin{gather*}
e^{2zi} - 2u e^{zi} + 1 = 0, \\
e^{zi} = u ± \sqrt{u^{2} - 1};
\end{gather*}
\DPPageSep{101.png}{93}
dans chaque bande, il existe une valeur de~$z$ et une seule pour laquelle
la fonction~$e^{zi}$ admet la valeur $u + \sqrt{u^{2} - 1}$, et une autre valeur de~$z$
pour laquelle elle admet la valeur $u - \sqrt{u^{2} - 1}$; en ces deux points, et
en ces deux points seulement, la fonction~$\cos z$ acquiert la valeur~$u$.
Puisque $\cos(2\pi - z) = \cos z$, les deux valeurs de~$z$ qui, dans chaque
bande, correspondent à une même valeur de~$u$, ont, abstraction faite des
multiples de~$2\pi$, une somme constante et égale à~$2\pi$.

De même, si l'on veut que la fonction~$\sin z$ ait une valeur donnée~$u$,
on posera
\[
\frac{e^{zi} - e^{-zi}}{2i} = u,
\]
d'où
\begin{gather*}
e^{2zi} - 2iu e^{zi} - 1 = 0, \\
e^{zi} = iu ± \sqrt{1 - u^{2}};
\end{gather*}
ce qui conduit à la même conclusion. En vertu de la relation
\[
\sin(\pi - z) = \sin z,
\]
les deux valeurs de~$z$ qui, dans chaque bande, correspondent à une
même valeur de~$u$, ont, abstraction faite des multiples de~$2\pi$, une
somme constante et égale à~$\pi$. Quand la variable~$z$ s'éloigne indéfiniment
dans une bande, d'un côté ou de l'autre, les modules des fonctions
$\sin z$~et~$\cos z$ deviennent infinis.

Pour figurer la périodicité de la fonction~$\tang z$, on portera sur l'axe~$ox$
des longueurs égales à~$\pi$, et par les points de division on mènera des
parallèles dans une direction arbitraire autre que~$ox$. Dans chaque
bande, la fonction passe par toutes les valeurs possibles, et une fois
seulement pour chacune d'elles. Car, de la relation
\[
\tang z = \frac{e^{zi} - e^{-zi}}{i(e^{zi} + e^{-zi})} = u,
\]
on déduit
\[
e^{2zi} = \frac{1 + ui}{1 - ui};
\]
dans chaque bande la fonction~$e^{2zi}$ ne passant qu'une fois par la valeur
$\dfrac{1 + ui}{1 - ui}$, la fonction~$\tang z$ ne passe qu'une fois par la valeur~$u$. La
\DPPageSep{102.png}{94}
fonction~$\tang z$ devient nulle aux points $z = n\pi$, infinie aux points
$z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$; il y a une racine et un pôle dans chaque bande. Quand la
variable~$z$ s'éloigne indéfiniment dans une bande, du côté des~$y$ positifs
ou du côté opposé, la fonction~$u$ tend vers~$+i$ ou vers~$-i$.

\Paragraph{59.} Pour étudier la variation d'une fonction, quand la variable~$z$ est
très-grande, on pose $z = \dfrac{1}{z'}$ et l'on donne à~$z'$ des valeurs voisines de
zéro (\no{17}). Si l'on fait $z' = x' + y'i = r'e^{\theta'i}$, on~a
\[
e^{z}
  = e^{\efrac{1}{z'}}
  = e^{\efrac{\cos \theta'}{r'}}\, e^{-\efrac{i\sin \theta'}{r'}}.
\]
Lorsque la nouvelle variable~$z'$ se rapproche du point $z' = 0$, le module
de la fonction devient nul, infini ou égal à l'unité, suivant que
$\cos\theta'$~a une valeur négative, positive, ou nulle; l'argument augmente à
l'infini en valeur absolue, excepté quand la valeur de~$\sin\theta'$ est nulle. Le
point $z' = 0$ est un point singulier d'une espèce particulière; la fonction~$e^{z}$,
quoique monotrope dans le voisinage, acquiert en ce point des
valeurs différentes, suivant le chemin suivi pour y arriver. Nous dirons
que ce point est un point d'\emph{indétermination}. Ainsi la fonction~$e^{z}$ est
\emph{holomorphe} sur toute la sphère, excepté au point~$O'$, qui est un point
d'indétermination.

On a de même
\begin{align*}
\cos z &= \frac{1}{2} \left(
   e^{ \efrac{\sin \theta'}{r'}}\, e^{ \efrac{i \cos \theta'}{r'}}
 + e^{-\efrac{\sin \theta'}{r'}}\, e^{-\efrac{i \cos \theta'}{r'}}
\right), \\
\sin z &= \frac{1}{2i} \left(
   e^{ \efrac{\sin \theta'}{r'}}\, e^{ \efrac{i \cos \theta'}{r'}}
 - e^{-\efrac{\sin \theta'}{r'}}\, e^{-\efrac{i \cos \theta'}{r'}}
\right).
\end{align*}
Lorsque la variable~$z'$ se rapproche du point $z' = 0$, le module de~$\cos z$
et celui de~$\sin z$ deviennent infinis, excepté quand $\sin\theta'$~a une valeur
nulle; dans ce cas, on~a
\[
\cos z = \cos \frac{1}{x'},\quad
\sin z = \sin \frac{1}{x'},
\]
et la valeur de la fonction, comprise entre $-1$~et~$+1$, est indéterminée.
Le point~$O'$ est encore un point d'indétermination. Ainsi les
\DPPageSep{103.png}{95}
fonctions $\cos z$~et~$\sin z$ sont \emph{holomorphes} sur toute la sphère, excepté au
point~$O'$, qui est un point d'indétermination.

Lorsque la variable~$z'$ se rapproche du point $z' = 0$, la fonction~$\tang z$
tend vers la valeur $-i$~ou~$+i$, suivant que la valeur de $\sin\theta'$~est positive
ou négative. Quand $\sin\theta' = 0$, la fonction~$\tang\dfrac{1}{x'}$ est indéterminée.
Ainsi la fonction~$\tang z$ est \emph{méromorphe} sur toute la sphère, excepté au
point~$O'$ qui est un point d'indétermination; elle admet d'ailleurs une
infinité de pôles.


\Section{La fonction~$\log z$}

\Paragraph{60.} Nous avons défini la fonction exponentielle et les fonctions circulaires
directes; occupons-nous maintenant des fonctions inverses.
Considérons d'abord l'équation
\[
e^{u} = z,
\]
dans laquelle $u$~est l'inconnue. Si l'on pose
\[
z = re^{\theta i},\quad
u = X + Yi,
\]
cette équation devient
\[
e^{X} e^{Yi} = re^{\theta i};
\]
elle sera vérifiée si l'on fait
\[
e^{X} = r,\quad
Y = \theta + 2n\pi,
\]
$n$~étant un nombre entier quelconque, et par ces valeurs seulement. La
quantité réelle~$X$ est le logarithme népérien du nombre positif~$r$; en
le désignant par~$\Log r$, on~a
\[
u = \Log r + (\theta + 2n\pi)i.
\]
Ainsi à une valeur de~$z$ correspondent une infinité de valeurs de~$u$ formant
une progression arithmétique dont la raison est~$2\pi i$. Chacune de
ces valeurs est un logarithme de~$z$; on a donc
\[
\Tag{(17)}
\log z = \Log r + (\theta + 2n\pi)i.
\]

Supposons que l'on fasse partir la variable~$z$ du point $z = 1$, en attribuant
\DPPageSep{104.png}{96}
à l'argument~$\theta$ la valeur initiale $\theta = 0$, et que l'on adopte la détermination
\[
\Tag{(18)}
u = \log z = \Log r + \theta i;
\]
si le point~$z$ se meut d'une manière continue dans le plan, sans passer
par le point $z = 0$, $r$~et~$\theta$ variant d'une manière continue, nous aurons
une fonction partant de la valeur initiale $u = 0$ et variant d'une manière
continue.

La fonction devient infinie au point $z = 0$. Lorsque la variable~$z$ décrit
un cercle autour de ce point, dans le sens positif, son argument~$\theta$
augmente de~$2\pi$, et la fonction augmente de~$2\pi i$; ainsi, quand la variable~$z$
fait une infinité de révolutions autour du point $z = 0$, la fonction~$\log z$
acquiert une infinité de valeurs différentes, qui sont données
par la formule~(17). Le point $z = 0$ est ici un point critique différent
de ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des fonctions algébriques;
nous l'appellerons \emph{point critique logarithmique}.

Quelle que soit la détermination que l'on prenne, la fonction~$\log z$
admet une dérivée; car, si l'on considère la fonction directe $z = e^{u}$, on
sait que le rapport~$\dfrac{\Delta z}{\Delta u}$ tend vers une limite égale à~$e^{u}$; le rapport inverse
tend donc vers une limite égale à~$\dfrac{1}{e^{u}}$, c'est-à-dire à~$\dfrac{1}{z}$. On conclut
de là que $\log z$~est une fonction holomorphe de~$z$ dans toute partie du
plan ne comprenant pas le point critique $z = 0$. Nous remarquons en
outre que la dérivée est la même pour toutes les déterminations de la
fonction.

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, on~a
\[
u = -\log z',
\]
et le point $z' = 0$ est un point critique de même nature que le précédent.
Sur la sphère, la fonction~$\log z$ admet donc les deux points critiques
logarithmiques $O$~et~$O'$.

Ce que nous avons dit de la fonction~$\log z$ s'applique à la fonction
$\log(z - a)$. Le premier point critique est ici $z = a$. La quantité~$z - a$
étant figurée par le point~$z$, quand on transporte les axes parallèlement
à eux-mêmes au point~$a$, à chaque tour décrit par le point~$z$ autour
\DPPageSep{105.png}{97}
du point~$a$ dans le sens positif, la fonction augmente de~$2\pi i$. Sur
la sphère, le point~$O'$ est aussi un point critique.

De la relation $e^{u} × e^{u'} = e^{u + u'}$, on déduit la propriété fondamentale
des logarithmes
\[
\log(zz') = \log z + \log z'.
\]


\Section{La fonction~$\arctang z$}

\Paragraph{61.} Considérons de même l'équation
\[
\tang u = z,
\]
dans laquelle $u$~est l'inconnue. D'après une transformation déjà faite
(\no{58}), on~a
\[
e^{2ui} = \frac{1 + zi}{1 - zi},
\]
d'où
\[
u = \frac{1}{2i} \log \frac{1 + zi}{1 - zi}.
\]
A chaque valeur de~$z$ correspondent une infinité de valeurs du logarithme
et par conséquent une infinité de valeurs de~$u$. Chacune de ces
valeurs est une détermination de la fonction inverse~$\arctang z$; on~a
donc
\[
\Tag{(19)}
u = \arctang z = \frac{1}{2i} \log \frac{1 + zi}{1 - zi}.
\]

Pour voir quelle loi suivent ces diverses valeurs, nous mettrons l'expression
précédente sous la forme
\[
u = \frac{1}{2i} \left[\log(-1) + \log \frac{z - i}{z + i}\right]
  = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2i} \bigl[\log(z - i) - \log(z + i)\bigr].
\]
Il y a ici deux points critiques logarithmiques $z = +i$, $z = -i$; quand
la variable~$z$ décrit un petit cercle autour du premier point critique ou
autour du second, dans le sens positif, $\log(z - i)$ ou $\log(z + i)$ augmente
de~$2\pi i$, et par conséquent $u$~éprouve une variation égale à $+\pi$~ou
\DPPageSep{106.png}{98}
à~$-\pi$. Les valeurs de~$u$ qui correspondent à une même valeur de~$z$
forment donc une progression arithmétique dont la raison est~$\pi$. Sur la
sphère, le point~$O'$ est un point ordinaire.

Supposons que, la variable~$z$ partant de $z = 0$, on adopte dans l'expression~(19)
le logarithme dont la valeur initiale est zéro, on aura une
fonction~$\arctang z$ ayant pour valeur initiale zéro, et holomorphe sur
toute partie de la sphère qui ne comprend aucun des deux points critiques
$z = ±i$.


\Section{Les fonctions $\arcsin z$, $\arccos z$}

\Paragraph{62.} On définira d'une manière analogue les deux fonctions $\arcsin z$,
$\arccos z$. Soit l'équation
\[
\sin u = z,
\]
d'où l'on déduit (\no{58})
\begin{gather*}
e^{ui} = iz ± \sqrt{1 - z^{2}}, \\
u = \frac{1}{i} \log(iz ± \sqrt{1 - z^{2}}).
\end{gather*}
Nous prendrons l'expression
\[
\Tag{(20)}
u = \arcsin z = \frac{1}{i} \log (iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
en adoptant le logarithme dont la valeur initiale est zéro. Cette
fonction ne devient infinie pour aucune valeur finie de~$z$, car la quantité
$iz + \sqrt{1 - z^{2}}$ ne s'annule pas; mais il y a deux points critiques $a$~et~$a'$
(\Figref{35}), qui correspondent aux valeurs $z = ±1$, et autour de
chacun desquels le radical change de signe.

\Fig[2.5in]{35}

Pour voir comment la fonction se comporte autour du point~$a$, supposons
que la variable~$z$ aille de l'origine à un point~$z_{1}$ voisin de~$a$, en
suivant la droite~$Ox$; on a, dans ce cas, $z = x$; la quantité $ix + \sqrt{1 - x^{2}}$
\DPPageSep{107.png}{99}
a pour module l'unité et pour argument un angle~$\theta$ satisfaisant aux
relations $\sin\theta = x$, $\cos\theta = \sqrt{1 - x^{2}}$, et s'annulant avec~$x$; on en conclut
$u = \theta$ (\no{60}), et, par conséquent, quand $x$~varie de~$0$ à~$1$, $u$~croît
de~$0$ à~$\dfrac{\pi}{2}$. Lorsque la variable~$z$ tourne autour du point~$a$, le radical
change de signe, et la fonction devient
\[
u = \frac{1}{i} \log(iz - \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
ce second logarithme, comme le premier, ayant en~$z_{1}$ une valeur voisine
de~$\dfrac{\pi i}{2}$, puisque la fonction est continue dans le voisinage du point~$a$.
Mais cette expression peut se mettre sous la forme
\[
\Tag{(21)}
u = \frac{1}{i} \log(-1) - \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}})
  = \pi - \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
ce dernier logarithme ayant aussi en~$z_{1}$ une valeur voisine de~$\dfrac{\pi i}{2}$, et
par conséquent étant égal à celui de la formule~(20). Si la variable~$z$
revient ensuite à l'origine en suivant la droite~$Ox$, la fonction~$u$ croît
de~$\dfrac{\pi}{2}$ à~$\pi$. Ainsi, quand la variable~$z$ décrit le lacet~$(a)$, la fonction varie
de~$0$ à~$\pi$, et elle est représentée ensuite par la formule~(21), dans
laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Si la variable~$z$ faisait deux tours autour du point~$a$, le radical changeant
deux fois de signe, la fonction reprendrait en~$z_{1}$ sa valeur primitive,
et l'on reviendrait à l'origine avec la valeur initiale $u = 0$.

Supposons que la variable~$z$ aille de l'origine à un point~$z'_{1}$ voisin de~$a'$,
en suivant la droite~$Oa'$; comme on a toujours $u = \theta$, $u$~variera de~$0$
à~$-\dfrac{\pi}{2}$. La variable tournant autour du point~$a'$, le radical change de
signe et la fonction devient
\[
u = \frac{1}{i} \log(iz - \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
ce logarithme, comme le premier, ayant en~$z'_{1}$ une valeur voisine de~$-\dfrac{\pi i}{2}$.
Mais cette expression peut se mettre sous la forme
\[
\Tag{(22)}
u = -\pi - \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
\DPPageSep{108.png}{100}
ce dernier logarithme ayant aussi en~$z'_{1}$ une valeur voisine de~$-\dfrac{\pi i}{2}$,
et par conséquent étant égal au premier. La variable revenant à l'origine,
$u$~varie de~$-\dfrac{\pi}{2}$ à~$-\pi$, et elle est représentée ensuite par la formule~(22),
dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Supposons maintenant que la variable~$z$ décrive successivement les
deux lacets $(a)$~et~$(a')$; après le premier lacet, la fonction a acquis la
valeur~$\pi$; les formules (21)~et~(22) montrent que, sur le second lacet, la
fonction varie de~$\pi$ à~$2\pi$ et est représentée ensuite par la formule
\[
\Tag{(23)}
u = 2\pi + \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Si la variable avait décrit d'abord le lacet~$(a')$, puis le lacet~$(a)$, la
fonction aurait varié de~$0$ à~$-\pi$ et de~$-\pi$ à~$-2\pi$, et serait ensuite
représentée par la formule
\[
\Tag{(24)}
u = -2\pi + \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
dans laquelle le logarithme a encore à l'origine la valeur zéro.

Cela posé, tous les chemins qui vont de l'origine à un point~$z$ du plan
peuvent se ramener à un chemin déterminé, ou à ce chemin précédé
d'une série de lacets $(a)$~et~$(a')$. Appelons~$u_{1}$ la valeur qu'acquiert la
fonction au point~$z$, quand la variable suit le chemin déterminé. Puisque
le même lacet, parcouru deux fois successivement, ne produit aucun
changement dans la fonction, on peut en faire abstraction; la série sera
formée alors de lacets alternatifs $(a)$~et~$(a')$. Si leur nombre est pair,
la valeur de la fonction, après l'ensemble des lacets, est~$2n\pi$, $n$~étant
un nombre entier positif ou négatif, et la fonction est représentée alors
par la formule
\[
\Tag{(25)}
u = 2n\pi + \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro; la variable
décrivant ensuite le chemin déterminé~$Oz$, on a $u = 2n\pi + u_{1}$. Si le
nombre des lacets est impair, après l'avant-dernier lacet, la fonction
\DPPageSep{109.png}{101}
est représentée par la formule~(25); un nouveau lacet donne
\[
\Tag{(26)}
u = 2n\pi ± \pi - \frac{1}{i} \log(iz + \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
le logarithme s'annulant à l'origine; la variable décrivant ensuite le
chemin déterminé~$Oz$, on a $u = 2n\pi ± \pi - u_{1}$. Il résulte de là qu'à
chaque valeur de~$z$ correspondent les deux séries de valeurs de la fonction:
$2n\pi + u_{1}$, $(2n + 1)\pi - u_{1}$.

Remarquons que, par rapport à l'une quelconque des déterminations
de la fonction $u = \arcsin z$, chacun des points $a$~et~$a'$ est un \emph{point critique
algébrique}, puisque, lorsque la variable tourne autour de l'un
d'eux, la fonction n'acquiert que deux valeurs différentes, qui deviennent
égales en ce point. Les valeurs en nombre infini de la fonction
proviennent de la combinaison des lacets relatifs aux deux points
critiques.

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, on~a
\[
u = \frac{1}{i} \bigl[\log i + \log(1 + \sqrt{1 - z'^{2}}) - \log z'\bigr].
\]
Le point $z'= 0$, c'est-à-dire le point~$O'$ sur la sphère, est donc un \emph{point
critique logarithmique}. Concevons que l'on trace sur la sphère un lacet
qui, partant du point~$O$, enveloppe le point~$O'$; quand la variable décrit
ce lacet, la fonction éprouve une variation égale à~$±2\pi$; mais ce
lacet~$(O')$ peut être ramené à la suite des deux lacets $(a)$~et~$(a')$, pris
dans un certain ordre. Ceci fait voir immédiatement que la suite de ces
deux lacets doit produire une variation de la fonction égale à~$±2\pi$.

De même, si l'on considère l'équation $\cos u = z$, d'où
\[
e^{ui} = z ± \sqrt{z^{2} - 1},\quad
u = \frac{1}{i} \log(z ± \sqrt{z^{2} - 1}),
\]
on aura
\[
\Tag{(27)}
u = \arccos z = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{i} \log(iz ± \sqrt{1 - z^{2}}),
\]
c'est-à-dire $\arccos z = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin z$.
\DPPageSep{110.png}{102}


\Section{La fonction~$z^{a}$}

\Paragraph{63.} Nous avons défini la fonction~$z^{a}$, lorsque l'exposant $a$~est
réel (\no{14}). Lorsque l'exposant est imaginaire, on définira la fonction
de la manière suivante: puisque $z = e^{\log z}$, on posera
\[
\Tag{(28)}
u = z^{a} = e^{a\log z}.
\]
Quand la variable~$z$ décrit une courbe fermée comprenant l'origine, la
fonction~$u$ est multipliée par le facteur constant~$e^{2\pi ai}$; ainsi la fonction
acquiert en chaque point une infinité de valeurs en progression géométrique,
et le point $z = 0$ est un point critique d'une nouvelle espèce.
Soient $a = \alpha + \beta i$, $z = re^{\theta i}$, on~a
\[
u = e^{(\alpha \Log r - \beta\theta) + (\beta \Log r + \alpha\theta) i}.
\]
Si la variable~$z$ se rapproche de l'origine en décrivant une courbe ayant
en ce point une tangente définie par l'argument~$\theta_{0}$, l'argument de la
fonction augmente à l'infini en valeur absolue, et le point~$u$ décrit
autour du point $u = 0$ une spirale composée d'un nombre infini de
circonvolutions. Quand le nombre~$\alpha$ est positif, le module de la fonction
tendant vers zéro, la spirale décrite par le point~$u$ se rapproche
indéfiniment du point $u = 0$; elle s'en éloigne, au contraire, indéfiniment
quand $\alpha$~est négatif, et elle se rapproche d'une circonférence de
rayon~$e^{-\beta\theta_{0}}$ lorsque $\alpha$~est nul. En faisant $z = \dfrac{1}{z'}$, on verra que le point~$O'$
sur la sphère est un point critique de même espèce que le point~$O$;
seulement, quand la spirale relative au point~$O$ est infiniment petite,
celle relative au point~$O'$ est infiniment grande, et réciproquement.


\Section{Sinus et cosinus hyperboliques}

\Paragraph{64.} On désigne sous ce nom les fonctions réelles
\[
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2},
\]
\DPtypo{a}{la} première impaire, la seconde paire, et qui satisfont à la relation
\[
\cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1.
\]
\DPPageSep{111.png}{103}
Voici d'où viennent ces dénominations: le sinus et le cosinus ordinaires
sont les longueurs $MP$~et~$OP$ (\Figref{36}), la variable~$x$ désignant
%[** TN: Commented code shows original figure locations]
%\Fig[1.25in]{36}
l'arc~$AM$ dans le cercle dont le rayon est égal à~$1$, ou le double de l'aire
du secteur~$AOM$. Il est facile de voir que, si au cercle on substitue une
hyperbole équilatère ayant son demi-axe transverse~$OA$ (\Figref{37}) égal
%\Fig[1.5in]{37}
\Figs{1.25in}{36}{1.5in}{37}
à l'unité, et si l'on appelle~$x$ le double de l'aire du secteur~$AOM$, les
longueurs $MP$~et~$OP$ représentent le sinus et le cosinus hyperboliques.

Ces deux fonctions jouissent des propriétés fondamentales
\begin{align*}
\sinh(a + b) &= \sinh a \cosh b + \sinh b \cosh a, \\
\cosh(a + b) &= \cosh a \cosh b + \sinh a \Erratum{\cosh b}{\sinh b}.
\end{align*}
On a construit des tables de ces fonctions; elles servent à trouver les
valeurs de~$\sin z$ et de~$\cos z$, lorsque $z$~est imaginaire; car on a (\no{56})
\begin{gather*}
\cos yi = \cosh y,\quad \sin yi = i \sinh y, \\
\begin{aligned}
\cos(x + yi) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y, \\
\sin(x + yi) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y.
\end{aligned}
\end{gather*}

\Paragraph{65.} \Remarque La fonction $u = \cos z$ donne naissance à un système
\DPPageSep{112.png}{104}
de lignes orthogonales bien connu. Si l'on pose $z = x + yi$, $u = X + Yi$,
on~a
\[
X + Yi = \frac{e^{-y + xi} + e^{y - xi}}{2};
\]
d'où
\[
X =  \cos x \cosh y,\quad
Y = -\sin x \sinh y.
\]
En éliminant successivement $x$~et~$y$, on obtient les courbes
\begin{gather*}
\frac{X^{2}}{\cosh^{2} y} + \frac{Y^{2}}{\sinh^{2} y} = 1, \\
\frac{X^{2}}{\cos^{2} x} - \frac{Y^{2}}{\sin^{2} x} = 1,
\end{gather*}
qui correspondent, les premières aux droites parallèles à l'axe des~$x$,
les secondes aux droites parallèles à l'axe des~$y$; ce sont des ellipses et
des hyperboles homofocales.

La fonction $u = \tang z$ donne naissance à un autre système de lignes
orthogonales. On a, en effet, dans ce cas,
\[
X = \frac{\sin  2x}{\cos 2x + \cosh 2y},\quad
Y = \frac{\sinh 2y}{\cos 2x + \cosh 2y}.
\]
En éliminant successivement $y$~et~$x$, on obtient les deux séries de lignes
orthogonales
\begin{align*}
&X^{2} + Y^{2} + 2X \cot 2x - 1 = 0, \\
&X^{2} + Y^{2} - 2Y \coth 2y + 1 = 0.
\end{align*}
Les premières sont des cercles passant par deux points fixes, les secondes
des cercles ayant pour axe radical commun la perpendiculaire
à la droite qui joint les deux points fixes en son milieu. Chacun de ces
seconds cercles est le lieu du point dont le rapport des distances aux
deux points fixes est constant et égal à une quantité dépendant de la
valeur de~$y$.
\DPPageSep{113.png}{105}


\Chapitre{III}{La Fonction~$\Theta$}

\Paragraph{66.} Au début de leurs admirables travaux sur les fonctions elliptiques,
Abel et Jacobi ont été amenés à considérer une fonction nouvelle
qui joue un rôle très-important dans l'analyse; mais c'est à Jacobi
que l'on doit la découverte de ses principales propriétés.

\begin{Théorème}{I}
La série
\[
\ldots
  + e^{-3z + 3^{2}a}
  + e^{-2z + 2^{2}a}
  + e^{-z + a} + 1 + e^{z + a}
  + e^{ 2z + 2^{2}a}
  + e^{ 3z + 3^{2}a} + \ldots,
\]
dans laquelle $a$~désigne une quantité constante dont la partie réelle est
négative, est convergente.
\end{Théorème}

En effet, le terme de rang~$n$, à partir du terme~$1$ vers la droite, est
\[
u_{n} = e^{nz + n^{2}a};
\]
si l'on pose $a = a' + a''i$, $z = x + yi$, son module est
\[
\mod u_{n} = e^{nx + n^{2}a'};
\]
le nombre
\[
\sqrt[n]{\mod u_{n}} = e^{x + na'}
\]
tendant vers zéro, quand $n$~augmente indéfiniment, la série, prolongée
vers la droite, est convergente.

Le terme de rang~$n$, à partir du terme~$1$ vers la gauche, est de même
\[
u_{-n} = e^{-nz + n^{2}a};
\]
le nombre
\[
\sqrt[n]{\mod u_{n}} = e^{-x + na'}
\]
tendant vers zéro, la série, prolongée vers la gauche, est aussi convergente.
\DPPageSep{114.png}{106}
Ainsi, lorsque la partie réelle~$a'$ de la constante~$a$ est négative, la
série est convergente quelle que soit~$z$; cette série définit donc une
fonction de~$z$ finie et monotrope dans toute l'étendue du plan. Nous la
désignerons par~$\Theta(z)$, et nous écrirons
\[
\Tag{(1)}
\Theta(z) = \sum_{n = -\infty}^{n= +\infty} e^{nz + n^{2}a}.
\]


\Section{Séries à double entrée}

\Paragraph{67.} Pour démontrer que la fonction~$\Theta(z)$ est continue et admet une
dérivée, nous nous servirons d'une propriété générale des séries à double
entrée. On dit qu'une série à double entrée est convergente lorsque la
somme des termes enveloppés par une courbe de forme quelconque
tend vers une limite déterminée, quand cette courbe s'étend à l'infini
dans tous les sens.

\begin{Lemme}[I]
Lorsqu'une série à double entrée, à termes réels et positifs,
est convergente pour une première suite de courbes qui s'étendent à l'infini
dans tous les sens, elle l'est aussi pour une autre suite de courbes, et la
limite est la même.
\end{Lemme}

Une série à double entrée est représentée par la \Figref{38}. Soient $C_{0},
C_{1}, C_{2},\ldots$ une première suite de courbes fermées s'étendant à l'infini
dans tous les sens, c'est-à-dire telles que l'on puisse prendre~$n$ assez
grand pour que la courbe~$C_{n}$ et chacune des suivantes $C_{n + 1}, C_{n + 2},\ldots$
soient extérieures à un cercle décrit de l'origine comme centre avec
un rayon donné; appelons~$S_{n}$ la somme des termes enveloppés par la
courbe~$C_{n}$; nous supposons que, lorsque $n$~augmente indéfiniment, la
somme~$S_{n}$ tend vers une limite~$S$. Soient $C'_{0}, C'_{1}, C'_{2},\ldots$ une seconde
suite de courbes fermées s'étendant aussi à l'infini dans tous les sens, et
désignons par~$S'_{n'}$ la somme des termes enveloppés par la courbe~$C'_{n'}$. Une
courbe~$C_{n}$ de la première suite étant donnée, traçons une courbe~$C'_{n'}$, de
la seconde suite enveloppant la courbe~$C_{n}$, puis une nouvelle courbe~$C_{n + p}$
de la première suite enveloppant~$C'_{n'}$; on~a
\[
S_{n} < S'_{n'} < S_{n + p}.
\]
\DPPageSep{115.png}{107}
Quand $n$~augmente à l'infini, les deux sommes $S_{n}$~et~$S_{n + p}$ tendant vers
la limite~$S$, la somme~$S'_{n'}$ tend vers la même limite.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les deux courbes variables
$C, C'$ étaient fermées. Le théorème subsiste quand l'une des courbes
ou toutes les deux sont ouvertes. Supposons d'abord la courbe~$C$ fermée
et la courbe~$C'$ ouverte, comme une parabole, ou l'ensemble de deux
droites parallèles $AB, CD$ situées de part et d'autre du terme central~$a_{00}$;
\Fig[0.8\textwidth]{38}
la partie du tableau intérieure à la ligne~$C'$ est celle dans laquelle se
trouve ce terme central~$a_{00}$. Une ligne~$C'_{n'}$, étant donnée, fermons-la par
des arcs de courbe arbitraires et traçons une courbe~$C_{m}$ qui enveloppe la
partie du plan ainsi déterminée; la somme des termes situés dans cette
partie du plan est plus petite que~$S_{m}$, et par conséquent plus petite que~$S$;
si l'on éloigne indéfiniment les arcs qui ferment la courbe~$C'_{n'}$, la somme
tend vers une limite~$S'_{n'}$ plus petite que~$S$; cette limite étant indépendante
des arcs auxiliaires, nous dirons qu'elle est la somme des termes
situés à l'intérieur de la courbe~$C'_{n'}$. Cela posé, une courbe~$C_{n}$ étant
donnée, traçons une ligne~$C'_{n'}$ extérieure à la courbe~$C_{n}$, la somme~$S'_{\DPtypo{n}{n'}}$
étant plus grande que~$S_{n}$, on aura
\[
S_{n} < S'_{n'} < S;
\]
ainsi, quand $n'$~augmente à l'infini, $S'_{n'}$~tend vers une limite égale à~$S$.

Considérons maintenant le cas où la première courbe~$C$ est ouverte,
\DPPageSep{116.png}{108}
la seconde~$C'$ fermée. Nous supposons d'abord que la somme des
termes enveloppés par la courbe~$C_{n}$ et des arcs arbitraires tend vers
une limite~$S_{n}$, quand ces arcs s'éloignent à l'infini; nous supposons
ensuite que la somme~$S_{n}$ tend vers une limite~$S$, quand $n$~augmente
à l'infini. Une courbe~$C'_{n'}$ étant donnée, traçons une ligne~$C_m$ extérieure
à cette courbe; la somme~$S'_{n'}$, étant plus petite que~$S_{m}$ et par conséquent
que~$S$, tend vers une limite~$S'$ quand $n'$~augmente à l'infini. D'après ce
que nous avons dit dans le cas précédent, les deux limites $S$~et~$S'$ sont
les mêmes.

Enfin, si la courbe~$C'$ était ouverte comme la courbe~$C$, on prendrait
une courbe fermée auxiliaire~$C''$. En vertu de ce qui précède, la somme
$S''_{m''}$ tend vers la même limite que la somme~$S_{m}$, et la somme~$S'_{m'}$, vers la
même limite que la somme~$S''_{m''}$. Donc la somme~$S'_{m'}$ tend vers la même
limite que~$S_{m}$.

\begin{CorollaireUp}
On évalue ordinairement la somme des termes du
tableau, soit par lignes horizontales, soit par colonnes verticales. Supposons
que chaque ligne horizontale forme une série convergente; désignons
par $s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots$, $s_{-1}, s_{-2}, \ldots$ les sommes de ces séries linéaires;
supposons de plus que la série
\[
\Tag{(1)}
\ldots + s_{-2} + s_{-1} + s_{0} + s_{1} + s_{2} + \ldots,
\]
formée avec ces différentes sommes, soit convergente; en vertu du théorème
précédent, le tableau sera convergent, et l'on obtiendra la même
somme si on l'évalue par colonnes verticales. Chaque colonne verticale
formera d'abord une série convergente, et si l'on appelle $s'_{0}, s'_{1}, s'_{2}, \ldots$,
$s'_{-1}, s'_{-2}, \ldots$ les sommes de ces nouvelles séries linéaires, la série
\[
\Tag{(2)}
\ldots + s'_{-2} + s'_{-1} + s'_{0} + s'_{1} + s'_{2} + \ldots
\]
sera aussi convergente et aura même somme que la série~\Eq{(1)}.
\end{CorollaireUp}

\Paragraph{68.} \begin{Lemme}[II]
Lorsqu'une série à double entrée a tous ses termes
positifs et inférieurs où égaux à ceux d'une autre série à termes positifs
que l'on sait être convergente, la série proposée est aussi convergente.
\end{Lemme}

Soient~$S_{n}$ la somme des termes du premier tableau enveloppés par
une courbe~$C_{n}$, $S'_{n}$~celle des termes enveloppés par la même courbe dans
le second tableau; la somme~$S_{n}$ est plus petite que la somme~$S'_{n}$, et par
\DPPageSep{117.png}{109}
conséquent plus petite que la limite~$S'$; elle tend donc vers une limite~$S$
inférieure à~$S'$.

\begin{Lemme}[III]
Étant donnée une série à double entrée, à termes réels,
positifs ou négatifs, lorsque la série que l'on obtient en remplaçant chaque
terme par sa valeur absolue est convergente, la série proposée est aussi
convergente.
\end{Lemme}

Soient~$S'_{n}$ la somme des termes enveloppés par une courbe~$C_{n}$ dans le
second tableau, $S_{n}$~celle des termes enveloppés par la même courbe dans
le premier tableau; parmi ces termes, les uns sont positifs, les autres
négatifs; appelons~$P_{n}$ la somme des premiers, $Q_{n}$~celle des seconds;
on~a
\[
S_{n} = P_{n} - Q_{n},\quad
S'_{n} = P_{n} + Q_{n}.
\]
La somme~$S'_{n}$ tendant vers une limite~$S'$, quand $n$~augmente à l'infini,
les deux quantités positives $P_{n}$~et~$Q_{n}$, qui vont en augmentant et qui restent
inférieures à~$S'$, tendent respectivement vers des limites $P$~et~$Q$; leur
différence~$S_{n}$ tend donc vers une limite égale à~$P - Q$.

\begin{Lemme}[IV]
Lorsqu'une série à double entrée, à termes imaginaires,
est telle que la série formée par les modules de ses termes est convergente,
elle est elle-même convergente.
\end{Lemme}

Un terme quelconque du tableau est de la forme~$a + bi$; son module
est~$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$; on suppose que le tableau des modules est convergent. En
vertu des deux lemmes précédents, le tableau formé par les quantités
réelles~$a$ est convergent, et de même celui qui est formé par les quantités~$b$.
Appelons $S'_{n}$~et~$S''_{n}$ les sommes des termes enveloppés par une
courbe~$C_{n}$ dans ces deux derniers tableaux; la somme~$S_{n}$ des termes enveloppés
par la même courbe dans le tableau proposé est égale à~$S'_{n} + iS''_{n}$.
Puisque $S'_{n}$~et~$S''_{n}$ tendent vers des limites respectives $S'$~et~$S''$, la somme~$S_{n}$
tend vers une limite égale à~$S' + iS''$.

Comme application de ces principes, nous pouvons remarquer que
les deux séries
\begin{align*}
&\frac{q}{1 - q} + \frac{q^{3}}{1 - q^{3}} + \frac{q^{5}}{1 - q^{5}} + \ldots, \\
&\frac{q}{1 - q^{2}} + \frac{q^{2}}{1 - q^{4}} + \frac{q^{3}}{1 - q^{6}} + \ldots,
\end{align*}
\DPPageSep{118.png}{110}
dans lesquelles la quantité~$q$ a un module inférieur à~$1$, représentant un
même tableau, évalué par lignes horizontales ou par colonnes verticales,
ont la même somme.

On a de même
\begin{align*}
&\frac{1}{1 - q} - \frac{q}{1 - q^{3}}
  + \frac{q^{2}}{1 - q^{5}} - \ldots
  = \frac{1}{1 + q} + \frac{q}{1 + q^{3}}
  + \frac{q^{2}}{1 + q^{5}} + \ldots, \\
%
&\frac{q}{1 - q} + \frac{2q^{2}}{1 \DPtypo{+}{-} q^{2}}
  + \frac{3q^{3}}{1 - q^{3}} + \ldots
  = \frac{q}{(1 - q)^{2}} + \frac{q^{2}}{(1 - q^{2})^{2}}
  + \frac{q^{3}}{(1 - q^{3})^{2}} + \ldots, \\
%
&\frac{q}{1 - q^{2}} + \frac{3q^{3}}{1 - q^{6}}
  + \frac{5q^{5}}{1 - q^{10}} + \ldots
  = \frac{q(1 + q^{2})}{(1 - q^{2})^{2}}
  + \frac{q^{3}(1 + q^{6})}{(1 - q^{6})^{2}}
  + \frac{q^{5}(1 + q^{10})}{(1 - q^{10})^{2}} + \ldots, \\
%
&\frac{\sqrt{q}}{1 + q} - \frac{\sqrt{q^{3}}}{3(1 + q^{3})}
  + \frac{\sqrt{q^{5}}}{5(1 + q^{5})} - \ldots \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
  = \arctang \sqrt{q} - \arctang \sqrt{q^{3}} + \arctang \sqrt{q^{5}} - \ldots.
\end{align*}

\Paragraph{69.} \begin{Théorème}{II}
La fonction~$\Theta(z)$ est holomorphe dans toute
l'étendue du plan.
\end{Théorème}

Nous avons défini la fonction~$\Theta(z)$ par la série
\[
\ldots + e^{-2z + 2^{2}a}
       + e^{-z + a} + 1
       + e^{z + a}
       + e^{2z + 2^{2}a}
       + e^{3z + 3^{2}a} + \ldots.
\]
Si l'on remplace chaque exponentielle~$e^{nz}$ par la série linéaire qu'elle
représente, on a une série à double entrée
\[
\begin{array}{*{7}{@{\,}c@{\,}}}
\hdotsfor{7} \\
\Strut[22pt] e^{2^{2}a} &+& \dfrac{2z}{1}\, e^{2^{2}a} &+& \dfrac{2^{2}z^{2}}{1·2}\, e^{2^{2}a} &+& \ldots \\
\Strut[22pt] e^{a} &+& \dfrac{z}{1}\, e^{a} &+& \dfrac{z^{2}}{1·2}\, e^{a} &+& \ldots \\
\Strut[22pt] 1 &+& 0 &+& 0 &+& \ldots \\
\Strut[22pt] e^{a} &-& \dfrac{z}{1}\, e^{a} &+& \dfrac{z^{2}}{1·2}\, e^{a} &-& \ldots \\
\Strut[22pt] e^{2^{2}a} &-& \dfrac{2z}{1}\, e^{2^{2}a} &+& \dfrac{2^{2}z^{2}}{1·2}\, e^{2^{2}a} &-& \ldots \\
\hdotsfor{7}.
\end{array}
\]
Concevons que l'on remplace chaque terme par son module; les lignes
horizontales étant convergentes et, de plus, la série
\[
\ldots + \Erratum{e^{-2\rho + 2^{2}a'}}{e^{2\rho + 2^{2}a'}}
       + \Erratum{e^{-\rho + a'}}{e^{\rho + a'}} + 1
       + e^{\rho + a'}
       + e^{2\rho + 2^{2}a'} + \ldots,
\]
\DPPageSep{119.png}{111}
formée par les sommes de ces diverses séries linéaires, étant elle-même
convergente, on conclut, d'après le premier lemme, que le tableau des
modules est convergent. En vertu du lemme~IV, le tableau proposé est
aussi convergent; on peut l'évaluer par lignes verticales; la fonction~$\Theta(z)$
sera alors représentée par une série
\[
\Theta(z) = u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + u_{3}z^{3} + \ldots,
\]
ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de la
variable~$z$, et convergente quel que soit~$z$. On en conclut que la fonction
monotrope~$\Theta(z)$ est continue et admet une dérivée, en un mot qu'elle
est \emph{holomorphe} dans toute l'étendue du plan (\Ref{2.1}{Livre~II, Chapitre~I}). Remarquons
que les coefficients $u_{1}, u_{3},\ldots$, à indices impairs, sont nuls.

\Paragraph{70.} \begin{Théorème}{III}
La fonction~$\Theta(z)$ est paire et simplement périodique.
\end{Théorème}

Remplacer $z$~par~$-z$ dans l'expression
\[
\Theta(z) = \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty} e^{nz + n^{2}a}
\]
revient à permuter dans la série les termes qui correspondent à des
valeurs de~$n$ égales et de signes contraires; on a donc
\[
\Tag{(2)}
\Theta(-z) = \Theta(z).
\]

Chacun des termes de la série étant périodique et admettant la
période~$2\pi i$, la fonction~$\Theta(z)$ est elle-même périodique et admet la
même période; on a donc
\[
\Tag{(3)}
\Theta(z + 2\pi i) = \Theta(z).
\]

\Paragraph{71.} \begin{Théorème}{IV}
La lettre~$m$ désignant un nombre entier quelconque,
on~a
\[
\Tag{(4)}
\Theta(z + 2ma) = e^{-m(z + ma)}\, \Theta(z).
\]
\end{Théorème}

En effet, nous pouvons mettre la fonction~$\Theta(z)$ sous la forme
\[
\Tag{(5)}
\Theta(z) = e^{-\efrac{z^{2}}{4a}}
  \sum_{n = \infty}^{n = +\infty} e^{\efrac{1}{4a} (z + 2na)^{2}}.
\]
\DPPageSep{120.png}{112}
Si l'on remplace $z$~par~$z + 2ma$, on~a
\begin{align*}
\Theta(z + 2ma)
  &= e^{-\efrac{1}{4a} (z + 2ma)^{2}}
     \sum_{n = -\infty}^{n= +\infty} e^{\efrac{1}{4a} \bigl[z + 2(n + m)a\bigr]^{2}}, \\
\Theta(z + 2ma)
  &= e^{m(z + ma)} e^{-\efrac{z^{2}}{4a}}
     \sum_{n' = -\infty}^{n'= +\infty} e^{\efrac{1}{4a} (z + 2n'a)^{2}},
\end{align*}
d'où l'on déduit la relation~(4).

En particulier, pour $m = 1$, on~a
\[
\Tag{(6)}
\Theta(z + 2a) = e^{-(z + a)}\Theta(z).
\]

\Paragraph{72.} \begin{Théorème}{V}
La fonction~$\Theta(z)$ s'annule pour toutes les valeurs
de~$z$ comprises dans la formule
\[
\Tag{(7)}
z = (2m + 1)\pi i + (2m' + 1)a,
\]
dans laquelle $m$~et~$m'$ sont des nombres entiers quelconques.
\end{Théorème}

On a, en adoptant la forme~(5), et désignant par~$m_{1}$ un nombre entier
fixe,
\begin{align*}
\Theta(z)
  &= e^{-\efrac{z^{2}}{4a}} \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
     e^{\efrac{1}{4a} \bigl[z + 2(n - m_{1})a\bigr]^{2}}
   = e^{-\efrac{z^{2}}{4a}} \sum_{n = -\infty}^{n= +\infty}
     e^{\efrac{1}{4a} (z - 2na)^{2}}, \\
\Theta(z)
  &= \frac{1}{2} e^{-\efrac{z^{2}}{4a}} \sum_{n = -\infty}^{n= +\infty}
    \left\{e^{\efrac{1}{4a} \bigl[z + 2(n - m_{1})a\bigr]^{2}}
         + e^{\efrac{1}{4a} (z - 2na)^{2}} \right\}.
\end{align*}
Les deux exponentielles sont égales et de signes contraires, lorsque
la différence $(2n - m_{1})(z - m_{1}a)$ des exposants est un multiple impair
de~$\pi i$; on satisfait à cette condition, quel que soit~$n$, en posant
$m_{1} = 2m' + 1$ et $z - m_{1}a = (2m + 1)\pi i$; chacun des termes de la dernière
somme étant alors nul, la somme est nulle. Ainsi la fonction~$\Theta(z)$
s'annule pour chacune des valeurs de~$z$ représentées par la formule~(7).
Nous démontrerons plus tard que ces valeurs sont les seules qui jouissent
de cette propriété.
\DPPageSep{121.png}{113}


\Chapitre{IV}{Les Fonctions Elliptiques}

\Section{Les quatre fonctions~$\theta$}

\Paragraph{73.} Dans le Chapitre précédent, nous avons étudié les propriétés de
la fonction~$\Theta$, en la prenant sous sa forme la plus simple. Si l'on remplace~$z$
par~$\dfrac{2\pi zi}{\omega}$ et si l'on pose $a = \dfrac{\pi\omega' i}{\omega}$, on~a
\[
\Theta \left(\frac{2\pi zi}{\omega}\right)
  = \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty} e^{\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + n^{2}\omega')}.
\]
C'est cette dernière fonction que nous emploierons désormais, et que,
pour abréger, nous représenterons par le symbole~$\Theta(z)$. Nous poserons
en conséquence
\[
\Tag{(a)}
\Theta(z) = \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + n^{2}\omega')},
\]
ou
\[
\Tag{\DPtypo{}{(}b)}
\Theta(z) = e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}
  \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega\omega'} (z + n\omega')^{2}}.
\]
La quantité~$a$ devant avoir sa partie réelle négative, pour la convergence
de la série, il est nécessaire que le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ soit imaginaire, et que,
si l'on pose $\dfrac{\omega'}{\omega} = r + si$, le coefficient~$s$ soit positif.

Les relations (3),~(4),~(6) du Chapitre précédent deviennent
\begin{gather*}
\Tag{(1)}
\Theta(z + \omega) = \Theta(z), \\
\Tag{(2)}
\Theta(z + m\omega') = e^{-\efrac{m\pi i}{\omega} (2z + m\omega')} \Theta(z), \\
\Tag{(3)}
\Theta(z + \omega') = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \Theta(z).
\end{gather*}
\DPPageSep{122.png}{114}
La fonction~$\Theta(z)$ est paire; elle admet la période~$\omega$, et, quand on remplace~$z$
par~$z + \omega'$, elle est multipliée par l'exponentielle~$e^{-\pi i \omega (2z + \omega')}$.
Elle s'annule pour les valeurs
\[
\Tag{(4)}
z = (2m + 1)\frac{\omega}{2} + (2m' + 1)\frac{\omega'}{2},
\]
que l'on déduit de la formule~(7) du \no{72}.

\Paragraph{74.} On peut, à l'aide de cette fonction~$\Theta(z)$, former d'autres fonctions
holomorphes reprenant la même valeur ou une valeur égale et
de signe contraire, quand on remplace~$z$ par~$z + \omega$, et jouissant de la
propriété d'être multipliées par l'exponentielle $e^{ -\pi i \omega (2z + \omega')}$ affectée du
signe~$+$ ou du signe~$-$, quand on remplace~$z$ par~$z + \omega'$. Considérons,
en effet, la fonction
\[
\phi(z) = e^{\beta z}\, \Theta(z + \alpha).
\]
Pour que $\phi(z + \omega) = ±\phi(z)$, il est nécessaire que la constante~$\beta$ soit
de la forme $\beta = \dfrac{b\pi i}{\omega}$, $b$~étant un nombre entier. on~a
\[
\phi(z + \omega') = e^{-\pi i\omega (2z + \omega' + 2\alpha - b\omega')}\, \phi(z);
\]
pour que l'exponentielle ait la valeur voulue, il faut que la constante
$2\alpha - b\omega'$ soit de la forme~$a\omega$, $a$~étant un nombre entier; d'où
$\alpha = a\, \dfrac{\omega}{2} + b\, \dfrac{\omega'}{2}$. En attribuant aux nombres entiers $a$~et~$b$ les deux
valeurs $0$~et~$1$, nous obtiendrons quatre fonctions holomorphes, que
nous désignerons par des signes particuliers; les autres valeurs donneraient
les mêmes fonctions multipliées par des facteurs constants.
Nous poserons
\[
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z) &= \Theta(z), \\
\theta(z) &= \Theta \left(z + \frac{\omega}{2}\right), \\
\theta_{2}(z)
  &= e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left(z + \efrac{\omega'}{4}\right)}
     \Theta \left(z + \frac{\omega'}{2}\right), \\
\theta_{1}(z) &= \frac{1}{i}
     e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left(z + \efrac{\omega'}{4}\right)}
     \Theta \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right).
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{123.png}{115}

En adoptant la forme~\Eq{(a)}, on~a
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z)
  &= \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + n^{2}\omega')}, \\
\theta(z)
  &= \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  (-1)^{n} e^{\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + n^{2}\omega')}, \\
\theta_{2}(z)
  &= \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left[(2n + 1)z + \left(\efrac{2n + 1}{2}\right)^{2}\omega'\right]}, \\
\theta_{1}(z)
  &= \frac{1}{i} \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  (-1)^{n} e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left[(2n + 1)z + \left(\efrac{2n + 1}{2}\right)^{2}\omega'\right]}.
\end{aligned}
\right.
\]
La forme~\Eq{(b)} donne
\[
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z)
  &= e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}
  \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
   e^{\efrac{\pi i}{\omega\omega'} (z + n\omega')^{2}}, \\
%
\theta(z)
  &= e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}
  \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  (-1)^{n} e^{\efrac{\pi i}{\omega\omega'} (z + n\omega')^{2}}, \\
%
\theta_{2}(z)
  &= e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}
  \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega\omega'} \left[z + (2n + 1) \efrac{\omega'}{2}\right]^{2}}, \\
%
\theta_{1}(z)
  &= \frac{1}{i} e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}
  \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  (-1)^{n} e^{\efrac{\pi i}{\omega\omega'} \left[z + (2n + 1) \efrac{\omega'}{2}\right]^{2}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Si, dans les séries~(6), on groupe deux à deux les termes qui correspondent
à des valeurs de~$n$ ou de~$2n + 1$ égales et de signes contraires,
et si l'on pose $q = e^{\efrac{\pi\omega' i}{\omega}}$, on obtient les séries
\[
\Tag{(8)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z)
  &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} q^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega}, \\
\theta(z)
  &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n} q^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega}, \\
\theta_{2}(z)
  &= 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} q^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}}
     \cos \frac{(2n - 1)\pi z}{\omega}, \\
\theta_{1}(z)
  &= 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n-1} q^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}}
     \sin \frac{(2n - 1)\pi z}{\omega}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{124.png}{116}

Ces dernières formules montrent que les trois fonctions $\theta_{3}(z), \theta(z),
\theta_{2}(z)$ sont paires, et que $\theta_{1}(z)$~est impaire. D'après les formules~(5),
qui définissent les fonctions~$\theta$, et la formule~(4), les zéros de ces quatre
fonctions sont
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{aligned}
\text{zéros de $\theta_{3}(z)$},\quad
z &= \frac{\omega + \omega'}{2} + (m\omega + m'\omega'), \\
\text{zéros de $\theta(z)$},\quad
z &= \frac{\omega'}{2} + (m\omega + m'\omega'), \\
\text{zéros de $\theta_{2}(z)$},\quad
z &= \frac{\omega}{2} + (m\omega + m'\omega'), \\
\text{zéros de $\theta_{1}(z)$},\quad
z &= m\omega + m'\omega'.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{75.} Il résulte des considérations précédentes sur la formation de la
fonction~$\phi(z)$ que l'on~a
\begin{align*}
\Tag{(10)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z + \omega) &= \theta_{3}(z), \\
\theta(z + \omega) &= \theta(z), \\
\theta_{2}(z + \omega) &= - \theta_{2}(z), \\
\theta_{1}(z + \omega) &= - \theta_{1}(z);
\end{aligned}
\right.\displaybreak[1] \\
\Tag{(11)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z + \omega')
  &= \frac{1}{q} e^{-\efrac{2\pi zi}{\omega}}\, \theta_{3}(z), \\
\theta(z + \omega') &= -\frac{1}{q} e^{-\efrac{2\pi zi}{\omega}}\, \theta(z), \\
\theta_{2}(z + \omega') &= \frac{1}{q} e^{-\efrac{2\pi zi}{\omega}}\, \theta_{2}(z), \\
\theta_{1}(z + \omega') &= -\frac{1}{q} e^{-\efrac{2\pi zi}{\omega}}\, \theta_{1}(z).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

On a plus généralement, en vertu des formules~(7),
\[
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z + m\omega')
  &= q^{-m^{2}} e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \theta_{3}(z), \\
\theta(z + m\omega')
  &= (-1)^{m} q^{-m^{2}} e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \theta(z), \\
\theta_{2}(z + m\omega')
  &= q^{-m^{2}} e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \theta_{2}(z), \\
\theta_{1}(z + m\omega')
  &= (-1)^{m} q^{-m^{2}} e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \theta_{1}(z).
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{125.png}{117}

Ces dernières formules renferment le facteur
\[
q^{-m^{2}}\, e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}}
  = e^{-\efrac{m\pi i}{\omega} (2z + m\omega')},
\]
dont le module devient infiniment grand, quand le nombre entier~$m$
augmente à l'infini en valeur absolue. On en conclut que les quatre
fonctions~$\theta$ deviennent elles-mêmes infiniment grandes.

\DPtypo{Des}{Dès} formules (5)~et~(7) on déduit aussi
\begin{align*}
\Tag{(13)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}\left(z + \frac{\omega}{2}\right) &= \theta(z), \\
\theta\left(z + \frac{\omega}{2}\right) &= \theta_{3}(z), \\
\theta_{2}\left(z + \frac{\omega}{2}\right) &= -\theta_{1}(z), \\
\theta_{1}\left(z + \frac{\omega}{2}\right) &= \theta_{2}(z);
\end{aligned}
\right.\displaybreak[1] \\
\Tag{(14)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi z i}{\omega}} \theta_{2}(z), \\
\theta_{2}\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi z i}{\omega}} \theta_{3}(z), \\
\theta\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{i}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi z i}{\omega}} \theta_{1}(z), \\
\theta_{1}\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{i}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi z i}{\omega}} \theta(z);
\end{aligned}
\right.
\intertext{et par suite}
\Tag{(15)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{i}{\sqrt[4]{q}}\, e^{\Erratum{}{-}\efrac{\pi zi}{\omega}} \theta_{1}(z), \\
\theta_{1}\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi zi}{\omega}} \theta_{3}(z), \\
\theta\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{q}}\, e^{-\efrac{\pi zi}{\omega}} \theta_{2}(z), \\
\theta_{2}\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{-i}{\sqrt[4]{q}}\, e^{\efrac{\pi zi}{\omega}} \theta(z).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
\DPPageSep{126.png}{118}


\Section{Les trois fonctions elliptiques}

\Paragraph{76.} Il est aisé de reconnaître que les rapports des quatre fonctions~$\theta$
deux à deux sont des fonctions méromorphes doublement périodiques.
Ces rapports sont au nombre de douze; mais il suffit de considérer trois
d'entre eux, les rapports de trois des fonctions~$\theta$ à la quatrième, par
exemple $\dfrac{\theta_{1}}{\theta}$, $\dfrac{\theta_{2}}{\theta}$, $\dfrac{\theta_{3}}{\theta}$; les autres seront les réciproques de ceux-là, et leurs
quotients deux à deux. On obtient ainsi les trois fonctions auxquelles
on a donné le nom de \emph{fonctions elliptiques}, et que nous désignerons par
les symboles $\lambda, \mu, \nu$, savoir:
\[
\Tag{(16)}
\lambda(z) = A \frac{\theta_{1}(z)}{\theta(z)},\quad
\mu(z) = B \frac{\theta_{2}(z)}{\theta(z)},\quad
\nu(z) = C \frac{\theta_{3}(z)}{\theta(z)}.
\]
La première fonction est impaire, les deux autres sont paires. Elles
deviennent toutes trois infinies pour les valeurs de~$z$ qui annulent le
dénominateur; chacune d'elles s'annule en même temps que son numérateur.
On détermine les constantes $A, B, C$ de manière que $\lambda\left(\dfrac{\omega}{2}\right) = 1$,
$\mu(0) = 1$, $\nu(0) = 1$; il en résulte
\[
A = \frac{\theta \left(\dfrac{\omega}{2}\right)}
         {\theta_{1} \left(\dfrac{\omega}{2}\right)}
  = \frac{\theta_{3}(0)}{\theta_{2}(0)},\quad
B = \frac{\theta(0)}{\theta_{2}(0)},\quad
C = \frac{\theta(0)}{\theta_{3}(0)}.
\]
Ces trois constantes dépendent de deux rapports; nous poserons
\[
\Tag{(17)}
\sqrt{k}  = \frac{\theta_{2}(0)}{\theta_{3}(0)},\quad
\sqrt{k'} = \frac{\theta(0)}{\theta_{3}(0)},
\]
et nous aurons
\[
\Tag{(18)}
\lambda(z) = \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta_{1}(z)}{\theta(z)},\quad
\mu(z) = \sqrt{\frac{k'}{k}}\, \frac{\theta_{2}(z)}{\theta(z)},\quad
\nu(z) = \sqrt{k'} \frac{\theta_{3}(z)}{\theta(z)}.
\]

\Eq{(a)}.~\textit{La fonction~$\lambda$.}\ --- D'après les relations~(10), on~a
\[
\lambda(z + \omega) = -\lambda(z),
\]
\DPPageSep{127.png}{119}
et par suite
\[
\lambda(z + 2\omega) = \lambda(z),
\]
et, d'après les relations~(11),
\[
\lambda(z + \omega') = \lambda(z).
\]
Ainsi la fonction~$\lambda(z)$ admet les deux périodes $2\omega, \omega'$, et l'on a, d'une
manière générale,
\[
\lambda(z + 2m\omega + m'\omega') = \lambda(z),
\]
$m$~et~$m'$ étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Nous appellerons \emph{points homologues} les points compris dans la formule
$z + 2m\omega + m'\omega'$; par exemple, les points $2m\omega + m'\omega'$ sont homologues
de l'origine.

%[** TN: Changed o -> O as noted]
Voici comment on peut représenter cette double périodicité. Dans le
plan sur lequel est figurée la variable~$z$, marquons, d'une part, les
points $2\omega, 4\omega, \ldots$ (\Figref{39}); d'autre part, les points $\omega', 2\omega',\ldots$. Les premiers
\Fig[2in]{39}
sont situés sur une droite~$\DPtypo{oa}{Oa}$ et à égale distance les uns des autres,
et de même les seconds sur une droite~$\DPtypo{ob}{Ob}$; par les premiers points menons
des parallèles à~$\DPtypo{ob}{Ob}$, et par les seconds points des parallèles à~$\DPtypo{oa}{Oa}$; ces
deux séries de parallèles divisent le plan en parallélogrammes égaux,
et leurs points d'intersection sont les points $2m\omega + m'\omega'$ homologues
de l'origine. La double périodicité consiste en ce que la fonction
reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes.
Les zéros et les infinis de la fonction sont distribués
uniformément dans le plan; nous avons indiqué les zéros par des points
\DPPageSep{128.png}{120}
ronds, les infinis ou les pôles par de petites croix. Il y a deux zéros et
deux infinis dans chaque parallélogramme; par exemple, le parallélogramme~$\DPtypo{oacb}{Oacb}$
renferme les deux zéros~$0, \omega$, et les deux infinis $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega'}{2} + \omega$.

La fonction impaire~$\lambda(z)$ présente une grande analogie avec la fonction
$\sin\dfrac{\pi z}{\omega}$, par rapport à la période~$2\omega$.

\Eq{(b)}.~\textit{La fonction~$\mu$.}\ --- D'après les relations (10)~et~(11), on~a
\[
\mu(z + \omega) = -\mu(z),\quad
\mu(z + \omega') = -\mu(z),
\]
et par suite
\[
\mu(z + 2\omega) = \mu(z),\quad
\mu(z + \omega + \omega') = \mu(z).
\]
La fonction admet les deux périodes $2\omega, \omega + \omega'$. Le parallélogramme~$Oaed$
(\Figref{40}), relatif à cette seconde fonction, a un côté
\Fig[2.5in]{40}
commun~$Oa$ avec le parallélogramme~$Oacb$ relatif à la fonction~$\lambda$; l'autre
côté~$Od$ joint l'origine au point~$\omega + \omega'$ situé au milieu de~$bc$. Il y a
encore deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par
exemple, le parallélogramme~$Oaed$ renferme les deux zéros $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{3\omega}{2}$ et
les deux infinis $\dfrac{\omega'}{2} + \omega$, $\dfrac{\omega'}{2} + 2\omega$.

La fonction paire~$\mu(z)$ présente une grande analogie avec la fonction
$\cos\dfrac{\pi z}{\omega}$, par rapport à la période~$2\omega$.

\Eq{(c)}.~\textit{La fonction~$\nu$.}\ --- Puisque $\nu(z + \omega) = \nu(z)$, $\nu(z + \omega') = -\nu(z)$,
et par suite $\nu(z + 2\omega') = \nu(z)$, la fonction admet les deux périodes $\omega, 2\omega'$.
\DPPageSep{129.png}{121}
Le parallélogramme~$Ofhg$ (\Figref{41}), relatif à cette troisième fonction,
a son côté~$Of$ moitié de~$Oa$ et son côté~$Og$ double de~$Ob$. Il y a encore
deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par exemple,
le parallélogramme~$Ofhg$ renferme les deux zéros $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2} + \omega'$,
et les deux infinis $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{3\omega'}{2}$. Les parallélogrammes $Oacb, Oaed, Ofhg$,
relatifs aux trois fonctions elliptiques $\lambda, \mu, \nu$, ont des aires égales.

Il n'est pas nécessaire que les parallélogrammes aient leurs côtés
rectilignes. En ce qui concerne la fonction~$\lambda$, concevons que les points $O$~et~$a$
\Fig[1.375in]{41}
soient joints par une ligne quelconque, et de même les points $O$~et~$b$;
que l'on remplace tous les côtés parallèles à~$Oa$ par des lignes
égales à la ligne~$Oa$, tous les côtés parallèles à~$Ob$ par des lignes égales
à la ligne~$Ob$; nous formerons ainsi un réseau jouissant des mêmes
propriétés que le premier.


\Section{Relations entre les fonctions elliptiques}

\Paragraph{77.} Des relations (13),~(14),~(15) entre les fonctions~$\theta$, on déduit
les relations suivantes entre les fonctions elliptiques:
\begin{align*}
\Tag{(19)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z + \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{3}(z)}
   = \frac{\mu(z)}{\nu(z)}, \\
\mu\left(z + \frac{\omega}{2}\right)
  &= - \sqrt{k'}{k}\, \frac{\theta_{1}(z)}{\theta_{3}(z)}
   = -k' \frac{\lambda(z)}{\nu(z)}, \\
\nu\left(z + \frac{\omega}{2}\right)
  &= \sqrt{k'} \frac{\theta(z)}{\theta_{3}(z)} = k'\frac{1}{\nu(z)};
\end{aligned}
\right. \displaybreak[1] \\
\DPPageSep{130.png}{122}
\Tag{(20)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &=  \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta(z)}{\theta_{1}(z)}
   =  \frac{1}{k\lambda(z)}, \\
\mu\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &=  -i \sqrt{\frac{k'}{k}}\, \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{1}(z)}
   =  \frac{-i}{k}\, \frac{\nu(z)}{\lambda(z)}, \\
\nu\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &=  -i \sqrt{k'} \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{1}(z)}
   =  -i \frac{\mu(z)}{\lambda(z)};
\end{aligned}
\right. \displaybreak[1] \\
\Tag{(21)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &=  \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{2}(z)}
   =  \frac{1}{k}\, \frac{\nu(z)}{\mu(z)}, \\
\mu\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &=  -i \sqrt{\frac{k'}{k}}\, \frac{\theta(z)}{\theta_{2}(z)}
   =  \frac{-ik'}{k}\, \frac{1}{\mu(z)}, \\
\nu\left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &=  i \sqrt{k'} \frac{\theta_{1}(z)}{\theta_{2}(z)}
   =  ik' \frac{\lambda(z)}{\mu(z)}.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

En faisant $z = 0$ dans les relations précédentes, on~a
\[
\Tag{(22)}
\nu\left(\frac{\omega}{2}\right) = k',\quad
\lambda\left(\frac{\omega + \omega'}{2}\right) = \frac{1}{k},\quad
\mu\left(\frac{\omega + \omega'}{2}\right) = \frac{-ik'}{k}.
\]

Les constantes
\[
\Tag{(23)}
\theta_{3}(0) = 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} q^{n^{2}},\
\theta(0) = 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n} q^{n^{2}},\
\theta_{2}(0)
  = 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} q^{\left(2n - \efrac{1}{2}\right)^{2}},
\]
dont on obtient les valeurs en faisant $z = 0$ dans les séries~(8), ne
dépendent que de la quantité $q = e^{\efrac{\pi\omega' i}{\omega}}$, et par conséquent du rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$
des périodes. Il en est de même des constantes $k$~et~$k'$ définies par les
formules~(17).

Telles sont les propriétés les plus simples des fonctions elliptiques.
Nous compléterons cette étude quand nous aurons établi les théorèmes
généraux qui nous sont nécessaires.

\DPPageSep{131.png}{123}


\Livre{III}{Les Intégrales Définies}

\Chapitre[Les Intégrales Définies]
{Premier}{Propriétés Fondamentales des Intégrales Définies}

\Paragraph{78.} La considération des intégrales définies, quand la variable passe
par une suite de valeurs imaginaires, est due à Cauchy (\textit{Mémoire sur les
intégrales définies prises entre des limites imaginaires}, 1825.~--- \textit{Comptes
rendus de l'Académie des Sciences}, 1846). Elle marque l'un des plus
grands progrès de l'Analyse mathématique; elle constitue, comme nous
le verrons, une méthode féconde pour l'étude des propriétés des fonctions.

\begin{Théorème}{I}
Soit $f(z)$ une fonction continue, quand la variable~$z$
décrit une certaine courbe~$z_{0}Z$ \(\Figref{42}\); si l'on prend sur la courbe
des points intermédiaires $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}$, la somme
\[
\Tag{(1)}
f(z_{0})(z_{1} - z_{0}) + f(z_{1})(z_{2} - z_{1}) + \ldots
  + f(z_{n-1})(Z - z_{n-1})
\]
tend vers une limite déterminée, quand on augmente indéfiniment le
nombre des points de division, de manière que chacun des arcs tende vers
zéro.
\end{Théorème}

Le point $z = x + yi$ décrivant la courbe~$z_{0}Z$, on peut regarder $x$~et~$y$
comme des fonctions continues $\phi_{1}(t), \phi_{2}(t)$ d'une variable réelle~$t$
croissant de~$t_{0}$ à~$T$; de cette manière, la variable imaginaire~$z$ est une
fonction de la variable réelle~$t$,
\[
z = \phi_{1}(t) + i\phi_{2}(t) = \phi(t).
\]
\DPPageSep{132.png}{124}
Nous supposerons que chacune des fonctions réelles $\phi_{1}(t), \phi_{2}(t)$ admet
une dérivée. Pour fixer les idées, on pourra prendre pour variable réelle
\Fig[2in]{42}
auxiliaire~$t$ la longueur de l'arc de courbe comptée à partir du point~$z_{0}$;
les dérivées $\phi'_{1}(t), \phi'_{2}(t)$ désigneront alors les cosinus des angles
que la tangente à la courbe fait avec les axes $Ox$~et~$Oy$. Appelons $t_{1},
t_{2}, \ldots, t_{n-1}$, les valeurs de~$t$ qui correspondent aux différents points de
division marqués sur la courbe. Les fonctions $\phi_{1}(t), \phi_{2}(t)$ ayant des
dérivées, on~a
\begin{align*}
  \phi_{1}(t_{1}) - \phi_{1}(t_{0})
  &= (t_{1} - t_{0}) \bigl[\phi'_{1}(t_{0}) + \epsilon'_{0}\bigr], \\
  \phi_{2}(t_{1}) - \phi_{2}(t_{0})
  &= (t_{1} - t_{0}) \bigl[\phi'_{2}(t_{0}) + \epsilon''_{0}\bigr],
\end{align*}
$\epsilon'_{0}$~et~$\epsilon''_{0}$ tendant vers zéro en même temps que~$t_{1} - t_{0}$. On en déduit
\begin{align*}
  z_{1} - z_{0}
  &= \phi_{1}(t_{1}) - \phi_{1}(t_{0})
  + i \bigl[\phi_{2}(t_{1}) - \phi_{2}(t_{0})\bigr] \\
  &= (t_{1} - t_{0}) \bigl[\phi'_{1}(t_{0}) + i \phi'_{2}(t_{0}) + \epsilon'_{0} + i\epsilon''_{0} \bigr]
   = (t_{1} - t_{0}) \bigl[\phi'(t_{0}) + \epsilon_{0}\bigr],
\end{align*}
$\epsilon_{0}$~étant une quantité imaginaire, qui tend vers zéro avec~$t_{1} - t_{0}$. on~a
de même
\[
\begin{array}{l}
  z_{2} - z_{1} = (t_{2} - t_{1}) \bigl[\phi'(t_{1}) + \epsilon_{1}\bigr], \\
  \DotRow{z_{2} - z_{1} = (t_{2} - t_{1}) \bigl[\phi'(t_{1}) + \epsilon_{1}\bigr]}, \\
  Z - z_{n-1} = (T - t_{n-1}) \bigl[\phi'(t_{n-1}) + \epsilon_{n-1}\bigr],
\end{array}
\]
les quantités $\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n-1}$ tendant respectivement vers zéro avec les différences
$t_{2} - t_{1}, \ldots, T - t_{n-1}$. La somme~(1) devient ainsi
\begin{gather*}
\bigl[f(z_{0}) \phi'(t_{0}) (t_{1} - t_{0})
    + f(z_{1}) \phi'(t_{1}) (t_{2} - t_{1}) + \ldots
    + f(z_{n-1}) \phi'(t_{n-1})(T - t_{n-1})\bigr] \\
+ \bigl[f(z_{0}) \epsilon_{0} (t_{1} - t_{0})
    + f(z_{1}) \epsilon_{1} (t_{2} - t_{1}) + \ldots
    + f(z_{n-1}) \epsilon_{n-1} (T - t_{n-1})\bigr].
\end{gather*}
Nous remarquons d'abord que la seconde partie a pour limite zéro;
car, si l'on appelle~$M$ le maximum du module de la fonction~$f(z)$ sur la
courbe~$z_{0}Z$, et $\epsilon$~le plus grand module de quantités $\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n-1}$, le
\DPPageSep{133.png}{125}
module de cette parenthèse est moindre que~$M\epsilon(T - t_{0})$. Quant à la
première partie, si l'on pose
\[
f(z) \phi'(t) = \psi(t) + i \chi(t),
\]
elle se décompose en deux
\begin{gather*}
  \phantom{-}\bigl[\psi(t_{0}) (t_{1} - t_{0})
      + \psi(t_{1}) (t_{2} - t_{1}) + \ldots
      + \psi(t_{n-1}) (T - t_{n-1})\bigr] \\
  + i\bigl[\chi(t_{0}) (t_{1} - t_{0})
      + \chi(t_{1}) (t_{2} - t_{1}) + \ldots
      + \chi(t_{n-1}) (T - t_{n-1})\bigr],
\end{gather*}
l'une réelle, l'autre imaginaire, et les deux sommes placées entre parenthèses
ont respectivement pour limites les intégrales définies réelles
\[
\int_{t_{0}}^{T} \psi(t)\, dt,\quad
\int_{t_{0}}^{T} \chi(t)\, dt.
\]
La somme~(1) tend donc vers la limite
\[
\int_{t_{0}}^{T} \psi(t)\, dt + i \int_{t_{0}}^{T} \chi(t)\, dt;
\]
cette limite est ce qu'on appelle l'intégrale définie
\[
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz,
\]
prise le long de la courbe~$z_{0}Z$.

\Paragraph{79.} \begin{CorollaireUp}[I]
D'après ce que nous venons de dire, on~a
\[
\Tag{(2)}
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz
  = \int_{t_{0}}^{T} \bigl[\psi(t) + i \chi(t)\bigr]\, dt
  = \int_{t_{0}}^{T} f(z) \phi'(t)\, dt.
\]
\end{CorollaireUp}

\begin{CorollaireUp}[II]
Si l'on appelle $c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n-1}$ les longueurs des
cordes qui sous-tendent les arcs $z_{0} z_{1}, z_{1} z_{2}, \ldots, z_{n-1}Z$, et $l$~la longueur
de la courbe~$z_{0}Z$, le module de la somme~(1) est plus petit que
\[
M(c_{0} + c_{1} + c_{2} + \ldots + c_{n-1}) < Ml;
\]
on a donc
\[
\Tag{(3)}
\mod \int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz < Ml.
\]
\end{CorollaireUp}
\DPPageSep{134.png}{126}

\Paragraph{80.} \begin{Théorème}{II}
Si l'on change de variable en posant $z = \phi(z')$,
on~a
\[
\Tag{(4)}
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz = \int_{z'_{0}}^{Z'} f(z) \phi'(z')\, dz'.
\]
\end{Théorème}

On suppose que la fonction~$\phi(z')$ est continue quand la variable~$z'$
décrit une certaine courbe~$z'_{0}Z'$, et que, de plus, elle admet une dérivée~$\phi'(z')$;
la variable~$z$ décrit une courbe correspondante~$z_{0}Z$; les
intégrales définies sont prises suivant ces deux courbes. on~a
\[
\begin{array}{l}
  z_{1} - z_{0} = (z'_{1} - z'_{0}) \bigl[\phi'(z'_{0}) + \epsilon_{0}\bigr], \\
  z_{2} - z_{1} = (z'_{2} - z'_{1}) \bigl[\phi'(z'_{1}) + \epsilon_{1}\bigr], \\
  \DotRow{z_{2} - z_{1} = (z'_{2} - z'_{1}) \bigl[\phi'(z'_{1}) + \epsilon_{1}\bigr]}, \\
  Z - z_{n-1} = (Z' - z'_{n-1}) \bigl[\phi' (z'_{n-1}) + \epsilon_{n-1}\bigr],
\end{array}
\]
et par suite
\begin{multline*}
f(z_{0}) (z_{1} - z_{0}) + f(z_{1}) (z_{2} - z_{1}) + \ldots
  + f(z_{n-1})(Z - z_{n-1}) \\
  = \bigl[f(z_{0}) \phi'(z'_{0}) (z'_{1} - z'_{0})
        + f(z_{1}) \phi'(z'_{1}) (z'_{2} - z'_{1}) + \ldots
        + f(z_{n-1}) \phi'(z'_{n-1})(Z' - z'_{n-1})\bigr] \\
  + \bigl[f(z_{0}) \epsilon_{0} (z'_{1} - z'_{0})
        + f(z_{1}) \epsilon_{1} (z'_{2} - z'_{1}) + \ldots
        + f(z_{n-1}) \epsilon_{n-1} (Z' - z'_{n-1})\bigr].
\end{multline*}
Si, comme précédemment, on appelle~$M$ le maximum du module de~$f(z)$,
$\epsilon$~le plus grand module des quantités $\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n-1}$; si l'on désigne
par $c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n-1}$ les cordes qui sous-tendent les arcs $z'_{0} z'_{1}, z'_{1} z'_{2}, \ldots,
z'_{n-1}Z'$, et par~$l'$ la longueur de la courbe~$z'_{0}Z'$, le module de la seconde
partie est moindre que
\[
M \epsilon (c_{0} + c_{1} + \ldots + c_{n-1}) < M \epsilon l';
\]
cette seconde partie tend donc vers zéro; on en conclut que les deux
intégrales sont égales.

\begin{Corollaire}
Si, lorsque la variable~$z$ décrit la courbe~$z_{0}Z$, la fonction~$F(z)$
est continue et admet pour dérivée~$f(z)$, on~a
\[
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz = F(Z) - F(z_{0}),
\]
l'intégrale étant prise le long de cette courbe.
\end{Corollaire}

Posons $u = F(z)$; quand la variable~$z$ décrit la courbe~$z_{0}Z$, la variable~$u$
\DPPageSep{135.png}{127}
décrit une courbe correspondante~$u_{0}U$, et, en vertu du théorème
précédent, on~a
\[
\int_{u_{0}}^{U} du
  = \int_{z_{0}}^{Z} F'(z)\, dz
  = \int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz.
\]
Si l'on désigne par $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n-1}$ une série de points intermédiaires
sur la courbe~$u_{0}U$, la première intégrale est la limite de la somme
\[
(u_{1} - u_{0}) + (u_{2} - u_{1}) + \ldots + (U - u_{n-1});
\]
mais cette somme est égale à~$U - u_{0}$; on en conclut que l'intégrale
définie est égale à~$U - u_{0}$, c'est-à-dire à~$F(Z) - F(z_{0})$.

\Paragraph{81.} \begin{Théorème}{III}
Si la fonction~$f(z)$ peut se développer en une
série
\[
f(z) = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots,
\]
dont tous les termes soient des fonctions continues de~$z$ quand cette variable
décrit la courbe~$z_{0}Z$, convergente en tous les points de cette courbe,
et telle que l'on puisse prendre $n$~assez grand pour que, en chacun de
ces points, le module de la somme
\[
u_{n} + u_{n+1} + \ldots
\]
soit moindre qu'un nombre donné~$\alpha$, on~a
\[
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz
  = \int_{z_{0}}^{Z} u_{0}\, dz + \int_{z_{0}}^{Z} u_{1}\, dz + \ldots,
\]
toutes les intégrales étant prises le long de la courbe~$z_{0}Z$.
\end{Théorème}

Désignons en effet par~$S_{n}$ la somme des $n$~premiers termes de la dernière
série, par~$\phi(z)$ la somme $u_{n} + u_{n+1} + \ldots$, et par~$l$ la longueur de
la courbe, on~a
\[
\int_{z_{0}}^{Z} f(z)\, dz = S_{n} + \int_{z_{0}}^{Z} \phi(z)\, dz;
\]
le module de~$\phi(z)$ étant moindre que~$\alpha$, le module de la dernière intégrale
est moindre que~$\alpha l$; la somme~$S_{n}$ tend donc vers une limite égale
à la première intégrale, quand $n$~augmente indéfiniment.
\DPPageSep{136.png}{128}

\Paragraph{82.} \begin{Théorème}{IV}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
une partie du plan à contour simple, l'intégrale définie
\[
\int f(z)\, dz,
\]
relative à une courbe fermée quelconque située dans cette partie du plan,
est nulle.
\end{Théorème}

Nous entendons par ces mots --- \emph{une partie du plan} --- une aire continue,
c'est-à-dire telle que l'on puisse aller d'un point à un autre sans
sortir de l'aire. Si l'aire est limitée par une ligne fermée continue, nous
dirons qu'elle est \emph{à contour simple}; si elle est limitée par plusieurs
lignes distinctes, nous dirons qu'elle est \emph{à contour complexe}. Par
exemple, l'aire d'un cercle est à contour simple; l'aire comprise entre
deux circonférences concentriques est à contour complexe.

On peut toujours, à l'aide de transversales ou de \emph{coupures}, transformer
un contour complexe en un contour simple.

Dans le cas précédent, concevons que l'on fasse une coupure allant
de l'une des deux circonférences à l'autre (\Figref{43}); les deux bords de
la coupure sont deux lignes infiniment voisines $ab, a'b'$; l'aire de la
couronne est limitée par la ligne fermée continue $abcb'a'c'a$, et l'on~a
\Figs{2in}{43}{2.25in}{44}
ainsi un contour simple. Considérons de même l'aire que l'on obtient
en enlevant d'un cercle deux petits cercles intérieurs (\Figref{44}), aire
limitée par trois courbes distinctes; à l'aide de deux coupures, telles
\DPPageSep{137.png}{129}
que $ab, a'b'$ et~$de, d'e'$, on forme un contour simple $abcdefe'd'gb'a'ha$
enveloppant l'aire.

Les théorèmes des \nos~\nref{20},~\nref{21},~\nref{22} s'appliquent à une aire limitée par
une ligne fermée continue, et l'on suppose que cette ligne est décrite
dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel, qu'un observateur ait
toujours à sa gauche l'aire enveloppée. Dans les figures précédentes,
les flèches indiquent le sens du mouvement.

Désignons d'une manière générale par~$C$ le contour simple qui enveloppe
l'aire dans laquelle la fonction~$f(z)$ est holomorphe; quand la
variable~$z$ se meut dans cette partie du plan, le point mobile est astreint
à ne pas franchir le contour et, par conséquent, à ne traverser aucune
des coupures, s'il y en a; toutes les lignes que nous tracerons par la
suite seront assujetties à la même condition. Considérons d'abord une
courbe fermée~$A_{1}$, telle qu'aucun des rayons vecteurs qui joignent un
point fixe~$O$ (correspondant à $z = z_{0}$) aux différents points de la courbe
ne rencontre le contour (\Figref{45}). Pour simplifier, nous remplacerons~$z$
\Fig[2.25in]{45}
par~$z_{0} + z$, afin que le point~$O$ soit l'origine de la nouvelle variable~$z$,
et nous représenterons encore par~$f(z)$ la fonction proposée.

Nous désignerons spécialement par~$z_{1}$ la valeur de la variable~$z$,
quand elle décrit la courbe~$A_{1}$, et nous prendrons pour variable réelle
auxiliaire~$t$ l'arc de la courbe~$A_{1}$, compté à partir d'un point fixe~$a$,
cette variable croissant de zéro à la longueur~$l$ de la courbe. on~a
alors
\[
z_{1} = \phi_{1}(t) + i\phi_{2}(t) = \phi(t),
\]
\DPPageSep{138.png}{130}
et l'intégrale relative à la courbe fermée~$A_{1}$ est~(79)
\[
A_{1} = \int f(z_{1})\, dz_{1} = \int_{0}^{l} f(z_{1}) \phi'(t)\, dt.
\]

La formule
\[
z = \alpha z_{1} = \alpha \phi(t),
\]
dans laquelle $\alpha$~est un nombre réel et positif variant de zéro à l'unité,
peut servir à représenter tous les points de l'aire décrite par le rayon
vecteur~$Oz_{1}$. Quand, $t$~restant constant, $\alpha$~croît de~$0$ à~$1$, le point~$z$
décrit la droite~$Oz_{1}$. Quand, au contraire, $\alpha$~restant constant, $t$~croît
de~$0$ à~$l$, le point~$z$ décrit une courbe~$A$ homothétique à~$A_{1}$ par rapport
au centre d'homothétie~$O$. L'intégrale relative à cette courbe~$A$ est
\[
A = \int f(z)\, dz = \alpha \int_{0}^{l} f(z) \phi'(t)\, dt.
\]

Si l'on attribue à~$\alpha$ une valeur voisine $\alpha' = \alpha + \Delta\alpha$, le point mobile,
que nous désignerons ici par~$z'$, et qui est défini par la formule
\[
z' = \alpha'\phi(t) = (\alpha + \Delta\alpha)\phi(t),
\]
décrit une courbe~$A'$ voisine de~$A$, et l'intégrale relative à cette courbe~$A'$
est
\[
A' = \int f(z')\, dz'
   = (\alpha + \Delta \alpha) \int_{0}^{l} f(z') \phi'(t)\, dt.
\]
On en déduit
\[
A' - A = \int_{0}^{l} \bigl\{
  \alpha \bigl[f(z') - f(z)\bigr] + f(z') \Delta \alpha\bigr
\} \phi'(t)\, dt.
\]
Les deux points $z$~et~$z'$, qui appartiennent aux courbes $A$~et~$A'$ et qui
correspondent à une même valeur de~$t$, sont situés sur un même rayon~$Oz_{1}$
et sont très-voisins l'un de l'autre; car on a $z' - z = \Delta \alpha \phi(t)$. La
fonction~$f(z)$ n'ayant qu'une valeur en chaque point et variant d'une
manière continue, la différence $f(z') - f(z)$ est très-petite et s'annule
avec~$\Delta \alpha$; on en conclut que la différence~$A' - A$ est elle-même très-petite
et s'annule avec~$\Delta \alpha$. Ainsi l'intégrale relative à la courbe~$A$
est une fonction continue de~$\alpha$; nous la désignerons par~$\psi(\alpha)$.

Cherchons le rapport de l'accroissement de cette fonction à celui de
\DPPageSep{139.png}{131}
la variable, savoir
\[
\frac{A' - A}{\Delta \alpha} = \int_{0}^{l}
  \left[\alpha\, \frac{f(z') - f(z)}{\Delta\alpha} + f(z')\right]\phi'(t)\, dt.
\]
Considérons d'abord le rapport
\[
\frac{f(z') - f(z)}{\Delta\alpha}
  = \frac{f(z') - f(z)}{z' - z} × \frac{z' - z}{\Delta\alpha}.
\]
La fonction~$f(z)$, étant holomorphe, admet une dérivée~$f'(z)$, c'est-à-dire
que le rapport $\dfrac{f(z') - f(z)}{z' - z}$ tend vers une même limite~$f'(z)$, quand
le point~$z'$ se rapproche du point~$z$ d'une manière quelconque; on~a
donc
\[
\frac{f(z') - f(z)}{z' - z} = f'(z) + \epsilon,
\]
$\epsilon$~tendant vers zéro avec~$\Delta\alpha$. De la relation $z' - z = \Delta\alpha\,\phi(t)$, on déduit
\[
\frac{z' - z}{\Delta\alpha} = \phi(t).
\]
On a ainsi
\begin{gather*}
\frac{f(z') - f(z)}{\Delta\alpha} = \bigl[f'(z) + \epsilon\bigr] \phi(t), \\
\alpha\, \frac{f(z') - f(z)}{\Delta\alpha}
  = \alpha\phi(t) \bigl[f'(z) + \epsilon\bigr]
  = z \bigl[ f'(z) + \epsilon\bigr].
\end{gather*}
Comme on a, d'autre part,
\[
f(z') = f(z) + \epsilon',
\]
$\epsilon'$~tendant aussi vers zéro avec~$\Delta\alpha$, on obtient l'expression
\[
\alpha\, \frac{f(z') - f(z)}{\Delta\alpha} + f(z')
  = \bigl[zf'(z) + f(z)] + (z\epsilon + \epsilon')
  = F'(z) + \epsilon'',
\]
en représentant par~$F(z)$ la fonction holomorphe~$zf(z)$, et posant
$\epsilon'' = z\epsilon + \epsilon'$, et l'on~a
\[
\Tag{(5)}
\frac{A' - A}{\Delta\alpha}
  = \int_{0}^{l} \bigl[F'(z) + \epsilon''\bigr] \phi'(t)\, dt.
\]

Quand le point~$z$ décrit la courbe fermée~$A$, le point $u = F(z)$ décrit
une courbe fermée correspondante; l'intégrale~$\int du$, relative à cette
dernière courbe, étant égale à la différence des valeurs de~$u$ aux deux
\DPPageSep{140.png}{132}
limites, est nulle; mais cette intégrale, d'après le théorème~II, est
égale à l'intégrale~$\int F'(z)\, dz$ relative à la courbe~$A$, c'est-à-dire à
$\alpha \ds\int_{0}^{l} F'(z)\phi'(t)\, dt$; cette dernière intégrale est donc nulle et l'équation~(5)
se réduit à
\[
\Tag{(6)}
\frac{A' - A}{\Delta\alpha} = \int_{0}^{l}\epsilon''\phi'(t)\, dt.
\]
Si maintenant on fait tendre~$\Delta\alpha$ vers zéro, il est clair que le second
membre tend aussi vers zéro. Ainsi la fonction~$\psi(\alpha)$ de la variable
réelle~$\alpha$ admet une dérivée~$\psi'(\alpha)$ et cette dérivée est nulle.

La dérivée~$\psi'(\alpha)$ étant nulle, quand $\alpha$~varie de zéro à l'unité, on en
conclut que la fonction~$\psi(\alpha)$ est constante; mais, pour une valeur très-petite
de~$\alpha$, cette fonction
\[
\psi(\alpha) = \alpha\int_{0}^{l} f(z)\phi'(t)\, dt
\]
a une valeur très-petite, et elle devient nulle pour~$\alpha = 0$: ainsi la
fonction~$\psi(\alpha)$ est nulle et, par conséquent, l'intégrale proposée, prise le
long de la courbe~$A_{1}$, qui correspond à $\alpha = 1$, est nulle.

Supposons maintenant qu'il soit impossible de trouver un point~$O$
tel qu'aucun des rayons vecteurs~$Oz_{1}$ ne rencontre le contour de l'aire.
Lorsque la courbe fermée~$A_{1}$ ne se coupe pas elle-même, elle enveloppe
une portion de l'aire proposée, et l'on peut, à l'aide de transversales,
décomposer cette portion d'aire en plusieurs parties limitées par
des courbes jouissant de la propriété énoncée. L'intégrale relative à
chacune d'elles étant nulle, leur somme est nulle; mais, si toutes les
courbes sont décrites dans le sens positif, chaque transversale, étant parcourue
deux fois dans des sens contraires, donne dans la somme des
intégrales des quantités égales et de signes contraires, et il reste l'intégrale
relative à la courbe~$A_{1}$.

Considérons actuellement une courbe fermée~$A_{1}$ se coupant elle-même
en $n$~points, que nous appellerons des \emph{n{\oe}uds}. Lorsque, partant
d'un n{\oe}ud~$a$, on décrit la courbe~$A_{1}$ dans le sens convenu, on revient
à ce n{\oe}ud avant d'avoir décrit la courbe entière, et l'on peut regarder
cette courbe comme la réunion de deux courbes fermées offrant chacune
moins de $n$~n{\oe}uds, puisque le point~$a$ n'est plus un n{\oe}ud sur ces
\DPPageSep{141.png}{133}
dernières. En continuant de la sorte, on décomposera la courbe proposée
en une suite de courbes fermées dépourvues de n{\oe}uds; l'intégrale
relative à chacune d'elles étant nulle, l'intégrale totale est nulle.

\Remarque Lorsque, en un point quelconque du contour~$C$ et aux
points intérieurs infiniment voisins, les valeurs de la fonction~$f(z)$ diffèrent
infiniment peu les unes des autres, on peut appliquer au contour
lui-même le théorème précédent; car, dans ce cas, l'intégrale relative
à la courbe~$C$ diffère infiniment peu de celle relative à une courbe intérieure~$A_{1}$
infiniment voisine; cette dernière étant nulle, la première
l'est aussi.

\Paragraph{83.} \begin{Corollaire}[I]
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
une partie du plan à contour simple, les intégrales définies
\[
\int_{z_{0}}^{z} f(\zeta)\, d\zeta,
\]
relatives aux différentes lignes qui vont d'un point~$z_{0}$ à un autre~$z$ dans
cette partie du plan, sont égales.
\end{Corollaire}

Soient $z_{0}az, z_{0}bz$ deux chemins allant du point~$z_{0}$ au point~$z$ (\Figref{46});
l'intégrale relative à la ligne fermée $z_{0}azbz_{0}$ est nulle; mais cette intégrale
est la somme de celles qui sont fournies par les deux parties
$z_{0}az, zbz_{0}$ de la ligne fermée; cette dernière étant égale et de signe
contraire à celle que l'on obtient quand on suit le chemin~$z_{0}bz$, on en
conclut que les intégrales relatives aux deux chemins $z_{0}az, z_{0}bz$ sont
égalés.

\Fig[1.75in]{46}

\begin{CorollaireUp}[II]
D'après cela, si on laisse fixe le point~$z_{0}$ et si l'on
fait mouvoir le point~$z$ dans la partie du plan considérée, l'intégrale
définie sera une fonction monotrope de~$z$ dans cette étendue. Désignons-la
\DPPageSep{142.png}{134}
par~$\phi(z)$. En donnant à la variable deux valeurs voisines $z$~et~$z'$
et remplaçant le chemin~$z_{0}z'$ par le chemin $z_{0}z + zz'$, on~a
\[
\phi(z') - \phi(z) = \int_{z}^{z'} f(\zeta)\, d\zeta;
\]
cette dernière intégrale étant infiniment petite, on en conclut que la
fonction~$\phi(z)$ est continue. Si l'on observe que $f(\zeta) = f(z) + \epsilon$,
$\epsilon$~étant une quantité infiniment petite, on~a
\[
\int_{z}^{z'} f(\zeta)\, d\zeta
  = f(z) (z' - z) + \int_{z}^{z'} \epsilon\, d\zeta,
\]
d'où
\[
\frac{\phi(z') - \phi(z)}{z' - z}
= f(z) + \frac{1}{z' - z} \int_{z}^{z'} \epsilon\, d\zeta;
\]
en désignant par~$\epsilon_{1}$ le maximum du module de~$\epsilon$, par~$l$ la longueur de la
droite~$zz'$ et effectuant l'intégration suivant cette droite, on voit que le
module du dernier terme est moindre que~$\epsilon_{1}$; il en résulte que le premier
membre tend vers une même limite~$f(z)$, quand le point~$z'$ se
rapproche indéfiniment du point~$z$ d'une manière quelconque, et par
conséquent que la fonction~$\phi(z)$ admet \emph{une dérivée}. On en conclut que
la fonction~$\phi(z)$ est \emph{holomorphe} dans la même partie du plan à contour
simple que la fonction proposée~$f(z)$.
\end{CorollaireUp}

\Paragraph{84.} \begin{Théorème}{V}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
une partie du plan à contour complexe, l'intégrale définie
\[
\int_{z_{0}}^{z_{1}} f(z)\, dz,
\]
relative à une ligne allant d'un point fixe~$z_{0}$ à un autre point fixe~$z_{1}$
dans cette partie du plan, conserve une valeur constante, quand la ligne
d'intégration se déforme d'une manière continue, sans rencontrer aucune
partie du contour de l'aire.
\end{Théorème}

On peut diviser la courbe d'intégration en arcs assez petits pour que,
dans une déformation infiniment petite, l'aire décrite par chacun des
arcs fasse partie d'une aire à contour simple comprise dans l'aire proposée.
Soient~$ab$ l'un de ces arcs, $a'b'$~la nouvelle position qu'il occupe;
\DPPageSep{143.png}{135}
les points $a$~et~$b$ ont décrit les lignes infiniment petites $aa', bb'$; en
vertu du corollaire~I (\no{83}), l'intégrale relative à l'arc~$ab$ est égale à
celle relative au chemin $aa' + a'b' + b'b$. De même l'intégrale relative
à l'arc suivant~$bc$ est égale à celle relative au chemin $bb' + b'c' + c'c$, et
ainsi de suite. L'origine du premier arc, ainsi que l'extrémité du dernier,
étant fixes, et chaque transversale, telle que~$bb'$, étant parcourue
deux fois dans des sens contraires, si l'on ajoute toutes ces égalités
membre à membre, on reconnaît que les intégrales suivant les deux
courbes voisines sont égales.

\begin{Corollaire}[I]
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans une
partie du plan à contour complexe, l'intégrale définie
\[
\int f(z)\, dz,
\]
relative à une courbe fermée~$A$ située dans cette partie du plan, conserve
une valeur constante, quand on déforme cette ligne d'une manière continue,
sans rencontrer aucune partie du contour de l'aire.
\end{Corollaire}

Soient $A$~et~$A'$ deux positions de la courbe mobile; un point~$a$ de
cette courbe a décrit la ligne~$aa'$; les deux lignes $A$~et~$aa'A'a'a$, qui
vont du point~$a$ au même point~$a$, et qui peuvent se ramener l'une à
l'autre sans rencontrer aucune partie du contour, donnant des intégrales
égales, et la transversale~$aa'$ étant parcourue deux fois dans des
sens contraires, les intégrales relatives aux deux courbes fermées $A$~et~$A'$,
décrites dans des sens convenables, sont égales.

\begin{Corollaire}[II]
Lorsque la fonction~$f(z)$ est holomorphe dans une
partie du plan limitée par deux courbes fermées $C$~et~$C'$ \(\Figref{47}\), les
intégrales $\int f(z)\, dz$ relatives à ces deux courbes ou à deux courbes infiniment
voisines, décrites chacune dans le sens positif par rapport à l'aire
qu'elle enveloppe, sont égales.
\end{Corollaire}

Ce corollaire est compris dans le précédent; mais on le démontre
directement de la manière suivante. Nous supposerons que sur les deux
courbes $C$~et~$C'$ la fonction~$f(z)$ satisfait à la condition énoncée dans la
remarque du \no{82}, sans quoi on les remplacerait par des courbes infiniment
voisines et situées dans la portion du plan considérée. A l'aide
d'une coupure~$ab$, on peut concevoir cette partie du plan comme enveloppée
\DPPageSep{144.png}{136}
par la ligne fermée $abcdbac'd'a$. D'après \DPtypo{let héorème}{le théorème}~IV, l'intégrale
relative à ce contour est nulle. La transversale~$ab$, étant parcourue
deux fois dans des sens contraires, donne dans l'intégrale des
quantités égales et de signes contraires; on peut en faire abstraction;
il reste la courbe~$C$ parcourue dans le sens positif et la courbe~$C'$ parcourue
dans le sens négatif par rapport à l'aire intérieure à cette
courbe. Si chacune des deux courbes fermées est parcourue dans le
sens positif par rapport à l'aire intérieure à cette courbe même, les
deux intégrales sont égales.

\Figs{2.25in}{47}{2.25in}{48}

\Paragraph{85.} \begin{Théorème}{VI}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
une partie du plan à contour simple, si l'on désigne par~$t$ un point quelconque
situé dans cette partie du plan, on~a
\[
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{z - t}\, dz,
\]
l'intégrale étant prise, dans le sens positif, sur le contour de l'aire ou sur
une courbe intérieure infiniment voisine.
\end{Théorème}

Du point~$t$ comme centre (\Figref{48}), avec un rayon infiniment petit~$\rho$,
décrivons un cercle. La fonction
\[
F(z) = \frac{f(z)}{z - t}
\]
est holomorphe dans la partie du plan comprise entre la circonférence~$\rho$
et la courbe~$C$; d'après le corollaire précédent, les intégrales
\[
\int F(z)\, dz,
\]
\DPPageSep{145.png}{137}
relatives à ces deux courbes, décrites chacune dans le sens positif par
rapport à l'aire qu'elle enveloppe, sont égales. Pour évaluer l'intégrale
relative à la circonférence, posons
\[
z = t + \rho e^{\theta i},
\]
d'où
\begin{gather*}
dz = i\rho e^{\theta i}\, d\theta, \\
\int_{(\rho)} F(z)\, dz
  = i \int_{0}^{2\pi} f(t + \rho e^{\theta i})\, d\theta.
\end{gather*}
La fonction~$f(z)$ étant continue, on~a
\[
f(t + \rho e^{\theta i}) = f(t) + \epsilon,
\]
$\epsilon$~s'annulant avec~$\rho$, et l'intégrale se réduit à
\[
2\pi i f(t) + i \int_{0}^{2\pi} \epsilon\, d\theta.
\]
Appelons $\epsilon_{1}$ le maximum du module de~$\epsilon$ sur la circonférence~$\rho$; le module
du second terme est moindre que la quantité infiniment petite~$2\pi\epsilon_{1}$;
mais, d'après le même corollaire, l'intégrale relative à la circonférence~$\rho$
conserve une valeur constante, quand le rayon tend vers zéro; le
second terme est donc rigoureusement nul, et l'on~a
\[
i \int_{0}^{2\pi} f(t + \rho e^{\theta i})\, d\theta = 2\pi i f(t).
\]
On en déduit
\[
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)}{z - t}\, dz.
\]

\Paragraph{86.} \begin{Théorème}{VII}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
une partie du plan, sa dérivée est aussi holomorphe dans la même étendue.
\end{Théorème}

Soit~$t$ un point situé dans cette partie du plan; considérons une portion
de cette aire, qui soit limitée par un contour simple~$C$ et qui comprenne
le point~$t$; d'après le théorème précédent, on~a
\[
\Tag{(7)}
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t)^{-1}\, dz,
\]
\DPPageSep{146.png}{138}
l'intégrale étant prise le long de la courbe~$C$. Pour un second point
$t + \Delta t$, voisin du premier et situé aussi à l'intérieur de la courbe~$C$, on
a de même
\[
f(t + \Delta t)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t - \Delta t)^{-1}\, dz.
\]
On en déduit
\[
f(t + \Delta t) - f(t)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)}
     f(z) \bigl[(z - t - \Delta t)^{-1} - (z - t)^{-1}\bigr]\, dz,
\]
ou plus simplement
\[
\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \Delta (z - t)^{-1}\, dz,
\]
et par suite
\[
\frac{\Delta f(t)}{\Delta t}
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \frac{\Delta (z - t)^{-1}}{\Delta t}\, dz.
\]
La fonction $(z - t)^{-1}$ de la variable~$t$ ayant une dérivée $(z - t)^{-2}$, on
peut écrire
\[
\frac{\Delta (z - t)^{-1}}{\Delta t} = (z - t)^{-2} + \epsilon,
\]
$\epsilon$~tendant vers zéro avec~$\Delta t$. Il en résulte
\[
\frac{\Delta f(t)}{\Delta t}
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t)^{-2}\, dz
  + \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \epsilon\, dz.
\]
On verra, comme précédemment, que le second terme a pour limite
zéro, quand $\Delta t$~tend vers zéro. On a donc
\[
\Tag{(8)}
f'(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t)^{-2}\, dz.
\]

Pour un point $t + \Delta t$, voisin du premier, et situé aussi à l'intérieur
de la courbe~$C$, on~a
\[
f'(t + \Delta t)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t - \Delta t)^{-2}\, dz,
\]
d'où
\[
f'(t + \Delta t) - f'(t)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \Delta (z - t)^{-2}\, dz.
\]
\DPPageSep{147.png}{139}
La fonction $(z - t)^{-2}$ de~$t$ étant continue, on peut prendre~$\Delta t$ assez
petit pour que le module de~$\Delta(z - t)^{-2}$ soit moindre qu'une quantité
donnée, quand $z$~décrit la courbe~$C$; la valeur de l'intégrale définie est
donc infiniment petite, et par conséquent $f'(t)$~est une fonction continue.
On a ensuite
\[
\frac{\Delta f'(t)}{\Delta t}
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \frac{\Delta(z - t)^{-2}}{\Delta t}\, dz.
\]
La fonction $(z - t)^{-2}$ de~$t$ admettant une dérivée $2(z - t)^{-3}$, on posera
\[
\frac{\Delta (z - t)^{-2}}{\Delta t} = 2 (z - t)^{-3} + \epsilon,
\]
$\epsilon$~tendant vers zéro avec~$\Delta t$. Il en résulte
\[
\frac{\Delta f'(t)}{\Delta t}
  = \frac{1·2}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t)^{-3}\, dz
  + \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) \epsilon\, dz;
\]
la première intégrale a une valeur finie et déterminée, la seconde tend
vers zéro avec~$\Delta t$. Ainsi le rapport $\dfrac{\Delta f'(t)}{\Delta t}$ tend vers une limite déterminée,
quand $\Delta t$~tend vers zéro d'une manière quelconque; d'où l'on
conclut que la fonction~$f'(t)$ a une dérivée, et, par conséquent, qu'elle est
holomorphe dans la même étendue que la fonction proposée~$f(t)$. Si
l'on représente par~$f''(t)$ sa dérivée, on~a
\[
\Tag{(9)}
f''(t) = \frac{1·2}{2\pi i} \int_{(C)} f(z) (z - t)^{-3}\, dz.
\]

\Paragraph{87.} \begin{CorollaireUp}
La fonction~$f'(t)$ étant holomorphe, sa dérivée~$f''(t)$
est holomorphe dans la même étendue; elle admet donc une
dérivée~$f'''(t)$, qui est elle-même holomorphe, et ainsi de suite indéfiniment.
Ainsi, \emph{lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du
plan, elle admet une infinité de dérivées successives, qui sont toutes holomorphes
dans la même étendue}.
\end{CorollaireUp}

En continuant le raisonnement précédent, on obtient l'expression
par une intégrale définie de l'une quelconque de ces dérivées
\[
\Tag{(10)}
f^{n}(t) = \frac{1·2·3 \ldots n}{2\pi i}
  \int_{(C)} \frac{f(z)}{(z - t)^{n + 1}}\, dz.
\]
\DPPageSep{148.png}{140}
Il est à remarquer que la connaissance des valeurs de la fonction proposée~$f(z)$
sur la courbe~$C$ suffit pour déterminer les valeurs de la
fonction et de ses dérivées successives dans l'intérieur de cette courbe.

Supposons que l'on réduise la courbe~$C$ à un cercle décrit du point~$t$
comme centre avec un rayon~$r$, les formules (7)~et~(10) deviennent
\begin{gather*}
\Tag{(11)}
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t + re^{\theta i})\, d\theta, \\
\Tag{(12)}
f^{n}(t) = \frac{1·2·3\cdots n}{2\pi r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(t + re^{\theta i}) e^{-n \theta i}\, d\theta.
\end{gather*}

\Paragraph{88.} \Remarque La formule~(11) est susceptible d'une interprétation
géométrique très-simple. Si l'on pose $z = x + yi$, $f(z) = X + Yi$, les
deux fonctions réelles $X$~et~$Y$ des deux variables réelles et indépendantes
$x$~et~$y$ peuvent être regardées comme les ordonnées de deux surfaces
(\no{9}). Considérons les deux volumes compris entre le plan des~$xy$,
une surface cylindrique ayant pour base le cercle décrit du point~$t$
comme centre avec le rayon~$r$, et limités respectivement par les deux
surfaces $X$~et~$Y$; ces volumes ont pour expressions
\[
U = \int_{0}^{r} \rho\, d\rho \int_{0}^{2\pi} X\, d\theta,\quad
V = \int_{0}^{r} \rho\, d\rho \int_{0}^{2\pi} Y\, d\theta;
\]
mais, d'après la formule~(11), on~a
\[
X_{1} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} X\, d\theta,\quad
Y_{1} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} Y\, d\theta,
\]
$X_{1}$~et~$Y_{1}$ étant les valeurs de $X$~et~$Y$ au point~$t$; on en déduit
\[
U = \pi r^{2}X_{1},\quad
V = \pi r^{2}Y_{1}.
\]
Ainsi les deux volumes $U$~et~$V$ sont équivalents à deux cylindres ayant
pour hauteurs $X_{1}$~et~$Y_{1}$.
\DPPageSep{149.png}{141}


\Chapitre{II}{Exemples D'Intégrales Définies}

\Paragraph{89.} \Exemple{I} La fonction~$e^{-z^{2}}$ étant holomorphe dans toute
l'étendue du plan, l'intégrale
\[
\int e^{-z^{2}}\, dz
\]
relative à un contour fermé quelconque est nulle. Considérons le rectangle
$A_{1}ABB_{1}$ (\Figref{49}) formé par l'axe des~$x$, une parallèle~$B_{1}B$ à cet
axe à la distance~$b$, et deux parallèles $AB, A_{1}B_{1}$ à l'axe des~$y$ et à même
\Fig[2.75in]{49}
distance~$a$. Suivant~$A_{1}A$ on a $z = x$, $x$~variant de~$-a$ à~$+a$; suivant~$AB$
on a $z = a + yi$, $y$~variant de~$0$ à~$b$; suivant~$BB_{1}$ on a $z = x + bi$,
$x$~variant de~$+a$ à~$-a$; et enfin suivant~$B_{1}A_{1}$ on a $z = -a + yi$,
$y$~variant de~$b$ à~$0$. L'intégrale relative au contour du rectangle étant
nulle, on a l'équation
\[
    \int_{-a}^{+a} e^{-x^{2}}\, dx
+ i \int_{0}^{b} e^{-(a + yi)^{2}}\, dy
+   \int_{-a}^{+a} e^{-(x + bi)^{2}}\, dx
+ i \int_{0}^{b} e^{-(-a + yi)^{2}}\, dy = 0.
\]

La seconde intégrale
\[
\int_{0}^{b} e^{-(a + yi)^{2}}\, dy
  = e^{-a^{2}} \int_{0}^{b} e^{y^{2} - 2ayi}\, dy
\]
\DPPageSep{150.png}{142}
tend vers zéro, quand $a$~augmente indéfiniment; il en est de même de
la quatrième; on sait d'ailleurs que la première a pour limite~$\sqrt{\pi}$. On
déduit de là
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x + bi)^{2}}\, dx = \sqrt{\pi},
\]
ou
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2} - 2bxi + b^{2}}\, dx
  = e^{b^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}
    e^{-x^{2}} (\cos 2bx - i \sin 2bx)\, dx = \sqrt{\pi},
\]
et par suite
\[
\Tag{(1)}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2bx\, dx = \sqrt{\pi} e^{-b^{2}}.
\]

\Paragraph{90.} \Exemple{II} La fonction~$e^{-z} z^{n-1}$, dans laquelle la lettre~$n$ désigne
un nombre positif quelconque, acquiert un nombre fini ou infini
de valeurs différentes, suivant que le nombre~$n$ est commensurable ou
incommensurable (\no{14}); mais elle est holomorphe dans le secteur~$AOB$
(\Figref{50}), défini par l'angle~$\alpha$ et le rayon~$r$. Afin de déterminer complétement
la fonction dans ce secteur, nous prendrons celle des valeurs
de~$z^{n}$ qui devient réelle et positive sur~$OA$; il suffit pour cela de poser
$z = \rho e^{\theta i}$, $z^{n} = \rho^{n} e^{n \theta i}$, $\theta$~variant de~$0$ à~$\alpha$, et $\rho^{n}$~étant une quantité réelle
et positive.

\Fig[2in]{50}
%[** TN: Paragraph not indented in original]
Suivant~$OA$ on a $z = x$, $x$~variant de~$0$ à~$r$; suivant l'arc de cercle~$AB$
on a $z = re^{\theta i}$, $dz = ire{^\theta i}\, d\theta$, $\theta$~variant de~$0$ à~$\alpha$; et enfin suivant~$BO$ on
a $z = \rho e^{\alpha i}$, $dz = e^{\alpha i}\, d\rho$, $\rho$~variant de~$r$ à~$0$. L'intégrale relative au contour
du secteur étant nulle, on obtient l'équation
\[
\llap{$\ds\int_{0}^{r}$} e^{-x} x^{n-1}\, dx
  + i \int_{0}^{\alpha} r^{n} e^{-r\cos\theta + i(n\theta - r\sin\theta)}\, d\theta
  - \int_{0}^{r} \rho^{n-1} e^{-\rho\cos\alpha + i(n\alpha - \rho\sin\alpha)}\, d\rho = 0.
\]

La seconde intégrale tend vers zéro, quand $r$~augmente indéfiniment,
\DPPageSep{151.png}{143}
si l'angle~$\alpha$ est moindre que~$\dfrac{\pi}{2}$, la première a pour limite la transcendante
désignée par~$\Gamma(n)$. L'équation se réduit donc à
\[
\int_{0}^{\infty} \rho^{n-1} e^{-\rho\cos\alpha + i (n\alpha - \rho\sin\alpha)}\, d\rho = \Gamma(n),
\]
et l'on~a
\begin{gather*}
\int_{0}^{\infty} \rho^{n-1} e^{-\rho\cos\alpha} \cos(n\alpha - \rho\sin\alpha)\, d\rho = \Gamma(n), \\
\int_{0}^{\infty} \rho^{n-1} e^{-\rho\cos\alpha} \sin(n\alpha - \rho\sin\alpha)\, d\rho = 0,
\end{gather*}
ou
\begin{align*}%[** TN: Squashing horizontally]
\llap{$\cos n\alpha$}& \int_{0}^{\infty}
  \kern -8pt \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \cos(\rho \sin\alpha)\, d\rho +
\sin n\alpha \int_{0}^{\infty}
  \kern -8pt \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \sin(\rho \sin\alpha)\, d\rho = \Gamma(n), \\
\llap{$\sin n\alpha$}& \int_{0}^{\infty}
  \kern -8pt \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \cos(\rho \sin\alpha)\, d\rho -
\cos n\alpha \int_{0}^{\infty}
  \kern -8pt \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \sin(\rho \sin\alpha)\, d\rho = 0.
\end{align*}
On en déduit
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \cos(\rho \sin\alpha)\, d\rho
  &= \Gamma(n) \cos n\alpha, \\
\int_{0}^{\infty} \rho^{n-1} e^{-\rho \cos\alpha} \sin(\rho \sin\alpha)\, d\rho
  &= \Gamma(n) \sin n\alpha.
\end{align*}

Si l'on pose
\[
\cos\alpha = \frac{a}{R},\quad
\sin\alpha = \frac{b}{R},\quad
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad
\rho = Ru,
\]
les deux formules précédentes deviennent
\begin{align*}
\Tag{(2)}
\int_{0}^{\infty} u^{n-1} e^{-au} \cos bu\, du
  &= \frac{\Gamma(n)}{R^{n}} \cos \left(n \arctang \frac{b}{a}\right), \\
\Tag{(3)}
\int_{0}^{\infty} u^{n-1} e^{-au} \sin bu\, du
  &= \frac{\Gamma(n)}{R^{n}} \sin \left(n \arctang \frac{b}{a}\right).
\end{align*}

\Paragraph{91.} \Exemple{III} La fonction~$\dfrac{z^{n-1}}{1 + z}$, dans laquelle la lettre~$n$ désigne
un nombre positif moindre que l'unité, admet comme pôle le
point~$I$ (\Figref{51}) qui correspond à $z = -1$, et comme point critique
\DPPageSep{152.png}{144}
l'origine. Du point~$O$ comme centre, avec un rayon très-grand~$R$, décrivons
un demi-cercle~$ADA_{1}$, limité à l'axe des~$x$ et des points $O$~et~$I$
comme centres, avec des rayons très-petits $\epsilon$~et~$\epsilon'$, des demi-cercles $BEB_{1},
CFC_{1}$, limités aussi à l'axe des~$x$. La fonction proposée étant holomorphe
dans l'aire enveloppée par le contour fermé $ADA_{1}C_{1}FCB_{1}EBA$,
l'intégrale
\[
\int \frac{z^{n-1}}{1 + z}\, dz
\]
relative à ce contour est nulle. Nous prendrons, comme précédemment,
celle des valeurs de~$z^{n}$ qui devient réelle et positive sur~$BA$.

\Fig[2.75in]{51}

La partie de l'intégrale relative à la demi-circonférence~$ADA_{1}$ tend
vers zéro, quand $R$~augmente indéfiniment. La partie relative à la demi-circonférence~$B_{1}EB$
tend aussi vers zéro, quand $\epsilon$~tend vers zéro. Pour
évaluer l'intégrale relative à la demi-circonférence~$C_{1}FC$, nous poserons
$z = -1 + \epsilon' e^{\theta'i}$, ce qui donne
\[
i \int_{\pi}^{0} z^{n-1}\, d\theta' = -i \int_{0}^{\pi} z^{n-1}\, d\theta';
\]
quand $\epsilon'$~tend vers zéro, $z^{n}$~devient~$e^{n\pi i}$, et l'intégrale se réduit à~$i\pi e^{n\pi i}$.
La droite~$BA$ donne une intégrale ayant une limite déterminée
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1 + x}\, dx.
\]
Suivant les droites $A_{1}C_{1}, CB_{1}$, on a $\theta = \pi$, $z^{n} = r^{n}e^{n\pi i}$, $z = -r$, ce
\DPPageSep{153.png}{145}
qui donne les deux intégrales
\begin{multline*}
e^{n\pi i} \int_{R}^{1 + \epsilon'} \frac{r^{n-1}}{1 - r}\, dr +
e^{n\pi i} \int_{1 - \epsilon'}^{\epsilon} \frac{r^{n-1}}{1 - r}\, dr \\
= -e^{n\pi i} \left(\int_{\epsilon}^{1 - \epsilon'} \frac{r^{n-1}}{1 - r}\, dr +
  \int_{1 + \epsilon'}^{R} \frac{r^{n-1}}{1 - r}\, dr\right).
\end{multline*}
La somme des intégrales relatives aux diverses portions du contour
fermé étant nulle, et les quatre premières parties tendant vers des
limites déterminées quand $\epsilon$~et~$\epsilon'$ tendent vers zéro et que $R$~augmente
indéfiniment, il est clair que la dernière partie, et par conséquent la
somme des deux intégrales placées entre parenthèses, tend aussi vers
une limite déterminée. Cette limite est ce que Cauchy appelle \emph{la
valeur principale de l'intégrale}
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{r^{n-1}}{1 - r}\, dr;
\]
nous la représenterons par~$k$. Nous avons ainsi l'équation
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1 + x}\, dx
  + \pi i e^{n\pi i} - ke^{n\pi i} = 0,
\]
d'où
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1 + x}\, dx
  &= (k - \pi i) (\cos n\pi + i \sin n\pi) \\
  &= (k \cos n\pi + \pi \sin n\pi) + i(k \sin n\pi - \pi \cos n\pi).
\end{align*}
On trouve $k = \pi\cot n\pi$, en remarquant que le premier membre est
réel, et l'on obtient la valeur de l'intégrale définie
\[
\Tag{(4)}
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1 + x}\, dx = \frac{\pi}{\sin n\pi}.
\]

\Paragraph{92.} \Exemple{IV} La fonction $\dfrac{e^{azi}}{b^{2} + z^{2}}$ admet deux pôles $z = ± bi$.
Nous supposerons les quantités $a$~et~$b$ réelles et positives. De l'origine~$O$
\DPPageSep{154.png}{146}
comme centre (\Figref{52}), avec un rayon très-grand~$R$, décrivons
un demi-cercle~$ABA_{1}$, limité à l'axe des~$x$; du pôle~$C$, qui correspond
à~$z = bi$, comme centre, avec un rayon très-petit~$\rho$, décrivons un cercle.
\Fig[2.75in]{52}
La fonction proposée étant holomorphe dans la partie du plan comprise
entre la circonférence~$\rho$ et le contour~$A_{1}ABA_{1}$ du demi-cercle, les
intégrales
\[
\int \frac{e^{azi}}{b^{2} + z^{2}}\, dz
\]
relatives à ces deux lignes sont égales. Sur le cercle~$\rho$ on a $z = bi + \rho e^{\theta i}$,
$dz = i \rho e^{\theta i}\, d\theta$, ce qui donne l'intégrale
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{ai (bi + \rho e^{\theta i})}}
                     {2b - i \rho e^{\theta i}}\, d\theta,
\]
qui a pour limite~$\dfrac{\pi}{b} e^{-ab}$ quand $\rho$~tend vers zéro. L'intégrale
\[
i \int_{0}^{\pi} \frac{Re^{\theta i}}{b^{2} + R^{2} e^{2\theta i}}\,
  e^{-aR \sin\theta + iaR \cos\theta}\, d\theta,
\]
relative à la demi-circonférence~$ABA_{1}$, a pour limite zéro, quand $R$~augmente
indéfiniment. On en conclut que l'intégrale relative à la
droite~$A_{1}A$ tend vers une limite déterminée
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{axi}}{b^{2} + x^{2}}\, dx
  = \frac{\pi}{b}\, e^{-ab}.
\]
\DPPageSep{155.png}{147}

On déduit de là la valeur de l'intégrale définie
\[
\Tag{(5)}
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos ax}{b^{2} + x^{2}}\, dx
  = \frac{\pi}{2b} e^{-ab}.
\]

\Paragraph{93.} \Exemple{V} La considération des contours permet aussi de
ramener une intégrale définie à une autre plus simple. Soit l'intégrale
définie
\[
\int_{-1}^{+1} \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}},
\]
dans laquelle $k$~désigne un nombre positif inférieur à l'unité, $n$~un
nombre entier positif, $x$~une variable réelle.

\Fig[2.75in]{53}

Portons sur l'axe des~$x$ (\Figref{53}), de part et d'autre de l'origine, deux
longueurs $O\alpha, O\alpha'$ égales à l'unité; décrivons deux demi-circonférences
égales $ab, a'b'$, ayant les points $\alpha$~et~$\alpha'$ pour centres et un rayon très-petit;
puis une demi-circonférence~$cgc'$ ayant son centre au point~$O$ et
un rayon compris entre l'unité et~$\dfrac{1}{k}$. L'intégrale
\[
\int \frac{z^{2n}\, dz}{\sqrt{(1 - z^{2})(1 - k^{2}z^{2})}},
\]
relative au contour $Oabcgc'b'a'O$, est évidemment nulle; car la fonction
placée sous le signe d'intégration est holomorphe dans la partie
du plan limitée par cette courbe. En $a$~et~$a'$ le radical a des valeurs
\DPPageSep{156.png}{148}
égales; en $b$~et~$b'$ des valeurs égales et de signes contraires; car, si l'on
allait de~$a'$ à~$b'$ en suivant le demi-cercle symétrique de~$a'b'$ par rapport
à l'axe des~$x$, on aurait en~$b'$ la même valeur qu'en~$b$. On conclut
de là que les intégrales relatives aux deux segments $c'b', bc$ se détruisent;
d'ailleurs les intégrales relatives aux petits cercles sont infiniment
petites. Donc les intégrales relatives à la droite~$a'a$ et à la demi-circonférence~$cgc'$
ont une somme nulle.

Le rayon de la grande circonférence est un nombre arbitraire compris
entre~$1$ et~$\dfrac{1}{k}$. En prenant ce rayon égal à~$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, on a, sur cette circonférence,
\begin{gather*}
z = \frac{1}{\sqrt{k}}\, e^{\theta i},\quad
dz = \frac{i}{\sqrt{k}}\, e^{\theta i}\, d\theta, \\
\sqrt{(1 - z^{2})(1 - k^{2}z^{2})}
  = ±\frac{i}{\sqrt{k}}\, e^{\theta i} \sqrt{1 - 2k \cos 2\theta + k^{2}},
\end{gather*}
le signe étant le même tout le long de la circonférence. Or au point~$a$
le radical a une valeur positive très-petite; en~$b$ une valeur de la
forme~$-\epsilon i$, $\epsilon$~désignant une quantité positive; la même chose a lieu
du point~$b$ au point~$\dfrac{1}{k}$, et en particulier au point~$c$; c'est donc le signe~$-$
qui convient, et l'on~a
\[
\int_{-1}^{+1} \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}
  = \frac{1}{k^{n}} \int_{0}^{\pi}
    \frac{(\cos 2n\theta + i \sin 2n\theta)\, d\theta}
         {\sqrt{1 - 2k \cos 2\theta + k^{2}}};
\]
d'où
\[
\Tag{(6)}
2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}
  = \frac{1}{k^{n}} \int_{0}^{\pi}
    \frac{\cos 2n\theta}{\sqrt{1 - 2k \cos 2\theta + k^{2}}}\, d\theta.
\]

Si l'on remplace~$x$ par~$\sin\phi$ dans le premier nombre et~$2\theta$ par~$\phi$ dans
le second, cette égalité devient
\[
\Tag{(7)}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2n} \phi\, d\phi}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\phi}}
  = \frac{1}{k^{n}} \int_{0}^{\pi}
    \frac{\cos n\phi\, d\phi}{\sqrt{1 - 2k \cos\phi + k^{2}}}.
\]
\DPPageSep{157.png}{149}


\Chapitre[Développement des Fonctions en Séries Entières]
{III}{Développement des Fonctions en Séries Ordonnées Suivant
les Puissances Entières de la Variable}

\Paragraph{94.} \begin{Théorème}{I}
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans un
cercle décrit de l'origine comme centre, elle est développable en une série
ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable, et
convergente dans ce cercle.
\end{Théorème}

Nous avons vu (\Ref{2.1}{Liv.~II, Chap.~I}) qu'une série ordonnée suivant les puissances
entières, positives et croissantes d'une variable, est convergente
pour toutes les valeurs de la variable situées à l'intérieur d'un cercle
décrit de l'origine comme centre, et divergente pour toutes les valeurs
situées en dehors. Nous avons vu aussi que, dans le cercle de convergence,
la série représente une fonction holomorphe. Pour qu'une fonction~$f(z)$
soit développable en une série ordonnée suivant les puissances entières,
positives et croissantes de~$z$, et convergente dans un cercle décrit de
\Fig[1.5in]{54}
l'origine comme centre avec un rayon~$R$, il est donc nécessaire que la
fonction soit holomorphe dans ce cercle. Nous allons démontrer que
cette condition est suffisante.

Soit~$t$ (\Figref{54}) un point quelconque situé à l'intérieur du cercle~$R$.
\DPPageSep{158.png}{150}
Du point~$O$ comme centre, avec un rayon~$r$ plus petit que~$R$, mais plus
grand que~$Ot$, décrivons un cercle. D'après le théorème du \no{85}, on~a
\[
\Tag{(1)}
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z - t}\, dz
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z}\, \frac{dz}{1 - \dfrac{t}{z}},
\]
l'intégrale étant prise sur la circonférence~$r$, dans le sens direct. Mais
on a identiquement
\[
\frac{1 - \dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}
     {1 - \dfrac{t}{z}}
  = 1 + \frac{t}{z} + \frac{t^{2}}{z^{2}} + \ldots + \frac{t^{n}}{z^{n}},
\]
d'où
\begin{gather*}
\frac{1}{1 - \dfrac{t}{z}}
  = 1 + \frac{t}{z} + \frac{t^{2}}{z^{2}} + \ldots
      + \frac{t^{n}}{z^{n}}
      + \frac{\dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{1 - \dfrac{t}{z}}, \\
\frac{\dfrac{f(z)}{z}}{1 - \dfrac{t}{z}}
  = \frac{f(z)}{z} \left(1 + \frac{t}{z}
    + \frac{t^{2}}{z^{2}} + \ldots
    + \frac{t^{n}}{z^{n}}
    + \frac{\dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{1 - \dfrac{t}{z}}\right).
\end{gather*}
On en déduit
\begin{align*}
f(t)
  &= \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z}\, dz
   + \frac{t}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{2}}\, dz
   + \frac{t^{2}}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{3}}\, dz + \ldots \\
  &+ \frac{t^{n}}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{n + 1}}\, dz
   + \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)}
       \frac{f(z) \dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{z - t}\, dz.
\end{align*}

Évaluons le dernier terme. Posons pour cela
\[
z = re^{\theta i},
\]
d'où
\[
dz = ire^{\theta i}\, d\theta = iz\, d\theta;
\]
ce terme devient
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}
  \frac{zf(z)\, \dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{z - t}\, d\theta.
\]
\DPPageSep{159.png}{151}
Si l'on désigne par~$r'$ le module de~$t$ et par~$M$ le maximum du module
de~$f(z)$ sur la circonférence~$r$, le module de ce terme est moindre que
\[
\frac{rM \left(\dfrac{r'}{r}\right)^{n + 1}}{r - r'};
\]
$r$~étant plus grand que~$r'$, cette quantité tend vers zéro quand $n$~augmente
indéfiniment. Si donc on considère la série à laquelle le second
membre donne naissance, la somme des $n + 1$~premiers termes a pour
limite~$f(t)$; on en conclut que la série est convergente, et que l'on~a
\[
\Tag{(2)}
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z}\, dz
     + \frac{t}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{2}}\, dz
     + \frac{t^{2}}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{3}}\, dz + \ldots.
\]

Ces intégrales ont des valeurs finies et déterminées, puisque, sur la
circonférence~$r$, la fonction~$\dfrac{f(z)}{z^{n}}$ est continue; elles sont d'ailleurs
indépendantes du rayon~$r$, pourvu que ce rayon soit plus petit que~$R$
(\no{84}, Cor.~II). Si l'on pose
\[
\Tag{(3)}
u_{n} = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{n + 1}}\, dz
  = \frac{1}{2\pi r^{n}} \int_{0}^{2\pi} f(re^{\theta i})e^{-n\theta i}\, d\theta,
\]
la série~(2) devient
\[
f(t) = u_{0} + u_{1}t + u_{2}t^{2} + u_{3}t^{3} + \ldots
\]
et, en remplaçant~$t$ par~$z$,
\[
\Tag{(4)}
f(z) = u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + u_{3}z^{3} + \ldots.
\]
On peut la représenter par
\[
\Tag{(5)}
f(z) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{z^{n}}{r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta.
\]

Ce théorème très-important est dû à Cauchy (\textit{Mémoire sur le Calcul
des résidus et le Calcul des limites}; Turin, 1831~et~1832. \textit{Comptes rendus
de l'Académie des Sciences}; 1846).
\DPPageSep{160.png}{152}

\Paragraph{95.} \begin{Corollaire}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans
un cercle décrit du point~$z_{0}$ comme centre avec un rayon~$R$, elle est développable
en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives
de~$z - z_{0}$, et convergente dans ce cercle.
\end{Corollaire}

Posons
\[
z = z_{0} + z',
\]
la fonction~$f(z_{0} + z')$ est développable suivant les puissances entières
et croissantes de~$z'$, et l'on~a
\[
f(z_{0} + z') = u_{0} + u_{1}z' + u_{2}z'^{2} + \ldots,
\]
d'où
\[
\Tag{(6)}
f(z) = u_{0} + u_{1}(z - z_{0}) + u_{2}(z - z_{0})^{2} + \ldots.
\]

Les coefficients sont donnés par la formule
\[
\Tag{(7)}
u_{n} = \frac{1}{2\pi r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(z_{0} + re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta,
\]
et la série~(6) peut être représentée par
\[
\Tag{(8)}
f(z) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(z_{0} + re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta.
\]

D'après la formule~(12) du \no{87}, on~a
\[
f^{n} (z_{0}) = \frac{1·2·3\cdots n}{2\pi r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(z_{0} + re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta.
\]
On en déduit
\[
u_{n} = \frac{f^{n}(z_{0})}{1·2·3\cdots n},
\]
et la série~(8) se met sous la forme
\[
\Tag{(9)}
f(z) = \sum_{n = 0}^{n = \infty}
  \frac{f^{n}(z_{0})}{1·2·3\cdots n} (z - z_{0})^{n},
\]
donnée par Taylor pour le cas où la variable est réelle.
\DPPageSep{161.png}{153}

En faisant $z_{0} = 0$, on a la série de Maclaurin
\[
\Tag{(10)}
f(z) = \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{f^{n}(0) z^{n}}{1·2\cdots n}.
\]

Considérons, par exemple, les fonctions $\sqrt[m]{1 + z}$, $\log(1 + z)$, $\arctang z$,
dont nous préciserons la signification, en supposant que, la variable~$z$
partant du point $z = 0$, la fonction a la valeur initiale zéro. Les deux
premières admettent le point critique $z = -1$; la troisième les deux
points critiques $z = ±i$. Ces fonctions sont holomorphes dans un cercle
décrit du point $z = 0$ comme centre avec un rayon égal à l'unité;
chacune d'elles se développe donc en une série ordonnée suivant les
puissances entières, positives et croissantes de~$z$, et convergente dans
ce cercle. On calculera les coefficients de la série d'après la formule
de Maclaurin.


\Section{Développement d'une fonction algébrique}

\Paragraph{96.} On peut développer de la même manière la fonction implicite
définie par une équation algébrique $f(z, u) = 0$. Si la valeur~$u_{0}$ de la
fonction pour $z = z_{0}$ est racine simple de l'équation, elle est holomorphe
aux environs du point~$z_{0}$, et se développe, par conséquent, en une série
convergente ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes
de~$z - z_{0}$; le cercle de convergence, dont le point~$z_{0}$ est le centre,
s'étend jusqu'au pôle ou au point critique le plus voisin, où la racine
considérée devient infinie ou se permute avec une autre.

Lorsque $u_{0}$~est une racine multiple d'ordre~$n$ dans le voisinage de~$z_{0}$,
l'équation admet $n$~racines voisines de~$u_{0}$. Posons
\[
\Tag{(11)}
z = z_{0} + z',\quad u = u_{0} + u'.
\]
Si l'équation renferme un terme du premier degré en~$z'$ indépendant
de~$u'$, ces $n$~racines forment un système circulaire que l'on obtient en
posant $z'' = z'^{\efrac{1}{n}}$, $u' = vz''$ (\no{33}); toutes les valeurs de~$v$ pour $z'' = 0$
sont racines simples; il suffit de prendre l'une d'elles. Cette valeur
\DPPageSep{162.png}{154}
de~$v$, étant fonction holomorphe de~$z''$, est développable en une série
convergente suivant les puissances entières et croissantes de~$z''$; on~a
donc
\begin{align*}
v &= v_{0} + v_{1}z'' + v_{2}z''^{2} + \ldots, \\
u &= u_{0} + v_{0}z'' + v_{1}z''^{2} + v_{2}z''^{3} + \ldots, \\
\Tag{(12)}
u &= u_{0} + v_{0}z'^{\efrac{1}{n}} + v_{1}z'^{\efrac{2}{n}} + v_{2}z'^{\efrac{3}{n}} + \ldots.
\end{align*}
Cette dernière série représente les $n$~racines formant le système circulaire;
elle est convergente jusqu'au pôle ou point critique le plus
voisin, où l'une des racines du système devient infinie ou se change en
une autre.

En général le groupe des $n$~racines voisines de~$u_{0}$ se décompose en
plusieurs sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs systèmes
circulaires. Nous avons vu (\no{36}) que, dans tous les cas, les $p$~racines
d'un système circulaire sont représentées par la formule $u' = vz'^{\efrac{q}{p}}$,
$v$~étant fonction holomorphe de $z'' = z'^{\efrac{1}{p}}$ ne s'annulant pas avec~$z''$, et
la fraction~$\dfrac{q}{p}$ n'étant pas nécessairement irréductible. Cette fonction~$v$
pouvant être développée en une série convergente suivant les puissances
entières, positives et croissantes de~$z''$, les $p$~racines du système circulaire
sont représentées par la même série
\[
\Tag{(13)}
u = u_{0} + z'^{\efrac{q}{p}} \left(
  v_{0} + v_{1} z'^{\efrac{1}{p}} + v_{2} z'^{\efrac{2}{p}} + \ldots
  \right).
\]

Le même mode de développement s'applique aux racines infinies.
Quand, pour $z = z_{0}$, il y a $n$~racines infinies, ces $n$~racines se décomposent
encore en sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs
systèmes circulaires. Les $p$~racines d'un système circulaire sont représentées
par la formule $u = vz'^{-\efrac{q}{p}}$, $v$~étant fonction holomorphe de
$z'' = z'^{\efrac{1}{p}}$ (\no{37}). Cette fonction~$v$ pouvant être développée suivant les
puissances entières, positives et croissantes de~$z''$, les $p$~racines du système
circulaire sont représentées par la série
\[
\Tag{(14)}
u = z'^{-\efrac{q}{p}} \left(
  v_{0} + v_{1} z'^{\efrac{1}{p}} + v_{2} z'^{\efrac{2}{p}} + \ldots
  \right).
\]
\DPPageSep{163.png}{155}
Nous dirons que chacune de ces racines infinies est du degré~$\efrac{q}{p}$; il
y a au commencement de la série un ou plusieurs termes à exposants
négatifs. Lorsque $p = 1$, tous les exposants sont entiers, et le point~$z_{0}$
est pôle par rapport à la raison infinie considérée.


\Section{Formule de Lagrange}

\Paragraph{97.} Soit l'équation
\[
\Tag{(15)}
u = a + zf(u),
\]
dans laquelle~$f(u)$ désigne un polynôme entier en~$u$ du degré~$m$,
\[
\Tag{(16)}
f(u) = A_{0} + A_{1}u + \ldots + A_{m}u^{m}.
\]
Pour une valeur très-petite de~$z$, l'équation admet une racine simple
voisine de~$a$ et $m - 1$~racines très-grandes ayant pour valeurs approchées
$u = A_{m}^{-\efrac{1}{m - 1}}\, z^{-\efrac{1}{m - 1}}$; le point $z = 0$ est donc un point critique autour
duquel se permutent ces $m - 1$~racines infinies. Mais il y a d'autres
points critiques; on les obtient à l'aide des deux équations simultanées~(15)
et
\[
\Tag{(17)}
1 - zf'(u) = 0,
\]
d'où l'on déduit l'équation du \Ord{$m$}{ième}~degré
\[
\Tag{(18)}
(u - a)f'(u) - f(u) = 0;
\]
puisqu'à chaque valeur de~$u$ correspond une seule valeur de~$z$, donnée
par l'équation~(17), on obtient $m$~nouveaux points critiques. La formule
de Lagrange
\[
\Tag{(19)}
u = a + \frac{z}{1} f(a)
      + \frac{z^{2}}{1·2} \Diff_{a} f(a)^{2}
      + \frac{z^{3}}{1·2·3} \Diff_{a}^{2} f(a)^{3} + \ldots
\]
donne les coefficients du développement de la racine simple dont la valeur
initiale est~$a$ pour~$z = 0$; la série est convergente dans un cercle
décrit de l'origine comme centre et qui s'étend jusqu'au point critique
\DPPageSep{164.png}{156}
le plus voisin où cette racine se permute avec une autre. Mais il peut
arriver que le cercle de convergence contienne un ou plusieurs points
critiques relatifs à d'autres racines.

Comme premier exemple, considérons l'équation du second degré
\[
\Tag{(20)}
u = a + z\, \frac{u^{2} - 1}{2},
\]
dont l'une des racines
\[
\Tag{(21)}
u = \frac{1 - \sqrt{1 - 2az + z^{2}}}{z}
\]
se réduit à~$a$ pour~$z = 0$; l'autre racine devient infinie en ce point qui
est pôle par rapport à cette seconde racine. Les deux racines deviennent
égales et se permutent autour des deux points critiques
\[
z = a ± \sqrt{a^{2} - 1}.
\]
Bornons-nous au cas où la quantité~$a$ est réelle et positive. Si le nombre~$a$
est plus petit que~$1$, les deux points critiques $z = a ± i\sqrt{1 - a^{2}}$ ayant
un module égal à~$1$, le rayon du cercle de convergence est égal à~$1$
et est indépendant de~$a$. Si le nombre~$a$ est plus grand que~$1$, les
deux points critiques étant inégalement distants de l'origine, le plus
voisin donne le rayon du cercle de convergence
\[
R = a - \sqrt{a^{2} - 1}
  = \frac{1}{a + \sqrt{a^{2} - 1}};
\]
ce rayon est d'autant plus petit que~$a$ est plus grand. La formule de
Lagrange donne le développement de la racine~(21)
\[
\Tag{(22)}
u = a + \frac{z}{1}\, \frac{a^{2} - 1}{2}
      + \frac{z^{2}}{1·2}\, \Diff_{a} \left(\frac{a^{2} - 1}{2}\right)^{2}
      + \frac{z^{3}}{1·2·3}\, \Diff_{a}^{2} \left(\frac{a^{2} - 1}{2}\right)^{3}
      + \ldots,
\]
dans le cercle que nous venons de déterminer.

On en déduit un autre développement très-important. En différentiant
la formule~(21) par rapport à~$a$, on trouve
\[
\frac{du}{da} = (1 - 2az + z^{2})^{-\efrac{1}{2}},
\]
\DPPageSep{165.png}{157}
en différentiant de même la série~(22) et égalant les deux valeurs
de~$\dfrac{du}{da}$, on obtient la série
\[
\Tag{(23)}
(1 - 2az + z^{2})^{-\efrac{1}{2}}
  = 1 + \frac{z}{1}\, \Diff_{a} \left(\frac{a^{2} - 1}{2}\right)
  + \frac{z^{2}}{1·2}\, \Diff_{a}^{2} \left(\frac{a^{2} - 1}{2}\right)^{2} + \ldots
\]
convergente dans le même cercle que la première. Le polynôme entier
%[** TN: Not displayed in original]
\[
\frac{1}{1·2\cdots n}\, \Diff_{x}^{n} \left(\frac{x^{2} - 1}{2}\right)^{n}
\]
du degré~$n$ est la fonction~$X_{n}$ de Legendre.

Comme second exemple, considérons l'équation du troisième degré
\[
\Tag{(24)}
u = z(A + Bu^{2} + Cu^{3}),
\]
dans laquelle nous supposons les coefficients $A, B, C$ réels et positifs.
L'équation~(18) est ici
\[
\frac{1}{u^{3}} - \frac{B}{A}\, \frac{1}{u} - \frac{2C}{A} = 0;
\]
elle a ses trois racines réelles si la condition $B^{3} > 27 AC^{2}$ est remplie,
et dans ce cas les trois valeurs correspondantes de~$z$ sont aussi réelles.
L'élimination de~$u$ entre ces deux équations conduit à l'équation
\[
\phi(z) = A(4B^{3} + 27AC^{2})z^{3} + 18ABCz^{2} - B^{2}z - 4C = 0,
\]
qui a une racine positive~$z_{1}$ et deux racines négatives $z_{2}$~et~$z_{3}$. On peut
faire en sorte que l'une des racines négatives~$z_{2}$ soit plus grande
que~$-z_{1}$, l'autre plus petite; il faut pour cela que~$\phi(-z_{1})$ soit~$> 0$.
Si l'on tient compte de ce que $\phi(z_{1}) = 0$, cette condition se simplifie
et devient $z_{1} > \sqrt{\dfrac{2}{9AB}}$. Il suffit que cette dernière quantité rende négatif
le polynôme~$\phi(z)$, ce qui conduit à la condition $B^{3} > 54AC^{2}$, qui
comprend la condition $B^{3} > 27AC^{2}$ écrite précédemment.

Dans le voisinage du point $z = 0$, les trois racines de l'équation proposée~(24)
ont pour valeurs approchées
\[
u_{0} = Az,\quad
u_{1} =  \frac{1}{\sqrt{C}}\, z^{-\efrac{1}{2}},\quad
u_{2} = -\frac{1}{\sqrt{C}}\, z^{-\efrac{1}{2}}.
\]
Les deux dernières se permutent autour du point $z = 0$. Quand $z$~est
\DPPageSep{166.png}{158}
réel, et que l'équation $\phi(z) = 0$ a ses trois racines réelles, l'équation~(24)
a ses trois racines réelles, lorsque la condition
\[
z\phi(z) = z (z - z_{1})(z - z_{2})(z - z_{3}) < 0
\]
est remplie. De $z = 0$ à $z = z_{1}$, les trois racines sont réelles, deux positives,
une négative; ce sont les deux racines positives $u_{0}$~et~$u_{1}$ qui se
permutent autour du point critique~$z_{1}$. De $z = 0$ à $z = z_{2}$, une seule
racine~$u_{0}$ est réelle; ce sont les deux racines imaginaires $u_{1}$~et~$u_{2}$ qui se
permutent autour du point critique~$z_{2}$. Dans l'intervalle~$z_{2}z_{3}$, les trois
racines sont réelles et négatives. Enfin, pour toutes les valeurs de~$z$
supérieures à~$z_{1}$ ou inférieures à~$z_{3}$, une seule racine est réelle.

On se rend bien compte de la transformation des racines en formant
des lacets qui, partant d'un point~$z_{0}$ voisin de~$O$ et situé sur l'axe~$Ox$,
enveloppent les quatre points critiques. D'après ce que nous avons dit,
le lacet~$(z_{1})$ permute les deux racines $u_{0}$~et~$u_{1}$, chacun des lacets $(O)$~et~$(z_{2})$
les deux racines $u_{1}$~et~$u_{2}$; quant au lacet~$(z_{3})$, il permute la
racine~$u_{0}$ avec $u_{1}$~ou~$u_{2}$; car, le point~$O'$ étant un point ordinaire sur
la sphère, un circuit qui enveloppe tous les points critiques, ramène la
valeur initiale~$u_{0}$. On conclut de là que la racine dont la valeur initiale
est $u = 0$ pour $z = 0$ est holomorphe dans le cercle de rayon~$z_{1}$ ayant
pour centre l'origine, et, par conséquent, qu'elle est développable en
une série convergente dans ce cercle, qui comprend deux points critiques
relatifs aux deux autres racines.

\Paragraph{98.} \begin{Théorème}{II}
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans la
partie du plan comprise entre deux cercles ayant pour centre l'origine,
elle est développable en une double série ordonnée suivant les puissances
entières, positives et négatives, de la variable, et convergente dans cette
partie du plan.
\end{Théorème}

Nous supposons la fonction~$f(z)$ \DPtypo{homolorphe}{holomorphe} dans la partie du plan
comprise entre les deux circonférences décrites de l'origine comme
centre avec les rayons $R$~et~$R'$ (\Figref{55}), $R$~étant plus grand que~$R'$. Soit~$t$
un point quelconque situé dans cette partie du plan. Du point~$O$, comme
centre, décrivons deux cercles, l'un avec un rayon~$r$ plus petit que~$R$,
mais plus grand que~$Ot$; l'autre avec un rayon~$r'$ plus grand que~$R'$,
mais plus petit que~$Ot$.
\DPPageSep{167.png}{159}

Menons une transversale~$ab$; le contour de la partie du plan comprise
entre les deux circonférences $r$~et~$r'$ est formé de ces deux circonférences
et de la transversale~$ab$ parcourue deux fois dans des sens
contraires. La fonction~$f(z)$ étant holomorphe dans cette partie du
plan, on a, d'après le théorème du \no{86},
\[
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{z - t}\, dz,
\]
l'intégrale se rapportant au contour entier décrit dans le sens direct.
Mais, dans ce mouvement, le point~$z$ décrit la circonférence~$r$ dans le
\Fig[2in]{55}
sens positif, la circonférence~$r'$ dans le sens négatif, et la transversale~$ab$
deux fois dans des sens contraires, ce qui donne dans l'intégrale
des résultats égaux et des signes contraires. On a donc, en supposant
les deux circonférences parcourues dans le sens positif,
\[
\Tag{(25)}
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z - t}\, dz
     - \frac{1}{2\pi i} \int_{(r')} \frac{f(z)}{z - t}\, dz.
\]
Sur la circonférence~$r$ le module de~$z$ étant plus grand que celui
de~$t$, nous écrirons
\[
\frac{f(z)}{z - t}
  = \frac{\dfrac{f(z)}{z}}{1 - \dfrac{t}{z}}
  = \frac{f(z)}{z} \left[
    1 + \frac{t}{z} + \frac{t^{2}}{z^{2}} + \ldots
      + \frac{t^{n}}{z^{n}}
      + \frac{\dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{1 - \dfrac{t}{z}} \right].
\]
\DPPageSep{168.png}{160}
Sur la circonférence~$r'$ le module de~$z$ étant au contraire plus petit
que celui de~$t$, nous écrirons
\[
\frac{f(z)}{z - t}
  = - \frac{\dfrac{f(z)}{t}}{1 - \dfrac{z}{t}}
  = -\frac{f(z)}{t} \left[
    1 + \frac{z}{t} + \frac{z^{2}}{t^{2}} \Add{+} \ldots
      + \frac{z^{n-1}}{t^{n-1}}
      + \frac{\dfrac{z^{n}}{t^{n}}}{1 - \dfrac{z}{t}} \right].
\]
La formule~(25) devient
\begin{multline*}%[** TN: Explicit horizontal spacing]
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z}\, dz \\
  + \frac{t}{2\pi i} \int_{(r)} \kern -2pt \frac{f(z)}{z^{2}}\, dz
  + \frac{t^{2}}{2\pi i} \int_{(r)} \kern -2pt \frac{f(z)}{z^{3}}\, dz \Add{+} \ldots
  + \frac{t^{n}}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{n + 1}}\, dz
  + \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \kern -4pt
    \frac{f(z) \dfrac{t^{n + 1}}{z^{n + 1}}}{z - t}\, dz \\
%
  + \frac{t^{-1}}{2\pi i} \int_{(r')} \kern -6pt f(z)\, dz
  + \frac{t^{-2}}{2\pi i} \int_{(r')} \kern -6pt z f(z)\, dz \Add{+} \ldots
  + \frac{t^{-n}}{2\pi i} \int_{(r')} \kern -8pt z^{n - 1} f(z)\, dz
  + \frac{1}{2\pi i} \int_{(r')}
    \frac{f(z) \dfrac{z^{n}}{t^{n}}}{t - z}\, dz.
\end{multline*}
On verra, comme précédemment, que les deux termes complémentaires
tendent vers zéro quand $n$~augmente indéfiniment. On obtient ainsi
une double série ordonnée suivant les puissances positives et négatives
de~$t$. Les intégrales ont des valeurs fixes et déterminées; elles sont
d'ailleurs indépendantes des rayons $r$~et~$r'$, pourvu que ces rayons
soient compris entre $R'$~et~$R$. Si l'on pose
\begin{align*}
u_{n} &= \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} \frac{f(z)}{z^{n + 1}}\, dz
  = \frac{1}{2\pi r^{n}} \int_{0}^{2\pi} f(re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta, \\
u_{-n} &= \frac{1}{2\pi i} \int_{(r')} z^{n - 1} f(z)\, dz
  = \frac{r'^{n}}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(r'e^{\theta i}) e^{n\theta i}\, d\theta,
\end{align*}
et si l'on remplace~$t$ par~$z$, la double série devient
\[
f(z) = \ldots + u_{-2}z^{-2} + u_{\DPtypo{1}{-1}}z^{-1}
  + u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots;
\]
on peut la représenter par
\[
\Tag{(26)}
f(z) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty}
  \frac{z^{n}}{r^{n}} \int_{0}^{2\pi} f(re^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta.
\]
\DPPageSep{169.png}{161}
Cette extension du théorème de Cauchy a été donnée par Laurent
(\textit{Comptes rendus}, 1843).

Lorsque la fonction est holomorphe dans toute la partie du plan extérieure
au cercle~$R'$, et que sur la sphère le point~$O'$ est un point ordinaire,
la série est convergente dans cette étendue, et elle ne renferme
aucune puissance positive; car, dans l'évaluation des coefficients des
puissances positives, on peut supposer le rayon~$r$ infini.


\Section{Série de Fourier}

\Paragraph{99.} \begin{Théorème}{III}
Lorsque, dans la partie du plan comprise entre
deux droites parallèles, une fonction est holomorphe et admet une période~$\omega$
dont l'argument est égal à celui des droites parallèles, elle est
développable en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives
et négatives, de~$e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}}$, et convergente dans cette bande.
\end{Théorème}

En posant $e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}} = t$ et faisant $t = re^{\theta i}$, on a $z = -\dfrac{i\omega \Log r}{2\pi} + \dfrac{\omega\theta}{2\pi}$. Quand $\theta$~varie
de~$0$ à~$2\pi$, c'est-à-dire quand la variable~$t$ décrit une circonférence
de cercle ayant pour centre l'origine, la variable~$z$ décrit la
\Fig[2.75in]{56}
droite~$AA'$ (\Figref{56}), dont les extrémités $A$~et~$A'$ correspondent aux valeurs
$z = -\dfrac{i\omega \Log r}{2\pi}$, $z = -\dfrac{i\omega \Log r}{2\pi} + \omega$. Si $\theta$~varie ensuite de~$2\pi$ à~$4\pi$, c'est-à-dire
si la variable~$t$ décrit la même circonférence une seconde fois, la
variable~$z$ décrit une seconde droite~$A'A''$ égale à la précédente et placée
\DPPageSep{170.png}{162}
sur son prolongement; et ainsi de suite; ces portions de droite,
s'ajoutant les unes aux autres, forment une droite infinie~$BC$. Supposons
maintenant que le rayon~$r$ varie de~$r_{0}$ à~$r_{1}$, le point~$A$ décrira sur la perpendiculaire
menée de l'origine à la droite~$BC$ une longueur~$A_{0}A_{1}$, dont
les extrémités correspondent aux valeurs $z = -\dfrac{i\omega \Log r_{0}}{2\pi}$, $z = -\dfrac{i\omega \Log r_{1}}{2\pi}$
et la droite~$BC$, se mouvant parallèlement à elle-même, ira de la position~$B_{0}C_{0}$
à la position~$B_{1}C_{1}$. Ainsi à la partie du plan~$t$ comprise
entre les deux circonférences concentriques $r_{0}, r_{1}$ correspond la partie
du plan~$z$ comprise entre les deux parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$.

Soit $u = f(z)$ une fonction de~$z$, holomorphe dans la bande~$B_{0}C_{0}B_{1}C_{1}$,
et admettant la période~$\omega$, c'est-à-dire telle que $f(z + \omega) = f(z)$. Si
nous concevons la bande divisée en rectangles égaux au rectangle
$A_{0}A'_{0}A'_{1}A_{1}$, la fonction reprendra la même valeur aux points homologues
de ces différents rectangles. A une valeur de~$t$ correspondent
une infinité de valeurs de~$z$ de la forme~$z + m\omega$, $m$~étant un nombre
entier quelconque, positif ou négatif, et par conséquent une seule
valeur de~$u$; $u$~peut donc être regardé comme une fonction holomorphe
de~$t$ dans la couronne comprise entre les circonférences $r_{0}$~et~$r_{1}$. En
vertu du théorème précédent, cette fonction est développable en une
série
\[
\Tag{(1)}
u = \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty} u_{n} t^{n},
\]
ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives de~$t$,
et convergente dans la couronne~$r_{0}r_{1}$. En remplaçant~$t$ par sa valeur,
on obtient la série
\[
\Tag{(2)}
u = \sum_{n = -\infty}^{n = +\infty} u_{n} e^{\efrac{2n\pi zi}{\omega}},
\]
convergente dans la bande~$B_{0}C_{0}B_{1}C_{1}$.

Un coefficient quelconque de la série~(1) est donnée par l'intégrale
définie
\[
\Tag{(3)}
u_{n} = \frac{1}{2\pi i} \int_{(r)} ut^{-n-1}\, dt,
\]
\DPPageSep{171.png}{163}
relative à une circonférence de cercle intermédiaire entre les circonférences
limites $r_{0}$~et~$r_{1}$; par le changement de variable, cette intégrale
définie devient
\[
\Tag{(4)}
u_{n} = \frac{1}{\omega}
  \int_{z_{0}}^{z_{0} + \omega} ue^{-\efrac{2n\pi zi}{\omega}}\, dz,
\]
la variable~$z$ décrivant une ligne allant d'un point~$z_{0}$ à un point~$z_{0} + \omega$,
et comprise entre les deux parallèles limites, par exemple la ligne~$AA'$.

Supposons que la fonction proposée soit holomorphe par rapport
à~$z$ dans toute l'étendue du plan; si nous faisons tendre le rayon~$r_{0}$
vers zéro et augmenter~$r_{1}$ indéfiniment, les deux parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$
s'éloigneront indéfiniment de l'origine de part et d'autre; la série~(2)
sera donc convergente pour toutes les valeurs de~$z$.


\Section{Fonctions de plusieurs variables}

\Paragraph{100.} \begin{Théorème}{IV}
Une fonction de plusieurs variables indépendantes,
holomorphe par rapport à chacune d'elles dans une certaine
étendue, admet une infinité de dérivées partielles, qui sont elles-mêmes
holomorphes dans les mêmes étendues.
\end{Théorème}

Soit $f(x, y)$ une fonction des deux variables indépendantes $x$~et~$y$,
holomorphe tant que les points $x$~et~$y$ (\Figref{57}) sont situés respectivement
dans des parties déterminées $A$~et~$B$ du plan. Si l'on attribue à~$y$ une
valeur constante située dans l'aire~$B$, $f(x, y)$~est fonction holomorphe
de la variable~$x$ dans l'aire~$A$. D'après le théorème du \no{86},
\Fig[2in]{57}
cette fonction admet une infinité de dérivées partielles relatives à la
variable~$x$, et ces dérivées sont fonctions holomorphes de~$x$ dans la
même étendue. Nous allons démontrer qu'elles sont aussi fonctions
holomorphes de la variable~$y$ dans l'aire~$B$. On a, en effet, d'après la
\DPPageSep{172.png}{164}
formule~(12) du \no{87},
\begin{gather*}%[** TN: Breaking last line]
\Tag{(1)}
\begin{aligned}[t]
\phi(x, y) = \Diff_{x}^{n} f(x, y)
  &= \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
     \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y) e^{-n\theta i}\, d\theta, \\
%
\phi(x, y + \Delta y)
  &= \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
     \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + \Delta y) e^{-n\theta i}\, d\theta, \\
%
\phi(x, y + \Delta y) - \phi(x, y) &
\end{aligned} \\
\qquad = \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
     \int_{0}^{2\pi} \bigl[f(x + re^{\theta i}, y + \Delta y)
       - f(x + re{^\theta i}, y\DPtypo{}{)}\bigr] e^{-n\theta i}\, d\theta.
\end{gather*}
On voit d'abord que~$\phi(x, y)$ varie d'une manière continue avec~$y$; on~a
ensuite
\begin{multline*}
\frac{\phi(x, y + \Delta y) - \phi(x, y)}{\Delta y} \\
\begin{aligned}
  &= \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
    \int_{0}^{2\pi} \frac{f(x + re^{\theta i}, y + \Delta y) - f(x + re^{\theta i}, y)}{\Delta y} e^{-n\theta i}\, d\theta \\
  &= \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
    \int_{0}^{2\pi} \bigl[\Diff_{y} f(x + re^{\theta i}, y) + \epsilon\bigr]
      e^{-n\theta i}\, d\theta,
\end{aligned}
\end{multline*}
la quantité~$\epsilon$ tendant vers zéro avec~$\Delta y$. Ainsi la fonction~$\phi(x, y)$ admet
une dérivée partielle relative à~$y$,
\[
\Tag{(2)}
\Diff_{y} \phi(x, y)
  = \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
    \int_{0}^{2\pi} \Diff_{y} f(x + re^{\theta i}, y) e^{-n\theta i}\, d\theta,
\]
dérivée que l'on obtient en différentiant sous le signe somme.

La fonction~$\phi(x,y)$, étant fonction holomorphe de~$y$ dans l'aire~$B$,
admet une infinité de dérivées partielles~$\Diff_{y}^{n'} \phi(x, y)$ relatives à~$y$, qui
sont holomorphes en~$y$ et qui, en vertu du raisonnement précédent, le
sont aussi en~$x$. On obtient ainsi la dérivée partielle $\Diff_{xy}^{n + n'} f(x, y)$, qui
est une fonction holomorphe de $x$~et~$y$ dans les aires $A$~et~$B$.

Voici comment on peut avoir l'expression de cette dérivée. D'après la
formule rappelée précédemment, on~a
\begin{align*}
\Diff_{y}^{n'} \phi(x, y)
  &= \frac{1·2\cdots n'}{2\pi r'^{n'}}
     \int_{0}^{2\pi} \phi(x, y + r'e^{\theta' i}) e^{-n'\theta' i}\, d\theta', \\
\phi(x, y + r'e^{\theta' i})
  &= \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
     \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + r'e^{\theta' i})
                    e^{-n\theta i}\, d\theta;
\end{align*}
\DPPageSep{173.png}{165}
d'où
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Tag{(3)}
\Diff_{xy}^{n + n'} f(x, y) \\
  = \frac{1·2\cdots n·1·2\cdots n'}{4\pi^{2} r^{n} r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} e^{-n'\theta'i}\, d\theta'
    \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\DPtypo{\theta'}{\theta i}},
                      y + r'e^{\theta' i} ) e^{-n\theta i}\, d\theta.
\end{multline*}

On peut suivre une autre marche. En différentiant sous le signe
somme, d'après la formule~(2), on~a
\[
\Diff_{y}^{n'} \phi(x, y)
  = \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
    \int_{0}^{2\pi} \Diff_{y}^{n'} f(x + re^{\theta i}, y) e^{-n\theta i}\, d\theta;
\]
mais
\[
\Diff_{y}^{n'} f(x + re^{\theta i}, y)
  = \frac{1·2\cdots n'}{2\pi r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + r'e{\theta' i}) e^{-n'\theta' i}\, d\theta';
\]
donc
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Tag{(4)}
\Diff_{xy}^{n + n'} f(x, y) \\
  = \frac{1·2\cdots n·1·2\cdots n'}{4\pi^{2} r^{n} r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} e^{-n\theta i}\, d\theta
    \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + r'e^{\theta' i}) e^{-n'\theta' i}\, d\theta'.
\end{multline*}
Ces deux expressions (3)~et~(4) se mettent sous la forme
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Tag{(5)}
\Diff_{xy}^{n + n'} f(x, y) \\
  = \frac{1·2\cdots n·1·2\cdots n'}{4\pi^{2} r^{n} r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + r'e^{\theta' i})
      e^{-n\theta i - n'\theta' i}\, d\theta\, d\theta'.
\end{multline*}

On peut changer l'ordre des différentiations. En appliquant la formule~(3),
on a, en effet,
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Diff_{yx}^{n + n'} f(x, y) \\
  = \frac{1·2\cdots n·1·2\cdots n'}{4\pi^{2} r^{n} r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} e^{-n\theta i}\, d\theta
    \int_{0}^{2\pi} f(x + re^{\theta i}, y + r'e^{\theta' i}) e^{-n'\theta' i}\, d\theta';
\end{multline*}
c'est la formule~(4); ainsi
\[
\Tag{(6)}
\Diff_{yx}^{n + n'} f(x, y) = \Diff_{xy}^{n + n'} f(x, y).
\]

\Paragraph{101.} \begin{Théorème}{V}
Si $u$~et~$v$ sont des fonctions holomorphes de~$z$
dans une aire~$A$, $f(u, v)$~une fonction holomorphe des deux variables $u$~et~$v$
dans les aires $B$~et~$C$ décrites par les points $u$~et~$v$ quand le point~$z$
décrit l'aire~$A$, cette fonction sera fonction holomorphe de~$z$ dans l'aire~$A$.
\end{Théorème}
\DPPageSep{174.png}{166}

Il est évident d'abord que~$f(u, v)$ est une fonction continue et monotrope
de~$z$ dans l'aire~$A$; il reste à faire voir qu'elle admet une
dérivée. La démonstration est la même que celle que l'on donne habituellement,
quand la variable est réelle; on~a
\[
\Tag{(7)}
\Diff_{z}f(u, v) = \Diff_{u}f(u, v) \Diff_{z}u + \Diff_{v} f(u, v) \Diff_{z}v.
\]

\Remarque Soit~$f(x, y)$ une fonction holomorphe des deux variables
$x$~et~$y$ dans les aires $A$~et~$B$; posons
\[
x = x_{0} + ht,\quad
y = y_{0} + kt,
\]
$x_{0}$~étant un point de l'aire~$A$, $y_{0}$~un point de l'aire~$B$, $h$~et~$k$ deux constantes;
d'après le théorème précédent, on peut regarder~$f(x, y)$ comme
une fonction de la variable~$t$, dans une aire~$C$ telle que les aires correspondantes
décrites respectivement par les points $x$~et~$y$ soient comprises
dans les aires $A$~et~$B$, et l'on~a
\[
\Diff_{t}f(x, y) = h\Diff_{x}f + k\Diff_{y}f.
\]

En appliquant le même théorème à cette nouvelle fonction, on~a
successivement
\begin{align*}
&\begin{array}{@{\,}l}
\Diff_{t}^{2} f(x, y)
  = h^{2} \Diff_{x^{2}}^{2} f
  + 2hk \Diff_{xy}^{2} f
  + k^{2} \Diff_{y^{2}}^{2} f, \\
\Diff_{t}^{3} f(x, y)
  = h^{3} \Diff_{x^{3}}^{3} f
  + 3h^{2}k \Diff_{x^{2}y}^{3} f
  + 3hk^{2} \Diff_{xy^{2}}^{3} f
  + k^{3} \Diff_{y^{3}}^{3} f, \\
\hdotsfor{1},
\end{array} \\
&\begin{aligned}[t]
\Diff_{t}^{n} f(x, y) = h^{n} \Diff_{x^{n}}^{n} f
  &+ \frac{n}{1} h^{n-1} k \Diff_{x^{n-1}y}^{n} f \\
  &+ \frac{n(n - 1)}{1·2} h^{n-2} k^{2} \Diff_{x^{n-2}y^{2}}^{n} f
   + \ldots
   + k^{n} \Diff_{y^{n}}^{n} f.
\end{aligned}
\end{align*}
On peut représenter cette dérivée d'ordre~$n$ par la formule symbolique
\[
\Tag{(8)}
\Diff_{t}^{n} f(x, y) = (h\Diff_{x} + k\Diff_{y})^{n} f(x, y).
\]

\Paragraph{102.} \begin{Théorème}{VI}
Lorsqu'une fonction~$f(x, y)$ est holomorphe
dans des cercles décrits des points $x_{0}$~et~$y_{0}$ comme centres, avec des
rayons $R$~et~$R'$, elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances
entières, positives et croissantes de $x - x_{0}$~et~$y - y_{0}$ et convergente
dans les mêmes cercles.
\end{Théorème}
\DPPageSep{175.png}{167}

Soient $x_{0} + h$~et~$y_{0} + k$ des points fixes situés dans les cercles $R$~et~$R'$;
posons
\[
x = x_{0} + ht,\quad
y = y_{0} + kt,
\]
et assujettissons la nouvelle variable~$t$ à rester dans le cercle décrit du
point $t = 0$ comme centre avec un rayon égal à l'unité; les différences
$x - x_{0} = ht$, $y - y_{0} = kt$ ayant des modules respectivement inférieurs
ou égaux à ceux de~$h$ et de~$k$ et, par conséquent, inférieurs à $R$~et~$R'$,
les points $x$~et~$y$ resteront situés dans les cercles $R$~et~$R'$. La fonction~$f(x, y)$
sera donc une fonction holomorphe de~$t$ dans cette étendue;
nous la représenterons par~$F(t)$,
\[
F(t) = f(x, y) = f(x_{0} + ht, y_{0} + kt).
\]

D'après le théorème~I, cette fonction est développable en une série
ordonnée suivant les puissances positives, entières et croissantes de~$t$,
convergente dans le cercle de rayon~$1$, et l'on a, en appliquant la formule
de Maclaurin (\no{95}),
\[
F(t) = \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{F^{n}(0) t^{n}}{1·2\cdots n}.
\]
Mais on a symboliquement
\begin{align*}
F^{n}(t) &= (h\Diff_{x} + k\Diff_{y})^{n} f(x, y), \\
F^{n}(0) &= (h\Diff_{x_{0}} + k\Diff_{y_{0}})^{n} f(x_{0}, y_{0});
\end{align*}
on en déduit
\[
F(t) = \sum_{n = 0}^{n = \infty}
  \frac{t^{n} (h\Diff_{x_{0}} + k\Diff_{y_{0}})^{n} f(x_{0}, y_{0})}
       {1·2\cdots n}.
\]
Si maintenant on fait $t = 1$, d'où
\[
x = x_{0} + h,\quad
y = y_{0} + k,
\]
la formule précédente devient
\[
\Tag{(9)}
f(x, y) = f(x_{0} + h, y_{0} + k)
  = \sum_{n = 0}^{n = \infty}
    \frac{(h\Diff_{x_{0}} + k\Diff_{y_{0}})^{n} f(x_{0}, y_{0})}{1·2\cdots n}.
\]
\DPPageSep{176.png}{168}
La fonction~$f(x, y)$ est développée suivant les puissances entières,
positives et croissantes des différences $h = x - x_{0}$, $k = y - y_{0}$.

\Paragraph{103.} \Remarques Les fonctions de plusieurs variables indépendantes
présentent des particularités que nous n'avons pas rencontrées
dans l'étude des fonctions à une seule variable. Considérons d'abord
une fonction de deux variables
\[
f(x, y) = \frac{\phi(x, y)}{\psi(x, y)},
\]
qui soit le quotient de deux fonctions $\phi$~et~$\psi$ holomorphes dans les
aires $A$~et~$B$. Supposons qu'aux points $x = x_{0}$, $y = y_{0}$ situés dans
ces aires les fonctions $\phi$~et~$\psi$ deviennent nulles à la fois; la fonction~$f(x, y)$
prendra la forme~$\dfrac{0}{0}$; nous allons voir qu'en ces points, c'est-à-dire
pour ces valeurs particulières des variables, la fonction~$f(x, y)$
est indéterminée. Si l'on pose $x = x_{0} + x'$, $y = y_{0} + y'$, $x'$~et~$y'$ étant
de nouvelles variables comprises dans des cercles ayant pour centres
les points $x_{0}$~et~$y_{0}$, les fonctions holomorphes $\psi$~et~$\phi$ sont développables
en des séries convergentes ordonnées suivant les puissances
entières, positives et croissantes de~$x'$ et de~$y'$, et l'on~a
\[
f(x, y) = \frac{ax' + by' + cx'^{2} + \ldots}{a'x' + b'y' + c'x'^{2} + \ldots}.
\]
En désignant par~$u'$ le rapport~$\dfrac{y'}{x'}$, cette expression devient
\[
f(x, y) = \frac{a + bu + cx' + \ldots}{a' + b'u + c'x' + \ldots},
\]
et se réduit à
\[
\frac{a + bu}{a' + b'u}
\]
pour $x' = 0$. Le rapport~$u$ étant arbitraire, on en conclut que, pour
$x = x_{0}$, $y = y_{0}$, la fonction proposée~$f(x, y)$ admet une infinité de valeurs
différentes, dépendant des directions suivant lesquelles les points
mobiles $x$~et~$y$ tendent vers les points fixes $x_{0}$~et~$y_{0}$. Il est clair que les
\DPPageSep{177.png}{169}
systèmes de valeurs de $x$~et~$y$ pour lesquels la fonction~$f(x, y)$ est indéterminée
sont en nombre fini.

Considérons maintenant une fonction
\[
f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})
   = \frac{\phi(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})}{\psi(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})}
\]
de $n$~variables, qui soit le quotient de deux fonctions holomorphes $\phi$~et~$\psi$.
La même indétermination se présentera pour tous les systèmes de
valeurs des variables qui annulent à la fois les fonctions $\phi$~et~$\psi$. Il y a
un nombre infini de ces systèmes; car il reste $n - 2$~variables arbitraires.
\DPPageSep{178.png}{170}


\Chapitre{IV}{Périodes des Intégrales Définies}

\Paragraph{104.} Soit $f(z, u) = 0$ une équation algébrique et entière, irréductible,
et du degré~$m$ par rapport à~$u$. La variable~$z$ part d'un point fixe~$z_{0}$,
qui est un point ordinaire, la fonction ayant une valeur déterminée~$u_{0}$;
nous nous proposons d'étudier les diverses valeurs de l'intégrale
définie
\[
V = \int_{z_{0}}^{z} u\, dz,
\]
quand la variable~$z$ va du point initial~$z_{0}$ à un point quelconque~$z$ du
plan par différents chemins.

Soient $u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{m-1}$ les $m$~racines de l'équation au point initial~$z_{0}$.
Marquons dans le plan les points singuliers, c'est-à-dire les pôles et
les points critiques de la fonction algébrique~$u$ de~$z$; joignons-les au
point~$z_{0}$ par des lacets, et, s'il y a des lacets complexes unissant plus de
deux racines, décomposons-les en lacets binaires, unissant chacun
deux racines, comme nous l'avons dit au \no{38}. Nous avons expliqué
comment on s'y prend pour former un système de $m-1$~lacets binaires
fondamentaux, permettant de passer de la racine~$u_{0}$ à toutes les autres.
Un système fondamental est formé d'un premier lacet unissant la racine~$u_{0}$
à une autre~$u_{1}$, d'un second lacet unissant l'une des deux
racines $u_{0}$~ou~$u_{1}$ à une autre~$u_{2}$, d'un troisième lacet unissant l'une des
racines $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ à une autre $u_{3}, \ldots$, enfin d'un dernier lacet unissant
l'une des racines $u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{m-2}$ à la dernière~$u_{m-1}$. Nous avons démontré
que, abstraction faite des lacets parcourus chacun deux fois successivement
dans des sens contraires, et dont la suppression ne change
pas la valeur de l'intégrale, il n'existe qu'un chemin formé de lacets
\DPPageSep{179.png}{171}
fondamentaux conduisant d'une racine~$u_{\alpha}$ à une autre racine~$u_{\beta}$, celui
qui contient le moindre nombre de lacets; nous l'avons désigné par~$(V)_{\alpha}^{\beta}$.

Toute ligne fermée qui, partant du point initial~$z_{0}$, revient à ce point,
se ramène à une suite de lacets parcourus dans un sens et un ordre
déterminés. Nous appellerons \emph{cycle} une ligne fermée telle que, si on la
parcourt avec la racine~$u_{\alpha}$ prise comme valeur initiale, on reproduit à
la fin la même racine~$u_{\alpha}$; en remplaçant cette ligne par une suite de
lacets, on passera par une série de racines, telles que $u_{\alpha}, u_{\beta}, u_{\gamma}, u_{\delta}, u_{\alpha}$,
et le cycle sera représenté par
\[
(a)_{\alpha}^{\beta} +
(b)_{\beta}^{\gamma} +
(c)_{\gamma}^{\delta} +
(d)_{\delta}^{\alpha}.
\]
Si l'on parcourt cette suite de lacets en commençant par l'un quelconque
d'entre eux, et adoptant comme valeur initiale la racine correspondant
à l'origine du lacet, on reproduit à la fin cette même racine; ainsi nous
pourrons écrire le cycle précédent sous l'une des formes
\begin{align*}
&(b)_{\beta}^{\gamma} + (c)_{\gamma}^{\delta} + (d)_{\delta}^{\alpha} + (a)_{\alpha}^{\beta}, \\
&(c)_{\gamma}^{\delta} + (d)_{\delta}^{\alpha} + (a)_{\alpha}^{\beta} + (b)_{\beta}^{\gamma}, \\
&(d)_{\delta}^{\alpha} + (a)_{\alpha}^{\beta} + (b)_{\beta}^{\gamma} + (c)_{\gamma}^{\delta}.
\end{align*}

\Paragraph{105.} Il n'existe pas de cycle effectif composé uniquement de lacets
fondamentaux; car un pareil cycle, conduisant d'une racine~$u_{\alpha}$ à la
même racine~$u_{\alpha}$, se ramène à un chemin nul~$(V)_{\alpha}^{\alpha}$, par la suppression
des lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens
contraires. Un cycle effectif contiendra donc un ou plusieurs lacets autres
que les $m-1$~lacets choisis comme lacets fondamentaux. Nous appellerons
\emph{cycle simple} un cycle qui ne contient qu'un seul lacet autre que
les lacets fondamentaux. Nous allons faire voir que tout cycle renfermant
plusieurs lacets autres que les lacets fondamentaux peut être
regardé comme la réunion de plusieurs cycles simples. Par exemple,
un cycle renfermant les deux lacets non fondamentaux $(a)_{\alpha}^{\beta}, (b)_{\gamma}^{\delta}$ peut
être représenté par
\[
(a)_{\alpha}^{\beta} +
(V)_{\beta}^{\gamma} +
\Erratum{(b)^{\delta}}{(b)_{\gamma}^{\delta}} +
(V)_{\delta}^{\alpha},
\]
$(V)_{\beta}^{\gamma}$~et~$(V)_{\delta}^{\alpha}$ étant les chemins formés de lacets fondamentaux qui conduisent
de la racine~$u_{\beta}$ à la racine~$u_{\gamma}$, ou de~$u_{\delta}$ à~$u_{\alpha}$; si l'on remplace
\DPPageSep{180.png}{172}
le chemin~$(V)_{\beta}^{\gamma}$ par le chemin $(V)_{\beta}^{\alpha} + (V)_{\alpha}^{\gamma}$, qui ne diffère du premier que
par des lacets égaux et de sens contraires, le cycle devient
\[
(a)_{\alpha}^{\beta} +
(V)_{\beta}^{\alpha} +
(V)_{\alpha}^{\gamma} +
(b)_{\gamma}^{\delta} +
(V)_{\delta}^{\alpha};
\]
il se compose alors des deux cycles simples
\[
(a)_{\alpha}^{\beta} + (V)_{\beta}^{\alpha},\quad
(V)_{\alpha}^{\gamma} + (b)_{\gamma}^{\delta} +(V)_{\delta}^{\alpha},
\]
parcourus successivement avec la racine initiale~$u_{\alpha}$.

On peut ramener les cycles relatifs aux différentes racines à ceux qui
se rapportent à une racine particulière~$u_{0}$; en effet, par l'introduction
de deux chemins égaux et contraires, un cycle~$(C)_{\alpha}^{\alpha}$ relatif à la racine~$u_{\alpha}$
devient
\[
(C)_{\alpha}^{\alpha} + (V)_{\alpha}^{0} + (V)_{0}^{\alpha},
\]
ou
\[
(V)_{0}^{\alpha} + (C)_{\alpha}^{\alpha} + (V)_{\alpha}^{0},
\]
et se rapporte alors à la racine~$u_{0}$.

\Paragraph{106.} En général, une ligne fermée, partant du point~$z_{0}$ et revenant à
ce point, conduit à une racine~$u_{\alpha}$ différente de la racine initiale~$u_{0}$. Ce
chemin~$(C)_{0}^{\alpha}$ peut être remplacé par le chemin
\[
(C)_{0}^{\alpha} + (V)_{\alpha}^{0} + (V)_{0}^{\alpha},
\]
composé du cycle $(C)_{0}^{\alpha} + (V)_{\alpha}^{0}$ ramenant la racine initiale~$u_{0}$, suivi du
chemin~$(V)_{0}^{\alpha}$ qui, par des lacets fondamentaux, conduit de la racine~$u_{0}$
à la racine~$u_{\alpha}$. On en conclut que toutes les lignes fermées qui, partant
du point~$z_{0}$, reviennent à ce point, la fonction ayant la valeur initiale~$u_{0}$,
se ramènent à des suites de cycles simples, suivies de l'un des chemins
\[
(V)_{0}^{0},\quad
(V)_{0}^{1},\quad
(V)_{0}^{2}, \ldots,\quad
(V)_{0}^{m-1},
\]
formés uniquement de lacets fondamentaux.

Tous les chemins qui vont du point~$z_{0}$ à un point quelconque~$z$ du
plan se ramènent à un chemin déterminé, par exemple à la droite~$z_{0}z$,
allant du point~$z_{0}$ au point~$z$, ou à une ligne fermée~$(C)_{0}^{\alpha}$, suivie de ce
chemin déterminé.
\DPPageSep{181.png}{173}

Il est facile, d'après cela, de trouver les diverses valeurs de la fonction~$V$
au point~$z$. Appelons $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots$ les intégrales définies relatives
aux différents cycles simples, $V_{0}^{\alpha}$~l'intégrale relative à la ligne
fermée~$(V)_{0}^{\alpha}$, $V_{\alpha}$~l'intégrale définie relative à la droite~$z_{0}z$ quand on parcourt
cette droite avec la valeur initiale~$u_{\alpha}$ de la fonction~$u$. Une ligne
fermée quelconque~$(C)_{0}^{\alpha}$ se ramenant à une somme de cycles simples
suivie du chemin~$(V)_{0}^{\alpha}$, l'intégrale définie relative à cette ligne est
\[
n_{1}\omega_{1} + n_{2}\omega_{2} + n_{3}\omega_{3} \Add{+} \ldots
  + V_{0}^{\alpha},
\]
$n_{1}, n_{2}, n_{3}, \ldots$ étant des nombres entiers; on décrit ensuite la droite~$z_{0}z$
avec la racine~$u_{\alpha}$, ce qui donne un nouvel accroissement~$V_{\alpha}$ de l'intégrale
définie, de sorte que la fonction~$V$ acquiert au point~$z$ la valeur
\[
V = n_{1} \omega_{1} + n_{2} \omega_{2} + \ldots + V_{0}^{\alpha} + V_{\alpha}.
\]
On en conclut que, pour chaque valeur de~$z$, la fonction~$V$ admet
les $m$~valeurs
\[
V_{0},\quad
V_{0}^{1} + V_{1},\quad
V_{0}^{2} + V_{2}, \ldots,\quad
V_{0}^{m-1} + V_{m-1},
\]
augmentées de multiples quelconques de certaines périodes $\omega_{1},
\omega_{2}, \omega_{3}, \ldots$.

En intégrant par parties, on~a
\[
V = \int_{z_{0}}^{z} u\, dz = uz - u_{0} z_{0} - \int_{u_{0}}^{u} z\, du;
\]
$z$~étant une fonction de~$u$ définie par l'équation proposée, on peut
regarder~$V$ comme une fonction de~$u$; si $n$~est le degré de l'équation
par rapport à~$z$, on en conclut qu'à chaque valeur de~$u$ correspondent $n$~valeurs
de~$V$, augmentées de multiples des périodes $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots$.

\Paragraph{107.} Examinons maintenant les différentes sortes de points singuliers.
Considérons d'abord un système circulaire de $p$~racines finies se
permutant autour d'un point critique~$a$; si l'on pose $z = a + z'$, ces
racines sont représentées par une même série convergente (\no{96})
\[
\Tag{(1)}
u = b + b'z'^{\efrac{q}{p}} + b''z'^{\efrac{q + 1}{p}} + \ldots.
\]
\DPPageSep{182.png}{174}
Si, lorsque la variable~$z$ se rapproche du point~$a$, la fonction algébrique~$u$
a l'une des valeurs faisant partie du système des $p$~racines, l'intégrale
tend vers une valeur finie~$A$, et l'on~a
\[
\Tag{(2)}
V = A + bz' + \frac{p}{p + q} b'z'^{\efrac{p + q}{p}}
  + \frac{p}{p + q + 1} b''z'^{\efrac{p + q + 1}{p}} + \ldots.
\]
La branche correspondante de la fonction~$V$, dans le voisinage du
point~$a$, acquiert donc $p$~valeurs différentes, qui se permutent circulairement,
et, par conséquent, le point~$a$ est un point critique algébrique
par rapport à cette branche de la fonction~$V$.

Au système circulaire des $p$~racines correspondent $p$~lacets binaires
positifs
\[%[** TN: Added a bit more space than in original]
(a)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}},\quad
(a)_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}, \ldots,\quad
(a)_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}},\quad
(a)_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}};
\]
la partie de l'intégrale définie relative au petit cercle étant infiniment
petite pour chaque lacet, l'intégrale relative à un lacet~$(a)_{\alpha}^{\beta}$ est la
somme des intégrales relatives à la ligne~$z_{0}a$, décrite une première fois
avec la racine~$u_{\alpha}$, et une seconde fois, en sens contraire, avec la racine~$u_{\beta}$.
La somme des intégrales relatives aux $p$~lacets binaires positifs
est identiquement nulle; car chaque élément de la ligne~$z_{0}a$ est
parcouru deux fois, dans des sens contraires, avec la même racine.
On peut remarquer, d'ailleurs, que la somme des parties infiniment
petites relatives au petit cercle est aussi identiquement nulle; car,
lorsque la variable~$z'$ décrit $p$~fois successivement ce petit cercle, l'intégrale~$V$
donnée par la formule précédente reprend la même valeur.
Si donc on représente par~$a_{\alpha}^{\beta}$ l'intégrale définie relative au lacet~$(a)_{\alpha}^{\beta}$,
on~a
\[
a_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} +
a_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}} + \ldots +
a_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}} +
a_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}} = 0;
\]
on en déduit
\[
a_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}}
= - a_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}}
  - a_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}} - \ldots
  - a_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}}.
\]

Nous dirons que deux chemins conduisant d'une racine~$u_{\alpha}$ à une racine~$u_{\beta}$
sont \emph{équivalents}, relativement à la racine~$u_{\alpha}$, lorsque les intégrales
définies suivant ces deux lignes, parcourues avec la racine initiale~$u_{\alpha}$,
sont égales. Il résulte de ce qui précède que le \Ord{$p$}{ième}~lacet
positif~$(a)_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}}$ du système circulaire est équivalent, relativement à la racine~$u_{\alpha_{p-1}}$,
\DPPageSep{183.png}{175}
au chemin formé par les $p-1$~premiers parcourus en sens
négatif. On peut donc réduire les $p$~lacets de chaque système circulaire
à $p-1$~d'entre eux.

Dans le cas particulier où le système circulaire ne se compose que
de deux racines $u_{\alpha}$~et~$u_{\beta}$, quand on décrit le lacet~$(a)$ avec la racine
initiale~$u_{\alpha}$ dans un sens ou dans l'autre, on arrive toujours à la racine~$u_{\beta}$;
lorsque l'intégrale suivant le petit cercle est, comme nous le
supposons, infiniment petite, l'intégrale définie relative au lacet a la
même valeur, quel que soit le sens dans lequel on décrit le lacet. Ainsi,
avec la racine initiale~$u_{\alpha}$, on peut décrire le lacet indifféremment dans
un sens ou dans l'autre. La même chose a lieu quand on décrit le lacet
avec la racine initiale~$u_{\beta}$. En outre, les intégrales que l'on obtient dans
ces deux cas sont égales et de signes contraires.

Un système circulaire de $p$~racines infinies d'un degré inférieur à
l'unité jouit des mêmes propriétés. Il suffit de supposer que, dans la
formule~(1), le nombre entier~$q$ est négatif et plus petit que~$p$ en valeur
absolue; l'intégrale tend vers une valeur finie~$A$, quand $z'$~tend vers zéro;
la branche de la fonction~$V$, représentée par la formule~(2), acquiert,
dans le voisinage du point~$a$, $p$~valeurs finies qui se permutent circulairement,
et le point~$a$ est un point critique algébrique par rapport
à cette branche de la fonction. Les intégrales définies relatives au
petit cercle étant infiniment petites, tout ce que nous avons dit des
lacets subsiste sans modification.

\Paragraph{108.} Considérons actuellement un pôle~$a$ de la fonction~$u$; la racine,
qui devient infinie en ce point, est représentée par la série (\no{96})
\[
\Tag{(3)}
u = Az'^{-q} + Bz'^{1-q} + \ldots + Hz'^{-1} + L + Mz' + \ldots.
\]
La branche correspondante de la fonction~$V$ devient infinie en ce
point, et elle est représentée dans le voisinage par la série
\[
\Tag{(4)}
V = \frac{A}{1 - q} z'^{1-q} + \frac{B}{2 - q} z'^{2-q} + \ldots
  + H \log z' + K + Lz' + \ldots.
\]
Quand la variable~$z$ tourne autour du point~$a$, la branche de la fonction~$V$
acquiert un nombre infini de valeurs formant une progression
\DPPageSep{184.png}{176}
arithmétique dont la raison est~$2\pi Hi$. Le point~$a$, par rapport à cette
branche de la fonction~$V$, est un point singulier logarithmique (\no{60}),
à moins que le coefficient~$H$ ne soit nul, et dans ce cas le point~$a$ serait
un pôle de la fonction~$V$. \Erratum{Supposons qu'on décrive}{Quand on décrit} le lacet~$(a)$ joignant
le point initial~$z_{0}$ au pôle~$a$ avec la racine~$u_{\alpha}$, qui devient infinie
au point~$a$, on revient au même point~$z_{0}$ avec la même racine~$u_{\alpha}$; la
droite~$z_{0}z_{1}$ qui joint le point~$z_{0}$ à un point~$z_{1}$ du petit cercle, étant
décrite dans des sens contraires avec la même racine, l'intégrale définie
relative au lacet se réduit à la partie relative au petit cercle, c'est-à-dire,
d'après la formule~(4), à~$2\pi Hi$. Le lacet~$(a)_{\alpha}^{\alpha}$ relatif au pôle~$a$
ne fait pas partie des lacets fondamentaux; il forme à lui seul un cycle
simple, que nous appellerons \emph{cycle polaire}, et donne la période~$2\pi Hi$.

\Paragraph{109.} Considérons enfin un système circulaire de $p$~racines infinies,
d'un degré égal ou supérieur à l'unité, se permutant autour d'un point
critique~$a$. Si l'on pose $z = a + z'$, ces $p$~racines sont représentées par
la série convergente
\[
\Tag{(5)}
u = A z'^{-\efrac{q}{p}}
  + B z'^{\efrac{1 - q}{p}}
  + C z'^{\efrac{2 - q}{p}} + \ldots
  + Hz'^{-1} + L + Mz'^{\efrac{1}{p}} + \ldots,
\]
dans laquelle le nombre entier~$q$ est égal ou supérieur à~$p$. Si,
lorsque $z$~se rapproche du point~$a$, la fonction algébrique~$u$ a l'une des
valeurs faisant partie du système des $p$~racines, l'intégrale devient infinie,
et l'on~a
\[
\Tag{(6)}
V = -\frac{p}{q - p} A z'^{\efrac{-q + p}{p}} + \ldots
  + H \log z' + K + Lz' + \frac{p}{p + 1} M z'^{\efrac{p + 1}{p}} + \ldots.
\]
Quand la variable tourne autour du point~$a$, la branche correspondante
de la fonction~$V$ acquiert d'abord $p$~valeurs différentes; après $p$~tours,
la première valeur se reproduit augmentée de~$2p\pi Hi$, puis la
seconde valeur augmentée de la même quantité, et ainsi de suite. La
branche de la fonction~$V$ acquiert donc $p$~séries de valeurs formant des
progressions arithmétiques dont la raison est~$2p\pi Hi$. Le point~$a$, par
rapport à cette branche de la fonction~$V$, est un point singulier logarithmique,
à moins que la constante~$H$ ne soit nulle, et dans ce cas ce
serait un point critique algébrique.

Le lacet qui unit le point initial~$z_{0}$ au point~$a$ est la réunion de $p$~lacets
\DPPageSep{185.png}{177}
binaires positifs; sur chacun d'eux, la partie de l'intégrale définie
qui se rapporte au petit cercle n'est plus infiniment petite; si
l'on fait la somme des intégrales définies relatives aux $p$~lacets binaires
positifs, chaque élément de la droite~$z_{0}z_{1}$, qui joint le point~$z_{0}$ à un
point~$z_{1}$ du petit cercle, étant parcouru dans des sens contraires avec
la même racine, la somme des intégrales se réduit à la partie relative
au petit cercle décrit $p$~fois successivement, c'est-à-dire, d'après la formule~(6),
à~$2p\pi Hi$. On a ainsi
\[
a_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} +
a_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}} + \ldots +
a_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}} = 2p\pi Hi.
\]
Les $p$~lacets binaires forment un cycle que nous appellerons encore
cycle polaire, et qui donne la période~$2p\pi Hi$.

\Paragraph{110.} Pour étudier la fonction~$V$, quand la variable~$z$ devient très-grande,
on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = vz'^{2}$, et la fonction~$V$ prend la forme
\[
V = - \int_{z'_{0}}^{z'_{1}} v\, dz';
\]
l'équation algébrique $f(z, u) = 0$ se change en une équation algébrique
$F(z', v) = 0$ entre $z'$~et~$v$. Toutes les circonstances que nous
venons de rencontrer peuvent se présenter ici pour $z' = 0$. Nous
allons du point~$z_{0}$ au point~$O'$, sur la sphère, par un arc de grand
cercle; si pour $z' = 0$ les $m$~racines de l'équation $F(z', v) = 0$ sont
simples et finies, chacune des branches de la fonction~$V$ est une fonction
holomorphe de~$z'$, dans le voisinage du point $z' = 0$. Si, dans le
voisinage du point~$O'$, l'équation a un système circulaire de $p$~racines
finies ou de $p$~racines infinies d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale
reste finie, et la branche correspondante de la fonction~$V$ acquiert
$p$~valeurs différentes se permutant circulairement quand la variable
tourne autour du point~$O'$, qui, par rapport à cette branche, est un
point critique algébrique. Si le point~$O'$ est pôle par rapport à une
racine, la valeur correspondante de l'intégrale devient infinie en ce
point et la branche de la fonction~$V$ acquiert une infinité de valeurs en
progression arithmétique; le point~$O'$ est, relativement à cette branche,
\DPPageSep{186.png}{178}
un point singulier logarithmique, à moins que le coefficient~$H$ ne soit
nul, et dans ce cas ce serait un pôle. Enfin, si l'équation $F(z', v) = 0$
a un système circulaire de $p$~racines infinies d'un degré égal ou supérieur
à un, les valeurs correspondantes de l'intégrale deviennent infinies;
quand la variable tourne autour du point~$O'$, la branche de la
fonction~$V$ acquiert $p$~valeurs augmentées chacune d'un multiple quelconque
de la période~$2p\pi Hi$; le point~$O'$ est, par rapport à cette
branche de la fonction~$V$, un point singulier logarithmique, à moins
que le coefficient~$H$ ne soit nul, et dans ce cas ce serait un point critique
algébrique.

Nous savons (\no{39}) qu'au lacet qui sur la sphère unit le point~$z_{0}$
au point~$O'$ correspond dans le plan un circuit formé d'une droite~$z_{0}l$ et
d'une circonférence d'un très-grand rayon, ayant pour centre le point~$O$.
L'intégrale définie, relative à l'un des lacets binaires~$(O')_{\alpha}^{\beta}$ décrit avec
la racine initiale~$u_{\alpha}$, et dans le sens négatif pour un observateur placé
en~$O'$, est égale à l'intégrale relative au circuit décrit avec la même racine
dans le sens positif; le circuit se ramenant à la suite des lacets $(a_{1}),
(a_{2}), (a_{3}), \ldots$, qui correspondent aux valeurs finies de~$z$, on en conclut
que chaque lacet binaire~$(O')_{\alpha}^{\beta}$ est équivalent au chemin formé par certains
lacets binaires tracés dans le plan. La considération du lacet~$(O')$
n'introduit donc aucune valeur nouvelle de l'intégrale définie, ni aucune
nouvelle période.


\Section{Cas où l'intégrale reste finie sur toute la sphère}

\Paragraph{111.} Il résulte de ce que nous avons dit précédemment que, si l'équation
proposée $f(z, u) = 0$ pour aucune valeur finie de~$z$, et l'équation
transformée $F(z', v) = 0$ pour $z' = 0$, n'admettent des racines
infinies d'un degré égal ou supérieur à l'unité, les différentes branches
de la fonction~$V$ conservent des valeurs finies sur toute la sphère, et,
par conséquent, que la fonction~$V$ ne peut devenir infinie que par l'addition
d'un nombre infini de périodes. Cette condition d'ailleurs est
nécessaire. Dans ce cas, il n'y a pas de cycle polaire; toutes les périodes
proviennent des cycles simples que l'on peut former avec les lacets binaires
relatifs aux points critiques.
\DPPageSep{187.png}{179}

Les $p$~lacets binaires relatifs à un même système circulaire de racines
se réduisant à~$p-1$ d'entre eux, le nombre des lacets binaires
dans le plan est $N = \Sum(p - 1)$. Nous en avons pris $m-1$ pour former
un système de lacets fondamentaux; il en reste $N-(m-1)$~autres;
chacun de ceux-ci avec des lacets fondamentaux formant un cycle
simple, le nombre des périodes est~$N-(m-1)$; mais on peut en général
les réduire à un moindre nombre de périodes distinctes. Voici
comment on se rend compte de la possibilité de cette réduction.

Nous remarquons d'abord que, par une transformation facile, on
peut faire en sorte que les points diamétralement opposés $O$~et~$O'$ sur la
sphère soient des points ordinaires. Soient, en effet, $z_{1}$~et~$z_{2}$ deux valeurs
de~$z$ pour lesquelles l'équation $f(z, u) = 0$ n'admette que des racines
simples et finies; si l'on pose $z = \dfrac{z_{2}z' + az_{1}}{z' + a}$, $a$~étant une constante
prise à volonté, les valeurs $z' = 0$, $z' = \infty$ correspondent respectivement
aux valeurs $z = z_{1}$, $z = z_{2}$; si l'on pose en outre $u = \dfrac{u'(z' + a)^{2}}{a(z_{2} - z_{1})}$,
l'intégrale devient
\[
V = \int_{z_{0}}^{z} u\, dz = \int_{z'_{0}}^{z'} u'\, dz',
\]
et l'équation proposée $f(z, u) = 0$ du degré~$m$ en~$u$ se change en une
équation $F(z', u') = 0$ du même degré en~$u'$. Sur la sphère qui sert à
figurer la nouvelle variable~$z'$, les points $O$~et~$O'$, c'est-à-dire $z' = 0$ et
$z' = \infty$, sont des points ordinaires\Erratum{}{, le premier pour la fonction~$u'$, le second pour la fonction $v = u' z'^{2}$}.

Supposons donc que les points $O$~et~$O'$ sur la sphère soient des
points ordinaires; dans l'intégrale~$V$ faisons partir la variable de l'origine~$O$,
la fonction~$u$ ayant une valeur initiale déterminée~$u_{0}$; joignons
le point~$O$ aux différents points critiques $a_{1}, a_{2}, \ldots$ du plan par des
lacets (\Figref{58}); le nombre~$N'$ des lacets binaires est maintenant plus
grand que~$N$, puisqu'on a ramené dans le plan le point~$O'$ qui était
primitivement un point critique. Le point~$O'$ sur la sphère étant actuellement
un point ordinaire, le lacet~$(O')$, parcouru avec une racine
initiale quelconque~$u_{\alpha}$, ramène cette racine et donne une intégrale
définie nulle; le circuit correspondant dans le plan jouit de la même
propriété. Si donc on imagine le circuit parcouru dans le sens positif
successivement avec chacune des racines, ce qui fait $m$~circuits différents,
\DPPageSep{188.png}{180}
et si l'on écrit que la somme des intégrales relatives aux lacets
binaires qui entrent effectivement dans chaque circuit est nulle, on obtiendra
$m$~relations linéaires entre ces intégrales. Chacune d'elles donne
une relation entre les périodes; car, puisqu'un circuit peut être ramené
à une suite de cycles simples par l'introduction de chemins formés
\Fig[3in]{58}
de lacets fondamentaux et parcourus chacun deux fois dans des sens
contraires (\no{105}), il suffit de remplacer dans l'équation les termes
qui se rapportent aux lacets non fondamentaux par les périodes correspondantes.

Mais les $m$~relations ainsi obtenues ne forment que $m-1$~relations
distinctes. Remarquons en effet qu'un lacet binaire positif~$(a)_{g}^{h}$ entre
dans un circuit et dans un seul; car si, partant de l'entrée de ce lacet
avec la racine~$u_{g}$, on remonte les lacets précédents, on arrive à l'entrée
du circuit avec une racine déterminée~$u_{\alpha}$; le lacet positif~$(a)_{g}^{h}$ entre
donc dans le circuit~$(C)_{\alpha}^{\alpha}$. Le dernier lacet binaire positif du système
circulaire auquel appartient le lacet~$(a)_{g}^{h}$ entre aussi dans un circuit~$(C)_{\beta}^{\beta}$;
comme on a remplacé ce lacet par l'ensemble des $p-1$~premiers parcourus
en sens négatif, il s'ensuit que le lacet binaire négatif~$(-a)_{h}^{g}$
entre dans le circuit~$(C)_{\beta}^{\beta}$. Ainsi, après la substitution, chaque lacet binaire
entre dans deux circuits; dans l'un il est décrit dans le sens positif,
dans l'autre en sens contraire; la période correspondante entre,
par conséquent, avec des signes contraires dans les équations relatives à
ces deux circuits. Si donc on ajoute les premiers membres des équations
fournies par les $m$~circuits, la somme totale, étant formée de termes
\DPPageSep{189.png}{181}
égaux deux à deux et de signes contraires, est identiquement nulle, et
les $m$~équations se réduisent à~$m-1$. On aura ainsi $m-1$~relations
linéaires entre les $N'-(m-1)$~périodes; nous allons faire voir que l'on
peut, à l'aide de ces relations, exprimer $m-1$~périodes en fonction des
autres, de sorte que le nombre des périodes distinctes est~$N'-2(m-1)$.

\Paragraph{112.} Sur la sphère, les lacets considérés jusqu'à présent, et que nous
appellerons \emph{lacets de première espèce}, sont formés d'arcs de grand
cercle allant du point~$O$ aux différents points critiques et de petits
cercles décrits autour de ces points. Nous avons désigné par $u_{0}, u_{1}, \ldots,
u_{m-1}$ les valeurs des $m$~racines de l'équation au point~$O$; désignons par $u'_{0},
u'_{1}, \ldots, u'_{m-1}$ les valeurs de ces racines au point~$O'$ quand la variable~$z$
va de~$O$ à~$O'$, en suivant le demi-méridien~$OLO'$ qui se projette sur le
rayon~$Ol$ du circuit (\Figref{59}). Nous pourrons effectuer la permutation
\Fig[2.5in]{59}
des racines au moyen de lacets partant du point~$O'$ et formés, comme
les précédents, d'arcs de grand cercle allant du point~$O'$ aux différents
points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points; mais
rien n'empêche de regarder ces nouveaux lacets comme partant aussi
de l'origine~$O$; il suffit de faire précéder chacun d'eux du demi-méridien~$OLO'$,
et de le faire suivre du même demi-méridien~$O'LO$ en sens
inverse. Par exemple, si un lacet partant du point~$O'$ permute les deux
racines $u'_{\alpha}$~et~$u'_{\beta}$, il est évident que le même lacet, complété comme
nous l'avons dit, permutera les deux racines $u_{\alpha}$~et~$u_{\beta}$. Nous donnerons
à ces nouveaux lacets ainsi complétés le nom de \emph{lacets de seconde espèce},
et nous les distinguerons de ceux de première espèce, en accentuant la
\DPPageSep{190.png}{182}
lettre qui indique le point critique. Remarquons que, quand deux lacets
relatifs au même point critique et d'espèces différentes sont décrits dans
le sens positif, le petit cercle est parcouru dans le même sens; car, dans
les deux cas, l'aire du cercle doit être à gauche de l'observateur.

Soient
\[%[** TN: Added horizontal space]
(a)_{g_{0}}^{g_{1}},\quad
(a)_{g_{1}}^{g_{2}}, \ldots,\quad
(a)_{g_{p-1}}^{g_{0}}
\]
les $p$~lacets binaires de première espèce qui se rapportent à un système
de $p$~racines se permutant circulairement autour du point critique~$a$.
Si l'on remonte la suite des lacets de première espèce à partir de l'entrée
du lacet~$(a)$, successivement avec chacune des racines $u_{g_{0}}, u_{g_{1}}, \ldots, u_{g_{p-1}}$,
on arrivera à l'origine du circuit avec $p$~racines différentes $u_{\alpha_{0}}, u_{\alpha_{1}}, \ldots,
u_{\alpha_{p-1}}$; il en résulte que les $p$~lacets binaires entrent respectivement dans
les $p$~circuits
\[
(C)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{0}},\quad
(C)_{\alpha_{1}}^{\alpha_{1}}, \ldots,\quad
(C)_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-1}}.
\]
Le lacet de seconde espèce~$(a')$, parcouru dans le sens positif, peut
être remplacé par la ligne~$OABDO$, ou par la ligne~$OABO$ suivie de la
ligne~$OBDO$. Si on le décrit avec la valeur initiale~$u_{\alpha_{0}}$, la ligne~$OABO$,
se ramenant à la première partie du circuit~$(C)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{0}}$, depuis l'origine du
circuit jusqu'à la fin du lacet~$(a)_{g_{0}}^{g_{1}}$, conduit à la racine~$u_{g_{1}}$; la seconde
ligne~$OBDO$ se ramenant à la première partie du circuit~$(C)_{\alpha_{1}}^{\alpha_{1}}$, depuis
l'entrée du lacet~$(a)_{g_{1}}^{g_{2}}$ jusqu'à l'origine du circuit en remontant, conduit
à la racine~$u_{\alpha_{1}}$; le lacet de seconde espèce unit donc les deux racines
$u_{\alpha_{0}}$~et~$u_{\alpha_{1}}$; on le représentera par~$(a')_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}}$. En décrivant ce même lacet
avec la valeur initiale~$u_{\alpha_{1}}$, on arrivera à la racine~$u_{\alpha_{2}}$, et ainsi de suite.
On obtiendra de la sorte les $p$~lacets binaires de seconde espèce.
\[
(a')_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}},\quad
(a')_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}, \ldots,\quad
(a')_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}},
\]
permutant circulairement les $p$~racines $u_{\alpha_{0}}, u_{\alpha_{1}}, \ldots, u_{\alpha_{p-1}}$. A chaque
système circulaire de $p$~lacets binaires de première espèce correspond
ainsi un système de $p$~lacets binaires de seconde espèce.

Il résulte aussi de ce qui précède que les lacets de seconde espèce
qui changent une racine déterminée~$u_{\alpha}$ en une autre sont ceux qui correspondent
aux lacets binaires de première espèce entrant effectivement
dans le circuit~$(C)_{\alpha}^{\alpha}$.
\DPPageSep{191.png}{183}

Les $m$~circuits nous ont donné $m$~relations entre les périodes, et nous
avons vu que la somme des premiers membres est identiquement nulle.
On ne peut avoir une somme identiquement nulle en ne prenant qu'une
partie des équations. Supposons, en effet, que la somme des résultats
fournis par les $n$~circuits $(C)_{0}^{0}, (C)_{1}^{1}, \ldots, (C)_{\DPtypo{n-2}{n-1}}^{n-1}$, $n$~étant plus petit
que~$m$, soit identiquement nulle. Si un lacet binaire de première
espèce~$(a)_{g_{0}}^{g_{1}}$ entre dans l'un de ces circuits, chacun des autres lacets binaires
appartenant au même système circulaire entrera aussi dans l'un
d'eux; ceci est nécessaire pour que la somme soit identiquement nulle.
Soit~$u_{\alpha}$ l'une quelconque des racines de la suite $u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n-1}$; les
lacets de seconde espèce qui changent cette racine en une autre correspondent
aux lacets de première espèce qui entrent dans le circuit~$(C)_{\alpha}^{\alpha}$;
si $(a)_{g_{0}}^{g_{1}}$~est l'un d'eux, le lacet binaire suivant~$(a)_{g_{1}}^{g_{2}}$ du même système
circulaire entre dans un autre des $n$~circuits, par exemple dans~$(C)_{\beta}^{\beta}$;
le lacet de seconde espèce changera la racine~$u_{\alpha}$ en une autre~$u_{\beta}$ de la
même suite. Ainsi, en partant du point~$O'$ avec la même valeur initiale~$u'_{0}$,
quel que soit le chemin suivi par la variable, la fonction ne pourrait
acquérir que $n$~valeurs différentes $u'_{0}, u'_{1}, \ldots, u'_{n-1}$, ce qui est impossible,
puisque l'équation proposée du degré~$m$ est supposée irréductible.

Cela posé, considérons les $m$~relations entre les périodes, et négligeons
la dernière qui est une combinaison des précédentes; nous aurons
un système de $m-1$~équations linéaires et homogènes entre les périodes,
ayant tous leurs coefficients égaux à~$+1$ ou à~$-1$, et telles
qu'une période n'entre que dans une équation ou dans deux avec des
signes contraires. Soit~$\omega_{1}$ un terme de la première équation, on en
tirera la valeur de la période~$\omega_{1}$ exprimée par une somme algébrique
d'autres périodes; si elle n'entre pas dans les $m-2$~autres équations,
celles-ci formeront un système de $m-2$~équations ne contenant pas~$\omega_{1}$
et jouissant des mêmes propriétés que les précédentes; si elle entre
dans une autre équation, on remplacera celle-ci par l'équation que l'on
obtient en l'ajoutant à la première, membre à membre, et l'on aura encore
un système de $m-2$~équations ne contenant plus~$\omega_{1}$ et jouissant des
mêmes propriétés. Soit~$\omega_{2}$ un terme de la première équation du second
système; on en tirera la valeur de~$\omega_{2}$ exprimée par une somme algébrique
des périodes suivantes: si~$\omega_{2}$ entre dans une autre équation, on
remplacera celle-ci par l'équation que l'on obtient en l'ajoutant à la
\DPPageSep{192.png}{184}
première membre à membre, et l'on obtiendra un système de $m-3$~équations
ne contenant plus $\omega_{1}$~et~$\omega_{2}$ et jouissant des mêmes propriétés.
En continuant de la sorte, comme on n'arrivera pas à une identité, on
sera conduit à une équation entre les périodes $\omega_{m-1}, \omega_{m}, \ldots$, qui donnera
la période~$\omega_{m-1}$ par une somme algébrique des périodes suivantes
$\omega_{m}, \omega_{m+1}, \ldots$. En remontant de proche en proche, on obtiendra les
$m-1$~périodes $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{m-1}$ exprimées par des sommes de multiples
des autres périodes.

\Paragraph{113.} Appliquons les considérations précédentes à l'intégrale définie
\[
V = \int_{0}^{z} \frac{dz}{\sqrt{G(z - a_{1})(z - a_{2})\ldots(z - a_{n})}}
  = \int_{0}^{z} u\, dz,
\]
$u$~étant défini par l'équation du second degré
\[
u^{2} = \frac{1}{G(z - a_{1})(z - a_{2})\ldots (z - a_{n})}.
\]
Marquons dans le plan les $n$~points critiques $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ dans l'ordre
où ils se présentent quand le rayon vecteur tourne dans le sens positif,
et formons les lacets qui joignent l'origine à ces points critiques. Pour
$z = 0$, la fonction~$u$ a deux valeurs, $u_{0}$~et $u_{1} = -u_{0}$; chaque lacet unit
ces deux racines. Les deux valeurs de~$u$ deviennent infinies en chacun
des points critiques; mais, comme elles sont du degré~$\dfrac{1}{2}$ inférieur à
l'unité, l'intégrale conserve une valeur finie et acquiert deux valeurs
différentes quand la variable~$z$ tourne autour de l'un de ces points.
L'intégrale définie relative à l'un des lacets~$(a)$ se réduit à la partie
relative à la droite~$Oa$ parcourue deux fois dans des sens contraires avec
des valeurs de~$u$ égales et de signes contraires, et par conséquent à deux
fois l'intégrale suivant la droite~$Oa$. Si donc on appelle $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$
les intégrales définies relatives aux droites $Oa_{1}, Oa_{2}, \ldots, Oa_{n}$, décrites
avec la valeur initiale~$u_{0}$, les intégrales relatives aux lacets seront $2A_{1},
2A_{2}, \ldots, 2A_{n}$. Le premier lacet servira de lacet fondamental, les autres
avec le premier formeront $n-1$~cycles simples, et produiront, par
conséquent, $n-1$~périodes
\[
\omega_{1} = 2A_{1} - 2A_{2},\quad
\omega_{2} = 2A_{1} - 2A_{3}, \ldots,\quad
\omega_{n-1} = 2A_{1} - 2A_{n}.
\]
\DPPageSep{193.png}{185}
Soit~$V_{0}$ l'intégrale définie relative à la droite qui va de l'origine à un
point quelconque~$z$ du plan, quand on prend la valeur initiale~$u_{0}$; un
chemin formé du lacet fondamental~$(a_{1})$ suivi de la droite~$Oz$ donnera
$2A_{1} - V_{0}$; car, après le lacet, la fonction~$u$, ayant changé de signe, a
en chaque point de la droite~$Oz$ une valeur égale et de signe contraire
à celle qu'elle avait précédemment. On en conclut qu'à chaque valeur
de~$z$ correspondent deux séries de valeurs de~$V$, savoir $V_{0}$~et $2A_{1} - V_{0}$,
augmentées de multiples quelconques des périodes. Pour $z = a_{1}$, on~a
\[
V_{0} = A_{1},\quad
2A_{1} - V_{0} = A_{1},
\]
et les deux séries de valeurs de~$V$ sont égales entre elles; pour $z = a_{2}$,
on~a
\[
V_{0} = A_{2},\quad
2A_{1} - V_{0} = 2A_{1} - A_{2} = A_{2} + \omega_{1},
\]
et les deux séries de valeurs de~$V$ sont encore égales entre elles, etc.

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = vz'^{2}$, on~a
\begin{gather*}
V = \int_{z_{0}}^{z} u\, dz = -\int_{z'_{0}}^{z'} v\, dz', \\
v^{2} = \frac{z'^{n-1}}{G(1 - a_{1}z')(1 - a_{2}z')\ldots (1 - a_{n}z')}.
\end{gather*}

Lorsque $n = 2$, l'intégrale~$V$ n'admet qu'une période $\omega_{1} = 2A_{1} - 2A_{2}$.
Le point~$O'$ sur la sphère, étant pôle de la fonction~$v$, est un point
critique logarithmique de la fonction~$V$ qui devient infinie en ce point;
il en résulte la période polaire~$\dfrac{2\pi i}{\sqrt{G}}$. Le lacet~$(O')$ pouvant être remplacé
par les deux lacets successifs $(a_{1})$~et~$(a_{2})$, on~a
\[
\omega_{1} = 2A_{1} - 2A_{2} = -\frac{2\pi i}{\sqrt{G}}.
\]

Quand $n$~est plus grand que~$2$, la fonction~$V$ conserve une valeur
finie sur toute la sphère. Lorsque $n$~est impair, le point~$O'$ est un point
critique par rapport à la fonction~$v$, et les $n-1$~périodes sont distinctes.
Mais, lorsque $n$~est pair, le point~$O'$ étant un point ordinaire, et l'intégrale
\DPPageSep{194.png}{186}
définie relative au lacet~$(O')$, ou au circuit correspondant, étant
nulle, on~a
\[
2A_{1} - 2A_{2} + 2A_{3} - \ldots - 2A_{n} = 0;
\]
d'où résulte la relation linéaire
\[
\omega_{1} - \omega_{2} + \ldots + \omega_{n-1} = 0
\]
entre les périodes, qui se réduisent à $n-2$~périodes distinctes. Ainsi,
pour $n = 2n'-1$ et~$n = 2n'$, le nombre des périodes est le même et
égal à~$2n'-2$. C'est ce qu'indique d'ailleurs la loi générale énoncée
au \no{111}; dans les deux cas, il y a sur la sphère $2n'$~points critiques
unissant chacun les deux racines de l'équation; on a donc $N'= 2n'$,
et le nombre des périodes distinctes est~$N'-2 = 2n'-2$.

C'est Cauchy qui a indiqué le premier d'une manière précise l'origine
des périodes des intégrales définies (\textit{Comptes rendus}, 1846). Nous
nous sommes servis dans ce Chapitre du Mémoire de M.~Puiseux sur
les fonctions algébriques, que nous avons déjà cité (\no{34}), et du
livre de MM.~Clebsch et Gordan sur les fonctions abéliennes~(1866).

\DPPageSep{195.png}{187}


\Livre{IV}{Propriétés Générales des Fonctions}

\Chapitre{Premier}{Théorèmes Généraux sur les Fonctions}

\Section{Fonctions monotropes}

\Paragraph{114.} \begin{Théorème}{I}
Une fonction, holomorphe dans une certaine
partie du plan, ne peut avoir toutes ses dérivées nulles en un point, à moins
d'être constante dans cette étendue.
\end{Théorème}

Nous avons démontré (\no{87}) que, lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe
dans une partie~$A$ du plan, elle admet une infinité de dérivées
\Fig{60}
successives, qui sont toutes holomorphes dans la même étendue. Supposons
que la fonction ait toutes ses dérivées nulles au point~$z_{0}$ situé
dans cette partie du plan. Du point~$z_{0}$ comme centre décrivons un cercle
\DPPageSep{196.png}{188}
compris dans la partie~$A$ du plan (\Figref{60}); la fonction~$f(z)$ est développable,
d'après la formule de Taylor, en une série ordonnée suivant
les puissances entières et croissantes de~$z - z_{0}$, et convergente dans ce
cercle (\no{95}). Si toutes les dérivées sont nulles au point~$z_{0}$, la série se
réduit à $f(z) = f(z_{0})$; il en résulte que la fonction est constante dans
le cercle, et par conséquent qu'en un point quelconque du cercle toutes
ses dérivées sont nulles. D'un point~$z$, pris à volonté dans le premier
cercle, comme centre, décrivons un second cercle situé aussi dans la
partie~$A$ du plan; on verra de même que la fonction~$f(z)$ est constante
dans ce second cercle. En continuant ainsi de proche en proche, on démontrera
que la fonction est constante dans toute l'étendue de l'aire~$A$.

\begin{Corollaire}
Lorsqu'une fonction, holomorphe dans une certaine
partie du plan, conserve une valeur constante sur une ligne, si petite qu'elle
soit, elle est constante dans toute cette étendue.
\end{Corollaire}

Supposons que la fonction~$f(z)$, holomorphe dans la partie~$A$ du
plan, conserve une valeur constante quand la variable~$z$ décrit la
ligne~$ab$ située dans cette partie du plan. Prenons deux points voisins $z_{0}$~et~$z_{1}$
sur la ligne~$ab$; le rapport $\dfrac{f(z_{1}) - f(z_{0})}{z_{1} - z_{0}}$ est nul; sa limite, quand
le point~$z_{1}$ se rapproche de~$z_{0}$, est aussi nulle; ainsi la dérivée~$f'(z)$ est
nulle en tous les points de la ligne~$ab$. La seconde dérivée est nulle
pour la même raison, et ainsi de suite. Toutes les dérivées étant nulles
en un point~$z_{0}$ de la ligne~$ab$, on en conclut que la fonction est constante
dans l'aire~$A$.

\Paragraph{115.} \begin{Théorème}{II}
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une
partie finie du plan, chaque racine est d'un degré entier et fini, et leur
nombre est limité.
\end{Théorème}

Soit $f(z)$ une fonction holomorphe dans la partie~$A$ du plan enveloppée
par la courbe~$C$; traçons à l'intérieur une courbe~$C'$ voisine de~$C$.
Supposons que la fonction~$f(z)$ s'annule en un point~$a$ situé à l'intérieur
de la courbe~$C'$; un certain nombre de dérivées successives peuvent
être nulles en ce point; mais il est impossible qu'elles le soient
toutes, car alors la fonction serait nulle dans toute l'aire~$A$. Soit donc $n$
l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas au point~$a$; si du
\DPPageSep{197.png}{189}
point~$a$ comme centre (\Figref{61}), on décrit un cercle compris dans la
partie~$A$ du plan, la fonction proposée sera développable en une série
\[
f(z) = \frac{f^{n}(a)}{1·2\cdots n} (z - a)^{n}
  + \frac{f^{n+1}(a)}{1·2\cdots(n + 1)} (z - a)^{n+1} + \ldots,
\]
ou
\[
f(z) = (z - a)^{n} \left[
    \frac{f^{n}(a)}{1·2\cdots n}
  + \frac{f^{n+1}(a)}{1·2\cdots(n + 1)} (z - a) + \ldots \right],
\]
convergente dans ce cercle. Il en résulte que le quotient de~$f(z)$ par
$(z - a)^{n}$, quotient que nous désignerons par~$\phi(z)$, est dans le cercle
une fonction holomorphe, ne s'annulant pas au point~$a$; c'est aussi une
fonction holomorphe dans la partie de l'aire~$A$ extérieure au cercle,
\Fig{61}
comme quotient de deux fonctions holomorphes, dont la seconde,
$(z - a)^{n}$, ne s'annule pas. Ainsi la fonction~$f(z)$, holomorphe dans
l'aire~$A$ et s'annulant au point~$a$, est égale au produit de $(z - a)^{n}$ par
une fonction~$\phi(z)$, holomorphe dans la même étendue et ne s'annulant
pas au point~$a$. On dira, d'après cela, que la valeur $z = a$ est une racine
ou un zéro du degré~$n$ de la fonction~$f(z)$.

Dans le cercle précédent, dont nous appelons~$\rho$ le rayon, la fonction~$\phi(z)$
est représentée par la série convergente
\[
\phi(z)
  = \frac{f^{n}(a)}{1·2\cdots n}
  + \frac{f^{n+1}(a)}{1·2\cdots (n+1)} (z - a) + \ldots.
\]
On peut assigner un nombre~$\rho_{1}$ égal ou inférieur à~$\rho$, tel que, pour
toutes les valeurs de~$z - a$ dont le module est inférieur à~$\rho_{1}$, le module
\DPPageSep{198.png}{190}
du premier terme soit plus grand que la somme des modules de tous les
autres termes; il est clair que le cercle décrit du point~$a$ comme centre
avec le rayon~$\rho_{1}$ ne comprendra aucune racine de la fonction~$\phi(z)$, et,
par conséquent, ne comprendra aucune racine de la fonction~$f(z)$ autre
que~$a$.

Il en résulte que le nombre des racines situées dans l'aire~$A_{1}$ enveloppée
par la courbe~$C'$ est limité. Supposons, en effet, que cette
aire comprenne une infinité de racines; divisons-la en plusieurs parties
d'une manière quelconque, l'une des parties~$A_{2}$, au moins, comprendra
une infinité de racines; subdivisons celle-ci en plusieurs parties; l'une
d'elles~$A_{3}$, au moins, comprendra une infinité de racines; en continuant
de la sorte, on formera une série indéfinie d'aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ de plus
en plus petites, comprenant chacune une infinité de racines, et contenant
chacune toutes les suivantes. Comme on peut mener les transversales
de manière que toutes les dimensions de l'aire~$A_{n}$ tendent vers
zéro, quand $n$~augmente indéfiniment, il est clair que les aires ont pour
limites un point déterminé~$z_{1}$ du plan; il serait impossible de décrire
un cercle ayant pour centre ce point et ne comprenant aucune racine
autre que le point~$z_{1}$.

\begin{CorollaireUp}
De l'égalité
\[
f(z) = (z - a)^{n} \phi(z)
\]
on déduit
\[
f'(z) = (z - a)^{n-1} \bigl[n\phi(z) + (z - a)\phi'(z)\bigr]
  = (z - a)^{n-1} \psi(z),
\]
la fonction~$\psi(z)$ étant holomorphe dans l'aire~$A$ et ne s'annulant pas
au point~$a$. On en conclut qu'une racine du degré~$n$ de la fonction proposée
est racine du degré~$n - 1$ de la première dérivée, du degré~$n - 2$
de la seconde dérivée,~etc.
\end{CorollaireUp}

\Paragraph{116.} \begin{Théorème}{III}
Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une
certaine partie du plan, il est impossible qu'en un point situé dans cette
partie du plan la fonction et toutes ses dérivées soient nulles.
\end{Théorème}

Soit $f(z)$ une fonction méromorphe dans la partie~$A$ du plan enveloppée
par la courbe~$C$ (\Figref{62}); traçons à l'intérieur une courbe
\DPPageSep{199.png}{191}
fermée~$C'$ voisine de~$C$. Considérons un point racine~$a$ situé à l'intérieur
de la courbe~$C'$; d'après la définition de la continuité, il est possible
de décrire, de ce point comme centre, un cercle tel, qu'en tous
\Fig{62}
les points intérieurs le module de la fonction soit moindre qu'un
nombre donné; ce cercle ne comprendra aucun pôle de la fonction.

Supposons maintenant qu'au point~$a$ la fonction et toutes ses dérivées
soient nulles. Du point~$a$ comme centre, avec un rayon égal ou inférieur
à la distance du point~$a$ au pôle~$\alpha$ le plus voisin, décrivons un cercle
compris dans l'aire~$A$; la fonction~$f(z)$, étant holomorphe dans ce cercle,
serait nulle dans toute l'étendue du cercle. Si le rayon du cercle est
égal à la distance du point~$a$ au pôle voisin~$\alpha$, on aurait un point racine
aussi rapproché du pôle~$\alpha$ que l'on voudrait, ce qui est impossible. Si
le rayon est plus petit que cette distance, d'un point~$a'$ intérieur au
cercle, avec un rayon égal ou inférieur à la distance du point~$a'$ au pôle
le plus voisin, décrivons un second cercle compris aussi dans l'aire~$A$;
en s'avançant ainsi de proche en proche, on arriverait à un point racine
aussi rapproché qu'on voudrait d'un pôle, ce qui est impossible.

\Paragraph{117.} \begin{Théorème}{IV}
Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une
partie finie du plan, les racines et les pôles situés dans cette partie du plan
sont chacun d'un degré entier et fini, et leur nombre est limité.
\end{Théorème}

Conservons les mêmes notations que dans le numéro précédent.
Soit $a$~un point racine situé à l'intérieur de la courbe~$C'$; du point~$a$
comme centre, avec un rayon~$\rho$ égal ou inférieur à la distance du point~$a$
\DPPageSep{200.png}{192}
au pôle le plus voisin, décrivons un cercle compris dans l'aire~$A$; la
fonction~$f(z)$ étant holomorphe dans ce cercle, et toutes les dérivées
ne s'annulant pas au point~$a$, la racine~$a$ est d'un degré entier et fini~$n$,
qui est l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas au point~$a$
(\no{115}), et l'on~a
\[
f(z) = (z - a)^{n} \phi(z),
\]
$\phi(z)$ étant une fonction holomorphe dans le cercle~$\rho$ et ne s'annulant
pas au point~$a$; cette fonction~$\phi(z)$, méromorphe dans l'aire~$A$, a les
mêmes pôles et les mêmes racines que la fonction~$f(z)$, excepté la
racine~$a$.

On peut, en outre, déterminer un nombre~$\rho_{1}$ inférieur ou égal à~$\rho$, tel
que le cercle décrit du point~$a$ comme centre avec le rayon~$\rho_{1}$, ne comprenne
aucune racine de la fonction~$\phi(z)$, et l'on démontre, comme
précédemment, que le nombre des racines situées dans la partie~$A$ du
plan est limité.

Considérons maintenant la fonction~$\dfrac{1}{f(z)}$, qui est méromorphe dans
l'aire~$A$, comme la fonction~$f(z)$, et qui admet comme racines les pôles
de celles-ci. Soit $\alpha$~un pôle de la fonction~$f(z)$; ce point est une racine
d'un degré entier et fini~$n$ de la fonction~$\dfrac{1}{f(z)}$, et l'on~a
\[
\frac{1}{f(z)} = (z - \alpha)^{n} \phi(z),
\]
$\phi(z)$ étant une fonction méromorphe dans l'aire~$A$, qui ne devient ni
nulle, ni infinie au point~$\alpha$. On en déduit
\[
f(z) = \frac{\psi(z)}{(z - \alpha)^{n}},
\]
la fonction~$\psi(z)$, qui est égale à~$\dfrac{1}{\phi(z)}$, étant aussi méromorphe dans
l'aire~$A$, et ne devenant ni nulle, ni infinie au point~$\alpha$. On dit, d'après
cela, que la valeur $z = \alpha$ est un pôle ou un infini du degré~$n$ de la
fonction~$f(z)$.

Puisque la fonction~$\dfrac{1}{f(z)}$ n'admet qu'un nombre limité de racines
\DPPageSep{201.png}{193}
dans l'aire~$A$, il en résulte que la fonction~$f(z)$ n'admet qu'un nombre
limité de pôles dans cette étendue.

\Paragraph{118.} \begin{Théorème}{V}
Une fonction~$f(z)$, méromorphe dans une partie
finie~$A$ du plan, est égale à une fraction rationnelle, plus une fonction
holomorphe dans cette partie du plan.
\end{Théorème}

La fonction~$f(z)$ admet, dans l'aire~$A$, un nombre fini~$m$ de pôles
$\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ de degrés $n, p, q, \ldots$. En vertu du théorème précédent, la
fonction
\[
\psi(z) = (z - \alpha)^{n} f(z)
\]
est holomorphe dans le voisinage du point~$\alpha$; elle peut donc se développer
en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives
de~$z - \alpha$, convergente dans un cercle dont le centre est~$\alpha$, et
l'on~a
\[
\psi(z) = \psi(\alpha) + \frac{\psi'(\alpha)}{1} (z - \alpha) + \ldots
  + \frac{\psi^{n-1}(\alpha)}{1·2\cdots (n - 1)} (z - \alpha)^{n-1}
  + (z - \alpha)^{n} f_{1}(z),
\]
la fonction~$f_{1}(z)$ étant holomorphe dans le cercle de convergence. On
en déduit
\[
f_{1}(z) = f(z) - \frac{\psi(\alpha)}{(z - \alpha)^{n}}
  - \frac{\dfrac{\psi'(\alpha)}{1}}{(z - \alpha)^{n-1}} - \ldots
  - \frac{\ \dfrac{\psi^{n-1}(\alpha)}{1·2\cdots (n - 1)}\ }{z - \alpha}.
\]
La fonction~$f_{1}(z)$ ainsi définie est méromorphe dans l'aire~$A$, et admet
les mêmes pôles que la fonction~$f(z)$, excepté le pôle~$\alpha$.

De même la fonction
\[
\psi_{1}(z) = (z - \beta)^{p} f_{1}(z)
\]
est holomorphe dans le voisinage du point~$\beta$; si on la développe en
série, on~a
\[
\psi_{1}(z) = \psi_{1}(\beta) + \frac{\psi'_{1}(\beta)}{1} (z - \beta) + \ldots
  + \frac{\psi_{1}^{p-1} (\beta)}{1·2\cdots (p - 1)} (z - \beta)^{p-1}
  + (z - \beta)^{p} f_{2}(z),
\]
la fonction~$f_{2}(z)$ étant holomorphe dans le cercle de convergence. On
\DPPageSep{202.png}{194}
en déduit
\[
f_{2}(z) = f_{1}(z) - \frac{\psi_{1}(\beta)}{(z - \beta)^{p}}
  - \frac{\dfrac{\psi'_{1}(\beta)}{1}}{(z - \beta)^{p-1}} - \ldots
  - \frac{\dfrac{\psi_{1}^{p-1}(\beta)}{1·2\cdots (p - 1)}}{z - \beta}.
\]
La fonction~$f_{2}(z)$ ainsi définie est méromorphe dans l'aire~$A$, et admet
les mêmes pôles que la fonction~$f(z)$, excepté $\alpha$~et~$\beta$.

En continuant de cette manière, on arrive à une fonction~$f_{m}(z)$ holomorphe
dans l'aire~$A$, et l'on~a
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
f(z) &=& \dfrac{A_{n}}{(z - \alpha)^{n}}
   + \dfrac{A_{n-1}}{(z - \alpha)^{n-1}} + \ldots
   + \dfrac{A_{1}}{z - \alpha} \\
\Strut[22pt]
  &+& \dfrac{B_{p}}{(z - \beta)^{p}}
   + \dfrac{B_{p-1}}{(z - \beta)^{p-1}} + \ldots
   + \dfrac{B_{1}}{z - \beta} \\
  &\hdotsfor{2} \\
  &+& f_{m}(z).
\end{array}
\]

\Paragraph{119.} \Remarques La fonction~$\psi(z)$ ne s'annulant pas au point~$\alpha$,
il en résulte que le coefficient~$A_{n}$ de la première fraction qui se rapporte
à ce point n'est pas nulle; il en est de même des coefficients~$B_{p}, \ldots$. Mais
les autres coefficients $A_{n-1}, \ldots, A_{1}, B_{p-1}, \ldots$ peuvent être nuls.

Les coefficients $A_{1}, B_{1}, \ldots$ des fractions du premier degré sont ce que
Cauchy appelle les \emph{résidus} de la fonction~$f(z)$, relativement aux pôles
$\alpha, \beta, \ldots$, et il les désigne par le symbole~$\Rsum$ (\textit{Anciens Exercices}, 1826).
Ainsi
\[
\Rsum_{(\alpha)} f(z) = A_{1},\quad
\Rsum_{(\beta)} f(z) = B_{1},\ldots.
\]

La dérivée~$f'(z)$ ne contenant pas de fractions du premier degré, tous
ses résidus sont nuls.

Remarquons aussi que la fonction proposée peut se mettre sous la
forme
\[
f(z) = \frac{F(z)}{(z - \alpha)^{n} (z - \beta)^{p}\ldots},
\]
la fonction~$F(z)$ étant holomorphe dans l'aire~$A$.

\Paragraph{120.} \begin{Théorème}{VI}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est méromorphe dans
\DPPageSep{203.png}{195}
une partie du plan à contour simple, l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int f(z)\, dz,
\]
prise sur le contour de l'aire ou sur une courbe intérieure infiniment voisine,
dans le sens positif, est égale à la somme des résidus de la fonction
relatifs aux pôles situés dans cette partie du plan.
\end{Théorème}

Autour des pôles $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ de la fonction, décrivons des cercles
infiniment petits (\Figref{63}), et joignons-les au contour~$C$ de l'aire par
%[** TN: Commented code below marks location of Fig. 64 in the original]
\Figs{2.25in}{63}{2.25in}{64}
des transversales $aa_{1}, bb_{1}, cc_{1}, \ldots$; si l'on conçoit que l'on ait enlevé
les petits cercles, il reste une aire dans laquelle la fonction~$f(z)$ est
holomorphe, et dont le contour, parcouru dans le sens positif, c'est-à-dire
dans un sens tel que l'observateur ait toujours à sa gauche l'aire
elle-même, est la ligne fermée
\[
aa_{1}\, a_{2}\, a_{1}\, abb_{1}\, b_{2}\, b_{1}\, bcc_{1}\, c_{2}\, c_{1}\, ca.
\]
En vertu du théorème du \no{82}, l'intégrale prise le long de cette ligne
est nulle. Les transversales, étant parcourues deux fois dans des sens
contraires, donnent dans l'intégrale des résultats égaux et de signes
contraires; on peut les supprimer. Il reste la courbe~$C$ parcourue dans
le sens positif, et les petites circonférences parcourues chacune dans le
sens négatif par rapport à l'aire du cercle. On en conclut que l'intégrale
définie relative à la courbe~$C$ est égale à la somme des intégrales
\DPPageSep{204.png}{196}
relatives aux circonférences infiniment petites, décrites chacune
dans le sens positif par rapport à l'aire du cercle (\Figref{64}).
%\Fig{64}

Évaluons maintenant les intégrales relatives à ces petites circonférences.
Considérons, par exemple, l'intégrale relative à la circonférence
dont le centre est le pôle~$\alpha$. Nous avons vu que
\[
f(z) = \frac{A_{n}}{(z - \alpha)^{n}}
  + \frac{A_{n-1}}{(z - \alpha)^{n-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}}{z - \alpha} + f_{1}(z),
\]
la fonction~$f_{1}(z)$ étant holomorphe dans le cercle. Si l'on pose
\[
z = \alpha + \rho e^{\theta i},
\]
il vient
\begin{align*}
f(z) &= \frac{A_{n}}{\rho^{n}} e^{-n \theta i}
  + \frac{A_{n-1}}{\rho^{n-1}} e^{-(n-1) \theta i} + \ldots
  + \frac{A_{1}}{\rho e^{-\theta i}} + f_{1}(z), \\
%
\llap{$\dfrac{1}{2\pi i}$} \int_{(\rho)} f(z)\, dz
  &= \frac{A_{n}}{2\pi \rho^{n-1}} \int_{0}^{2\pi} e^{-(n-1)\theta i}\, d\theta
  + \ldots
  + \frac{A_{1}}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta
  + \frac{1}{2\pi i} \int_{(\rho)} f_{1}(z)\, dz.
\end{align*}
Les $n - 1$~premières intégrales sont nulles; la suivante a pour valeur~$2\pi$;
quant à la dernière, puisque la fonction~$f_{1}(z)$ est holomorphe
dans le cercle, elle est aussi nulle. On a donc
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_{(\rho)} f(z)\, dz = A_{1}.
\]
Les intégrales, le long des autres circonférences, donnent pareillement
\DPPageSep{205.png}{197}
$B_{1}, C_{1}, \ldots$. On en déduit
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} f(z)\, dz = A_{1} + B_{1} + C_{1} + \ldots.
\]

\Paragraph{121.} \begin{Lemme}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est méromorphe dans une
partie~$A$ du plan, le résidu de la fonction~$\Diff\log f(z)$ en chacun des points
est égal à l'ordre de la fonction~$f(z)$ en ce point.
\end{Lemme}

Il résulte du théorème~IV que, quelle que soit la valeur de la fonction~$f(z)$
en un point~$t$ situé dans la partie~$A$ du plan, il existe un
nombre entier~$n$, positif, négatif, ou nul, tel que le quotient
\[
\frac{f(z)}{(z - t)^{n}}
\]
ne devienne ni nul, ni infini au point~$t$; ce nombre entier~$n$ est ce
qu'on appelle l'\emph{ordre} de la fonction~$f(z)$ au point~$t$. Lorsque la fonction~$f(z)$
n'est ni nulle, ni infinie au point~$t$, l'exposant~$n$ ou l'ordre,
en ce point, est égal à zéro; lorsqu'elle s'annule, l'ordre est positif;
lorsqu'elle devient infinie, l'ordre est négatif.

La fonction $\Diff\log f(z) = \dfrac{f'(z)}{f(z)}$, quotient de deux fonctions méromorphes
dans l'aire~$A$, est aussi méromorphe dans cette partie du plan;
ses pôles ne peuvent être que les zéros ou les infinis de~$f(z)$. Soit
d'abord $a$~un zéro du degré~$n$ de~$f(z)$, on~a
\[
f(z) = (z - a)^{n} \phi(z),
\]
la fonction~$\phi(z)$ ne devenant ni nulle, ni infinie au point~$a$. On en
déduit
\[
\Diff\log f(z) = \frac{n}{z - a} + \frac{\phi'(z)}{\phi(z)}.
\]
Ainsi le point~$a$ est un pôle simple de la fonction $\Diff\log f(z)$, et le résidu
correspondant est~$n$. Soit maintenant $\alpha$~un infini du degré~$p$
de~$f(z)$; on~a
\[
f(z) = (z - \alpha)^{-p} \psi(z),
\]
\DPPageSep{206.png}{198}
la fonction~$\psi(z)$ ne devenant ni nulle, ni infinie au point~$\alpha$. On en
déduit
\[
\Diff\log f(z) = \frac{-p}{z - \alpha} + \frac{\psi'(z)}{\psi(z)}.
\]
On en conclut que le point~$\alpha$ est un pôle simple de la fonction $\Diff\log f(z)$,
et le résidu correspondant est~$-p$.

\Paragraph{122.} \begin{Théorème}{VII}
Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est méromorphe
dans une partie du plan, à contour simple, la somme des ordres de la
fonction, dans cette partie du plan, est égale à l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \Diff\log f(z)\, dz,
\]
relative au contour de l'aire ou à une courbe infiniment voisine, prise
dans le sens positif.
\end{Théorème}

Désignons par~$a$ l'un quelconque des zéros et par~$\alpha$ l'un quelconque
des infinis de la fonction~$f(z)$; appelons~$n$ le degré du zéro, $p$~celui
de l'infini. Nous avons vu que la fonction $\Diff\log f(z)$ admet comme
pôles simples les points $a$~et~$\alpha$, et que les résidus correspondants de
cette fonction sont $n$~et~$-p$. Nous savons aussi que l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \Diff\log f(z)\, dz,
\]
relative au contour~$C$ de l'aire, est égale à la somme des résidus de
la fonction $\Diff\log f(z)$, relatifs aux pôles de cette fonction situés dans
cette partie du plan. On a donc
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \Diff\log f(z)\, dz = \Sum n - \Sum p.
\]

\Remarque L'intégrale définie que nous venons de considérer
est égale à la variation de la fonction $\dfrac{1}{2\pi i} \log f(z)$, quand la variable~$z$
décrit la courbe fermée~$C$. Si l'on pose $f(z) = re^{\theta i}$, on~a
$\log f(z) = \Log r + \theta i$, $\dfrac{1}{2\pi i} \log f(z) = \dfrac{\Log r}{2\pi i} + \dfrac{\theta}{2\pi}$; quand la variable~$z$,
\DPPageSep{207.png}{199}
après avoir décrit la courbe~$C$, revient au point de départ, le module~$r$
de la fonction~$f(z)$ reprend sa valeur primitive, et l'argument devient
$\theta + 2k\pi$, $k$~étant un certain nombre entier; l'intégrale définie est donc
égale au nombre entier~$k$, et l'on a $\sum n - \sum p = k$. Ainsi l'on peut énoncer
le théorème précédent en disant que l'on obtient la somme des ordres
d'une fonction~$f(z)$, méromorphe dans une partie du plan, en divisant
par~$2\pi$ la variation de l'argument de la fonction sur le contour de
l'aire.

On arrive directement à ce résultat en remarquant que, d'après
le théorème~IV, la fonction~$f(z)$ peut se mettre sous la forme
\[
f(z) = \frac{(z - a)^{n}(z - b)^{n'} \ldots}
            {(z - \alpha)^{p}(z - \beta)^{p'}\ldots} \phi(z),
\]
la fonction~$\phi$ étant holomorphe dans la partie du plan considérée, et
ne s'annulant pas. D'après le raisonnement du \no{21}, la variation de
l'argument de~$\phi(z)$ sur la courbe~$C$ est nulle. Les variations des arguments
des binômes $(z - a)^{n}, \ldots$, $(z - \alpha)^{-p}, \ldots$ sont d'ailleurs respectivement
égales à~$2n\pi, \ldots$, $-2p\pi, \ldots$. Donc la variation de l'argument
de~$f(z)$ sur la courbe~$C$ est égale à~$2\pi(\sum n - \sum p)$.

Lorsqu'une fonction~$f(z)$ est holomorphe dans une partie du plan à
contour simple, la variation de son argument sur la courbe~$C$ se réduit
à~$2\pi\sum n$, ce qui donne le nombre des racines situées dans cette partie
du plan.

Les deux théorèmes précédents, qui ont une grande importance
dans la théorie des équations, sont dus à Cauchy.

\Paragraph{123.} Appliquons cette méthode à l'équation
\[
f(u) = u - \zeta - z \sin u = 0,
\]
que l'on rencontre en Astronomie, et dans laquelle $z$~est un nombre
réel et positif, $\zeta$~une quantité réelle comprise entre $0$~et~$\pi$. Cherchons le
nombre des racines comprises dans le rectangle~$AA'B'B$ (\Figref{65}) formé
par des parallèles $AB, A'B'$ à l'axe~$Oy$, menées à des distances égales
à~$m\pi$ et à~$(m + 1)\pi$, $m$~étant un nombre entier, et par des parallèles
\DPPageSep{208.png}{200}
$AA', BB'$ à l'axe~$Ox$, à une distance très-grande~$b$ de part et d'autre.
La variation de l'argument de~$f(u)$ sur le contour du rectangle est
\Fig{65}
égale à la somme de ses variations sur les quatre côtés.

Sur les côtés $AA', B'B$, on~a
\begin{gather*}
u = x \mp bi, \\
f(u) = x - \zeta \mp bi + \frac{zi}{2} (e^{xi ± b} - e^{-xi \mp b}).
\end{gather*}
La distance~$b$ étant très-grande, on peut réduire cette expression à son
terme principal
\[
 \frac{zi}{2} e^b e^{xi}\quad\text{ou}\quad
-\frac{zi}{2} e^b e^{-xi}.
\]
Sur le côté~$AA'$, $x$~croissant de~$m\pi$ à~$(m + 1)\pi$, l'argument de~$f(u)$
éprouve une variation égale à~$+\pi$; sur le côté~$B'B$, $x$~décroissant
de~$(m + 1)\pi$ à~$m\pi$, l'argument de~$f(u)$ éprouve encore une variation
égale à~$+\pi$. La somme des variations de l'argument sur les deux
côtés opposés $AA', B'B$ est donc~$+2\pi$.

Sur le côté~$BA$, on~a
\begin{gather*}
u = m\pi + yi, \\
f(u) = (m\pi - \zeta) + i \left[y - (-1)^{m} \frac{z}{2} (e^y - e^{-y})\right], \\
\frac{f(u)}{m\pi - \zeta}
  = 1 + i \left[\frac{y}{m\pi - \zeta}
              - \frac{(-1)^{m} z}{2(m\pi - \zeta)} (e^y - e^{-y} \right],
\end{gather*}
\DPPageSep{209.png}{201}
et, en désignant par~$\theta$ l'argument de~$\dfrac{f(u)}{m\pi - \zeta}$,
\[
\tang \theta = \frac{y}{m\pi - \zeta}
  - \frac{(-1)^{m} z}{2(m\pi - \zeta)} (e^y - e^{-y}).
\]
Lorsque $y$~varie de~$+\infty$ à~$-\infty$, l'argument~$\theta$ varie de~$-\dfrac{\pi}{2}$ à~$+\dfrac{\pi}{2}$,
ou de~$+\dfrac{\pi}{2}$ à~$-\dfrac{\pi}{2}$, et, par conséquent, éprouve une variation égale
à~$+\pi$ ou à~$-\pi$, suivant que la quantité $c = \dfrac{(-1)^{m} z}{m\pi - \zeta}$ est positive ou
négative.

Sur le côté~$A'B'$, comme $y$~varie de~$-\infty$ à~$+\infty$, la variation de l'argument
est égale à~$+\pi$ ou à~$-\pi$, suivant que la quantité $c'= \dfrac{(-1)^{m+1} z}{(m + 1)\pi - \zeta}$
est négative ou positive. Mais, excepté lorsque $m = 0$, le signe de~$c'$
est contraire à celui de~$c$; la somme des variations de l'argument
de~$f(u)$ sur les deux côtés opposés $BA, A'B'$, est donc $+2\pi$~ou~$-2\pi$,
suivant que la quantité~$c$ est positive ou négative. Dans le premier cas,
qui se présente lorsque $m$~est un nombre positif pair, ou négatif impair,
la variation de l'argument sur le contour du rectangle est~$4\pi$,
d'où l'on conclut que le rectangle comprend deux racines qui sont
réelles ou imaginaires conjuguées; dans le second cas, qui se présente
lorsque $m$~est un nombre positif impair, ou négatif pair, la variation
est nulle, d'où l'on conclut que le rectangle ne comprend aucune racine.
Lorsque $m = 0$, les deux quantités $c$~et~$c'$ ayant le même signe,
les variations sur $BA$~et~$A'B'$ sont égales et de signes contraires, de
sorte que la variation sur le contour du rectangle est égale à~$+2\pi$;
on en conclut que ce premier rectangle contient une seule racine, qui
est réelle.

\Paragraph{124.} \begin{Théorème}{VIII}
La fonction~$\Theta(z)$ n'a qu'une racine dans
chaque parallélogramme~$(\omega, \omega')$.
\end{Théorème}

Considérons le parallélogramme $ABDC$ (\Figref{66}), dont le sommet~$A$ est
un point quelconque~$z_{0}$ du plan, les sommets $B$~et~$C$ les points $z_{0} + \omega,
z_{0} + \omega'$. La fonction~$\Theta(z)$ étant holomorphe, le nombre des racines
contenues dans le parallélogramme est égal, d'après le théorème précèdent,
\DPPageSep{210.png}{202}
à l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \Diff\log \Theta(z)\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme. La fonction~$\Theta(z)$ admettant
la période~$\omega$, ainsi que sa dérivée~$\Theta'(z)$, la fonction $\Diff\log \Theta (z) = \dfrac{\Theta'(z)}{\Theta(z)}$
reprend la même valeur aux points homologues des côtés opposés $BD, CA$;
\Fig[1.5in]{66}
ces côtés, étant parcourus dans des sens contraires, donnent dans
l'intégrale des quantités égales et de signes contraires. D'autre part,
si $z$~désigne un point du côté~$AB$, $z + \omega'$~sera le point homologue du
côté opposé~$DC$, et l'on aura pour ces deux côtés
\[
\frac{1}{2\pi i}
  \int_{AB} \bigl[\Diff\log \Theta(z) - \Diff\log \Theta (z + \omega')\bigr]\, dz.
\]
De la relation (\no{73})
\[
\Theta(z + \omega') = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \Theta(z),
\]
on déduit
\[
\Diff\log \Theta(z + \omega') = -\frac{2\pi i}{\omega} + \Diff\log \Theta(z),
\]
et l'intégrale précédente se réduit à
\[
\frac{1}{\omega} \int dz = 1.
\]
Ainsi tout parallélogramme, tel que~$ABDC$, comprend une seule racine
de la fonction~$\Theta$, et cette racine est simple.
\DPPageSep{211.png}{203}

\Paragraph{125.} \begin{CorollaireUp}
Nous avons vu aussi (\no{73}) que la fonction~$\Theta(z)$
s'annule pour toutes les valeurs représentées par la formule
\[
z = \frac{\omega + \omega'}{2} + m\omega + m'\omega',
\]
dans laquelle $m$~et~$m'$ sont des nombres entiers quelconques. Supposons
que le plan soit divisé en un réseau de parallélogrammes égaux
au précédent, et que le sommet~$A$ coïncide avec l'origine, la formule
donne un zéro $z = \dfrac{\omega + \omega'}{2}$ placé au centre du parallélogramme~$ABDC$;
comme on ajoute ensuite des multiples de $\omega$~et~$\omega'$, elle en donne un
placé au centre de chaque parallélogramme; puisque chaque parallélogramme
ne comprend qu'un zéro, il s'ensuit que la formule représente
tous les zéros.
\end{CorollaireUp}

La même conclusion s'applique aux quatre fonctions~$\theta$ définies par
les formules~\Eq{(5)} du \no{74}; les formules~\Eq{(9)} du même numéro représentent
tous les zéros de ces fonctions. On connaît ainsi tous les zéros et
tous les infinis des trois fonctions elliptiques $\lambda(z), \mu(z), \nu(z)$ (\no{76}).

\Paragraph{126.} \begin{Théorème}{IX}
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans toute
l'étendue du plan, et que son module reste moindre qu'une quantité déterminée,
cette fonction est constante.
\end{Théorème}

Une fonction~$(z)$, holomorphe dans toute l'étendue du plan, est développable
en une série entière
\[
f(z) = u_{0} + u_{1}z + u_{2}z^{2} + \ldots,
\]
et convergente, quelle que soit la variable~$z$; les coefficients de la série
sont donnés par la formule (\no{94})
\[
u_{n} = \frac{1}{2\pi r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(r e^{\theta i}) e^{-n\theta i}\, d\theta,
\]
dans laquelle le rayon~$r$ est arbitraire. Si, sur la circonférence~$r$, le
module de la fonction~$f(z)$ reste moindre qu'une quantité déterminée~$M$,
celui du coefficient~$u_{n}$ sera moindre que~$\dfrac{M}{r^{n}}$; comme on peut supposer le
\DPPageSep{212.png}{204}
rayon~$r$ aussi grand qu'on veut, on en conclut que le module de~$u_{n}$ est
nul. Ainsi tous les coefficients de la série, à partir du second, sont nuls,
et par conséquent la fonction est égale à une constante~$u_{0}$.

Ce théorème fondamental est dû à M.~Liouville. On en conclut qu'\emph{une
fonction, holomorphe sur toute la sphère, est constante}. Il en résulte que,
lorsqu'une fonction n'est pas constante, elle doit avoir sur la sphère un
ou plusieurs points singuliers où elle cesse d'être holomorphe. Ainsi
la fonction~$e^{z}$ est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point~$O'$,
qui est un point d'indétermination (\no{59}).

\Paragraph{127.} \begin{Théorème}{X}
Lorsque deux fonctions, méromorphes dans
toute l'étendue du plan, admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis,
chacun au même degré, leur rapport est une fonction holomorphe dans
toute l'étendue du plan; si, de plus, le module du rapport reste moindre
qu'une quantité déterminée, le rapport est constant.
\end{Théorème}

Soient $f(z)$~et~$F(z)$ les deux fonctions proposées. Si $a$~est un zéro
commun, du degré~$n$, on a, d'après le théorème~V,
\[
f(z) = (z - a)^{n} f_{1}(z),\quad
F(z) = (z - a)^{n} F_{1}(z),
\]
les fonctions $f_{1}(z)$~et~$F_{1}(z)$ étant holomorphes dans le voisinage du
point~$a$, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut que le rapport
\[
\frac{F(z)}{f(z)} = \frac{F_{1}(z)}{f_{1}(z)}
\]
reste holomorphe dans le voisinage du point~$a$. Si $\alpha$~est un pôle ou un
infini commun, du degré~$n$, on a, d'après le même théorème,
\[
f(z) = \frac{f_{1}(z)}{(z - \alpha)^{n}},\quad
F(z) = \frac{F_{1}(z)}{(z - \alpha)^{n}},
\]
les fonctions $f_{1}(z)$~et~$F_{1}(z)$ étant holomorphes dans le voisinage du
point~$\alpha$, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut encore que le
rapport
\[
\frac{F(z)}{f(z)} = \frac{F_{1}(z)}{f_{1}(z)}
\]
\DPPageSep{213.png}{205}
reste holomorphe dans le voisinage du point~$\alpha$. Le rapport~$\dfrac{F(z)}{f(z)}$ est donc
une fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan.

Si le module de ce rapport reste moindre qu'une quantité déterminée,
il résulte du théorème précédent que ce rapport est constant.

\Paragraph{128.} \begin{Théorème}{XI}
Toute fonction, holomorphe sur toute la sphère,
excepté au point~$O'$, qu'elle admet comme pôle, est une fonction entière.
\end{Théorème}

Si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, la fonction proposée~$f(z)$ devient une fonction
de~$z'$, que nous désignerons par~$\phi(z')$. Cette fonction
\[
\phi(z') = f \left(\frac{1}{z'}\right) = f(z)
\]
est holomorphe par rapport à la nouvelle variable~$z'$, excepté pour
$z' = 0$. Dire que sur la sphère le point~$O'$ est pôle de la fonction~$f(z)$,
c'est dire que, dans le plan des~$z'$, le point $z' = 0$ est pôle de la fonction~$\phi(z')$.
D'après le théorème~IV, il existe un nombre~$n$, entier et fini,
tel que le produit $\psi(z') = z'^{n}\phi(z')$ reste holomorphe dans le voisinage
du point~$O'$, et par conséquent dans un cercle décrit du point~$O'$ comme
centre, avec un certain rayon~$r$, sur le plan des~$z'$; cette fonction est
développable en une série entière, convergente dans ce cercle, et l'on~a
\[
\Tag{(1)}
\psi(z') = A_{0} + A_{1}z' + A_{2}z'^{2} + \ldots
  + A_{n-1} z'^{n-1} + z'^{n}P,
\]
en posant
\[
\Tag{(2)}
P = A_{n} + A_{n + 1}z' + A_{n + 2}z'^{2} + \ldots.
\]
De l'équation~\Eq{(1)} on déduit
\[
P = \phi(z')
  - \frac{A_{0}}{z'^{n}}
  - \frac{A_{1}}{z'^{n-1}} - \ldots
  - \frac{A_{n - 1}}{z'},
\]
ou
\[
\Tag{(3)}
P = f(z) - A_{0} z^{n} - A_{1} z^{n-1} - \ldots - A_{n-1} z.
\]
\DPPageSep{214.png}{206}
Au cercle~$r$ décrit du point~$O'$ comme centre sur le plan des~$z'$ correspond
sur la sphère un cercle~$R$, qui divise la surface de la sphère en
deux zones, contenant, l'une le point~$O$, l'autre le point~$O'$; d'après
l'équation~\Eq{(3)}, la quantité~$P$ est holomorphe dans la première zone;
comme elle est représentée par la série~\Eq{(2)} dans la seconde zone, elle
est aussi holomorphe dans cette seconde zone; la quantité~$P$ est donc
holomorphe sur toute la sphère, et par conséquent, en vertu du théorème~IX,
c'est une constante~$A_{n}$. On déduit de là, d'après l'équation~\Eq{(3)},
\[
f(z) = A_{0}z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \ldots + A_{n}.
\]
Ainsi la fonction proposée est une fonction entière d'un degré égal au
degré du pôle~$O'$.

\Paragraph{129.} \begin{Théorème}{XII}
Toute fonction, méromorphe sur toute la
sphère, est une fraction rationnelle.
\end{Théorème}

Supposons d'abord que le point~$O'$ soit un point ordinaire de la
fonction~$f(z)$; si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, cela signifie que la fonction $f \left(\dfrac{1}{z'}\right)$
est holomorphe dans un cercle décrit du point~$O'$ comme centre, avec
un certain rayon~$r$, sur le plan des~$z'$; à ce cercle correspond sur la
sphère un cercle~$R$, qui divise la sphère en deux zones, comprenant,
l'une le point~$O$, l'autre le point~$O'$; tous les pôles de la fonction~$f(z)$
étant situés sur la première zone, c'est-à-dire dans le cercle décrit du
point~$O$ comme centre avec un rayon égal à~$\dfrac{1}{r}$ sur le plan des~$z$, d'après
le théorème~IV, leur nombre est limité. Si le point~$O'$ est un pôle, on
peut, du point~$O'$ comme centre, avec un certain rayon~$r$, décrire sur
le plan des~$z'$ un cercle qui ne comprenne aucun pôle de la fonction
$f \left(\dfrac{1}{z'}\right)$ autre que le point~$O'$; tous les pôles de la fonction~$f(z)$ autres
que le point~$O'$ sont donc situés dans le cercle décrit du point~$O$ comme
centre avec le rayon~$\dfrac{1}{r}$ sur le plan des~$z$, et par conséquent leur nombre
est encore limité. Ainsi, dans tous les cas, une fonction méromorphe
sur toute la sphère n'admet qu'un nombre limité de pôles.

Cela posé, désignons par $\alpha, \beta, \ldots$ les pôles de la fonction~$f(z)$ autres
\DPPageSep{215.png}{207}
que le point~$O'$, par $n, p, \ldots$ leurs degrés; on peut, d'après le théorème~V, déterminer des sommes de fractions simples, telles que la
différence
\[
\begin{array}{r@{\,}*{3}{c@{\,}}}
\phi(z) = f(z)
  &{}- \dfrac{A_{n}}{(z - \alpha)^{n}} &{}- \ldots -{}& \dfrac{A_{1}}{z - \alpha} \\
\Strut[22pt]
  &{}- \dfrac{B_{p}}{(z - \beta)^{p}}  &{}- \ldots -{}& \dfrac{B_{1}}{z - \beta} \\
&\hdotsfor{3}
\end{array}
\]
soit holomorphe sur la première zone. Si la fonction proposée~$f(z)$ est
holomorphe en~$O'$, la fonction~$\phi(z)$ sera holomorphe sur toute la
sphère, et par conséquent ce sera une constante (\no{126}). Si le point~$O'$
est pôle de~$f(z)$, ce sera un pôle du même degré de~$\phi(z)$; cette dernière
fonction, étant holomorphe sur toute la sphère, excepté au
point~$O'$, qu'elle admet comme pôle, est une fonction entière d'un degré
égal à celui du pôle~$O'$ (\no{128}). Il résulte de là que la fonction~$f(z)$
est le quotient de deux fonctions entières, telles que l'excès du degré
du dénominateur sur celui du numérateur est égal à l'ordre de la
fonction~$f(z)$ au point~$O'$.

Il est évident que la somme des ordres d'une fraction rationnelle sur
toute la sphère est nulle.


\Section{Fonctions polytropes}

\Paragraph{130.} Les fonctions algébriques, que nous avons étudiées dans le
\Ref{1.2}{Chapitre~II du Livre~I}, constituent une première classe de fonctions
polytropes; elles ont un nombre fini de valeurs pour chaque valeur de
la variable, et n'admettent sur toute la sphère que deux sortes de points
singuliers, savoir des pôles et des points critiques algébriques.

Une équation $f(z, u) = 0$, dont le premier membre est, non plus un
polynôme entier en $z$~et~$u$, mais une fonction holomorphe des deux
variables $z$~et~$u$, dans le voisinage des valeurs $a$~et~$b$, définit une fonction
implicite~$u$ de~$z$ qui jouit de quelques-unes des propriétés des
fonctions algébriques. Nous remarquons d'abord que la racine~$b$ est
d'un degré entier et fini de multiplicité, puisque~$f(z, u)$, où l'on regarde
$z$ comme une constante~$a$, est une fonction holomorphe de~$u$ dans le
\DPPageSep{216.png}{208}
voisinage de la valeur~$b$ (\no{115}). Le théorème sur la continuité des
racines subsiste: si pour $z = a$ l'équation a $n$~racines égales à~$b$, pour
une valeur de~$z$ voisine de~$a$ elle a $n$~racines voisines de~$b$, et ces
$n$~racines forment un ou plusieurs systèmes circulaires; car on peut
répéter ici les raisonnements que nous avons faits aux \nos~\nref{28}~et~\nref{32}.
Soient $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}$ les $p$~racines d'un système circulaire; quand la
variable~$z$ tourne autour du point~$a$, une branche de la fonction~$u$
acquiert successivement les $p$~valeurs $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}$; après $p$~tours, elle
reprend sa valeur primitive~$u_{1}$. Si l'on pose $z = a + z'$, $z' = z''^{p}$, quand
$z''$~décrit une petite circonférence autour du point $z'' = 0$, $z'$~décrit
$p$~circonférences autour du point $z' = 0$, et par conséquent $u$~reprend
sa valeur primitive; on en conclut que $u$~est une fonction holomorphe
de~$z''$ dans le voisinage du point $z'' = 0$, et par conséquent est développable
en une série entière par rapport à la variable~$z''$,
\[
u - b = Az''^{q} + Bz''^{q + 1} + \ldots\Add{.}
\]
Les $p$~valeurs du système circulaire sont représentées par la même série
\[
u - b = Az'^{\efrac{q}{p}} + Bz'^{\efrac{q + 1}{p}} + \ldots.
\]
En particulier, si $p = 1$, la branche de la fonction~$u$ est holomorphe
dans le voisinage du point~$a$.

Supposons que le premier membre de l'équation proposée $f(z, u) = 0$
soit une fonction holomorphe des deux variables $z$~et~$u$ pour toutes les
valeurs finies de chacune d'elles. On obtient les valeurs finies de~$z$ pour
lesquelles l'équation admet des racines égales en cherchant les valeurs
de~$z$ et de~$u$ qui satisfont aux deux équations simultanées
\[
f(z, u) = 0,\quad \frac{\dd f}{\dd u} = 0.
\]
Lorsque, dans le voisinage d'une de ces valeurs de~$z$, une racine n'est
pas holomorphe, elle appartient à un système de racines qui se permutent
autour de ce point, et il peut arriver qu'à un même point critique
correspondent une infinité de systèmes circulaires de racines.

L'analogie avec les fonctions algébriques cesse d'exister lorsqu'à
\DPPageSep{217.png}{209}
une valeur finie de~$z$ correspond une valeur infinie de~$u$; car, si l'on
pose $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation ne se transforme pas en général en une équation
entre $z$~et~$u'$ ayant son premier membre holomorphe pour les
valeurs de~$u'$ voisines de zéro. Ces valeurs de~$z$ sont, en général, non
des pôles ou des points critiques algébriques, mais des points singuliers
transcendants. L'analogie n'existe pas non plus pour les valeurs infinies
de~$z$; car, si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, l'équation ne se transforme pas en général
en une équation entre $z'$~et~$u$, ou entre $z'$~et~$u'$, ayant son premier
membre holomorphe pour les valeurs de~$z'$ voisines de zéro; de sorte
que sur la sphère le point~$O'$ est un point singulier transcendant.

Considérons, par exemple, l'équation $\sin u - z = 0$, dont le premier
membre est une fonction holomorphe de~$z$ et de~$u$ pour toutes les valeurs
finies de ces variables, et qui définit la fonction $u = \arcsin z$, que
nous avons étudiée au \no{62}. Les deux équations simultanées
\[
\sin u - z = 0,\quad
\frac{\dd f}{\dd u} = \cos u = 0
\]
sont satisfaites par les valeurs
\[
u = (2m + 1) \frac{\pi}{2},\quad
z = (-1)^{m} = ±1,
\]
$m$~étant un nombre entier quelconque. A chacune des valeurs $z = ±1$
correspondent une infinité de groupes de deux racines égales; on a ainsi
deux points critiques $z = ±1$, autour desquels se permutent les deux
racines d'un même groupe. Si l'on pose, en effet,
\[
z = (-1)^{m} (1 - z'),\quad
u = (2m + 1) \frac{\pi}{2} + u',
\]
l'équation devient
\[
z' + \cos u' - 1 = 0,
\]
et, en développant en série,
\[
\left(z' - \frac{u'^{2}}{2}\right) + \frac{u'^{4}}{1·2·3·4} - \ldots = 0;
\]
\DPPageSep{218.png}{210}
à une valeur infiniment petite de~$z'$ correspondent deux valeurs infiniment
petites de~$u'$, dont les valeurs approchées sont $u' = \sqrt{2} z'^{\efrac{1}{2}}$.

La fonction~$u$ ne devient infinie pour aucune valeur finie de~$z$; mais
elle devient infinie quand $z$~augmente indéfiniment. Si l'on pose
\[
z = \frac{1}{z'},\quad u = \frac{1}{u'},
\]
l'équation devient
\[
z' \sin \frac{1}{u'} - 1 = 0;
\]
le premier membre est indéterminé pour $u' = 0$.

\Paragraph{131.} Revenons à l'équation
\[
\Tag{(1)}
f(u, z) = u - \zeta - z \sin u = 0,
\]
dans laquelle $\zeta$~est une quantité réelle. Nous avons vu (\no{123}) que,
lorsque $z$~est réelle, l'équation admet une infinité de racines; l'une
d'elles se réduit à $u = \zeta$ pour $z = 0$; on peut la développer en une
série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives
de~$z$, d'après la formule de Lagrange (\no{97}). Pour déterminer le rayon
du cercle de convergence, il faut regarder $z$~comme une variable imaginaire
et $u$~comme une fonction de~$z$ ayant la valeur initiale $u = \zeta$ pour
$z = 0$. On obtient les points critiques en joignant à l'équation précédente
l'équation
\[
\Tag{(2)}
\frac{\dd f}{\dd u} = 1 - z \cos u = 0,
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(3)}
u - \zeta - \tang u = 0.
\]
On reconnaît immédiatement que cette dernière équation admet une
solution réelle comprise entre $m\pi - \dfrac{\pi}{2}$ et $m\pi + \dfrac{\pi}{2}$, $m$~étant un nombre
entier quelconque positif ou négatif, et, par conséquent, qu'elle a une
infinité de solutions réelles; la méthode dont nous avons fait usage au
\no{123} indique, en outre, qu'elle a deux racines imaginaires conjuguées,
dont la partie réelle est comprise entre les mêmes multiples consécutifs
\DPPageSep{219.png}{211}
de~$\dfrac{\pi}{2}$ que la quantité~$\zeta$. Autour de chacun des points critiques se permutent
deux racines de l'équation~\Eq{(1)}, puisque la dérivée $\dfrac{\dd f}{\dd u}$ n'est pas
nulle.

Considérons maintenant les deux racines imaginaires de l'équation~\Eq{(3)};
si l'on pose $u = x + yi$, cette équation se décompose en
deux,
\begin{gather*}
\Tag{(4)}
x - \frac{\sin 2x}{\cos 2x + \cosh 2y} = \zeta, \\
\Tag{(5)}
1 + \cosh 2y - \frac{\sinh 2y}{y} = 2 \sin^{2}x.
\end{gather*}
Les valeurs de~$y$ étant égales et de signes contraires, on peut supposer
$y$~positive. En développant en série le premier membre de l'équation~\Eq{(5)}
suivant les puissances entières et positives de~$y$, on voit que cette fonction
croît avec~$y$ de zéro à l'infini; on en conclut que, dans les racines
imaginaires de l'équation~\Eq{(3)}, la valeur de~$y$ est moindre que la racine
positive de l'équation
\[
1 + \cosh 2y - \frac{\sinh 2y}{y} = 2,
\]
ou
\[
\Tag{(6)}
y \tangh y = 1;
\]
cette racine est $y_{1} = 1.1997\ldots$. La valeur correspondante de~$z$, déduite
de l'équation~\Eq{(2)}, est
\[
z = \frac{1}{\cos u}
  = 2\, \frac{\cos x \cosh y + i \sin x \sinh y}{\cos 2x + \cosh 2y},
\]
et l'on~a
\[
\mod z = \sqrt{\frac{2y}{\sinh 2y}}.
\]
Le second membre diminuant quand $y$~augmente, et la valeur de~$y$ étant
comprise entre $0$~et~$y_{1}$, il en résulte que le module de~$z$ est compris
entre $1$~et la quantité
\[
b = \sqrt{\frac{2y_{1}}{\sinh 2y_{1}}}
  = \sqrt{y_{1}^{2} - 1} = 0.6627\ldots.
\]
\DPPageSep{220.png}{212}
Ainsi les deux points critiques fournis par les racines imaginaires de
l'équation~\Eq{(3)} sont compris, quelle que soit~$\zeta$, entre deux circonférences
décrites de l'origine comme centre avec les rayons $b$~et~$1$; il est évident
d'ailleurs que les points critiques fournis par les racines réelles sont
extérieurs à cette dernière circonférence. On en conclut que, quelle
que soit la valeur réelle attribuée à~$\zeta$, la série de Lagrange est convergente
dans le cercle de rayon~$b$.

Quand on attribue à~$\zeta$ la valeur~$\dfrac{\pi}{2}$, les équations \Eq{(4)}~et~\Eq{(5)} admettent
la solution $x = \dfrac{\pi}{2}$, $y = y_{1}$, à laquelle correspond le point critique
$z = bi$. Pour voir quelles sont les racines qui se permutent autour de
ce point critique, posons $z = z'i$ et $u = \dfrac{\pi}{2} + yi$; l'équation~\Eq{(1)} devient
\[
\Tag{(7)}
\frac{y}{\cosh y} = z',
\]
la nouvelle fonction~$y$ ayant la valeur initiale $y = 0$ pour $z' = 0$.
L'équation différentielle
\[
dz' = \frac{1 - y \tangh y}{\cosh y}\, dy
\]
montre que, quand $y$~est réelle et croît de~$0$ à~$y_{1}$, $z'$~est aussi réelle et croît
de~$0$ à~$b$; on en conclut que, réciproquement, quand $z'$~croît de~$0$ à~$b$,
$y$~est réelle et croît de~$0$ à~$y_{1}$. La racine considérée se permute donc avec
une autre autour du point critique $z = bi$, et, par conséquent, pour
$\zeta = \dfrac{\pi}{2}$, le cercle de rayon~$b$ est bien le cercle de convergence. Il est
clair que, si $\zeta$~a une valeur différente d'un multiple impair de~$\dfrac{\pi}{2}$, le
rayon du cercle de convergence est plus grand que~$b$.

\Paragraph{132.} \begin{Théorème}{XIII}
Lorsque, dans une partie déterminée~$A$ du
plan, une fonction~$u$ de~$z$ n'a pas de points singuliers autres que des
pôles et des points critiques algébriques, et admet un nombre fini~$m$ de
valeurs en chaque point, toute fonction entière symétrique de ces $m$~valeurs
est une fonction méromorphe de~$z$ dans cette partie du plan.
\end{Théorème}
\DPPageSep{221.png}{213}

Pour définir la fonction, on fait partir la variable~$z$ d'un point fixe~$z_{0}$,
la fonction ayant une valeur initiale~$u_{0}$ déterminée. Nous admettrons,
comme nous l'avons fait jusqu'à présent, que, excepté en certains points
singuliers, la fonction est continue et a une dérivée, et, par conséquent,
que, tant que la variable se meut dans une partie de l'aire~$A$ ne comprenant
aucun point singulier, la fonction est holomorphe.

Supposons qu'il existe, dans la partie~$A$ du plan, un point critique
algébrique~$a$ relativement à la branche de la fonction que l'on obtient
en allant du point~$z_{0}$ à un point voisin de~$a$ par un chemin déterminé,
c'est-à-dire un point~$a$ tel que, si la variable tourne ensuite autour de
ce point, la branche de la fonction acquière, en chaque point voisin,
un nombre limité~$p$ de valeurs finies, peu différentes les unes des autres,
et devenant toutes égales à une même quantité~$b$, quand le point~$z$ se
rapproche de~$a$. Posons
\[
z = a + z',\quad
z'' = z'^{\efrac{1}{p}};
\]
la branche considérée de la fonction se reproduisant quand~$z'$ fait $p$~tours
et, par conséquent, quand $z''$~reprend la même valeur, est une fonction
holomorphe de~$z''$ pour les valeurs de~$z''$ voisines de zéro; elle est donc
développable en une série entière
\[
u = b + Az''^{q} + Bz''^{q + 1} + \ldots,
\]
et les $p$~valeurs de la branche considérée de la fonction sont représentées
par la même série
\[
u = b + Az'^{\efrac{q}{p}} + Bz'^{\efrac{q + 1}{p}} + \ldots\Add{.}
\]
Si l'on fait la somme des puissances semblables de ces $p$~valeurs, les
termes à exposants fractionnaires disparaissent, et il ne reste que
des termes à exposants entiers; cette somme est donc une fonction holomorphe
de~$z$ dans le voisinage du point~$a$. Les mêmes choses se passent
dans le voisinage de chacun des points critiques algébriques autour
desquels se permutent des valeurs finies de la fonction.

Supposons maintenant qu'il existe un point critique~$\alpha$, tel qu'une
\DPPageSep{222.png}{214}
branche de la fonction acquière, quand la variable tourne autour de ce
point, $p$~valeurs très-grandes, et qui deviennent infinies au point~$\alpha$.
Posons
\[
z = \alpha + z',\quad
u = \frac{1}{u'};
\]
la branche correspondante de la fonction~$u'$ acquerra, dans le voisinage
de ce point, $p$~valeurs voisines de zéro; et, d'après ce que nous avons
dit, ces $p$~valeurs seront représentées par une même série convergente
\[
u' = z'^{\efrac{q}{p}} \left(A' + B'z'^{\efrac{1}{p}} + \ldots\right);
\]
il en résulte que les $p$~valeurs de~$u$ seront représentées par une série de
la forme
\[
u = z'^{-\efrac{q}{p}} \left(A + Bz'^{\efrac{1}{p}} + \ldots \right).
\]
La somme des puissances semblables de ces $p$~valeurs ne contient
encore que des exposants entiers; mais il peut y avoir au commencement
de la série des termes à exposants négatifs; dans ce cas, le point~$\alpha$
est un pôle de la somme, qui est alors une fonction méromorphe de~$z$
dans le voisinage de ce point.

Nous avons supposé en outre que la fonction~$u$ n'a qu'un nombre
fini~$m$ de valeurs $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}$ en chaque point; il résulte de ce qui
précède que la somme des puissances semblables de ces $m$~valeurs est
une fonction méromorphe de~$z$ dans l'aire~$A$. On en conclut que toute
fonction symétrique entière de ces $m$~valeurs est une fonction méromorphe
de~$z$ dans cette étendue.

\Paragraph{133.} \begin{CorollaireUp}[I]
Désignons par~$\phi_{1}(z)$ la somme des $m$~valeurs
$u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}$ de la fonction en chaque point, par~$\phi_{2}(z)$ la somme
des produits des $m$~valeurs deux à deux, et enfin par~$\phi_{m}(z)$ le produit de
ces $m$~valeurs; ces fonctions symétriques sont des fonctions méromorphes
de~$z$ dans l'aire~$A$, et la fonction~$u$ de~$z$ est racine de l'équation
\[
u^{m} - \phi_{1}(z) u^{m-1} + \phi_{2}(z) u^{m-2} \ldots ± \phi_{m}(z) = 0.
\]
\end{CorollaireUp}

Lorsque l'aire~$A$ est finie, les fonctions méromorphes $\phi_{1}(z), \phi_{2}(z), \ldots$
\DPPageSep{223.png}{215}
peuvent être mises sous la forme
\[
\phi_{1}(z) = \frac{\psi_{1}(z)}{\psi_{0}(z)},\quad
\phi_{2}(z) = \frac{\psi_{2}(z)}{\psi_{0}(z)},\ldots,
\]
$\psi_{0}(z)$~étant un polynôme entier, et $\psi_{1}(z), \psi_{2}(z), \ldots$ des fonctions holomorphes
dans l'aire~$A$ (\no{118}), et l'équation devient
\[
F(z, u) = \psi_{0}(z)u^{m}
        - \psi_{1}(z)u^{m-1}
        + \psi_{2}(z)\DPtypo{}{u}^{m-2}
        \ldots ± \psi_{m}(z) = 0.
\]
Son premier membre est une fonction entière de~$u$ et holomorphe de~$z$
dans l'aire~$A$.

Les points où des racines deviennent infinies vérifient l'équation
entière $\psi_{0}(z) = 0$. Les points où des racines finies deviennent égales
sont donnés par les deux équations simultanées
\[
F(z, u) = 0,\quad
\frac{\dd F}{\dd u} = 0;
\]
l'élimination de~$u$ conduit à une équation $\chi(z) = 0$, dont le premier
membre est une fonction holomorphe de~$z$ dans l'aire~$A$. On en conclut
que \emph{le nombre des pôles et des points critiques situés dans l'aire
finie~$A$ est limité}.

\Paragraph{134.} \begin{CorollaireUp}[II]
Nous appellerons, d'une manière générale,
ordre de la fonction~$u$ en chaque point~$z$ l'ordre de la fonction
\[
\phi_{m}(z) = u_{1} u_{2} \ldots u_{m};
\]
la fonction~$\phi_{m}(z)$ étant méromorphe dans l'aire~$A$, cet ordre est entier.
En tout point où aucune des $m$~valeurs de~$u$ ne devient nulle ou infinie,
l'ordre est nul. Supposons qu'en un point critique~$a$ les $p$~valeurs $u_{1},
u_{2}, \ldots, u_{p}$, qui composent un système circulaire, deviennent nulles,
ces $p$~valeurs seront représentées par une même série
\[
u = z'^{\efrac{q}{p}} \left(A + Bz'^{\efrac{1}{p}} + \ldots\right),
\]
et leur produit par une série entière
\[
u_{1} u_{2} \ldots u_{p} = z'^{q} \left(A_{1} + B_{1} z' + \ldots\right);
\]
\DPPageSep{224.png}{216}
le point~$a$ est un zéro du degré~$\dfrac{q}{p}$ pour chacune des $p$~valeurs du système
circulaire et du degré entier~$q$ pour leur produit. De même, si les $p$~valeurs
d'un système circulaire deviennent infinies au point~$\alpha$, ces $p$~valeurs
seront représentées par la série
\[
u = z'^{-\efrac{q}{p}} \left(A + B z'^{\efrac{1}{p}} + \ldots\right),
\]
et leur produit par la série
\[
u_{1} u_{2} \ldots u_{p} = z'^{-q} \left(A_{1} + B_{1} z' + \ldots\right);
\]
le point~$\alpha$ est un infini du degré~$\dfrac{q}{p}$ pour chacune des $p$~valeurs du
système circulaire et du degré entier~$q$ pour leur produit. L'ordre du
produit est, dans le premier cas,~$+q$; dans le second cas,~$-q$.
\end{CorollaireUp}

Supposons que, sur la courbe~$C$ qui enveloppe l'aire~$A$, chacune
des $m$~valeurs de la fonction~$u$ soit continue et différente de zéro; la fonction~$\phi_{m}(z)$
sera elle-même continue et différente de zéro. Nous savons,
d'après le théorème~VII, que la somme des ordres de la fonction méromorphe~$\phi_{m}(z)$
dans l'aire~$A$ est égale à la variation qu'éprouve la
fonction $\dfrac{1}{2\pi i} \log \phi_{m}(z)$ sur le contour~$C$ de l'aire, décrit dans le sens positif.
On en conclut que la somme des ordres de la fonction~$u$ dans
l'aire~$A$ est égale à la variation qu'éprouve sur ce contour la fonction
$\dfrac{1}{2\pi i} \log(u_{1} u_{2} \ldots u_{m})$, ou la somme des fonctions
\[
\frac{1}{2\pi i} \log u_{1} +
\frac{1}{2\pi i} \log u_{2} + \ldots +
\frac{1}{2\pi i} \log u_{m},
\]
qui se rapportent aux $m$~branches de la fonction~$u$.

\Paragraph{135.} \begin{Théorème}{XIV}
Toute fonction qui, sur toute la sphère, n'a
pas de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques,
et qui n'admet qu'un nombre fini~$m$ de valeurs en chaque point,
est une fonction algébrique.
\end{Théorème}

En vertu du raisonnement précédent, toute fonction entière et symétrique
\DPPageSep{225.png}{217}
des $m$~valeurs de la fonction~$u$ est une fonction méromorphe de~$z$,
pour toutes les valeurs finies de~$z$. Faisons maintenant $z = \dfrac{1}{z'}$, puisqu'on
suppose que le point $z' = 0$ est un point ordinaire, ou un pôle, ou un
point critique algébrique, d'après le même raisonnement, la fonction
symétrique est aussi méromorphe dans le voisinage de ce point. Cette
fonction symétrique, étant ainsi méromorphe sur toute la sphère, est
une fraction rationnelle (\no{129}).  Il en résulte que les fonctions $\phi_{1}(z),
\phi_{2}(z), \ldots, \phi_{m}(z)$ sont des fractions rationnelles que l'on peut mettre
sous la forme
\[
\phi_{1}(z) = \frac{\psi_{1}(z)}{\psi_{0}(z)},\quad
\phi_{2}(z) = \frac{\psi_{2}(z)}{\psi_{0}(z)}, \ldots,
\]
$\psi_{0}(z), \psi_{1}(z), \psi_{2}(z), \ldots$ étant des polynômes entiers; par conséquent,
la fonction proposée~$u$ de~$z$ satisfait à une équation
\[
\psi_{0}(z) u^{m} - \psi_{1}(z) u^{m-1} + \psi_{2}(z) u^{m-2}
  \ldots ± \psi_{m}(z) = 0,
\]
dont le premier membre est un polynôme entier en~$z$ et en~$u$, et du
degré~$m$ par rapport à~$u$.

Ce dernier théorème comprend, comme cas particuliers, les théorèmes
XI~et~XII, qui servent à l'établir; ils nous seront très-utiles dans
la suite. Nous les avons publiés pour la première fois, sous une forme
un peu différente, dans le \textit{Journal de l'École Polytechnique} de~1856.

\begin{Corollaire}[I]
Une fonction~$u$ de~$z$, définie par une équation dont
le premier membre est un polynôme entier en $z$~et~$u$, du degré~$m$ par rapport
à~$u$, et irréductible, admet $m$~valeurs en chaque point.
\end{Corollaire}

Car, si elle en admettait un nombre moindre, elle satisferait à une
équation algébrique d'un degré inférieur à~$m$ par rapport à~$u$, et l'équation
proposée ne serait pas irréductible.

\begin{Corollaire}[II]
La somme des ordres d'une fonction algébrique sur
toute la sphère est nulle.
\end{Corollaire}

Cela résulte de ce que la somme des ordres d'une fraction rationnelle~$\phi_{m}(z)$
sur toute la sphère est nulle (\no{129}). On peut encore s'en
rendre compte de la manière suivante. Concevons que l'on divise la
surface de la sphère en deux parties par un cercle~$C$ dont le plan soit
\DPPageSep{226.png}{218}
perpendiculaire au diamètre~$OO'$, et qui ne passe par aucun point critique;
la somme des ordres de la fonction~$u$ de~$z$ dans l'une ou l'autre
zone est égale à la variation de la fonction $\dfrac{1}{2\pi i} \log (u_{1} u_{2} \ldots u_{m})$ sur le
cercle~$C$, décrit dans le sens positif par rapport à cette zone, c'est-à-dire
dans un sens tel, qu'un observateur ait à sa gauche l'aire de la zone; le
sens du mouvement sur le cercle~$C$ étant différent pour les deux zones,
les variations sont égales et de signes contraires, et, par conséquent,
la somme des ordres de la fonction algébrique sur la sphère entière est
nulle.

Soit $f(z, u) = 0$ l'équation proposée du degré~$m$ en~$u$ et du degré~$m'$
en~$z$. La somme des ordres de la fonction~$u$ de~$z$ sur toute la sphère
étant nulle, la somme des ordres positifs est égale à la valeur absolue de
celle des ordres négatifs. Si, dans l'équation, on remplace~$u$ par~$u_{0} + u'$,
$u_{0}$~étant une constante arbitraire, comme la somme des ordres négatifs
est la même pour les deux fonctions $u$~et~$u'$, celle des ordres positifs
reste aussi la même et, par conséquent, est indépendante de la constante~$u_{0}$.
Supposons que la constante~$u_{0}$ n'appartienne à aucun des
systèmes de valeurs de $u$~et~$z$, ou de $u$~et~$\dfrac{1}{z}$, qui satisfont aux deux
équations simultanées $f(z, u) = 0$, $\dfrac{\dd f}{\dd u} = 0$, et que, en outre, le coefficient
de~$z^{m'}$ dans l'équation proposée ne s'annule pas pour $u = u_{0}$.
Pour évaluer la somme des ordres positifs de la fonction~$u'$ de~$z$, il faut
considérer les points~$z$ racines de l'équation $f(z, u_{0}) = 0$ du degré~$m'$;
en chacun de ces points, l'ordre de la fonction~$u'$ de~$z$ est égal au degré
même du point racine, de sorte que la somme des ordres positifs de la
fonction~$u'$ est égale à~$m'$. Ainsi la valeur absolue de la somme des
ordres négatifs de la fonction~$u$ de~$z$, définie par une équation algébrique
irréductible, est égale au degré de l'équation par rapport à~$z$.

\Paragraph{136.} \begin{CorollaireUp}[III]
Dans le \Ref{3.4}{chapitre~IV du Livre~III}, nous
avons étudié l'intégrale
\[
V = \int_{z_{0}}^{z} u\, dz,
\]
$u$~et~$z$ étant liées par une équation entière $f(z, u) = 0$, du degré~$m$ en~$u$.
\DPPageSep{227.png}{219}
Cherchons dans quel cas $V$~est elle-même fonction algébrique de~$z$. Il
est nécessaire d'abord que la fonction~$V$ n'admette, sur toute la sphère,
que des points singuliers algébriques; ceci exige que, dans le développement
de chaque système de valeurs infinies de~$u$ pour une valeur
finie de~$z$, ou de chaque système de valeurs infinies de $v = uz^{2}$ pour
$z = \infty$ ou $z' = 0$, le coefficient~$H$ du terme qui, dans l'intégrale, engendre
un logarithme, soit nul. Il faut ensuite qu'il n'y ait pas de cycles,
ou, s'il y en a, que les intégrales relatives à ces cycles soient nulles.
Quand ces conditions sont remplies, la fonction~$V$, n'ayant sur toute
la sphère que des points singuliers algébriques, et n'admettant qu'un
nombre fini~$m$ de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique
de~$z$, et l'équation entre $z$~et~$V$, mise sous forme entière, est du degré~$m$
par rapport à~$V$. D'après une remarque faite dans le numéro précédent,
le degré de l'équation par rapport à~$z$ est égal à la valeur absolue de la
somme des ordres négatifs de la fonction~$V$.
\end{CorollaireUp}

Prenons, comme exemple, l'équation
\[
u^{3} - 3u + 2z = 0,
\]
que nous avons étudiée au \no{40}. Dans le plan, il n'y a pas d'autres
points singuliers que les deux points critiques $z = ±1$, autour de
chacun desquels se permutent deux racines. Les deux lacets binaires
$(a)_{0}^{1}, (b)_{0}^{2}$, relatifs à ces points, constituent un système de lacets fondamentaux;
comme il n'y a pas d'autres lacets dans le plan, il n'y a pas
de cycle, et, par conséquent, pas de période. On en conclut que l'intégrale
\[
V = \int_{0}^{z} u\, dz
\]
est une fonction algébrique de~$z$.

L'équation transformée
\[
z'^{7} v^{3} - 3z'^{3} v + 2 = 0
\]
a ses trois racines infinies et du degré~$\frac{7}{3}$ pour $z' = 0$; mais comme il ne
doit pas y avoir de période polaire, il est certain que, dans le développement
de~$v$, le coefficient~$H$ sera nul, ce qu'il est facile de vérifier
\DPPageSep{228.png}{220}
directement; le point~$O'$ est donc un point critique algébrique par rapport
à la fonction~$V$ qui acquiert autour de ce point trois valeurs infinies
du degré~$\frac{4}{3}$ se permutant circulairement; la somme des ordres négatifs
de la fonction~$V$ étant égale à~$-4$, l'équation entre $V$~et~$z$, qui est du
troisième degré en~$V$, est du quatrième degré en~$z$.

Par un changement de variable, on a immédiatement
\[
V = uz - \int_{0}^{u} z\, du = uz - \frac{3u^{2}}{4} + \frac{u^{4}}{8}.
\]
L'élimination de~$u$ donne l'équation cherchée
\[
64 V^{3} + 144 V^{2} - 27 (8z^{2} - 3)V + 27 z^{2}(2z^{2} - 1) = 0.
\]

Prenons, comme second exemple, l'équation
\[
u^{3} - 3zu + z^{3} = 0,
\]
dont nous nous sommes occupés au \no{45}. Dans le plan, il y a quatre
points critiques $a, b, c, O$, auxquels correspondent quatre lacets binaires
$(a)_{0}^{1}, (b)_{0}^{2}, (c)_{0}^{1}, (O)_{1}^{2}$; si l'on forme avec les deux premiers un
système de lacets fondamentaux, les deux autres donneront deux cycles
simples et, par conséquent, deux périodes
\[
\omega_{1} = a_{0}^{1} + c_{1}^{0},\quad
\omega_{2} = a_{0}^{1} + O_{1}^{2} + b_{2}^{0}.
\]

L'équation transformée
\[
z'^{9} v^{3} - 3z'^{4} v + 1 = 0
\]
a ses trois racines infinies et du troisième degré pour $z' = 0$; si l'on
pose $v = wz'^{-3}$, l'équation devient
\[
w^{3} + 1 - 3wz' = 0.
\]
Les trois racines de cette dernière équation sont holomorphes dans le
voisinage du point $z' = 0$, et représentées par la série
\[
w = -\alpha - \frac{z'}{\alpha} + \frac{\alpha z'^{3}}{3} + \ldots,
\]
\DPPageSep{229.png}{221}
dans laquelle $\alpha$~désigne l'une quelconque des racines de l'équation $\alpha^{3} = 1$;
on en déduit
\[
v = -\frac{\alpha}{z'^{3}} - \frac{1}{\alpha z'^{2}} + \frac{\alpha}{3} + \ldots;
\]
le coefficient~$H$ est nul; il n'y a pas de période polaire, et le point~$O'$
est pôle du second degré par rapport à chacune des branches de la
fonction~$V$. D'après cela, l'intégrale relative au lacet~$(O')$ sur la sphère,
ou au circuit correspondant dans le plan, donne une quantité nulle,
quelle que soit la racine prise comme valeur initiale. En supposant
que le rayon du circuit passe entre les points $c$~et~$a$, on en déduit les
trois relations
\[
a_{0}^{1} + c_{1}^{0} = 0,\quad
a_{1}^{0} + b_{0}^{2} + O_{2}^{1} = 0,\quad
b_{2}^{0} + c_{0}^{1} + O_{1}^{2} = 0,
\]
qui se réduisent à deux, puisque la somme des trois premiers membres
est identiquement nulle; il en résulte que les deux périodes $\omega_{1}$~et~$\omega_{2}$
sont nulles. Ainsi la fonction~$V$ n'a que des points singuliers algébriques
sur toute la sphère, et à chaque valeur de~$z$ correspondent seulement
trois valeurs de~$V$; donc $V$~est une fonction algébrique de~$z$. La
somme des ordres négatifs de la fonction~$V$ étant égale à~$-6$, l'équation
entre $V$~et~$z$, qui est du troisième degré par rapport à~$V$, est du
sixième degré par rapport à~$z$.

On obtient immédiatement la fonction~$V$ en posant
\[
u = zt,\quad
t^{3} = \zeta;
\]
d'où
\begin{gather*}
z = \frac{3t}{1 + t^{3}},\quad
u = \frac{3t^{2}}{1 + t^{3}}, \\
%
V = 9 \int_{0}^{t} \frac{(1 - 2t^{3})t^{2}\, dt}{(1 + t^{3})^{3}}
  = 3 \int_{0}^{\zeta} \frac{(1 - 2\zeta)\, d\zeta}{(1 + \zeta)^{3}}
  = -\frac{9}{2(1 + \zeta)^{2}} + \frac{6}{1 + \zeta} - \frac{3}{2}.
\end{gather*}
L'élimination de~$z$ donne l'équation cherchée
\[
8(V + \tfrac{3}{2})^{3} - 12(V + \tfrac{3}{2})^{2}
    - 12z^{3} (V + \tfrac{3}{2}) + z^{6} + 16z^{3} = 0.
\]
\DPPageSep{230.png}{222}


\Chapitre{II}{Propriétés des Fonctions $X$ et $Y$}

\Paragraph{137.} Soit $u = f(z)$ une fonction holomorphe de la variable imaginaire
$z = x + yi$ dans une certaine étendue du plan; si l'on pose
\[
u = X + Yi,
\]
on obtient deux fonctions réelles $X$~et~$Y$ des deux variables réelles et
indépendantes $x$~et~$y$; ces deux fonctions jouissent de propriétés particulières
dont nous avons dit quelques mots au commencement de cet
Ouvrage. La fonction proposée ayant une dérivée, nous avons vu que
\begin{gather*}
f'(z) = \frac{\dd u}{\dd x} = -i \frac{\dd u}{\dd y}, \\
f'(z) =     \frac{\dd X}{\dd x} + i \frac{\dd Y}{\dd x}
  = -i\left(\frac{\dd X}{\dd y} + i \frac{\dd Y}{\dd y}\right),
\end{gather*}
et nous en avons conclu que les deux fonctions $X$~et~$Y$ admettent des
dérivées partielles satisfaisant aux deux relations
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd X}{\dd x} =  \frac{\dd Y}{\dd y},\quad
\frac{\dd X}{\dd y} = -\frac{\dd Y}{\dd x}.
\]

Nous savons que la fonction~$f'(z)$ est holomorphe dans la même
étendue que la fonction proposée; il en résulte que les fonctions $\dfrac{\dd X}{\dd x}$,
$\dfrac{\dd X}{\dd y}$, $\dfrac{\dd Y}{\dd x}$, $\dfrac{\dd Y}{\dd y}$ admettent elles-mêmes des dérivées partielles, et, par conséquent,
que les deux fonctions $X$~et~$Y$ admettent des dérivées partielles
\DPPageSep{231.png}{223}
du deuxième ordre. Comme on~a
\begin{gather*}
f''(z)
  =    \frac{\dd^{2} u}{\dd x^{2}}
  = -i \frac{\dd^{2} u}{\dd x\, \dd y}
  = -  \frac{\dd^{2} u}{\dd y^{2}}, \\
%
f''(z)
  =  \frac{\dd^{2} X}{\dd x^{2}} + i \frac{\dd^{2} Y}{\dd x^{2}}
  = -i\left(\frac{\dd^{2} X}{\dd x\, \dd y} + i\frac{\dd^{2} Y}{\dd x\, \dd y}\right)
  = -\frac{\dd^{2} X}{\dd y^{2}} - i \frac{\dd^{2} Y}{\dd y^{2}},
\end{gather*}
ces dérivées partielles satisfont aux quatre relations
\begin{alignat*}{3}
\frac{\dd^{2} X}{\dd x^{2}}
  &= &&\frac{\dd^{2} Y}{\dd x\, \dd y}
  &&= - \frac{\dd^{2}X}{\dd y^{2}}, \\
%
\frac{\dd^{2} Y}{\dd x^{2}}
  &= - &&\frac{\dd^{2} X}{\dd x\, \dd y}
  &&= - \frac{\dd^{2} Y}{\dd y^{2}}.
\end{alignat*}

La fonction~$f''(z)$ étant aussi holomorphe, les dérivées partielles du
deuxième ordre admettent des dérivées partielles du premier ordre, et,
par conséquent, les deux fonctions $X$~et~$Y$ admettent des dérivées partielles
du troisième ordre, et ainsi de suite indéfiniment.

On a, d'une manière générale,
\begin{align*}%[** TN: Set on one line in original]
f^{n}(z) &= \frac{\dd^{n} u}{\dd x^{n}}
  = -i \frac{\dd^{n} u}{\dd x^{n-1} \,\dd y}
  = -\frac{\dd^{n} u}{\dd x^{n-2}\, \dd y^{2}}
  = i \frac{\dd^{n} u}{\dd x^{n-3}\, \dd y^{3}} \\
  &= \frac{\dd^{n} u}{\dd x^{n-4}\, \dd y^{4}} = \ldots
  = (-i)^{n} \frac{\dd^{n} u}{\dd y^{n}}\DPtypo{;}{.}
\end{align*}
On en déduit les $2n$~relations linéaires et homogènes
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd^{n} X}{\dd x^{n}}
  &= \frac{\dd^{n} Y}{\dd x^{n-1}\, \dd y}
   = -\frac{\dd^{n} X}{\dd x^{n-2}\, \dd y^{2}}
   = -\frac{\dd^{n} Y}{\dd x^{n-3}\, \dd y^{3}}
   = \frac{\dd^{n} X}{\dd x^{n-4}\, \dd y^{4}} = \ldots, \\
%
\frac{\dd^{n} Y}{\dd x^{n}}
  &= -\frac{\dd^{n} X}{\dd x^{n-1}\, \dd y}
   = -\frac{\dd^{n} Y}{\dd x^{n-2}\, \dd y^{2}}
   = \frac{\dd^{n} X}{\dd x^{n-3}\, \dd y^{3}}
   = \frac{\dd^{n} Y}{\dd x^{n-4}\, \dd y^{4}} = \ldots
\end{aligned}
\right.
\]
entre les $2n$~dérivées partielles de l'ordre~$n$ des deux fonctions $X$~et~$Y$,
relations qui permettent d'exprimer ces $2n$~dérivées au moyen de deux
d'entre elles, par exemple de~$\dfrac{\dd^{n}X}{\dd x^{n}}$ et de~$\dfrac{\dd^{n}X}{\dd x^{n-1}\, \dd y}$.

\Paragraph{138.} Considérons les deux courbes représentées par les équations
$X = 0$, $Y = 0$. Soit $z_{0}$ une valeur de~$z$ qui annule la fonction~$f(z)$.
\DPPageSep{232.png}{224}
Nous avons démontré que cette racine est d'un degré fini et entier~$n$
de multiplicité; elle annule la fonction~$f(z)$ et ses $n-1$~premières
dérivées, mais pas la suivante; d'après les relations~\Eq{(2)}, toutes les dérivées
partielles des fonctions $X$~et~$Y$ seront nulles jusqu'à l'ordre $n-1$
inclusivement. On en conclut qu'un point racine d'ordre~$n$ de la fonction
holomorphe~$f(z)$ est un point multiple d'ordre~$n$ de chacune des
courbes $X = 0$, $Y = 0$.

Réciproquement, si un point commun aux deux courbes $X = 0$,
$Y = 0$ est multiple d'ordre~$n$ de l'une d'elles, il est multiple du même
ordre dans l'autre; car si toutes les dérivées partielles de l'une des
fonctions $X$~et~$Y$ sont nulles jusqu'à l'ordre $n-1$ inclusivement, en
vertu des relations~\Eq{(2)}, celles de l'autre sont aussi nulles jusqu'au même
ordre. Ce point multiple, commun aux deux courbes, est une racine
de degré~$n$ de la fonction~$f(z)$.

Cherchons maintenant les tangentes en ce point multiple. La fonction~$f(z)$
est développable en une série
\[
f(z) =  f^{n}(z_{0}) \frac{(z - z_{0})^{n}}{1·2\cdots n}
  + f^{n + 1}(z_{0}) \frac{(z - z_{0})^{n + 1}}{1·2\cdots(n + 1)} + \ldots,
\]
ordonnée suivant les puissances entières de~$z - z_{0}$, et convergente
dans un cercle ayant le point~$z_{0}$ pour centre. Si l'on pose
\[
z - z_{0} = \rho e^{\theta i},
\]
cette série devient
\[
f(z) =  f^{n}(z_{0}) \frac{\rho^{n} e^{n\theta i}}{1·2\cdots n}
  + f^{n + 1}(z_{0}) \frac{\rho^{n + 1} e^{(n + 1)\theta i}}{1·2\cdots(n + 1)}
  + \ldots;
\]
on en déduit
\begin{align*}
X &= \frac{\rho^{n}}{1·2\cdots n}
    \left(\frac{\dd^{n} X_{0}}{\dd x_{0}^{n}} \cos n\theta
        - \frac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}} \sin n\theta\right) + \ldots, \\
%
Y &= \frac{\rho^{n}}{1·2\cdots n}
    \left(\frac{\dd^{n} X_{0}}{\dd x_{0}^{n}} \sin \DPtypo{}{n}\theta
        + \frac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}} \cos n\theta\right) + \ldots.
\end{align*}

Les tangentes au point multiple commun aux deux courbes $X = 0$,
\DPPageSep{233.png}{225}
$Y = 0$ sont données par les équations
\[
\tang n\theta  =  \frac{\ \dfrac{\dd^{n} X_{0}}{\dd x_{0}^{n}}\ }
                     {\dfrac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}}},\quad
\tang n\theta' = -\frac{\ \dfrac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}}\ }
                       {\dfrac{\dd^{n} X_{0}}{\dd \DPtypo{y}{x}_{0}^{n}}}
  = \tang \left(n\theta + \frac{\pi}{2}\right),
\]
d'où l'on déduit
\[
\theta  = \frac{\alpha}{n} + \frac{k\pi}{n},\quad
\theta' = \theta + \frac{\pi}{2n},
\]
$k$~étant un nombre entier quelconque. Chacune de ces équations admettant
$n$~racines simples, on en conclut que chacune des courbes $X = 0$,
$Y = 0$ comprend $n$~branches réelles passant au point commun; les
tangentes aux $n$~branches d'une même courbe forment une rose des
vents, et les rayons de l'une sont les bissectrices des angles de l'autre.

Ce que nous avons dit s'applique évidemment aux deux courbes $X = a$,
$\DPtypo{X}{Y} = b$; il suffit de substituer à la fonction~$f(z)$ la fonction $f(z) -a - bi$.

Si l'on remplace~$f(z)$ par $f(z)(1 + i)$, et si l'on pose
\[
X_{1} + Y_{1}i = (X + Yi)(1 + i),
\]
d'où
\[
X_{1} = X - Y,\quad
Y_{1} = X + Y,
\]
on obtient deux nouvelles courbes $X_{1} = 0$, $Y_{1} = 0$, qui jouissent des
mêmes propriétés que les précédentes; le point~$z_{0}$ est aussi un point
multiple de chacune d'elles et de l'ordre~$n$. Les tangentes à la première
sont données par l'équation
\begin{gather*}
\tang n\theta''
  = \frac{\ \dfrac{\dd^{n} X_{0}}{\dd x_{0}^{n}}
        - \dfrac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}}\ }
         {\dfrac{\dd^{n} X_{0}}{\dd x_{0}^{n}}
        + \dfrac{\dd^{n} Y_{0}}{\dd x_{0}^{n}}}
  = \tang \left(n\theta' + \frac{\pi}{4}\right), \\
%
\theta'' = \theta' + \frac{\pi}{4n};
\end{gather*}
les roses des vents relatives à ces deux courbes coïncident avec les bissectrices
des angles des deux premières réunies.

\Paragraph{139.} Le module~$R$ et l'argument~$\phi$ de la fonction~$f(z)$ peuvent être
\DPPageSep{234.png}{226}
regardés aussi comme des fonctions réelles des deux variables indépendantes
$x$~et~$y$. Comme on~a
\[
\log R + \phi i = \log f(z),
\]
et que $\log f(z)$ est une fonction holomorphe de~$z$ dans toute portion
de l'aire ne comprenant aucune racine de~$f(z)$, les deux fonctions
$\log R$~et~$\phi$ jouissent des mêmes propriétés que les fonctions $X$~et~$Y$. On
a donc les relations
\[
\frac{\dd \log R}{\dd x} =  \frac{\dd \phi}{\dd y},\quad
\frac{\dd \log R}{\dd y} = -\frac{\dd \phi}{\dd x},
\]
d'où
\[
\frac{\dd^{2} \log R}{\dd x^{2}} + \frac{\dd^{2} \log R}{\dd y^{2}} = 0,\quad
\frac{\dd^{2} \phi}{\dd x^{2}} + \frac{\dd^{2} \phi}{\dd y^{2}} = 0;
\]
et, d'une manière générale,
\begin{align*}
\frac{\dd^{n} \log R}{\dd x^{n}} &= \frac{\dd^{n} \phi}{\dd x^{n-1}\, \dd y}
  = -\frac{\dd^{n} \log R}{\dd x^{n-2}\, \dd y^{2}}
  = -\frac{\dd^{n} \phi}{\dd x^{n-3}\, \dd y^{3}}
  \DPtypo{+}{=} \frac{\dd^{n} \log R}{\dd x^{n-4}\, \dd y^{4}}
  = \ldots, \\
%
\frac{\dd^{n} \phi}{\dd x^{n}} &= -\frac{\dd^{n} \log R}{\dd x^{n-1}\, \dd y}
  = -\frac{\dd^{n} \phi}{\dd x^{n-2}\, \dd y^{2}}
  =  \frac{\dd^{n} \log R}{\dd x^{n-3}\, \dd y^{3}}
  =  \frac{\dd^{n} \phi}{\dd x^{n-4}\, \dd y^{4}}
  =  \ldots.
\end{align*}

Les courbes $R = a$ ou $\log R = \log a$ et $\phi = b$ jouissent des mêmes
propriétés que les courbes $X = a$, $Y = b$; un point multiple d'ordre~$n$
de l'une d'elles appartient à l'autre au même ordre; chaque courbe
comprend $n$~branches réelles passant en ce point, et tangentes aux
rayons d'une rose des vents; en outre, les tangentes à l'une des courbes
sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à l'autre.
Il en résulte que les tangentes en un point commun simple sont
rectangulaires. Ainsi les courbes d'égal module et celles d'égal argument
se coupent orthogonalement.

\Paragraph{140.} Considérons en particulier une fonction entière du degré~$m$
\[
u = f(z) = A_{0} z^{m} + A_{1} z^{m-1} + \ldots;
\]
si l'on pose
\[
z = re^{\theta i},\quad
A_{0} = a_{0} e^{\alpha_{0}i},\quad
A_{1} = a_{1} e^{\alpha_{1}i}, \ldots,
\]
on~a
\[
f(z) = a_{0} r^{m} e^{(m\theta + \alpha_{0})i}
     + a_{1} r^{m-1} e^{\bigl[(m-1)\theta + \alpha_{1}\bigr]i} + \ldots,
\]
\DPPageSep{235.png}{227}
d'où
\begin{align*}
X &= a_{0} r^{m} \cos (m\theta + \alpha_{0})
   + a_{1} r^{m-1} \cos \bigl[(m - 1)\theta + \alpha_{1}\bigr] + \ldots, \\
Y &= a_{0} r^{m} \sin (m\theta + \alpha_{0})
   + a_{1} r^{m-1} \sin \bigl[(m - 1)\theta + \alpha_{1}\bigr] + \ldots;
\end{align*}
les polynômes $X$~et~$Y$ sont ordonnés ainsi par rapport aux puissances
décroissantes de $x$~et~$y$. En égalant à zéro les termes du degré~$m$, on
obtient les directions des asymptotes; ces directions sont données par
les équations
\[
\cos (m\theta  + \alpha_{0}) = 0,\quad
\sin (m\theta' + \alpha_{0}) = 0,
\]
d'où
\[
\theta' = -\frac{\alpha_{0}}{m} + \frac{k\pi}{m},\quad
\theta  =  \theta' + \frac{\pi}{2m}.
\]
Les racines de ces équations étant simples, on en conclut que chacune
des courbes $X = 0$, $Y = 0$ admet $m$~asymptotes à chacune desquelles
correspondent deux branches réelles; les parallèles menées par un
point arbitraire du plan aux asymptotes d'une même courbe forment
une rose des vents, et les rayons de l'une sont bissectrices des angles
de l'autre.

En transportant l'origine au point $z_{0} = -\dfrac{A_{1}}{mA_{0}}$, on fait disparaître
du polynôme~$f(z)$ le terme du degré~$m - 1$; les polynômes $X$~et~$Y$ ne
contenant plus alors de termes du degré~$m - 1$, les asymptotes passent
par la nouvelle origine. On conclut de là que les asymptotes aux deux
courbes $X = 0$, $Y = 0$ passent par le même point~$z_{0}$ où elles forment
deux roses des vents bissectrices l'une de l'autre.

\Paragraph{141.} Nous avons remarqué (\no{87}) que, lorsqu'une fonction est
holomorphe dans une partie du plan, à contour simple, la connaissance
des valeurs de la fonction, sur le contour ou sur une courbe intérieure
infiniment voisine, détermine complétement la fonction dans cette
partie du plan. On reconnaît sans peine, ainsi que l'a observé Lejeune-Dirichlet,
qu'une fonction, holomorphe dans un cercle, est déterminée
complétement lorsqu'on connaît les valeurs de l'une des fonctions $X$~et~$Y$
sur la circonférence, et la valeur de l'autre en un point intérieur.
En effet, toute fonction~$f(z)$, holomorphe dans un cercle dont l'origine
\DPPageSep{236.png}{228}
est le centre, est développable en une série entière
\[
\Tag{(1)}
f(z) = (a_{0} + b_{0}i) + (a_{1} + b_{1}i)z + (a_{2} + b_{2}i)z^{2} + \ldots,
\]
convergente dans ce cercle. Si l'on pose $z = re^{\theta i}$, $r$~étant plus petit que
le rayon~$R$ du cercle, on~a
\begin{align*}
\Tag{(2)}
X &= a_{0}
   + (a_{1} \cos  \theta - b_{1} \sin  \theta)r
   + (a_{2} \cos 2\theta - b_{2} \sin 2\theta)r^{2} + \ldots, \\
%
\Tag{(3)}
Y &= b_{0}
   + (a_{1} \sin  \theta + b_{1} \cos  \theta)r
   + (a_{2} \sin 2\theta + b_{2} \cos 2\theta)r^{2} + \ldots.
\end{align*}
Supposons que, sur la circonférence~$R$, la fonction réelle~$X$ soit égale
à une fonction réelle donnée~$\phi(\theta)$, qui reste finie, quand l'angle~$\theta$
varie de~$0$ à~$2\pi$, mais qui peut être discontinue en certains points.
Cette fonction~$\phi(\theta)$ est développable en une série trigonométrique
\[
\Tag{(4)}
\phi(\theta) = \alpha_{0}
  + (\alpha_{1} \cos  \theta + \beta_{1} \sin  \theta)
  + (\alpha_{2} \cos 2\theta + \beta_{2} \sin 2\theta) + \ldots,
\]
dont les coefficients sont donnés par les intégrales
\[
\llap{$\alpha_{0} =$} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \phi(\theta)\, d\theta,\quad
\alpha_{m} = \frac{1}{\pi}  \int_{0}^{2\pi} \phi(\theta) \cos m\theta\, d\theta,\quad
\beta_{m}  = \frac{1}{\pi}  \int_{0}^{2\pi} \phi(\theta) \sin m\theta\, d\theta,
\]
et ont des valeurs finies et déterminées. Pour que la fonction~$X$ sur la
circonférence~$R$ soit égale à la fonction~$\phi(\theta)$, il faut que l'on ait
\[
\Tag{(5)}
a_{0} = \alpha_{0},\quad
a_{1} = \frac{\alpha_{1}}{R},\quad
b_{1} = -\frac{\beta_{1}}{R},\quad
a_{2} = \frac{\alpha_{2}}{R^{2}},\quad
b_{2} = -\frac{\beta_{2}}{R^{2}}, \ldots,
\]
et la fonction cherchée sera représentée par la série
\[
\Tag{(6)}
f(z) = (\alpha_{0} + b_{0}\DPnote{** [sic] b, not \beta} i)
     + (\alpha_{1} - \beta_{1} i) \frac{z}{R}
     + (\alpha_{2} - \beta_{2} i) \frac{z^{2}}{R^{2}} + \ldots,
\]
qui est convergente dans le cercle~$R$. Cette série renferme encore une
constante arbitraire~$b_{0}$; on la déterminera en donnant la valeur de la
fonction~$Y$ en un point intérieur. Les fonctions $X$~et~$Y$ sont alors connues
dans tout le cercle; mais il est possible que la fonction~$Y$ n'ait pas
une valeur finie en tous les points de la circonférence.
\DPPageSep{237.png}{229}

Supposons, par exemple, que, sur la circonférence de rayon un, la
fonction~$X$ ait la valeur~$\dfrac{\pi}{4}$, quand $\theta$~varie de~$0$ à~$\pi$, et la valeur~$-\dfrac{\pi}{4}$,
quand $\theta$~varie de~$\pi$ à~$2\pi$, et que, pour $z = 0$, $Y$~soit nulle; on aura
\[
\phi(\theta)
  = \sin \theta + \frac{1}{3} \sin 3\theta + \frac{1}{5} \sin 5\theta + \ldots,
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(7)}
f(z) = -i\left(\frac{z}{1} + \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} + \ldots\right).
\]
Sur la circonférence, la fonction~$Y$ est infinie pour $\theta = 0$ et $\theta = \pi$.

Considérons l'intégrale définie
\begin{align*}
\int_{0}^{z} \frac{dz}{1 + z}
  &= \int_{0}^{z} \left(1 - z + z^{2} \ldots \mp z^{n-1} ± \frac{z^{n}}{1 + z}\right) dz \\
  &= \frac{z}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} \ldots
     \mp \frac{z^{n}}{n} ± \int_{0}^{z} \frac{z^{n}}{1 + z}\, dz,
\end{align*}
qui est égale à la fonction $\log(1 + z)$ s'annulant pour $z = 0$. Si l'on
astreint la variable~$z$ à rester dans le cercle de rayon un, et si l'on
intègre suivant un rayon aboutissant à un point de la circonférence
différent du point $z = -1$, le dernier terme tend vers zéro, quand $n$~augmente
indéfiniment. On en conclut que la série
\[
\frac{z}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \ldots
\]
est encore convergente sur la circonférence, excepté pour $z = -1$,
et a pour somme~$\log(1 + z)$.

On verra de même que la série
\[
-\left(\frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} + \ldots\right)
\]
est convergente sur la circonférence, excepté au point $z = 1$, et a pour
somme $\log(1 - z)$, ce qui justifie la remarque faite au \no{50}. Il en
\DPPageSep{238.png}{230}
résulte que la série~\Eq{(7)} est convergente sur la circonférence, excepté
aux points $z = ±1$, et a pour somme $-\dfrac{i}{2} \log \dfrac{1 + z}{1 - z}$.

Sur la circonférence, on~a
\[
\frac{1 + z}{1 - z}
  = \frac{1 + \cos \theta + i \sin \theta}{1 - \cos \theta - i \sin \theta}
  = i \cot \frac{\theta}{2},
\]
et, quand $\theta$~varie de~$0$ à~$\pi$,
\[
f(z) = -\frac{i}{2} \log \left(i \cot \frac{\theta}{2}\right)
  = \frac{\pi}{4} - \frac{i}{2} \Log \cot \frac{\theta}{2};
\]
en comparant avec la série~\Eq{(7)}, on en déduit
\begin{gather*}
\frac{\pi}{4}
  = \sin \theta + \frac{1}{3} \sin 3\theta + \frac{1}{5} \sin 5\theta + \ldots, \\
\frac{1}{2} \Log \cot \frac{\theta}{2}
  = \cos \theta + \frac{1}{3} \cos 3\theta + \frac{1}{5} \cos 5\theta + \ldots.
\end{gather*}
\DPPageSep{239.png}{231}


\Chapitre[Fonctions Doublement Périodiques]
{III}{Propriétés Générales des Fonctions Doublement Périodiques}

\Section{Des périodes}

\Paragraph{142.} Dans le \Ref{2.4}{chapitre~IV du Livre~II} nous avons montré comment,
à l'aide des quatre fonctions~$\theta$, qui se déduisent d'une même fonction~$\Theta$,
on peut former des fonctions méromorphes doublement périodiques,
et nous avons figuré cette propriété par la division du plan en
parallélogrammes égaux construits sur les deux périodes. D'une manière
générale, nous dirons qu'une fonction~$f(z)$ admet les deux périodes
$\omega$~et~$\omega'$, lorsqu'on~a
\[
f(z + \omega) = f(z),\quad
f(z + \omega') = f(z),
\]
et, par suite,
\[
f(z + m\omega + m'\omega') = f(z),
\]
$m$~et~$m'$ étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Nous supposerons que l'on n'a pas $f\left(z + \dfrac{\omega}{n}\right) = f(z)$, $n$~étant un nombre
entier, sans quoi on remplacerait la période~$\omega$ par la période plus
petite~$\dfrac{\omega}{n}$; nous supposerons de même que l'on n'a pas $f\left(z + \dfrac{\omega'}{n}\right) = f(z)$.

Remarquons d'abord que le rapport des deux périodes est imaginaire.
Car, si le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ était réel et égal à une fraction ordinaire
irréductible~$\dfrac{n'}{n}$, on aurait
\[
m\omega + m'\omega' = \frac{(mn - m'n') \omega}{n}.
\]
\DPPageSep{240.png}{232}
\DPtypo{on}{On} pourrait déterminer les deux nombres entiers $m$~et~$m'$ de manière
que $mn + m'n' = 1$; il en résulterait
\[
m\omega + m'\omega' = \frac{\omega}{n},
\]
et, par suite,
\[
f\left(z + \frac{\omega}{n}\right) = f(z),
\]
ce qui est contraire à l'hypothèse.

Si le rapport $\dfrac{\omega'}{\omega}$ était incommensurable, en le supposant converti en
fraction continue, il serait compris entre deux réduites consécutives $\dfrac{p}{q}, \dfrac{p'}{q'}$,
dont la différence est~$\dfrac{1}{qq'}$; on pourrait donc le représenter par $\dfrac{p}{q} + \dfrac{h}{qq'}$,
$h$~étant un nombre compris entre $-1$~et~$+1$, et l'on aurait
\[
m\omega + m'\omega'
  = \left(\frac{mq + m'p}{q} + \frac{m'h}{qq'}\right) \omega,
\]
et, en faisant $m = -p$, $m' = q$,
\[
m\omega + m'\omega' = \frac{h\omega}{q'},\quad
f\left(z + \frac{h\omega}{q'}\right) = f(z).
\]
La fonction aurait la même valeur au point~$z$ et au point infiniment
voisin $z + \dfrac{h\omega}{q'}$. Appelons~$u$ la valeur de la fonction~$f(z)$ au point~$z$; il
serait impossible de décrire du point~$z$ comme centre un cercle ne
comprenant aucune racine de la fonction~$f(z) - u$, autre que le
point~$z$, ce qui ne peut pas être (\no{115}).

Le rapport des périodes étant imaginaire, les arguments des périodes
$\omega, \omega'$ déterminent deux directions différentes, et l'on pourra
diviser le plan en un réseau de parallélogrammes égaux (\Figref{67}),
dont les sommets correspondent aux valeurs $m\omega + m'\omega'$ de la variable~$z$
(\no{76}). La fonction reprend la même valeur aux points homologues
de ces différents parallélogrammes. Si, à l'intérieur du premier
\DPPageSep{241.png}{233}
parallélogramme, celui qui a pour sommets l'origine et les trois points $\omega,
\omega', \omega + \omega'$, il n'y a aucun point~$\omega''$ tel que l'on ait $f(z + \omega'') = f(z)$,
\Fig[2.75in]{67}
nous dirons que le réseau formé sur les deux périodes $\omega, \omega'$ est un réseau
\emph{élémentaire}.

\Paragraph{143.} Mais s'il existe un ou plusieurs points jouissant de cette propriété,
on pourra construire un réseau à mailles plus petites. Remarquons
d'abord que le nombre de ces points est limité; car, s'il y en
avait une infinité, l'équation $f(z) - u_{0} = 0$, dans laquelle $u_{0}$~est la
valeur de~$u$ pour $z = 0$, admettrait une infinité de racines dans le parallélogramme,
ce qui est impossible (\no{117}). Concevons que la
droite~$O\omega$ se meuve parallèlement à elle-même, et soit~$\omega''$ le premier
des points intérieurs dont nous venons de parler qu'elle rencontre;
considérons le réseau construit sur les deux périodes $\omega, \omega''$, et qui,
d'après sa formation même, est un réseau élémentaire; les sommets
du premier réseau appartiennent au second; car, si un sommet du premier
réseau ne coïncidait pas avec un sommet du second, il y aurait à
l'intérieur de l'un des parallélogrammes, et par conséquent à l'intérieur
du premier parallélogramme du second réseau, un point~$\omega'''$ tel
que $f(z + \omega''') = f(z)$, ce qui est impossible.

Il résulte de ce qui précède que toutes les périodes d'une fonction
monotrope se réduisent à une ou à deux périodes distinctes. Dans
le premier cas, elles sont de la forme~$m\omega$; dans le second cas, de la
forme $m\omega + m'\omega'$, $m$~et~$m'$ désignant des nombres entiers quelconques,
et le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ étant imaginaire.
\DPPageSep{242.png}{234}

\Section{Transformation des périodes}

\Paragraph{144.} Lorsque la fonction admet deux périodes distinctes, il y a une
infinité de manières de former un réseau élémentaire. Il est évident
d'abord, d'après ce que nous venons de dire, que les sommets de deux
réseaux élémentaires coïncident. Soient $\omega, \omega'$ les deux périodes d'un
premier réseau élémentaire, $\omega_{1}, \omega'_{1}$ celles d'un second. Les sommets $\omega_{1},
\omega'_{1}$ du second réseau appartenant au premier, on~a
\[
\omega_{1}  = p\omega + p'\omega',\quad
\omega'_{1} = q\omega + q'\omega',
\]
$p, p', q, q'$ étant des nombres entiers. Les sommets $\omega, \omega'$ du premier
réseau appartenant au second, les valeurs de~$\omega$ et de~$\omega'$ tirées de ces
relations doivent avoir la même forme, ce qui exige que les nombres $p,
p', q, q'$ vérifient la relation $pq' - qp'= ±1$, et cette condition est suffisante.
Cette relation admettant une infinité de solutions, on en conclut
que l'on peut remplacer le système des deux périodes $\omega, \omega'$ par une
infinité de systèmes équivalents.

Remarquons que deux réseaux élémentaires sont formés de parallélogrammes
équivalents; car, si l'on pose
\[
\omega  = a  + b i,\quad
\omega' = a' + b'i,
\]
l'aire du premier parallélogramme est $±(ab' - ba')$, celle du second
\[
±\bigl[(pa + p'a')(qb + q'b') - (pb + p'b')(qa + q'a')\bigr]
  = ±(pq' - qp')(ab' - ba').
\]

\Paragraph{145.} La manière la plus simple de transformer un réseau élémentaire
en un autre réseau élémentaire consiste à prendre
\[
\omega_{1}  =  \omega,\quad
\omega'_{1} = q\omega + \omega',
\]
$q$~étant un nombre entier quelconque. Les deux parallélogrammes ont
alors un côté commun~$O\omega$ (\Figref{68}) et les côtés opposés au côté
commun sont sur une même droite.

On peut toujours, par une série de transformations de cette sorte,
\DPPageSep{243.png}{235}
passer d'un réseau élémentaire~$(\omega, \omega')$ à un autre réseau élémentaire
\[
\omega_{1}  = p\omega + p'\omega',\quad
\omega'_{1} = q\omega + q'\omega',\quad
pq' - qp' = ±1.
\]
Si $p$~est plus grand que~$p'$ en valeur absolue, divisons $p$ par~$p'$, et soit
\Fig[3in]{68}
$p = mp'+ p''$; posons $q = mq' + q''$, la relation $pq' - qp'= ±1$ devient
$p''q' - q''p' = ±1$, et l'on~a
\begin{align*}
\omega_{1}  &= p'(\omega' + m\omega) + p''\omega = p'\omega'' + p''\omega, \\
\omega'_{1} &= q'(\omega' + m\omega) + q''\omega = q'\omega'' + q''\omega,
\end{align*}
en appelant~$\omega''$ la nouvelle période $\omega' + m\omega$. Divisons de même $p'$
par~$p''$, et soit $p' = m'p'' + p'''$; posons $q' = m'q'' + q'''$, nous aurons
\begin{align*}
\omega_{1}  &= p''(\omega + m'\omega'') + p'''\omega''
  = p''\omega''' + p'''\omega'', \\
\omega_{1}' &= q''(\omega + m'\omega'') + q'''\omega''
  = q''\omega''' + q'''\omega'',
\end{align*}
en appelant~$\omega'''$ la nouvelle période $\omega + m'\omega''$. Après un certain nombre
de transformations pareilles, on aura
\begin{align*}
\omega_{1}  &= p^{(n-1)}\omega^{(n)} + p^{(n)}\omega^{(n-1)}, \\
\omega'_{1} &= q^{(n-1)}\omega^{(n)} + q^{(n)}\omega^{(n-1)},
\end{align*}
les coefficients satisfaisant à la relation $p^{(n-1)}q^{(n)} - q^{(n-1)}p^{(n)} = ±1$. Les
deux nombres $p$~et~$p'$ étant premiers entre eux, on arrivera à un
reste~$p^{(n-1)}$ égal à l'unité; le reste suivant~$p^{(n)}$ étant nul, la relation précédente
donne $q^{(n)} = ±1$, et l'on~a
\[
\omega_{1}  =  \omega^{(n)},\quad
\omega'_{1} = ±\omega^{(n-1)} + q^{(n-1)}\omega^{(n)}.
\]
\DPPageSep{244.png}{236}

\Section{Fonctions intermédiaires}

\Paragraph{146.} Certaines fonctions simplement périodiques, telles que $e^{z}, \sin z,
\cos z$, restent holomorphes dans toute l'étendue du plan; telle est aussi
la fonction~$e^{\sin z}$. Mais il n'existe pas de fonction doublement périodique
holomorphe dans un parallélogramme élémentaire, et par conséquent
dans toute l'étendue du plan; car, si la fonction était holomorphe dans
un parallélogramme élémentaire, son module serait moindre qu'une
quantité fixe~$M$ dans ce parallélogramme, et par conséquent dans tout
le plan, et la fonction serait constante (\no{126}). La fonction~$\Theta$ appartient
à une classe de fonctions sur lesquelles M.~Hermite a appelé l'attention
des géomètres et dont il a démontré les principales propriétés
(Lettre à Jacobi, 1844; \textit{{\OE}uvres de Jacobi} et \textit{Cours de l'École Polytechnique}).
Ces fonctions, intermédiaires entre les fonctions simplement
périodiques et les fonctions doublement périodiques, sont holomorphes
dans toute l'étendue du plan, et jouissent des propriétés suivantes:
\[
\Tag{(1)}
f(z + \omega)  = e^{a z + b }f(z),\quad
f(z + \omega') = e^{a'z + b'}f(z).
\]
Nous verrons qu'on les exprime toutes à l'aide de la fonction~$\Theta$.

Remarquons d'abord que, si l'on remplace dans l'une et l'autre des
relations précédentes~$z$ par $z + \omega'$ ou par $z + \omega$, on~a
\[
\frac{f(z + \omega + \omega')}{f(z)}
  = e^{(a + a')z + a\omega' + b + b'}
  = e^{(a + a')z + a'\omega + b + b'},
\]
ce qui exige que les deux constantes $a$~et~$a'$ satisfassent à la relation
\[
\Tag{(2)}
a\omega' - a'\omega = 2n\pi i,
\]
$n$~étant un nombre entier quelconque.

Concevons le plan divisé, comme précédemment, en un réseau de
parallélogrammes égaux. Il est évident que, si $z_{1}$~est un zéro de la
fonction, toutes les valeurs de~$z$ représentées par la formule
\[
z = z_{1} + m\omega + m'\omega',
\]
\DPPageSep{245.png}{237}
dans laquelle $m$~et~$m'$ sont des nombres entiers quelconques, sont aussi
des zéros de la fonction; ces zéros sont des points homologues des
divers parallélogrammes. En répétant ici le raisonnement du \no{124},
on démontre que le nombre des zéros compris dans chaque parallélogramme
est égal à~$n$; c'est ce que nous appellerons l'\emph{ordre} de la
fonction.

On ramène la recherche de ces fonctions à celles des fonctions de
même sorte, mais qui admettent la période~$\omega$. Posons, en effet,
\[
\Tag{(3)}
f(z) = e^{Az^{2} + Bz}\phi(z),
\]
$A$~et~$B$ étant des constantes arbitraires; la fonction~$\phi(z)$ jouit des
mêmes propriétés, car on~a
\[
\phi(z + \omega) = e^{(a - 2A\omega)z + b - A\omega^{2} - B\omega} \phi(z).
\]
Si l'on choisit les constantes $A$~et~$B$ de manière que
\[
a - 2A\omega = 0,\quad
b - A\omega^{2} - B\omega = 0,
\]
d'où
\[
A = \frac{a}{2\omega},\quad
B = \frac{b}{\omega} - \frac{a}{2},
\]
la fonction admettra la période~$\omega$, et l'on aura
\[
\phi(z + \omega')
  = e^{-\efrac{2n\pi zi}{\omega}
      + \efrac{a\omega'(\omega - \omega')}{2\omega}
      + \efrac{b'\omega - b\omega'}{\omega}} \phi(z).
\]

\Paragraph{147.} Il s'agit donc de trouver une fonction holomorphe~$\phi(z)$ jouissant
des propriétés
\[
\Tag{(4)}
\phi(z + \omega) = \phi(z),\quad
\phi(z + \omega') = e^{-\efrac{2n\pi zi}{\omega} + b}\, \phi(z).
\]
Cette fonction, étant holomorphe dans tout le plan et admettant la
période~$\omega$, est développable en une série
\[
\Tag{(5)}
\phi(z) = \sum_{m = -\infty}^{m = +\infty} A_{m} e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}},
\]
ordonnée suivant les puissances entières, positives ou négatives, de
\DPPageSep{246.png}{238}
l'exponentielle~$e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}}$, et convergente dans tout le plan (\no{99}). Si l'on
remplace~$z$ par~$z + \omega'$, cette série devient
\[
%[** TN: \textstyle sums in original]
\phi(z + \omega') = \sum A_{m} e^{2m\pi\rho i}\, e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}},
\]
$\rho$~désignant le rapport $\dfrac{\omega'}{\omega}$. Mais la seconde des relations~\Eq{(4)} donne
\[
\phi(z + \omega')
  = \sum A_{m} e^{b}\, e^{\efrac{2(m - n)\pi zi}{\omega}}
  = \sum A_{m + n} e^{b}\, e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}}.
\]
De la comparaison des deux séries précédentes, on déduit
\[
\Tag{(6)}
A_{m + n} = A_{m}e^{2m\pi\rho i - b}.
\]
Tous les coefficients de la série pourront donc s'exprimer à l'aide des $n$~coefficients
$A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n-1}$, qui restent arbitraires.

Dans le cas où $n = 0$, l'équation~\Eq{(6)} se réduit à $A_{m}(e^{2m\pi\rho i - b} - 1) = 0$;
tous les coefficients sont nuls, excepté un, par exemple~$A_{m}$, et l'on~a
$b = 2m\pi\rho i$, $\phi(z) = A_{m}e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}}$; ainsi la fonction de l'espèce considérée,
qui n'a pas de zéro, est une exponentielle.

Dans le cas où $n = 1$, la relation~\Eq{(6)} devient
\[
A_{m+1} = A_{m} e^{2m\pi\rho i - b}.
\]
En donnant à $m$~successivement les valeurs $0, 1, 2, \ldots, m-1$, et multipliant
ces égalités membre à membre, on trouve
\[
A_{m} = A_{0} e^{m(m-1)\pi\rho i - mb},
\]
et, par suite,
\[
\phi(z) = A_{0} \sum_{m = -\infty}^{m = +\infty}
  e^{\efrac{\pi i}{\omega} \bigl[2m(z - z_{1}) + m^{2}\omega'\bigr]}
  = A_{0} \Theta(z - z_{1}),
\]
en posant $z_{1} = \dfrac{\omega'}{2} + \dfrac{b\omega}{2\pi i}$. On retrouve ainsi la fonction~$\Theta$; c'est la
seule fonction de l'espèce considérée qui n'ait qu'un seul zéro dans
le parallélogramme~$(\omega, \omega')$.
\DPPageSep{247.png}{239}

Avec cette fonction~$\Theta$, on peut former toutes les autres. Considérons
en effet la fonction
\[
\psi(z) = \prod_{h = 1}^{h = n}
  \Theta\left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z - a_{h}\right),
\]
qui a $n$~zéros donnés $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ dans le parallélogramme~$(\omega, \omega')$, et
qui satisfait à des relations de la forme~\Eq{(4)}; si la fonction~$\phi(z)$ admet
les mêmes zéros, la fonction holomorphe $\dfrac{\phi(z)}{\psi(z)}$, n'ayant pas de zéros,
et satisfaisant à des relations de même forme, est une exponentielle
$Ce^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}}$, dans laquelle $m$~est un nombre entier arbitraire; on a donc
\[
\Tag{(7)}
\phi(z) = Ce^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \prod_{h = 1}^{h = n}
  \Theta \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z - a_{h}\right),
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(8)}
f(z) = Ce^{Az^{2} + Bz} \prod_{h = 1}^{h = n}
  \Theta \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z - a_{h}\right),
\]
$A, B, C$ étant des constantes arbitraires. Telle est l'expression générale
des fonctions intermédiaires de l'ordre~$n$; elles renferment $n + 3$~constantes
arbitraires, savoir les $n$~zéros et les trois coefficients $A, B, C$.
C'est à l'aide de ces fonctions holomorphes que l'on forme les fonctions
doublement périodiques; car, si l'on considère deux fonctions intermédiaires
satisfaisant aux mêmes relations~\Eq{(1)}, et, par conséquent, du
même ordre, à cause de la relation~\Eq{(2)}, leur quotient sera une fonction
méromorphe doublement périodique. Nous allons maintenant étudier
en elles-mêmes les fonctions doublement périodiques.

\Paragraph{148.} \begin{Théorème}{I}
La somme des résidus d'une fonction méromorphe
doublement périodique, dans chaque parallélogramme élémentaire,
est nulle.
\end{Théorème}

Soit $f(z)$ une fonction méromorphe admettant les deux périodes $\omega, \omega'$.
Considérons un parallélogramme, rectiligne ou curviligne, ayant pour
sommets $z_{0}, z_{0} + \omega, z_{0} + \omega', z_{0} + \omega + \omega'$, et dont le contour ne
\DPPageSep{248.png}{240}
passe par aucun pôle. Nous savons (\no{120}) que l'intégrale
\[
\frac{1}{2\pi i} \int f(z)\, dz,
\]
relative à ce contour, est égale à la somme des résidus de la fonction~$f(z)$
relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Les côtés
opposés du parallélogramme donnant dans l'intégrale des résultats
égaux et de signes contraires, l'intégrale définie et, par conséquent,
la somme des résidus, est nulle.

\Paragraph{149.} \begin{Théorème}{II}
Toute fonction méromorphe doublement périodique
admet au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire.
\end{Théorème}

Comme nous l'avons déjà remarqué (\no{146}), la fonction devient
nécessairement infinie dans chaque parallélogramme élémentaire et,
par conséquent, puisqu'elle est supposée méromorphe, elle admet un
ou plusieurs pôles dans ce parallélogramme. Si tous les pôles $\alpha, \beta, \ldots$
sont simples, la fonction pourra se mettre sous la forme
\[
f(z) = \frac{A}{z - \alpha} + \frac{B}{z - \beta} + \ldots + f_{1}(z),
\]
$f_{1}(z)$~étant holomorphe dans le parallélogramme (\no{118}); les résidus
relatifs aux pôles sont $A, B, \ldots$; puisque la somme $A + B + \ldots$ des résidus
est nulle, il est nécessaire qu'il y ait au moins deux pôles dans
le parallélogramme. Mais, au lieu de deux pôles simples, il peut y avoir
un pôle double; dans ce cas, on aura
\[
f(z) = \frac{A}{(z - \alpha)^{2}} + f_{1}(z),
\]
le résidu étant nul.

\Paragraph{150.} \begin{Corollaire}
Deux fonctions intermédiaires du premier ordre,
satisfaisant aux mêmes relations
\[
f(z + \omega ) = e^{a z + b } f(z),\quad
f(z + \omega') = e^{a'z + b'} f(z),
\]
sont dans un rapport constant.
\end{Corollaire}
Autrement ce rapport serait une fonction
\DPPageSep{249.png}{241}
doublement périodique n'ayant qu'un infini dans chaque parallélogramme
$(\omega, \omega')$. C'est d'ailleurs ce que l'on peut vérifier directement
à l'aide de la formule~\Eq{(8)}, qui représente ce genre de fonctions.

Il en résulte que les fonctions~$\theta$ sont, abstraction faite d'un facteur
constant, les seules qui jouissent des propriétés établies au \no{75},
savoir:
\[
\makebox[\textwidth][c]{%
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
\Tag{(9)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3}(z + \omega) &= \theta_{3}(z), \\
\theta_{3}(z + \omega') &= e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \theta_{3}(z),
\end{aligned}
\right. \\
\Tag{(10)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{2}(z + \omega) &= -\theta_{2}(z), \\
\theta_{2}(z + \omega') &= e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \theta_{2}(z),
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{0.52\textwidth}
\begin{align*}
\Tag{(11)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta(z + \omega) &= \theta(z), \\
\theta(z + \omega') &= -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \theta(z),
\end{aligned}
\right. \\
\Tag{(12)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{1}(z + \omega) &= -\theta_{1}(z), \\
\theta_{1}(z + \omega') &= -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \theta_{1}(z).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
\end{minipage}
}
\]

\Paragraph{151.} \begin{Théorème}{III}
La somme des ordres d'une fonction méromorphe
doublement périodique, dans chaque parallélogramme élémentaire,
est nulle.
\end{Théorème}

D'après le théorème du \no{122}, la somme des ordres de la fonction~$f(z)$
dans un parallélogramme est égale à l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \Diff \log f(z)\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme; la fonction $\Diff \log f(z) = \dfrac{f'(z)}{f(z)}$,
admettant les deux périodes $\omega, \omega'$, comme la fonction proposée~$f(z)$ et
sa dérivée~$f'(z)$, les parties de l'intégrale relatives aux côtés opposés
sont égales et de signes contraires. Ainsi l'intégrale définie, et, par
conséquent, la somme des ordres de la fonction~$f(z)$, est nulle.

\begin{CorollaireUp}
Appelons~$n$ le nombre des infinis de la fonction~$f(z)$
dans un parallélogramme élémentaire, en tenant compte du
degré de multiplicité de chacun d'eux; le nombre des zéros sera aussi~$n$.
\end{CorollaireUp}
La fonction doublement périodique $f(z) - u$, dans laquelle nous regardons
$u$~comme une constante, ayant les mêmes infinis que~$f(z)$, a
aussi $n$~zéros; on en conclut que, dans chaque parallélogramme, il
y a $n$~points où la fonction proposée~$f(z)$ acquiert une valeur donnée
quelconque~$u$. D'après cela, nous caractérisons l'ordre d'une fonction
doublement périodique par le nombre de ses infinis dans chaque parallélogramme;
l'ordre est au moins égal à deux. Les trois fonctions
\DPPageSep{250.png}{242}
elliptiques $\lambda, \mu, \nu$, que nous avons formées à l'aide des quatre fonctions~$\theta$
(\no{76}), ont chacune deux infinis dans chacun des parallélogrammes
du réseau; ce sont des fonctions du second ordre et les
réseaux, tels que nous les avons construits, sont bien des réseaux élémentaires.

La dérivée~$f'(z)$ admet les deux périodes $\omega, \omega'$. Le réseau construit
sur ces deux périodes est aussi un réseau élémentaire de la fonction~$f'(z)$;
car si, dans le premier parallélogramme, il y avait un point~$\omega''$ tel que l'on
eût $f'(z + \omega'') = f'(z)$, la fonction $f(z + \omega'') - f(z)$, ayant sa dérivée
nulle, serait une constante~$A$, et l'on aurait $f(z + m\omega'') - f(z) = mA$;
mais, comme on a ici $\omega' = m'\omega + m\omega''$, la constante~$A$ serait nulle, et
l'on aurait $f(z + \omega'') = f(z)$. Soit $p$~le degré d'un infini de la fonction~$f(z)$;
la dérivée~$f'(z)$ admet le même infini au degré~$p + 1$;
l'ordre de la dérivée est donc égal à $\sum (p + 1) = n + n_{1}$, $n_{1}$~désignant
le nombre des infinis distincts; il est égal, au moins à~$n + 1$, au plus
à~$2n$.

\Paragraph{152.} \begin{Théorème}{IV}
Deux fonctions méromorphes doublement périodiques,
aux mêmes périodes, et qui, dans un parallélogramme élémentaire,
ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré,
sont dans un rapport constant.
\end{Théorème}

Le rapport des deux fonctions proposées est une fonction doublement
périodique, aux mêmes périodes. Ces deux fonctions ayant les
mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré, leur rapport
reste holomorphe; c'est donc une constante (\no{146}).

\Paragraph{153.} \begin{Théorème}{V}
Si l'on considère les zéros et les infinis d'une
fonction méromorphe doublement périodique qui sont situés dans un même
parallélogramme élémentaire, la somme des zéros ne diffère de celle des
infinis que par des multiples des périodes.
\end{Théorème}

Soit $f(z)$~une fonction méromorphe doublement périodique aux périodes
$\omega, \omega'$, ayant $n$~zéros $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ et $n$~infinis $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ dans
un même parallélogramme élémentaire. On peut trouver dans ce parallélogramme
un point~$a'_{1}$ tel que l'excès de la somme $\alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$
sur la somme $a'_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}$ soit de la forme~$m\omega' + m'\omega$.  Considérons
\DPPageSep{251.png}{243}
la fonction
\[
\phi(z) = e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}}
  \frac{\theta_{1}(z - a'_{1})\theta_{1}(z - a_{2})\ldots \theta_{1}(z - a_{n})}
       {\theta_{1}(z - \alpha_{1})\theta_{1}(z - \alpha_{2})\ldots
        \theta_{1}(z - \alpha_{n})},
\]
qui admet évidemment la période~$\omega$. Quand on y remplace~$z$ par~$z + \omega'$,
le numérateur et le dénominateur étant multipliés respectivement par
\[
(-1)^{n} e^{-\efrac{\pi i}{\omega}
    \bigl[2nz - 2(a'_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}) + n\omega'\bigr]},\quad
(-1)^{n} e^{-\efrac{\pi i}{\omega}
    \bigl[2nz - 2(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}) + n\omega'\bigr]},
\]
la fonction~$\phi(z)$ est multipliée par
\[
e^{\efrac{2\pi i}{\omega}
  \bigl[m\omega' + (a'_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n})
   - (\alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n})\bigr]},
\]
c'est-à-dire par~$1$; elle admet donc aussi la période~$\omega'$. D'ailleurs elle
a dans le parallélogramme les zéros $a'_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ et les infinis $\alpha_{1},
\alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$. Je dis maintenant que $a_{1} = a'_{1}$; car, si cela n'avait pas lieu, le
rapport~$\dfrac{f(z)}{\phi(z)}$ serait une fonction doublement périodique n'ayant qu'un
infini~$a'_{1}$ dans le parallélogramme, ce qui est impossible (\no{149}). Ainsi
les zéros et les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire
satisfont à la relation
\[
\Tag{(13)}
\sum \alpha_{h} - \sum a_{h} = m\omega' + m'\omega.
\]
Ce théorème important est dû à M.~Liouville.

\Paragraph{154.} \begin{Théorème}{VI}
Il existe une fonction méromorphe doublement
périodique ayant des périodes données et admettant dans un parallélogramme
élémentaire $n$~zéros et $n$~infinis donnés, tels que la somme des
zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.
\end{Théorème}

Soient $\omega, \omega'$ les périodes données, $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ les zéros, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$
les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire; nous
supposons que ces zéros et ces infinis satisfont à la relation
\[
\sum \alpha_{h} - \sum a_{h} = m\omega' + m'\omega,
\]
$m$~et~$m'$ étant deux nombres entiers. Nous avons vu que la fonction
\[
\phi(z) = A e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}} \prod_{h = 1}^{h = n}
  \frac{\theta_{1}(z - a_{h})}{\theta_{1}(z - \alpha_{h})},
\]
\DPPageSep{252.png}{244}
dans laquelle le coefficient~$A$ est arbitraire, jouit de toutes les propriétés
énoncées; en vertu du théorème~IV, c'est la seule. On déterminera
le coefficient~$A$ en donnant la valeur de la fonction pour une valeur
particulière de la variable.

\Paragraph{155.} \begin{Théorème}{VII}
La somme des $n$~valeurs de la variable qui,
dans un même parallélogramme élémentaire, correspondent à une même
valeur de la fonction, est constante, abstraction faite des multiples des périodes.
\end{Théorème}

Soient $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ les $n$~infinis de la fonction doublement périodique~$f(z)$
dans un parallélogramme élémentaire; la fonction~$f(z) - u$,
dans laquelle nous regardons~$u$ comme une constante, ayant les mêmes
infinis que~$f(z)$, a aussi $n$~zéros $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ dans le parallélogramme;
en vertu du théorème~V, la somme $z_{1} + z_{2} + \ldots + z_{n}$ de ces $n$~valeurs
de~$z$ ne diffère de la somme $\alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$ des infinis que de multiples
des périodes.

\begin{Corollaire}[I]
Une fonction doublement périodique du second
ordre, dont les infinis sont $\alpha$~et~$\beta$, satisfait à la relation
\[
\Tag{(14)}
f(\alpha + \beta - z) = f(z).
\]
\end{Corollaire}

Soit $f(z)$~une fonction doublement périodique du second ordre, aux
périodes $\omega, \omega'$, et ayant les deux infinis $\alpha$~et~$\beta$; à chaque valeur de la
fonction correspondent dans un même parallélogramme deux valeurs
$z_{1}$~et~$z_{2}$, dont la somme $z_{1} + z_{2}$ ne diffère de la somme $\alpha + \beta$ des
infinis que de multiples des périodes; on a donc
\[
z_{1} + z_{2} = \alpha + \beta + m\omega + m'\omega';
\]
d'où
\[
z_{2} = \alpha + \beta - z_{1} + m\omega + m'\omega',
\]
et, par suite,
\[
f(\alpha + \beta - z_{1}) = f(z_{1}),
\]
et cette relation a lieu, quelle que soit la valeur de~$z_{1}$.

La fonction~$\lambda(z)$, aux périodes $2\omega, \omega'$, ayant les infinis $\dfrac{\omega'}{2}$, $\omega - \dfrac{\omega'}{2}$,
\DPPageSep{253.png}{245}
satisfait à la relation $\lambda(\omega - z) = \lambda(z)$, qui d'ailleurs est une conséquence
de la relation $\lambda(z + \omega) = -\lambda(z)$ (\no{76}).

\Paragraph{156.} \begin{Corollaire}[II]
La dérivée d'une fonction doublement périodique
du second ordre, aux périodes $\omega, \omega'$, et ayant deux infinis
simples $\alpha$~et~$\beta$, admet les quatre zéros $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$,
$\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$.
\end{Corollaire}

Il est des cas où l'on aperçoit immédiatement certains zéros et certains
infinis de la fonction. Considérons d'abord une fonction satisfaisant
à la relation, $f(c - z) = -f(z)$, dans laquelle $c$~est une constante. En
faisant $z = \dfrac{c}{2}$, on a $f\left(\dfrac{c}{2}\right) = -f\left(\dfrac{c}{2}\right)$; d'où l'on conclut que la valeur~$\dfrac{c}{2}$
rend la fonction nulle ou infinie. En faisant $z = \dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, on a de même
$f\left(\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}\right) = -f\left(\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}\right)$; d'où l'on conclut que la valeur $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}$ rend
aussi la fonction nulle ou infinie; on peut en dire autant de $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$ et de
$\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$. Ainsi les quatre valeurs $\dfrac{c}{2}$, $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$
sont des zéros ou des infinis de la fonction. La somme des autres zéros
deux à deux, et de même celle des infinis, est égale à~$c$; car, les fonctions
$f(z)$~et~$f(c - z)$ admettant les mêmes zéros et les mêmes infinis,
si $a$~est un zéro, $c - a$~est aussi un zéro, et, de même, si $\alpha$~est un
infini, $c - \alpha$~est aussi un infini. Une fonction impaire rentre dans cette
catégorie; il suffit de faire $c = 0$.

Considérons, en second lieu, une fonction satisfaisant à la relation
$f(c - z) = f(z)$. Les zéros et les infinis de cette fonction ont encore,
deux à deux, une somme égale à~$c$. La dérivée satisfaisant à la
relation $f'(c - z) = -f'(z)$, les quatre valeurs $\dfrac{c}{2}$, $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{c}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$,
$\dfrac{c}{2}+ \dfrac{\omega + \omega'}{2}$ sont des zéros ou des infinis de la fonction~$f'(z)$. Une fonction
paire rentre dans cette catégorie; il suffit de faire $c = 0$.

Nous avons vu qu'une fonction doublement périodique du second
ordre satisfait à la relation, $f(\alpha + \beta - z) = f(z)$; il en résulte que les
quatre valeurs $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, attribuées
\DPPageSep{254.png}{246}
à~$z$, rendent la dérivée~$f'(z)$ nulle ou infinie. Si la fonction~$f(z)$ a deux
infinis simples $\alpha$~et~$\beta$, la dérivée, ayant les deux infinis doubles $\alpha$~et~$\beta$, est
du quatrième ordre; ses quatre zéros sont les quatre valeurs précédentes.
Si la fonction a un infini double~$\alpha$, la dérivée, ayant l'infini triple~$\alpha$, est
du troisième ordre; ses trois zéros sont $\alpha + \dfrac{\omega}{2}$, $\alpha + \dfrac{\omega'}{2}$, $\alpha + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$.

\Paragraph{157.} \begin{Théorème}{VIII}
Les trois fonctions elliptiques satisfont aux
deux relations
\begin{alignat*}{2}
\Tag{(15)}
\mu^{2}(z) &+ \lambda^{2}(z) &&= 1, \\
\Tag{(16)}
\nu^{2}(z) &+ k^{2}\lambda^{2}(z) &&= 1.
\end{alignat*}
\end{Théorème}

Les quatre fonctions~$\theta^{2}(z)$ sont des fonctions intermédiaires du
second ordre, ayant chacune un zéro double dans le parallélogramme
$(\omega, \omega')$, et satisfaisant aux relations
\[
\phi(z + \omega) = \phi(z),\quad
\phi(z + \omega') = e^{-\efrac{2\pi i}{\omega} (2z + \omega')}\, \phi(z).
\]
Les fonctions paires
\[
\theta_{2}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{2}^{2}(z),\quad
\theta_{3}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{3}^{2}(z)
\]
satisfont aux mêmes relations et admettent le zéro double $z = 0$,
comme la fonction~$\theta_{1}^{2}(z)$; car leurs dérivées, étant impaires, s'annulent
pour $z = 0$; ces deux fonctions sont dans des rapports constants
avec la fonction~$\theta_{1}^{2}(z)$; autrement ces rapports seraient des fonctions
doublement périodiques, n'ayant pas d'infinis. On a donc
\begin{align*}
\theta_{2}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{2}^{2}(z)
  &= A\theta_{1}^{2}(z), \\
\theta_{3}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{3}^{2}(z)
  &= B\theta_{1}^{2}(z).
\end{align*}
On détermine les constantes $A$~et~$B$ en faisant $z = \dfrac{\omega'}{2}$, ce qui donne
\[
A = \theta_{3}^{2}(0),\quad
B = \theta_{2}^{2}(0),
\]
et l'on obtient les deux relations
\begin{align*}
\Tag{(17)}
\theta_{2}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{2}^{2}(z)
  &= \theta_{3}^{2}(0)\theta_{1}^{2}(z), \\
\Tag{(18)}
\theta_{3}^{2}(0)\theta^{2}(z) - \theta^{2}(0)\theta_{3}^{2}(z)
  &= \theta_{2}^{2}(0)\theta_{1}^{2}(z),
\end{align*}
desquelles on déduit les deux relations cherchées.
\DPPageSep{255.png}{247}

Si dans l'équation~\Eq{(16)} on fait $z = \dfrac{\omega}{2}$ et si l'on remarque que $\nu(\dfrac{\omega}{2}) = k'$
(\no{77}), on trouve que les deux constantes $k$~et~$k'$ vérifient la relation
\[
\Tag{(19)}
k^{2} + k'^{2} = 1.
\]

\Paragraph{158.} \begin{Théorème}{IX}
Une fonction méromorphe $u = f(z)$, doublement
périodique et du second ordre, satisfait à une équation différentielle
de la forme
\[
\Tag{(20)}
\frac{du}{dz} = \sqrt{A + Bu + Cu^{2} + Du^{3} + Eu^{4}},
\]
le polynôme sous le radical étant du troisième ou du quatrième degré.
\end{Théorème}

Lorsque la fonction~$u$ a deux infinis simples $\alpha$~et~$\beta$, sa dérivée~$u'$,
ayant deux infinis doubles $\alpha$~et~$\beta$, est du quatrième ordre; si $\omega$~et~$\omega'$
sont les périodes, les quatre zéros de la dérivée sont, comme nous
l'avons vu (\no{156}), $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$.
La fonction~$u'^{2}$ est du huitième ordre; elle a deux infinis quadruples
$\alpha$~et~$\beta$, et les quatre zéros précédents, mais chacun au second degré.
Considérons la fonction
\begin{align*}
\phi(z) = &\left[f(z) - f \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right]
  \left[f(z) - f\DPtypo{}{\left(}\frac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega}{2}\right)\right] \\
  &\left[f(z) - f \left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\omega'}{2}\right)\right]
   \left[f(z) - f \left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)\right],
\end{align*}
qui admet les mêmes infinis quadruples $\alpha$~et~$\beta$. Le premier facteur
s'annule pour $z = \dfrac{\alpha + \beta}{2}$; cette valeur est un zéro double, car elle
annule la dérivée~$f'(z)$ de ce premier facteur; il en est de même des
autres facteurs. Les deux fonctions doublement périodiques $u'^{2}$~et~$\phi(z)$,
ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré,
sont dans un rapport constant. Dans ce cas, le polynôme placé sous le
radical est du quatrième degré.

Lorsque la fonction~$u$ a un infini double~$\alpha$, sa dérivée~$u'$, ayant un infini
triple, est du troisième ordre: ses trois zéros sont $\alpha + \dfrac{\omega}{2}$, $\alpha + \dfrac{\omega'}{2}$,
\DPPageSep{256.png}{248}
$\alpha + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$. La fonction~$u'^{2}$ est du sixième ordre; elle a un infini sextuple~$\alpha$
et trois zéros doubles. Si l'on considère la fonction
\[
\phi(z) = \left[f(z) - f \left(\frac{\alpha + \omega}{2}\right)\right]
  \left[f(z) - f \left(\frac{\alpha + \omega'}{2}\right)\right]
  \left[f(z) - f \left(\alpha + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)\right],
\]
on verra, comme précédemment, que le rapport des fonctions $u'^{2}$~et~$\phi(z)$
est constant. Dans ce cas, le polynôme placé sous le radical
est du troisième degré.

\Paragraph{159.} \begin{CorollaireUp}
Appliquons ce théorème à la fonction~$\lambda(z)$,
dont les périodes sont $2\omega, \omega'$. On a ici
\begin{gather*}
\alpha = \frac{\omega'}{2},\
\beta  = \omega - \frac{\omega'}{2},\
\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\omega}{2},\quad
\lambda \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = 1,\
\lambda \left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \omega\right) = -1, \\
%
\lambda \left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{k},\quad
\lambda \left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \omega + \frac{\omega'}{2}\right) = -\frac{1}{k},
\end{gather*}
et l'équation différentielle se réduit à
\[
\Tag{(21)}
\frac{d\lambda}{dz}
  = g \sqrt{(1 - \lambda^{2})(1 - k^{2}\lambda^{2})}
  = g \mu \nu.
\]
\end{CorollaireUp}

Des relations établies au \no{157} on déduit en différentiant
\begin{align*}
% [** TN: Large parentheses at outside in original: \left()(\right)]
\Tag{(22)}
\frac{d\mu}{dz} &= -g\lambda\nu
  = -gk' \sqrt{(1 - \mu^{2})\left(1 + \frac{k^{2}}{k'^{2}} \mu^{2}\right)}, \\
\Tag{(23)}
\frac{d\nu}{dz} &= -gk^{2}\lambda\mu
  = gik' \sqrt{(1 - \nu^{2})\left(1 - \frac{1}{k'^{2}} \nu^{2}\right)}.
\end{align*}
En vertu des formules~\Eq{(22)} du \no{77}, on suppose que, dans les équations
précédentes, les radicaux ont la valeur~$+1$, le premier pour $z = 0$,
le second pour $z = \dfrac{\omega}{2}$, le troisième pour $z = \dfrac{\omega + \omega'}{2}$.

L'équation~\Eq{(21)} renferme deux constantes $k$~et~$g$ que l'on appelle, la
première le \emph{module}, la seconde le \emph{multiplicateur} de la fonction elliptique~$\lambda$.
La constante~$k'$, qui satisfait à la relation $k^{2} + k'^{2} = 1$, est le
\emph{module complémentaire}. D'après les formules~\Eq{(17)} du \no{76} et \Eq{(23)}~du
\no{77}, les modules $k$~et~$k'$ ne dépendent que de la constante $q = e^{\efrac{\pi \omega' i}{\omega}}$,
\DPPageSep{257.png}{249}
et par conséquent du rapport des périodes. Quant au multiplicateur~$g$,
on le détermine par la condition
\[
\Tag{(24)}
g = \lambda'(0) = \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta'_{1}(0)}{\theta(0)}
  = \frac{2\pi}{\omega \sqrt{k} \theta(0)}
    \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n-1} (2n - 1) q^{\left(\efrac{2n-1}{2}\right)^{2}},
\]
et l'on remarque que la quantité~$g\omega$ ne dépend aussi que du rapport des
périodes.

\Paragraph{160.} \begin{Théorème}{X}
Si $f(z)$~est une fonction doublement périodique
du second ordre, ayant pour infinis $\alpha$~et~$\beta$, toute fonction doublement
périodique~$F(z)$, aux mêmes périodes, et satisfaisant à la relation
$F(\alpha + \beta - z) = F(z)$, s'exprime rationnellement au moyen de~$f(z)$.
\end{Théorème}

En vertu de la relation $F(\alpha + \beta - z) = F(z)$, si la fonction~$F(z)$
admet un infini~$\alpha_{1}$, elle admet un autre infini $\alpha + \beta - \alpha_{1}$, et de même,
si elle admet un zéro~$a_{1}$, elle admet un autre zéro $\alpha + \beta - a_{1}$. La fonction~$F(z)$
est donc d'ordre pair~$2n$; nous représenterons ses zéros par
\[
%[** TN: Added \quad spaces]
(a_{1}, \alpha + \beta - a_{1}),\quad
(a_{2}, \alpha + \beta - a_{2}), \ldots,\quad
(a_{n}, \alpha + \beta - a_{n});
\]
ses infinis par
\[
(\alpha_{1}, \alpha + \beta - \alpha_{1}),\quad
(\alpha_{2}, \alpha + \beta - \alpha_{2}), \ldots,\quad
(\alpha_{n}, \alpha + \beta - \alpha_{n}).
\]
Considérons la fonction doublement périodique
\[
\phi(z) = \frac{
  \bigl[f(z) - f(a_{1})\bigr] \bigl[f(z) - f(a_{2})\bigr]\ldots \bigl[f(z) - f(a_{n})\bigr]
}{
  \bigl[f(z) - f(\alpha_{1})\bigr] \bigl[f(z) - f(\alpha_{2})\bigr]\ldots \bigl[f(z) - f(\alpha_{n})\bigr]}.
\]
Tous les facteurs deviennent infinis en même temps que~$f(z)$, c'est-à-dire
pour les valeurs $\alpha$~et~$\beta$; chacune de ces valeurs de~$z$ est donc un infini
du degré~$n$ du numérateur et du dénominateur, et la fraction conserve
une valeur finie. Un facteur $f(z) - f(a_{h})$ du numérateur, s'annulant
pour $z = a_{h}$, admet le second zéro $\alpha + \beta - a_{h}$; de même un facteur
$f(z) - f(\alpha_{h})$ du dénominateur admet les deux zéros $\alpha_{h}$~et~$\alpha + \beta - \alpha_{h}$,
qui sont des infinis de la fraction. La fonction~$\phi(z)$ admet les mêmes
zéros et les mêmes infinis que la fonction~$F(z)$, et par conséquent le
rapport des deux fonctions est constant.
\DPPageSep{258.png}{250}

\Paragraph{161.} \begin{Théorème}{XI}
Toute fonction méromorphe doublement périodique
s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second
ordre, aux mêmes périodes, et de sa dérivée.
\end{Théorème}

Soient $u = f(z)$ une fonction du second ordre, aux périodes $\omega, \omega'$,
et ayant pour infinis $\alpha$~et~$\beta$, $F(z)$~une fonction de l'ordre~$n$ aux mêmes
périodes, et ayant pour infinis $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$. Considérons d'abord la
fonction
\[
\phi(z) = F(z) + F(\alpha + \beta - z),
\]
qui est de l'ordre~$2n$, car elle admet les $2n$~infinis
\[
(\alpha_{1}, \alpha + \beta - \alpha_{1}),\quad
(\alpha_{2}, \alpha + \beta - \alpha_{2}), \ldots,\quad
(\alpha_{n}, \alpha + \beta - \alpha_{n});
\]
elle satisfait à la relation $\phi(\alpha + \beta - z) = \phi(z)$; elle est donc égale à
une fraction rationnelle en~$u$, et l'on a, d'après le théorème précédent,
\[
\Tag{(25)}
\phi(z) = F(z) + F(\alpha + \beta - z) = \frac{M}{L},
\]
$L$~et~$M$ étant des polynômes entiers en~$u$ du degré~$n$.

Considérons ensuite la fonction
\[
\psi(z) = F(z) - F(\alpha + \beta - z),
\]
qui est aussi de l'ordre~$2n$; car elle admet les mêmes infinis que la
fonction~$\phi(z)$; elle satisfait à la relation $\psi(\alpha + \beta - z) = -\psi(z)$, comme
la fonction~$f'(z)$; d'après une remarque du \no{156}, cette fonction admet
les quatre zéros de la fonction~$f'(z)$, savoir $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} +\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega'}{2}$,
$\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$ et $2n - 4$~autres zéros qui, deux à deux, ont une
somme égale à~$\alpha + \beta$. La fonction $\chi(z) = \dfrac{\psi(z)}{f'(z)}$ conserve donc une valeur
finie quand le dénominateur~$f'(z)$ s'annule; elle est aussi de l'ordre~$2n$,
car elle admet les $2n$~infinis de~$\psi(z)$, qui sont les mêmes que
ceux de~$\phi(z)$; ses $2n$~zéros sont les deux infinis doubles $\alpha$~et~$\beta$ de~$f'(z)$
et les $2n - 4$~zéros de~$\psi(z)$, autres que ceux de~$f'(z)$; elle satisfait,
d'ailleurs, à la relation de $\chi(\alpha + \beta - z) = \chi(z)$; on en conclut qu'elle
est égale à une fraction rationnelle~$\dfrac{N}{L}$ en~$u$, dont le dénominateur est le
\DPPageSep{259.png}{251}
même que celui de la fraction précédente et le numérateur du degré~$n - 2$;
on a donc
\[
\Tag{(26)}
\psi(z) = F(z) - F(\alpha + \beta - z) = \frac{Nf'(z)}{L}.
\]

Des deux relations \Eq{(25)}~et~\Eq{(26)} on déduit la relation cherchée
\[
\Tag{(27)}
F(z) = \frac{M + Nf'(z)}{2L}.
\]

Ce théorème est dû à M.~Liouville.

\Paragraph{162.} \begin{CorollaireUp}
Soient $f(z) = \mu(z)$, $F(z) = \mu(nz)$, $n$~étant un
nombre entier. On peut prendre $\alpha = \dfrac{\omega'}{2}$, $\beta = -\dfrac{\omega'}{2}$, d'où $\alpha + \beta = 0$.
Puisque $F(-z) = F(z)$, on conclut, d'après le théorème~X, que $\mu(nz)$
s'exprime par une fraction rationnelle en~$\mu(z)$. De même $\nu(nz)$~s'exprime
par une fraction rationnelle en~$\DPtypo{v}{\nu}(z)$.
\end{CorollaireUp}

Soient maintenant $f(z) = \lambda(z)$, $F(z) = \lambda(nz)$. La somme $\alpha + \beta$ est
égale à~$\omega$. Quand $n$~est impair, comme on a $F(\alpha + \beta - z) = F(z)$, la
fonction~$\lambda(nz)$ s'exprime par une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$. Quand $n$
est pair, comme on a $F(\alpha + \beta - z) = -F(z)$, d'après la relation~\Eq{(26)}
établie au numéro précédent, $\lambda(nz)$~est égale au produit de~$\lambda'(z)$ par
une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$. Nous nous occuperons plus tard de
la détermination de ces fractions rationnelles.

\Paragraph{163.} \SubPar{Fonctions inverses} Considérons l'équation
\[
\Tag{(28)}
f(z) - u = 0,
\]
dans laquelle $f(z)$~est une fonction méromorphe doublement périodique
de l'ordre~$n$, aux périodes $\omega, \omega'$, et où nous regardons~$z$ comme l'inconnue.
A chaque valeur finie ou infinie de~$u$ correspondent $n$~séries
de valeurs de~$z$ de la forme
\[
\Tag{(29)}
z_{1} + m\omega + m'\omega',\quad
z_{2} + m\omega + m'\omega', \ldots,\quad
z_{n} + m\omega + m'\omega',
\]
$m$~et~$m'$ étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Le premier membre de l'équation étant une fonction méromorphe de~$u$
et de~$z$ pour toutes les valeurs finies ou infinies de~$u$ et pour toutes les
\DPPageSep{260.png}{252}
valeurs finies de~$z$, les racines jouissent des propriétés énoncées au
\no{130}. L'équation peut servir à définir une fonction implicite~$z$ de la
variable~$u$; on fera partir la variable du point~$u_{0}$, en attribuant à~$z$ une
valeur initiale~$z_{0}$ qui soit racine simple de l'équation; tant que~$z$ reste
racine simple, elle est fonction holomorphe de~$u$. Supposons que, la
variable~$u$ arrivant au point~$u_{1}$ par un chemin déterminé, $z$~devienne
égale à une racine multiple~$z_{1}$ du degré~$p$; si l'on fait $u = u_{1} + u'$,
$z = z_{1} + z'$, l'équation devient
\[
-u' + f^{p}(z_{1}) \frac{z'^{p}}{1·2\cdots p}
  + f^{p+1}(z_{1}) \frac{z'^{p+1}}{1·2\cdots (p + 1)} + \ldots = 0.
\]
On se trouve ici dans le cas simple examiné au \no{33}: les $p$~racines
voisines de~$z_{1}$ forment un système circulaire, et se permutent les unes
dans les autres, quand la variable~$u$ tourne autour du point~$u_{1}$. Les
mêmes propriétés subsistent quand la variable~$u$ devient infinie; car,
si l'on pose $u = \dfrac{1}{u'}$, le point $u' = 0$ est un point ordinaire ou un point
critique semblable aux précédents. Si donc on figure la variable~$u$ par
le mouvement d'un point sur la sphère, on peut dire que sur toute la
sphère il n'y a pas de points singuliers autres que des points critiques
algébriques.

Les points critiques sont donnés par les équations simultanées
\[
\Tag{(30)}
f(z) - u = 0,\quad f'(z) = 0.
\]
La seconde équation est satisfaite par $n'$~séries de valeurs de~$z$ de la
forme $z_{h} + m\omega + m'\omega'$, auxquelles correspondent $n'$~valeurs de~$u$.
Relativement à la variable~$u$, il y a donc un nombre fini~$n'$ de points
critiques; mais à chacun d'eux se rapportent une infinité de groupes
de racines égales; car, s'il y a un groupe de $p$~racines égales à~$z_{1}$, il y
a un groupe de $p$~racines égales à~$z_{1} + m\omega + m'\omega'$, $m$~et~$m'$ étant des
nombres entiers quelconques.

Quand la variable~$u$, partant du point initial~$u_{0}$, décrit différents
chemins aboutissant à un même point~$u$, la fonction~$z$ acquiert toutes
les valeurs comprises dans les formules~\Eq{(29)}; car, lorsqu'on regarde~$z$
comme la variable, à des chemins allant du point~$z_{0}$ à ces diverses
valeurs correspondent des chemins allant du point~$u_{0}$ au même point~$u$.
\DPPageSep{261.png}{253}
Inversement, lorsque la variable~$u$ décrit ces derniers chemins, la fonction~$z$
décrit les premiers.

\Paragraph{164.} La considération de la fonction inverse permet de démontrer
le théorème~VII sans avoir recours à la formation des fonctions doublement
périodiques à l'aide de la fonction~$\Theta$. La fonction~$\dfrac{1}{f(z) - u}$, dans
laquelle $u$~est une constante, étant doublement périodique, la somme
des résidus de cette fonction relatifs aux pôles $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$, situés dans
un parallélogramme élémentaire, est nulle (\no{148}). L'un de ces résidus
est la limite vers laquelle tend la quantité $\dfrac{z - z_{1}}{f(z) - f(z_{1})}$ quand $z$~tend
vers~$z_{1}$; cette limite est~$\dfrac{1}{f'(z_{1})}$. On obtient ainsi l'équation
\[
\frac{1}{f'(z_{1})} + \frac{1}{f'(z_{2})} + \ldots + \frac{1}{f'(z_{n})} = 0.
\]
Concevons maintenant que $u$~varie d'une manière continue, sans passer
par aucun point critique; chacune des quantités $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ variera
d'une manière continue et sera une fonction holomorphe de~$u$ dans une
certaine étendue; il en est de même de leur somme~$\zeta$. Puisque $\dfrac{dz_{1}}{du} = \dfrac{1}{f'(z_{1})}$,
l'équation précédente devient
\[
\frac{d\zeta}{du}
  = \frac{dz_{1}}{du} + \frac{dz_{2}}{du} + \ldots + \frac{dz_{n}}{du} = 0.
\]
On en conclut que la somme~$\zeta$ reste constante.

Il peut se faire toutefois que, dans leurs variations, un ou plusieurs
des points $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ sortent du parallélogramme où ils étaient
d'abord; en les remplaçant par les points homologues de ce parallélogramme,
on augmente ou on diminue la somme de l'une des périodes.

\Paragraph{165.} \begin{Théorème}{XII}
Une fonction méromorphe doublement périodique~$f(z)$,
aux périodes $2\omega, \omega'$, de l'ordre~$2n$, et qui satisfait à la
relation $f(z + \omega) = -f(z)$, est une fonction linéaire des quantités
$\lambda\left(\dfrac{\omega'}{2} + z - \alpha\right)$, si les infinis~$\alpha$ sont simples, et, en outre, de leurs dérivées
si les infinis sont multiples.
\end{Théorème}
\DPPageSep{262.png}{254}

Considérons le parallélogramme~$ABDC$, dont le sommet~$A$ est un
point arbitraire~$z_{0}$, et les deux sommets $B$~et~$C$ les points $z_{0} + \omega$, $z_{0} + \omega'$.
Soit~$t$ un point situé à l'intérieur. La fonction
\[
\phi(z) = \frac{f(z)}{\lambda(z - t)}
\]
admettant les deux périodes $\omega, \omega'$, la somme de ses résidus dans le
parallélogramme~$ABDC$ est nulle, et l'on a l'équation
\[
\Tag{(31)}
\frac{f(t)}{g} + \sum_{h} \BigRsum_{\alpha_{h}} \phi(z) = 0,
\]
$\alpha_{h}$~étant l'un quelconque des infinis de la fonction~$f(z)$ situés dans le
parallélogramme~$ABDC$, moitié du parallélogramme élémentaire relatif
à cette fonction; l'autre moitié renfermera les infinis~$\alpha_{h} + \omega$.

Lorsque l'infini~$\alpha_{h}$ de la fonction~$f(z)$ est simple, on~a
\[
\BigRsum_{\alpha_{h}} \phi(z) = \frac{A_{h}}{\lambda(\alpha_{h} - t)},
\]
en désignant par~$A_{h}$ le résidu de la fonction~$f(z)$. Si tous les infinis
sont simples, l'équation~\Eq{(31)} devient
\[
f(t) = g \sum_{h = 1}^{h = n} \frac{A_{h}}{\lambda(t - \alpha_{h})}.
\]
Puisque les deux membres changent de signes quand on augmente~$t$
de~$\omega$, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de~$t$. En remplaçant~$t$
par~$z$, on~a
\[
\Tag{(32)}
f(z) = g \sum_{h = 1}^{h = n} \frac{A_{h}}{\lambda(z - \alpha_{h})}.
\]

Supposons maintenant que~$\alpha_{h}$ soit un infini multiple du degré~$p$. En
\DPPageSep{263.png}{255}
posant $z = \alpha_{h} + z'$ et développant en séries, on~a
\begin{gather*}
f(\alpha_{h} + z')
  = \frac{A_{p}^{h}}{z'^{p}}
  + \frac{A_{p-1}^{h}}{z'^{p-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}^{h}}{z'} + \ldots, \\
%
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda(\alpha_{h} - t + z')}
  &= -k\lambda \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h} - z'\right) \\
  &=  k \biggl[-\lambda \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)
    + \frac{z'}{1} \lambda' \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)
    - \ldots \\
  &\qquad + (-1)^{p} \frac{z'^{p-1}}{1·2\cdots (p - 1)}
      \lambda^{(p-1)} \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)
    + \ldots\biggr],
\end{aligned}
\end{gather*}
et l'on trouve pour le résidu cherché
\begin{multline*}
k \biggl[-A_{1}^{h} \lambda \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)
  + \frac{A_{2}^{h}}{1} \lambda' \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)
  - \ldots \\
  + (-1)^{p} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \lambda^{(p-1)} \left(\frac{\omega'}{2} + t - \alpha_{h}\right)\biggr].
\end{multline*}
On obtient ainsi l'équation
\[
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
  f(z) = gk \sum_{h} &\biggl[
    A_{1}^{h}\lambda \left(\frac{\omega'}{2} + z - \alpha_{h}\right)
  - \frac{A_{2}^{h}}{1} \lambda' \left(\frac{\omega'}{2} + z - \alpha_{h}\right)
  + \ldots \\
  &\qquad+ (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \lambda^{(p-1)} \left(\frac{\omega'}{2} + z - \alpha_{h}\right)\biggr],
\end{aligned}
\right.
\]
qui est vraie pour toutes les valeurs de~$z$.

\Paragraph{166.} \begin{Corollaire}[I]
Une puissance impaire de~$\lambda(z)$ est une fonction
linéaire de~$\lambda(z)$ et de ses dérivées d'ordres pairs.
\end{Corollaire}

La fonction~$\lambda^{2n+1}(z)$ change de signe quand on remplace~$z$ par
$z + \omega$; elle n'admet qu'un infini~$\dfrac{\omega'}{2}$ au degré~$2n + 1$ dans le parallélogramme~$(\omega, \omega')$;
on peut donc lui appliquer la formule~\Eq{(33)}. La
fonction
\[
f(\alpha_{h} + z')
  = \lambda^{2n+1} \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = \frac{1}{k^{2n+1} \lambda^{2n+1} (z')}
\]
étant impaire par rapport à~$z'$, son développement en série ne contient
\DPPageSep{264.png}{256}
que des puissances impaires de~$z'$, et l'on~a
\[
\frac{1}{\lambda^{2n+1}(z')}
  = \frac{A_{2n+1}}{z'^{2n+1}}
  + \frac{A_{2n-1}}{z'^{2n-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}}{z'} + \ldots.
\]
On en déduit
\[
\Tag{(34)}
\lambda^{2n+1}(z)
  = \frac{g}{k^{2n}} \left[
    A_{1} \lambda(z) + \frac{A_{3}}{1·2} \lambda''(z) + \ldots
  + \frac{A_{2n+1}}{1·2\cdots 2n} \lambda^{(2n)} (z)\right].
\]
Remarquons que le coefficient~$A_{2n+1}$ est égal à~$\dfrac{1}{g^{2n+1}}$.

Si l'on remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$, il vient
\[
\Tag{(35)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda^{2n + 1}(z)}
  = gk \biggl[A_{1} \lambda \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  &+ \frac{A_{3}}{1·2} \lambda'' \left(z + \frac{\omega'}{2}\right) + \ldots \\
  &+ \frac{A_{2n + 1}}{1·2\cdots 2n}
      \lambda^{(2n)} \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)\biggr].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{167.} \begin{Corollaire}[II]
Une puissance paire de~$\lambda(z)$ est une fonction
linéaire de~$\lambda^{2}(z)$ et de ses dérivées d'ordres pairs.
\end{Corollaire}

La fonction
\[
\phi(z) = \frac{\lambda^{2n}(z)}{\lambda^{2}(z - t)}
\]
admettant les deux périodes $\omega, \omega'$, la somme de ses résidus dans le
parallélogramme~$ABDC$ est nulle. Le résidu relatif à l'infini double
$z = t$ est~$\dfrac{1}{g^{2}} \Diff_{t} \lambda^{2n}(t)$. Pour trouver le résidu relatif à l'infini~$\dfrac{\omega'}{2}$ du
degré~$2n$, nous poserons, comme précédemment, $z = \dfrac{\omega'}{2} + z'$; d'où
\begin{gather*}
\lambda^{2n} \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = \frac{1}{k^{2n} \lambda^{2n}(z')}
  = \frac{1}{k^{2n}} \left[
    \frac{A_{2n}}{z'^{2n}}
  + \frac{A_{2n - 2}}{z'^{2n - 2}} + \ldots
  + \frac{A_{2}}{z'^{2}} + \ldots\right], \\
%
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega'}{2} - t + z'\right)}
  = k^{2} \lambda^{2}(t - z')
  &= k^{2} \biggl[\lambda^{2}(t) - \frac{z'}{1} \Diff_{t} \lambda^{2}(t)
    + \frac{z'^{2}}{1·2} \Diff_{t}^{2} \lambda^{2}(t) - \ldots \\
  &\quad\qquad
    - \frac{z'^{2n - 1}}{1·2\cdots (2n - 1)} \Diff_{t}^{2n-1} \lambda^{2}(t)
    + \ldots\biggr];
\end{aligned}
\end{gather*}
\DPPageSep{265.png}{257}
le résidu est
\[
  -\frac{1}{k^{2n - 2}} \left[
   \frac{A_{2}}{1} \Diff_{t}\lambda^{2}(t)
 + \frac{A_{4}}{1·2·3} \Diff_{t}^{3}\lambda^{2}(t) + \ldots
 + \frac{A_{2n}}{1·2\cdots (2n - 1)} \Diff_{t}^{2n - 1} \lambda^{2}(t)\right],
\]
et l'on a l'équation
\begin{align*}
\Diff_{t}\lambda^{2n}(t)
  = \frac{g^{2}}{k^{2n - 2}} \biggl[
    \frac{A_{2}}{1} \Diff_{t}\lambda^{2}(t)
  &+ \frac{A_{4}}{1·2·3} \Diff_{t}^{3}\lambda^{2}(t) + \ldots \\
  &+ \frac{A_{2n}}{1·2\cdots (2n - 1)} \Diff_{t}^{2n - 1} \lambda^{2}(t)\biggr].
\end{align*}

Concevons maintenant que, après avoir multiplié les deux membres
de cette équation par~$dt$, on intègre en faisant varier~$t$ de~$0$ à~$z$, sans
passer par aucun pôle de~$\lambda(z)$; on aura
\[
\Tag{(36)}
\left\{%[** TN: Added left brace]
\begin{aligned}
\lambda^{2n}(z)
  = \frac{g^{2}}{k^{2n - 2}} \biggl[
    C + \frac{A_{2}}{1} \lambda^{2}(z)
      &+ \frac{A_{4}}{1·2·3} \Diff^{2}\lambda^{2}(z) + \ldots \\
      &+ \frac{A_{2n}}{1·2\cdots (2n - 1)} \Diff^{2n - 2}\lambda^{2}(z)\biggr],
\end{aligned}
\right.
\]
$C$~étant une constante que l'on déterminera par la condition que le
second membre s'annule pour $z = 0$.

En remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$, on en déduit
\[
\Tag{(37)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda^{2n}(z)}
  = g^{2}k^{2} \biggl[
  C &+ \frac{A_{2}}{1} \lambda^{2} \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
   + \frac{A_{4}}{1·2·3} \Diff^{2}\lambda^{2} \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
   + \ldots \\
  &\qquad\qquad+ \frac{A_{2n}}{1·2\cdots (2n - 1)}
     \Diff^{2n - 2}\lambda^{2} \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)\biggr].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{168.} \begin{Théorème}{XIII}
Une fonction méromorphe doublement périodique~$f(z)$,
aux périodes $\omega, \omega'$, est une fonction linéaire des quantités
$\Diff \log \theta_{1}(z - \alpha)$, si les infinis~$\alpha$ sont simples, et, en outre, de leurs dérivées
si les infinis sont multiples.
\end{Théorème}

En vertu des relations \Eq{(10)}~et~\Eq{(11)} du \no{75}, les quatre fonctions
impaires $\Diff \log \theta(z) = \dfrac{\theta'(z)}{\theta(z)}$ admettent la période~$\omega$ et éprouvent un
accroissement constant~$-\dfrac{2\pi i}{\omega}$ quand on remplace~$z$ par~$z + \omega'$; car
chacune d'elles satisfait à la relation
\[
\Diff \log \theta(z + \omega') = -\frac{2\pi i}{\omega} + \Diff \log \theta(z).
\]
\DPPageSep{266.png}{258}
On en déduit
\[
\Diff^{2} \log \theta (z + \omega') = \Diff^{2} \log \theta(z).
\]
Ainsi les quatre fonctions paires $\Diff^{2} \log \theta(z)$ admettent la seconde
période~$\omega'$; ce sont des fonctions méromorphes doublement périodiques
du second ordre, aux périodes $\omega, \omega'$. Chacune d'elles a un infini
double qui est le zéro de la fonction correspondante~$\theta$.

Considérons l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int f(z) \Diff_{z} \log \theta_{1}(z - t)\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme~$ABDC$, dont nous nous sommes
servis dans les numéros précédents, et dans lequel nous marquons toujours
un point~$t$. Les deux côtés~$BD, CA$ donnent des résultats égaux
et de signes contraires. Si $z$~est un point de~$AB$, le point homologue de~$CD$
est~$z + \omega'$, et l'on~a
\[
\Diff_{z} \log \theta_{1}(z - t + \omega')
  = -\frac{2\pi i}{\omega} + \Diff_{z} \log \theta_{1}(z - t);
\]
l'intégrale définie se réduit donc à l'intégrale
\[
\frac{1}{\omega} \int_{z_{0}}^{z_{0} + \omega} f(z)\, dz
\]
suivant le côté~$AB$; nous la représenterons par~$H$.

Cherchons maintenant les résidus de la fonction $f(z) \Diff_{z} \log \theta_{1}(z - t)$
relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Ces pôles sont le
point~$t$ et les infinis~$\alpha_{h}$ de la fonction~$f(z)$. Le résidu relatif au pôle
simple~$t$ est~$f(t)$, puisque le résidu de la fonction $\Diff_{z} \log \theta_{1}(z - t)$ est
égal à l'ordre de la fonction~$\theta_{1}(z - t)$ en ce point (\no{121}), c'est-à-dire
à l'unité. On a donc l'équation
\[
\Tag{(38)}
f(t) - \sum_{h} \BigRsum_{\alpha_{h}} f(z) \Diff_{t} \log \theta_{1}(z - t) = H.
\]

Lorsque l'infini~$\alpha_{h}$ est simple, le résidu cherché est
\[
A_{h} \Diff_{t} \log \theta_{1}(t - \alpha_{h}),
\]
\DPPageSep{267.png}{259}
$A_{h}$~désignant le résidu de~$f(z)$. Si tous les infinis sont simples, l'équation
devient, en remplaçant~$t$ par~$z$,
\[
\Tag{(39)}
f(z) = H
  + \sum_{h = 1}^{h = n} A_{h} \Diff_{z} \log \theta_{1} (z - \alpha_{h}).
\]

Supposons maintenant que la fonction~$f(z)$ ait un infini multiple~$\alpha_{h}$
du degré~$p$. En posant $z = \alpha_{h} + z'$ et développant en série, il vient
\begin{gather*}
f(\alpha_{h} + z')
  = \frac{A_{p}^{h}}{z'^{p}}
  + \frac{A_{p-1}^{h}}{z'^{p-1}} + \ldots
  + \frac{\DPtypo{A_{1}}{A_{1}^{h}}}{z'} + \ldots, \\
%
\begin{aligned}
\Diff_{t} \log \theta_{1} (t - \alpha_{h} - z')
  &= \Diff \log \theta_{1} (t - \alpha_{h})
   - \frac{z'}{1} \Diff^{2} \log \theta_{1} (t - \alpha_{h}) + \ldots \\
  &\qquad
   + (-1)^{p-1} \frac{z'^{p-1}}{1·2\cdots (p - 1)}
     \Diff^{p} \log \theta_{1} (t - \alpha_{h}) + \ldots,
\end{aligned}
\end{gather*}
et le résidu cherché est
\begin{multline*}
A_{1}^{h} \Diff \log \theta_{1} (t - \alpha_{h})
  - \frac{A_{2}^{h}}{1} \Diff^{2} \log \theta_{1} (t - \alpha_{h}) + \ldots \\
  + (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \Diff^{p} \log \theta_{1} (t - \alpha_{h}).
\end{multline*}

On obtient ainsi l'équation
\[
\Tag{(40)}
\left\{
\begin{aligned}
f(z) = H + \sum_{h} &\biggl[
    A_{1}^{h} \Diff \log \theta_{1} (z - \alpha_{h})
  - \frac{A_{2}^{h}}{1} \Diff^{2} \log \theta_{1} (z - \alpha_{h}) + \ldots \\
  &+ (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \Diff^{p} \log \theta_{1} (z - \alpha_{h}) \biggr].
\end{aligned}
\right.
\]

Il est facile de reconnaître que les seconds membres des équations
\Eq{(39)}~et~\Eq{(40)} admettent la période~$\omega'$, grâce à la relation $\sum A_{1}^{h} = 0$
(\no{148}), ce qui démontre que ces équations sont générales.

\Paragraph{169.} \begin{CorollaireUp}
Chacune des fonctions $\dfrac{1}{\lambda^{2}(z)}$, $\dfrac{\mu^{2}(z)}{\lambda^{2}(z)}$, $\dfrac{\nu^{2}(z)}{\lambda^{2}(z)}$ admet
les périodes $\omega, \omega'$, et a un infini double $\alpha = 0$ dans le premier parallélogramme;
ces fonctions étant paires, dans les développements en séries
le coefficient~$A_{1}$ est nul; on a d'ailleurs $A_{2} = \dfrac{1}{g^{2}}$; on obtient ainsi les
\DPPageSep{268.png}{260}
expressions
\[
\Tag{(41)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2}} \bigl[H - \Diff^{2} \log \theta_{1}(z)\bigr], \\
\frac{\mu^{2}(z)}{\lambda^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2}} \bigl[H_{1} - \Diff^{2} \log \theta_{1}(z)\bigr], \\
\frac{\nu^{2}(z)}{\lambda^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2}} \bigl[H_{2} - \Diff^{2} \log \theta_{1}(z)\bigr].
\end{aligned}
\right.
\]
\end{CorollaireUp}

En remplaçant~$z$ par l'une des quantités $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$,
et tenant compte des relations des \nos~\nref{75}~et~\nref{77}, on en déduit
\begin{align*}
\Tag{(42)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda^{2}(z)
  &= \frac{1}{g^{2}k^{2}} \bigl[H - \Diff^{2} \log \theta(z)\bigr], \\
\nu^{2}(z)
  &= \frac{-1}{g^{2}} \bigl[H_{1} - \Diff^{2} \log \theta(z)\bigr], \\
\mu^{2}(z)
  &= \frac{-1}{g^{2}k^{2}} \bigl[H_{2} - \Diff^{2} \log \theta(z)\bigr];
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(43)}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\nu^{2}(z)}{\mu^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2}} \bigl[H - \Diff^{2} \log \theta_{2}(z) \bigr], \\
\frac{\lambda^{2}(z)}{\mu^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2} k'^{2}} \bigl[H_{1} - \Diff^{2} \log \theta_{2}(z)\bigr], \\
\frac{1}{\mu^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2} k'^{2}} \bigl[H_{2} - \Diff^{2} \log \theta_{2}(z)\bigr];
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(44)}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\mu^{2}(z)}{\nu^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2} k^{2}} \bigl[H - \Diff^{2} \log \theta_{3}(z)\bigr], \\
\frac{1}{\nu^{2}(z)}
  &= \frac{-1}{g^{2} k'^{2}} \bigl[H_{1} - \Diff^{2} \log \theta_{3}(z)\bigr], \\
\frac{\lambda^{2}(z)}{\nu^{2}(z)}
  &= \frac{1}{g^{2} k^{2} k'^{2}} \bigl[H_{2} - \Diff^{2} \log \theta_{3}(z)\bigr].
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

On a ainsi les carrés des trois fonctions elliptiques, de leurs réciproques
et de leurs rapports deux à deux, ou, ce qui est la même
chose, les carrés des rapports des quatre fonctions~$\theta$ deux à deux.

On obtient les valeurs des constantes en faisant $z = 0$ dans la première
des équations~\Eq{(42)}, la seconde des équations~\Eq{(43)} et la troisième
des équations~\Eq{(44)}. On trouve
\[
\Tag{(45)}
H = \frac{\theta''(0)}{\theta(0)},\quad
H_{1} = \frac{\theta''_{2}(0)}{\theta_{2}(0)},\quad
H_{2} = \frac{\theta''_{3}(0)}{\theta_{3}(0)}.
\]
\DPPageSep{269.png}{261}

Les deux théorèmes précédents sont dus à M.~Hermite; le dernier
joue dans les questions d'intégration le même rôle que la décomposition
des fractions rationnelles en fractions simples; il permet d'exprimer
l'intégrale d'une fonction doublement périodique quelconque à l'aide
des fonctions $\log \theta_{1}(z - \alpha_{h})$ et de leurs dérivées. On a, par exemple,
\[
\Tag{(46)}
\int_{0}^{z} \lambda^{2}(z)\, dz
  = \frac{1}{g^{2} k^{2}}
    \left[\frac{\theta''(0)}{\theta(0)} z - \Diff \log \theta(z)\right].
\]

%[** TN: Size-dependent page break]
\newpage
\Section{Les fonctions~$\vartheta$}

\Paragraph{170.} Les zéros des quatre fonctions~$\theta$, formées avec les deux constantes
$\omega, \omega'$, sont représentés par les formules
\begin{alignat*}{2}
&\text{zéros de~$\theta_{1}$},\quad &&
  z = m\omega + m'\omega', \\
&\PadTxt{zéros de }{»}\theta_{2},\quad &&
  z = \frac{\omega}{2} + (m\omega + m'\omega'), \\
&\PadTxt{zéros de }{»}\theta,\quad &&
  z = \frac{\omega'}{2} + (m\omega + m'\omega'), \\
&\PadTxt{zéros de }{»}\theta_{3},\quad &&
  z = \frac{\omega + \omega'}{2} + (m\omega + m'\omega'),
\end{alignat*}
où $m$~et~$m'$ désignent deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs
(\no{74}). Les zéros de chacune d'elles sont les sommets d'un réseau
construit sur les périodes $\omega, \omega'$. Imaginons que l'on forme avec deux
autres constantes $\omega_{1}, \omega'_{1}$ quatre nouvelles fonctions~$\theta$ analogues aux précédentes.
Pour que l'une des nouvelles fonctions ait les mêmes zéros que
l'une des premières, il faut que les sommets des deux réseaux correspondants
coïncident, et, par conséquent, que les deux systèmes de
périodes $(\omega, \omega')$, $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ soient équivalents (\no{144}); on doit donc avoir
\[
\Tag{(1)}
\omega_{1}  = a\omega  + b\omega',\quad
\omega'_{1} = a'\omega + b'\omega',
\]
les nombres entiers $a, b, a', b'$ satisfaisant à la relation $ab' - ba' = 1$;
nous prenons le déterminant égal à~$+1$, afin que dans le rapport~$\dfrac{\omega'_{1}}{\omega'}$
\DPPageSep{270.png}{262}
le coefficient de~$i$ soit positif, ce qui est nécessaire pour la formation
des nouvelles fonctions~$\theta$ (\no{73}). On en déduit les formules inverses
\[
\Tag{(2)}
\omega  =  b'\omega_{1} - b\omega'_{1},\quad
\omega' = -a'\omega_{1} + a\omega'_{1}.
\]

Lorsque cette condition est remplie, c'est-à-dire lorsque le système
des deux périodes $\omega_{1}, \omega'_{1}$ est équivalent au système $\omega, \omega'$, les quatre
fonctions~$\theta$ ont respectivement les mêmes zéros. Ceci est évident pour
les deux fonctions désignées par~$\theta_{1}(z)$; comme elles ont un zéro commun
$z = 0$, tous les sommets des deux réseaux correspondants coïncident,
et, par conséquent, les deux fonctions ont les mêmes zéros.
Les trois autres fonctions jouissent de la même propriété; mais ce
ne sont pas nécessairement les fonctions homologues qui ont les mêmes
zéros; cela dépend du choix des nombres entiers $a, b, a', b'$. Remarquons
d'abord, en vertu de la relation $ab' - ba' = 1$, que, de ces quatre
nombres, deux au moins sont impairs, savoir $a$~et~$b'$, ou $b$~et~$a'$, et que
les quatre ne peuvent être impairs. Remarquons ensuite que les
nombres $a + a', b + b'$ ne peuvent être tous les deux pairs; car les deux
nombres $a$~et~$b'$, par exemple, étant impairs, il faudrait que les deux
autres $a'$~et~$b$ le fussent aussi, ce qui est impossible. En outre, des trois
nombres $a, a', a + a'$, deux sont impairs, un pair; de même, des trois
nombres $b, b', b + b'$, deux sont impairs, un pair. Il résulte de là que
les trois quantités
\[
\frac{\omega_{1}}{2} = a\frac{\omega}{2} + b\frac{\omega'}{2},\quad
\frac{\omega'_{1}}{2} = a'\frac{\omega}{2} + b'\frac{\omega'}{2},\quad
\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}
  = (a + a')\frac{\omega}{2} + (b + b') \frac{\omega'}{2}
\]
sont respectivement égales aux quantités $\dfrac{\omega}{2}, \dfrac{\omega'}{2}, \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, augmentées de
multiples des périodes $\omega, \omega'$, mais dans un ordre quelconque, et, par
conséquent, que les trois fonctions $\theta_{2}, \theta, \theta_{3}$ dans les deux systèmes ont
les mêmes zéros. Supposons, par exemple, que $a$~et~$b'$ soient des nombres
impairs, $b$~et~$a'$ des nombres pairs, on aura
\[
\frac{\omega_{1}}{2} \equiv \frac{\omega}{2},\quad
\frac{\omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega'}{2},\quad
\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega + \omega'}{2};
\]
dans ce cas, les fonctions homologues ont les mêmes zéros. Mais si $a$~et~$b'$
\DPPageSep{271.png}{263}
étaient pairs, $b$~et~$a'$ impairs, on aurait
\[
\frac{\omega_{1}}{2} \equiv \frac{\omega'}{2},\quad
\frac{\omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega}{2},\quad
\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega + \omega'}{2};
\]
la fonction~$\theta_{2}$ de chaque système aurait les mêmes zéros que la fonction~$\theta$
de l'autre, les deux fonctions~$\theta_{3}$ ayant d'ailleurs les mêmes zéros.

Cela posé, désignons, d'une manière générale, par~$\phi(z)$ une fonction
du premier système, et par~$\psi(z)$ la fonction du second système qui a
les mêmes zéros. Une fonction intermédiaire, c'est-à-dire satisfaisant
aux relations~\Eq{(1)} du \no{146}, par rapport aux périodes $\omega, \omega'$, satisfait
évidemment à des relations de même forme par rapport aux périodes
équivalentes $\omega_{1}, \omega'_{1}$. Il résulte aussi de la formule~\Eq{(8)} du \no{147}, qui
représente toutes les fonctions de cette espèce, que le rapport de deux
fonctions intermédiaires, qui ont les mêmes zéros, est une exponentielle
de la forme~$Ce^{Az^{2} + Bz}$. Ce rapport étant ici une fonction paire de~$z$,
le coefficient~$B$ est nul, et l'on~a
\[
\psi(z) = Ce^{Az^{2}}\, \phi(z).
\]
Déterminons maintenant la constante~$A$. De cette relation on déduit
\begin{align*}
&\Diff \log \psi(z) = 2Az + \Diff \log \phi(z), \\
&\Diff \log \psi(z + \omega_{1})
  = 2A(z + \omega_{1}) + \Diff \log \phi(z + \omega_{1}), \\
&\Diff \log \frac{\psi(z + \omega_{1})}{\psi(z)}
  = 2A\omega_{1} + \Diff \log \frac{\phi(z + \omega_{1})}{\phi(z)};
\end{align*}
mais, en vertu des relations \Eq{(10)}~et~\Eq{(12)} du \no{75}, on~a
\[
\Diff \log \frac{\psi(z + \omega_{1})}{\psi(z)} = 0,\quad
\Diff \log \frac{\phi(z + \omega_{1})}{\phi(z)} = -\frac{2b\pi i}{\omega};
\]
on en conclut $A = \dfrac{b\pi i}{\omega\omega_{1}}$, et, par suite,
\[
\Tag{(3)}
\psi(z) = Ce^{\efrac{b\pi z^{2}i}{\omega\omega_{1}}}\, \phi(z).
\]
\DPPageSep{272.png}{264}

\Paragraph{171.} Parmi les systèmes de périodes équivalents au système primitif
$(\omega, \omega')$, nous considérerons en particulier le système $\omega_{1} = -\omega'$,
$\omega'_{1} = \omega$, que l'on obtient en faisant $a = 0$, $b = -1$, $a' = 1$, $b' = 0$; on~a
alors
\[
\Tag{(4)}
\frac{\omega_{1}}{2} \equiv \frac{\omega'}{2},\quad
\frac{\omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega}{2},\quad
\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2} \equiv \frac{\omega + \omega'}{2}.
\]
Les deux fonctions~$\theta_{3}$ ont les mêmes zéros, ainsi que les deux fonctions~$\theta_{1}$;
la fonction~$\theta$ de chaque système a les mêmes zéros que la
fonction~$\theta_{2}$ de l'autre. Nous désignerons par la lettre~$\vartheta$ les nouvelles
fonctions ainsi obtenues, et nous disposerons les indices de telle sorte
que les fonctions $\theta$~et~$\vartheta$, qui ont les mêmes zéros, soient affectées du
même indice. Si donc on appelle~$\Theta_{1}$ la fonction analogue à~$\Theta$, et formée
avec les nouvelles constantes, savoir:
\[
\Theta_{1}(z) = \sum_{n = -\infty}^{n = \infty}
    e^{-\efrac{\pi i}{\omega'} (2nz + n^{2}\omega)}
  = e^{ \efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}} \sum_{n = -\infty}^{n = \infty}
    e^{-\efrac{\pi i}{\omega\omega'} (z + n\omega)^{2}},
\]
on posera, comme au \no{74},
\[
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3}(z) &= \Theta_{1}(z), \\
\vartheta_{2}(z)
  &= \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega_{1}}{2}\Bigr)
   = \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr), \\
\vartheta(z)
  &= e^{\efrac{\pi i}{\omega_{1}} \bigl(z + \efrac{\omega'_{1}}{4}\bigr)}
     \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega'_{1}}{2}\Bigr)
   = e^{-\efrac{\pi i}{\omega'} \bigl(z + \efrac{\omega}{4}\bigr)}
     \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr), \\
\vartheta_{1}(z)
  &=  \frac{1}{i} e^{\efrac{\pi i}{\omega_{1}} \bigl(z + \efrac{\omega'_{1}}{4}\bigr)}
     \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}\Bigr)
   = \frac{1}{i} e^{-\efrac{\pi i}{\omega'} \bigl(z + \efrac{\omega}{4}\bigr)}
     \Theta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\rlap{$\Bigr).$}
\end{aligned}
\right.
\]

On peut appliquer aux fonctions~$\vartheta$ les formules et les relations établies
pour les fonctions~$\theta$, en mettant $-\omega'$~et~$\omega$ à la place de $\omega$~et~$\omega'$,
et en ayant soin de remplacer $\theta$~et~$\theta_{2}$ par $\vartheta_{2}$~et~$\vartheta$. Si l'on appelle~$p$ la
quantité $e^{\efrac{\pi \omega'_{1} i}{\omega_{1}}} = e^{-\efrac{\pi \omega i}{\omega'}}$, analogue à la quantité~$q$, et ayant comme celle-ci
\DPPageSep{273.png}{265}
son module plus petit que l'unité, on aura, d'après les formules~\Eq{(8)}
du \no{74},
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3}(z)
  &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} p^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega'}, \\
\vartheta_{2}(z)
  &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n} p^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega'}, \\
\vartheta(z)
  &= 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty}
    p^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}} \cos \frac{(2n - 1)\pi z}{\omega'}, \\
\vartheta_{1}(z)
  &= -2 \sum_{n = 1}^{n = \infty}
    (-1)^{n - 1} p^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}} \sin \frac{(2n - 1)\pi z}{\omega'}.
\end{aligned}
\right.
\]
Dans les applications, la première période~$\omega$ est réelle et positive, la
seconde~$\omega'$ imaginaire et de la forme~$\omega'' i$, $\omega''$~étant une quantité réelle
et positive; les quantités $q$~et~$p$ qui entrent dans les séries sont réelles,
positives et inférieures à l'unité; en outre la variable~$z$ est réelle; les
formules~\Eq{(8)} du \no{74} contiennent des sinus et des cosinus ordinaires,
les formules précédentes des sinus et des cosinus hyperboliques.

\Paragraph{172.} Les relations \Eq{(10)}~et~\Eq{(11)} du \no{75} deviennent
\begin{align*}
\Tag{(7)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} (z + \omega') &= \vartheta_{3} (z), \\
\vartheta_{2} (z + \omega') &= \vartheta_{2} (z), \\
\vartheta (z + \omega')    &= -\vartheta (z), \\
\vartheta_{1} (z + \omega') &= -\vartheta_{1} (z);
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(8)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} (z + \omega)
  &= \frac{1}{p} e^{\efrac{2\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{3}(z), \\
\vartheta_{2} (z + \omega)
  &= -\frac{1}{p} e^{\efrac{2\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{2}(z), \\
\vartheta (z + \omega)
  &= \frac{1}{p} e^{\efrac{2\pi zi}{\omega'}} \vartheta(z), \\
\vartheta_{1} (z + \omega)
  &= -\frac{1}{p} e^{\efrac{2\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{1}(z).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
D'après le corollaire du \no{150}, les fonctions~$\vartheta$ sont, abstraction faite
\DPPageSep{274.png}{266}
d'un facteur constant, les seules qui satisfassent aux relations précédentes.

On a aussi
\begin{align*}
\Tag{(9)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} \Bigl(z + m\omega\Bigr)
  &= p^{-m^{2}} e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{3}(z), \\
\vartheta_{2} \Bigl(z + m\omega\Bigr)
  &= (-1)^{m} p^{-m^{2}} e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{2}(z), \\
\vartheta \Bigl(z + m\omega\Bigr)
  &= p^{-m^{2}} e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega'}} \vartheta(z), \\
\vartheta_{1} \Bigl(z + m\omega\Bigr)
  &= (-1)^{m} p^{-m^{2}} e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{1}(z);
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(10)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr) &=  \vartheta_{2}(z), \\
\vartheta_{2} \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr) &=  \vartheta_{3}(z), \\
\vartheta    \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr)  &=  \vartheta_{1}(z), \\
\vartheta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr) &= -\vartheta(z);
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(11)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr)
  &= \frac{1}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta(z), \\
\vartheta \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr)
  &= \frac{1}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{3}(z), \\
\vartheta_{2} \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr)
  &= \frac{i}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{1}(z), \\
\vartheta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr)
  &= \frac{i}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{2}(z);
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(12)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\Bigr)
  &= \frac{i}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{1}(z), \\
\vartheta_{1} \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\Bigr)
  &= \frac{-1}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{3}(z), \\
\vartheta_{2} \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\Bigr)
  &= \frac{1}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta(z), \\
\vartheta \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\Bigr)
  &= \frac{i}{\sqrt{p}} e^{\efrac{\pi zi}{\omega'}} \vartheta_{2}(z).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
\DPPageSep{275.png}{267}

\Paragraph{173.} En vertu de la relation~\Eq{(3)} du \no{170}, les deux fonctions $\theta_{3}(z),
\vartheta (z)$, qui ont les mêmes zéros, satisfont à la relation
\[
\vartheta_{3}(z) = Ce^{\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}} \theta_{3}(z).
\]
En remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on en déduit
\[
\Tag{(13)}
\frac{\vartheta(z)}{\theta(z)}
  = \frac{\vartheta_{1}(z)}{i\theta_{1}(z)}
  = \frac{\vartheta_{2}(z)}{\theta_{2}(z)}
  = \frac{\vartheta_{3}(z)}{\theta_{3}(z)}
  = C e^{\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}}.
\]

Les formules~\Eq{(18)} du \no{76}, qui définissent les fonctions elliptiques,
deviennent
\[
\Tag{(14)}
\lambda(z) = \frac{1}{i\sqrt{k}}\, \frac{\vartheta_{1}(z)}{\vartheta(z)},\quad
\mu(z) = \sqrt{\frac{k'}{k}}\, \frac{\vartheta_{2}(z)}{\vartheta(z)},\quad
\nu(z) = \sqrt{k'}\, \frac{\vartheta_{3}(z)}{\vartheta(z)}.
\]

On en déduit
\[
\Tag{(15)}
\sqrt{k}  = \frac{\vartheta_{2}(0)}{\vartheta_{3}(0)},\quad
\sqrt{k'} = \frac{\vartheta(0)}{\vartheta_{3}(0)},
\]
et l'on~a
\[
%[** TN: Set on one line in original
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3}(0) &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} p^{n^{2}}, \\
\vartheta_{2}(0) &= 1 + 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n} p^{n^{2}}, \\
\vartheta(0) &= 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} p^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}}.
\end{aligned}
\right.
\]
Le module~$k$ et le module complémentaire~$k'$ sont exprimés en fonction
de~$p$ au lieu de l'être en fonction de~$q$. Le multiplicateur~$g$ est
donné par la formule
\[
\Tag{(17)}
g = \frac{1}{i\sqrt{k}}\, \frac{\vartheta'_{1}(0)}{\vartheta(0)},\quad
\vartheta'_{1}(0) = -\frac{2\pi}{\omega'} \sum_{n = 1}^{n = \infty}
  (-1)^{n-1} (2n - 1) p^{\left(\efrac{2n - 1}{2}\right)^{2}}.
\]
Nous déterminerons plus tard la constante~$C$.
\DPPageSep{276.png}{268}


\Chapitre[Fonctions Doublement Périodiques]
{IV}{Suite des Fonctions Doublement Périodiques}

\Section{Remarques sur les réseaux}

\Paragraph{174.} Considérons le réseau construit sur les périodes $\omega, \omega'$, et dont
les sommets correspondent aux valeurs $z = m\omega + m'\omega'$, $m$~et~$m'$ étant
des nombres entiers quelconques; si l'on~a
\[
\Omega  = a \omega + b \omega',\quad
\Omega' = a'\omega + b'\omega',
\]
$a, b, a', b'$ étant des nombres entiers tels que le déterminant $ab' - ba'$
soit différent de zéro, ce qui revient à supposer que les points $\Omega, \Omega'$ ne
sont pas en ligne droite avec l'origine, il est évident que les sommets
du réseau construit sur les périodes $\Omega, \Omega'$ coïncident avec certains
sommets du premier réseau. Le rapport de l'aire du parallélogramme
$(\Omega, \Omega')$ à celle du parallélogramme $(\omega, \omega')$ est égal au déterminant
$±(ab' - ba')$.

On peut remplacer le système des deux périodes $\omega, \omega'$ par un système
équivalent $\omega_{1}, \omega'_{1}$, de manière que les deux formules précédentes se
réduisent à la forme simple
\[
\Omega  = a_{1}  \omega_{1},\quad
\Omega' = a'_{1} \omega_{1} + b'_{1} \Erratum{\omega_{1}}{\omega'_{1}};
\]
car si l'on pose
\[
\omega  = m \omega_{1} + n \omega'_{1},\quad
\omega' = m'\omega_{1} + n'\omega'_{1},
\]
on~a
\[
\Omega  = (a m + b m') \omega_{1} + (a n + b n') \omega'_{1},\quad
\Omega' = (a'm + b'm') \omega_{1} + (a'n + b'n') \omega'_{1}.
\]
On choisira deux nombres entiers $n$~et~$n'$ premiers entre eux, satisfaisant
à la condition $an + bn' = 0$, puis deux nombres entiers $m$~et~$m'$
\DPPageSep{277.png}{269}
satisfaisant à la condition $mn' - nm'= ±1$. On peut même supposer
que les nombres entiers $a_{1}$~et~$b'_{1}$ sont positifs, sans quoi on changerait
les signes des périodes. La valeur absolue du déterminant, qui est
ici~$a_{1}b'_{1}$, n'a pas changé.

Soient~$OACB$ (\Figref{69}) le parallélogramme $(\omega_{1}, \omega'_{1})$, $ODFE$~le parallélogramme
$(\Omega, \Omega')$; le parallélogramme~$ODHG$, dont les sommets $D$~et~$G$
\Fig[2in]{69}
sont les points $z = a_{1} \omega_{1}$, $z = b' \omega'_{1}$, est l'assemblage de $a_{1}b'_{1}$ parallélogrammes
du premier réseau. Il y a donc, dans ce parallélogramme,
$a_{1}b'_{1}$~points homologues d'un point donné, par rapport aux
périodes $\omega_{1}, \omega'_{1}$; mais les points du triangle~$DHF$ sont respectivement
homologues de ceux du triangle~$OGE$. On en conclut que, dans le
parallélogramme~$ODFE$, il y a aussi $a_{1}b'_{1}$~points homologues d'un
point donné.

\Paragraph{175.} Considérons maintenant deux réseaux $(\omega, \omega')$, $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ et supposons
que, parmi les sommets de ces deux réseaux, plusieurs coïncident;
si trois non en ligne droite coïncident, il y en aura une infinité,
qui formeront un réseau, dont nous désignerons par $\Omega, \Omega'$ un
système de périodes élémentaires. On aura les relations
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
\Omega  &= a \omega &&+ b\omega'  &&= a_{1} \omega_{1} &&+ b_{1} \omega'_{1}, \\
\Omega' &= a'\omega &&+ b'\omega' &&= a'_{1}\omega_{1} &&+ b'_{1}\omega'_{1},
\end{alignedat}
\right.
\]
que l'on pourra réduire à la forme
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\Omega  &= a \omega &&= a_{1} \omega_{1}, \\
\Omega' &= a'\omega &&+ b'\omega' = a'_{1}\omega_{1} + b'_{1}\omega'_{1},
\end{alignedat}
\right.
\]
en transformant chacun des systèmes proposés en un système équivalent.
\DPPageSep{278.png}{270}

Les déterminants sont alors $N = ab'$, $N_{1} = a_{1}b'_{1}$. Cherchons les caractères
auxquels on reconnaîtra que le réseau $(\Omega, \Omega')$ comprend bien tous
les sommets communs aux deux réseaux proposés. Il faut d'abord que
les nombres entiers $a$~et~$a_{1}$ soient premiers entre eux; car, s'ils avaient
un plus grand commun diviseur~$d$, les sommets du réseau $\left(\dfrac{\Omega}{d}, \Omega'\right)$ qui
est formé de parallélogrammes $d$~fois plus petits que ceux du réseau
$(\Omega, \Omega')$, seraient communs aux deux réseaux proposés. Cette condition
étant remplie, supposons qu'il y ait, dans le parallélogramme $(\Omega, \Omega')$,
un ou plusieurs sommets communs; on pourra choisir l'un d'eux~$\Omega''$,
de manière que le réseau $(\Omega, \Omega'')$ comprenne tous les sommets communs,
et l'on aura
\begin{gather*}
  \Omega'' = a''\omega + b''\omega'
           = a''_{1}\omega_{1} + b''_{1}\omega'_{1}, \\
  \Omega'  = m\Omega + n\Omega''
           = (ma + na'')\omega + nb''\omega'
           = (ma_{1} + na''_{1})\omega_{1} + nb''_{1}\omega'_{1},
\end{gather*}
l'aire du parallélogramme $(\Omega, \Omega')$ étant $n$~fois celle du parallélogramme
$(\Omega, \Omega'')$. On en déduit
\begin{alignat*}{2}
  ma + na'' &= a',\quad&   ma_{1} + na''_{1} &= a'_{1}, \\
  nb'' &= b', &    nb''_{1} &= b'_{1}.
\end{alignat*}
Les deux dernières relations montrent que $n$~doit être un diviseur
commun de $b'$~et~$b'_{1}$; elles donnent les deux nombres entiers $b''$~et~$b''_{1}$.
Les deux premières relations peuvent être remplacées par les suivantes:
\[
m(aa''_{1} - a_{1}a'') = a'a''_{1} - a'_{1}a'',\quad
n(aa''_{1} - a_{1}a'') = a a'_{1}  - a_{1} a'.
\]
Le nombre $aa'_{1} - a_{1}\Erratum{a''}{a'}$ doit être divisible par~$n$; soit $h$ le quotient; de
l'équation $aa''_{1} - a_{1}a'' = h$, dans laquelle $a$~et~$a_{1}$ sont premiers entre
eux, on déduira des valeurs de $a''$~et~$a''_{1}$ de la forme $a'' = hg, a''_{1} = hg_{1}$,
les nombres $g$~et~$g_{1}$ satisfaisant à la relation $ag_{1} - a_{1}g = 1$; l'autre
équation donnera ensuite $m = a'g_{1} - a'_{1}g$. On conclut de ce qui précède
que, pour que le réseau $(\Omega, \Omega')$ soit un réseau élémentaire des
sommets communs aux deux réseaux proposés, il est nécessaire et il
suffit que les deux nombres $a$~et~$a_{1}$ soient premiers entre eux, et que
le plus grand commun diviseur des trois nombres $b', b'_{1}, aa'_{1} - a_{1}a'$
soit égal à l'unité.
\DPPageSep{279.png}{271}

\Paragraph{176.} Lorsque les deux réseaux $(\omega, \omega')$, $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ admettent un réseau
de sommets communs $(\Omega, \Omega')$, on peut trouver un troisième réseau $(\epsilon, \epsilon')$,
tel que les sommets des deux réseaux proposés appartiennent à ce
troisième réseau. Nous supposerons, afin de simplifier, que les deux
systèmes de périodes proposés ont été préalablement choisis de manière
à réduire les relations~\Eq{(1)} à la forme~\Eq{(2)}. Les sommets du réseau
$(\omega, \omega')$ appartenant au réseau $(\epsilon, \epsilon')$, on doit avoir
\[
\omega  = p \epsilon + q \epsilon',\quad
\omega' = p'\epsilon + q'\epsilon',
\]
$p, q, p', q'$ étant des nombres entiers; mais on peut choisir les périodes
$\epsilon, \epsilon'$\DPtypo{,}{} de manière à réduire ces relations à la forme
\[
\Tag{(3)}
\omega  = p \epsilon,\quad
\omega' = p'\epsilon + q'\epsilon'.
\]
A cause de la relation $a\omega = a_{1}\omega_{1}$, on aura aussi
\[
\Tag{(4)}
\omega_{1}  = p_{1} \epsilon,\quad
\omega'_{1} = p'_{1}\epsilon + q'_{1}\epsilon'.
\]

En substituant dans les relations~\Eq{(2)}, on obtient les relations
\[
ap = a_{1}p_{1},\quad
a'p + b'p' = a'_{1}p_{1} + b'_{1}p'_{1},\quad
b'q' = b'_{1}q'_{1}.
\]
De la première, on déduit
\[
p = a_{1} h,\quad
p_{1} = ah,
\]
$h$~étant un nombre entier. Appelons $\delta$~le plus grand commun diviseur
des nombres $b', b'_{1}$, et soient $b' = \delta b''$, $b'_{1} = \delta b''_{1}$; la troisième donne
\[
q' = b''_{1} k,\quad
q'_{1} = b''k,
\]
$k$~étant un nombre entier. La seconde devient
\[
b''p' - b''_{1}p'_{1} = \frac{(aa'_{1} - a_{1}a')h}{\delta}.
\]
Les deux nombres $aa'_{1} - a_{1}a'$ et~$\delta$ étant premiers entre eux, on doit
prendre pour~$h$ un multiple de~$\delta$. Soit $h = \delta h'$, la relation précédente
se réduit à
\[
b''p' - b''_{1}p'_{1} = (aa'_{1} - a_{1}a') h';
\]
on en déduit pour $p'$~et~$p'_{1}$ des valeurs entières. Les déterminants des
\DPPageSep{280.png}{272}
formules \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)} sont
\begin{alignat*}{2}
pq' &= a_{1}b'_{1}kh' &&= kh'N_{1}, \\
p_{1}q'_{1} &= ab'kh' &&= kh'N.
\end{alignat*}
Le parallélogramme $(\epsilon, \epsilon')$ sera le plus grand possible, si l'on fait
$h' = 1, k = 1$; les déterminants sont alors respectivement égaux à $N_{1}$~et~à~$N$.

\Paragraph{177.} \begin{Théorème}{XIV}
Deux fonctions méromorphes doublement périodiques,
dont les réseaux ont un réseau de sommets communs, sont
liées par une équation algébrique.
\end{Théorème}

Soient $u =f(z), v = F(z)$ deux fonctions de~$z$, méromorphes dans
toute l'étendue du plan, doublement périodiques, d'ordres $n$~et~$n_{1}$, et
ayant pour périodes, la première $\omega$~et~$\omega'$, la seconde $\omega_{1}$~et~$\omega'_{1}$. Nous
supposons que les réseaux relatifs à ces deux fonctions ont un réseau
$(\Omega, \Omega')$ de sommets communs. L'aire du parallélogramme $(\Omega, \Omega')$ est
égale à $N$~fois celle du parallélogramme $(\omega, \omega')$, et à $N_{1}$~fois celle du
parallélogramme $(\omega_{1}, \omega'_{1})$. A une valeur de~$u$, finie ou infinie, correspondent
$n$~points~$z$ dans chaque parallélogramme $(\omega, \omega')$, et, par conséquent,
$nN$~points dans le parallélogramme $(\Omega, \Omega')$. A cette valeur de~$u$
correspondent donc, dans toute l'étendue du plan, $nN$~séries de valeurs
de~$z$ de la forme $z_{h} + m\Omega + m'\Omega'$; mais aux valeurs de~$z$ d'une même
série correspond une seule valeur de~$v$. Ainsi, à chaque valeur de~$u$,
finie ou infinie, correspondent $nN$~valeurs de~$v$.

Si l'on figure la variable~$u$ par le mouvement d'un point sur la sphère,
il est aisé de voir que la fonction~$v$ de~$u$ n'a, sur toute la sphère, pas
d'autres points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques.
Lorsque les $n$~valeurs de~$z$ qui, dans un parallélogramme $(\omega, \omega')$,
correspondent à une valeur~$u_{1}$ attribuée à~$u$, sont racines simples de
l'équation $f(z) - u_{1} = 0$, chacune d'elles est une fonction holomorphe
de~$u$ dans le voisinage du point~$u_{1}$; si aucune des $nN$~valeurs de~$z$ situées
dans le parallélogramme $(\Omega, \Omega')$ ne coïncide avec un pôle de la fonction~$F(z)$,
les $nN$~valeurs de~$v$ seront finies, et chacune d'elles sera
une fonction holomorphe de~$z$ et par conséquent de~$u$ dans le voisinage
du point~$u_{1}$. Lorsque l'une de ces $nN$~valeurs de~$z$, que nous
\DPPageSep{281.png}{273}
désignerons par~$z_{h}$, coïncide avec un pôle de la fonction~$F(z)$, on a,
d'une part,
\[
z - z_{h} = (u - u_{1}) \phi(u),
\]
$\phi(u)$~étant une fonction holomorphe de~$u$ dans le voisinage du point~$u_{1}$
et qui ne s'annule pas pour $u = u_{1}$; d'autre part, puisque le point~$z_{h}$
est un pôle du degré~$p$ de la fonction~$F(z)$,
\[
F(z) = \frac{\psi(z)}{(z - z_{h})^{p}},
\]
$\psi(z)$~étant une fonction holomorphe de~$z$ dans le voisinage de la valeur~$z_{h}$
et qui ne s'annule pas pour $z = z_{h}$. On en déduit
\[
v = \frac{\chi(u)}{(u - u_{1})^{p}},
\]
$\chi(u)$~étant une fonction holomorphe de~$u$ dans le voisinage du point~$u_{1}$,
et qui ne s'annule pas pour $u = u_{1}$. Ce point~$u_{1}$ est un pôle du degré~$p$
de l'une des branches de la fonction~$v$.

Supposons maintenant que l'équation $f(z) - u_{1} = 0$ ait une racine~$z_{1}$
du degré~$p$; dans le voisinage du point~$u_{1}$, l'équation admettra $p$~racines
peu différentes de~$z_{1}$ et formant un système circulaire (\no{33}).
A ces $p$~valeurs de~$z$ correspondent $p$~valeurs de~$v$ peu différentes de
la quantité $v_{1} = F(z_{1})$, et formant elles-mêmes un système circulaire.
Chacune des $N$~valeurs~$z_{h}$ de~$z$, homologues de~$z_{1}$ dans le parallélogramme
$(\Omega, \Omega')$, donnera de même un groupe de $p$~valeurs de~$v$, peu
différentes de la quantité $v_{h} = F(z_{h})$, et formant un système circulaire.
Si la valeur~$z_{h}$ coïncidait avec un pôle de la fonction~$F(z)$, on poserait
$v = \dfrac{1}{v'}$, et l'on aurait à considérer un groupe de $p$~valeurs très-petites
de~$v'$, formant aussi un système circulaire. Le point~$u_{1}$ est donc un point
critique algébrique pour les branches de la fonction~$v$ qui deviennent
égales en ce point.

Les mêmes propriétés subsistent quand la variable~$u$ devient infinie;
il suffit de poser $u = \dfrac{1}{u'}$ et de donner à la nouvelle variable~$u'$ des valeurs
très-petites. Les $n$~valeurs de~$z$ qui, dans le parallélogramme $(\omega, \omega')$,
\DPPageSep{282.png}{274}
correspondent à la valeur $u' = 0$ sont les pôles de la fonction~$f(z)$;
mais rien n'est changé dans le raisonnement: le point $u' = 0$, par
rapport à la fonction~$v$, est, ou un point ordinaire, ou un pôle, ou un
point critique algébrique.

Nous venons de démontrer que $v$~est une fonction de~$u$, n'ayant, sur
toute la sphère, aucun point singulier autre que des pôles et des points
critiques algébriques; elle n'admet d'ailleurs, en chaque point, qu'un
nombre limité de valeurs. On en conclut, d'après le théorème du \no{135},
qu'elle est une fonction algébrique de~$u$. L'équation algébrique qui
lie les deux variables $u$~et~$v$, mise sous forme entière, est en général
du degré~$nN$ par rapport à~$v$, et du degré~$n_{1}N_{1}$ par rapport à~$u$.

\Paragraph{178.} \Remarque Il peut arriver que l'équation entre $u$~et~$v$ s'abaisse
à des degrés sous-multiples de~$n_{1}N_{1}$ et de~$nN$. Nous avons vu qu'à une
valeur~$u_{1}$ de~$u$ correspondent $nN$~valeurs de~$z$, abstraction faite des
multiples de~$\Omega$ et de~$\Omega'$; désignons-les par $z_{1}, z_{2}, \ldots$; les $nN$~valeurs
correspondantes de~$v$, que nous appellerons $v_{1}, v_{2}, \ldots$, sont des fonctions
holomorphes de~$u$, excepté dans le voisinage des pôles ou des points
critiques. La différence de deux valeurs de~$v$ est aussi une fonction holomorphe
de~$u$, avec les mêmes restrictions. Supposons que les $k$~valeurs
$v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}$ restent égales entre elles, lorsque la variable~$u$ se
meut dans une petite étendue; chacune des fonctions $v_{2} - v_{1}, v_{3} - v_{1}, \ldots,
v_{k} - v_{1}$ étant nulle dans cette étendue, sera nulle dans tout le plan (\no{114}),
et par conséquent les $k$~branches $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}$ de la fonction~$v$ coïncident
pour toutes les valeurs de~$u$. On peut faire décrire à la variable~$u$
une courbe fermée, telle que la valeur~$z_{1}$ se change en une quelconque
$z_{k+1}$~des valeurs de~$z$ n'appartenant pas au premier groupe $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k}$;
les autres valeurs de ce premier groupe se changeront en $z_{k+2}, z_{k+3}, \ldots, z_{2k}$.
Les $k$~branches $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}$ coïncident toujours pendant ce mouvement;
on en conclut que les $k$~branches $v_{k+1}, v_{k+2}, \ldots, v_{2k}$ de la fonction coïncident
aussi. Ainsi les $nN$~valeurs de~$v$ se partagent en groupes composés
chacun de $k$~valeurs égales entre elles, ce qui exige que le
nombre~$k$ soit un diviseur de~$nN$.

Inversement, supposons qu'on donne à la variable~$v$ une valeur quelconque,
$v_{1}$~par exemple; parmi les $n_{1}N_{1}$~valeurs correspondantes de~$z$
se trouvent les $k$~valeurs $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k}$ considérées précédemment et
\DPPageSep{283.png}{275}
auxquelles correspond la même valeur~$u_{1}$ de~$u$. Aucune des autres valeurs
de~$z$ ne donne la même valeur de~$u$; car, si à la valeur~$z_{k+1}$ correspondait
aussi la valeur~$u_{1}$, à cette valeur~$u_{1}$ correspondraient plus de $k$~valeurs
de~$z$ donnant la même valeur~$v_{1}$ de~$v$. Il en résulte que les $n_{1}N_{1}$~valeurs
de~$u$ qui correspondent à une même valeur de~$v$ se partagent
aussi en groupes composés chacun de $k$~valeurs égales entre elles, ce
qui exige que le nombre~$k$ soit un diviseur de~$n_{1}N_{1}$. L'équation s'abaissera
donc au degré~$\dfrac{nN}{k}$ par rapport à~$v$, et au degré~$\dfrac{n_{1}N_{1}}{k}$ par rapport à~$u$.

\Paragraph{179.} \begin{Théorème}{XV}
Lorsque les deux fonctions sont paires,
l'équation algébrique à laquelle elles satisfont s'abaisse à des degrés
moitiés.
\end{Théorème}

Remarquons d'abord qu'une fonction doublement périodique paire
est d'ordre pair; car, si l'on considère le parallélogramme élémentaire
dont l'origine est le centre, les valeurs de~$z$ qui correspondent à une
même valeur de~$u$, étant égales deux à deux et de signes contraires,
seront en nombre pair dans ce parallélogramme. Nous avons formé
les réseaux avec les points homologues de l'origine. Concevons maintenant
que l'on forme les réseaux avec les points homologues du point
$z_{0} = -\dfrac{\Omega + \Omega'}{2}$; alors le centre du premier parallélogramme $(\Omega, \Omega')$
coïncidera avec l'origine. A une valeur de~$u$ correspondent $n$~points~$z$
dans chaque parallélogramme $(\omega, \omega')$ et par conséquent $nN$~dans le
parallélogramme $(\Omega, \Omega')$, qui a pour centre l'origine; ces points étant
deux à deux symétriques par rapport à l'origine, on n'a que $\dfrac{nN}{2}$~valeurs
de~$v$. De même, à chaque valeur de~$v$ correspondent $\dfrac{n_{1}N_{1}}{2}$~valeurs de~$u$.
Ainsi l'équation algébrique est du degré~$\dfrac{nN}{2}$ par rapport à~$v$ et du degré~$\dfrac{n_{1}N_{1}}{2}$
par rapport à~$u$.

\Paragraph{180.} \begin{Théorème}{XVI}
Deux fonctions méromorphes paires et doublement
périodiques du second ordre, dont les réseaux ont un réseau de
sommets communs, sont liées par une équation algébrique dont chaque
membre ne contient que l'une des variables et est une fraction rationnelle
de cette variable.
\end{Théorème}
\DPPageSep{284.png}{276}

Les deux réseaux $(\omega, \omega')$, $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ ayant un réseau $(\Omega, \Omega')$ de sommets
communs, il existe plusieurs réseaux $(\epsilon, \epsilon')$ dont les sommets des
deux réseaux proposés font partie (\no{176}). Considérons le plus grand
d'entre eux; les aires des parallélogrammes $(\omega, \omega')$, $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ sont égales
respectivement à $N_{1}$~fois et à $N$~fois celle du parallélogramme $(\epsilon, \epsilon')$. Désignons
par~$w$ une fonction méromorphe paire, admettant les deux périodes
$\epsilon$~et~$\epsilon'$, et du second ordre. Les réseaux $(\omega, \omega')$, $(\epsilon, \epsilon')$, relatifs aux
fonctions $u$~et~$w$, ont pour sommets communs précisément ceux du réseau
$(\omega, \omega')$. Il résulte du théorème précédent que l'équation entre $w$~et~$u$
est du premier degré en~$w$ et du degré~$N_{1}$ en~$u$; on en conclut
que $w$~est une fraction rationnelle en~$u$ du degré~$N_{1}$ et l'on a $w = \dfrac{U}{U_{1}}$,
$U$~et~$U_{1}$ étant des polynômes entiers en~$u$ du degré~$N_{1}$. De même, $w$~est
une fraction rationnelle en~$v$ du degré~$N$ et l'on a $w = \dfrac{V}{V_{1}}$, $V$~et~$V_{1}$ étant
des polynômes entiers en~$v$ du degré~$N$. L'équation cherchée est donc
de la forme
\[
\Tag{(5)}
\frac{U}{U_{1}} = \frac{V}{V_{1}}.
\]

\Remarque Nous avons supposé que les fonctions $u$~et~$v$ du second
ordre sont paires. Remarquons que toute fonction doublement périodique
du second ordre peut être rendue paire par l'addition d'une
constante à la variable. Soient $\alpha$~et~$\beta$ les deux infinis de la fonction
$u = f(z)$, on~a
\[
f(\alpha + \beta - z) = f(z)
\]
et par suite
\[
f\left(\frac{\alpha + \beta}{2} - z\right)
  = f\left(\frac{\alpha + \beta}{2} + z\right).
\]
En désignant par $\alpha_{1}$~et~$\beta_{1}$ les deux infinis de la fonction $v = F(z)$, on
a de même
\[
F\left(\frac{\alpha_{1} + \beta_{1}}{2} - z\right)
  = F\left(\frac{\alpha_{1} + \beta_{1}}{2} + z\right).
\]
La relation entre les deux fonctions paires $f\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} + z\right)$, $F\left(\dfrac{\alpha_{1} + \beta_{1}}{2} + z\right)$
a la forme indiquée précédemment. Si l'on remplace ensuite $z$
\DPPageSep{285.png}{277}
par $z - \dfrac{\alpha + \beta}{2}$, la relation aura lieu entre les deux fonctions $f(z),
F(z + h)$, la lettre~$h$ désignant la constante $\dfrac{\alpha_{1} + \beta_{1}}{2}  -  \dfrac{\alpha + \beta}{2}$.

\Paragraph{181.} \begin{Théorème}{XVII}
Une fonction doublement périodique et sa
dérivée sont liées par une équation algébrique.
\end{Théorème}

La fonction $u = f(z)$ et sa dérivée $u' = f'(z)$ ont les mêmes périodes
$\omega, \omega'$, et, par conséquent, le même parallélogramme élémentaire; si $n$~est
l'ordre de la fonction proposée, nous savons (\no{151}) que l'ordre~$n'$
de la dérivée peut varier de~$n + 1$ à~$2n$. Les deux fonctions $u$~et~$u'$
sont donc liées par une équation algébrique
\[
\Tag{(6)}
F(u', u) = 0,
\]
dont il est facile de déterminer le degré.

La fonction inverse est représentée par l'intégrale définie
\[
\Tag{(7)}
z - z_{0} = \int_{u_{0}}^{u} \frac{1}{u'}\, du,
\]
dans laquelle $u'$~est une fonction algébrique de~$u$ donnée par l'équation~\Eq{(6)}.
Cette intégrale a été étudiée dans le \Ref{3.4}{Chapitre~IV du Livre~III};
nous avons vu qu'à chaque couple de valeurs de $u$~et~$u'$ correspond une
valeur de~$z$ augmentée de multiples des périodes. Ces périodes sont les
valeurs de l'intégrale définie relatives aux cycles, c'est-à-dire aux
courbes fermées qui ramènent le même couple~$(u, u')$; ici les périodes
se réduisent à deux. Puisque les valeurs de~$z$ qui correspondent à un
même couple~$(u, u')$ diffèrent entre elles de multiples des périodes, il
est impossible qu'en deux points~$z$ situés dans un même parallélogramme
élémentaire, la fonction~$u$ et sa dérivée~$u'$ aient respectivement
les mêmes valeurs. On en conclut que la dérivée~$u'$ acquiert $n$~valeurs
différentes aux $n$~points~$z$ qui, dans un parallélogramme élémentaire,
correspondent à une valeur donnée de~$u$, et que, de même, la fonction~$u$
acquiert $n'$~valeurs différentes aux $n'$~points qui correspondent à une
valeur donnée de~$u'$. L'équation~\Eq{(6)} est donc du degré~$n$ par rapport
à~$u'$ et du degré~$n'$ par rapport à~$u$.
\DPPageSep{286.png}{278}

La dérivée~$u'$ ne devenant infinie pour aucune valeur finie de~$u$, le
coefficient de~$u'^{n}$ est constant et l'équation~\Eq{(6)} se met sous la forme
\[
\Tag{(8)}
u'^{n} + U_{1} u'^{n-1} + U_{2} u'^{n-2} + \ldots + U_{n} = 0,
\]
$U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ désignant des polynômes entiers en~$u$, dont les degrés ne
peuvent surpasser~$n'$. La somme des $n$~valeurs de~$\dfrac{dz}{du}$ ou de~$\dfrac{1}{u'}$, qui correspondent
à une même valeur de~$u$, étant nulle (\no{164}), le polynôme~$U_{n-1}$
est nul.

Si l'on pose
\[
u  = \frac{1}{v},\quad
v' = \frac{dv}{dz},\quad \text{d'où}\quad
u' = -\frac{v'}{v^{2}},
\]
l'équation~\Eq{(8)} devient
\[
\Tag{(9)}
v'^{n} - v^{2}U_{1} v'^{n-1} + v^{4}U_{2} v'^{n-2} - \ldots ± v^{2n} U_{n} = 0;
\]
cette relation entre la fonction doublement périodique~$v$ et sa dérivée~$v'$
devant avoir pour coefficients des polynômes entiers en~$v$, il est nécessaire
que les polynômes $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$, qui entrent dans la première
équation, soient au plus, le premier du second degré, le second du quatrième
degré,~\ldots, le dernier du degré~$2n$.

Le théorème du \no{158} est un cas particulier du précédent.

\Paragraph{182.} \begin{Théorème}{XVIII}
Étant donnée une fonction méromorphe
doublement périodique $u = f(z)$, de l'ordre~$n$, aux périodes élémentaires
$\omega, \omega'$, toute autre fonction méromorphe qui admet ces deux périodes
s'exprime rationnellement au moyen de la première fonction et de sa
dérivée.
\end{Théorème}

Nous avons vu que la fonction~$u$ et sa dérivée~$u'$ sont liées par une
équation algébrique
\[
\Tag{(6)}
F(u', u) = 0,
\]
du degré~$n$ par rapport à~$u$, et que, aux $n$~points $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ qui,
dans un même parallélogramme élémentaire $(\omega, \omega')$, correspondent à
une valeur donnée de~$u$, la dérivée~$u'$ acquiert $n$~valeurs différentes $u'_{1},
u'_{2}, \ldots, u'_{n}$, qui sont les $n$~racines de l'équation~\Eq{(6)}. Nous savons aussi
\DPPageSep{287.png}{279}
qu'une autre fonction méromorphe~$v$ de~$z$, qui admet les périodes $\omega, \omega'$,
est liée à~$u$ par une équation algébrique, qui est, en général, du degré~$n$
par rapport à~$v$. Désignons par $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ les valeurs de~$v$ aux
points $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$; ces valeurs correspondent respectivement aux
racines $u'_{1}, u'_{2}, \ldots, u'_{n}$ de l'équation~\Eq{(6)}, de sorte qu'à tout système
de valeurs $(u, u')$ correspond une valeur déterminée de~$v$ et une seule.
Les fonctions $vu', vu'^{2}, \ldots, vu'^{n-1}$ jouissent de la même propriété; à
chaque couple~$(u, u')$ correspond une seule valeur de chacune de ces
fonctions. Les sommes
\[
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{array}{l*{7}{@{\,}c}@{\,}l}
v_{1} &+& v_{2} &+& \ldots &+& v_{n} &=& P_{0}, \\
v_{1}u'_{1} &+& v_{2}u'_{2} &+& \ldots &+& v_{n}u'_{n} &=& P_{1}, \\
v_{1}u_{1}'^{2} &+& v_{2}u_{2}'^{2} &+& \ldots &+& v_{n}u_{n}'^{2} &=& P_{2}, \\
\hdotsfor{9}, \\
v_{1}u_{1}'^{n-1} &+& v_{2}u_{2}'^{n-1} &+& \ldots &+& v_{n}u_{n}'^{n-1}
  &=& P_{n-1},
\end{array}
\right.
\]
n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de~$u$, sont des fonctions
méromorphes de~$u$ sur toute la sphère: elles sont donc égales à des
fractions rationnelles de~$u$ (\no{129}); nous les avons représentées par
$P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n-1}$. Multiplions les deux membres des équations~\Eq{(10)}
respectivement par $A_{n-1}, A_{n-2}, \ldots, A_{1}, 1$, ajoutons les résultats, puis
égalons à zéro les coefficients de $v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{n}$, ce qui donne le
système des $n - 1$~équations
\[
\Tag{(11)}
\left\{
\begin{array}{l*{11}{@{\,}c}@{\,}l}
u_{2}'^{n-1} &+& A_{1} u_{2}'^{n-2} &+& A_{2}u_{2}'^{n-3} &+& \ldots
  &+& A_{n-2}u'_{2} &+& A_{n-1} &=& 0, \\
u_{3}'^{n-1} &+& A_{1} u_{3}'^{n-2} &+& A_{2}u_{3}'^{n-3} &+& \ldots
  &+& A_{n-2}u'_{3} &+& A_{n-1} &=& 0, \\
\hdotsfor{13}, \\
u_{n}'^{n-1} &+& A_{1} u_{n}'^{n-2} &+& A_{2}u_{n}'^{n-3} &+& \ldots
  &+& A_{n-2}u'_{n} &+& A_{n-1} &=& 0,
\end{array}
\right.
\]
l'équation résultante se réduira à
\[
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{alignedat}{5}
v_{1}(u_{1}'^{n-1} &+ A_{1} u_{1}'^{n-2} &&+ A_{2} u_{1}'^{n-3} &&+ \ldots
  &&+ A_{n-2} u'_{1} &&+ A_{n-1}) \\
  = P_{n-1} &+ A_{1} P_{n-2} &&+ \DPtypo{\ldots +{}}{}A_{2} P_{n-3}
  &&\DPtypo{}{+ \ldots}
  &&+ A_{n-2} P_{1} &&+ A_{n-1}\Erratum{}{P_{0}}.
\end{alignedat}
\right.
\]
Les équations~\Eq{(11)} montrent que les quantités $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n-1}$ sont les
coefficients de l'équation du degré~$n - 1$, qui admet pour racines $u'_{2},
u'_{3}, \ldots, u'_{n}$; on obtiendra cette équation en divisant par $u' - u'_{1}$ le
\DPPageSep{288.png}{280}
premier membre de l'équation~\Eq{(6)}, ordonné par rapport aux puissances
décroissantes de~$u'$; les coefficients du quotient, qui sont des polynômes
entiers en $u$~et~$u'_{1}$, donneront $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n-1}$. De l'équation~\Eq{(12)}
on déduira ensuite l'expression de~$v_{1}$ par une fraction rationnelle en
$u$~et~$u'_{1}$.

Ce théorème comprend celui de M.~Liouville (\no{161}) comme cas
particulier. La démonstration exige que les périodes $\omega, \omega'$ forment
bien un système de périodes élémentaires de la fonction~$u$; mais cette
condition n'est pas nécessaire pour la fonction~$v$.

\Paragraph{183.} \begin{Théorème}{XIX}
Lorsque les réseaux de deux fonctions méromorphes
doublement périodiques $u$~et~$v$ ont un réseau de sommets communs,
dont le parallélogramme $(\Omega, \Omega')$ contient $N$~fois le parallélogramme
élémentaire $(\omega, \omega')$ de la fonction~$u$, la fonction~$v$ est racine d'une équation
algébrique du degré~$N$, ayant pour coefficients des fonctions rationnelles
de~$u$ et de sa dérivée~$u'$.
\end{Théorème}

A chaque couple~$(u, u')$ correspond un point~$z$ dans le parallélogramme
$(\omega, \omega')$, par conséquent $N$~points dans le parallélogramme
$(\Omega, \Omega')$ et, par suite, $N$~valeurs de~$v$. Toute fonction symétrique et
entière de ces $N$~valeurs de~$v$ est une fonction méromorphe de~$z$,
admettant les deux périodes $\omega$~et~$\omega'$; en vertu du théorème précédent,
elle s'exprime rationnellement au moyen de~$u$ et de~$u'$. On en conclut
que $v$~est racine d'une équation du degré~$N$, ayant pour coefficients
des fonctions rationnelles de $u$~et~$u'$. De cette manière, la résolution
de l'équation entre $u$~et~$v$, et qui est du degré~$nN$ par rapport à l'inconnue~$v$
(\no{177}), est ramenée à celle de deux équations, la première
du degré~$n$ en~$u'$, la seconde du degré~$N$ en~$v$.

Dans nos premières recherches (\textit{Journal de l'École Polytechnique},
1856), nous avions indiqué seulement la relation algébrique qui a
lieu entre deux fonctions qui admettent les mêmes périodes. La considération
du réseau formé par les sommets communs à deux réseaux
proposés nous a permis d'établir les théorèmes qui composent ce Chapitre.
La relation algébrique qui existe entre une fonction doublement
périodique et sa dérivée a été remarquée par M.~Méray vers la même
époque.
\DPPageSep{289.png}{281}


\Chapitre{V}{Développement des Fonctions en Sommes}

\Section{Méthode générale pour le développement d'une fonction en une somme
d'une infinité de termes rationnels}

\Paragraph{184.} Voici la méthode que Cauchy a déduite des propriétés des intégrales
définies. Soit $f(z)$ une fonction méromorphe dans toute l'étendue
du plan. Considérons d'abord la partie du plan enveloppée par une courbe
\Fig[1.75in]{70}
fermée~$C$ (\Figref{70}), et à l'intérieur marquons un point quelconque~$t$.
La fonction~$\dfrac{f(z)}{z - t}$ admet comme pôles ceux de~$f(z)$ et en outre le point~$t$.
D'après le théorème du \no{120}, l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{z - t}\, dz
\]
relative à la courbe~$C$ est égale au résidu relatif au point~$t$ et à la somme
des résidus relatifs aux pôles~$\alpha$ de la fonction~$f(z)$ situés à l'intérieur
de la courbe~$C$. Le premier résidu étant égal à~$f(t)$, on~a
\[
\Tag{(1)}
f(t) + \sum \BigRsum_{(\alpha)} \frac{f(z)}{z - t}
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)}{z - t}\, dz.
\]
\DPPageSep{290.png}{282}

Concevons maintenant que la courbe~$C$ s'étende indéfiniment dans
tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la
fonction~$f(z)$ sur cette courbe reste moindre qu'une quantité finie~$M$,
si c'est possible. Puisque
\[
\frac{1}{z - t} = \frac{1}{z} \left(1 - \frac{t}{z}\right)^{-1}
  = \frac{1}{z} \left[1 + \frac{t}{z} (1 + \epsilon)\right],
\]
$\epsilon$~tendant vers zéro, quand $z$~augmente indéfiniment, on~a
\begin{gather*}
\frac{f(z)}{z - t} = \frac{f(z)}{z} + \frac{t\, f(z) (1 + \epsilon)}{z^{2}}, \\
\Tag{(2)}
\frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)}{z - t}\, dz
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)}{z}\, dz
  + \frac{t}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)(1 + \epsilon)}{z^{2}}\, dz.
\end{gather*}
Il est aisé de voir que la dernière intégrale tend vers zéro, quand la
courbe~$C$ s'étend à l'infini; car, si l'on pose $z = re^{\theta i}$, il vient
\begin{gather*}
dz = e^{\theta i}\, dr + ire^{\theta i}\, d\theta,\quad
\frac{dz}{z^{2}} = e^{-\theta i}\, \frac{dr}{r^{2}}
  + ie^{-\theta i}\, \frac{d\theta}{r}, \\
%
\int_{(C)} \frac{f(z)(1 + \epsilon)}{z^{2}}\, dz
  = \int_{(C)} f(z) (1 + \epsilon) e^{-\theta i}\, \frac{dr}{r^{2}}
  + i \int_{0}^{2\pi} f(z) (1 + \epsilon) e^{-\theta i}\, \frac{d\theta}{r}.
\end{gather*}
Si l'on désigne par~$\epsilon_{1}$ le maximum du module de~$\epsilon$ et par~$r_{1}$ le minimum de~$r$
sur la courbe, le module du dernier terme est moindre que~$\dfrac{2\pi M(1 + \epsilon_{1})}{r_{1}}$,
et, par conséquent, ce terme tend vers zéro, quand $r_{1}$~augmente indéfiniment.
Supposons que la courbe~$C$ soit composée d'un nombre fini d'arcs
tels que sur chacun d'eux le rayon~$r$ aille en augmentant ou en diminuant;
la partie qui, dans la première intégrale du second membre, se
rapporte à l'un de ces arcs, sur lequel $r$~croît par exemple de~$r'$ à~$r''$, a
un module moindre que
\[
M(1 + \epsilon_{1}) \int_{r'}^{r''} \frac{dr}{r^{2}}
  = M (1 + \epsilon_{1}) \left( \frac{1}{r'} - \frac{1}{r''} \right);
\]
cette intégrale tend donc aussi vers zéro. Ainsi nous pouvons réduire
\DPPageSep{291.png}{283}
l'intégrale~\Eq{(2)} à sa première partie
\[
\Tag{(3)}
\frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f(z)}{z}\, dz.
\]

Lorsque la fonction~$f(z)$ est impaire, si l'on choisit la courbe~$C$ de
manière qu'elle ait pour centre l'origine, l'intégrale~\Eq{(3)}, ayant ses
termes deux à deux égaux et de signes contraires, est identiquement
nulle. Dans ce cas, l'intégrale~\Eq{(2)} tend donc vers zéro, quand la courbe
s'étend à l'infini, et l'équation~\Eq{(1)} se réduit à
\[
\Tag{(4)}
f(t) = \lim \sum \BigRsum_{(\alpha)} \frac{f(z)}{t - z}.
\]

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\newpage
\Section{Développement de $\protect\dfrac{1}{\sin z}$ et de $\protect\dfrac{1}{\cos z}$}

\Paragraph{185.} Les pôles de la fonction $\dfrac{1}{\sin z}$ sont distribués uniformément
sur~$Ox$ (\Figref{71}). Prenons sur cet axe des longueurs $OA = OA' = m \pi + \dfrac{\pi}{2}$
et sur l'axe~$Oy$ des longueurs $OB = OB' = y_{1}$; par les points $A$~et~$A'$ menons
des parallèles à~$Oy$ et par les points $B$~et~$B'$ des parallèles à~$Ox$, de
\Fig[2in]{71}
manière à former le rectangle $EFGH$. Les pôles situés dans ce rectangle
sont représentés par la formule $\alpha = m \pi$, $m$~variant de~$-m'$ à~$+m'$.
\DPPageSep{292.png}{284}
Nous intégrerons suivant le contour du rectangle et nous ferons ensuite
augmenter indéfiniment le nombre entier~$m'$ et la longueur~$y_{1}$, afin
d'étendre à l'infini le contour du rectangle. Sur les côtés $FG, HE$, on~a
$z = ±\left(m' \pi + \dfrac{\pi}{2}\right) + yi$, et par suite
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{(-1)^{m'}}{\cos yi}
  = (-1)^{m'} \frac{2}{e^y + e^{-y}}
  = (-1)^{m'}
    \frac{2}{2 + \left(e^{\efrac{y}{x}} - e^{-\efrac{y}{x}}\right)^{2}};
\]
le module de $\dfrac{1}{\sin z}$ est plus petit que l'unité. Sur les côtés $GH, EF$, on~a
$z = x ± y_{1} i$,
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{\mp y_{1} + xi} - e^{±y_{1} - xi}};
\]
le module de $\dfrac{1}{\sin z}$ est infiniment petit. On peut donc réduire l'intégrale~\Eq{(2)}
à sa première partie~\Eq{(3)}. D'autre part, la fonction $\dfrac{1}{\sin z}$ étant
impaire, cette première partie est identiquement nulle. Ainsi l'intégrale
définie tend vers zéro.

Le résidu relatif à l'un des pôles $\alpha = m\pi$ est
\[
\frac{1}{t - m\pi}\, \BigRsum \frac{1}{\sin z} = \frac{(-1)^{m}}{t - m\pi}.
\]
L'équation~\Eq{(4)} devient donc
\[
\frac{1}{\sin t} = \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'} \frac{(-1)^{m}}{t - m\pi},
\]
et, en remplaçant~$t$ par~$z$,
\[
\Tag{(5)}
\frac{1}{\sin z} = \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'} \frac{(-1)^{m}}{z - m\pi}.
\]
En groupant les termes qui correspondent à des valeurs de~$m$ égales
et de signes contraires, on obtient la formule connue
\[
\Tag{(6)}
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z}
  + 2z \sum_{m = 1}^{m = \infty} \frac{(-1)^{m}}{z^{2} - m^{2}\pi^{2}}.
\]
\DPPageSep{293.png}{285}

Si dans l'équation~\Eq{(5)} on remplace~$z$ par $z + \dfrac{\pi}{2}$, il vient
\[
\Tag{(7)}
\frac{1}{\cos z} = \lim \sum_{m = -m'}^{m = m' + 1}
  \frac{(-1)^{m}}{z - (2m - 1) \dfrac{\pi}{2}}.
\]
Nous avons ajouté un terme infiniment petit à la droite de la série,
celui qui correspond à $m = m' + 1$, afin d'avoir autant de termes
d'un côté que de l'autre. Le groupement des termes conduit à l'expression
\[
\Tag{(8)}
\frac{1}{\cos z} = \pi \sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m} (2m - 1)}{z^{2} - (2m - 1)^{2}\dfrac{\pi^{2}}{4}}.
\]

\Section{Développement de~$\cot z$ et de~$\tang z$}

\Paragraph{186.} Les pôles de la fonction impaire~$\cot z$ sont les mêmes que ceux
de~$\dfrac{1}{\sin z}$; on intégrera suivant le même rectangle. On reconnaît aisément
que sur les côtés~$FG, HE$ le module de~$\cot z$ est plus petit que~$1$,
et que sur les deux autres côtés il est très-voisin de~$1$. On peut donc
réduire l'intégrale à sa première partie qui est identiquement nulle. Le
résidu relatif au pôle $\alpha = m\pi$ étant
\[
\frac{1}{t - m\pi} \BigRsum \cot z = \frac{1}{t - m\pi},
\]
l'équation~\Eq{(4)} devient
\[
\cot t = \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'} \frac{1}{t - m\pi},
\]
ou
\[
\Tag{(9)}
\cot z = \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'} \frac{1}{z - m\pi}
  = \frac{1}{z} + 2z \sum_{m = 1}^{m = \infty} \frac{1}{z^{2} - m^{2}\pi^{2}}.
\]
\DPPageSep{294.png}{286}

En remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\pi}{2}$ et ajoutant un terme infiniment petit, on
en déduit
\[
\Tag{(10)}
\tang z
  = -\lim \sum_{m = -m'}^{m = m' + 1} \frac{1}{z - (2m - 1) \dfrac{\pi}{2}}
  = 2z \sum_{m = 1}^{m = \infty}
      \frac{1}{(2m - 1)^{2} \dfrac{\pi^{2}}{4} - z^{2}}.
\]

\Section{Développement d'une fonction doublement périodique en une somme
d'une infinité de termes simplement périodiques}

\Paragraph{187.} Une méthode analogue à celle de Cauchy pour le développement
en sommes de termes rationnels nous permettra de traiter la question.
Considérons d'abord une fonction de l'ordre~$2n$, aux périodes $2\omega, \omega'$,
satisfaisant à la relation $f(z + \omega) = -f(z)$, et ayant $n$~infinis~$\alpha_{h}$ dans le
parallélogramme~$ABDC$ (\Figref{72}), dont le sommet~$A$ est un point arbitraire~$z_{0}$
\Fig[1.5in]{72}
et les deux sommets $B$~et~$C$ les points $z_{0} + \omega$, $z_{0} + \omega'$. Formons
le parallélogramme $EFGH$, dont les sommets $E$~et~$H$ sont les points
$z_{0} - m'\omega'$, $z_{0} + m'\omega'$, et les sommets $F$~et~$G$ les points $z_{0} + \omega - m'\omega'$,
$z_{0} + \omega + m'\omega'$; ce parallélogramme est la réunion de $2m'$~parallélogrammes
égaux au premier. Les infinis situés dans le parallélogramme $EFGH$
sont représentés par la formule $\alpha = \alpha_{h} + m\omega'$, $m$~variant de~$-m'$
à~$m' - 1$. Marquons un point quelconque~$t$ à l'intérieur du grand parallélogramme.
La fonction
\[
\frac{f(z)}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}
\]
\DPPageSep{295.png}{287}
admet la période~$\omega$; ses pôles sont le point~$t$ et les points $\alpha = \alpha_{h} + m\omega'$.
D'après le théorème de Cauchy, l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{\sin\dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme~$EFGH$, est égale à la somme des
résidus relatifs aux pôles situés dans ce parallélogramme. Les deux
côtés~$FG, HE$ donnent des résultats égaux et de signes contraires; sur
les côtés $EF$~et~$GH$, la fonction~$f(z)$ ayant une valeur finie, et le module
du dénominateur devenant infiniment grand avec~$m'$, l'intégrale définie
a une valeur très-petite. Ainsi, quand $m'$~augmente indéfiniment, l'intégrale
définie tend vers zéro, et par conséquent la somme des résidus
est nulle. Le résidu relatif au point~$t$ étant $\dfrac{\omega}{\pi} f(t)$, on a l'équation
\[
\Tag{(11)}
f(t) = \frac{\pi}{\omega} \lim \sum \BigRsum
  \frac{f(z)}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (t - z)}.
\]

Si la fonction proposée n'a que des infinis simples, l'équation précédente
devient
\[
f(t) = \frac{\pi}{\omega} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} \sum_{h = 1}^{h = n}
  \frac{A_{h}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (t - \alpha_{h} - m\omega')},
\]
$A_{h}$~désignant le résidu de~$f(z)$ relatif à~$\alpha_{h}$. La série est convergente
dans les deux sens. Cette égalité est démontrée pour tous les points~$t$
situés dans la partie du plan comprise entre les parallèles indéfinies $EH,
FG$; les deux membres changeant de signe quand on remplace~$t$ par
$t + \omega$, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de~$t$. Ainsi l'on a, dans
toute l'étendue du plan,
\[
\Tag{(12)}
f(z) = \frac{\pi}{\omega} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} \sum_{h = 1}^{h = n}
  \frac{A_{h}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m\omega')}.
\]

Supposons que la fonction proposée ait dans le parallélogramme $ABDC$
\DPPageSep{296.png}{288}
un infini multiple~$\alpha_{h}$ du degré~$p$; l'infini $\alpha = \alpha_{h} + m\omega'$ sera du même
degré. Posons $z = \alpha + z'$, nous aurons à chercher le résidu de la
fonction
\[
\BigRsum f(\alpha_{h} + z') \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha - z').
\]
Si l'on développe en série, il vient
\begin{gather*}
f(\alpha_{h} + z')
  = \frac{A_{p}^{h}}{z'^{p}} + \frac{A_{p-1}^{h}}{z'^{p-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}^{h}}{z'} + \ldots, \\
\begin{aligned}
\cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha - z')
  &= \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
   - \frac{z'}{1} \Diff_{t} \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha) + \ldots \\
  &\quad+ (-1)^{p-1} \frac{z'^{p-1}}{1·2\cdots (p - 1)}
     \Diff_{t}^{p-1} \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha) + \ldots,
\end{aligned}
\end{gather*}
et le résidu cherché est
\begin{multline*}
%[** TN: Set on one line in original]
A_{1}^{h} \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
  - \frac{A_{2}^{h}}{1} \Diff_{t} \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
  + \ldots \\
  + (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
      \Diff_{t}^{p-1} \cosec \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha).
\end{multline*}
On obtient ainsi l'équation
\begin{multline*}
\Tag{(13)}
%[** TN: Re-broken]
f(z) = \frac{\pi}{\omega} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} \sum_{h}
  \biggl[A_{1}^{h} \cosec \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m\omega') \\
    - \frac{A_{2}^{h}}{1}
         \Diff_{z} \cosec \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m\omega')
  + \ldots \\
  + (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \Diff_{z}^{p-1} \cosec \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m\omega')\biggr].
\end{multline*}

\Paragraph{188.} Considérons maintenant une fonction doublement périodique
quelconque~$f(z)$, aux périodes $\omega, \omega'$, et ayant $n$~infinis~$\alpha_{h}$ dans le parallélogramme~$ABDC$,
dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent.
La fonction
\[
\frac{f(z)}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}
\]
\DPPageSep{297.png}{289}
admet la période~$\omega$. L'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme~$EFGH$, est égale à la somme
des résidus de la fonction pour les pôles situés dans le parallélogramme,
c'est-à-dire pour le point~$t$ et les points $\alpha = \alpha_{h} + m\omega'$, $m$~variant
de~$-m'$ à~$m' - 1$. Les côtés~$FG, HE$ donnent des résultats égaux
et de signes contraires. Si l'on désigne par~$z$ un point de la droite~$AB$,
les points homologues de~$GH$ et de~$EF$ seront $z + m'\omega'$, $z - m'\omega'$, et les
parties de l'intégrale relatives à ces deux côtés seront
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_{AB} f(z)
  \left[ \frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t - m'\omega')}
       - \frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t + m'\omega')}
     \right] dz.
\]
Lorsque $m'$~augmente indéfiniment, la première tangente tend vers~$-i$,
la seconde vers~$i$, de sorte que l'intégrale définie tend vers une limite
égale à l'intégrale rectiligne
\[
H = \frac{1}{\pi} \int_{z_{0}}^{z_{0} + \omega} f(z)\, dz,
\]
suivant la droite~$AB$. Le résidu de la fonction relatif au point~$t$
étant $\dfrac{\omega}{\pi} f(t)$, on a l'équation
\[
\Tag{(14)}
f(t) = \frac{\pi H}{\omega}
  + \frac{\pi}{\omega} \lim \sum \BigRsum
      \frac{f(z)}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (t - z)}.
\]

Si la fonction n'a que des infinis simples, l'équation précédente devient
\[
\Tag{(15)}
f(t) = \frac{\pi H}{\omega} + \frac{\pi}{\omega}
  \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} \sum_{h = 1}^{h = n}
    \frac{A_{h}}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (t - \alpha_{h} - m\omega')},
\]
\DPPageSep{298.png}{290}
$A_{h}$~désignant le résidu de~$f(z)$ relatif à~$\alpha_{h}$. La série est convergente
dans les deux sens, à cause de la relation $\ds\sum_{h = 1}^{h = n} A_{h} = 0$ (\no{148});
car on~a
\begin{align*}
\sum_{h = 1}^{h = n} A_{h} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha_{h} - m\omega')
  &= \sum_{h = 1}^{h = n} A_{h} \left[
    \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha_{h} - m \omega')
  - \cot \frac{\pi}{\omega} (t - m \omega') \right] \\
%
  &= \sum_{h = 1}^{h = n}
    \frac{A_{h} \sin \dfrac{\pi\alpha_{h}}{\omega}}
         {\sin \dfrac{\pi}{\omega} (t - m \omega')
          \sin \dfrac{\pi}{\omega} (t - \alpha_{h} - m \omega')}.
\end{align*}
Les deux membres de l'équation~\Eq{(15)} admettant la période~$\omega$, l'égalité
est vraie pour toutes les valeurs de~$t$.

Supposons que la fonction~$f(z)$ ait dans le parallélogramme~$ABDC$
un infini multiple~$\alpha_{h}$ du degré~$p$; l'infini $\alpha = \alpha_{h} + m\omega'$ sera du même
degré. Posons $z = \alpha + z'$, nous aurons
\[
\BigRsum_{(\alpha)} f(z) \cot \frac{\pi}{\omega} (t - z)
  = \BigRsum f(\alpha_{h} + z') \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha - z').
\]
Si l'on développe en série, il vient
\begin{gather*}
f(\alpha_{h} + z')
  = \frac{A_{p}^{h}}{z'^{p}}
  + \frac{A_{p-1}^{h}}{z'^{p-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}^{h}}{z'} + \ldots, \\
\begin{aligned}
\cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha - z')
  &= \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
     - \frac{z'}{1} \Diff_{t} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha) + \ldots \\
  &\quad+ (-1)^{p-1} \frac{z'^{p-1}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \Diff_{t}^{p-1} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha) + \ldots,
\end{aligned}
\end{gather*}
et l'on aura le résidu cherché
\begin{multline*}
%[** TN: Set on one line in original]
A_{1}^{h} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
  - \frac{A_{2}^{h}}{1} \Diff_{t} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha)
  + \DPtypo{}{\ldots +} \\
    (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
      \Diff_{t}^{p-1} \cot \frac{\pi}{\omega} (t - \alpha).
\end{multline*}
\DPPageSep{299.png}{291}
On obtient ainsi la formule
\begin{multline*}
\Tag{(16)}
%[** TN: Re-broken]
f(z) = \frac{\pi H}{\omega} + \frac{\pi}{\omega}
  \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} \sum_{h}
  \biggl[A_{1}^{h} \cot \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m \omega') \\
       - \frac{A_{2}^{h}}{1}
         \Diff_{z} \cot \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m \omega')
  + \ldots \\
  + (-1)^{p-1} \frac{A_{p}^{h}}{1·2\cdots (p - 1)}
    \Diff_{z}^{p-1} \cot \frac{\pi}{\omega} (z - \alpha_{h} - m \omega') \biggr].
\end{multline*}

\Section{Développement des fonctions elliptiques}

\Paragraph{189.} Considérons les rapports des quatre fonctions~$\theta$ deux à deux;
de ces douze rapports, huit satisfont à la relation $f(z + \omega) = -f(z)$,
les quatre autres à la relation $f(z + \omega) = f(z)$. Nous développerons
les premiers par la méthode du \no{185}.

Commençons par les deux fonctions $\dfrac{\theta(z)}{\theta_{1}(z)}$, $\dfrac{\theta_{3}(z)}{\theta_{1}(z)}$; formons un parallélogramme $EFGH$
ayant pour centre l'origine et pour sommets les
points $±\dfrac{\omega}{2} ± (2m' + 1) \dfrac{\omega'}{2}$; les infinis de ces deux fonctions, ou les
zéros de~$\theta_{1}(z)$, situés dans ce parallélogramme, sont représentés par la
formule $\alpha = m \omega'$, $m$~variant de~$-m'$ à~$+m'$; tous ces infinis sont simples;
d'après les formules~\Eq{(12)} du \no{75}, le résidu de la fonction $\dfrac{\theta(z)}{\theta_{1}(z)}$ relatif
à l'infini~$m\omega'$ est $\dfrac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)}$; celui de la fonction $\dfrac{\theta_{3}(z)}{\theta_{1}(z)}$ est $(-1)^{m} \dfrac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)}$. on~a
donc
\begin{align*}
\Tag{(17)}
\frac{\theta(z)}{\theta_{1}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{1}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')}, \\
%
\Tag{(18)}
\frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{1}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{(-1)^{m}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')}.
\end{align*}

En remplaçant~$z$ par l'une des quantités $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$,
\DPPageSep{300.png}{292}
on en déduit
\begin{align*}
\Tag{(19)}
\frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{2}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{1}{\cos \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(20)}
\frac{\theta(z)}{\theta_{2}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{(-1)^{m}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(21)}
\frac{\theta_{1}(z)}{\theta(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{1}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(22)}
\frac{\theta_{2}(z)}{\theta(z)}
  &= \frac{\pi i}{\omega}\, \frac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{(-1)^{m}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(23)}
\frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{3}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{1}{\cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(24)}
\frac{\theta_{1}(z)}{\theta_{3}(z)}
  &= -\frac{\pi i}{\omega}\, \frac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{(-1)^{m}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}.
\end{align*}

Pour développer la fonction $\dfrac{\theta_{2}(z)}{\theta_{1}(z)}$, qui admet la période~$\omega$, nous appliquerons
la méthode du \no{186}, en conservant le parallélogramme
précédent. Nous remarquons qu'aux points homologues des côtés
opposés $EF, GH$, la différence des valeurs de~$z$ étant égale à~$(2m' + 1) \omega'$,
la fonction~$f(z)$ acquiert des valeurs égales et de signes contraires; les
valeurs de la tangente sur ces côtés étant à peu près~$\mp i$, l'intégrale
définie relative à ces deux côtés est infiniment petite; ainsi l'intégrale
définie relative au contour du parallélogramme a pour limite zéro, et
l'on a l'équation
\[
\Tag{(25)}
\frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{1}(z)}
  = \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta_{2}(0)}{\theta'_{1}(0)}
  \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
    \frac{(-1)^{m}}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')}.
\]
\DPPageSep{301.png}{293}

On en déduit
\begin{align*}
\Tag{(26)}
\frac{\theta_{1}(z)}{\theta_{2}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega}\, \frac{\theta_{2}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'} (-1)^{m} \tang \frac{\pi}{\omega} (z - m\omega'),
\displaybreak[1] \\
\Tag{(27)}
\frac{\theta_{3}(z)}{\theta(z)}
  &= \frac{\pi i}{\omega}\, \frac{\theta_{2}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
     \frac{(-1)^{m}}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1)\dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(28)}
\frac{\theta(z)}{\theta_{3}(z)}
  &= -\frac{\pi i}{\omega}\, \frac{\theta_{2}(0)}{\theta'_{1}(0)}
     \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
     (-1)^{m} \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \frac{\omega'}{2}\right].
\end{align*}

On obtient les constantes en remarquant que $\lambda'(0) = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\, \dfrac{\theta'_{1}(0)}{\theta(0)}$; d'où
\[
\Tag{(29)}
\frac{\theta(0)}{\theta'_{1}(0)} = \frac{1}{g\sqrt{k}},\quad
\frac{\theta_{2}(0)}{\theta'_{1}(0)} = \frac{1}{g\sqrt{k'}},\quad
\frac{\theta_{3}(0)}{\theta'_{1}(0)} = \frac{1}{g\sqrt{kk'}}.
\]

Ces rapports donnent les développements des fonctions elliptiques
\begin{align*}
\Tag{(30)}
\lambda(z) &= \frac{\pi}{g\omega k} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{1}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(31)}
\mu(z) &= \frac{\pi i}{g\omega k} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(32)}
\nu(z) &= \frac{\pi i}{g\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
  \frac{(-1)^{m}}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}.
\end{align*}

Si l'on groupe les termes deux à deux, les séries \Eq{(30)}~et~\Eq{(31)} deviennent
\begin{align*}
\Tag{(33)}
\lambda(z) &= \frac{4\pi \sqrt{q}}{g\omega k} \sin \frac{\pi z}{\omega}
\sum_{m = 1}^{m = \infty}
\frac{q^{m-1} (1 + q^{2m-1})}{1 - 2q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)}},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(34)}
\mu(z) &= \frac{4\pi \sqrt{q}}{g\omega k} \cos \frac{\pi z}{\omega}
\sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m-1} q^{m-1} (1 - q^{2m-1})}{1 - 2q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)}}.
\end{align*}
\DPPageSep{302.png}{294}

La série~\Eq{(32)} n'est pas convergente dans les deux sens; si de~$\nu(0)$
on retranche~$\nu(z)$, on obtient une série jouissant de cette propriété
\[
\Tag{(35)}
1 - \nu(z) = \frac{\pi i}{g\omega} \sin \frac{\pi z}{\omega}
  \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m-1}}{\sin \dfrac{(2m - 1) \pi\omega'}{2\omega}
      \sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\]
ou plus simplement
\[
\Tag{(36)}
1 - \nu(z) = \frac{8\pi}{g\omega} \sin^{2} \frac{\pi z}{\omega}
  \sum_{m = 1}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m-1} q^{2m-1}\, \dfrac{1 + q^{2m-1}}{1 - q^{2m-1}}}
      {1 - 2q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)}}.
\]

\Section{Second mode de développement}

\Paragraph{190.} Des développements des rapports des fonctions~$\theta$, on peut déduire
immédiatement ceux des rapports des fonctions~$\vartheta$ deux à deux;
il suffit, comme nous l'avons remarqué au \no{171}, de remplacer $\omega$~et~$\omega'$
par $-\omega'$~et~$\omega$, $q$~par~$p$, $\theta$~et~$\theta_{2}$ par $\vartheta_{2}$~et~$\vartheta$, $\theta_{1}$~et~$\theta_{3}$ par $\vartheta_{1}$~et~$\vartheta_{3}$. Ainsi les
équations \Eq{(26)},~\Eq{(20)},~\Eq{(19)} se transforment en les suivantes:
\begin{align*}
\Tag{(37)}
\frac{\vartheta_{1}(z)}{\vartheta(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega'}\, \frac{\vartheta(0)}{\vartheta'_{1}(0)}
     \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
       (-1)^{m} \tang \frac{\pi}{\omega'} (z - m\omega), \\
%
\Tag{(38)}
\frac{\vartheta_{2}(z)}{\vartheta(z)}
  &= \frac{\pi}{-\omega'}\, \frac{\vartheta_{3}(0)}{\vartheta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
       \frac{(-1)^{m}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}, \\
%
\Tag{(39)}
\frac{\vartheta_{3}(z)}{\vartheta(z)}
  &= \frac{\pi}{-\omega'}\, \frac{\vartheta_{2}(0)}{\vartheta'_{1}(0)}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
       \frac{1}{\cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}.
\end{align*}

On modifie la formule~\Eq{(37)} en y faisant $z = 0$ et retranchant le résultat;
ce qui donne
\[
\Tag{(40)}
\frac{\vartheta_{1}(z)}{\vartheta(z)}
  = \frac{\pi}{\omega'}\, \frac{\vartheta(0)}{\vartheta'_{1}(0)}
    \sin \frac{\pi z}{\omega'} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m}}
    {\cos \dfrac{m\pi \omega}{\omega'} \cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}.
\]
\DPPageSep{303.png}{295}

Les constantes ont pour valeurs
\[
\Tag{(41)}
\frac{\vartheta(0)}{\vartheta'_{1}(0)} = \frac{1}{ig \sqrt{k}},\quad
\frac{\vartheta_{2}(0)}{\vartheta'_{1}(0)} = \frac{1}{ig \sqrt{k'}},\quad
\frac{\vartheta_{3}(0)}{\vartheta'_{1}(0)} = \frac{1}{ig \sqrt{kk'}}.
\]

On en déduit d'autres expressions des fonctions elliptiques
\begin{align*}
\Tag{(42)}
\lambda(z)
  &= -\frac{\pi}{g\omega'k} \sin \frac{\pi z}{\omega'}
     \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
     \frac{(-1)^{m}}{\cos \dfrac{m\pi\omega'}{\omega}
                     \cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}, \\
%
\Tag{(43)}
\mu(z) &= \frac{\pi i}{g\omega' k} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}, \\
%
\Tag{(44)}
\nu(z) &= \frac{\pi i}{g\omega'} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{1}{\cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)}.
\end{align*}

\Section{Développement des fonctions $\protect\dfrac{1}{\theta}$ et $\protect\dfrac{1}{\vartheta}$}

\Paragraph{191.} Les méthodes précédentes peuvent être appliquées au développement
des fonctions $\dfrac{1}{\theta}$~et~$\dfrac{1}{\vartheta}$. La fonction
\[
\frac{\dfrac{1}{\theta_{1}(z)}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}
\]
admettant la période~$\omega$ et devenant infiniment petite sur les côtés $EF, GH$
du parallélogramme employé dans les deux numéros précédents, l'intégrale
définie a pour limite zéro. Pour avoir le résidu relatif au point
$\alpha = m\omega'$, on posera $z = m\omega' + z'$, d'où
\[
\frac{1}{\theta_{1}(z)}
  = (-1)^{m} q^{m^{2}} e^{\efrac{2m\pi z'i}{\omega}}\, \frac{1}{\theta_{1}(z')};
\]
le résidu cherché est
\[
\frac{1}{\theta'_{1}(0)}\,
  \frac{(-1)^{m} q^{m^{2}}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (m\omega' - t)}.
\]
\DPPageSep{304.png}{296}
On a donc l'équation
\[
\Tag{(45)}
\frac{1}{\theta_{1}(z)}
  = \frac{\pi}{\omega\theta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{m^{2}}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - m\omega')}.
\]

Si l'on remplace~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$, il vient
\[
\Tag{(46)}
\frac{1}{\theta_{2}(z)}
  = \frac{\pi}{\omega\theta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{m^{2}}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega} (z - m\omega')}.
\]

Pour développer la fonction~$\dfrac{1}{\theta(z)}$, nous considérerons un parallélogramme $EFGH$
ayant pour sommets les points $±\dfrac{\omega}{2} ± m'\omega'$. La fonction
\[
\frac{\dfrac{1}{\theta(z)}}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}
\]
admet la période~$\omega$, et a pour pôles dans le parallélogramme, outre le
point~$t$, les points $\alpha = (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}$, $m$~variant de~$-(m' - 1)$ à~$m'$. Cette
fonction ayant une valeur infiniment petite sur les côtés~$EF, GH$, parce
que $\theta(z)$~est infiniment grande, l'intégrale définie a encore pour limite
zéro, et l'on obtient l'équation
\[
\Tag{(47)}
\frac{1}{\theta(z)} = -\frac{\pi i}{\omega\theta'_{1}(0)}
  \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  (-1)^{m-1} q^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}}
  \cot \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right],
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(48)}
\frac{1}{\theta_{3}(z)}
  = \frac{\pi i}{\omega\theta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
    (-1)^{m-1} q^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}}
    \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \frac{\omega'}{2}\right].
\]
\DPPageSep{305.png}{297}

Si l'on groupe les termes deux à deux, ces séries deviennent
\begin{align*}
\Tag{(49)}
\frac{1}{\theta_{1}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega\theta'_{1}(0)}
  \left[ \frac{1}{\sin \dfrac{\pi z}{\omega}}
    + 4\sin \frac{\pi z}{\omega} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{m(m + 1)} (1 + q^{2m})}
         {1 - 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}\right],
\displaybreak[1] \\
\Tag{(50)}
\frac{1}{\theta_{2}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega\theta'_{1}(0)}
  \left[ \frac{1}{\cos \dfrac{\pi z}{\omega}}
    + 4\cos \frac{\pi z}{\omega} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{m(m + 1)} (1 + q^{2m})}
         {1 + 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}\right],
\displaybreak[1] \\
\Tag{(51)}
\frac{1}{\theta(z)}
  &= \frac{2\pi}{\omega\theta'_{1}(0)} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m - 1} q^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}} \bigl[1 - q^{2(2m-1\DPtypo{}{)}}\bigr]}{1 - 2q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)}},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(52)}
\frac{1}{\theta_{3}(z)}
  &= \frac{2\pi}{\omega\theta'_{1}(0)} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m - 1} q^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}} \bigl[1 - q^{\DPtypo{2(m - 1)}{2(2m - 1)}}\bigr]}{1 + 2q^{2m - 1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)}}.
\end{align*}

Des formules \Eq{(45)},~\Eq{(46)},~\Eq{(47)},~\Eq{(48)}, on déduit, par la transformation
habituelle,
\begin{align*}
\Tag{(53)}
\frac{1}{\vartheta_{1}(z)}
  &= \frac{\pi}{\omega'\vartheta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m} p^{m^{2}}}{\sin \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(54)}
\frac{1}{\vartheta(z)}
  &= \frac{-\pi}{\omega'\vartheta'_{1}(0)}  \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  \frac{(-1)^{m} p^{m^{2}}}{\cos \dfrac{\pi}{\omega'} (z - m\omega)},
\displaybreak[1] \\
\Tag{(55)}
\frac{1}{\vartheta_{2}(z)}
  &= \frac{-\pi i}{\omega'\vartheta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  (-1)^{m - 1} p^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}}
  \cot \frac{\pi}{\omega'} \left[z - (2m - 1)\frac{\omega}{2}\right],
\displaybreak[1] \\
\Tag{(56)}
\frac{1}{\vartheta_{3}(z)}
  &= \frac{\pi i}{\omega'\vartheta'_{1}(0)} \sum_{m = -\infty}^{m = \infty}
  (-1)^{m - 1} p^{\left(\efrac{2m - 1}{2}\right)^{2}}
  \tang \frac{\pi}{\omega'} \left[z - (2m - 1)\frac{\omega}{2}\right].
\end{align*}

\Section{Développement des fonctions $\Diff \log\theta(z)$}

\Paragraph{192.} Les quatre fonctions~$\Diff \log\theta(z)$ sont impaires et admettent la
période~$\omega$. Nous les développerons par la méthode du \no{187}. Occupons-nous
\DPPageSep{306.png}{298}
d'abord de la fonction~$\Diff \log\theta(z)$. Considérons l'intégrale
définie
\[
\frac{1}{2\pi i}
  \int \frac{\Diff \log\theta(z)}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - t)}\, dz
\]
relative au contour du parallélogramme~$EFGH$ (\Figref{73}), qui a pour
centre l'origine et pour sommets les points $±\dfrac{\omega}{2} ± m'\omega'$; les infinis situés
\Fig[1.25in]{73}
dans ce parallélogramme sont le point~$t$ et les points $\alpha = (2m + 1) \dfrac{\omega'}{2}$,
$m$~variant de~$-m'$ à~$m' - 1$. Les parties de l'intégrale relatives aux
côtés opposés $FG, HE$ sont égales et de signes contraires. Si l'on désigne
par~$z$ un point quelconque de la droite~$A'A$, menée par l'origine
dans la direction~$\omega$, les points homologues des côtés $EF, GH$ sont
$z - m' \omega'$, $z + m' \omega'$, et l'on~a
\begin{align*}
\Diff \log\theta(z - m' \omega')
  &=  \frac{2m'\pi i}{\omega} + \Diff \log\theta(z), \\
\Diff \log\theta(z + m' \omega')
  &= -\frac{2m'\pi i}{\omega} + \Diff \log\theta(z);
\end{align*}
l'intégrale sur ces deux côtés est donc
\begin{multline*}
\frac{1}{2\pi i} \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \Diff \log\theta(z)
    \left[\cot \frac{\pi}{\omega} (z - t - m' \omega')
        - \cot \frac{\pi}{\omega} (z - t + m' \omega')\right] dz \\
%
  + \frac{1}{\omega} \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  m' \left[\cot \frac{\pi}{\omega} (z - t - m' \omega')
         + \cot \frac{\pi}{\omega} (z - t + m' \omega')\right] dz.
\end{multline*}
\DPPageSep{307.png}{299}
La seconde partie, que l'on peut mettre sous la forme
\[
\frac{2}{\omega} \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \frac{m' \sin \dfrac{2\pi}{\omega} (z - t)}
       {\cos \dfrac{2m' \pi\omega'}{\omega}
      + \cos \dfrac{2\pi}{\omega} (z - t)}\, dz,
\]
tend vers zéro, quand $m'$~augmente indéfiniment. Les deux cotangentes
tendant respectivement vers $+i$~et~$-i$, la première partie se réduit à
l'intégrale rectiligne
\[
\frac{1}{\pi}
  \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}} \Diff \log\theta(z)\, dx,
\]
qui est nulle, puisque la fonction $\Diff \log\theta(z)$ est impaire. L'intégrale
définie relative au contour du parallélogramme tend donc vers zéro, et
la somme des résidus est nulle.

Le résidu relatif au point~$t$ est $\dfrac{\omega}{\pi} \Diff \log\theta(t)$; celui relatif au point
$\alpha = (2m + 1) \dfrac{\omega'}{2}$ est
\[
\frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega}
  \left[(2m + 1) \dfrac{\omega'}{2} - t\right]}\,
  \BigRsum_{(\alpha)} \Diff \log\theta(z);
\]
mais d'après le lemme du \no{121}, le résidu de la fonction $\Diff \log\theta(z)$
est égal au degré du zéro de la fonction~$\theta(z)$, c'est-à-dire à l'unité.
On a donc
\[
\Tag{(57)}
\Diff \log\theta(z) = \frac{\pi}{\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m' - 1}
    \frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega}
             \left[z - (2m + 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]},
\]
et, en groupant les termes deux à deux,
\[
\Tag{(58)}
\Diff \log\theta(z) = \frac{4\pi}{\omega} \sin \frac{2\pi z}{\omega}
  \sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{q^{2m-1}}{1 - 2 q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)}}.
\]
\DPPageSep{308.png}{300}

En remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$, on en déduit
\begin{align*}
\Tag{(59)}
\Diff \log\theta_{3}(z)
  &= \frac{-\pi}{\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m' - 1}
     \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m + 1) \frac{\omega}{2}\right], \\
%
\Tag{(60)}
\Diff \log\theta_{3}(z)
  &= \frac{-4 \pi}{\omega} \sin \frac{2\pi z}{\omega} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
     \frac{q^{2m-1}}{1 + 2 q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)}}.
\end{align*}

Si dans l'équation~\Eq{(57)} on remplace~$z$ par $z + \dfrac{\omega'}{2}$, on obtient l'expression
\[
\Diff \log\theta_{1}(z)
  = \frac{\pi}{\omega} \left[i + \lim \sum_{m = -m'}^{m = m' - 1}
      \frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')}\right],
\]
que l'on peut écrire sous la forme
\[
\Tag{(61)}
\Diff \log\theta_{1}(z)
  = \frac{\pi}{\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
    \frac{1}{\tang \dfrac{\pi}{\omega} (z - m \omega')},
\]
car le terme ajouté à la somme, celui qui correspond à $m = m'$, a pour
limite~$i$; si l'on groupe les termes deux à deux, il vient
\[
\Tag{(62)}
\Diff \log\theta_{1}(z)
  = \frac{\pi}{\omega} \left[\frac{1}{\tang \dfrac{\pi z}{\omega}}
      + 4\sin \frac{2\pi z}{\omega} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
        \frac{q^{2m}}{1 - 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}\right].
\]
En remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$, on en déduit enfin
\begin{align*}
\Tag{(63)}
\Diff \log\theta_{1}(z)
  &= -\frac{\pi}{\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m'}
      \tang \frac{\pi}{\omega} (z - m \omega'), \\
%
\Tag{(64)}
\Diff \log\theta_{1}(z)
  &= -\frac{\pi}{\omega}
    \left[\tang \frac{\pi z}{\omega} + 4\sin \frac{2\pi z}{\omega}
    \sum_{m = 1}^{m = \infty}
    \frac{q^{2m}}{1 + 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}\right].
\end{align*}

Des formules précédentes on déduirait immédiatement celles qui se
rapportent au développement des quatre fonctions~$\Diff \log\vartheta(z)$.
\DPPageSep{309.png}{301}


\Chapitre{VI}{Développement des Fonctions en Produits}

\Section{Propriétés des produits d'un nombre infini de facteurs}

\Paragraph{193.} \begin{Théorème}{I}
Pour que le produit
\[
(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) (1 + a_{3}) \ldots,
\]
dans lequel $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ sont des quantités réelles et positives, soit convergent,
il est nécessaire et il suffit que la série
\[
a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots
\]
soit convergente.
\end{Théorème}

Cette condition est nécessaire; car le produit~$P_{n}$ des $n$~premiers facteurs
du produit est plus grand que la somme~$S_{n}$ des $n$~premiers termes
de la série; si la série était divergente, la somme~$S_{n}$ augmenterait à
l'infini et à plus forte raison le produit~$P_{n}$.

Elle est suffisante; car on~a
\[
1 + a_{1} < e^{a_{1}},\quad
1 + a_{2} < e^{a_{2}}, \ldots,
\]
et par suite
\[
P^{n} < e^{a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}} < e^{S},
\]
$S$~étant la limite de~$S_{n}$; le produit~$P_{n}$ augmentant avec~$n$ et restant
moindre qu'une quantité déterminée~$e^{S}$, tend vers une limite~$P$.

\Paragraph{194.} \begin{Théorème}{II}
Soient $a_{1}, a_{2}, \ldots$ les modules des quantités
imaginaires $u_{1}, u_{2}, \ldots$; si le produit des facteurs réels
\[
(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) (1 + a_{3}) \ldots
\]
\DPPageSep{310.png}{302}
est convergent, le produit des facteurs imaginaires
\[
(1 + u_{1}) (1 + u_{2}) (1 + u_{3})\ldots
\]
est aussi convergent.
\end{Théorème}

Nous remarquons d'abord que le module d'un facteur imaginaire
$1 + u_{n}$ est moindre que le facteur réel correspondant $1 + a_{n}$, de sorte
que, si l'on désigne par~$P_{n}$ le produit des $n$~premiers facteurs du premier
produit et par~$Q_{n}$ le produit des $n$~premiers facteurs du second, le
module de~$Q_{n}$ est plus petit que~$P_{n}$ et, par conséquent, plus petit que~$P$;
ce module conserve donc une valeur finie.

Démontrons maintenant que le produit~$Q_{n}$ est convergent. on~a
\begin{align*}
\frac{Q_{n+p}}{Q_{n}} - 1
  &= (1 + u_{n+1}) (1 + u_{n+2}) \ldots (1 + u_{n+p}) - 1 \\
  &= u_{n+1} + u_{n+2} + \ldots + u_{n+p} + u_{n+1} u_{n+2} + \ldots, \\
%
\frac{P_{n+p}}{P_{n}} - 1
  &= (1 + a_{n+1}) (1 + a_{n+2}) \ldots (1 + a_{n+p}) - 1 \\
  &= a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_{n+p} + a_{n+1} a_{n+2} + \ldots;
\end{align*}
d'où l'on déduit
\[
\mod \left(\frac{Q_{n+p}}{Q_{n}} - 1 \right) < \frac{P_{n+p}}{P_{n}} - 1,
\]
ou
\begin{gather*}
\mod \frac{Q_{n+p} - Q_{n}}{Q_{n}} < \frac{P_{n+p} - P_{n}}{P_{n}}, \\
\mod\, (Q_{n+p} - Q_{n}) < \mod Q_{n} × \frac{P_{n+p} - P_{n}}{P_{n}}
  < P_{n+p} - P_{n} < P -  P_{n}.
\end{gather*}
On peut prendre $n$~assez grand pour que la différence~$P - P_{n}$ soit
moindre qu'une quantité donnée~$\alpha$; alors on aura, quel que soit~$p$,
\[
\mod\, (Q_{n+p} - Q_{n}) < \alpha.
\]
Concevons les points qui dans le plan représentent les quantités $Q_{n},
Q_{n+1}$, $Q_{n+2}, \ldots$; tous ces points seront compris dans le cercle décrit du
point~$Q_{n}$ comme centre avec un rayon égal à~$\alpha$. On déterminera ensuite
un nombre~$n'$ plus grand que~$n$, tel que les points $Q_{n'}, Q_{n'+1}, \ldots$ soient
compris dans un cercle décrit du point~$Q_{n'}$ comme centre avec un
\DPPageSep{311.png}{303}
rayon~$\alpha'$ plus petit que~$\alpha$; le centre du second cercle étant situé à
l'intérieur du premier, et le rayon plus petit, ce second cercle sera
situé tout entier dans le premier, ou une partie en dedans, une partie
en dehors; dans ce dernier cas, on ne gardera que la partie commune
aux deux cercles; c'est dans cette partie commune que sont situés les
points $Q_{n'}, Q_{n'+1}, \ldots$. En continuant de cette manière, on voit que les
produits tendent vers un point bien déterminé~$Q$, ce qui rend la convergence
évidente.

\Paragraph{195.} \begin{Théorème}{III}
Soient $a_{1}, a_{2}, \ldots$ les modules de $u_{1}, u_{2}, \ldots$;
si la série
\[
a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots
\]
est convergente, le produit
\[
(1 + u_{1} z) (1 + u_{2} z) (1 + u_{3} z) \ldots
\]
est convergent, quelle que soit la valeur de la variable~$z$.
\end{Théorème}

Désignons par~$r$ le module de~$z$; si la série
\[
a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots
\]
est convergente, la série
\[
a_{1} r + a_{2} r + a_{3} r + \ldots
\]
est aussi convergente, quel que soit le module~$r$; le produit des facteurs
réels
\[
(1 + a_{1} r) (1 + a_{2} r) (1 + a_{3} r) \ldots
\]
est donc convergent, et par conséquent le produit des facteurs imaginaires
\[
(1 + u_{1} z) (1 + u_{2} z) (1 + u_{3} z) \ldots.
\]

\Paragraph{196.} \begin{Théorème}{IV}
Lorsque la série
\[
a_{1} + a_{2} + a_{3} \ldots
\]
est convergente, le produit
\[
\Tag{(1)}
(1 + u_{1} z) (1 + u_{2} z) (1 + u_{3} z) \ldots
\]
définit une fonction holomorphe de~$z$ dans toute l'étendue du plan.
\end{Théorème}
\DPPageSep{312.png}{304}

Nous savons déjà que le produit est convergent pour toutes les valeurs
de~$z$. Considérons maintenant le produit des $n$~facteurs réels
\[
P_{n} = (1 + a_{1} r) (1 + a_{2} r) \ldots (1 + a_{n} r),
\]
et concevons ce produit effectué et ordonné par rapport aux puissances
croissantes de~$r$; si nous appelons~$s_{1}^{(n)}$ la somme des $n$~quantités $a_{1},
a_{2}, \ldots, a_{n}$, $s_{2}^{(n)}$~la somme des produits de ces $n$~quantités deux à deux,
$s_{3}^{(n)}$~la somme des produits trois à trois, etc., nous aurons
\[
P_{n} = 1 + s_{1}^{(n)} r + s_{2}^{(n)} r^{2} + \ldots
  + s_{m}^{(n)} r^{m} + \ldots + s_{n}^{(n)} r^{n}.
\]
Un terme quelconque~$s_{m}^{(n)} r^{m}$ étant plus petit que~$P_{n}$ ou que sa limite~$P$,
et croissant avec~$n$, tend vers une limite finie~$s_{m} r^{m}$, quand $n$~augmente
indéfiniment; ainsi la somme~$s_{m}^{(n)}$ des produits $m$~à~$m$ des $n$~premiers
termes de la série convergente
\[
a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots
\]
tend vers une limite~$s_{m}$, quand $n$~augmente indéfiniment; mais on~a
\[
P_{n} > 1 + s_{1}^{(n)} r + s_{2}^{(n)} r^{2} + \ldots + s_{m}^{(n)} r^{m};
\]
si, laissant $m$~fixe, on fait croître $n$~indéfiniment, on en déduit
\[
P > 1 + s_{1} r + s_{2} r^{2} + \ldots + s_{m} r^{m}.
\]
Puisque la somme~$S_{m}$ des $m$~premiers termes de la série
\[
\Tag{(2)}
1 + s_{1} r + s_{2} r^{2} + s_{3} r^{3} + \ldots
\]
est moindre que la quantité finie~$P$, on en conclut que cette somme
tend vers une limite~$S$ inférieure ou égale à~$P$, quand $m$~augmente indéfiniment,
et par conséquent que la série~\Eq{(2)} est convergente.

D'autre part, chacun des termes du produit
\[
P_{n} = 1 + s_{1}^{(n)} r + s_{2}^{(n)} r^{2} + \ldots + s_{n}^{(n)} r^{n}
\]
étant moindre que le terme correspondant de la somme
\[
S_{n} = 1 + s_{1} r + s_{2} r^{2} + \ldots + s_{n} r^{n},
\]
\DPPageSep{313.png}{305}
la somme~$S_{n}$ est plus grande que~$P_{n}$ et par suite sa limite~$S$ est supérieure
ou égale à~$P$; cette limite~$S$ est donc égale à~$P$.

Considérons de même le produit
\[
Q_{n} = (1 + u_{1} z) (1 + u_{2} z) \ldots (1 + u_{n} z)
\]
des $n$~facteurs imaginaires; concevons ce produit effectué et ordonné
par rapport aux puissances croissantes de~$z$, et représentons-le par
\[
Q_{n} = 1 + \sigma_{1}^{(n)} z
        + \sigma_{2}^{(n)} z^{2} + \ldots
        + \sigma_{m}^{(n)} z^{m} + \ldots
        + \sigma_{n}^{(n)} z^{n}.
\]
Un coefficient quelconque~$\sigma_{m}^{(n)}$ est une somme de termes imaginaires
qui ont pour modules les termes correspondants de~$s_{m}^{(n)}$; quand $n$~augmente
indéfiniment, la somme~$s_{m}^{(n)}$ tendant vers une limite~$s_{m}$, la somme~$\sigma_{m}^{(n)}$
tend elle-même vers une limite~$\sigma_{m}$. La série
\[
\Tag{(3)}
1 + \sigma_{1} z + \sigma_{2} z^{2} + \sigma_{3} z^{3} + \ldots,
\]
ayant les modules de ses termes moindres que les termes correspondants
de la série~\Eq{(2)}, est convergente. La somme~$\Sigma_{n}$ des $n$~premiers termes de
cette série contient tous les termes de~$Q_{n}$; d'ailleurs les termes de la différence
$\Sigma_{n} - Q_{n}$ ont pour modules les termes correspondants de la différence
$S_{n} - P_{n}$; il en résulte que le module de $\Sigma_{n} - Q_{n}$ est moindre
que $S_{n} - P_{n}$, et par conséquent tend vers zéro, quand $n$~augmente indéfiniment;
on en conclut que $\Sigma_{n}$~tend vers une limite égale à~$Q$. Ainsi la
fonction définie par le produit~\Eq{(1)} est développée en une série convergente~\Eq{(3)},
ordonnée suivant les puissances croissantes de~$z$; c'est donc
une fonction holomorphe de~$z$ dans toute l'étendue du plan.

\Section{Méthode générale pour le développement d'une fonction en un produit
d'une infinité de facteurs rationnels}

\Paragraph{197.} Cauchy a déduit aussi de la considération des intégrales définies
une méthode pour effectuer ce genre de développement; nous
allons exposer cette méthode en lui donnant une forme plus précise.
Soit $f(z)$ une fonction méromorphe dans la partie du plan enveloppée
par la courbe~$C$ (\Figref{74}). Désignons par $a$~et~$\alpha$ les zéros et
\DPPageSep{314.png}{306}
les infinis de la fonction dans cette partie du plan, par $n$~et~$p$ leurs degrés,
et supposons que la courbe~$C$ ne passe par aucun de ces points.
Nous savons (\no{121}) que la fonction $\Diff \log f(z) = \dfrac{f'(z)}{f(z)}$ admet comme
pôles simples les zéros et les infinis de la fonction~$f(z)$. Marquons
dans la partie du plan considérée deux points $t_{0}$~et~$t_{1}$, distincts des
points $a$~et~$\alpha$; unissons-les par une ligne~$b_{0} b_{1}$ située aussi dans
\Fig[2.25in]{74}
cette partie du plan et ne passant par aucun des points $a$~et~$\alpha$; à
l'aide de cette ligne et de deux cercles infiniment petits ayant pour
centres les points $t_{0}$~et~$t_{1}$, nous formerons une courbe fermée ou un
lacet enveloppant les deux points. La fonction $\log\dfrac{z - t_{1}}{z - t_{0}}$ éprouve un
accroissement égal à~$+2\pi i$, quand la variable~$z$ tourne autour du
point~$t_{1}$ dans le sens positif, et un accroissement égal à~$-2\pi i$,
quand la variable~$z$ tourne autour du point~$t_{0}$, aussi dans le sens positif.
Il en résulte que, si l'on astreint la variable~$z$ à ne pas franchir la
coupure~$t_{0} t_{1}$, la fonction $\log\dfrac{z - t_{1}}{z - t_{0}}$ est monotrope dans toute l'étendue
du plan; c'est donc une fonction holomorphe dans la partie du plan
comprise entre le lacet~$(t_{0} t_{1})$ et la courbe~$C$.

A l'aide d'une autre coupure~$gh$, on peut regarder cette aire comme
enveloppée par une ligne fermée, composée du lacet~$(t_{0} t_{1})$ de la coupure~$gh$
et de la courbe~$C$. La fonction
\[
F(z) = \log\frac{z - t_{1}}{z - t_{0}} \Diff \log f(z)
\]
\DPPageSep{315.png}{307}
étant méromorphe dans cette partie du plan, à contour simple, l'intégrale
définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int F(z)\, dz,
\]
relative au contour de l'aire, est égale à la somme des résidus relatifs
aux pôles $a$~et~$\alpha$ situés dans cette aire. La transversale~$gh$, étant parcourue
deux fois dans des sens contraires, avec une même valeur de la
fonction~$F(z)$, donne un résultat nul. Évaluons la partie relative au
lacet~$(t_{0} t_{1})$; nous remarquons d'abord que les petits cercles donnent
des quantités infiniment petites; car, si l'on pose $z = t_{0} + r e^{\theta i}$, on~a
$dz = ir e^{\theta i}\, d\theta$,
\begin{gather*}
\log (z - t_{0}) = \log r + \theta i, \\
\log (z - t_{0})\, dz = i e^{\theta i} (r\log r + ir \theta)\, d\theta;
\end{gather*}
mais $r\log r$~tend vers zéro, quand le rayon~$r$ du petit cercle diminue
indéfiniment. L'intégrale relative au lacet se réduit donc à l'intégrale
suivant la ligne~$b_{0} b_{1}$, aller et retour: à l'aller, un élément de l'intégrale
est
\[
\frac{1}{2\pi i}\, \frac{f'(z)}{f(z)} \log \frac{z - t_{1}}{z - t_{0}}\, dz;
\]
au retour, $\log \dfrac{z - t_{1}}{z - t_{0}}$ ayant éprouvé un accroissement égal à~$-2\pi i$ par
le mouvement sur le petit cercle~$(t_{1})$ en sens négatif, et $dz$~ayant changé
de signe, on obtient l'élément correspondant
\[
-\frac{1}{2\pi i} \frac{f'(z)}{f(z)}
  \left(\log \frac{z - t_{1}}{z - t_{0}} - 2\pi i\right) dz;
\]
la somme des deux éléments est
\[
\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \Diff \log f(z)\, dz.
\]
Ainsi la partie relative au lacet~$(t_{0} t_{1})$ se réduit à l'intégrale
\[
\int \Diff \log f(z)\, dz
\]
suivant la ligne~$t_{0} t_{1}$ décrite de~$t_{0}$ à~$t_{1}$; mais cette intégrale est égale à
\DPPageSep{316.png}{308}
la valeur que prend la fonction $\log \dfrac{f(z)}{f(t_{0})}$ au point~$t_{1}$, quand la variable~$z$
décrit la ligne~$t_{0} t_{1}$, la fonction ayant en~$t_{0}$ la valeur initiale zéro; nous
désignerons cette valeur de la fonction au point~$t_{1}$ par~$\log \dfrac{f(t_{1})}{f(t_{0})}$. D'après
cela, l'intégrale définie relative au contour entier de l'aire a pour
expression
\[
\log \frac{f(t_{1})}{f(t_{0})} + \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} F(z)\, dz.
\]

Pour avoir les résidus relatifs aux points $a$~et~$\alpha$, qui sont des pôles
simples de~$F(z)$, il faut multiplier les quantités
\[
\log \frac{a - t_{1}}{a - t_{0}},\quad
\log \frac{\alpha - t_{1}}{\alpha - t_{0}}
\]
respectivement par les résidus de la fonction $\Diff \log f(z)$, c'est-à-dire
par $n$~et~$-p$ (\no{121}). On obtient ainsi l'équation
\[
\log \frac{f(t_{1})}{f(t_{0})} + \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} F(z)\, dz
  = \sum n \log \frac{a - t_{1}}{a - t_{0}}
  - \sum p \log \frac{\alpha - t_{1}}{\alpha - t_{0}},
\]
ou
\[
\Tag{(4)}
\log \frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}
  = \sum n \log \frac{a - t_{1}}{a - t_{0}}
  - \sum p \log \frac{\alpha - t_{1}}{\alpha - t_{0}}
  - \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} F(z)\, dz.
\]
On en déduit la formule
\[
\Tag{(5)}
\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}
  = \frac{\ds\prod \left(\frac{a - t_{1}}{a - t_{0}}\right)^{n}}
         {\ds\prod \left(\frac{\alpha - t_{1}}{\alpha - t_{0}}\right)^{p}}\,
    e^{-\efrac{1}{2\pi i} \int_{(C)} F(z)\, dz},
\]
qui a été trouvée par Cauchy.

\Paragraph{198.} Concevons maintenant que la courbe~$C$ s'étende à l'infini dans
tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la
fonction $\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ reste moindre qu'une quantité finie~$M$ sur cette courbe,
si cela est possible. Grâce à la restriction que nous avons imposée à la
variable~$z$ de ne pas franchir le lacet~$(t_{0} t_{1})$, la fonction $\log \dfrac{z - t_{1}}{z - t_{0}}$,
\DPPageSep{317.png}{309}
comme nous l'avons dit, reste monotrope dans toute l'étendue du plan;
mais on peut prendre, en un point choisi à volonté, l'une quelconque
des déterminations du logarithme; une fois la valeur du logarithme
assignée en un point, tous les logarithmes qui entrent dans le second
membre de l'équation~\Eq{(4)} ont des valeurs parfaitement déterminées.
Parmi les déterminations du logarithme, nous prendrons celle qui se
réduit à zéro, quand $z$~devient infini. On a, dans ce cas,
\[
\log \frac{z - t_{1}}{z - t_{0}}
  = \log \frac{1 - \dfrac{t_{1}}{z}}{1 - \dfrac{t_{0}}{z}}
  = \frac{t_{1} - t_{0}}{z}
  - \frac{(t_{1}^{2} - t_{0}^{2})(1 + \epsilon )}{2z^{2}},
\]
$\epsilon$~tendant vers zéro, quand $z$~augmente indéfiniment. On en déduit
\[
\Tag{(6)}
-\frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} F(z)\, dz
  = \frac{t_{1} - t_{0}}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, \frac{dz}{z}
  + \frac{t_{1}^{2} - t_{0}^{2}}{4\pi i}
    \int_{(C)} \frac{f'(z)}{f(z)} (1 + \epsilon )\, \frac{dz}{z^{2}}.
\]
La seconde partie tendant vers zéro (\no{184}), on peut réduire l'intégrale~\Eq{(6)}
à sa première partie
\[
\Tag{(7)}
\frac{t_{1} - t_{0}}{2\pi i} \int_{(C)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, \frac{dz}{z}.
\]

Lorsque la fonction~$f(z)$ est impaire, sa dérivée~$f'(z)$ est paire;
lorsque la fonction est paire, sa dérivée est impaire; dans ces deux cas,
le quotient~$\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ est une fonction impaire. Si la courbe~$C$ a pour centre
l'origine, l'intégrale~\Eq{(7)}, ayant ses éléments égaux deux à deux et de
signes contraires, est identiquement nulle, et la formule~\Eq{(5)} se réduit à
\[
\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}
  = \lim \frac{\ds\prod \left(\frac{a - t_{1}}{a - t_{0}}\right)^{n}}
              {\ds\prod \left(\frac{\alpha - t_{1}}{\alpha - t_{0}}\right)^{p}}\;,
\]
ou, en remplaçant $t_{0}$~et~$t_{1}$ par $z_{0}$~et~$z$,
\[
\Tag{(8)}
\frac{f(z)}{f(z_{0})}
  = \lim \frac{\ds\prod \left(\frac{a - z}{a - z_{0}}\right)^{n}}
              {\ds\prod \left(\frac{\alpha - z}{\alpha - z_{0}}\right)^{p}}\;.
\]
\DPPageSep{318.png}{310}

Lorsque la fonction~$f(z)$ n'est ni nulle ni infinie à l'origine, on peut
faire $z_{0} = 0$, et la formule précédente devient
\[
\Tag{(9)}
\frac{f(z)}{f(0)}
  = \lim \frac{\ds\prod \left(1 - \frac{z}{a}\right)^{n}}
              {\ds\prod \left(1 - \frac{z}{\alpha}\right)^{p}}\;.
\]

\Section{Développement de~$\cos z$}

\Paragraph{199.} La fonction~$\cos z$ admet les racines simples $a = (2m + 1)\dfrac{\pi}{2}$,
distribuées uniformément sur l'axe~$Ox$, et n'a pas de pôles. Portant sur
l'axe~$Ox$ (\Figref{75}) des longueurs $OA, OA'$ égales à~$m'\pi$, et sur l'axe~$Oy$
\Fig[2in]{75}
des longueurs $OB, OB'$ égales à~$y_{1}$, nous formerons le rectangle $EFGH$,
suivant lequel nous effectuerons l'intégration. Pour avoir tous les zéros
compris dans ce rectangle, on fera varier~$m$ de~$-m'$ à~$m' - 1$. Le module
de~$\dfrac{f'(z)}{f(z)} = -\tang z$ étant plus petit que~$1$ sur les côtés $FG, HE$,
et très-voisin de~$1$ sur les côtés $EF, GH$, on peut réduire l'intégrale~\Eq{(6)}
à sa première partie~\Eq{(7)}. D'ailleurs, la fonction proposée~$\cos z$ étant
paire, cette première partie est identiquement nulle. On a donc, d'après
\DPPageSep{319.png}{311}
la formule~\Eq{(9)},
\[
\Tag{(10)}
\cos z = \lim \prod_{m = -m'}^{m = m' - 1}
  \left[1 - \frac{z}{(2m + 1) \dfrac{\pi}{2}}\right],
\]
et, en groupant les facteurs deux à deux,
\[
\Tag{(11)}
\cos z = \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 - \frac{4z^{2}}{(2m - 1)^{2} \pi^{2}}\right].
\]

\Section{Développement de~$\sin z$}

\Paragraph{200.} On effectuera d'une manière analogue le développement de la
fonction paire~$\dfrac{\sin z}{z}$, qui admet les racines $a = m\pi$, à l'exception de
$a = 0$. On formera le rectangle en portant sur l'axe~$Ox$ des longueurs
$OA, OA'$ égales à~$m'\pi + \dfrac{\pi}{2}$, et l'on fera varier~$m$ de~$-m'$
à~$+m'$, en exceptant $m = 0$. Le module de la fonction $\dfrac{f'(z)}{f(z)} = \cot z - \dfrac{1}{z}$
ayant une valeur voisine de~$1$ sur le contour du rectangle, on réduira
l'intégrale~\Eq{(6)} à sa première partie~\Eq{(7)}, qui est identiquement
nulle. On a donc
\begin{align*}
\Tag{(12)}
\frac{\sin z}{z}
  &= \lim \prod_{m = -m'}^{m = m'} \left(1 - \frac{z}{m\pi}\right), \\
\Tag{(13)}
\sin z
  &= z \prod_{m = 1}^{m = \infty} \left(1 - \frac{z^{2}}{m^{2}\pi^{2}}\right).
\end{align*}

\Remarques Si l'on développe ce dernier produit suivant les
puissances croissantes de~$z$ (\no{196}), on~a
\[
\sin z = z - s_{1} z^{3} + s_{2} z^{5} - s_{3} z^{7} + \ldots,
\]
en désignant par~$s_{1}$ la somme des quantités $\dfrac{1}{1^{2}\pi^{2}}, \dfrac{1}{2^{2}\pi^{2}}, \dfrac{1}{3^{2}\pi^{2}}, \ldots$, par~$s_{2}$
\DPPageSep{320.png}{312}
la somme des produits de ces quantités deux à deux, etc.; mais cette
série doit être identique à la série
\[
\sin z = z - \frac{z^{3}}{1·2·3} + \frac{z^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots.
\]
En égalant les coefficients des mêmes puissances de~$z$, on obtient
diverses relations, parmi lesquelles se trouve la suivante:
\[
\frac{\pi^{2}}{6}
  = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots\DPtypo{}{.}
\]

La formule~\Eq{(11)} donne lieu à des relations analogues; ainsi l'on~a
\[
\frac{\pi^{2}}{8}
  = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots.
\]

\Section{Développement des fonctions~$\theta$ en produits}

\Paragraph{201.} Nous avons obtenu (\no{192}) l'expression
\[
\Diff \log\theta_{3}(z)
  = -\frac{\pi}{\omega} \lim \sum_{m = -m'}^{m = m' - 1}
  \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m + 1) \frac{\omega'}{2}\right].
\]
La série n'est pas convergente dans les deux sens; mais si l'on groupe
les termes deux à deux, on obtient une série convergente
\[
\llap{$\Diff \log$}\theta_{3}(z)
  = -\frac{\pi}{\omega} \sum_{m = 1}^{m = \infty}
  \left\{ \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \frac{\omega'}{2}\right]
        + \tang \frac{\pi}{\omega} \left[z + (2m - 1) \frac{\omega'}{2}\right]
  \right\}.
\]

Supposons qu'après avoir multiplié les deux membres par~$dz$, on
intègre, en faisant marcher la variable~$z$ sur une courbe allant de
l'origine à un point quelconque~$z$ du plan, et ne passant par aucune
des racines de la fonction~$\theta_{3}(z)$. Comme on peut prendre~$m$ assez
grand pour que le module de la somme des termes de la série, à partir
du terme de rang~$m$, soit moindre qu'une quantité donnée sur toute
\DPPageSep{321.png}{313}
la courbe, on aura, d'après le théorème du \no{81},
\begin{align*}
\log \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{3}(0)}
  &= \sum_{m = 1}^{m = \infty} \log
  \frac{\cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]
        \cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z + (2m - 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}
       {\cos^{2}(2m - 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}}\;,
\displaybreak[1] \\
%
\log \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{3}(0)}
  &= \sum_{m = 1}^{m = \infty} \log \left[
    1 - \frac{\sin^{2} \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2}(2m - 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}} \right],
\end{align*}
chacun des logarithmes se réduisant à zéro pour $z = 0$. On en déduit
\[
\Tag{(14)}
\theta_{3}(z) = \theta_{3}(0) \prod_{m = 1}^{m = \infty} \left[
    1 - \frac{\sin^{2} \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2}(2m - 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}} \right],
\]
et, en remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$,
\[
\Tag{(15)}
\theta(z) = \theta_{3}(0) \prod_{m = 1}^{m = \infty} \left[
    1 - \frac{\cos^{2} \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2}(2m - 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}} \right].
\]

L'équation~\Eq{(63)} du \no{192} donne de même
\[
\Diff \log\theta_{2}(z) = - \frac{\pi}{\omega} \left\{
  \tang \frac{\pi z}{\omega}
  + \sum_{m = 1}^{m = \infty} \left[
    \tang \frac{\pi}{\omega} (z - m\omega')
  + \tang \frac{\pi}{\omega} (z + m\omega')\right] \right\};
\]
en intégrant suivant une courbe partant de l'origine et ne passant par
aucune des racines de la fonction~$\theta_{2}(z)$, on~a
\begin{align*}
\log \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{2}(0)}
  &= \log \cos \frac{\pi z}{\omega}
  + \sum_{m = 1}^{m = \infty} \log
    \frac{\cos \dfrac{\pi}{\omega} (z - m\omega')
          \cos \dfrac{\pi}{\omega} (z + m\omega')}
         {\cos^{2}m \dfrac{\pi\omega'}{\omega}}\; ,
\displaybreak[1] \\
%
\log \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{2}(0)}
  &= \log \cos \frac{\pi z}{\omega}
  + \sum_{m = 1}^{m = \infty} \log \left(
    1 - \frac{\sin^{2}  \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2} m\dfrac{\pi\omega'}{\omega}}\right),
\end{align*}
\DPPageSep{322.png}{314}
chaque logarithme s'annulant pour $z = 0$. On en déduit
\[
\Tag{(16)}
\theta_{2}(z) = \theta_{2}(0) \cos \frac{\pi z}{\omega}
  \prod_{m = 1}^{m = \infty} \left(
    1 - \frac{\sin^{2}  \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2} m\dfrac{\pi\omega'}{\omega}}\right),
\]
et, en remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$,
\[
\Tag{(17)}
\theta_{1}(z) = \theta_{2}\DPnote{** [sic], not \theta_{1}} (0) \sin \frac{\pi z}{\omega}
  \prod_{m = 1}^{m = \infty} \left(
    1 - \frac{\cos^{2} \dfrac{\pi z}{\omega}}
             {\cos^{2} m\dfrac{\pi\omega'}{\omega}}\right).
\]

\Paragraph{202.} La forme de ces expressions peut être modifiée par l'introduction
de la quantité~$q$. Elles deviennent
\[
\Tag{(18)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3} (z)
  &= \theta_{3} (0) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{1 + 2q^{2m - 1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)}}{(1 + q^{2m - 1})^{2}},
\\
\theta (z)
  &= \theta_{3} (0) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{1 - 2q^{2m - 1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)}}{(1 + q^{2m - 1})^{2}},
\\
\theta_{2} (z)
  &= \theta_{2} (0) \cos \frac{\pi z}{\omega} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{1 + 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}{(1 + q^{2m})^{2}},
\\
\theta_{1} (z)
  &= \theta_{2} (0) \sin \frac{\pi z}{\omega} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{1 - 2q^{2m} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4m}}{(1 + q^{2m})^{2}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Les deux constantes $\theta_{3}(0), \theta_{2}(0)$ ne dépendent que de la quantité~$q$,
et, par conséquent, que du rapport des périodes (\no{77}). On les ramène
l'une à l'autre en faisant $z = \dfrac{\omega'}{2}$ dans la première de ces équations,
ce qui donne
\[
\theta_{2}(0) = \theta_{3}(0) \sqrt[4]{q} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{\bigl[1 + q^{2(m-1)}\bigr] (1 + q^{2m})}{(1 + q^{2m-1})^{2}}
  = 2 \theta_{3} (0) \sqrt[4]{q} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
      \frac{(1 + q^{2m})^{2}}{(1 + q^{2m-1})^{2}}.
\]
\DPPageSep{323.png}{315}

Si donc on pose
\[
\Tag{(19)}
\phi(q) = \theta_{3}(0) \prod_{m = 1}^{m = \infty} \frac{1}{(1 + q^{2m-1})^{2}},
\]
on obtient les expressions suivantes des quatre fonctions~$\theta$:
\[
\Tag{(20)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3} (z)
  &= \phi (q) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 + 2q^{2m - 1} \cos \frac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)} \right],
\\
\theta (z)
  &= \phi (q) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 - 2q^{2m - 1} \cos \frac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m - 1)} \right],
\\
\theta_{2} (z)
  &= 2 \sqrt[4]{q}\, \phi (q) \cos \frac{\pi z}{\omega} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 + 2q^{2m} \cos \frac{2\pi z}{\omega} + q^{4m} \right],
\\
\theta_{1} (z)
  &=  2 \sqrt[4]{q}\, \phi (q) \sin \frac{\pi z}{\omega} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 - 2q^{2m} \cos \frac{2\pi z}{\omega} + q^{4m} \right].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{203.} Voici comment Jacobi est parvenu à exprimer~$\phi(q)$ par un produit.
La comparaison de la seconde des équations précédentes et de la
seconde des équations~\Eq{(8)} du \no{74} donne l'égalité
\[
\phi(q)
  = \frac{\ds1 + 2 \sum_{m = 1}^{m = \infty}
            (-1)^{m} q^{m^{2}} \cos \dfrac{2m\pi z}{\omega}}
    {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty}
      \left[1 - 2q^{2m-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2m-1)} \right]}\;.
\]
Le second membre doit être indépendant de~$z$; si l'on y fait successivement
$z = 0$ et $z = \dfrac{\omega}{4}$, on~a
\[
\Tag{(21)}
\phi(q)
  = \frac{\ds1 + 2 \sum_{m = 1}^{m = \infty} (-1)^{m} q^{m^{2}}}
         {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m-1})^{2}}
  = \frac{\ds1 + 2 \sum_{m = 1}^{m = \infty} (-1)^{m} q^{4m^{2}}}
         {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} \bigl[1 + q^{2(2m-1)}\bigr]}\;;
\]
\DPPageSep{324.png}{316}
on obtient le second numérateur en remarquant que les termes qui
correspondent à des valeurs impaires de~$m$ sont nuls, de sorte qu'il
suffit de donner à $m$~des valeurs paires. Remplaçons~$q$ par~$q^{4}$, il vient
\[
\phi(q^{4})
  = \frac{\ds1 + 2 \sum_{m = 1}^{m = \infty} (-1)^{m} q^{4m^{2}}}
         {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} \bigl[1 - q^{4(2m - 1)}\bigr]^{2}}\;,
\]
d'où
\[
\frac{\phi(q)}{\phi(q^{4})}
= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \frac{\bigl[1 - q^{4(2m - 1)}\bigr]^{2}}{1 + q^{2(2m - 1)}}
= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \bigl[1 - q^{2(2m - 1)}\bigr] \bigl[1 - q^{4(2m - 1)}\bigr].
\]
Cette dernière expression peut être transformée; le facteur $1 - q^{4m}$
étant de la forme $1 - q^{4·2m'}$ ou $1 - q^{4(2m'-1)}$, suivant que $m$~est pair ou
impair, et $m'$~variant de~$1$ à~$\infty$, on~a
\[
\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4m})
  = \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4·2m}) \bigl[1 - q^{4(2m-1)}\bigr],
\]
d'où
\begin{gather*}
\frac{\phi(q)}{\phi(q^{4})}
= \frac{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} \bigl[1 - q^{2(2m-1)}\bigr] (1 - q^{2·2m})}
       {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4·2m})}
= \frac{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m})}
       {\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4·2m})}\;, \displaybreak[1] \\
%
\Tag{(22)}
\frac{\phi(q)}{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m})}
  = \frac{\phi(q^{4})}{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4·2m})}.
\end{gather*}

Ainsi le premier membre de cette dernière équation ne change pas
quand on y remplace~$q$ par~$q^{4}$. En remplaçant plusieurs fois successivement~$q$
par~$q^{4}$, on~a
\[
\frac{\phi(q)}{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m})}
  = \frac{\phi(q^{4^{n}})}{\ds\prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{4^{n}·2m})};
\]
\DPPageSep{325.png}{317}
mais quand $n$~augmente indéfiniment, le second membre se réduit
à~$\phi(0)$, c'est-à-dire à~$1$. On a donc
\[
\Tag{(23)}
\phi(q) = \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m}).
\]

\Section{Développement des fonctions~$\vartheta$ en produits}

\Paragraph{204.} Les formules que nous venons de trouver pour exprimer les
fonctions~$\theta$ peuvent être appliquées immédiatement aux fonctions~$\vartheta$.

Si l'on pose
\[
\Tag{(24)}
\phi(p) = \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - p^{2m}),
\]
on~a
\[
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} (z)
  &= \phi (p) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 + 2p^{2m - 1} \cos \frac{2\pi z}{\omega'} + p^{2(2m - 1)} \right],
\\
\vartheta_{2} (z)
  &= \phi (p) \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left[1 - 2p^{2m - 1} \cos \frac{2\pi z}{\omega'} + p^{2(2m - 1)} \right],
\\
\vartheta (z)
  &= \phantom{-}
    2 \sqrt[4]{p}\, \phi (p) \cos \frac{\pi z}{\omega'} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(1 + 2p^{2m} \cos \frac{2\pi z}{\omega'} + p^{4m} \right),
\\
\vartheta_{1} (z)
  &= -2 \sqrt[4]{p}\, \phi (p) \sin \frac{\pi z}{\omega'} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(1 - 2p^{2m} \cos \frac{2\pi z}{\omega'} + p^{4m} \right).
\end{aligned}
\right.
\]

Dans les applications où la première période~$\omega$ est réelle, la seconde~$\omega'$
imaginaire et de la forme~$\omega'' i$, et la variable~$z$ réelle, les formules~\Eq{(20)}
renferment des sinus et cosinus ordinaires, les formules~\Eq{(25)} des sinus
et cosinus hyperboliques.

\Section{Expressions du module et du multiplicateur en produits}

\Paragraph{205.} Nous avons déterminé le module~$k$ et le module complémentaire~$k'$,
ainsi que le multiplicateur~$g$, par des sommes, à l'aide de~$q$ ou
\DPPageSep{326.png}{318}
de~$p$ (\nos~\nref{77},~\nref{159} et~\nref{173}); nous pouvons aussi les déterminer par des
produits. On a d'abord, en vertu des formules \Eq{(20)}~et~\Eq{(25)},
\begin{align*}
\Tag{(26)}
&\left\{
\begin{aligned}
\theta_{3} (0)
  &= \phi (q) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + q^{2m - 1})^{2},
\\
\theta (0)
  &= \phi (q) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m - 1})^{2},
\\
\theta_{2} (0)
  &= 2 \sqrt[4]{q}\, \phi (q) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + q^{2m})^{2};
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\Tag{(27)}
&\left\{
\begin{aligned}
\vartheta_{3} (0)
  &= \phi (p) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + p^{2m - 1})^{2},
\\
\vartheta_{2} (0)
  &= \phi (p) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - p^{2m - 1})^{2},
\\
\vartheta (0)
  &= 2 \sqrt[4]{p}\, \phi (p) \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + p^{2m})^{2}.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
Les formules
\[
\Tag{(28)}
\sqrt{k} = \frac{\theta_{2}(0)}{\theta_{3} (0)}
  = \frac{\vartheta_{2}(0)}{\vartheta_{3} (0)},\quad
\sqrt{k'} = \frac{\theta(0)}{\theta_{3} (0)}
  = \frac{\vartheta(0)}{\vartheta_{3} (0)},
\]
qui définissent les modules $k$~et~$k'$, donnent
\begin{align*}
\Tag{(29)}
\sqrt{k} &= 2 \sqrt[4]{q} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(\frac{1 + q^{2m}}{1 + q^{2m-1}}\right)^{2}
= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(\frac{1 - p^{2m-1}}{1 + p^{2m-1}}\right)^{2}, \displaybreak[1] \\
%
\Tag{(30)}
\sqrt{k'} &= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(\frac{1 - q^{2m-1}}{1 + q^{2m-1}}\right)^{2}
= 2 \sqrt[4]{p} \prod_{m = 1}^{m = \infty}
  \left(\frac{1 + p^{2m}}{1 + p^{2m-1}}\right)^{2}.
\end{align*}

En divisant par~$z$ les deux membres de la quatrième des équations~\Eq{(20)}
et de la quatrième des équations~\Eq{(25)}, et faisant tendre~$z$
\DPPageSep{327.png}{319}
vers zéro, on~a
\begin{align*}
\theta'_{1}(0)
  &= \frac{2\pi}{\omega} \sqrt[4]{q}\, \phi (q)
     \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - q^{2m})^{2}, \\
\vartheta'_{1}(0)
  &= - \frac{2\pi}{\omega'} \sqrt[4]{p}\, \phi (p)
     \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 - p^{2m})^{2}.
\end{align*}
Les formules
\[
g = \frac{1}{\sqrt{k}}\, \frac{\theta'_{1}(0)}{\theta(0)}
  = \frac{1}{i \sqrt{k}}\, \frac{\vartheta'_{1}(0)}{\vartheta(0)},
\]
qui définissent le multiplicateur~$g$, deviennent
\begin{align*}
\sqrt{\frac{g \omega}{\pi}}
  &= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
     \frac{(1 - q^{2m}) (1 + q^{2m-1})}{(1 + q^{2m}) (1 - q^{2m-1})}\;, \\
\sqrt{\frac{g \omega'}{\pi i}}
  &= \prod_{m = 1}^{m = \infty}
     \frac{(1 - p^{2m}) (1 + p^{2m-1})}{(1 + p^{2m}) (1 - p^{2m-1})}\;.
\end{align*}
Ces formules peuvent être simplifiées. On remarque, en effet, que le
facteur $1 - q^{2m}$ est de la forme $1 - q^{4m} = (1 - q^{2m})(1 + q^{2m})$ ou de
la forme $1 - q^{2(2m-1)} = (1 - q^{2m-1})(1 + q^{2m-1})$, suivant que $m$~est pair
ou impair; il en résulte
\begin{align*}
\Tag{(31)}
\sqrt{\frac{g \omega}{\pi}}
  &= \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + q^{2m-1})^{2}(1 - q^{2m}), \\
\Tag{(32)}
\sqrt{\frac{g \omega'}{\pi i}}
  &= \prod_{m = 1}^{m = \infty} (1 + p^{2m-1})^{2}(1 - p^{2m}).
\end{align*}

Ces dernières formules, comparées aux formules \Eq{(26)}~et~\Eq{(27)},
donnent
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(33)}
\theta_{3}(0) &= \sqrt{\frac{g \omega}{\pi}},\quad &
\theta_{2}(0) &= \sqrt{\frac{g \omega k}{\pi}},\quad &
\theta(0) &= \sqrt{\frac{g \omega k'}{\pi}}, \\
%
\Tag{(34)}
\vartheta_{3}(0) &= \sqrt{\frac{g \omega'}{\pi i}},\quad &
\vartheta_{2}(0) &= \sqrt{\frac{g \omega' k}{\pi i}},\quad &
\vartheta(0) &= \sqrt{\frac{g \omega' k'}{\pi\Erratum{}{i}}}.
\end{alignat*}
\DPPageSep{328.png}{320}

Nous avons vu (\no{173}) que les fonctions $\theta_{3}(z)$~et~$\vartheta_{3}(z)$ satisfont
à la relation
\[
\vartheta(z)
  = Ce^{\efrac{\pi z^{2}i}{\omega\omega'}} \DPtypo{\theta}{\theta_{3}}(z).
\]
Il est facile maintenant de déterminer la constante~$C$; on a, en effet,
\[
\Tag{(35)}
C = \frac{\vartheta_{3}(0)}{\theta_{3}(0)}
  = \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}}.
\]

\Paragraph{206.} \Remarque La méthode de Cauchy permet d'opérer directement
la décomposition des fonctions elliptiques en produits d'une
infinité de facteurs rationnels; en prenant un contour d'intégration
convenable et groupant les facteurs d'une certaine façon, on arrive
aux fonctions~$\theta$, ou aux fonctions~$\vartheta$, ou à d'autres analogues.

Nous avons besoin, pour cela, de connaître le développement de la
fonction $\cos(z - z_{0})$. Si l'on forme un rectangle égal à celui qui nous
a servi pour le développement de~$\cos z$ (\no{199}), mais ayant son centre
au point~$z_{0}$, on verra, comme précédemment, que l'intégrale relative
au contour de ce rectangle tend vers zéro. Les zéros situés dans ce
rectangle sont $a = z_{0} + (2m + 1) \dfrac{\pi}{2}$, $m$~variant de~$-m'$ à~$m' - 1$, et
l'on~a
\[
\Tag{(36)}
\frac{\cos(z - z_{0})}{\cos z_{0}}
  = \lim \prod_{m = -m'}^{m = m' - 1}
    \left[1 - \frac{z}{z_{0} + (2m + 1)\dfrac{\pi}{2}}\right].
\]

Pour développer les fonctions elliptiques, nous emploierons un rectangle,
ayant pour sommets les points $z = ±\left(m'\omega - \dfrac{\omega}{4}\right) ± \left(n'\omega' - \dfrac{\omega'}{4}\right)$,
de manière que le contour ne passe par aucun des zéros ou des infinis
de ces fonctions. La fonction~$\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ conservant une valeur finie sur ce
contour et étant impaire, d'après ce que nous avons dit au \no{198},
l'intégrale définie relative à ce contour tend vers zéro, quand on augmente
indéfiniment les deux nombres entiers $m'$~et~$n'$, dont dépendent
les dimensions du rectangle. Les zéros et les infinis des trois fonctions
\DPPageSep{329.png}{321}
elliptiques sont représentés par les formules
\begin{alignat*}{2}
&\text{zéros de~$\lambda(z)$},\quad &
  a &= m \omega + n \omega', \\
&\text{zéros de~$\mu(z)$},\quad &
  a &= (2m + 1) \frac{\omega}{2} + n \omega', \\
&\text{zéros de~$\nu(z)$},\quad &
  a &= (2m + 1) \frac{\omega}{2} + (2n + 1) \frac{\omega'}{2}, \\
&\text{infinis},\quad &
  a &= m \omega + (2n + 1) \frac{\omega'}{2}.
\end{alignat*}
Pour avoir les zéros et les infinis compris dans le rectangle, il faudra
faire varier~$m$ de~$-m'$ à~$m' - 1$, et~$n$ de~$-n'$ à~$n' - 1$.

Considérons la fonction~$\nu(z)$. La formule~\Eq{(9)} donne
\[
\Tag{(37)}
\nu(z) = \lim
  \frac{\ds\prod \left[
      1 - \frac{z}{(2m + 1) \dfrac{\omega}{2} + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}
  \right]}
       {\ds\prod \left[1 - \frac{z}{m\omega + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}
  \right]}\;.
\]
Quelle que soit la manière dont on fasse augmenter $m'$~et~$n'$ à l'infini,
le quotient tend vers la même limite~$\nu(z)$; mais il n'en est pas de même
du numérateur et du dénominateur. Supposons que l'on fasse augmenter
à l'infini, d'abord $m', n'$ restant fixe, puis~$n'$; le numérateur
s'écrira
\[
\prod_{n = -n'}^{n = n' - 1}\; \prod_{m = -m'}^{m = m' - 1} \left[
  1 - \frac{z}{(2m + 1) \dfrac{\omega}{2} + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}
\right],
\]
en groupant les zéros par files parallèles à la direction de la période~$\omega$.
Quand $m'$~augmente à l'infini, $n$~restant constant, le produit
\[
\prod_{m = -m'}^{m = m' - 1} \left[
  1 - \frac{z}{(2m + 1) \dfrac{\omega}{2} + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}
\right],
\]
\DPPageSep{330.png}{322}
d'après la formule~\Eq{(36)}, tend vers une limite égale à
\[
\frac{\cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}
     {\cos (2n + 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}}\;.
\]
On a donc le produit
\[
\prod_{n = -n'}^{n = n' - 1}\;
  \frac{\cos \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}
       {\cos (2n + 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}}
  = \prod_{n = 1}^{n = n'}\;
    \frac{1 + 2q^{2n - 1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2n - 1)}}
         {(1 + q^{2n - 1})^{2}}\;,
\]
qui a pour limite la fonction~$\dfrac{\theta_{3}(z)}{\theta_{3}(0)}$ (\no{202}). Dans le dénominateur
\[
\prod_{n = -n'}^{n = n' - 1}\; \prod_{m = -m'}^{m = m' - 1}
  \left[1 - \frac{z}{m\omega + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}\right],
\]
le premier produit
\[
\prod_{m = -m'}^{m = m' - 1}
  \left[1 - \frac{z}{m\omega + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}\right]
\]
tend vers une limite égale à
\[
\frac{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}
     {-\sin (2n + 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}}\;,
\]
et le second produit
\[
\prod_{n = -n'}^{n = n' - 1}\;
  \frac{\sin \dfrac{\pi}{\omega} \left[z - (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}\right]}
       {-\sin (2n + 1) \dfrac{\pi\omega'}{2\omega}}
  = \prod_{n = 1}^{n = n'}\;
    \frac{1 - 2q^{2n-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2n-1)}}
         {(1 - q^{2n-1})^{2}}
\]
vers la fonction~$\dfrac{\theta(z)}{\theta(0)}$. On exprime ainsi la fonction~$\nu(z)$ par le quotient
\DPPageSep{331.png}{323}
de deux fonctions holomorphes. Si l'on avait fait augmenter à l'infini,
d'abord~$m'$, puis~$n'$, ce qui revient à grouper les facteurs par files
parallèles à la direction de la période~$\omega'$, on aurait obtenu les deux
fonctions $\dfrac{\vartheta_{3}(z)}{\vartheta_{3}(0)}, \dfrac{\vartheta(z)}{\vartheta(0)}$.

On a de même
\[
\Tag{(38)}
\mu(z) = \lim
\frac{\ds\prod \left[1 - \frac{z}{(2m + 1) \dfrac{\omega}{2} + n\omega'}\right]}
     {\ds\prod \left[1 - \frac{z}{m\omega + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}\right]}\;.
\]
Le dénominateur est le même que le précédent. Quant au numérateur,
on trouvera $\dfrac{\theta_{2}(z)}{\theta_{2}(0)}$~par le premier mode, $\dfrac{\vartheta_{2}(z)}{\vartheta_{2}(0)}$~par le second mode.

La fonction~$\lambda(z)$ présente une difficulté particulière, parce qu'elle
s'annule pour $z = 0$. Si l'on applique la formule~\Eq{(9)} à la fonction
$\dfrac{\lambda(z)}{z\lambda'(0)}$, qui se réduit à l'unité pour $z = 0$, on~a
\[
\Tag{(39)}
\frac{\lambda(z)}{z \lambda'(0)} = \lim
  \frac{\ds\prod \left[1 - \frac{z}{m\omega + n\omega'}\right]}
       {\ds\prod \left[1 - \frac{z}{m\omega + (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}}
                 \right]}\;,
\]
en exceptant au numérateur la combinaison $m = 0, n = 0$. Dans le
premier mode, le numérateur s'écrit
\[
\prod_{n = -n'}^{n = n' - 1}\; \prod_{m = -m'}^{m = m' - 1}
  \left(1 - \frac{z}{m\omega + n\omega'} \right).
\]
Le produit
\[
\prod_{m = -m'}^{m = m' - 1} \left(1 - \frac{z}{m\omega} \right)
\]
\DPPageSep{332.png}{324}
tend vers une limite égale à~$\dfrac{\sin \dfrac{\pi z}{\omega}}{\dfrac{\pi z}{\omega}}$ (\no{200}), le produit
\[
\prod_{m = -m'}^{m = m' - 1} \left(1 - \frac{z}{m\omega + n\omega'}\right),
\]
où $n$~est différent de zéro, vers une limite égale à
\[
\frac{ \sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - n\omega')}
     {-\sin n \dfrac{\pi\omega'}{\omega}},
\]
en vertu de la formule~\Eq{(36)}. Le numérateur, multiplié par~$z$, devient
donc
\[
\frac{\omega}{\pi} \sin \frac{\pi z}{\omega}
  \prod \frac{\sin \dfrac{\pi}{\omega} (z - n\omega')}
             {-\sin n \dfrac{\pi\omega'}{\omega}}
  = \frac{\omega}{\pi} \sin \frac{\pi z}{\omega}
  \prod_{n = 1}^{n = n'}
  \frac{1 - q^{2n} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4n}}
       {(1 - q^{2n})^{2}};
\]
c'est la fonction $\dfrac{\theta_{1}(z)}{\theta'_{1}(0)}$. Le second mode donnerait $\dfrac{\vartheta_{1}(z)}{\vartheta'_{1}(0)}$\DPtypo{,}{.}

On pourrait aussi, à l'aide du théorème du \no{184}, décomposer les
fonctions elliptiques en des sommes de termes rationnels; en prenant
un contour d'intégration convenable et groupant les termes d'une certaine
façon, on retrouverait les séries que nous avons obtenues (\no{189})
et qui sont formées de termes simplement périodiques.

C'est en décomposant les fonctions elliptiques en facteurs, mais par
une méthode toute différente, qu'Abel et Jacobi ont découvert les fonctions~$\theta$,
qui jouent aujourd'hui un rôle si important dans les Mathématiques.

\DPPageSep{333.png}{325}


\Livre{V}{Fonctions Définies par des Équations Différentielles}

\Chapitre[Les Équations Différentielles]
{Premier}{Existence de la Fonction Intégrale}

Les cas où l'on peut intégrer une équation différentielle sont extrêmement
rares, et doivent être regardés comme des exceptions; mais
on peut considérer une équation différentielle comme définissant une
fonction, et se proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur
l'équation différentielle elle-même.

Soit
\[
\frac{du}{dz} = f(u, z)
\]
une équation différentielle du premier ordre; $u$~sera une fonction de~$z$,
définie par la condition de satisfaire à l'équation différentielle et d'admettre
une valeur initiale donnée~$u_{0}$ pour $z = z_{0}$. Cauchy a démontré
que, si le coefficient différentiel~$f(u, z)$ est une fonction holomorphe
pour les valeurs de~$u$ et de~$z$ voisines de~$u_{0}$ et de~$z_{0}$, la fonction intégrale~$u$
est elle-même holomorphe pour les valeurs de~$z$ voisines de~$z_{0}$.
Nous donnons d'abord une démonstration plus simple de ce théorème
fondamental.

%[** TN: Inconsistent formatting in original; italic headings, upright text.]
\Paragraph{207.} \begin{Lemme}[I] Soit $f(x)$ une fonction holomorphe de la variable
imaginaire~$x$, dans le cercle décrit du point~$x_{0}$ comme centre avec un
\DPPageSep{334.png}{326}
rayon~$r$, et continue sur la circonférence elle-même. Appelons~$M$ le
maximum du module de la fonction~$f(x)$ dans le cercle de rayon~$r$.
Si, dans la formule (\no{87})
\[
f^{n}(x_{0}) = \frac{1·2\cdots n}{2\pi r^{n}}
  \int_{0}^{2\pi} f(x_{0} + r e^{\theta i}) e^{-n \theta i}\, d\theta,
\]
on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité~$M\, d\theta$
plus grande que son module, on augmente évidemment le module de
l'intégrale définie, qui se réduit alors à~$2\pi M$, et l'on~a
\[
\Tag{(1)}
\mod\, f^{n}(x_{0}) < 1·2\cdots n\, \frac{M}{r^{n}}.
\]
\end{Lemme}

\begin{Lemme}[II] Soit $f(x, y)$ une fonction holomorphe par rapport à
chacune des variables imaginaires $x, y$, quand ces variables restent
comprises respectivement dans des cercles de rayons $r, r'$, décrits des
points $x_{0}, y_{0}$ comme centres, et continue sur les circonférences elles-mêmes.
Appelons de même~$M$ le maximum du module de la fonction
dans l'étendue des valeurs considérées. Si, dans la formule (\no{100})
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Diff_{xy}^{n + n'} f(x_{0}, y_{0}) \\
  = \frac{1·2\cdots n·1·2\cdots n'}{4 \pi^{2}r^{n} r'^{n'}}
    \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi}
    f(x_{0} + r e^{\theta i}, y_{0} + r'e^{\theta' i})
    e^{-(n\theta + n'\theta')i}\, d\theta\, d\theta',
\end{multline*}
on remplace chaque élément de l'intégrale multiple par une quantité
$M\, d\theta\, d\theta'$ plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale,
et l'on~a
\[
\Tag{(2)}
\mod \Diff_{xy}^{n + n'} f(x_{0}, y_{0})
  < 1·2\cdots n · 1·2\cdots n'\, \frac{M}{r^{n} {r'}^{n'}}.
\]
\end{Lemme}

\begin{Lemme}[III] Il est facile de composer une fonction dont les
dérivées partielles aient en~$x_{0}, y_{0}$ des valeurs égales aux limites assignées
pour les modules des dérivées correspondantes de la fonction
proposée~$f(x, y)$.

Considérons, en effet, la fonction
\[
\Tag{(3)}
\phi(x, y) = \frac{M}{\left(1 - \dfrac{x - x_{0}}{r}\right)
                      \left(1 - \dfrac{y - y_{0}}{r'}\right)},
\]
\DPPageSep{335.png}{327}
qui se développe en une série convergente tant que les différences
$x - x_{0}$, $y - y_{0}$ ont des modules respectivement moindres que $r, r'$.
Le terme général de la série est de la forme
\[
M \frac{(x - x_{0})^{n}}{r^{n}}\, \frac{(y - y_{0})^{n'}}{{r'}^{n'}}.
\]
Si l'on prend une dérivée quelconque~$\Diff_{xy}^{n+n'}$ de la fonction~$\phi(x,y)$, et
que l'on y fasse $x = x_{0}$, $y = y_{0}$, le terme écrit plus haut donne
\[
1·2\cdots n · 1·2\cdots n'\, \frac{M}{r^{n}{r'}^{n'}},
\]
et les résultats fournis par les autres termes s'évanouissent. On a donc
\[
\bigl[\Diff_{xy}^{n+n'} \phi(x, y)\bigr]_{0}
  = 1·2\cdots n · 1·2\cdots n'\, \frac{M}{r^{n}{r'}^{n'}}.
\]
Ainsi, en $x_{0}, y_{0}$, les dérivées de la fonction~$\phi$ sont des limites supérieures
des modules des dérivées de la fonction~$f$.
\end{Lemme}

\Paragraph{208.} \begin{Théorème}{I}
Une équation différentielle
\[
\Tag{(4)}
\frac{du}{dz} = f(z, u)
\]
admet une intégrale holomorphe, tant que le coefficient différentiel est
lui-même holomorphe par rapport à $z$~et~$u$.
\end{Théorème}

Nous supposons que la variable~$z$ part du point~$z = z_{0}$, la fonction~$u$
ayant une certaine valeur initiale $u = u_{0}$. Pour simplifier, représentons
les variables par $z_{0} + z$ et $u_{0} + u$; la variable~$z$ partira alors de $z = 0$,
la fonction~$u$ ayant la valeur initiale $u = 0$. Le coefficient différentiel
reste holomorphe pour toutes les valeurs de~$z$ et de~$u$ situées dans des
cercles décrits des points $z = 0$ et $u = 0$ pris pour origines avec des rayons
égaux à~$\rho$ et à~$r$, et continu sur les circonférences elles-mêmes. Nous
appellerons~$M$ le maximum du module de la fonction~$f$ dans cette
étendue.

Si l'équation différentielle admet une intégrale jouissant des propriétés
\DPPageSep{336.png}{328}
énoncées, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des
équations
\[
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
u'   &=& f(z, u), \\
u''  &=& \Diff_{z} f + u' \Diff_{u} f, \\
u''' &=& \Diff_{z}^{2}f + 2u' \Diff_{zu}^{2}f
         + u'^{2} \Diff_{u}^{2}f + u'' \Diff_{u} f, \\
\hdotsfor{3},
\end{array}
\right.
\]
que l'on déduit de la première par la différentiation (\no{101}).

Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs
de la fonction~$f$ et de ses dérivées partielles pour $z = 0$ et $u = 0$ par
leurs modules; la première donnera le module de~$u'_{0}$; en portant cette
valeur dans la seconde, on aura une limite supérieure du module
de~$u''_{0}$; en portant ces valeurs dans la troisième, on aura une limite
supérieure du module de~$u'''_{0}$; et ainsi de suite.

En vertu du lemme~III, les dérivées partielles de la fonction~$f(z, u)$
ont, pour $z = 0$, $u = 0$, des valeurs dont les modules sont moindres
que les dérivées correspondantes de la fonction
\[
\phi(z, u)
  = \frac{M}{\biggl(1 - \dfrac{z}{\rho}\biggr) \biggl(1 - \dfrac{u}{r}\biggr)}
\]
pour $z = 0$, $u = 0$. Considérons l'équation différentielle
\[
\Tag{(6)}
\frac{dv}{dz} = \phi(z, v)
  = \frac{M}{\biggl(1 - \dfrac{z}{\rho}\biggr) \biggl(1 - \dfrac{v}{r}\biggr)},
\]
dans laquelle nous donnons à la fonction~$v$ la valeur initiale $v = 0$ pour
$z = 0$. Si cette nouvelle équation admet une intégrale holomorphe, on
obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
\[
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
v'  &=& \phi(z, v), \\
v'' &=& \Diff_{z} \phi + v' \Diff_{v} \phi, \\
\DPtypo{v''}{v'''}
  &=& \Diff_{z}^{2} \phi + 2v' \Diff_{zv}^{2} \phi
      + v'^{2} \Diff_{v}^{2} \phi + v'' \Diff_{v} \phi, \\
\hdotsfor{3},
\end{array}
\right.
\]
analogues aux équations~\Eq{(5)}. Quand on y fait $z = 0$, et $v = 0$, la fonction~$\phi$
et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives,
\DPPageSep{337.png}{329}
les seconds membres sont des sommes de termes positifs, et l'on en
déduit successivement pour $v'_{0}, v''_{0}, v'''_{0}, \ldots$ des valeurs positives. Ainsi
la fonction~$v$ a pour $z = 0$ toutes ses dérivées réelles et positives.

Comparons maintenant les équations \Eq{(5)}~et~\Eq{(7)}. On voit d'abord que
le module de~$u'_{0}$ est moindre que~$v'_{0}$. Les modules des termes de la seconde
des équations~\Eq{(5)} étant moindres que les termes correspondants
de la seconde des équations~\Eq{(7)}, le module de~$u''_{0}$ est moindre que~$v''_{0}$,
et ainsi de suite. On conclut de là que les modules des quantités $u'_{0},
u''_{0}, u'''_{0}, \ldots$, déduites des équations~\Eq{(5)}, sont respectivement moindres
que les quantités $v'_{0}, v''_{0}, v'''_{0}, \ldots$, déduites des équations~\Eq{(7)}.

Il est facile de reconnaître que la fonction~$v$ existe. Mettons l'équation
différentielle~\Eq{(6)} sous la forme
\[
\Tag{(8)}
\left(1 - \frac{v}{r}\right) \frac{dv}{dz}
  = \frac{M}{1 - \dfrac{z}{\rho}};
\]
si la fonction~$v$ existe, les deux membres sont respectivement les dérivées
des fonctions de~$z$
\[
v - \frac{v^{2}}{2r},\quad
-M \rho \log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right);
\]
nous prendrons le logarithme qui s'annule pour $z = 0$, et qui reste holomorphe
dans le cercle~$\rho$. Ces deux fonctions, ayant leurs dérivées
égales et même valeur pour $z = 0$, doivent être égales entre elles; on
en conclut que la fonction cherchée~$v$ satisfait à l'équation finie
\[
\Tag{(9)}
v - \frac{v^{2}}{2r} = - M \rho \log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right),
\]
et que, par conséquent, elle est représentée par la formule
\[
\Tag{(10)}
v = r - r \sqrt{1 + \frac{2M \rho}{r} \log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right)},
\]
dans laquelle le radical a la valeur~$+1$ pour $z = 0$. Les deux racines
de l'équation~\Eq{(9)} deviennent égales lorsque la quantité placée sous le
\DPPageSep{338.png}{330}
radical est nulle, c'est-à-dire lorsque
\[
\log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right) = -\frac{r}{2M \rho},
\quad\text{d'où}\quad
z = \rho \left(1 - e^{\efrac{r}{2M\rho}}\right) = \rho';
\]
cette valeur $z = \rho'$, inférieure à~$\rho$, est un point critique; ainsi la formule~\Eq{(10)}
définit une fonction holomorphe de~$z$, tant que cette variable
reste comprise dans le cercle décrit du point $z = 0$ comme centre avec
un rayon égal à~$\rho'$. Cette fonction satisfait à l'équation~\Eq{(9)}, et, par conséquent,
à l'équation~\Eq{(8)}.

La fonction~$v$ se développe en une série
\[
\Tag{(11)}
v = v'_{0} \frac{z}{1}
  + v''_{0} \frac{z^{2}}{1·2}
  + v'''_{0} \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots
\]
convergente dans le cercle~$\rho'$; on peut en calculer les coefficients à
l'aide des équations~\Eq{(7)}; comme nous l'avons remarqué, ils sont tous
réels et positifs. Si l'on attribue à~$z$ une valeur ayant un module~$\rho''$
inférieur à~$\rho'$, le module de~$v$ sera plus petit que la somme des modules
des termes de la série, c'est-à-dire que la valeur de~$v$ pour $z = \rho''$;
cette valeur de~$v$, réelle et positive, augmente avec~$\rho''$; mais, pour $z = \rho'$,
le radical étant nul, l'équation~\Eq{(10)} donne $v = r$. On en conclut que,
dans le cercle de convergence~$\rho'$, le module de la fonction~$v$ reste plus
petit que~$r$.

Considérons maintenant la série
\[
\Tag{(12)}
u = u'_{0} \frac{z}{1}
 +  u''_{0} \frac{z^{2}}{1·2}
 +  u'''_{0} \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots,
\]
dont les coefficients sont les quantités que nous avons calculées de
proche en proche à l'aide des équations~\Eq{(5)}. Nous avons vu que les modules
de ces coefficients sont moindres que les coefficients correspondants
de la série~\Eq{(11)}; ainsi la série~\Eq{(12)} est aussi convergente dans le
cercle~$\rho'$, et elle définit une fonction holomorphe dans ce cercle. Nous
remarquons que, si l'on attribue à~$z$ une valeur ayant un module~$\rho''$ inférieur
à~$\rho'$, le module de~$u$ est plus petit que la somme des modules
des termes de la série~\Eq{(12)}, et, à plus forte raison, plus petit que la
\DPPageSep{339.png}{331}
somme des termes de la série~\Eq{(11)} pour $z = \rho''$, c'est-à-dire que la valeur
de~$v$ pour $z = \rho''$; mais cette valeur de~$v$ est plus petite que~$r$; on en
conclut que, dans le cercle~$\rho'$, la fonction holomorphe~$u$, définie par la
série~\Eq{(12)}, a un module plus petit que~$r$.

Il reste à démontrer que cette fonction satisfait bien à l'équation différentielle
proposée~\Eq{(4)}. Si l'on y remplace~$u$ par sa valeur~\Eq{(12)}, le
premier membre devient
\[
\Tag{(13)}
\frac{du}{dz}
  = u'_{0} + u''_{0} \frac{z}{1} + u'''_{0} \frac{z^{2}}{1·2} + \ldots.
\]
Le second membre~$f(z, u)$, qui est une fonction holomorphe des deux
variables $z$~et~$u$, pour toutes les valeurs de ces deux variables dont les
modules sont respectivement inférieurs à~$\rho$ et à~$r$, devient une fonction
holomorphe de~$z$, dans le cercle~$\rho'$ (\DPtypo{101}{\no{101}}). Cette fonction, que nous
désignerons par~$F(z)$, se développe en une série
\[
\Tag{(14)}
F(z) = F(0) + F'(0) \frac{z}{1} + F''(0) \frac{z^{2}}{1·2} + \ldots,
\]
convergente dans le cercle, et l'on pourra calculer les coefficients de la
série à l'aide des équations
\[
\Tag{(15)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
F(z)   &=& f(z, u), \\
F'(z)  &=& \Diff_{z} f + u' \Diff_{u} f, \\
F''(z) &=& \Diff_{z}^{2} f + 2u' \Diff_{zu}^{2} f
           + u'^{2} \DPtypo{\Diff^{2}}{\Diff_{u}^{2}} f + u'' \Diff_{u} f, \\
\hdotsfor{3},
\end{array}
\right.
\]
dans lesquelles $u'\Add{,} u'', \ldots$ désignent les dérivées successives de la fonction~$u$
définie par la série~\Eq{(12)}. Pour $z = 0$, ces dérivées de~$u$ se réduisent
aux coefficients mêmes $u'_{0}, u''_{0}, \ldots$ de la série, c'est-à-dire aux
quantités déduites des équations~\Eq{(5)}. On voit alors que, pour $z = 0$,
$u = 0$, les seconds membres des équations~\Eq{(15)} sont identiquement les
mêmes que ceux des équations~\Eq{(5)}, et que par conséquent
\[
F(0) = u'_{0},\quad
F'(0) = u''_{0},\quad
F''(0) = u'''_{0}, \ldots;
\]
ainsi les deux séries \Eq{(13)}~et~\Eq{(14)} sont les mêmes, et l'équation différentielle
est vérifiée.
\DPPageSep{340.png}{332}

\Paragraph{209.} \Remarque Nous avons démontré que l'équation différentielle
$\dfrac{du}{dz} = f(u, z)$ admet une intégrale holomorphe dans une certaine
étendue. Il n'existe pas d'autre fonction satisfaisant à l'équation différentielle
proposée et devenant égale à zéro pour $z = 0$. Soit $u$~l'intégrale
holomorphe, et supposons qu'il existe une seconde intégrale, que nous
représenterons par~$u + v$, la fonction~$v$ s'évanouissant pour $z = 0$;
nous aurons
\[
\frac{d(u + v)}{dz} = f(u + v, z),
\]
d'où
\[
\frac{dv}{dz} = f(u + v, z) - f(u, z).
\]
Puisque le second membre s'annule pour $v = 0$, quelle que soit~$z$, il
contient une puissance de~$v$ en facteur (\no{115}), et l'on~a
\[
\frac{dv}{dz} = v^{m} \phi(z),
\]
en supposant que, dans le quotient, on ait remplacé $u$~et~$v$ par leurs
valeurs en fonction de~$z$. L'intégration le long d'une courbe quelconque
donne
\[
\frac{1}{m - 1} \left(\frac{1}{v_{0}^{m-1}} - \frac{1}{v^{m-1}}\right)
  = \int_{0}^{z} \phi(z)\, dz.
\]
L'intégrale définie ayant une valeur finie et $v_{0}$~devant être nulle, cette
égalité est impossible. Quand $m = 1$, l'équation différentielle devient
\[
\frac{dv}{v} = \phi(z)\, dz,
\]
d'où
\[
v = v_{0} e^{\textstyle\int_{0}^{z} \phi(z)\, dz}.
\]
Puisque $v_{0} = 0$, la fonction~$v$ est identiquement nulle.

Ainsi l'équation différentielle proposée n'admet pas d'intégrale prenant
la valeur zéro pour $z = 0$, autre que l'intégrale holomorphe\Add{.}
\DPPageSep{341.png}{333}

\Paragraph{210.} \begin{Théorème}{II}
Un système d'équations différentielles simultanées
admet des intégrales holomorphes, tant que les coefficients différentiels
sont eux-mêmes holomorphes.
\end{Théorème}

Soient les équations différentielles simultanées
\[
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
\dfrac{du_{1}}{dz} &=& f_{1} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}), \\
\Strut[22pt]
\dfrac{du_{2}}{dz} &=& f_{2} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}), \\
\hdotsfor{3}, \\
\dfrac{du_{n}}{dz} &=& f_{n} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n});
\end{array}
\right.
\]
nous supposons que la variable~$z$ parte de $z = 0$, les fonctions $u_{1},
u_{2}, \ldots, u_{n}$ ayant les valeurs initiales zéro. Les coefficients différentiels
$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$ sont des fonctions holomorphes des variables $z, u_{1},
u_{2}, \ldots, u_{n}$, tant que les modules de ces variables restent inférieurs ou
égaux à $\rho, r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}$, et, pour simplifier, nous remplacerons chacun
des rayons $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}$ par le plus petit d'entre eux~$r$. Appelons~$M$ le
maximum du module des fonctions $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$ dans cette étendue, et
posons
\[
\phi(z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})
  = \frac{M}{\biggl(1 - \dfrac{z}{\rho}\biggr)
             \biggl(1 - \dfrac{u_{1}}{r}\biggr)
             \biggl(1 - \dfrac{u_{2}}{r}\biggr) \ldots
             \biggl(1 - \dfrac{u_{n}}{r}\biggr)}.
\]
En vertu du lemme~III, les dérivées partielles des fonctions $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$
ont, pour $z = 0, u_{1} = 0, u_{2} = 0, \ldots, u_{n} = 0$, des valeurs dont les
modules sont respectivement moindres que les dérivées correspondantes
de la fonction~$\phi$.

Si l'on compare les équations différentielles proposées~\Eq{(16)} aux équations
différentielles simultanées
\[
\Tag{(17)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
\dfrac{dv_{1}}{dz} &=& \phi(z, v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}), \\
\Strut[22pt]
\dfrac{dv_{2}}{dz} &=& \phi(z, v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}), \\
\hdotsfor{3}, \\
\dfrac{dv_{n}}{dz} &=& \phi(z, v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}),
\end{array}
\right.
\]
\DPPageSep{342.png}{334}
et si l'on admet que les fonctions intégrales existent de part et d'autre,
on verra, comme précédemment, que les dérivées $(u'_{1})_{0}, (u'_{2})_{0}, \ldots,
(u''_{1})_{0}, \ldots$, déduites des premières par un calcul de proche en proche,
ont des modules respectivement moindres que les quantités réelles et
positives $(v'_{1})_{0}, (v'_{2})_{0}, \ldots, (v''_{1})_{0}, \ldots$, déduites des secondes par un calcul
analogue. Remarquons que les quantités $(v'_{1})_{0}, (v'_{2})_{0}, \ldots, (v'_{n})_{0}$ sont égales
entre elles, de même les quantités $(v''_{1})_{0}, (v''_{\DPtypo{1}{2}})_{0}, \ldots, (v''_{n})_{0}$, et ainsi de
suite.

Il est facile d'intégrer les équations~\Eq{(17)}. Si les fonctions $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$
existent, comme elles ont leurs dérivées égales et même valeur pour
$z = 0$, elles sont égales entre elles; on doit donc avoir
\[
v_{1} = v_{2} \Add{=} \ldots = v_{n} = v,
\]
et chacune des équations~\Eq{(17)} se réduit à
\[
\Tag{(18)}
\frac{dv}{dz}
  = \frac{M}{\biggl(1 - \dfrac{z}{\rho}\biggr)
             \biggl(1 - \dfrac{v}{r}\biggr)^{n}}\;;
\]
on la mettra sous la forme
\[
\Tag{(19)}
\left(1 - \frac{v}{r}\right)^{n} \frac{dv}{dz}
  = \frac{M}{1 - \dfrac{z}{\rho}}\;.
\]
La fonction~$v$ doit donc satisfaire à l'équation
\[
\Tag{(20)}
\frac{r}{n + 1} \left[1 - \left(1 - \frac{v}{r}\right)^{n+1} \right]
  = - M \rho \log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right),
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(21)}
v = r \left[1 - \sqrt[n + 1]{1 +  \frac{(n + 1) M\rho}{r}
  \log \left(1 - \frac{z}{\rho}\right)}\right].
\]
Nous prenons le logarithme qui s'annule pour $z = 0$, et qui est holomorphe
dans le cercle~$\rho$. Les $n + 1$~racines de l'équation~\Eq{(20)} deviennent
égales, lorsque la quantité placée sous le radical s'annule,
\DPPageSep{343.png}{335}
ce qui a lieu au point critique
\[
z = \rho \left(1 - e^{-\efrac{r}{(n + 1)M\rho}} \right) = \rho'.
\]
Ainsi la formule~\Eq{(21)} définit une fonction holomorphe de~$z$, tant que
cette variable reste comprise dans un cercle décrit du point $z = 0$
comme centre avec un rayon égal à~$\rho'$. Cette fonction satisfait à l'équation~\Eq{(20)}
et, par conséquent, à l'équation~\Eq{(19)}; $n$~fonctions égales à
celle-là satisfont aux équations~\Eq{(17)}.

La fonction~$v$ se développe en une série
\[
\Tag{(22)}
v = v'_{0} \frac{z}{1}
  + v''_{0} \frac{z^{2}}{1·2}
  + v'''_{0} \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots,
\]
convergente dans le cercle~$\rho'$, et dont on peut calculer les coefficients à
l'aide de l'équation~\Eq{(18)} de proche en proche. On verra, comme précédemment,
que le module de cette fonction reste plus petit que~$r$ dans
le cercle~$\rho'$.

Considérons maintenant les séries
\[
\Tag{(23)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
u_{1}
  &=& (u'_{1})_{0} \dfrac{z}{1}
    + (u''_{1})_{0} \dfrac{z^{2}}{1·2}
    + (u'''_{1})_{0} \dfrac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots, \\
%
\Strut[22pt] u_{2}
  &=& (u'_{2})_{0} \dfrac{z}{1}
    + (u''_{2})_{0} \dfrac{z^{2}}{1·2}
    + (u'''_{2})_{0} \dfrac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots, \\
\hdotsfor{3}, \\
u_{n}
  &=& (u'_{n})_{0} \dfrac{z}{1}
    + (u''_{n})_{0} \dfrac{z^{2}}{1·2}
    + (u'''_{n})_{0} \dfrac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots,
\end{array}
\right.
\]
dont les coefficients sont les quantités déduites des équations~\Eq{(16)} par
un calcul de proche en proche. Ces coefficients ayant des modules respectivement
moindres que les coefficients de la série~\Eq{(22)}, les séries~\Eq{(23)}
sont convergentes dans le cercle~$\rho'$; elles définissent des fonctions de~$z$
holomorphes dans ce cercle et ayant leurs modules plus petits que~$r$.
On vérifiera que ces fonctions satisfont bien aux équations différentielles
proposées~\Eq{(16)}.

Une équation différentielle d'un ordre supérieur au premier se ramène
à un système d'équations simultanées du premier ordre.
\DPPageSep{344.png}{336}

\Section{Existence des fonctions implicites}

\Paragraph{211.} \begin{Théorème}{III}
Étant donnée une équation $F(z, u) = 0$ dont
le premier membre est une fonction holomorphe des deux variables $z$~et~$u$
dans le voisinage des valeurs initiales, si la dérivée partielle par rapport
à~$u$ n'est pas nulle pour les valeurs initiales assignées, l'équation est vérifiée
par une fonction $u$~de~$z$ holomorphe dans une certaine étendue.
\end{Théorème}

Ce théorème, que nous avons démontré directement pour les équations
algébriques (\no{31}) et étendu ensuite aux équations transcendantes
(\no{130}), peut être regardé comme une conséquence du théorème~I,
relatif à l'existence de l'intégrale d'une équation différentielle.

Si l'équation est vérifiée par une fonction~$u$ de~$z$, admettant la valeur~$u_{0}$
pour $z = z_{0}$ et holomorphe dans le voisinage du point~$z_{0}$, cette
fonction satisfera à l'équation différentielle
\[
\Tag{(24)}
\Diff_{z} F + \Diff_{u} F\, \frac{du}{dz} = 0,
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(25)}
\frac{du}{dz} = -\frac{\Diff_{z} F}{\Diff_{u} F} = f(z, u).
\]
La fonction~$F(z, u)$ étant holomorphe par rapport à~$z$ et à~$u$, les
deux dérivées partielles $\Diff_{z} F, \Diff_{u} F$ jouissent de la même propriété; si,
pour $z = z_{0}$ et $u = u_{0}$, la dérivée partielle~$\Diff_{u} F$ n'est pas nulle, le
quotient~$f(z, u)$ sera lui-même holomorphe en $z$~et~$u$. La question est
ainsi ramenée à la précédente: l'équation différentielle~\Eq{(25)} admet
une intégrale holomorphe $u = \phi(z)$, ayant la valeur initiale~$u_{0}$ pour
$z = z_{0}$.

Il est aisé de voir que cette fonction $u = \phi(z)$ satisfait à l'équation
proposée; car l'expression $\Diff_{z} F + \Diff_{u}  F\, \dfrac{du}{dz}$ est la dérivée de la fonction
composée~$F(z, u)$; cette dérivée étant nulle pour toutes les valeurs
de~$z$ comprises dans une certaine partie du plan, la fonction~$F(z, u)$
est constante, et comme elle est nulle pour $z = 0$, elle est nulle dans
toute cette partie du plan.
\DPPageSep{345.png}{337}

\Paragraph{212.} \begin{Théorème}{IV}
Étant donné un système d'équations simultanées
dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes de toutes
les variables, dans le voisinage des valeurs initiales, si le déterminant fonctionnel
n'est pas nul pour les valeurs initiales, les équations sont vérifiées
par un système de fonctions d'une seule variable, holomorphes dans une
certaine étendue.
\end{Théorème}

Considérons un système d'équations simultanées
\[
\Tag{(26)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
F_{1}(z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}) &=& 0, \\
F_{2}(z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}) &=& 0, \\
\hdotsfor{3}, \\
F_{n}(z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}) &=& 0\Add{,}
\end{array}
\right.
\]
dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes des variables
$z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$ dans une certaine étendue. Si des fonctions $u_{1},
u_{2}, \ldots, u_{n}$ de~$z$ vérifient ces équations, elles satisferont aux équations
différentielles
\[
\Tag{(27)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
\dfrac{\dd F_{1}}{\dd z}
  + \dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{1}}\, \dfrac{du_{1}}{dz}
  + \dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{2}}\, \dfrac{du_{2}}{dz} + \ldots
  + \dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{n}}\, \dfrac{du_{n}}{dz} &=& 0, \\
%
\Strut[22pt] \dfrac{\dd F_{2}}{\dd z}
  + \dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{1}}\, \dfrac{du_{1}}{dz}
  + \dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{2}}\, \dfrac{du_{2}}{dz} + \ldots
  + \dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{n}}\, \dfrac{du_{n}}{dz} &=& 0, \\
%
\hdotsfor{3}, \\
\dfrac{\dd F_{n}}{\dd z}
  + \dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{1}}\, \dfrac{du_{1}}{dz}
  + \dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{2}}\, \dfrac{du_{2}}{dz} + \ldots
  + \dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{n}}\, \dfrac{du_{n}}{dz} &=& 0.
\end{array}
\right.
\]

Lorsque le \emph{déterminant fonctionnel}
\[
\begin{vmatrix}
\dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{1}} &
\dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{2}} & \ldots &
\dfrac{\dd F_{1}}{\dd u_{n}} \\
%
\Strut[22pt]
\dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{1}} &
\dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{2}} & \ldots &
\dfrac{\dd F_{2}}{\dd u_{n}} \\
%
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
%
\dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{1}} &
\dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{2}} & \ldots &
\dfrac{\dd F_{n}}{\dd u_{n}}
\end{vmatrix}
\]
n'est pas nul pour les valeurs initiales assignées, les valeurs des dérivées,
\DPPageSep{346.png}{338}
déduites de ces équations, sont des fonctions holomorphes
\[
\Tag{(28)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
\dfrac{du_{1}}{dz} &=& f_{1} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}), \\
\Strut[22pt]
\dfrac{du_{2}}{dz} &=& f_{2} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}), \\
\hdotsfor{3}, \\
\dfrac{du_{n}}{dz} &=& f_{n} (z, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}),
\end{array}
\right.
\]
et la question est encore ramenée à celle de l'intégration.

\Section{Cas où le coefficient différentiel devient infini}

\Paragraph{213.} Revenons à l'étude d'une équation différentielle
\[
\frac{du}{dz} = f(z, u).
\]
La variable~$z$ part d'un point fixe~$z_{0}$, la fonction~$u$ ayant une valeur
initiale~$u_{0}$. D'après ce que nous avons démontré, tant que le coefficient
différentiel reste holomorphe par rapport à~$z$ et à~$u$, l'intégrale~$u$ est elle-même
une fonction holomorphe de~$z$. Supposons maintenant que, la
variable~$z$ arrivant en un certain point~$z_{1}$, la fonction~$u$ prenne une valeur~$u_{1}$,
telle que le coefficient différentiel~$f(z, u)$ devienne infini, de
manière, toutefois, que son inverse~$\dfrac{1}{f(z, u)}$ reste holomorphe dans le
voisinage des valeurs $z_{1}$~et~$u_{1}$. Dans ce cas, la fonction intégrale~$u$ cesse
d'être monotrope, et acquiert autour du point~$z_{1}$ plusieurs valeurs
différentes qui se permutent circulairement.

\begin{Théorème}{V}
Lorsque le coefficient différentiel devient infini, si l'on
désigne par~$n$ l'ordre de la première dérivée partielle de la fonction~$\dfrac{1}{f}$
par rapport à~$u$ qui ne s'annule pas, la fonction intégrale acquiert
$n + 1$~valeurs différentes formant un système circulaire.
\end{Théorème}

Posons
\[
z = z_{1} + z',\quad
u = u_{1} + u',
\]
\DPPageSep{347.png}{339}
d'où
\[
\frac{du'}{dz'} = f(u_{1} + u', z_{1} + z').
\]
Si l'on regarde~$z'$ comme une fonction de~$u'$, cette fonction devra
satisfaire à l'équation différentielle
\[
\frac{dz'}{du'} = \frac{1}{f(u_{1} + u', z_{1} + z')}\;,
\]
et admettre la valeur initiale $z' = 0$ pour $u' = 0$. La fonction
\[
\frac{1}{f(u_{1} + u', z_{1} + z')}\;,
\]
étant holomorphe, est développable en une série convergente ordonnée
suivant les puissances croissantes de~$u'$ et de~$z'$, et l'on~a
\[
\Tag{(29)}
\frac{dz'}{du'} = au' + bz' + cu'z' + ez'^{2} + \ldots = \phi (u', z').
\]

Le second membre renferme au moins un terme indépendant de~$z'$;
car, si tous les termes contenaient~$z'$, l'équation admettrait la solution
$z'= 0$ et aucune autre (\no{209}). Soit $n$~le degré du premier terme indépendant
de~$z'$; les $n - 1$~premières dérivées partielles de~$\phi$ par rapport
à~$u'$ s'annuleront pour $u' = 0$, $z' = 0$; de sorte que les équations successives
\[
\begin{array}{l@{\,}c@{\,}l}
\dfrac{dz'}{du'}
 &=& \phi (u', z'), \\
%
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{2}z'}{du'^{2}}
  &=& \dfrac{\dd \phi}{\dd u'} + \dfrac{\dd \phi}{\dd z'}\, \dfrac{dz'}{du'}, \\
%
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{3}z'}{du'^{3}}
  &=& \dfrac{\dd^{2}\phi}{\dd u'^{2}}
  + 2 \dfrac{\dd^{2}\phi}{\dd u'\, \dd z'}\, \dfrac{dz'}{du'}
  + \dfrac{\dd^{2}\phi}{\dd z'^{2}} \left(\dfrac{\dd z'}{\dd u'}\right)^{2}
  + \dfrac{\dd \phi}{\dd z'}\, \dfrac{d^{2}z'}{du'^{2}}, \\
\hdotsfor{3}\Add{,}
\end{array}
\]
donneront
\[
\left(\frac{dz'}{du'}\right)_{0} = 0,\quad
\left(\frac{d^{2}z'}{du'^{2}}\right)_{0} = 0,\quad \ldots,
\left(\frac{d^{n}z'}{du'^{n}}\right)_{0} = 0;
\]
\DPPageSep{348.png}{340}
mais la dérivée suivante $\left(\dfrac{d^{n+1} z'}{du'^{n+1}}\right)_{0}$ ne sera pas nulle. L'intégrale de
l'équation~\Eq{(29)} sera de la forme
\[
\Tag{(30)}
z' = Au'^{n+1} + Bu'^{n+2} + Cu'^{n+3} + \ldots.
\]

Il s'agit maintenant de résoudre cette équation par rapport à~$u'$.
Pour cela, posons
\[
z' = z''^{n+1},\quad u' = vz'';
\]
l'équation devient
\[
\Tag{(31)}
1 - A v^{n+1} - B v^{n+2} z'' - C v^{n+3} z''^{2} - \ldots = 0.
\]
Pour $z'' = 0$, l'équation se réduit à l'équation binôme $1 - A v^{n+1} = 0$;
on adoptera, pour valeur initiale de~$v$, l'une quelconque des valeurs
$v_{0} = \left(\dfrac{1}{A}\right)^{\efrac{1}{n+1}}$. La dérivée partielle du premier membre de l'équation~\Eq{(31)}
par rapport à~$v$ n'étant pas nulle pour $z'' = 0$ et $v = v_{0}$, cette équation,
en vertu du théorème~III, est satisfaite par une fonction holomorphe~$v$
de~$z''$,
\[
v = v_{0} + v_{1} z'' + v_{2} z''^{2}+ \ldots;
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(32)}
u = u_{1}
  + v_{0} {z'}^{\efrac{1}{n+1}}
  + v_{1} {z'}^{\efrac{2}{n+1}}
  + v_{2} {z'}^{\efrac{3}{n+1}} + \ldots.
\]
Quand la variable~$z$ tourne autour du point~$z_{1}$, la fonction~$u$ acquiert
$n + 1$~valeurs différentes formant un système circulaire.

La valeur de~$v_{0}$ est l'une des racines de l'équation binôme $v_{0}^{n+1} = \dfrac{1}{A}$;
quelle que soit celle des racines que l'on prenne, on aura toujours
pour~$u$ les mêmes valeurs; nous avons posé, en effet, $u' = vz'' = v{z'}^{\efrac{1}{n+1}}$;
si l'on remplace la variable~$z'$ par la valeur $z' e^{2m\pi i}$, qui se rapporte au
même point du plan, la formule précédente devient $u' = v e^{\efrac{2m\pi i}{n+1}} {z'}^{\efrac{1}{n+1}}$;
ceci revient à remplacer~$v_{0}$ par une autre racine de l'équation binôme.
\DPPageSep{349.png}{341}


\Chapitre[Exemples d'Équations Différentielles]
{II}{Exemples de Fonctions Définies par des Équations Différentielles}

\Section[notoc]{Exemple I}

\Paragraph{214.} Considérons l'équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{du}{dz} = u,
\]
à laquelle nous joignons la condition initiale $u = 1$ pour $z = 0$. La
dérivée étant une fonction holomorphe de~$u$ pour toutes les valeurs
finies de~$u$, il existe une fonction~$u$ de~$z$ satisfaisant à l'équation différentielle
proposée et à la condition initiale donnée, et cette fonction
est holomorphe tant qu'elle conserve une valeur finie; mais, à l'inspection
de l'intégrale définie
\[
\Tag{(2)}
z = \int_{1}^{u} \frac{1}{u}\, du,
\]
on voit que $z$~devient infini avec~$u$: on en conclut que $u$~conserve une
valeur finie pour toutes les valeurs finies de~$z$, et, par conséquent, que
la fonction~$u$, définie par l'équation différentielle, est holomorphe pour
toutes les valeurs finies de~$z$.

La fonction inverse~$z$ de~$u$ est donnée par l'intégrale définie~\Eq{(2)}; le
point $u = 0$ étant pôle de la fonction~$\dfrac{1}{u}$, cette intégrale définie~$z$ admet
la période polaire~$\omega = 2\pi i$; il en résulte qu'à chaque valeur de~$u$ correspond
une série de valeurs de~$z$ de la forme~$z + m\omega$. On en conclut
que $u$~est une fonction de~$z$ simplement périodique.

Cette fonction, étant holomorphe pour toutes les valeurs finies de~$z$,
est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières
de~$z$, et convergente dans toute l'étendue du plan. On obtiendra les
\DPPageSep{350.png}{342}
coefficients de la série en suivant la méthode générale indiquée au
\no{208}. De l'équation proposée on déduit, par des différentiations successives,
\[
\frac{d^{2}u}{dz^{2}} = \frac{du}{dz} = u,\quad
\frac{d^{3}u}{dz^{3}} = \frac{du}{dz} = u, \ldots;
\]
toutes les dérivées se réduisant à l'unité pour $z = 0$, on a la série
\[
\Tag{(3)}
u = 1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{1·2} + \frac{z^{3}}{1·2·3} + \ldots,
\]
ce qui fait voir que la fonction intégrale n'est autre que~$e^{z}$.

%[** TN: Size-dependent page break]
\newpage
\Section[notoc]{Exemple II}

\Paragraph{215.} L'équation différentielle
\[
\Tag{(4)}
\frac{du}{dz} = 1 + u^{2},
\]
à laquelle on joint la condition initiale $u = 0$ pour $z = 0$, définit de
même une fonction~$u$ de~$z$, holomorphe tant qu'elle reste finie. L'intégrale
définie
\[
\Tag{(5)}
z = \int_{0}^{u} \frac{1}{1 + u^{2}}\, du
\]
montre que, quand $u$~va à l'infini par un chemin quelconque, $z$~tend
vers une valeur finie correspondante~$\alpha$, en décrivant un certain chemin~$O\alpha$.
Réciproquement, quand la variable~$z$ décrit ce chemin~$O\alpha$,
la fonction~$u$ devient infinie. Examinons ce qui se passe dans le voisinage
de ce point~$\alpha_{1}$, où la fonction~$u$ devient infinie. Posons, pour cela,
$z = \alpha + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$; l'équation différentielle proposée devient
\[
\Tag{(6)}
\frac{du'}{dz'} = -(1 + u'^{2}),
\]
et il faut y joindre la condition initiale $u' = 0$ pour $z' = 0$. Cette dernière
équation fait voir que $u'$~est une fonction holomorphe de~$z'$ dans
\DPPageSep{351.png}{343}
le voisinage du point $z'= 0$; il en résulte que le point $z = \alpha$ est un
pôle de la fonction~$u$. On conclut de là que la fonction~$u$, définie par
l'équation différentielle~\Eq{(4)}, est une fonction méromorphe de~$z$ dans
toute l'étendue du plan.

La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie~\Eq{(5)}. Si la variable~$u$
décrit deux lignes symétriques par rapport à l'origine, $z$~acquiert
des valeurs égales et de signes contraires; il en résulte que
$u$~est une fonction impaire de~$z$. La fonction $\dfrac{1}{1 + u^{2}}$ admet les deux
pôles $u = ±i$; puisque
\[
\frac{1}{1 + u^{2}}
  = \frac{1}{2i}\, \frac{1}{u - i} - \frac{1}{2i}\, \frac{1}{u + i},
\]
les lacets correspondants $(a)$~et~$(b)$, décrits dans le sens positif, donnent
la même période polaire $\omega = ±\pi$. Il en résulte qu'à chaque valeur de~$u$
correspond une série de valeurs de~$z$ de la forme~$z + m\pi$. On en
conclut que $u$~est une fonction de~$z$ simplement périodique.

Il est facile de trouver les pôles de cette fonction. Remarquons
d'abord que, dans l'étude de l'intégrale définie~\Eq{(5)}, le point $u = \infty$ ou
$u' = 0$, sur la sphère, est un point ordinaire. L'intégrale définie, relative
au contour d'un demi-cercle~$l'lh$ (\Figref{76}) d'un très-grand rayon,
\Fig[2.25in]{76}
est égale à l'intégrale relative au lacet~$(a)$, c'est-à-dire à~$\pi$; la partie
de l'intégrale relative à la demi-circonférence étant infiniment petite,
et les parties relatives aux deux rayons $l'O, Ol$ étant égales, si l'on
appelle~$\alpha$ l'intégrale relative au rayon infini~$Ol$, on a $2\alpha = \pi$, d'où
$\alpha = \dfrac{\pi}{2}$. Les pôles de la fonction sont donc $\dfrac{\pi}{2} + m\pi$.
\DPPageSep{352.png}{344}

\Paragraph{216.} On peut exprimer la fonction méromorphe~$u$ par le quotient de
deux fonctions holomorphes. Si l'on pose, en effet, $u = \dfrac{v}{w}$, l'équation
différentielle devient
\[
w \left(\frac{dv}{dz} - w\right) - v \left(\frac{dw}{dz} + v\right) = 0;
\]
cette équation sera satisfaite si l'on choisit les deux fonctions $v$~et~$w$
de manière à vérifier les deux équations simultanées
\[
\Tag{(7)}
\frac{dv}{dz} = w,\quad
\frac{dw}{dz} = -v,
\]
auxquelles on joindra les conditions initiales $v = 0$, $w = 1$ pour $z = 0$.
D'après le théorème général démontré au \no{210}, ces deux fonctions
restent holomorphes tant qu'elles conservent des valeurs finies; elles
sont développables en des séries dont on obtiendra les coefficients en
différentiant plusieurs fois successivement les équations précédentes,
ce qui donne
\[
%[** TN: Hard-coded space here, below]
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{}c@{}r@{\,}c@{\,}l@{\,}r@{\,}c@{\,}r}
\dfrac{d^{2}v}{dz^{2}} &=&  &\dfrac{dw}{dz} &=& -v, &\rule{1.5em}{0pt}&
\dfrac{d^{2}w}{dz^{2}} &=& -&\dfrac{dv}{dz} &=& -w, \\
%
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{3}v}{dz^{3}} &=& -&\dfrac{dv}{dz} &=& -w, &&
\dfrac{d^{3}w}{dz^{3}} &=& -&\dfrac{dw}{dz} &=&  v, \\
%
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{4}v}{dz^{4}} &=& -&\dfrac{dw}{dz} &=&  v, &&
\dfrac{d^{4}w}{dz^{4}} &=&  &\dfrac{dv}{dz} &=&  w, \\
\hdotsfor{6}, && \hdotsfor{6}.
\end{array}
\]
Pour $z = 0$, ces dérivées se réduisent à
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}r@{}c@{}r@{\,}c@{\,}r}
\dfrac{dv}{dz} &=& 1,     &\rule{1.5em}{0pt}& \dfrac{dw}{dz} &=& 0, \\
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{2}v}{dz^{2}} &=&  0, && \dfrac{d^{2}w}{dz^{2}} &=& -1, \\
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{3}v}{dz^{3}} &=& -1, && \dfrac{d^{3}w}{dz^{3}} &=&  0, \\
\Strut[22pt]
\dfrac{d^{4}v}{dz^{4}} &=&  0, && \dfrac{d^{4}w}{dz^{4}} &=&  1, \\
\hdotsfor{3}, && \hdotsfor{3},
\end{array}
\]
\DPPageSep{353.png}{345}
et l'on a les deux séries
\begin{align*}
v &= \frac{z}{1} - \frac{z^{3}}{1·2·3} + \frac{z^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots, \\
w &= 1 - \frac{z^{2}}{1·2}+ \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots.
\end{align*}
Ce sont précisément celles qui définissent $\sin z$~et~$\cos z$ (\no{55}); elles
sont convergentes pour toutes les valeurs de~$z$, et l'on vérifie aisément
qu'elles satisfont aux deux équations différentielles simultanées. On
a donc
\[
\Tag{(8)}
u = \frac{\sin z}{\cos z} = \tang z.
\]

\Section[notoc]{Exemple III}

\Paragraph{217.} Soit l'équation différentielle
\[
\Tag{(9)}
\frac{du}{dz} = \sqrt{G(u - a)(u - b)},
\]
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du second degré,
et à laquelle on joint la condition initiale $u = 0$ pour $z = 0$, le radical
ayant une valeur initiale déterminée. La dérivée cesse d'être une fonction
holomorphe de~$u$, lorsque la fonction intégrale~$u$ arrive dans le
voisinage des points critiques $a$~et~$b$ du radical, ou lorsqu'elle devient
infinie. Nous savons (\no{111}) que l'intégrale définie
\[
\Tag{(10)}
z = \int_{0}^{u} \frac{du}{\sqrt{G(u - a)(u - b)}}
\]
conserve une valeur finie sur toute la sphère, excepté au point $u = \infty$
où elle devient infinie. Ainsi la fonction~$u$ ne devient infinie pour
aucune valeur finie de~$z$; il suffit donc d'examiner ce qui se passe
quand la variable~$z$ arrive dans le voisinage d'un point~$z_{1}$ où la fonction~$u$
acquiert l'une des valeurs $a$~ou~$b$. Nous poserons, pour cela,
\DPPageSep{354.png}{346}
$z = z_{1} + z'$, $u = a + u'^{2}$; l'équation différentielle devient
\[
\frac{du'}{dz'} = \frac{1}{2} \sqrt{G (a - b + u'^{2})},
\]
et il faut y joindre la condition initiale $u' = 0$ pour $z'= 0$. La dérivée~$\dfrac{du'}{dz'}$
étant une fonction holomorphe de~$u'$ pour les valeurs de~$u'$
voisines de zéro, la fonction intégrale~$u'$ est elle-même fonction holomorphe
de~$z'$ dans le voisinage de $z' = 0$. On en conclut que la fonction~$u$,
définie par l'équation différentielle~\Eq{(9)}, est une fonction holomorphe
de~$z$ dans toute l'étendue du plan.

Si l'on désigne par~$A$ et par~$B$ les intégrales définies relatives aux
droites $Oa$~et~$Ob$, nous avons vu (\no{113}) que l'intégrale définie~\Eq{(10)}
admet une période $\omega = 2A - 2B = \dfrac{2\pi i}{\sqrt{G}}$, et qu'à chaque valeur de~$u$
correspondent deux séries de valeurs de~$z$ de la forme $z + m\omega$,
$A - z + m\omega$. On en conclut que $u$~est une fonction de~$z$ simplement
périodique.

\Paragraph{218.} On peut ramener l'équation différentielle proposée à une forme
plus simple. Si l'on pose
\[
u = \frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2} u',\quad
z = z_{0} + \frac{z'}{\sqrt{-G}},
\]
$z_{0}$~étant l'une des valeurs de~$z$ qui correspondent à $u = \dfrac{a + b}{2}$, l'équation
différentielle devient
\[
\Tag{(11)}
\frac{du'}{dz'} = \sqrt{1 - u'^{2}},
\]
avec la condition initiale $u' = 0$ pour $z' = 0$. Les deux points critiques
sont $u' = ±1$, et l'on a $\sqrt{G} = i$, $\omega = 2\pi$.

La fonction~$u'$, étant holomorphe dans toute l'étendue du plan, est
développable en une série ordonnée suivant les puissances entières
et positives de~$z'$, et convergente dans tout le plan. De l'équation
\[
\left(\frac{du'}{dz'}\right)^{2} = 1 - u'^{2},
\]
\DPPageSep{355.png}{347}
on déduit, par la différentiation,
\[
\frac{d^{2} u'}{dz'^{2}} = -u',\quad
\frac{d^{3} u'}{dz'^{3}} = -\frac{du'}{dz'},\quad
\frac{d^{4} u'}{dz'^{4}} = u', \ldots;
\]
pour $z' = 0$, ces dérivées ont les valeurs
\[
\frac{du'}{dz'} = 1,\quad
\frac{d^{2} u'}{dz'^{2}} = 0,\quad
\frac{d^{3} u'}{dz'^{3}} = -1,\quad
\frac{d^{4} u'}{dz'^{4}} = 0, \ldots,
\]
et l'on obtient la série
\[
u' = \frac{z'}{1} - \frac{z'^{3}}{1·2·3} + \frac{z'^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots.
\]
On a donc
\[
\Tag{(12)}
u' = \sin z'.
\]

\Section[notoc]{Exemple IV}

\Paragraph{219.} Soit l'équation différentielle
\[
\Tag{(13)}
\frac{du}{dz} = \sqrt{F(u)} = \sqrt{G(u - a)(u - b)(u - c)(u - d)},
\]
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du quatrième degré,
et à laquelle on joint la condition initiale $u = 0$ pour $z = 0$, le radical
ayant une valeur déterminée. La dérivée cesse d'être une fonction holomorphe
de~$u$, lorsque la fonction intégrale~$u$ arrive dans le voisinage
de l'un des points critiques $a, b, c, d$ du radical, ou lorsqu'elle devient
infinie. Les deux circonstances se présentent ici; car nous savons
(\no{113}) que, lorsque le polynôme placé sous le radical est d'un degré
supérieur à deux, l'intégrale définie
\[
\Tag{(14)}
z = \int_{0}^{u} \frac{du}{\sqrt{F(u)}}
\]
conserve une valeur finie sur toute la sphère. On verra, comme dans
\DPPageSep{356.png}{348}
l'exemple précédent, que, lorsque la variable~$z$ arrive dans le voisinage
de l'un des points où $u$~acquiert l'une des valeurs $a, b, c, d$, la fonction~$u$
reste une fonction holomorphe de~$z$. Pour voir ce qui se passe lorsque
la variable~$z$ arrive dans le voisinage de l'un des points~$\alpha$ où $u$~devient
infinie, nous poserons $z = \alpha + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$; l'équation différentielle
devient
\[
\Tag{(15)}
\frac{du'}{dz'} = -\sqrt{G(1 - au')(1 - bu')(1 - cu')(1 - du')};
\]
il faut y joindre la condition initiale $u' = 0$ pour $z' = 0$. La fonction~$u'$
étant holomorphe dans le voisinage du point $z' = 0$, qui est un zéro
simple de cette fonction, le point $z = \alpha$ est un pôle simple de la fonction~$u$.
On conclut de là que la fonction~$u$, définie par l'équation différentielle~\Eq{(13)},
est une fonction méromorphe de~$z$ dans toute l'étendue
du plan.

L'intégrale définie~\Eq{(14)} a deux périodes $\omega = 2A - 2B$, $\omega' = 2A - 2C$,
$A, B, C$ étant les intégrales suivant les droites $Oa, Ob, Oc$, avec la
valeur initiale du radical (\no{113}); à chaque valeur de~$u$ correspondent
deux valeurs de~$z$, savoir, $z$~et~$2A - z$, augmentées de multiples quelconques
des périodes. Ainsi $u$~est une fonction de~$z$ doublement périodique
et du second ordre.

Considérons maintenant l'équation différentielle
\[
\Tag{(16)}
\frac{du}{dz} = \sqrt{G(u - a)(u - b)(u - c)},
\]
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du troisième degré;
la fonction intégrale jouit des mêmes propriétés; elle est méromorphe
dans toute l'étendue du plan, doublement périodique et du second
ordre; seulement, au lieu de deux infinis simples, elle admet un infini
double. En effet, si $\alpha$~est un point où $u$~devient infinie et si l'on pose
$z = \alpha + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation différentielle devient
\[
\frac{du'}{dz'} = -\sqrt{Gu'(1 - au')(1 - bu')(1 - cu')};
\]
\DPPageSep{357.png}{349}
si l'on pose ensuite $u' = u''^{2}$, elle se réduit à
\[
\frac{du''}{dz'}
  = -\frac{1}{2} \sqrt{G(1 - au''^{2})(1 - bu''^{2})(1 - cu''^{2})},
\]
avec la condition initiale $u'' = 0$ pour $z' = 0$. La fonction~$u''$ étant
holomorphe dans le voisinage du point $z' = 0$, qui est un zéro simple
de cette fonction, le point $z = \alpha$ est un infini double de la fonction~$u$.

Il est facile de réduire les équations différentielles \Eq{(13)}~et~\Eq{(16)} à la
forme particulière qui convient aux fonctions elliptiques. Nous remarquons
d'abord que, si l'on pose $u = d + \dfrac{1}{u'}$, l'équation~\Eq{(13)} se ramène
à la forme~\Eq{(16)}; si l'on pose $u = c + \dfrac{1}{u'^{2}}$, celle-ci devient
\[
\frac{du'}{dz} = -\frac{1}{2}
  \sqrt{G \bigl[1 - (a - c) u'^{2}\bigr]
          \bigr[1 - (b - c) u'^{2}\bigr]};
\]
en faisant ensuite $u' = \dfrac{u''}{\sqrt{a - c}}$, on arrive à l'équation
\[
\frac{du''}{dz}
  = -\frac{1}{2} \sqrt{G(a - c)}
     \sqrt{(1 - u''^{2}) \left(1 - \dfrac{b - c}{a - c} u''^{2}\right)},
\]
qui a la forme de l'équation différentielle
\[
\Tag{(17)}
\frac{du}{dz} = g\sqrt{(1 - u^{2}) (1 - k^{2}u^{2})},
\]
à laquelle satisfait la fonction elliptique~$\lambda(z)$ (\no{159}).

\Paragraph{220.} Nous avons vu (\no{113}) que, lorsque le degré du polynôme~$F(u)$
surpasse quatre, le nombre des cycles et, par conséquent, le nombre
des périodes sont en général plus grands que deux; on reconnaît que,
dans ce cas, la fonction intégrale n'est plus monotrope, et qu'elle
acquiert plusieurs valeurs autour de chacun des points~$\alpha$ où elle devient
infinie. Supposons d'abord que le polynôme soit d'un degré
pair~$2n$; si l'on pose $z = \alpha + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation devient
\[
\frac{du'}{dz'} = \frac{-\sqrt{G(1 - au')(1 - bu') \ldots}}{u'^{n-2}}.
\]
\DPPageSep{358.png}{350}
En vertu du théorème du \no{213}, la fonction~$u'$ et, par conséquent, la
branche correspondante de la fonction~$u$ acquièrent $n - 1$~valeurs différentes
autour du point $z = \alpha$, qui est un point critique algébrique
pour cette branche de la fonction. Supposons maintenant que le polynôme
soit d'un degré impair~$2n - 1$; on a l'équation transformée
\[
\frac{du'}{dz'} = \frac{-\sqrt{Gu'(1 - au')(1 - bu') \ldots}}{u'^{n-2}},
\]
que l'on réduit à
\[
\frac{du''}{dz'}
  = \frac{-\frac{1}{2} \sqrt{G(1 - au'^{2})(1 - bu'^{2}) \ldots}}{u''^{2n-1}},
\]
en posant $u' = u''^{2}$; la fonction~$u''$ et, par conséquent, la branche
correspondante de la fonction~$u$ acquièrent $2n - 3$~valeurs différentes
autour du point $z = \alpha$, qui est un point critique algébrique par rapport
à cette branche de la fonction.
\DPPageSep{359.png}{351}


%[** TN: Changed running head]
\Chapitre[Fonctions Ellipt.\ Définies par des Éqns.\ Différentielles]
{III}
{Les Fonctions Ellipt.\ Définies par des Équations Différentielles}

\Section{La fonction~$\lambda$}

\Paragraph{221.} Nous avons défini la fonction~$\lambda(z)$ à l'aide de la fonction~$\Theta$, et
nous avons démontré (\no{159}) que cette fonction satisfait à une équation
différentielle de la forme
\[
\Tag{(1)}
\frac{du}{dz} = g \sqrt{(1 - u^{2}) (1 - k^{2} u^{2})}.
\]
On peut, au contraire, définir la fonction~$\lambda$ par l'équation différentielle,
à laquelle on joint les conditions initiales $u = 0$, $\dfrac{du}{dz} = g$, pour $z = 0$.

Cette équation rentre dans celle que nous avons étudiée au \no{219}.
Nous avons vu que la fonction intégrale est méromorphe pour toutes
les valeurs finies de~$z$, qu'elle est doublement périodique et du second
ordre. Représentons par~$\Delta u$ le radical. Quand $u$~se meut dans deux
directions opposées, à partir de l'origine $u = 0$, l'intégrale définie
\[
z = \int_{0}^{u} \frac{du}{g\, \Delta u}
\]
acquiert des valeurs égales et de signes contraires; réciproquement,
à des valeurs de~$z$ égales et de signes contraires correspondent des
valeurs de~$u$ égales et de signes contraires; $u$~est donc une fonction
impaire de~$z$, et l'on~a
\[
\Tag{(2)}
\lambda(-z) = -\lambda(z).
\]

Les racines du polynôme placé sous le radical sont~$±1, ±\dfrac{1}{k}$; aux
\DPPageSep{360.png}{352}
deux premières correspondent les deux points critiques $a$~et~$c$ (\Figref{77}),
aux deux autres les deux points critiques $b$~et~$d$; un rayon vecteur,
\Fig[1.75in]{77}
tournant autour de l'origine dans le sens positif, les rencontre dans
l'ordre $a, b, c, d$. Nous prendrons comme première période
$2\omega = 2A - 2C = 4A$; d'où
\[
\Tag{(3)}
\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{du}{g\, \Delta u},
\]
l'intégrale rectiligne relative à la droite~$Oa$ étant évaluée avec la valeur
initiale $\Delta u = +1$ du radical. On en déduit
\[
\Tag{(4)}
\lambda\left(\frac{\omega}{2}\right) = 1.
\]
Nous prendrons comme seconde période, soit $\omega' = 2B - 2A$, soit
$\omega' = 2A - 2B$, de manière que, dans le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$, le coefficient de~$i$
soit positif. On a ainsi
\[
\Tag{(5)}
\frac{\omega}{2} ± \frac{\omega'}{2}
  = \int_{0}^{\efrac{1}{k}} \frac{du}{g\, \Delta u}.
\]
On en déduit, dans les deux cas,
\[
\Tag{(6)}
\lambda\left(\frac{\omega + \omega'}{2}\right) = \frac{1}{k}.
\]
Puisqu'à chaque valeur de~$u$ correspondent seulement deux valeurs
\DPPageSep{361.png}{353}
de~$z$, savoir $z$~et~$2A - z$, c'est-à-dire $z$~et~$\omega - z$, augmentées de
multiples quelconques des périodes $2\omega, \omega'$, le parallélogramme construit
sur ces périodes est bien un parallélogramme élémentaire. on~a
les relations
\[
\Tag{(7)}
\lambda(\omega - z) =  \lambda(z),\quad
\lambda(z + \omega) = -\lambda(z).
\]

\Paragraph{222.} Les deux zéros de la fonction sont $z = 0$ et $z = \omega$. Pour trouver
les infinis, faisons décrire à la variable~$u$ un contour formé d'un
rayon~$Ol$, d'une demi-circonférence d'un très-grand rayon et du rayon
opposé~$l'O$, et, pour fixer les idées, supposons que le rayon~$Ol$ passe
entre les points \Erratum{$b$~et~$c$}{$a$~et~$d$}, et que le demi-cercle comprenne les deux
points $a$~et~$b$. Ce contour, parcouru avec la valeur initiale $\Delta u = +1$,
ramène la même racine et constitue, par conséquent, un cycle; la
partie de l'intégrale définie relative à la demi-circonférence est infiniment
petite; les parties relatives aux droites $Ol$~et~$l'O$ sont égales; en
désignant par~$\alpha$ l'une d'elles, on a donc
\[
2\alpha = 2A - 2B;\quad\text{d'où}\quad
\alpha  = \mp\frac{\omega'}{2}.
\]
Si le rayon~$Ol$ passait entre les points $a$~et~$b$, le demi-cercle comprenant
les deux points critiques $b$~et~$c$, on aurait
\[
2\alpha = 2B - 2C = 2B + 2A;\quad\text{d'où}\quad
\alpha  = \omega ± \frac{\omega'}{2}.
\]
Les infinis sont donc les quantités $\dfrac{\omega'}{2}$~et~$\dfrac{\omega'}{2} + \omega$, augmentées de multiples
quelconques des périodes $2\omega, \omega'$.

Si l'on pose $z = \dfrac{\omega'}{2} + z'$, $u = \dfrac{1}{u'}$, l'équation différentielle devient
\[
\frac{du'}{dz'} = ±g \sqrt{(1 - u'^{2}) (1 - k^{2} u'^{2})},
\]
avec la condition initiale $u' = 0$ pour $z' = 0$. On a donc
\[
u' = ±\lambda(z'),
\]
et, par suite,
\[
\lambda \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right) = ±\frac{1}{k \lambda(z')}.
\]
\DPPageSep{362.png}{354}
En faisant $z' = \dfrac{\omega}{2}$, on reconnaît qu'il faut prendre le signe~$+$; on
obtient ainsi la relation
\[
\Tag{(8)}
\lambda \left(z + \frac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{k \lambda(z)}.
\]

La fonction~$\lambda(z)$, définie par l'équation différentielle~\Eq{(1)}, dépend
des deux constantes $k$~et~$g$, c'-est-à-dire du module et du multiplicateur.
Les formules \Eq{(2)}~et~\Eq{(3)} donnent les périodes $2\omega, \omega'$ par des intégrales
définies. Nous avons choisi ces deux périodes de manière que, dans le
rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$, le coefficient de~$i$ soit positif. Nous pouvons donc, avec les
deux constantes $\omega$~et~$\omega'$, composer une fonction~$\Theta(z)$ à l'aide d'une série
convergente, et, au moyen des fonctions~$\theta$ qui s'en déduisent (\no{74}),
former une fonction méromorphe doublement périodique
\[
\lambda(z)
  = \frac{\theta \left(\dfrac{\omega}{2}\right)}
         {\theta_{1} \left(\dfrac{\omega}{2}\right)}\,
    \frac{\theta_{1}(z)}{\theta(z)}.
\]
Ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes
périodes, ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un
rapport constant (\no{152}); comme elles sont toutes deux égales à
l'unité pour $z = \dfrac{\omega}{2}$, elles sont égales entre elles. On en conclut que la
fonction définie par l'équation différentielle est la même que la fonction
définie par les fonctions~$\theta$.

\Section{La fonction~$\mu$}

\Paragraph{223.} Dans cet ordre d'idées, nous définirons la fonction~$\mu$ par
l'équation
\[
\Tag{(9)}
\mu(z) = \sqrt{1 - \lambda^{2}(z)},
\]
à laquelle on joint la condition $\mu(0) = 1$.

Cette fonction pourrait cesser d'être monotrope dans le voisinage des
\DPPageSep{363.png}{355}
points où la fonction~$\lambda(z)$ devient égale à~$±1$ ou infinie. Considérons
l'un des premiers points, par exemple le point~$\dfrac{\omega}{2}$; posons $z = \dfrac{\omega}{2} + z'$;
la fonction $\lambda \left(\dfrac{\omega}{2} + z'\right)$ est paire, puisque $\lambda \left(\dfrac{\omega}{2} - z'\right) = \lambda \left(\dfrac{\omega}{2} + z'\right)$;
son développement ne contiendra donc que des puissances paires de~$z'$,
et l'on aura
\begin{align*}
  \lambda \left(\frac{\omega}{2} + z'\right)
  &= 1 + \lambda'' \left(\frac{\omega}{2}\right) \frac{z'^{2}}{1·2} + \ldots, \\
  \sqrt{1 - \lambda \left(\frac{\omega}{2} + z'\right)}
  &= z' (a + bz'^{2} + \ldots), \\
  \sqrt{1 + \lambda \left(\frac{\omega}{2} + z'\right)}
  &= \sqrt{2} + a' z'^{2} + \ldots, \\
\Tag{(10)}
\mu \left(\frac{\omega}{2} + z'\right)
  &=  z' (A + B z'^{2} + \ldots).
\end{align*}
On en conclut que la fonction~$\mu(z)$ reste holomorphe dans le voisinage
du point $z = \dfrac{\omega}{2}$.

Considérons maintenant l'un des seconds points, par exemple le
point~$\dfrac{\omega'}{2}$; posons $z = \dfrac{\omega'}{2} + z'$; nous aurons
\[
\Tag{(11)}
\mu \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = \sqrt{1 - \lambda^{2} \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)}
  = \frac{±i \sqrt{1 - k^{2}\lambda^{2}(z')}}{k \lambda (z')}.
\]
La fonction~$\mu(z)$ reste aussi méromorphe dans le voisinage de ce point.
On conclut de là que la fonction~$\mu(z)$ est méromorphe dans toute l'étendue
du plan.

Si la variable~$z$, partant de l'origine, décrit deux lignes opposées, la
fonction $\mu(z) = \sqrt{1 - \lambda^{2}(z)}$ prend des valeurs égales aux points symétriques
par rapport à l'origine; ainsi la fonction est paire, et l'on~a
\[
\Tag{(12)}
\mu(-z) = \mu(z).
\]

De la relation~\Eq{(10)}, on déduit
\[
\mu \left(\frac{\omega}{2} + z'\right) = -\mu \left(\frac{\omega}{2} - z'\right)
\]
\DPPageSep{364.png}{356}
pour les valeurs de~$z'$ inférieures à un certain module; et cette relation
est générale; car si la fonction $\dfrac{\mu \left(\dfrac{\omega}{2} + z'\right)}{\mu \left(\dfrac{\omega}{2} - z'\right)}$ est constante dans une
certaine étendue, elle est constante dans toute l'étendue du plan. On
en conclut la relation
\[
\Tag{(13)}
\mu(z + \omega) = -\mu(z).
\]

De la relation~\Eq{(11)}, on déduit de même
\[
\mu\left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = -\mu\left(\frac{\omega'}{2} - z'\right);
\]
d'où l'on conclut
\[
\Tag{(14)}
\mu(z + \omega') = -\mu(z).
\]
Ainsi la fonction~$\mu(z)$ admet les deux périodes $2\omega, \omega + \omega'$. Ses infinis
sont ceux de~$\lambda(z)$; ses zéros les valeurs $z = \dfrac{\omega}{2} + m \omega + m' \omega'$, pour
lesquelles $\lambda (z) = ±1$. Le parallélogramme $(2\omega, \omega + \omega')$, ne contenant
que deux infinis, est bien un parallélogramme élémentaire.

La fonction~$\mu(z)$, définie par l'équation~\Eq{(9)}, est la même que la
fonction définie par la formule (\no{76})
\[
\mu(z) = \frac{\theta(0)}{\theta_{2}(0)}\, \frac{\theta_{2}(z)}{\theta(z)},
\]
puisque ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques,
aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont
égales à l'unité pour $z = 0$.

\Section{La fonction~$\nu$}

\Paragraph{224.} Nous définirons de même la fonction~$\nu(z)$ par l'équation
\[
\Tag{(15)}
\nu(z) = \sqrt{1 - k^{2}\lambda^{2}(z)},
\]
à laquelle on joint la condition initiale $\nu(0) = 1$.
\DPPageSep{365.png}{357}

Cette fonction pourrait cesser d'être monotrope dans le voisinage
des points où la fonction~$\lambda(z)$ devient égale à~$±\dfrac{1}{k}$, ou infinie. Consi\-dérons
l'un des premiers points, par exemple le point~$\dfrac{\omega + \omega'}{2}$; posons
$z = \dfrac{\omega + \omega'}{2} + z'$; la fonction $\lambda\left(\dfrac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)$ étant paire, son développement
en série ne contient que des puissances paires de~$z'$, et l'on~a
\begin{align*}
\lambda \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)
  &=  \frac{1}{k}
    + \lambda'' \left(\frac{\omega + \omega'}{2}\right) \frac{z'^{2}}{1·2}
    + \ldots, \\
\sqrt{1 - k\lambda \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)}
  &= z' (a + b z'^{2} + \ldots), \\
\sqrt{1 + k\lambda \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)}
  &= \sqrt{2} + a' z'^{2} + \ldots, \\
\Tag{(16)}
\nu \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)
  &= z' (A + B z'^{2} + \ldots).
\end{align*}
On en conclut que la fonction~$\nu(z)$ reste holomorphe dans le voisinage
du point~$\dfrac{\omega + \omega'}{2}$.

Considérons maintenant l'un des seconds points, par exemple le
point~$\dfrac{\omega'}{2}$; posons $z = \dfrac{\omega'}{2} + z'$, on~a
\[
\Tag{(17)}
\nu \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = \sqrt{1 - k^{2}\lambda^{2} \left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)}
  = \frac{±i \sqrt{1 - \lambda^{2}(z')}}{\lambda(z')},
\]
ce qui fait voir que la fonction~$\nu(z)$ reste méromorphe dans le voisinage
de ce point. Ainsi la fonction~$\nu(z)$ est méromorphe dans toute
l'étendue du plan.

On verra, par un raisonnement analogue à celui du \no{223}, que la
fonction est paire. De la relation~\Eq{(16)} on déduit
\[
\nu\left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z'\right)
  = -\nu\left(\frac{\omega + \omega'}{2} - z'\right),
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(18)}
\nu(z + \omega + \omega') = -\nu(z).
\]
\DPPageSep{366.png}{358}
De la relation~\Eq{(17)}, on déduit de même
\[
\nu\left(\frac{\omega'}{2} + z'\right)
  = -\nu\left(\frac{\omega'}{2} - z'\right)
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(19)}
\nu(z + \omega') = -\nu(z).
\]
Des deux relations précédentes, on conclut
\[
\Tag{(20)}
\nu(z + \omega) = \nu(z).
\]
Ainsi la fonction~$\nu(z)$ admet les deux périodes $\omega, 2\omega'$. Ses infinis sont
ceux de~$\lambda(z)$, ses zéros les valeurs $z = \dfrac{\omega + \omega'}{2} + m \omega + m' \omega'$, pour
lesquelles $\lambda(z) = ±\dfrac{1}{k}$. Le parallélogramme construit sur les périodes
$\omega, 2\omega'$, ne contenant que deux zéros et deux infinis, est bien
un parallélogramme élémentaire.

La fonction~$\nu(z)$, définie par l'équation~\Eq{(15)}, est la même que la
fonction définie par la formule (\no{76})
\[
\nu(z) = \frac{\theta(0)}{\theta_{3}(0)}\, \frac{\theta_{3}(z)}{\theta(z)},
\]
puisque ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques,
aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont
égales à l'unité pour $z = 0$.

\Section{Relations entre les fonctions elliptiques}

\Paragraph{225.} Nous pouvons retrouver directement les relations que nous
avons obtenues (\no{77}) entre les fonctions elliptiques à l'aide de leurs
expressions au moyen des fonctions~$\theta$.

\Primo~Nous remarquons d'abord que les deux fonctions $\lambda\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)$, $\dfrac{\mu(z)}{\nu(z)}$,
ayant les mêmes périodes $2\omega, \omega'$, les mêmes zéros et les mêmes infinis,
et étant toutes deux égales à l'unité pour $z = 0$, sont égales entre
\DPPageSep{367.png}{359}
elles; on a donc
\[
\Tag{(21)}
\lambda\left(z + \frac{\omega}{2}\right) = \frac{\mu(z)}{\nu(z)}.
\]

\Secundo~Les deux fonctions $\nu\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)$, $\dfrac{1}{\nu(z)}$,  avant les mêmes périodes $\omega,
2\omega'$, les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant;
si l'on désigne par~$k'$ celle des valeurs du radical $\sqrt{1 - k^{2}}$ qui est égale
à~$\nu\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$, on~a
\[
\Tag{(22)}
\nu\left(z + \frac{\omega}{2}\right) = \frac{k'}{\nu(z)}.
\]

\Tertio~Les deux fonctions $\mu\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)$, $\dfrac{\lambda(z)}{\nu(z)}$, ayant les mêmes périodes $2\omega,
\omega + \omega'$, les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont aussi dans un rapport
constant, et l'on obtient la valeur de ce rapport en faisant $z = \dfrac{\omega}{2}$;
on a ainsi
\[
\Tag{(23)}
\mu\left(z + \frac{\omega}{2}\right) = -k'\, \frac{\lambda(z)}{\nu(z)}.
\]

\Quarto~La transformation de l'équation différentielle (\no{222}) nous a
donné la relation
\[
\lambda\left(z + \frac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{k \lambda (z)}.
\]

%[** TN: No parentheses around individual equation numbers]
\Cinqo~Nous avons trouvé ensuite (formules \Eq{11}~et~\Eq{17})
\[
\mu \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{±i \nu(z)}{k \lambda(z)},\quad
\nu \left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{±i \mu(z)}{\lambda(z)};
\]
il faut prendre le même signe dans les seconds membres; car l'une de
ces relations se déduit de l'autre en remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$. Ce signe
commun dépend du choix de la seconde période; si l'on changeait le
signe de~$\omega'$, les signes des seconds membres changeraient; car on~a
\[
\mu \left(z - \frac{\omega'}{2}\right)
  = -\mu \left(z + \frac{\omega'}{2}\right),\quad
\nu \left(z - \frac{\omega'}{2}\right)
  = -\nu \left(z + \frac{\omega'}{2}\right).
\]
\DPPageSep{368.png}{360}
Si l'on choisit, comme nous l'avons supposé, la seconde période de
manière que dans le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ le coefficient de~$i$ soit positif, la considération
des fonctions~$\theta$ nous montre que les seconds membres sont
affectés du signe~$-$. On a donc
\[
\Tag{(24)}
\mu\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{-i}{k}\, \frac{\nu(z)}{\lambda(z)},\quad
\nu\left(z + \frac{\omega'}{2}\right)
  = -i\, \frac{\mu(z)}{\lambda(z)}.
\]
Des formules précédentes, on déduit
\[
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{\nu(z)}{k \mu(z)}, \\
\mu \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= -\frac{ik'}{k \mu(z)}, \\
\nu \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &=  \frac{ik' \lambda(z)}{k \mu(z)}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{226.} \Remarque D'après ce que nous avons dit dans les deux numéros
précédents, les fonctions $\sqrt{1 \mp \lambda(z)}$, $\sqrt{1 \mp k \lambda(z)}$ restent monotropes
dans le voisinage des valeurs de~$z$ pour lesquelles $\lambda(z)$~devient
égale à~$±1$ ou à~$±\dfrac{1}{k}$; mais elles cessent de l'être quand $\lambda(z)$~devient
infinie. Toutefois les produits ou les quotients de ces fonctions deux à
deux sont méromorphes pour toutes les valeurs de~$z$. Parmi ces combinaisons,
nous avons étudié spécialement celles que nous avons appelées
$\mu$~et~$\nu$; nous ne dirons que quelques mots des autres.

Remarquons d'abord que les fonctions
\begin{alignat*}{3}
&\sqrt{\frac{1 - \lambda(z)}{1 + \lambda(z)}}
  &&= \frac{\sqrt{1 - \lambda^{2}}}{1 + \lambda}
  &&= \frac{\mu(z)}{1 + \lambda(z)}, \\
&\sqrt{\frac{1 - k \lambda(z)}{1 +  k \lambda(z)}}
  &&= \frac{\sqrt{1 - k^{2}\lambda^{2}}}{1 + k \lambda}
  &&= \frac{\nu(z)}{1 + k \lambda(z)}
\end{alignat*}
s'expriment rationnellement à l'aide des trois fonctions elliptiques ordinaires;
elles admettent les deux périodes $2\omega, 2\omega'$; comme elles n'ont
que deux zéros dans le parallélogramme $(2\omega, 2\omega')$, ces deux périodes
forment bien un système élémentaire.
\DPPageSep{369.png}{361}

Considérons maintenant la fonction
\[
\phi(z) = \sqrt{\frac{1 - \lambda(z)}{1 - k \lambda(z)}}\;,
\]
dont les zéros sont $\dfrac{\omega}{2} + \Erratum{}{2}m\omega + m'\omega'$, et les infinis $\dfrac{\omega + \omega'}{2} + \Erratum{}{2}m\omega + m'\omega'$.
D'après l'une des équations du \no{223}, on~a
\[
\phi\left(\frac{\omega}{2} + z\right)
  = -\phi\left(\frac{\omega}{2} - z\right),
\]
et par suite
\[
\phi(z + \omega) = -\phi(-z).
\]
D'après l'une des équations du \no{224}, on a aussi
\[
\phi\left(\frac{\omega + \omega'}{2} + z\right)
  = -\phi\left(\frac{\omega + \omega'}{2} - z\right),
\]
et par suite
\[
\phi(z + \omega + \omega') = -\phi(-z).
\]
On en déduit
\[
\phi(z + \omega + \omega') = \phi(z + \omega),\quad\text{ou}\quad
\phi(z + \omega') = \phi(z).
\]
Mais d'autre part
\[
\phi(z + 2 \omega) = ±\phi(z);
\]
il faut prendre le signe~$-$; car, si l'on prenait le signe~$+$, la fonction
admettrait les périodes $2\omega, \omega'$, et n'aurait qu'un zéro et un infini dans
chaque parallélogramme, ce qui est impossible. De la relation
\[
\phi(z + 2\omega) = -\phi(z),
\]
on déduit
\[
\phi(z + 4\omega) = \phi(z);
\]
la fonction admet les deux périodes $4\omega, \omega'$; le parallélogramme construit
sur ces périodes ne renfermant que deux zéros et deux infinis est
bien un parallélogramme élémentaire.
\DPPageSep{370.png}{362}

\Section{Réduction du multiplicateur à l'unité}

\Paragraph{227.} La fonction elliptique~$\lambda(z)$ définie par l'équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{du}{dz} = g \sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})},
\]
à laquelle on joint les conditions initiales $u = 0$, $\dfrac{du}{dz} = 1$ pour $z = 0$,
dépend des deux constantes $g$~et~$k$, qui sont le multiplicateur et le module.
Nous représenterons la fonction par le symbole~$\lambda(z, g, k)$, en
indiquant ainsi les deux constantes $g$~et~$k$ dont elle dépend.

Lorsque le multiplicateur est égal à l'unité, l'équation différentielle
devient
\[
\Tag{(26)}
\frac{du}{dz} = \sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})};
\]
la fonction~$\lambda(z, 1, k)$ qu'elle définit sera représentée simplement par
le symbole~$\lambda(z, k)$, en sous-entendant le multiplicateur~$1$. On peut toujours
ramener la fonction elliptique~$\lambda(z, g, k)$ à cette fonction elliptique
particulière; car, l'équation~\Eq{(1)} se mettant sous la forme
\[
\Tag{(27)}
\frac{du}{d(gz)} = \sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})},
\]
on~a
\[
\lambda(z, g, k) = \lambda(gz, k).
\]
Si l'on appelle $2\omega, \omega'$ un couple de périodes de la fonction particulière
$\lambda(z, k)$, la fonction $\lambda(z, g, k)$ ou~$\lambda(gz, k)$ admettra les périodes
$\dfrac{2\omega}{g}, \dfrac{\omega'}{g}$. On en conclut que le rapport des périodes est indépendant
du multiplicateur; c'est ce qui résulte d'ailleurs des formules \Eq{(3)}~et~\Eq{(5)}
du \no{221}.
\DPPageSep{371.png}{363}

\Section{Cas où le module est réel, positif et inférieur à l'unité}

\Paragraph{228.} Nous supposerons aussi que le multiplicateur~$g$ est égal à
l'unité. La première période
\[
2\omega = 4 \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})}}
\]
est réelle et positive. Faisons décrire à~$u$ successivement les deux lacets
$(a)$~et~$(c)$; $u$~croissant de~$0$ à~$1$, $z$~croît de~$0$ à~$\dfrac{\omega}{2}$; $u$~décroissant de~$1$ à~$0$,
après avoir décrit un petit cercle autour du point critique~$a$, $z$~croît
de~$\dfrac{\omega}{2}$ à~$\omega$; $u$~variant ensuite de~$0$ à~$-1$, et le signe du radical ayant
changé, $z$~croît de~$\omega$ à~$\dfrac{3\omega}{2}$; $u$~croissant de~$-1$ à~$0$, après avoir décrit un
petit cercle autour du point critique~$c$, $z$~croît de~$\dfrac{3\omega}{2}$ à~$2\omega$, et ainsi de
suite indéfiniment. On en conclut, réciproquement, que la fonction
$u = \lambda(z)$ est réelle et comprise entre $-1$~et~$+1$ pour toutes les valeurs
réelles de~$z$; elle se comporte comme un sinus; $z$~croissant de~$0$ à~$\dfrac{\omega}{2}$,
$u$~croît de~$0$ à~$1$; $z$~croissant de~$\dfrac{\omega}{2}$ à~$\omega$, $u$~décroît de~$1$ à~$0$; $z$~croissant
de~$\omega$ à~$2\omega$, $u$~devient négative et varie de~$0$ à~$-1$ et de~$-1$ à~$0$; puis
elle reprend les mêmes valeurs périodiquement.

Il en est de même de la fonction $\mu(z) = \sqrt{1 - \lambda^{2}(z)}$. Quand $z$~croît
de~$0$ à~$\dfrac{\omega}{2}$, $\mu(z)$~décroît de~$1$ à~$0$; $z$~croissant de~$\dfrac{\omega}{2}$ à~$\omega$, la relation
$\mu \left(\dfrac{\omega}{2} + z\right) = -\mu \left(\dfrac{\omega}{2} - z\right)$ fait voir que $\mu(z)$~devient négative et décroît
de~$0$ à~$-1$; $z$~croissant de~$\omega$ à~$2\omega$, la relation~$\mu(\omega + z) = - \mu(z)$
montre que $\mu(z)$~croît de~$-1$ à~$0$ et de~$0$ à~$+1$; puis elle reprend les
mêmes valeurs périodiquement; elle se comporte comme un cosinus.

Quant à la fonction $\nu(z) = \sqrt{1 - k^{2}\lambda^{2}(z)}$, la quantité placée sous
le radical ne s'annulant pas, elle reste non-seulement réelle, mais encore
positive, pour toutes les valeurs réelles de~$z$. Lorsque $z$~croît
\DPPageSep{372.png}{364}
de~$0$ à~$\dfrac{\omega}{2}$ et de~$\dfrac{\omega}{2}$ à~$\omega$, $\nu(z)$~décroît de~$1$ à~$k' = \sqrt{1 - k^{2}}$, pour croître
ensuite de~$k'$ à~$1$; puis la fonction reprend périodiquement les mêmes
valeurs. Ici le module complémentaire $k' = \nu \left(\dfrac{\omega}{2}\right)$ est positif.

\Paragraph{229.} Occupons-nous maintenant de la seconde période. Dans la formation
du lacet~$(b)$, nous éviterons le point critique~$a$ à l'aide d'un demi-cercle
très-petit~$a'ma''$ (\Figref{78}), de telle sorte que les lacets $(a), (b), (c), (d)$
\Fig[3.25in]{78}
se succèdent dans le sens positif. Nous prendrons comme
seconde période $\omega' = 2B - 2A$; dans la différence, la partie relative
à la droite~$Oa'$ disparaît; il ne reste que la partie relative à la droite~$a'' b'$
parcourue deux fois, et l'on~a
\[
\omega'
  = 2 \int_{1}^{\efrac{1}{k}} \frac{du}{\sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})}}
  = 2 \int_{1}^{\efrac{1}{k}} \frac{du}{\mu\nu}.
\]
Sur~$ab$ la quantité~$\nu$ reste réelle et positive, mais $\mu$~devient imaginaire
et égale à~$±i\sqrt{u^{2} - 1}$. Pour choisir le signe, nous poserons
\[
u = 1 + re^{\theta i}, \quad\text{d'où}\quad
\mu = \sqrt{(1 - u)(1 + u)}
    = r^{\efrac{1}{2}} e^{\efrac{\theta ± \pi}{2} i} \sqrt{2 + re^{\theta i}}.
\]
Quand le point~$u$ décrit le demi-cercle~$a'ma''$, $\theta$~varie de~$\pi$ à~$0$; $\mu$~devant
être positive en~$a'$ pour~$\theta = \pi$, il faut prendre l'exponentielle~$e^{\efrac{\theta - \pi}{2} i}$: en~$a''$
pour~$\theta = 0$, la valeur de~$\mu$ sera~$-ir^{\efrac{1}{2}} \sqrt{2 + r}$, et, par suite, sur~$a''b'$
on aura~$-i\sqrt{u^{2} - 1}$.

La valeur de la seconde période est donc
\[
\Tag{(28)}
\omega'
  = 2i \int_{1}^{\efrac{1}{k}} \frac{du}{\sqrt{(u^{2} - 1)(1 - k^{2} u^{2})}};
\]
\DPPageSep{373.png}{365}
c'est une quantité de la forme~$\omega''i$, $\omega''$~étant positive. De cette manière,
dans le rapport $\dfrac{\omega'}{\omega} = \dfrac{\omega''}{\omega} i$, le coefficient de~$i$ est positif, ce qui doit être
pour la formation de la fonction~$\Theta$. La quantité $q = e^{\efrac{\pi\omega' i}{\omega}}= e^{-\efrac{\pi \omega''}{\omega}}$, qui
entre dans les séries, est réelle, positive et inférieure à l'unité, comme
le module. Si l'on avait formé le lacet~$(b)$ avec l'autre demi-circonférence~$a'na''$,
on aurait trouvé pour~$2B - 2A$ une quantité égale à la
précédente et de signe contraire; il faudrait prendre pour seconde période
$\omega' = 2A - 2B$.

\Paragraph{230.} Dans le cas actuel, Legendre posait $u = \sin\phi$, d'où
\[
\Tag{(29)}
z = \int_{0}^{\phi} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\phi}}
  = \int_{0}^{\phi} \frac{d\phi}{\Delta \phi},
\]
en désignant par~$\Delta\phi$ le radical $\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\phi}$, et il regardait l'angle~$\phi$
comme l'\emph{amplitude} de la valeur~$z$ de l'intégrale définie. Jacobi, qui,
avec Abel, a le premier considéré la fonction directe~$u$, a été conduit,
d'après cela, à représenter cette fonction par le symbole~$\sin\am z$, c'est-à-dire~$\sin\phi$
ou sinus amplitude~$z$; il représentait la fonction~$\mu(z)$ par~$\cos\am z$,
et la fonction~$\nu(z)$ par~$\Delta \am z$.

\Paragraph{231.} Nous avons vu comment, lorsque le module~$k$ est réel, positif
et plus petit que~$1$, il faut choisir les périodes. Il est facile d'en déduire
une règle générale. Considérons un cycle~$C$ comprenant les deux points
\Fig[2.5in]{79}
critiques $a$~et~$b$ (\Figref{79}); si l'on prend comme première période~$2\omega$
le double de l'intégrale relative au lacet~$(a)$, on pourra prendre comme
\DPPageSep{374.png}{366}
seconde période~$\omega'$ l'intégrale relative au cycle~$C$ parcouru dans le sens
négatif. En effet, les deux intégrales $\omega$~et~$\omega'$ sont des fonctions continues
de~$k$, tant que le point~$b$, qui correspond à~$\dfrac{1}{k}$, reste à l'intérieur de
la courbe~$C$; le rapport $\dfrac{\omega'}{\omega} = r + si$ variant d'une manière continue
avec~$k$ et restant imaginaire, le coefficient~$s$, qui ne s'annule pas, conserve
le même signe; or, lorsque le point~$b$ vient en~$b_{0}$ sur l'axe~$Ox$
au delà du point~$a$, si l'on forme le lacet~$(b_{0})$ avec le demi-cercle~$a'ma''$,
le cycle~$C$, décrit dans le sens négatif, peut être remplacé par la suite
des lacets~$(b) + (a)$. L'intégrale correspondante est $\omega' = 2B - 2A$, et
nous avons vu que le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ a son coefficient~$s$ positif; d'après cela,
quelle que soit la valeur du module~$k$, le coefficient~$s$ sera positif; mais
le cycle négatif~$C$ équivaut à la suite des lacets $(b) + (a)$ ou $(a) + (b)$,
suivant que l'argument de~$\dfrac{1}{k}$ est compris entre $0$~inclusivement et $\pi$~exclusivement,
ou entre $\pi$~inclusivement et $2\pi$~exclusivement: la seconde
période est donc $2B - 2A$~dans le premier cas, $2A - 2B$~dans
le second cas.

\Section{Périodes elliptiques}

\Paragraph{232.} Connaissant le module~$k$ et le multiplicateur~$g$, nous avons
déterminé par des intégrales définies (\no{221}) deux périodes élémentaires
$2\omega, \omega'$ de la fonction~$\lambda(z)$, telles que l'on ait $\lambda \left(\dfrac{\omega}{2}\right) = 1$,
$\lambda \left(\dfrac{\omega + \omega'}{2}\right) = \dfrac{1}{k}$, et que, dans le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$, le coefficient de~$i$ soit
positif (\no{231}). Nous avons appelé module complémentaire~$k'$ (\no{77})
celle des valeurs du radical $±\sqrt{1 - k^{2}}$ qui est égale à~$\nu \left(\dfrac{\omega}{2}\right)$. Un système
de périodes $2\omega_{1}, \omega'_{1}$, équivalent au point de vue de la division du plan
par un réseau (\no{144}), est représenté par les formules
\[
2\omega_{1} = 2 a \omega + b \omega',\quad
\omega'_{1} = 2 a' \omega + b' \omega',
\]
dans lesquelles $a, b, a', b'$ désignent des nombres entiers satisfaisant
à la condition $ab' - ba'= ±1$. Parmi ces systèmes, considérons ceux
\DPPageSep{375.png}{367}
qui jouissent des propriétés précédentes, c'est-à-dire qui soient tels,
que l'on ait $\lambda \left(\dfrac{\omega_{1}}{2}\right) = 1$, $\lambda \left(\dfrac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}\right) = \dfrac{1}{k}$, $\nu \left(\dfrac{\omega_{1}}{2}\right) = k'$, et que, dans le
rapport~$\dfrac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}$, le coefficient de~$i$ soit positif. Pour que l'on ait $\lambda \left(\dfrac{\omega_{1}}{2}\right) = 1$,
il faut que les deux nombres entiers $a$~et~$b$ soient de la forme $a = 4a_{1} + 1$,
$b = 4b_{1}$. Pour que l'on ait $\lambda \left(\dfrac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}\right) = \dfrac{1}{k}$, il faut que les deux nombres
$a'$~et~$b'$ soient de la forme $a' = 2a'_{1}$, $b' = 2b'_{1} + 1$. Pour que l'on
ait $\nu \left(\dfrac{\omega_{1}}{2}\right) = k'$, il faut, en outre, que $b_{1} = 2b_{2}$. Enfin, pour que dans
le rapport~$\dfrac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}$ le coefficient de~$i$ soit positif, il est nécessaire que le
déterminant $ab' - ba'$ soit égal à~$+1$; d'où l'on déduit $b'_{1} = 2b'_{2}$. Les
formules précédentes deviennent ainsi
\[
\Tag{(30)}
\omega_{1} = (4a_{1} + 1) \omega + 4b_{2} \omega',\quad
\omega'_{1} = 4a'_{1} \omega + (4b'_{2} + 1) \omega',
\]
avec la condition $(4a_{1} + 1) (4b'_{2} + 1) - 16a'_{1} b_{2} = 1$ Nous donnerons
aux périodes $2 \omega_{1}, \omega'_{1}$, définies de cette manière, le nom de \emph{périodes
elliptiques}. En vertu des raisonnements des \nos~\nref{223}~et~\nref{224}, il est clair
que la fonction~$\mu(z)$ admet les périodes élémentaires $2\omega_{1}, \omega_{1} + \omega'_{1}$, et
la fonction~$\nu(z)$ les périodes élémentaires $\omega_{1}, 2\omega'_{1}$; ce que l'on peut
d'ailleurs vérifier directement.

Les relations établies entre les fonctions elliptiques (\no{225}) subsistent
sans modifications, quand on y remplace $\omega$~et~$\omega'$ par $\omega_{1}$~et~$\omega'_{1}$;
car on~a
\begin{alignat*}{3}
\lambda \Bigl(z + \frac{\omega_{1}}{2}\Bigr)
  &= \lambda \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr), &
\mu \Bigl(z + \frac{\omega_{1}}{2}\Bigr)
  &= \mu \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr), &
\nu \Bigl(z + \frac{\omega_{1}}{2}\Bigr)
  &= \nu \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr), \\
%
\lambda \Bigl(z + \frac{\omega'_{1}}{2}\Bigr)
  &= \lambda \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr),\quad &
\mu \Bigl(z + \frac{\omega'_{1}}{2}\Bigr)
  &= \mu \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr),\quad &
\nu \Bigl(z + \frac{\omega'_{1}}{2}\Bigr)
  &= \nu \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr).
\end{alignat*}

Remarquons aussi que, dans les deux groupes de fonctions~$\theta$, formées
avec $\omega$~et~$\omega'$, ou avec $\omega_{1}$~et~$\omega'_{1}$, les fonctions homologues ont les mêmes
zéros (\no{170}).

Au lieu de déterminer les périodes $2\omega, \omega'$ par des intégrales définies,
comme nous l'avons dit, on peut se servir des formules du \no{205}. On
\DPPageSep{376.png}{368}
conçoit que, au moyen de l'équation~\Eq{(29)}, dans laquelle on regarde~$q$
comme l'inconnue, on puisse calculer cette inconnue et, par conséquent,
trouver le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$; l'équation~\Eq{(31)} donnera ensuite~$\omega$, et l'on
connaîtra $\omega$~et~$\omega'$. L'équation~\Eq{(29)}, dont on élève les deux membres
au carré, admet une infinité de solutions; car à des valeurs données
de~$g$ et de~$k$ correspondent une infinité de couples de périodes elliptiques:
toutes les valeurs correspondantes de~$q$ satisfont à cette équation.

\Section{Modules égaux et de signes contraires}

\Paragraph{233.} Le module~$k$ n'entrant qu'au carré dans l'équation différentielle,
si l'on remplace~$k$ par~$-k$, l'équation différentielle reste la
même, et, par conséquent, la fonction~$\lambda$ définie par cette équation ne
change pas; il en est de même des fonctions $\mu$~et~$\nu$; mais les périodes
elliptiques changent. Il est évident d'abord que la première période
$2\omega = 4A$ conserve la même valeur; quant à la seconde période, en
appliquant la règle établie au \no{231}, on obtient, d'une part,
\[
\omega' = ±(2B - 2A),
\]
d'autre part,
\[
\omega'_{1} = \mp(-2B - 2A) = ±2\omega + \omega';
\]
en vertu des formules~\Eq{(30)}, on peut prendre, dans tous les cas,
\[
\omega'_{1} = 2\omega + \omega'.
\]

Plus généralement, si l'on désigne par $2\omega, \omega'$ l'un quelconque des
systèmes de périodes elliptiques relatives aux constantes $g$~et~$k$, les
périodes équivalentes $2\omega_{1} = 2\omega$, $\omega'_{1} = 2\omega + \omega'$ forment un système
de périodes elliptiques relatives aux constantes $g$~et~$-k$; car on~a
\[
\lambda \left(\frac{\omega_{1}}{2}\right) = 1,\quad
\lambda \left(\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}\right) = -\frac{1}{k},\quad
\nu \left(\frac{\omega_{1}}{2}\right) = k',
\]
et, en outre, le déterminant est égal à~$+1$.

La formule~\Eq[73]{(a)} du \no{73} montre que, quand on remplace $\omega$~et~$\omega'$
par $\omega$~et~$2\omega + \omega'$, la fonction~$\Theta(z)$ reste la même; les formules~\Eq[74]{(5)}
\DPPageSep{377.png}{369}
du \no{74} font voir ensuite que les fonctions $\theta_{3}(z), \theta(z)$ ne changent
pas, et que les deux autres $\theta_{2}(z), \theta_{1}(z)$ deviennent $i\theta_{2}(z), i\theta_{1}(z)$.
Dans les formules~\Eq[76]{(18)} du \no{76}, on remplacera~$\sqrt{k}$ par~$i\sqrt{k}$.

\Section{Modules réciproques}

\Paragraph{234.} Si, dans l'équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{du}{dz} = g \sqrt{(1 - u^{2})(1 - k^{2} u^{2})},
\]
qui, avec la condition initiale $u = 0$, définit la fonction elliptique
$\lambda (z, g, k)$, on remplace~$u$ par~$\dfrac{u'}{k}$, on obtient l'équation
\[
\Tag{(31)}
\frac{du'}{dz}
  = gk \sqrt{(1 - u'^{2})\left(1 - \frac{1}{k^{2}}\, u'^{2}\right)},
\]
avec la condition initiale $u' = 0$ pour $z = 0$; mais cette dernière équation
définit la fonction elliptique $\lambda \left(z, gk, \dfrac{1}{k}\right)$. On a donc la relation
\[
\Tag{(32)}
\lambda \left(z, gk, \frac{1}{k}\right) = k \lambda (z, g, k),
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(33)}
\mu \left(z, gk, \frac{1}{k}\right) = \nu (z, g, k),\quad
\nu \left(z, gk, \frac{1}{k}\right) = \mu (z, g, k).
\]

En vertu de la relation~\Eq{(32)}, les deux fonctions $\lambda (z, g, k), \lambda \left(z, gk, \dfrac{1}{k}\right)$
admettent les mêmes périodes. Si $2\omega, \omega'$ sont des périodes elliptiques
de la première, les périodes équivalentes $2\omega_{1} = 2\omega - 2\omega', \omega'_{1} = \omega'$
formeront un couple de périodes elliptiques de la seconde; car on~a
\[
\lambda \left(\frac{\omega_{1}}{2}, gk, \frac{1}{k}\right) = 1,\quad
\lambda \left(\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}, gk, \frac{1}{k}\right) = k,
\]
et, en outre, le déterminant est égal à~$1$. Le module complémentaire
\DPPageSep{378.png}{370}
de la nouvelle fonction sera
\[
k'_{1} = \nu \left(\frac{\omega_{1}}{2}, gk, \frac{1}{k}\right)
  = \frac{ik'}{k}.
\]

En réduisant les multiplicateurs à l'unité, on mettra les relations
précédentes sous la forme plus simple
\[
\Tag{(34)}
\lambda \Bigl(z, \frac{1}{k}\Bigr)
  = k \lambda \Bigl(\frac{z}{k}, k\Bigr),\quad
\mu \Bigl(z, \frac{1}{k}\Bigr) = \nu \Bigl(\frac{z}{k}, k\Bigr),\quad
\nu \Bigl(z, \frac{1}{k}\Bigr) = \mu \Bigl(\frac{z}{k}, k\Bigr).
\]
Elles ramènent le cas où le module~$k$ est réel, positif et plus grand
que~$1$ à celui où il est plus petit que~$1$.

On peut opérer cette transformation par le changement des périodes.
Considérons les fonctions $\theta$~et~$\vartheta$ formées avec les deux constantes
$\omega_{1} = \omega - \omega'$, $\omega'_{1} = \omega'$, mises à la place de $\omega$~et~$\omega'$; comme on~a
\[
p_{1} = e^{-\efrac{\pi \omega_{1} i}{\omega'_{1}}}
  = p e^{\pi i} = -p,
\]
nous désignerons les fonctions anciennes par $\theta (z, p), \vartheta (z, p)$, et les
nouvelles par $\theta (z, -p), \vartheta (z, -p)$. La constante~$\omega'$ ne changeant
pas, les formules~\Eq[171]{(6)} du \no{171} donnent immédiatement
\[
\Tag{(35)}
\frac{\vartheta_{3} (z, -p)}{\vartheta_{2} (z, p)}
  = \frac{\vartheta_{2} (z, -p)}{\vartheta_{3} (z, p)}
  = \frac{\vartheta (z, -p)}{\sqrt{i}\, \vartheta (z, p)}
  = \frac{\vartheta_{1} (z, -p)}{\sqrt{i}\, \vartheta_{1} (z, p)} = 1,
\]
$\sqrt{i}$~étant égale à~$e^{\efrac{\pi i}{4}}$. Des relations~\Eq[172]{(13)} du \no{172}, en tenant compte de
la valeur du coefficient~$C$ (\no{205}), on déduit ensuite
\[
\Tag{(36)}
\frac{\theta_{3} (z, -p)}{\theta_{2} (z, p)}
  = \frac{\theta_{2} (z, -p)}{\theta_{3} (z, p)}
  = \frac{\theta (z, -p)}{\sqrt{i}\, \theta (z, p)}
  = \frac{\theta_{1} (z, -p)}{\sqrt{i}\, \theta_{1} (z, p)}
  = \sqrt{\frac{\omega - \omega'}{\omega}}\,
      \PadTo[l]{\quad\qquad}{e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega(\omega - \omega')}}.}
\]

Les formules \Eq[173]{(15)}~et~\Eq[173]{(17)} du \no{173} déterminent le nouveau module
et le nouveau multiplicateur
\[
\sqrt{k_{1}} = \frac{1}{\sqrt{k}},\quad
\sqrt{k'_{1}} = \Erratum{\frac{\sqrt{ik'}}{k}}{\sqrt{\frac{ik'}{k}}},\quad
g_{1} = gk;
\]
à l'aide des formules~\Eq[173]{(14)} de ce même numéro, on retrouve les relations
\Eq{(32)}~et~\Eq{(33)}.
\DPPageSep{379.png}{371}

\Section{Modules complémentaires}

\Paragraph{235.} Nous avons vu (\no{159}) que la fonction $\nu \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)$ satisfait
à l'équation différentielle
\[
\Tag{(37)}
\frac{d\nu}{dz}
  = igk' \sqrt{(1 - \nu^{2}) \left(1 - \frac{1}{k'^{2}}\, \nu^{2}\right)},
\]
à laquelle on joint la condition initiale $\nu = 0$ pour $z = 0$, le radical
ayant la valeur initiale~$+1$; mais cette équation définit la fonction
$\lambda \left(z, igk', \dfrac{1}{k'}\right)$, qui, d'après la relation~\Eq{(20)}, est égale à $k'\lambda (z, ig, k')$;
on a donc
\[
\nu \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}, g, k'\right)
  = k' \lambda (z, ig, k');
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(38)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda (z, ig, k') &= i\, \frac{\lambda (z, g, k)}{\mu (z, g, k)}, \\
\mu (z, ig, k')     &= \frac{1}{\mu (z, g, k)}, \\
\nu (z, ig, k')     &= \frac{\nu (z, g, k)}{\mu (z, g, k)}.
\end{aligned}
\right.
\]

Si $2\omega, \omega'$ désignent des périodes elliptiques de la fonction $\lambda (z, g, k)$,
la fonction $\lambda (z, ig, k')$ admettra les périodes élémentaires $\omega, 2\omega'$; les
périodes équivalentes $2\omega_{1} = -2\omega'$, $\omega'_{1} = \omega$ formeront un couple de
périodes elliptiques de cette nouvelle fonction; car on~a
\[
\lambda \left(\frac{\omega_{1}}{2}, ig, k'\right)
  = \frac{1}{k'}\, \nu \left(\frac{\omega}{2}, g, k\right) = 1,\ \
\lambda \Bigl(\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}, ig, k'\Bigr) = \frac{1}{k'},
\ \
\nu \left(\frac{\omega_{1}}{2}, ig, k'\right) = k,
\]
et d'ailleurs le déterminant est égal à~$+1$. En réduisant les multiplicateurs
\DPPageSep{380.png}{372}
à l'unité, on écrira les relations précédentes sous la forme
\[
\Tag{(39)}
\lambda (iz, k) = i\, \frac{\lambda(z, k')}{\mu (z, k')},\quad
\mu (iz, k) = \frac{1}{\mu (z, k')},\quad
\nu (iz, k) = \frac{\nu (z, k')}{\mu (z, k')}.
\]
Elles permettent de trouver les valeurs des fonctions elliptiques, lorsque
le module~$k$ est réel, positif et inférieur à l'unité, et que la variable est
imaginaire et de la forme~$yi$, $y$~étant réelle. Les fonctions $\mu (yi), \nu (yi)$
sont réelles et plus grandes que~$1$, la fonction~$\lambda (yi)$ est imaginaire et
de la forme~$Yi$, $Y$~étant réelle et pouvant prendre toutes les valeurs
possibles. Les fonctions $\lambda (yi), \mu (yi)$ sont analogues au sinus et au
cosinus hyperboliques.

\Paragraph{236.} Si $2\omega, \omega'$ sont des périodes elliptiques de la fonction~$\lambda (z, k)$,
la fonction~$\lambda (z, i, k')$ ou $\lambda (iz, k')$, admettant les périodes elliptiques
$-2\omega', \omega$, la fonction~$\lambda (z, k')$ admettra les périodes elliptiques
$-2\omega' i, \omega i$. Désignons par $\theta (z, k), \vartheta (z, k)$ les fonctions composées
avec les deux constantes $\omega, \omega'$ relatives au module~$k$, et par $\theta (z, k'),
\vartheta (z, k')$ les fonctions composées de la même manière avec les deux
constantes $\omega_{1} = -\omega' i$, $\omega'_{1} = \omega i$, relatives au module complémentaire~$k'$.
Comme on a $q_{1} = p, p_{1} = q$, la comparaison des formules~\Eq[74]{(8)} du \no{74}
et~\Eq[171]{(6)} du \no{171} donne immédiatement les relations
\[
\Tag{(40)}
\left\{
\begin{alignedat}{8}
&\theta_{3} &&(iz, k) &&= \vartheta_{3} &&(z, k'),\quad &
&\vartheta_{3} &&(iz, k) &&= \Neg\theta_{3} &&(z, k'); \\
&\theta &&(iz, k) &&= \vartheta_{2} &&(z, k'), &
&\vartheta_{2} &&(iz, k) &&= \Neg\theta &&(z, k'); \\
&\theta_{2} &&(iz, k) &&= \vartheta &&(z, k'), &
&\vartheta &&(iz, k)  &&= \Neg\theta_{2} &&(z, k'); \\
&\theta_{1} &&(iz, k) &&= \vartheta_{1} &&(z, k'), &
&\vartheta_{1} &&(iz, k) &&= -\theta_{1} &&(z, k').
\end{alignedat}
\right.
\]
Le nouveau module et le nouveau multiplicateur sont déterminés par
les formules
\[
\sqrt{k_{1}} = \sqrt{k'},\quad
\sqrt{\vphantom{k}\smash{k'_{1}}} = \sqrt{k},\quad
g_{1} = ig,
\]
et l'on retrouve ainsi les relations~\Eq{(39)}.

Lorsque le module~$k$ est réel, positif et plus petit que~$1$, si l'on
adopte les périodes elliptiques de la fonction~$\lambda (z, k)$, telles que $\omega$~soit
réelle et positive, et $\omega'$~de la forme~$\omega'' i$, $\omega''~$étant réelle et positive, les
nouvelles constantes $\omega_{1} = - \omega' i$, $\omega'_{1} = \omega i$, relatives au module complémentaire~$k'$,
\DPPageSep{381.png}{373}
jouissent des mêmes propriétés. Quand $z$~est réelle,
toutes les fonctions $\theta$~et~$\vartheta$ sont réelles, excepté~$\vartheta_{1}$, qui est imaginaire
et de la forme~$Ai$, $A$~étant réelle; quand $z$~est imaginaire et de la
forme~$yi$, $y$~étant réelle, elles sont encore réelles, excepté~$\theta_{1}$, qui est
imaginaire et de la forme~$Ai$. Dans ces deux cas, les formules~\Eq[74]{(8)} du
\no{74} et~\Eq[171]{(6)} du \no{171} renferment, soit des sinus et des cosinus ordinaires,
soit des sinus et des cosinus hyperboliques.

\Section{Autre transformation}

\Paragraph{237.} Nous avons vu (\no{159}) que la fonction $\mu \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)$ satisfait à
l'équation différentielle
\[
\Tag{(41)}
\frac{d\mu}{dz}
  = -gk' \sqrt{(1 - \mu^{2}) \left(1 + \frac{k^{2}}{k'^{2}}\, \mu^{2}\right)},
\]
à laquelle on joint la condition $\mu = 0$; mais cette équation définit la
fonction elliptique $\lambda \left(z, -gk', \dfrac{ik}{k'}\right)$; on a donc
\[
\mu \left(z + \frac{\omega}{2}, g, k\right)
  = -\lambda \left(z, gk', \frac{ik}{k'}\right);
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(42)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, gk', \frac{ik}{k'}\right)
  &= k'\, \frac{\lambda(z, g, k)}{\nu(z, g, k)}, \\
\mu \left(z, gk', \frac{ik}{k'}\right)
  &= \frac{\mu(z, g, k)}{\nu(z, g, k)}, \\
\nu \left(z, gk', \frac{ik}{k'}\right)
  &= \frac{1}{\nu(z, g, k)}.
\end{aligned}
\right.
\]
Si $2\omega, \omega'$ sont des périodes elliptiques de la fonction $\lambda (z, g, k)$, la
fonction $\lambda \left(z, gk', \dfrac{ik}{k'}\right)$ admettra les deux périodes élémentaires $2\omega_{1} = 2\omega$,
$\omega'_{1} = \omega + \omega'$, qui seront aussi périodes elliptiques de cette dernière
\DPPageSep{382.png}{374}
fonction; car on~a
\[
\lambda \left(\frac{\omega_{1}}{2}, gk', \frac{ik}{k'}\right) = 1,\quad
\lambda \left(\frac{\omega_{1} + \omega'_{1}}{2}, gk', \frac{ik}{k'}\right)
  = \frac{1}{\ \dfrac{ik}{k'}\ }.
\]
Le nouveau module complémentaire est
\[
k'_{1} = \nu \left(\frac{\omega_{1}}{2}, gk', \frac{ik}{k'}\right)
  = \frac{1}{k'}.
\]

En réduisant \Erratum{les multiplicateurs}{le premier multiplicateur} à l'unité, on mettra les relations précédentes
sous la forme
\[
\Tag{(43)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \frac{ik}{k'}\right)
  &= k'\, \frac{\lambda \left(\dfrac{z}{k'}, k\right)}
               {\nu \left(\dfrac{z}{k'}, k\right)}, \\
\mu \left(z, \frac{ik}{k'}\right)
  &= \frac{\mu \left(\dfrac{z}{k'}, k\right)}
          {\nu \left(\dfrac{z}{k'}, k\right)}, \\
\nu \left(z, \frac{ik}{k'}\right)
  &= \frac{1}{\nu \left(\dfrac{z}{k'}, k\right)}.
\end{aligned}
\right.
\]
Elles ramènent le cas où le carré du module est réel et négatif à celui
où il est réel et positif.

On peut aussi opérer cette transformation par le changement des périodes.
Considérons les fonctions $\theta$~et~$\vartheta$ formées avec les deux constantes
$\omega_{1} = \omega$, $\omega'_{1} = \omega + \omega'$, mises à la place de $\omega$~et~$\omega'$; comme on~a
\[
q_{1} = e^{\efrac{\pi\omega'_{1} i}{\omega_{1}}}
  = qe^{\pi i} = -q,
\]
nous désignerons les fonctions anciennes par $\theta(z, q), \vartheta(z, q)$, et les
nouvelles par $\theta(z, -q), \vartheta(z, -q)$. La constante~$\omega$ ne changeant pas,
les formules~\Eq[74]{(8)} du \no{74} donnent immédiatement
\[
\Tag{(44)}
\frac{\theta_{3}(z, -q)}{\theta(z, q)}
  = \frac{\theta(z, -q)}{\theta_{3}(z, q)}
  = \frac{\theta_{2}(z, -q)}{\sqrt{i}\, \theta_{2}(z, q)}
  = \frac{\theta_{1}(z, -q)}{\sqrt{i}\, \theta_{1}(z, q)} = 1.
\]
\DPPageSep{383.png}{375}
Des relations~\Eq[172]{(13)} du \no{172}, on déduit ensuite
\[
\Tag{(45)}
\frac{\vartheta_{3}(z, -q)}{\vartheta(z, q)}
  = \frac{\vartheta(z, -q)}{\vartheta_{3}(z, q)}
  = \frac{\vartheta_{2}(z, -q)}{\sqrt{i}\, \vartheta_{2}(z, q)}
  = \frac{\vartheta_{1}(z, -q)}{\sqrt{i}\, \vartheta_{1}(z, q)}
  = \sqrt{\frac{\omega + \omega'}{\omega'}}
    \PadTo[l]{\quad\qquad}{e^{-\efrac{\pi z^{2}i}{\omega'(\omega + \omega')}}.}
\]
Le nouveau module et le nouveau multiplicateur sont déterminés par
les formules~\Eq[76]{(17)} du \no{76} et~\Eq[159]{(24)} du \no{159},
\[
\sqrt{k_{1}} = \sqrt{\frac{ik}{k'}},\quad
\sqrt{k'_{1}} = \frac{1}{\sqrt{k'}},\quad
g_{1} = gk',
\]
et l'on retrouve ainsi les relations~\Eq{(43)}. Cette dernière transformation
pourrait d'ailleurs être effectuée au moyen des deux précédentes.
\DPPageSep{384.png}{376}


\Chapitre{IV}{Intégration par les Fonctions Elliptiques}

\Paragraph{238.} Les exemples d'équations différentielles que nous avons considérées
jusqu'à présent appartiennent tous à une même catégorie
d'équations différentielles, celles qui ne contiennent pas la variable~$z$
et qui sont algébriques entre la fonction~$u$ et sa dérivée~$\dfrac{du}{dz}$. Désignons
par~$U$ la dérivée~$\dfrac{du}{dz}$, et soit
\[
\Tag{(1)}
F(u, U) = 0
\]
l'équation proposée, dont le premier membre est un polynôme entier
en $u$~et~$U$, du degré~$m$ par rapport à~$u$ et irréductible. On donne pour
$z = z_{0}$ la valeur initiale~$u_{0}$ de la fonction~$u$ et la valeur~$U_{0}$ de la dérivée,
$U_{0}$~étant une racine simple de l'équation~$F(u_{0}, U) = 0$ et différente
de zéro. En vertu du théorème général sur l'intégration (\no{208}), tant
que la fonction algébrique~$U$ de~$u$ reste fonction holomorphe de~$u$, la
fonction intégrale~$u$ reste elle-même fonction holomorphe de~$z$; mais
cette fonction intégrale cesse, en général, d'être holomorphe par rapport
à~$z$, lorsqu'elle arrive dans le voisinage d'une valeur~$u$, pour laquelle
la fonction algébrique~$U$ devient infinie ou acquiert des valeurs
multiples.

La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie
\[
\Tag{(2)}
z - z_{0} = \int_{u_{0}}^{u} \frac{1}{U}\, du,
\]
$\dfrac{1}{U}$~étant une fonction algébrique de~$u$; elle est de l'espèce de celles que
nous avons étudiées dans le \Ref{3.4}{Chapitre~IV du Livre~III}. Nous avons vu
\DPPageSep{385.png}{377}
qu'à chaque valeur de~$u$, finie ou infinie, correspondent $m$~valeurs de~$z$,
augmentées de multiples quelconques de certaines périodes. Lorsqu'il
n'y a pas de période, ou lorsque toutes les périodes sont nulles, $z$~et~$u$
sont liées par une équation algébrique du degré~$m$ par rapport à~$z$, et
par rapport à~$u$ d'un degré que l'on sait déterminer (\no{136}); mais,
quand il y a des périodes, et c'est ce qui a lieu ordinairement, si la
fonction intégrale~$u$ cesse d'être monotrope, lorsqu'elle arrive dans le
voisinage d'une valeur~$u$, qui est un pôle ou un point critique de la
fonction algébrique~$U$, comme à cette valeur de~$u$ correspondent une
infinité de valeurs de~$z$, il y aura, dans le plan sur lequel est figurée la
variable~$z$, une infinité de points critiques pour la fonction~$u$, et il
pourra arriver qu'elle acquière une infinité de valeurs différentes.

\Paragraph{239.} Il est aisé de reconnaître que, dans toute l'étendue du plan,
c'est-à-dire pour toutes les valeurs finies de~$z$, la fonction intégrale~$u$
n'admet que des points singuliers algébriques, savoir: des pôles ou des
points critiques algébriques. Supposons, en effet, que, $z$~allant de~$z_{0}$
à~$z_{1}$ par un certain chemin, $u$~aille de~$u_{0}$ à une valeur finie~$u_{1}$, qui soit
un point critique de la branche correspondante de la fonction algébrique~$\dfrac{1}{U}$;
si l'on pose $z = z_{1} + z'$, $u = u_{1} + u'$, cette branche de la
fonction algébrique se développera en une série convergente de la
forme (\no{96})
\[
\Tag{(3)}
\frac{1}{U}
  = b_{0} + b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}} + b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots;
\]
l'intégration donne
\[
\Tag{(4)}
z' = u' \left(b_{0}
  + \frac{p}{p + 1} b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + \frac{p}{p + 2} b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right);
\]
on en déduit
\[
\Tag{(5)}
u' = z' \left(a_{0}
  + a_{1} {z'}^{\efrac{1}{p}}
  + a_{2} {z'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right).
\]
Ainsi la fonction~$u$ acquiert $p$~valeurs différentes, qui se permutent
circulairement, quand la variable~$z$ tourne autour du point~$z_{1}$, et, par
conséquent, ce point est un point critique algébrique de la fonction~$u$.
\DPPageSep{386.png}{378}

Lorsque la branche correspondante de la fonction algébrique~$\dfrac{1}{U}$ devient
infinie, son développement est de la forme
\[
\Tag{(6)}
\frac{1}{U} = {u'}^{-\efrac{q}{p}} \left(b_{0}
  + b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right).
\]
Puisque la variable~$z$ conserve une valeur finie~$z_{1}$, la racine infinie~$\dfrac{1}{U}$
est d'un degré~$\dfrac{q}{p}$ plus petit que un. Posons $p' = p - q$; on en déduit,
par l'intégration,
\[
\Tag{(7)}
z' =  {u'}^{\efrac{p'}{p}} \left(\frac{p}{p'} b_{0}
    + \frac{p}{p' + 1} b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
    + \frac{p}{p' + 2} b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right),
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(8)}
u' = {z'}^{\efrac{p}{p'}} \left(a_{0}
  + a_{1} {z'}^{\efrac{1}{p'}}
  + a_{2} {z'}^{\efrac{2}{p'}} + \ldots\right).
\]
Le point~$z_{1}$ est encore un point critique algébrique de la fonction~$u$, à
moins que l'on ait $p' = 1$; dans ce cas, ce serait un point ordinaire.

Supposons maintenant que, la variable~$z$ allant de~$z_{0}$ à~$z_{1}$, la fonction~$u$
devienne infinie; on posera
\[
u = \frac{1}{v},\quad
V = \frac{dv}{dz} = -v^{2}U;
\]
l'équation proposée~\Eq{(1)} se change en une équation algébrique entre $v$~et~$V$,
du degré~$m$ par rapport à~$V$, et l'intégrale définie devient
\[
\Tag{(9)}
z' = z - z_{1} = \int_{0}^{v} \frac{1}{V}\, dv.
\]
Le raisonnement précédent s'applique à la fonction~$v$; on en conclut
que le point~$z_{1}$ est un point ordinaire ou un point critique algébrique
de cette fonction, et, par conséquent, un pôle ou un point critique
algébrique de la fonction~$u$.

\Paragraph{240.} Nous nous occuperons spécialement, dans ce qui suit, du cas
où la fonction intégrale~$u$ est monotrope. Cherchons d'abord à quels
\DPPageSep{387.png}{379}
caractères on reconnaîtra, sur l'équation différentielle, que la fonction
intégrale jouit de cette propriété. La fonction n'ayant alors, dans toute
l'étendue du plan, pas d'autres points singuliers que des pôles, sera
méromorphe; mais nous savons (\no{86}) que la dérivée d'une fonction
méromorphe ne devient infinie que lorsque la fonction est elle-même
infinie; il en résulte que, si l'on ordonne l'équation proposée par rapport
aux puissances décroissantes de la dérivée, le coefficient du premier
terme doit être constant; l'équation sera donc de la forme
\[
\Tag{(10)}
\Bigr(\frac{du}{dz}\Bigr)^{m}
  + f_{1} (u) \Bigr(\frac{du}{dz}\Bigr)^{m-1}
  + f_{2} (u) \Bigr(\frac{du}{dz}\Bigr)^{m-2} + \ldots + f_{m} (u) = 0,
\]
les coefficients $f_{1} (u), f_{2} (u), \ldots$ étant des polynômes entiers en~$u$. Si
l'on pose $u = \dfrac{1}{v}$, cette équation devient
\[
\Tag{(11)}
\Bigr(\frac{dv}{dz}\Bigr)^{m}
  - v^{2}  f_{1} \Bigr(\frac{1}{v}\Bigr) \Bigr(\frac{dv}{dz}\Bigr)^{m-1}
  + v^{4}  f_{2} \Bigr(\frac{1}{v}\Bigr) \Bigr(\frac{dv}{dz}\Bigr)^{m-2}
  + \ldots
  ± v^{2m} f_{m} \Bigr(\frac{1}{v}\Bigr) = 0;
\]
la fonction~$v$ étant méromorphe comme la fonction~$u$, l'équation transformée
doit aussi avoir ses coefficients entiers; il en résulte que les
polynômes $f_{1}(u), f_{2}(u), \ldots, f_{m}(u)$ doivent être, au plus, le premier
du second degré, le second du quatrième degré, \ldots, le dernier du
degré~$2m$.

Supposons que, la variable~$z$ allant de~$z_{0}$ à~$z_{1}$ par un chemin convenable,
la fonction~$u$ acquière une valeur~$u_{1}$, pour laquelle la fonction
algébrique~$U$ devient égale à une racine multiple différente de zéro; la
fonction~$\dfrac{1}{U}$, conservant une valeur finie, est représentée par la série~\Eq{(3)},
et la fonction~$u'$ par la série~\Eq{(5)}; pour que la fonction~$u$ reste monotrope
dans le voisinage du point~$z_{1}$, il est nécessaire et il suffit que l'on
ait $p = 1$, et, par conséquent, que la fonction algébrique~$U$ reste monotrope
par rapport à~$u$; il faut, pour cela, que les systèmes circulaires
qui composent la racine multiple soient formés chacun d'une seule
racine. On verra, en suivant la méthode que nous avons indiquée pour
l'étude des fonctions algébriques (\nos~\nref{34}~et~\nref{35}), si cette condition est
remplie.
\DPPageSep{388.png}{380}

\Paragraph{241.} Supposons maintenant que, la variable~$z$ allant de~$z_{0}$ à~$z_{1}$, la fonction~$u$
acquière une valeur~$u_{1}$, pour laquelle la fonction algébrique~$U$
devient nulle; la variable~$z$ restant finie, cette racine~$U$ est d'un degré
inférieur à l'unité, et, par conséquent, elle appartient à un système
circulaire de $p$~racines; la fonction~$\dfrac{1}{U}$, qui devient infinie, est représentée
par la série~\Eq{(6)}, et la fonction~$u'$ par la série~\Eq{(8)}; pour que la
fonction intégrale~$u$ reste monotrope dans le voisinage du point~$z_{1}$, il
est nécessaire et il suffit que $p' = 1$, c'est-à-dire que la racine nulle~$U$
soit du degré~$1 - \dfrac{1}{p}$.

Il est aisé de reconnaître, \textit{a~priori}, que cette condition est nécessaire;
car, si la fonction~$u$ est monotrope dans le voisinage du point~$z_{1}$, elle
se développe en une série de la forme
\[
\Tag{(12)}
u' = a_{0} z'^{p}  +  a_{1} z'^{p+1} + \ldots;
\]
sa dérivée
\[
\Tag{(13)}
U = p a_{0} z'^{p-1}  +  (p + 1) a_{1} z'^{p} + \ldots
\]
s'annulant pour $z' = 0$, le nombre entier~$p$ est plus grand que un. De
la série~\Eq{(12)}, on déduit
\[
\Tag{(14)}
z' = b_{0} {u'}^{\efrac{1}{p}} + b_{1} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots,
\]
et, en portant dans la série~\Eq{(13)},
\[
\Tag{(15)}
U = {u'}^{\efrac{p-1}{p}} \left(A_{0}
  + A_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + A_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right);
\]
la racine infiniment petite~$U$ appartient donc à un système circulaire
de $p$~racines, et elle est du degré~$1 - \dfrac{1}{p}$.

Il reste à examiner ce qui se passe lorsque la fonction~$u$ devient
infinie pour une valeur finie~$z_{1}$ de~$z$. Nous nous servirons, pour cela,
de l'équation transformée~\Eq{(11)}. Si, pour $v = 0$, les racines différentes
de zéro sont monotropes par rapport à~$v$, et si chacune des racines
\DPPageSep{389.png}{381}
égales à zéro et d'un degré plus petit que l'unité est du degré~$1 - \dfrac{1}{p}$,
$p$~étant le nombre des racines du système circulaire auquel elle appartient,
on en conclura, comme précédemment, que $v$~est une fonction
monotrope de~$z$ dans le voisinage du point~$z_{1}$. On arrive ainsi au théorème
suivant:

\begin{Théorème}{I}
Pour qu'une équation différentielle algébrique et irréductible,
entre $u$~et~$\dfrac{du}{dz}$,
\[
\left(\frac{du}{dz}\right)^{m}
  + f_{1} (u) \left(\frac{du}{dz}\right)^{m-1}
  + f_{2} (u) \left(\frac{du}{dz}\right)^{m-2} + \ldots
  + f_{m} (u) = 0,
\]
ne contenant pas la variable~$z$, admette une intégrale monotrope, il est
nécessaire et il suffit: \Primo~que les coefficients $f_{1}(u), f_{2}(u), \ldots, f_{m}(u)$ soient
des polynômes entiers et, au plus, le premier du second degré, le second
du quatrième degré, \ldots, le dernier du degré~$2m$; \Secundo~que chaque racine de
l'équation, tant qu'elle ne devient pas nulle, reste holomorphe par rapport
à~$u$; \Tertio~que chaque racine nulle et d'un degré plus petit que l'unité soit du
degré~$1 - \dfrac{1}{p}$, $p$~étant le nombre des racines du système circulaire auquel
elle appartient; \Quarto~enfin que l'équation différentielle, que l'on déduit de
la proposée en posant $u = \dfrac{1}{v}$, présente pour $v = 0$ les mêmes caractères.
\end{Théorème}

\Paragraph{242.} La considération de l'intégrale définie~\Eq{(2)} nous apprend que
$u$~est une fonction algébrique de~$z$, ou une fonction périodique. Il
résulte de ce que nous avons dit au \no{143} qu'une fonction monotrope
ne peut admettre plus de deux périodes distinctes; le nombre des
périodes sera donc zéro, un ou deux. La fonction intégrale est, dans
le premier cas, une fonction rationnelle; dans le second cas, une fonction
simplement périodique; dans le troisième cas, une fonction doublement
périodique. Dans le \Ref{3.4}{Chapitre~IV du Livre~III}, nous avons indiqué
une méthode pour la réduction du nombre des cycles; ceci nous donne
une limite supérieure du nombre des périodes; mais on ne peut pas en
conclure d'une manière certaine le nombre des périodes distinctes. Il
peut arriver, par exemple, que l'intégrale définie relative à l'un de ces
\DPPageSep{390.png}{382}
cycles soit nulle, et alors la période correspondante est nulle. Il importe
donc de trouver des caractères auxquels on pourra reconnaître, sur
l'équation différentielle elle-même, à laquelle des trois classes appartient
la fonction intégrale. Pour voir si la fonction intégrale est monotrope,
nous n'avons pas eu à nous occuper des racines nulles d'un degré
égal ou supérieur à l'unité; c'est la considération de ces racines qui
nous permettra de distinguer l'espèce de la fonction intégrale.

Examinons d'abord le cas où l'équation~\Eq{(10)}, pour toutes les valeurs
de~$u$ qui annulent~$f_{m}(u)$, et l'équation~\Eq{(11)} pour $v = 0$, n'admettent
aucune racine nulle d'un degré égal ou supérieur à un. Dans ce cas,
l'intégrale définie~\Eq{(2)} conserve une valeur finie (\no{111}). Imaginons
que l'on représente la variation de~$u$ par le mouvement d'un point sur
une sphère, et celle de~$z$ par celui d'un point sur un plan; après avoir
marqué sur la sphère les points critiques de la fonction algébrique~$U$
et formé un système de lacets fondamentaux ayant pour origine le point
initial~$u_{0}$, concevons que la variable~$u$ parte du point~$u_{0}$, $u$~ayant une
valeur déterminée~$U_{0}$, et aille en un point quelconque de la sphère par
un arc de grand cercle, précédé des combinaisons des lacets fondamentaux
qui font acquérir à~$U$ les $m$~valeurs qu'elle peut avoir au point~$u_{0}$.
Afin de distinguer ces chemins, nous regarderons chaque point de la
sphère comme l'assemblage de $m$~points caractérisés par les $m$~valeurs
de~$U$; à chaque point~$(u, U)$ de la sphère correspond un point~$z$ du
plan, et à la sphère entière une portion finie du plan. Prenons un
point~$M'$ en dehors de cette partie du plan; dans l'intégration directe,
quand la variable~$z$ arrive en~$M'$ par un chemin quelconque, la fonction
monotrope~$u$ acquiert en ce point une valeur déterminée~$u_{1}$, et sa dérivée~$U$
une valeur aussi déterminée~$U_{1}$. Soit $M$ le point situé dans la
partie finie du plan et qui correspond au point~$(u_{1}, U_{1})$ de la sphère;
quand la variable~$z$ décrit dans le plan une ligne quelconque allant du
point~$M$ au point~$M'$, par exemple la droite~$MM'$, la variable~$u$ décrit sur
la sphère un cycle fournissant la période~$MM'$; si l'on ajoute cette période
à chacune des valeurs de~$z$ obtenues précédemment, la portion
finie du plan se reproduira à côté une première fois, puis une seconde
fois, et ainsi de suite; mais cette opération ne donne pas tout le plan.
Prenons un point~$M''$ en dehors, et soit $M$ le point homologue situé
dans la partie finie du plan; nous obtiendrons de la même manière
\DPPageSep{391.png}{383}
une seconde période~$MM''$. On conclut de là que la fonction~$u$ de~$z$
est doublement périodique; l'ordre de la fonction doublement périodique
est marqué par le degré~$m$ de l'équation proposée~\Eq{(10)} par rapport
à~$\dfrac{du}{dz}$ (\no{181}).

\Paragraph{243.} Supposons maintenant que, pour une valeur finie~$u_{1}$ de~$u$,
l'équation~\Eq{(10)} admette une racine nulle~$U_{1}$ d'un degré égal ou supérieur
à l'unité; toutes les valeurs de~$z$ qui correspondent au point
$(u_{1}, U_{1})$ de la sphère seront infinies. Il est impossible, d'après cela, que
la fonction monotrope~$u$ soit doublement périodique; car, si cela était,
il y aurait dans chacun des parallélogrammes du réseau construit avec
les périodes un point~$z_{1}$ correspondant au point $(u_{1}, U_{1})$ de la sphère
(\no{181}). On arrive à la même conclusion lorsque l'équation~\Eq{(11)} admet
pour $v = 0$ une racine nulle d'un degré égal ou supérieur à un. Ainsi,
dans ce cas, la fonction intégrale est rationnelle ou simplement périodique.

Voici comment on peut distinguer ces deux cas. Lorsque pour
une valeur finie~$u_{1}$ de~$u$ l'équation~\Eq{(10)} admet une racine nulle d'un
degré $1 + \dfrac{p'}{p}$ supérieur à l'unité, et appartenant à un système circulaire
de $p$~racines, la branche correspondante de la fonction~$\dfrac{1}{U}$ devient
infinie, et est représentée par la série
\[
\frac{1}{U} = {u'}^{-\efrac{p+p'}{p}} \left(b_{0}
  + b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right);
\]
on en déduit, par l'intégration,
\[
z = - \frac{p}{p'} b_{0} {u'}^{-\efrac{p'}{p}}
    - \frac{p}{p'-1} b_{1} {u'}^{-\efrac{p'-1}{p}} - \ldots
    + b_{p'} \log u' + C + p b_{p'+1} u'^{p} + \ldots.
\]
Remarquons d'abord que le coefficient~$b_{p'}$ est nécessairement nul;
car, si l'on pose $u' = u''^{p}, z = \dfrac{1}{{z'}^{p'}}$, l'équation précédente devient
\[
u''^{p'} = {z'}^{p'} \left(
  - \frac{p}{p'} b_{0}
  - \frac{p}{p'-1} b_{1} u'' - \ldots
  + p b_{p'} u''^{p'} \log u'' + C u''^{p'} + \ldots\right),
\]
\DPPageSep{392.png}{384}
et, en faisant $u'' = vz'$,
\[
v^{p'} = -\frac{p}{p'} b_{0}
  - \frac{p}{p'-1} b_{1} vz' - \ldots
  + p b_{p'} v^{p'} {z'}^{p'} (\log z' + \log v)
  + C v^{p'} {z'}^{p'} + \ldots;
\]
si l'on pose ensuite $v_{0} = \left(-\dfrac{p}{p'} b_{0}\right)^{\efrac{1}{p'}}$, $v = v_{0} + v'$, on arrive à une équation
de la forme
\[
\Tag{(16)}
Z_{0} + Z_{1} v' + Z_{2} v'^{2} + \ldots = 0,
\]
où $Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ désignent des séries convergentes ordonnées suivant
les puissances entières et croissantes de~$z'$, et dont les $p'$~premières
renferment en outre chacune un terme tel que~$A{z'}^{p'} \log z'$, qui s'annule
pour $z' = 0$. Concevons que la variable~$z'$ soit comprise dans un cercle
décrit du point $z' = 0$ comme centre avec un rayon très-petit~$\rho$, cercle
dans lequel on a pratiqué une coupure suivant un rayon; une valeur du
logarithme étant adoptée en un point, la fonction~$z'^{p'} \log z'$ aura une
valeur déterminée et très-petite en chaque point. Nous pouvons répéter
ici le raisonnement du \no{28}; la première série~$Z_{0}$ s'annulant
pour $z' = 0$, et la seconde~$Z_{1}$ contenant un terme~$p'v_{0}^{p-1}$ indépendant
de~$z'$, on en conclut que l'équation~\Eq{(16)} admet une racine très-petite~$v'$.
Si l'on adoptait une autre détermination du logarithme, les coefficients
de l'équation ayant d'autres valeurs, l'équation admettrait une autre racine
très-petite, et ainsi de suite. Il en résulte qu'à chaque valeur de~$z'$
correspondraient une infinité de valeurs de~$v'$, ce qui est impossible,
puisque la fonction intégrale~$u$ est monotrope.

Le coefficient~$b_{p'}$ étant nul, l'équation~\Eq{(16)} définit une fonction~$v'$
monotrope par rapport à~$z'$; puisque la fonction~$u$ est monotrope par
rapport à~$z$, on a en outre $p' = 1$. La fonction~$u$, différant très-peu
d'une quantité constante~$u_{1}$ pour toutes les valeurs de~$z'$ inférieures à
un certain module et, par conséquent, pour toutes les valeurs de~$z$
supérieures à un certain module, est rationnelle; car, pour $z = \infty$, les
fonctions périodiques sont indéterminées. On arrive à la même conclusion
lorsque, pour $v = 0$, l'équation~\Eq{(11)} admet une racine nulle
d'un degré supérieur à l'unité.

\Paragraph{244.} Il est aisé de voir, \textit{a~priori}, que ces conditions sont nécessaires,
\DPPageSep{393.png}{385}
pour que la fonction intégrale soit rationnelle. Considérons d'abord
une fraction rationnelle dont le numérateur soit d'un degré égal ou
inférieur à celui du dénominateur. Quand $z$~augmente indéfiniment,
$u$~tend vers une valeur finie~$u_{1}$; si l'on pose $z = \dfrac{1}{z'}$, $u = u_{1} + u'$, la
fonction~$u'$, étant holomorphe dans le voisinage de~$z' = 0$, se développe
en une série entière
\[
\Tag{(17)}
u' = a_{0} z'^{p} + a_{1} z'^{p+1} + \ldots,
\]
et convergente pour toutes les valeurs de~$z'$ inférieures à un certain
module. On en déduit
\[
\Tag{(18)}
z' = b_{0} {u'}^{\efrac{1}{p}}
   + b_{1} {u'}^{\efrac{2}{p}}
   + b_{2} {u'}^{\efrac{3}{p}} + \ldots,
\]
les nouveaux coefficients étant liés aux premiers par les relations
\[
\Tag{(19)}
a_{0} b_{0}^{p} = 1,\quad
a_{1} b_{0}^{2} + p a_{0} b_{1} = 0, \ldots.
\]
En différentiant la série~\Eq{(17)}, on~a
\[
U = -z'^{2} \frac{du'}{dz'}
  = -p a_{0} z'^{p+1}
    -(p + 1) a_{1} z'^{p+2} \ldots;
\]
si l'on remplace~$z'$ par sa valeur donnée par la série~\Eq{(18)}, il vient
\[
\Tag{(20)}
U = {u'}^{\efrac{p+1}{p}} \left(A_{0}
  + A_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}}
  + A_{3} {u'}^{\efrac{3}{p}} + \ldots\right),
\]
et par suite
\[
\Tag{(21)}
\frac{1}{U} = {u'}^{-\efrac{p+1}{p}} \left(B_{0}
  + B_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}}
  + B_{3} {u'}^{\efrac{3}{p}} + \ldots\right).
\]
A cause des relations~\Eq{(19)}, le coefficient du second terme dans la
série~\Eq{(20)}, et par suite celui du terme en~$\dfrac{1}{u'}$ dans la série~\Eq{(21)}, sont nuls.
La racine infiniment petite~$U$ appartient donc à un système circulaire de
$p$~racines, et elle est du degré~$1 + \dfrac{1}{p}$; en outre, dans le développement
de~$\dfrac{1}{U}$, le terme en~$\dfrac{1}{u'}$ manque.
\DPPageSep{394.png}{386}

Lorsque le numérateur de la fraction rationnelle est d'un degré plus
élevé que le dénominateur, $u$~devient infinie avec~$z$; mais $v$~s'annule,
et la racine infiniment petite~$V$ jouit des mêmes propriétés.

Il est impossible que l'équation proposée, lorsqu'elle est irréductible,
et sa transformée pour $v = 0$, présentent deux racines nulles d'un
degré plus grand que un; car, lorsqu'il y a une racine de cette sorte, la
fonction~$u$ est rationnelle, et, par conséquent, diffère très-peu d'une
quantité déterminée pour les valeurs très-grandes de~$z$.

\Paragraph{245.} Supposons maintenant que, pour $u = u_{1}$, l'équation proposée
admette une racine du degré un et appartenant à un système circulaire
de $p$~racines. Si l'on pose $u = u_{1} + u'$, la branche correspondante de la
fonction~$\dfrac{1}{U}$ sera représentée par
\[
\Tag{(22)}
\frac{1}{U} = u'^{-1} \left(b_{0}
  + b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots\right),
\]
d'où
\[
z = b_{0} \log u' + C
  + p b_{1} {u'}^{\efrac{1}{p}}
  + \frac{p}{2} b_{2} {u'}^{\efrac{2}{p}} + \ldots.
\]
L'intégrale définie a ici la période polaire $\omega = 2 pb_{0} \pi i$; on en conclut
que la fonction~$u$ est simplement périodique.

En posant $u' = u''^{p}$, $t = e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}}$, on déduit de l'équation précédente
\[
\Tag{(23)}
t = u'' (a_{0} + a_{1} u'' + a_{2} u''^{2} + \ldots);
\]
le point $u = u_{1}$ est donc un point critique algébrique, ou un point ordinaire
si $p = 1$, de la fonction~$t$ de~$u$.

Supposons que, pour $u = u_{2}$, l'équation admette une autre racine
du degré un; si l'on pose $u = u_{2} + u'$, la branche correspondante de la
fonction~$\dfrac{1}{U}$ sera représentée par une série de la forme~\Eq{(22)}; on en déduit
pour~$z$ une expression de la formé~\Eq{(23)}; si la période polaire est
égale à la précédente et de signe contraire, il en résulte pour~$t$ une
expression telle que
\[
\Tag{(24)}
\frac{1}{t} = u'' (a'_{0} + a'_{1} u'' + a'_{2} a''^{2} + \ldots);
\]
\DPPageSep{395.png}{387}
le point $u = u_{2}$ est un point critique algébrique ou un point ordinaire
de la fonction~$\dfrac{1}{t}$ et, par conséquent, un point critique algébrique ou
un pôle de la fonction~$t$. Ainsi la fonction~$t$ de~$u$ n'a, sur toute la
sphère, que des points singuliers algébriques; d'ailleurs, à une valeur
de~$u$ correspond un nombre fini de valeurs de~$t$; on en conclut,
d'après le théorème du \no{135}, que les deux quantités $t$~et~$u$ sont liées
par une équation algébrique. Puisqu'à chaque valeur de~$t$ ne correspond
qu'une valeur de~$u$, cette équation est du premier degré par rapport
à~$u$, et, par conséquent, $u$~est égale à une fraction rationnelle de~$t$.

Remarquons actuellement qu'une fraction rationnelle de~$t$ prend des
valeurs déterminées $u_{1}$~et~$u_{2}$ pour $t = 0$ et $t = \infty$; en posant $u = u_{1} + u'$,
ou $u = u_{2} + u'$, on obtient pour~$\dfrac{dz}{du}$ des expressions de la forme~\Eq{(22)}.
Il en résulte que, si l'équation proposée, ou sa transformée pour $v = 0$,
admet une racine nulle du degré un, elles en admettent une autre, et
ces deux racines fournissent, dans l'intégrale définie, des périodes
égales et de signes contraires. Il peut arriver que ces deux racines
nulles correspondent à une même valeur de~$u$.

De ce qui précède, on conclut:

\begin{Théorème}{II}
Les conditions qui rendent la fonction intégrale
monotrope étant remplies: \Primo~la fonction intégrale est doublement périodique,
lorsque l'équation proposée pour aucune valeur finie de~$u$, ou la
transformée pour $v = 0$, n'admet de racine nulle d'un degré égal ou supérieur
à l'unité; \Secundo~elle est rationnelle, lorsque l'équation proposée pour
une valeur finie de~$u$, ou la transformée pour $v = 0$, admet une racine
nulle d'un degré plus grand que un; \Tertio~elle est simplement périodique,
lorsque l'équation proposée pour une valeur finie de~$u$, ou la transformée
pour $v = 0$, admet une racine nulle du degré un.
\end{Théorème}

Quand on a reconnu la nature de la fonction intégrale, on peut se
proposer de la déterminer au moyen des éléments connus. Si elle est
rationnelle, elle sera égale au quotient de deux polynômes entiers. Si
elle est simplement périodique, elle sera égale à une fraction rationnelle
de l'exponentielle $t = e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}}$. Enfin, si elle est doublement périodique,
on l'exprimera rationnellement à l'aide de la fonction elliptique~$\lambda(z)$,
aux mêmes périodes, et de sa dérivée (\no{161}).
\DPPageSep{396.png}{388}

\Section{Équations différentielles binômes}

\Paragraph{246.} Appliquons les principes que nous venons d'établir à l'étude
de l'équation binôme
\[
\Tag{(25)}
\left(\frac{du}{dz}\right)^{m} = F(u) = G (u - a)^{n} (u - b)^{n'} \ldots,
\]
dans laquelle $F(u)$~désigne un polynôme entier en~$u$ du degré~$2m$ au
plus. Par une transformation du premier degré, on peut toujours ramener
le cas où le degré du polynôme est plus petit que~$2m$ à celui où il est
égal à~$2m$; il suffit pour cela de poser $u = u_{0} + \dfrac{1}{v}$, $u_{0}$~étant une quantité
arbitraire qui n'annule pas~$F(u)$; nous supposerons donc que le
polynôme est du degré~$2m$, ce qui revient à dire que, sur la sphère, le
point $u = \infty$ est un point ordinaire pour la fonction~$\dfrac{1}{V}$ (\no{239}). L'équation
proposée se met sous la forme
\[
\Tag{(26)}
\frac{du}{dz} = g (u - a)^{\efrac{q}{p}} (u - b)^{\efrac{q'}{p'}} \ldots;
\]
nous supposons chaque exposant réduit à sa plus simple expression;
leur somme est égale à deux. Pour que la fonction intégrale soit monotrope,
il est nécessaire et il suffit que les exposants inférieurs à
l'unité soient de la forme~$1 - \dfrac{1}{p}$ (\no{241}); chacun de ces exposants sera
égal ou supérieur à~$\dfrac{1}{2}$. La fonction intégrale est doublement périodique
si tous les exposants sont inférieurs à l'unité, rationnelle s'il y en a
un supérieur à l'unité, simplement périodique s'il y en a un égal à
l'unité.

Le second membre de l'équation~\Eq{(26)} peut être formé d'un seul facteur
affecté de l'exposant~$2$ ou~$1 + \dfrac{1}{1}$; dans ce cas, l'intégrale est rationnelle.
S'il renferme un premier facteur affecté d'un exposant plus grand
que~$1$, mais plus petit que~$2$, il est formé de deux facteurs; le second
\DPPageSep{397.png}{389}
exposant étant de la forme~$1 - \dfrac{1}{p}$, le premier est~$1 + \dfrac{1}{p}$, et l'intégrale
est rationnelle. On a ainsi les deux équations différentielles
\[
\Tag{(27)}
\frac{du}{dz} = g(u - a)^{2},\quad
\frac{du}{dz} = g(u - a)^{\efrac{m+1}{m}} (u - b)^{\efrac{m-1}{m}},
\]
qui admettent des intégrales rationnelles.

Il peut y avoir deux exposants égaux à~$1$, ou un exposant égal à~$1$
et deux autres égaux chacun à~$\dfrac{1}{2}$; les deux équations différentielles
\[
\Tag{(28)}
\frac{du}{dz} = g(u - a) (u - b),\quad
\frac{du}{dz} = g(u - a) \sqrt{(u - b) (u - c)}
\]
admettent des intégrales simplement périodiques. La seconde, mise
sous forme entière, a deux racines nulles du degré un pour la même
valeur $u = a$.

Considérons maintenant le cas où tous les exposants sont inférieurs
à l'unité et de la forme~$1 - \dfrac{1}{p}$; dans ce cas, la fonction intégrale est
doublement périodique. Il y aura au moins trois facteurs, puisque la
somme des exposants est égale à deux; il ne peut pas y en avoir plus
de quatre, puisque chacun des exposants est égal ou supérieur à~$\dfrac{1}{2}$.
S'il y a quatre facteurs, les quatre exposants sont égaux à~$\dfrac{1}{2}$, et l'on~a
l'équation différentielle
\[
\Tag{(29)}
\frac{du}{dz} = g \sqrt{(u - a) (u - b) (u - c) (u - d)}.
\]
S'il y a trois facteurs, la somme des trois exposants $1 - \dfrac{1}{p}$, $1 - \dfrac{1}{p'}$,
$1 - \dfrac{1}{p''}$ étant égale à deux, les trois nombres entiers $p, p', p''$ doivent
satisfaire à la relation
\[
\Tag{(30)}
\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} + \frac{1}{p''} = 1.
\]
\DPPageSep{398.png}{390}
Supposons ces trois nombres rangés par ordre de grandeur croissante.
Nous remarquons d'abord que le plus petit~$p$ ne peut être plus grand
que~$3$; on ne pourra donc lui attribuer que les deux valeurs $3$~et~$2$.
Soit $p = 3$; la relation~\Eq{(30)} devient
\[
\frac{1}{p'} + \frac{1}{p''} = \frac{2}{3};
\]
il faudra faire aussi $p' = p'' = 3$; on obtient ainsi l'équation différentielle
\[
\Tag{(31)}
\frac{du}{dz}
  = g(u - a)^{\efrac{2}{3}} (u - b)^{\efrac{2}{3}} (u - c)^{\efrac{2}{3}}.
\]
Soit maintenant $p = 2$; la relation~\Eq{(30)} devient $\dfrac{1}{p'} + \dfrac{1}{p''} = \dfrac{1}{2}$; le
nombre~$p'$ ne peut être plus grand que~$4$; comme il est d'ailleurs plus
grand que~$2$, on ne pourra lui \DPtypo{atribuer}{attribuer} que les deux valeurs $4$~et~$3$. Si
$p' = 4$, on a~$p' = 4$, ce qui donne l'équation différentielle
\[
\Tag{(32)}
\frac{du}{dz}
  = g(u - a)^{\efrac{1}{2}} (u - b)^{\efrac{3}{4}} (u - c)^{\efrac{3}{4}}.
\]
Si $p' = 3$, on a $p'' = 6$, et l'on obtient l'équation différentielle
\[
\Tag{(33)}
\left(\frac{du}{dz}\right)
  = g(u - a)^{\efrac{1}{2}} (u - b)^{\efrac{2}{3}} (u - c)^{\efrac{5}{6}}.
\]

\Paragraph{247.} Ainsi, outre les quatre équations \Eq{(27)}~et~\Eq{(28)} que l'on sait
intégrer, et dont les intégrales sont rationnelles ou simplement périodiques,
il existe quatre autres équations, \Eq{(29)},~\Eq{(31)},~\Eq{(32)} et~\Eq{(33)}, dont
les intégrales sont des fonctions doublement périodiques. Ces équations
présentent les quatre types suivants:
\begin{alignat*}{4}
\Tag{(I)}
U^{2} &= G(u - a) &&(u - b) &&(u - c) &&(u - d), \\
\Tag{(II)}
U^{3} &= G(u - a)^{2} &&(u - b)^{2} &&(u - c)^{2}&&, \\
\Tag{(III)}
U^{4} &= G(u - a)^{2} &&(u - b)^{3} &&(u - c)^{3}&&, \\
\Tag{(IV)}
U^{6} &= G(u - a)^{3} &&(u - b)^{4} &&(u - c)^{5}&&.
\end{alignat*}
\DPPageSep{399.png}{391}
Les fonctions intégrales sont respectivement du second, du troisième,
du quatrième et du sixième ordre.

La fonction algébrique~$U$ de~$u$, définie par l'équation~\Eq{(I)} du second
degré, admet sur la sphère quatre points critiques $a, b, c, d$, autour de
chacun desquels se permutent les deux racines. La fonction algébrique
définie par l'équation~\Eq{(II)} du troisième degré admet trois points critiques
$a, b, c$, autour de chacun desquels se permutent les trois racines.
La fonction algébrique définie par l'équation~\Eq{(III)} du quatrième degré
a aussi trois points critiques $a, b, c$; les quatre racines se permutent
circulairement autour de chacun des deux derniers; autour du point~$a$,
les quatre racines se divisent en deux systèmes circulaires, comprenant
chacun deux racines. L'équation~\Eq{(IV)}, qui est du sixième degré, présente
également trois points critiques; les six racines forment autour
du point~$a$ trois systèmes circulaires de deux racines, autour du point~$b$
deux systèmes circulaires de trois, et enfin autour du point~$c$ un seul
système de six. Nous dirons qu'un point critique~$a$ autour duquel se
permute un système circulaire de $p$~racines est de l'ordre~$p$, et nous
le désignerons par le symbole~$a^{(p)}$; nous regarderons le point~$a$, dans
l'équation~\Eq{(IV)}, comme la réunion de trois points critiques du second
ordre, et le point~$b$ comme la réunion de deux points critiques du troisième
ordre. De cette manière, la distribution des points critiques, pour
les quatre équations précédentes, sera figurée par
\[
\begin{array}{*{4}{r<{\quad}}}
   a^{(2)}, &  b^{(2)}, & c^{(2)}, & d^{(2)}, \\
   a^{(3)}, &  b^{(3)}, & c^{(3)}, & \\
  2a^{(2)}, &  b^{(4)}, & c^{(4)}, & \\
  3a^{(2)}, & 2b^{(3)}, & c^{(6)}. &
\end{array}
\]
Nous avons vu (\no{111}) que le nombre des périodes de l'intégrale
définie est au plus $\sum (p - 1) - 2(m - 1)$; en appliquant cette règle
aux cas actuels, on trouve effectivement que le nombre des périodes
ne surpasse pas deux.

Si l'on fait coïncider l'un des points critiques avec le point~$O'$ de
la sphère, à l'aide d'une transformation du premier degré, telle que
$u = a + \dfrac{1}{v}$, on déduit des quatre types principaux les sept formes
\DPPageSep{400.png}{392}
dérivées
\begin{alignat*}{2}
\Tag{(34)}
& &&\begin{aligned}U^{2} &= G(u - a)\; (u - b)\; (u - c),\end{aligned} \\
\Tag{(35)}
& &&\begin{aligned}U^{3} &= G(u - a)^{2} (u - b)^{2},\end{aligned} \\
\Tag{(36)}
&\left\{
\begin{aligned}\vphantom{G}\\ \vphantom{G}\end{aligned}\right.
&&\begin{aligned}
  U^{4} &= G(u - a)^{2} (u - b)^{3}, \\
  U^{4} &= G(u - b)^{3} (u - c)^{3},
\end{aligned} \\
\Tag{(37)}
&\left\{
\begin{aligned}\vphantom{G}\\ \vphantom{G}\\ \vphantom{G}\end{aligned}\right.
&&\begin{aligned}
  U^{6} &= G(u - a)^{3} (u - b)^{4}, \\
  U^{6} &= G(u - a)^{3} (u - c)^{5}, \\
  U^{6} &= G(u - b)^{4} (u - c)^{5}.
\end{aligned}
\end{alignat*}

\Paragraph{248.} Proposons-nous maintenant d'intégrer ces équations différentielles
au moyen des fonctions elliptiques. L'équation~\Eq{(III)} et ses deux
formes dérivées~\Eq{(36)} rentrant les unes dans les autres, il suffit de considérer
la première des équations~\Eq{(36)},
\[
\frac{du}{dz} = g(u - a)^{\efrac{1}{2}} (u - b)^{\efrac{3}{4}};
\]
en posant $u = b + v^{2}$, on ramène celle-ci à l'équation
\[
\frac{dv}{dz} = \frac{g}{2} \sqrt{v(b - a + v^{2})},
\]
qui est de la forme~\Eq{(34)}, dérivée du premier type. De même, l'équation~\Eq{(IV)}
et ses trois formes dérivées~\Eq{(37)} rentrant les unes dans les
autres, il suffit de considérer la première des équations~\Eq{(37)},
\[
\frac{du}{dz} = g(u - a)^{\efrac{1}{2}} (u - b)^{\efrac{2}{3}};
\]
en posant $u = b + v^{3}$, on la ramène à l'équation
\[
\frac{dv}{dz} = \frac{g}{3} \sqrt{b - a + v^{3}},
\]
qui est aussi de la forme~\Eq{(34)}. L'équation~\Eq{(II)} se ramène à sa forme
dérivée~\Eq{(35)}; pour intégrer cette dernière, nous poserons
\[
U = \frac{(u - a) (u - b)}{v},
\]
\DPPageSep{401.png}{393}
d'où
\[
\Tag{(38)}
(u - a)(u - b) = Gv^{3},\quad
U = Gv^{2},
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(39)}
u = \frac{a + b}{2} + \sqrt{\left(\frac{a - b}{2}\right)^{2} + Gv^{3}}.
\]
On déduit de l'équation~\Eq{(38)}, par la différentiation,
\[
3G v^{2}\, \frac{dv}{dz}
  = 2 \left(u - \frac{a + b}{2}\right) U
  = 2 G v^{2} \left(u - \frac{a + b}{2}\right),
\]
d'où
\[
\Tag{(40)}
\frac{dv}{dz} = \frac{2}{3} \sqrt{\left(\frac{a - b}{2}\right)^{2} + G v^{3}}.
\]
Cette dernière équation est aussi de la forme~\Eq{(34)}, et définit une fonction
doublement périodique du second ordre. La fonction~$u$, qui est du
troisième ordre, est donnée par l'équation~\Eq{(39)}, qui se réduit à
\[
\Tag{(41)}
u = \frac{a + b}{2} + \frac{3}{2}\, \frac{dv}{dz}.
\]
Nous avons ainsi ramené à l'équation~\Eq{(34)} les quatre types d'équations
différentielles binômes et leurs sept formes dérivées; nous avons vu
(\no{219}) comment on ramène l'équation~\Eq{(34)} à la forme particulière
qui convient à la fonction elliptique~$\lambda(z)$.

\Section{Équations du troisième degré}

\Paragraph{249.} Proposons-nous de rechercher, parmi les équations différentielles
du troisième degré, celles qui admettent des intégrales monotropes
et doublement périodiques. Nous avons vu (\no{181}) que le coefficient
de la première puissance de~$U$ doit être nul; ces équations
rentrent donc dans la forme trinôme
\[
\Tag{(42)}
U^{m} + f_{1}(u) U^{m-1} + f_{m}(u) = 0.
\]
\DPPageSep{402.png}{394}
Nous pouvons supposer que les polynômes entiers $f_{1}$~et~$f_{m}$ sont, le premier
du second degré, le second du degré~$2m$, et que pour $v = 0$
l'équation transformée n'a que des racines simples. Considérons d'abord
les racines nulles d'un degré inférieur à l'unité. Soit $(u - a)^{n}$ un facteur
du dernier terme donnant une racine de cette sorte; posons
$u = a + u'$. Si la quantité~$f_{1}(a)$ est différente de zéro, le premier
groupe dans l'équation est formé des deux termes
\[
f_{1}(a) U^{m-1} + f_{m}^{(n)}(a)\, \frac{u'^{n}}{1·2\cdots n};
\]
il y a $m - 1$~racines infiniment petites du degré~$\dfrac{n}{m - 1}$; il faut que ce
degré soit de la forme~$1 - \dfrac{1}{p}$, d'où l'on déduit
\[
\Tag{(43)}
n = \frac{(p - 1) (m - 1)}{p};
\]
le nombre entier~$p$, plus grand que~$1$, doit être un diviseur de~$m - 1$.
Si l'on a~$f_{1}(a) = 0$, le premier groupe est formé des deux termes
\[
U^{m} + f_{m}^{(n)}(a)\, \frac{u'^{n}}{1·2\cdots n};
\]
les $m$~racines sont infiniment petites et du degré~$\dfrac{n}{m}$; il faut que ce degré
soit aussi de la forme~$1 - \dfrac{1}{p}$, d'où
\[
\Tag{(44)}
n = \frac{(p - 1) m}{p};
\]
le nombre entier~$p$ doit être un diviseur de~$m$.

Considérons maintenant les racines multiples différentes de zéro.
Elles satisfont à l'équation
\[
mU^{m-1} + (m - 1)f_{1} U^{m-2}
  = mU^{m-1} \left(U + \frac{m-1}{m}\, f_{1}\right) = 0.
\]
\DPPageSep{403.png}{395}
Posons
\begin{gather*}
\Tag{(45)}
U_{1} = -\frac{m - 1}{m} f_{1},\quad
U = U_{1} + U', \\
\Tag{(46)}
\phi(u) = f_{m} + (-1)^{m-1} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}} \Erratum{f_{1}}{f_{1}^{m}};
\end{gather*}
l'équation proposée devient
\[
\Tag{(47)}
\phi(u) - \frac{m - 1}{2} f_{1} U_{1}^{m-3} U'^{2} - \ldots
  - (m - 2) f_{1} U'^{m-1} + U'^{m} = 0.
\]
Soit $u_{1}$ une valeur de~$u$ qui annule~$\phi$ sans annuler~$f_{1}$ et par suite~$f_{m}$;
désignons par~$q$ le degré du facteur binôme $u - u_{1}$ dans le polynôme~$\phi$;
si l'on pose $u = u_{1} + u'$, le premier groupe dans l'équation est formé
des deux termes
\[
\phi^{(q)} (u_{1}) \frac{u'^{q}}{1·2\cdots q}
  + (-1)^{m-2}\, \frac{(m - 1)^{m-2}}{2m^{m-3}}
    \bigl[f_{1} (u_{1})\bigr]^{m-2} U'^{2};
\]
il faut que les deux racines infiniment petites~$U'$ restent monotropes;
pour cela, il est nécessaire et il suffit que l'exposant~$q$ soit pair; il en
résulte que, si dans~$\phi(u)$ on met à part les facteurs binômes qui
entrent dans~$f_{1}$, le polynôme restant doit être carré parfait. Quand
toutes ces conditions sont remplies, la fonction intégrale est monotrope;
s'il n'y a pas de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité, la
fonction est en outre doublement périodique.

\Paragraph{250.} Appliquons ces considérations à l'équation du troisième degré
\[
\Tag{(48)}
U^{3} + f_{1}(u) U^{2}+ f_{3}(u) = 0.
\]
Les exposants de la première espèce sont égaux à~$1$, ceux de la seconde
espèce à~$2$; le polynôme~$f_{3}$ est donc formé, soit de six facteurs simples,
soit d'un facteur double et de quatre simples, soit de deux facteurs
doubles et de deux simples; il ne peut y avoir plus de deux exposants
de la seconde espèce, puisque le polynôme~$f_{1}$ est du second degré. On
\DPPageSep{404.png}{396}
a ainsi les trois équations
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(49)}
&\begin{aligned}[t]
U^{3} &+ A(u - a) (u - b) U^{2} \\
      &+ C(u - a') (u - b') (u - c')(u - d')(u - e')(u - f') = 0,
\end{aligned} \\
\Tag{(50)}
&\begin{aligned}[t]
U^{3} &+ A(u - a)(u - a) U^{2} \\
      &+ C(u - a)^{2} (u - b') (u - c') (u - d') (u - e') = 0,
\end{aligned} \\
\Tag{(51)}
&\, U^{3} + A(u - a)(u - b) U^{2}
      + C(u - a)^{2} (u - b)^{2} (u - c') (u - d') = 0.
\end{align*}

Dans le premier cas, les polynômes $f_{1}$~et~$f_{3}$ n'ont pas de racine commune;
le polynôme du sixième degré
\[
\phi(u) = f_{3} + \frac{2^{2}}{3^{3}}\, f_{1}^{3}
\]
doit être le carré d'un polynôme~$P_{3}$ du troisième degré, ce qui exige
trois équations de condition entre les dix coefficients de $f_{1}$~et~$f_{3}$; il en
reste donc sept arbitraires, de sorte qu'on peut regarder $f_{1}$~et~$P_{3}$ comme
des polynômes quelconques du second et du troisième degré, et
l'équation se met sous la forme
\[
\Tag{(V)}
U^{3} + f_{1} U^{2} + P_{3}^{2} - \frac{2^{2}}{3^{3}}\, f_{1}^{3} = 0.
\]

Dans le second cas, les deux parties qui composent le polynôme~$\phi$
admettent le facteur commun~$(u - a)^{2}$; le second facteur, qui est du
quatrième degré, doit être le carré d'un polynôme~$P_{2}$ du second degré,
ce qui exige deux équations de condition entre les huit coefficients
de $f_{1}$~et~$f_{3}$; il en reste six arbitraires, de sorte qu'on peut regarder $f_{1}$~et~$P_{2}$
comme deux polynômes quelconques du second degré; le polynôme~$\phi$
est encore le carré d'un polynôme $(u - a)P_{2}$ du troisième
degré. Il en est de même dans le troisième cas: les deux parties du
polynôme~$\phi$ renferment le facteur commun $(u - a)^{2}(u - b)^{2}$; le second
facteur, qui est du second degré, doit être le carré d'un polynôme~$P_{1}$
du premier degré, ce qui exige une équation de condition entre les six
coefficients de $f_{1}$~et~$f_{3}$; il en reste cinq arbitraires, de sorte qu'on peut
regarder $f_{1}$~et~$P_{1}$ comme deux polynômes quelconques du second et
du premier degré; le polynôme~$\phi$ est encore le carré d'un polynôme
$(u - a) (u - b) P_{1}$ du troisième degré. Ainsi les trois cas rentrent dans
le type général~\Eq{(V)}. Dans le premier cas, les deux polynômes $f_{1}$~et~$P_{3}$
sont premiers entre eux; dans le second cas, ils admettent un diviseur
\DPPageSep{405.png}{397}
commun $u - a$ du premier degré; dans le troisième cas, un diviseur
commun $(u - a) (u - b)$ du second degré non-carré parfait.

\Paragraph{251.} Pour intégrer l'équation~\Eq{(V)}, nous la ramènerons d'abord à la
forme
\[
\Tag{(52)}
U'^{3} - f_{1} U'^{2} + P_{3}^{2} = 0,
\]
en posant $U = - \dfrac{2}{3} f_{1} + U'$ (\no{249}). Concevons le polynôme~$P_{3}$ du
troisième degré décomposé en un produit de deux facteurs, l'un $u - \alpha$
du premier degré, l'autre~$P_{2}$ du second degré, et posons $U' = P_{2}v$;
l'équation précédente devient
\[
\Tag{(53)}
v^{2}(P_{2}v - f_{1}) + (u - \alpha)^{2} = 0.
\]
La quantité $v = \dfrac{U'}{P_{2}}$, étant le quotient de deux fonctions monotropes
doublement périodiques, aux mêmes périodes, est elle-même une
fonction monotrope doublement périodique; comme elle est liée à la
fonction~$u$ par une équation algébrique du troisième degré en~$v$ et
du second degré en~$u$, on conclut, d'après le théorème du \no{177},
qu'elle est du second ordre. La détermination de la fonction~$u$ du troisième
ordre est ainsi ramenée à celle d'une fonction~$v$ du second
ordre.

Le calcul n'offre aucune difficulté; si l'on désigne par~$F(u)$ le
premier membre de l'équation~\Eq{(53)}, et si l'on différentie, on~a
\[
3v \left(P_{2}v - \frac{2}{3} f_{1}\right) \frac{dv}{dz}
  + F'(u)\, \frac{du}{dz} = 0,
\]
et, en remplaçant~$\dfrac{du}{dz}$ ou~$U$ par sa valeur~$P_{2}v - \dfrac{2}{3} f_{1}$,
\[
\Tag{(54)}
3v\, \frac{dv}{dz} + F'(u) = 0.
\]
La fonction~$F'(u)$ étant du premier degré, on déduira de cette dernière
équation l'expression rationnelle de~$u$ au moyen de~$v$ et de sa
dérivée (\no{161}). Il suffit maintenant d'éliminer~$u$ entre les équations
\DPPageSep{406.png}{398}
\Eq{(53)}~et~\Eq{(54)}. Tout polynôme du deuxième degré
\[
F(u) = Lu^{2} + 2Mu + N
\]
satisfaisant à la relation
\[
\bigl[F'(u)\bigr]^{2} = 4LF(u) + 4(M^{2} - LN),
\]
l'équation~\Eq{(53)} donne
\[
\Tag{(55)}
\bigl[F'(u)\bigr]^{2} = 4(M^{2} - LN).
\]
Soient
\[
f_{1} = A u^{2} + 2 A_{1} u + A_{2},\quad
P_{2} = B u^{2} + 2 B_{1} u + B_{2};
\]
on~a
\begin{gather*}
L = B v^{3} - A v^{2} + 1,\quad
M = B_{1} v^{3} - A_{1} v^{2} - \alpha,\quad
N = B_{2} v^{3} - A_{2} v^{2} + \alpha^{2}, \\
%
\begin{aligned}
M^{2} - LN &= v^{2}
  \bigl[v^{2} (B_{1} v - A_{1})^{2} - v^{2}(Bv - A) (B_{2} v - A_{2}) \\
  &\qquad
  - 2\alpha (B_{1} v - A_{1}) - \alpha^{2}(Bv - A) - (B_{2} v - A_{2})\bigr],
\end{aligned}
\end{gather*}
et l'on arrive à l'équation
\[
\Tag{(56)}
\frac{dv}{dz} = \frac{2}{3} \sqrt{\begin{aligned}
    v^{2} (B_{1}v &- A_{1})^{2}
  - 2\alpha (B_{1}v - A_{1})
  - \alpha^{2} (Bv - A) \\
  &- (B_{2}v - A_{2}) (Bv^{3} - Av^{2} + 1)
\end{aligned}}\;,
\]
dont l'intégrale est effectivement une fonction doublement périodique
du second ordre.

La quantité~$\alpha$, dont on se sert dans ce calcul, est l'une des racines de
l'équation du troisième degré $P_{3} = 0$; dans le second et le troisième
cas, on prendra~$\alpha = a$.

\Paragraph{252.} Nous avons trouvé toutes les équations du troisième degré qui
admettent des intégrales monotropes et doublement périodiques; il existe
aussi des équations du troisième degré, de la forme~\Eq{(48)}, admettant des
intégrales monotropes simplement périodiques ou rationnelles. Cherchons
d'abord celles dont les intégrales sont simplement périodiques.
Supposons que le polynôme~$f_{3}$ contienne un facteur double $(u - a_{1})^{2}$
n'entrant pas dans~$f_{1}$; dans le voisinage de~$a_{1}$, l'équation admet deux
racines infiniment petites du degré un et monotropes par rapport à~$u$;
\DPPageSep{407.png}{399}
si donc l'intégrale est monotrope, elle sera simplement périodique
(\no{245}). On obtient ainsi les trois équations
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(57)}
&\begin{aligned}[t]
U^{3} &+ A(u - a) (u - b)U^{2} \\
      &+ C(u - a_{1})^{2}(u - a') (u - b') (u - c') (u - d') = 0,
\end{aligned} \\
\Tag{(58)}
&\begin{aligned}[t]
U^{3} &+ A(u - a)(u - b)U^{2} \\
      &+ C(u - a_{1})^{2} (u - a)^{2} (u - b') (u - c') = 0,
\end{aligned} \\
\Tag{(59)}
&\, U^{3} + A(u - a)(u - b)U^{2}
       + C(u - a_{1})^{2} (u - a)^{2} (u - b)^{2} = 0,
\end{align*}
qui rentrent dans un même type
\[
\Tag{(VI)}
U^{3} + f_{1} U^{2} + (u - a_{1})^{2} Q_{4} = 0,
\]
$Q_{4}$~désignant un polynôme du quatrième degré, et $f_{1}$~n'étant pas divisible
par~$u - a_{1}$. Pour que l'intégrale soit monotrope, il faudra, comme
précédemment, que le polynôme~$\phi$ soit le carré d'un polynôme~$P_{3}$ du
troisième degré, ce qui exige trois équations de condition entre les
neuf constantes que renferme l'équation~\Eq{(VI)}; il en restera donc six
arbitraires, et, par conséquent, il existera une relation entre les sept
coefficients des polynômes $f_{1}$~et~$P_{3}$ qui entrent dans l'équation~\Eq{(52)}.
Puisque l'intégrale est simplement périodique, cette relation signifie
que le polynôme du quatrième degré, placé sous le radical dans l'équation~\Eq{(56)},
admet un facteur double.

Pour le vérifier aisément, nous réduirons l'équation~\Eq{(VI)} à la forme
dérivée
\[
\Tag{(60)}
U^{3} + f_{1} U^{2} + Q_{4} = 0,
\]
qui ne renferme plus que huit constantes; il n'en restera donc que cinq
arbitraires, savoir: les trois coefficients de~$f_{1}$ et deux de~$P_{3}$. A cause de
l'égalité
\[
(u - \alpha)^{2} (Bu^{2} + 2B_{1} u + B_{2})^{2}
  = \frac{2^{2}}{3^{3}} (Au^{2} + 2A_{1} u + A_{2})^{3} + Q_{4},
\]
on~a
\[
\Tag{(61)}
B^{2} = \frac{2^{2}}{3^{3}}\, A^{3},\quad
B(2B_{1} - B\alpha) = \frac{2^{2}}{3^{2}}\, A^{2}A_{1};
\]
les cinq arbitraires sont $A, A_{1}, A_{2}, B_{2}, \alpha$. Si l'on pose, pour simplifier,
\[
A = 3h^{2},\quad\text{d'où}\quad
B = 2h^{3},\quad
B_{1} = A_{1} h + \alpha h^{3},
\]
\DPPageSep{408.png}{400}
le polynôme du quatrième degré en~$v$ contient le facteur~$(hv - 1)^{2}$, et
l'équation~\Eq{(56)} se réduit à
\begin{multline*}
%[** TN: Set on one line in original]
\Tag{(62)}
\frac{dv}{dz} = \frac{2}{3} (hv - 1) \\
\sqrt{\bigl[(A_{1} + \alpha h^{2})v + \alpha h\bigr]^{2}
       + 2\alpha (A_{1} + \alpha h^{2}) - (B_{2}v - A_{2})(2hv + 1)}.
\end{multline*}

Si le polynôme~$f_{3}$ contenait un facteur triple~$(u - a_{1})^{3}$ entrant dans~$f_{1}$,
l'équation admettrait trois racines infiniment petites du degré un; mais
alors, les deux parties du polynôme~$\phi$ renfermant le facteur commun
$(u - a_{1})^{3}$, le second facteur, qui est du troisième degré, ne serait pas
carré parfait.

\Paragraph{253.} Supposons maintenant que le polynôme~$f_{3}$ contienne un facteur
triple $(u - a_{1})^{3}$ n'entrant pas dans~$f_{1}$; l'équation admettra un système
circulaire de deux racines infiniment petites du degré~$\dfrac{3}{2}$; si l'intégrale
est monotrope, elle sera rationnelle (\no{243}). On obtient ainsi les deux
équations
\begin{align*}
\Tag{(63)}
&U^{3} + A(u - a)(u - b)U^{2} + C(u - a_{1})^{3}(u - a')(u - b')(u - c') = 0, \\
\Tag{(64)}
&U^{3} + A(u - a)(u - b)U^{2} + C(u - a_{1})^{3}(u - a)^{2}(u - b') = 0,
\end{align*}
qui rentrent dans un même type
\[
\Tag{(VII)}
U^{3} + f_{1} U^{2} + (u - a_{1})^{3} Q_{3} = 0,
\]
$Q_{3}$~étant un polynôme du troisième degré, et $f_{1}$~n'étant pas divisible
par~$u - a_{1}$. Pour que l'intégrale soit monotrope, il faut que le polynôme~$\phi$
soit le carré d'un polynôme~$P_{3}$ du troisième degré, ce qui exige
toujours trois conditions entre les huit constantes que renferme l'équation~\Eq{(VII)};
il en restera donc cinq arbitraires, et, par conséquent, il
existera deux relations entre les sept constantes des polynômes $f_{1}$~et~$P_{3}$.
Puisque l'intégrale est rationnelle, ces deux relations signifient que le
polynôme du quatrième degré, placé sous le radical dans l'équation~\Eq{(56)},
admet un facteur triple.

Pour le vérifier, nous réduirons l'équation~\Eq{(VII)} à la forme dérivée
\[
\Tag{(65)}
U^{3} + f_{1} U^{2} + Q_{3} = 0,
\]
\DPPageSep{409.png}{401}
qui ne renferme plus que sept constantes; il n'en restera que quatre
arbitraires, savoir: les trois coefficients de~$f_{1}$ et un de~$P_{3}$. A cause de
l'égalité
\[
(u - \alpha)^{2} (Bu^{2} + 2B_{1}u + B_{2})^{2}
  = \frac{2^{2}}{3^{3}} (Au^{2} + 2A_{1} u + A_{2})^{3} + Q_{3},
\]
il faut aux deux relations~\Eq{(61)} du numéro précédent ajouter la troisième
relation
\[
\Tag{(66)}
B^{2} \alpha^{2} + 4B_{1}^{2} - 8BB_{1}\alpha + 2BB_{2}
  = \frac{2^{2}}{3^{2}} A(AA_{2} + 4A_{1}^{2}),
\]
d'où l'on déduit
\[
B_{2} = A_{2} h + 2 A_{1} \alpha h
  + \frac{1}{3}\, \frac{A_{1}^{2}}{h} + 2 \alpha^{2}h^{3};
\]
les quatre arbitraires sont $h, A_{1}, A_{2}, \alpha$, et l'équation~\Eq{(62)} devient
\begin{multline*}
%[** TN: Set on one line in original]
\Tag{(67)}
\frac{dv}{dz} = \frac{2}{3} (hv - 1) \\
  \sqrt{(hv - 1) \left[\frac{A_{1}^{2}}{3h}v
    - 2 A_{1} \alpha (hv + 1)
    - 3 \alpha^{2}h^{2}(hv + 1)
    - A_{2}(2hv + 1)\right]}.
\end{multline*}

L'intégrale est aussi rationnelle, lorsque le polynôme~$f_{3}$ contient un
facteur quadruple $(u - a_{1})^{4}$ et que le polynôme~$f_{1}$ est égal à~$A(u - a_{1})^{2}$;
on a ainsi l'équation
\[
\Tag{(68)}
U^{3} + A(u - a_{1})^{2} U^{2} + C(u - a_{1})^{4} (u - a') (u - b') = 0,
\]
qui, dans le voisinage du point~$a_{1}$, admet un système circulaire de trois
racines infiniment petites du degré~$\dfrac{4}{3}$. L'expression de~$\phi$ est ici
\[
\phi = (u - a_{1})^{4}
  \left[C(u - a')(u - b') + \frac{2^{2}}{3^{3}}\, A^{3}(u - a_{1})^{2}\right];
\]
il faut que le polynôme du second degré placé entre parenthèses soit
le carré d'un polynôme~$P_{1}$ du premier degré; l'équation, dont le
type est
\[
\Tag{(VIII)}
U^{3} + A(u - a_{1})^{2} U^{2}
  + (u - a_{1})^{4} \left[P_{1}^{2}
  - \frac{2^{2}}{3^{3}}\, A^{3}(u - a_{1})^{2}\right] = 0,
\]
\DPPageSep{410.png}{402}
renferme quatre constantes arbitraires. L'équation~\Eq{(52)} devient
\[
\Tag{(69)}
U'^{3} - A(u - a_{1})^{2} U'^{2} + (u - a_{1})^{4} P_{1}^{2} = 0.
\]
Pour l'intégrer, on posera $U' = (u - a_{1}) P_{1}v$, d'où
\[
\Tag{(70)}
P_{1} v^{3} - A(u - a_{1}) v^{2} + (u - a_{1}) = 0;
\]
cette relation étant du premier degré par rapport à~$u$, on en conclut
que $v$~est une fraction rationnelle du premier degré; et en effet, si l'on
pose $P_{1} = Bu + B_{1}$, on arrive à l'équation différentielle du premier
degré par rapport à~$\dfrac{dv}{dz}$
\[
\Tag{(71)}
3 \frac{dv}{dz} = (Ba_{1} + B_{1}) v^{2},
\]
dont l'intégrale est
\[
v = -\frac{3}{Ba_{1} + B_{1}}\, \frac{1}{z}.
\]
Le polynôme, placé sous le radical dans l'équation~\Eq{(56)}, devient ici
une puissance quatrième parfaite.

\Paragraph{254.} \Remarque Nous avons épuisé toutes les combinaisons qui
admettent des intégrales monotropes, si l'équation est irréductible. Les
autres équations du troisième degré de la forme~\Eq{(48)}, qui satisfont aux
conditions de la monotropie, sont décomposables. Il résulte en effet,
de ce que nous avons dit dans les \nos~\nref{243}~et~\nref{245}, qu'une équation
irréductible, dont l'intégrale est monotrope, ne peut offrir plus d'un
système circulaire de racines nulles d'un degré supérieur à l'unité,
ni plus de deux systèmes circulaires de racines nulles d'un degré égal
à l'unité, ni à la fois une racine nulle d'un degré supérieur à l'unité et
une racine nulle d'un degré égal à l'unité.

D'après cela, on peut affirmer \textit{a~priori} que, si le polynôme~$\phi$ est carré
parfait, l'équation
\[
\Tag{(72)}
U^{3} + A(u - a) (u - b) U^{2} + C(u - a_{1})^{4}(u - a') (u - b') = 0,
\]
qui, dans le voisinage du point~$a_{1}$, admet deux racines infiniment petites,
monotropes par rapport à~$u$ et du degré deux, est décomposable en
\DPPageSep{411.png}{403}
deux équations, l'une du premier degré, l'autre du second degré,
ayant toutes deux des intégrales rationnelles. L'équation
\[
\Tag{(73)}
U^{3} + A(u - a_{1})^{2} U^{2} + C(u - a_{1})^{6} = 0,
\]
qui, dans le voisinage du point~$a_{1}$ admet trois racines infiniment
petites, monotropes et du degré deux, est évidemment décomposable
en trois équations du premier degré, ayant des intégrales rationnelles.
De même, l'équation
\[
\Tag{(74)}
U^{3} + A(u - a) (u - b) U^{2}
  + C(u - a_{1})^{2} (u - b_{1})^{2} (u - a') (u - b') = 0,
\]
qui, pour chacune des deux valeurs $a_{1}$~et~$b_{1}$ admet deux racines
nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en deux équations
ayant des intégrales simplement périodiques. L'équation
\[
\Tag{(75)}
U^{3} + A(u - a) (u - b) U^{2}
  + C(u - a_{1})^{2} (u - b_{1})^{2} (u - c_{1})^{2} = 0,
\]
qui, pour chacune des trois valeurs $a_{1}, b_{1}, c_{1}$, admet deux racines
nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en trois équations
du premier degré, ayant des intégrales simplement périodiques.

Il est facile d'opérer cette décomposition. Commençons par l'équation~\Eq{(72)};
si on la réduit à la forme dérivée
\[
\Tag{(76)}
U^{3} + u(u + \alpha) U^{2} + (Bu^{2} + B_{1}u + B_{2}) = 0,
\]
les conditions pour que le polynôme~$\phi$ soit carré parfait sont
\[
B = -\frac{1}{2^{4} 3^{2}} \alpha^{4},\quad
B_{1} = -\frac{1}{2^{4} 3^{2}} \alpha^{5},\quad
B_{2} = \frac{1}{2^{6} 3^{3}} \alpha^{6},
\]
et l'équation devient
\[
U^{3} + u (u + \alpha) U^{2}
  - \frac{\alpha^{4}}{2^{4} 3^{2}}
    \left[u(u + \alpha) - \frac{\alpha^{2}}{2^{2} 3}\right] = 0,
\]
ou
\[
\left(U^{3} + \frac{\alpha^{6}}{2^{6} 3^{3}}\right)
  + u(u + \alpha) \left(U^{2} - \frac{\alpha^{4}}{2^{4} 3^{2}}\right) = 0.
\]
La décomposition est évidente.
\DPPageSep{412.png}{404}

Considérons maintenant l'équation~\Eq{(75)}, et désignons par~$Q_{3}^{2}$ son
dernier terme. On doit avoir
\[
Q_{3}^{2} + \frac{2^{2}}{3^{3}}\, A^{3}(u - a)^{3} (u - b)^{3} = P_{3}^{2},
\]
d'où
\[
(P_{3} + Q_{3}) (P_{3} - Q_{3})
  = \frac{2^{2}}{3^{3}}\, A^{3}(u - a)^{3}(u - b)^{3};
\]
les deux facteurs du premier membre de cette dernière égalité étant
premiers entre eux, il faut que l'on ait
\[
P_{3} + Q_{3} = 2B^{3}(u - a)^{3},\quad
P_{3} - Q_{3} = \frac{2^{2}}{3^{3}}\, \frac{A^{3}}{2B^{3}} (u - b)^{3},
\]
$B$~étant une constante; on en déduit
\[
Q_{3} = B^{3}(u - a)^{3} - \frac{A^{3}}{3^{3}B^{3}} (u - b)^{3},
\]
et l'équation devient
\[
\Tag{(77)}
U^{3} + A(u - a)(u - b)U^{2}
  + \left[B^{3}(u - a)^{3} - \frac{A^{3}}{3^{3} B^{3}}(u - b)^{3}\right]^{2}
  = 0.
\]
Posons, pour abréger,
\[
B(u - a) = G,\quad
\frac{A}{3B} (u - b) = H;
\]
l'équation est décomposable en trois équations du premier degré
\[
U = -GH - \alpha G^{2} - \alpha^{2}H^{2},
\]
$\alpha$~étant l'une quelconque des trois racines de l'équation $\alpha^{3} = 1$.

Si l'on réduit l'équation~\Eq{(74)} à la forme dérivée
\[
\Tag{(78)}
U^{3} + (u^{2} + A_{1} u + A_{2}) U^{2}
  + u^{2} (B u^{2} + B_{1} u + B_{2}) = 0,
\]
les conditions, pour que le polynôme~$\phi$ soit carré parfait, sont
\[
\Tag{(79)}
\frac{4}{3} B = \frac{4}{3}\, \frac{B_{2}}{A_{2}}
  = \frac{B_{1}}{A_{1} - \dfrac{1}{2} \sqrt{A_{2}}}
  = -\frac{2^{2}}{3^{3}} (A_{1} - 2\sqrt{A_{2}})^{2}.
\]
\DPPageSep{413.png}{405}
Si le premier membre de l'équation~\Eq{(78)} est décomposable en un produit
de deux facteurs rationnels
\[
U + G,\quad
U^{2} + HU + H_{1},
\]
$G, H, H_{1}$ seront des polynômes entiers en~$u$, et l'on aura identiquement
\[
H_{1} = -GH,\quad
G + H = u^{2} + A_{1} u + A_{2},\quad
G^{2}H = -u^{2}(B u^{2} + B_{1} u + B_{2}).
\]
La dernière égalité exige que $G$~soit de la forme~$gu$, $g$~étant une constante;
la seconde devient alors
\[
gu - \frac{1}{g^{2}} (B u^{2} + B_{1} u + B_{2})
  = u^{2} + A_{1} u + A_{2};
\]
comme elle doit être vérifiée, quel que soit~$u$, on doit avoir
\[
-\frac{B}{g^{2}} = 1,\quad
g - \frac{B_{1}}{g^{2}} = A_{1},\quad
-\frac{B_{2}}{g^{2}} = A_{2};
\]
l'élimination de~$g$ conduit à deux équations de condition qui sont satisfaites,
grâce aux relations~\Eq{(79)}.

\Section{Équations trinômes}

\Paragraph{255.} Revenons à l'équation trinôme~\Eq{(42)}
\[
U^{m} + f_{1}(u) U^{m-1} + f_{m}(u) = 0,
\]
dont nous avons déjà dit quelques mots (\no{249}), et cherchons les
équations de cette forme qui admettent des intégrales monotropes et
doublement périodiques; les formules \Eq{(43)}~et~\Eq{(44)} représentent les
exposants de la première et de la seconde espèce. Nous avons traité
le cas où l'équation est du troisième degré. Supposons maintenant que
l'équation soit du quatrième degré; les exposants de la première espèce
sont égaux à~$2$, ceux de la seconde espèce à~$2$ ou à~$3$. On a ainsi les
\DPPageSep{414.png}{406}
quatre combinaisons
\begin{align*}
&U^{4} +  A(u-a)(u-b)U^{3} +  C(u-a')^{2}(u-b')^{2}(u-c')^{2}(u-d')^{2} = 0, \\
&U^{4} +  A(u-a)(u-b)U^{3} +  C(u-a)^{2} (u-b')^{2}(u-c')^{2}(u-d')^{2} = 0, \\
&U^{4} +  A(u-a)(u-b)U^{3} +  C(u-a)^{2} (u-b)^{2} (u-c')^{2}(u-d')^{2} = 0, \\
&U^{4} +  A(u-a)(u-b)U^{3} +  C(u-a)^{3} (u-b)^{3} (u-c')^{2} = 0,
\end{align*}
ou, plus simplement,
\begin{align*}
  &U^{4} + A(u-a)(u-b)U^{3} + Q_{4}^{2} = 0, \\
  &U^{4} + A(u-a)(u-b)U^{3} + (u-a)^{2}Q_{3}^{2} = 0, \\
  &U^{4} + A(u-a)(u-b)U^{3} + (u-a)^{2}(u-b)^{2}Q_{2}^{2} = 0, \\
  &U^{4} + A(u-a)(u-b)U^{3} + (u-a)^{3}(u-b)^{3}Q_{1}^{2} = 0,
\end{align*}
$Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}$ désignant des polynômes du premier, second, troisième
ou quatrième degré.

Dans le premier cas, le polynôme
\[
\phi = Q_{4}^{2} - \frac{3^{3}}{4^{4}}\, A^{4}(u - a)^{4} (u - b)^{4}
\]
devant être le carré d'un polynôme~$P_{4}$ du quatrième degré, on~a
\[
\frac{3^{3}}{4^{4}}\, A^{4}(u - a)^{4}(u - b)^{4}
  = (Q_{4} + P_{4}) (Q_{4} - P_{4}).
\]
Les deux facteurs du second membre, étant premiers entre eux, sont
divisibles, l'un par~$(u - a)^{4}$, l'autre par~$(u - b)^{4}$; d'où
\begin{gather*}
Q_{4} + P_{4} = 2B(u - a)^{4},\quad
Q_{4} - P_{4} = \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{2B} (u - b)^{4}, \\
Q_{4} = B (u-a)^{4} + \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b)^{4},
\end{gather*}
$B$~étant une constante. On a, de même, dans le troisième et le quatrième
cas,
\begin{alignat*}{2}
Q_{2} &= B (u - a)^{2} &&+ \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b)^{2}, \\
Q_{1} &= B (u - a)     &&+ \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b).
\end{alignat*}
\DPPageSep{415.png}{407}
La seconde combinaison est inadmissible, car on aurait
\[
\frac{3^{3}}{4^{4}}\, A^{4}(u - a)^{2}(u - b)^{4}
  = (Q_{3} + P_{3}) (Q_{3} - P_{3}),
\]
et l'un des facteurs du second membre, qui sont du troisième degré,
devrait être divisible par~$(u - b)^{4}$. On conclut de là qu'il existe trois
équations du quatrième degré
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(80)}
&\, U^{4} + A(u - a)(u - b)U^{3}
  + \left[B(u - a)^{4} + \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b)^{4}\right]^{2} = 0, \\
\Tag{(81)}
&\begin{aligned}[t]
U^{4} &+ A(u - a)(u - b)U^{3} \\
  &+ (u - a)^{2}(u - b)^{2} \left[B(u - a)^{2}
  + \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b)^{2}\right]^{2} = 0,
\end{aligned} \\
\Tag{(82)}
&\begin{aligned}[t]
U^{4} &+ A(u - a)(u - b)U^{3} \\
  &+ (u - a)^{3} (u - b)^{3} \left[B(u - a)
  + \frac{3^{3}}{4^{4}}\, \frac{A^{4}}{4B} (u - b)\right]^{2} = 0,
\end{aligned}
\end{align*}
admettant des intégrales monotropes et doublement périodiques.

\Paragraph{256.} Lorsque l'équation est du cinquième degré, les exposants de
la première espèce sont égaux à~$2$ ou à~$3$, ceux de la seconde espèce
à~$4$, ce qui donne les cinq combinaisons
\begin{align*}
&U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + C (u - a')^{2}(u - b')^{2}(u - c')^{2}(u - d')^{2}(u - e')^{2} = 0, \\
&U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + C (u - a')^{3}(u - b')^{3}(u - c')^{2}(u - d')^{2} = 0, \\
&U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + C (u - a)^{4} (u - b')^{2}(u - c')^{2}(u - d')^{2} = 0, \\
&U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + C (u - a)^{4} (u - b')^{3}(u - c')^{3} = 0, \\
&U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + C (u - a)^{4} (u - b)^{4} (u - c')^{2} = 0,
\end{align*}
ou, plus simplement,
\begin{align*}
  &U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + Q_{5}^{2} = 0, \\
  &U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + Q_{2}^{3}R_{2}^{2} = 0, \\
  &U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + (u - a)^{4}Q_{3}^{2} = 0, \\
  &U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + (u - a)^{4}Q_{2}^{3} = 0, \\
  &U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + (u - a)^{4}(u-b)^{4}Q_{1}^{2} = 0,
\end{align*}
les lettres $Q$~et~$R$ désignant des polynômes entiers dont les degrés sont
marqués par les indices.
\DPPageSep{416.png}{408}

En raisonnant comme précédemment, on verra que l'on a, dans le
premier et le dernier cas,
\begin{align*}
Q_{5} &= B (u - a)^{5} - \frac{4^{4}}{5^{5}}\, \frac{A^{5}}{4B} (u - b)^{5}, \\
Q_{1} &= B (u - a) - \frac{4^{4}}{5^{5}}\, \frac{A^{5}}{4B} (u - b),
\end{align*}
et que le troisième cas est inadmissible. Le second et le quatrième cas
sont aussi inadmissibles. Considérons en effet la quatrième équation
réduite à la forme dérivée
\[
U^{5} + A (u - b) U^{4} + Q_{2}^{3} = 0;
\]
le polynôme du sixième degré
\[
\phi = Q_{2}^{3} + \frac{4^{4}}{5^{5}}\, A^{5} (u - b)^{5},
\]
pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur,
du troisième degré au moins, avec sa dérivée
\[
\phi' = 3 Q_{2}^{2}Q'_{2} + 5\, \frac{4^{4}}{5^{5}}\, A^{5} (u - b)^{4},
\]
et, par conséquent, avec le polynôme
\[
5 \phi - (u - b) \phi' = Q_{2}^{2} \bigl[5 Q_{2} - 3 (u - b) Q_{2}'\bigr],
\]
ce qui est impossible, puisque le polynôme~$Q_{2}$ est premier avec~$\phi$, et
que le polynôme placé entre parenthèses est du second degré.

Considérons de même la seconde équation réduite à la forme dérivée
\[
U^{5} + A(u - b)U^{4} + Q_{2}^{3} R_{2}^{2} = 0;
\]
le polynôme du dixième degré
\[
\phi = Q_{2}^{3} R_{2}^{2} + \frac{4^{4}}{5^{5}}\, A^{5} (u - b)^{5},
\]
pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur,
\DPPageSep{417.png}{409}
du cinquième degré au moins, avec sa dérivée
\[
\phi' = Q_{2}^{2} R_{2} (3 R_{2} Q'_{2} + 2 Q_{2} R'_{2})
   + 5\, \frac{4^{4}}{5^{5}}\, A^{5} (u - b)^{4},
\]
et, par conséquent, avec le polynôme
\[
5 \phi - (u - b) \phi' = Q_{2}^{2} R_{2}
  \bigl[5 Q_{2} R_{2} - (u - b) (3 R_{2} Q'_{2} + 2 Q_{2} R'_{2}) \bigr],
\]
ce qui est impossible, puisque le polynôme placé entre parenthèses est
du quatrième degré. Nous ne trouvons ainsi que deux équations du
cinquième degré
\begin{align*}
\Tag{(83)}
&\, U^{5} + A(u - a)(u - b)U^{4} + \left[
  B(u - a)^{5} - \frac{4^{4}}{5^{5}}\, \frac{A^{5}}{4B} (u - b)^{5}
\right]^{2} = 0, \\
\Tag{(84)}
%[** TN: Re-broken]
&\begin{aligned}[t]
U^{5} &+ A(u - a)(u - b)U^{4} \\
  &+ (u - a)^{4} (u - b)^{4} \left[
  B(u - a) - \frac{4^{4}}{5^{5}}\, \frac{A^{5}}{4B} (u - b)
\right]^{2} = 0,
\end{aligned}
\end{align*}
admettant des intégrales monotropes et doublement périodiques.

\Paragraph{257.} Au delà du cinquième degré, on ne trouve plus aucune combinaison
favorable. Nous remarquerons d'abord que le polynôme~$f_{m}$,
du degré~$2m$, est formé de trois facteurs au moins, puisque chacun
des exposants est plus petit que~$m$. Lorsque $m$~est pair, le nombre~$p$,
diviseur de~$m - 1$ dans la formule~\Eq{(43)}, est impair, et égal ou supérieur
à~$3$, et, par conséquent, les exposants de la première espèce sont
égaux ou supérieurs à~$\dfrac{2(m - 1)}{3}$; ceux de la seconde espèce sont égaux
ou supérieurs à~$\dfrac{m}{2}$; la première limite étant supérieure à la seconde,
quand $m$~est plus grand que~$4$, la somme de quatre exposants, dont
deux au moins de première espèce, serait plus grande que~$2m$; ainsi,
dans ce cas, le nombre des facteurs est trois. Lorsque $m$~est impair,
les exposants de la première espèce sont égaux ou supérieurs à~$\dfrac{m - 1}{2}$,
ceux de la seconde à~$\dfrac{2m}{3}$; la seconde limite étant plus grande que la
\DPtypo{seconde}{première}, chacun des exposants est égal ou supérieur à~$\dfrac{m - 1}{2}$; leur
\DPPageSep{418.png}{410}
nombre est donc égal ou inférieur à~$\dfrac{4m}{m - 1}$ ou à~$4 + \dfrac{4}{m - 1}$, et, par
conséquent à~$4$, quand $m$~est plus grand que~$5$; ainsi, dans ce cas, le
polynôme~$f_{m}$ se compose de trois où de quatre facteurs.

Concevons l'équation réduite à la forme dérivée
\[
U^{m} + A(u - b) U^{m-1} + f_{m} = 0.
\]
Si tous les exposants sont de la première espèce, le polynôme
\[
\phi = f_{m} + (-1)^{m-1} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, A^{m}(u - b)^{m},
\]
du degré~$2m$, pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand
commun diviseur, du degré~$m$ au moins, avec sa dérivée
\[
\phi' = f'_{m} + (-1)^{m-1} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, mA^{m} (u - b)^{m-1},
\]
ou avec le polynôme
\[
\frac{mf_{m} - (u - b) f'_{m}}{(u - a')^{n-1} (u - b')^{n'-1} \ldots},
\]
qui est du troisième ou du quatrième degré, suivant que $f_{m}$~se compose
de trois ou de quatre facteurs différents, ce qui est impossible, dès que~$m$
surpasse quatre. S'il y avait un facteur~$(u - a)^{n}$ de la seconde espèce,
disparaissant dans la forme dérivée, le polynôme~$\phi$, qui est du degré
$2m - n$, devrait avoir avec le polynôme
\[
\frac{mf_{m} - (u - b) f'_{m}}{(u - b')^{n'-1} \ldots}
\]
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à~$\dfrac{2m - n}{2}$,
et, par conséquent, à~$\dfrac{m + 1}{2}$, puisque $n$~est égal ou inférieur à~$m - 1$;
ce dernier polynôme étant du second ou du troisième degré, il y a impossibilité,
dès que $m$~surpasse cinq. Avec deux facteurs $(u - a)^{n}$,
$(u - b)^{n'}$ de la seconde espèce, on peut combiner un ou deux facteurs
\DPPageSep{419.png}{411}
de la première espèce; dans le premier cas, le polynôme
\[
\phi_{1} = \frac{\phi}{(u - b)^{n'}}
  = C (u - c')^{n''}
  + (-1)^{m-1} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, A^{m} (u - b)^{m-n'},
\]
qui est du degré~$n''$, devrait avoir, avec sa dérivée ou avec le polynôme
du premier degré
\[
(m - n')(u - c') - n''(u - b),
\]
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à~$\dfrac{n''}{2}$,
par suite à~$\dfrac{m - 1}{4}$, ce qui est impossible dès que $m$~surpasse cinq. Dans
le second cas, le polynôme~$\phi_{1}$, qui est du degré~$n'' + n'''$, devrait avoir,
avec un polynôme du second degré, un plus grand commun diviseur
d'un degré égal ou supérieur à~$\dfrac{n'' + n'''}{2}$, et par suite à~$\dfrac{m - 1}{2}$, ce qui est
impossible.

\Paragraph{258.} Nous avons recherché spécialement les intégrales monotropes
et doublement périodiques; il est aisé de voir qu'au delà du troisième
degré il n'existe pas d'équation admettant une intégrale monotrope et
simplement périodique ou rationnelle. Au delà du troisième degré, on
ne trouve ainsi que cinq équations trinômes de la forme considérée,
qui admettent des intégrales monotropes, savoir: les trois équations du
quatrième degré \Eq{(80)},~\Eq{(81)},~\Eq{(82)} et les deux équations du cinquième
degré \Eq{(83)}~et~\Eq{(84)}. Ces équations rentrent dans le type général
\[
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(IX)}
\left\{
\begin{aligned}
U^{m} &+ A(u - a)(u - b) U^{m-1} \\
  &+ (u - a)^{m-n} (u - b)^{m-n} \\
  &\qquad\qquad\left[B (u - a)^{n}
      + (-1)^{m} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, \frac{A^{m}}{4B} (u - b)^{n}
    \right]^{2} = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
qui renferme quatre constantes arbitraires. Si l'on pose
\[
\frac{u - a}{u - b} = u',\quad\text{d'où}\quad
U = \frac{(u - b)^{2}}{a - b}\, U',
\]
cette équation se réduit à
\[
%[** TN: Set on one line in original]
\Tag{(85)}
\begin{aligned}
U'^{m} &+ A(a - b) u' U'^{m-1} \\
  &+ (a - b)^{m} u'^{m-n} \left[B u'^{n}
   + (-1)^{m} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, \frac{A^{m}}{4B}
\right]^{2} = 0;
\end{aligned}
\]
\DPPageSep{420.png}{412}
si l'on pose ensuite~$u'^{n} = u''$, elle devient
\[
%[** TN: Set on one line in original]
\Tag{(86)}
\begin{aligned}
U''^{m} &+ nA(a - b) u'' U''^{m-1} \\
  &+ n^{m} (a - b)^{m} u''^{m-1} \left[Bu''
    + (-1)^{m} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, \frac{A^{m}}{4B}
  \right]^{2} = 0,
\end{aligned}
\]
et se ramène ainsi au cas où~$n = 1$.

Nous avons donc à intégrer une équation de la forme
\[
\Tag{(87)}
U^{m} + Au U^{m-1} + Bu^{m-1} (u + H)^{2} = 0,
\]
dans laquelle $H$~désigne la quantité constante $(-1)^{m}\, \dfrac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}\, \dfrac{A^{m}}{4B}$.
Posons pour cela $U = uv$; nous obtenons la relation
\[
\Tag{(88)}
uv^{m-1} (v + A) + B(u + H)^{2} = 0,
\]
qui est du degré~$m$ par rapport à~$v$, et du second degré par rapport à~$u$;
puisque $u$~est une fonction doublement périodique de l'ordre~$m$, il en
résulte que $v$~est une fonction doublement périodique du second ordre.
En appelant~$F(u)$ le premier membre de cette équation, et différentiant,
on en déduit
\[
\Tag{(89)}
mv^{m-3} \left(v + \frac{m - 1}{m} A\right) \frac{dv}{dz} + F'(u) = 0;
\]
mais on~a
\begin{gather*}
F(u) = Bu^{2} + \bigl[v^{m-1} (v + A) + 2BH\bigr] u + BH^{2} = 0, \\
\begin{aligned}
\bigl[F'(u)\bigr]^{2}
  &= v^{m-1} (v + A) \left[
    v^{m} + Av^{m-1} + (-1)^{m} \frac{(m - 1)^{m-1}}{m^{m}}  A^{m}
  \right] \\
  &= v^{m-1} (v + A) \left(v + \frac{m - 1}{m} A\right)^{2}
    (v^{m-2} + B_{1} v^{m-3} + \ldots + B_{m-2});
\end{aligned}
\end{gather*}
on arrive ainsi à l'équation du second degré
\[
\Tag{(90)}
\frac{dv}{dz} = \frac{1}{m}
  \sqrt{v^{3-m} (v + A) (v^{m-2} + B_{1} v^{m-3} + \ldots + B_{m-2})}.
\]
Lorsque $m$~est égal à~$4$ ou à~$5$, la fonction~$v$, définie par cette équation,
est monotrope et doublement périodique.

Lorsque $m = 4$, d'après les résultats trouvés au \no{255}, l'équation
générale~\Eq{(IX)} admet une intégrale monotrope, quand on attribue à~$n$
les valeurs~$1, 2, 4$, ce qui donne les trois équations \Eq{(82)},~\Eq{(81)},~\Eq{(80)},
\DPPageSep{421.png}{413}
et nous avons ramené les deux derniers cas au premier, en posant soit
$u' = \sqrt{u''}$, soit $u' = \sqrt[4]{u''}$; l'intégrale de l'équation~\Eq{(82)} jouit donc de cette
propriété que sa racine quatrième est monotrope. Si l'on attribuait à~$n$
la valeur~$3$, on aurait une équation du quatrième degré, dont l'intégrale
s'exprimerait rationnellement à l'aide de la racine cubique d'une
fonction monotrope et doublement périodique; ce serait donc une fonction
doublement périodique, admettant trois valeurs pour chaque valeur
de~$z$; on pourrait la regarder comme la racine d'une équation du
troisième degré, ayant pour coefficients des fonctions monotropes et
doublement périodiques. Lorsque $m = 5$, l'équation~\Eq{(IX)} admet une
intégrale monotrope, quand on attribue à~$n$ les valeurs $1$~et~$5$, ce qui
donne les deux équations \Eq{(84)}~et~\Eq{(83)}, et celle-ci se ramène à la précédente,
dont l'intégrale a sa racine cinquième monotrope. Si l'on
attribuait à~$n$ les valeurs~$2, 3, 4$, les intégrales cesseraient d'être monotropes;
mais elles s'exprimeraient rationnellement à l'aide de la racine
carrée, cubique ou quatrième d'une fonction monotrope et doublement
périodique; ce seraient des fonctions doublement périodiques,
ayant $2$,~$3$ ou~$4$ valeurs pour chaque valeur de~$z$.

\Section{Méthode générale d'intégration}

\Paragraph{259.} Nous avons effectué jusqu'à présent l'intégration par des procédés
appropriés à la forme même des équations. Une fois qu'on a reconnu
qu'une équation différentielle donnée admet une intégrale monotrope,
et qu'on en a déterminé l'espèce, à l'aide des caractères que nous
avons indiqués, la méthode générale d'intégration consiste à chercher
l'expression rationnelle de la fonction intégrale au moyen, soit de la
variable~$z$, soit de la fonction~$e^{\efrac{2\pi zi}{\omega}}$, soit de la fonction elliptique~$\lambda(z)$
et de sa dérivée, et à calculer les coefficients qui entrent dans cette
expression. Supposons, par exemple, que l'intégrale soit doublement
périodique et admette les deux périodes $2\omega, \omega'$; si l'on appelle
$\lambda(z, g, k)$~la fonction elliptique qui a les mêmes périodes, l'expression
de la fonction cherchée sera de la forme
\[
u = \frac{M + N \lambda'(z)}{L},
\]
\DPPageSep{422.png}{414}
$L, M, N$ étant des polynômes entiers en~$\lambda$, les deux premiers d'un degré
égal ou inférieur au degré~$m$ de l'équation, le dernier du degré $m - 2$
au plus; ces trois polynômes renferment $3m$~coefficients, ce qui,
avec le multiplicateur~$g$ et le module~$k$ de la fonction elliptique, fait
$3m + 2$ constantes, que l'on déterminera en substituant l'expression
de la fonction~$u$ dans l'équation différentielle proposée.

Nous allons appliquer cette méthode à l'équation du troisième degré
\[
\Tag{(91)}
U^{3} + 3u^{2} U^{2} - (u^{2} - 1)^{2} - 4u^{6} = 0,
\]
qui rentre dans le type~\Eq{(V)} étudié au \no{250}, et qui admet une intégrale
monotrope et doublement périodique. Afin de déterminer complètement
la fonction, nous supposerons que, pour $z = 0$, elle a la
valeur initiale $u = 0$, et sa dérivée la valeur $U = 1$. La fonction étant
impaire et s'annulant pour $z = 0$, son expression est de la forme
\[
\Tag{(92)}
u = \frac{A \lambda^{3} +  B \lambda + C \lambda \lambda'}
         {1 - h^{2}\lambda^{2}}.
\]
On peut choisir les périodes de manière que les trois zéros simples
soient~$0, \omega, \dfrac{\omega'}{2}$. L'équation transformée ayant pour $v = 0$ ses racines
différentes de zéro, l'intégrale a aussi trois infinis simples, dont l'un
est~$\omega + \dfrac{\omega'}{2}$; nous désignerons les deux autres par~$±\alpha$, en posant
$h = \dfrac{1}{\lambda(\alpha)}$. Il s'agit de déterminer les six constantes $A, B, C, h, g, k$.

Pour $u = 0$, l'équation différentielle se réduisant à $U^{3} - 1 = 0$, les
trois racines sont~$1, j, j^{2}$. La première correspond à~$z = 0$; en se
bornant aux deux premiers termes, on a, pour les valeurs infiniment
petites de~$z$,
\[
U = 1 - \frac{5}{3} u^{2},\quad\text{d'où}\quad
u = z - \frac{5}{9} z^{3};
\]
on a d'ailleurs
\[
\lambda(z) = gz - \frac{1 + k^{2}}{6}\, g^{3} z^{3},\quad
\lambda'(z)  g  - \frac{1 + k^{2}}{2}\, g^{3} z^{2};
\]
en substituant ces valeurs dans l'équation~\Eq{(92)} et égalant les coefficients
\DPPageSep{423.png}{415}
des mêmes puissances de~$z$, on obtient les deux relations
\begin{gather*}
\Tag{(93)}
Bg + Cg^{2} = 1, \\
\Tag{(94)}
Ag^{3} -  B\, \frac{1 + k^{2}}{6}\, g^{3} - C\, \frac{2(1 + k^{2})}{3} g^{4}
  = -\frac{5}{9} - h^{2}g^{2}.
\end{gather*}
Si nous faisons correspondre à $z = \omega$ la seconde racine $U = j$, et si
nous posons $z = \omega + z'$, nous aurons $u = jz'$, d'où
\[
\Tag{(95)}
Bg - Cg^{2} = -j.
\]
La troisième racine $U = j^{2}$ correspond à $z = \dfrac{\omega'}{2}$; en posant $z = \dfrac{\omega'}{2} + z'$,
on a $u = j^{2}z'$, et l'on obtient les deux autres relations
\begin{gather*}
\Tag{(96)}
Cgk = A, \\
\Tag{(97)}
Bgk + Ag\, \frac{1 + k^{2}}{2k} = -h^{2}j^{2}.
\end{gather*}
La transformée
\[
V^{3} - 3V^{2} + 4 + v^{2} (1 - v^{2})^{2} = 0,
\]
pour $v = 0$, admet la racine simple~$-1$ et la racine double~$2$; la
première se rapporte à l'infini $z = \omega + \dfrac{\omega'}{2}$, la seconde aux deux infinis~$+\alpha$.
Si l'on pose $z = \omega + \dfrac{\omega'}{2} + z'$, on~a
\[
v = -z',\quad
u = -\frac{1}{z'},
\]
et l'on obtient la sixième relation
\[
\Tag{(98)}
A + Cgk = -gkh^{2}.
\]

Des équations \Eq{(93)},~\Eq{(95)},~\Eq{(96)} et~\Eq{(98)}, on déduit
\[
\Tag{(99)}
Bg = \frac{1 - j}{2},\quad
cg^{2}= -\frac{j^{2}}{2},\quad
Ag = -k\, \frac{j^{2}}{2},\quad
h^{2}g^{2} = j^{2}.
\]
En substituant ces valeurs dans les relations \Eq{(94)}~et~\Eq{(97)}, et posant,
pour abréger,
\[
\Tag{(100)}
kg^{2} = p,\quad
(1 + k^{2}) g^{2} = q,
\]
\DPPageSep{424.png}{416}
on obtient deux équations du premier degré en $p$~et~$q$, d'où l'on
déduit
\[
\Tag{(101)}
p = \frac{ 3 - 2i\sqrt{3}}{9},\quad
q = \frac{-2 - 4i\sqrt{3}}{9}.
\]
Les valeurs de $p$~et~$q$ étant connues, les équations~\Eq{(100)} donnent $g$~et~$k$,
et les précédentes~$h, A, B, C$.

Cette dernière méthode est celle dont nous nous sommes servis
exclusivement dans nos premières recherches sur l'intégration des
équations différentielles (\textit{Journal de l'École Polytechnique}, 1856); tous
les exemples que nous avons traités rentrent dans la catégorie des
équations trinômes que nous venons d'étudier. Dans son Cours d'Analyse
à l'École Polytechnique, en~1873, M.~Hermite a observé que, lorsque
l'on a reconnu qu'une équation différentielle de la forme~\Eq{(1)} admet
une intégrale monotrope, on peut effectuer l'intégration en exprimant
$U$~et~$u$ rationnellement à l'aide d'une variable auxiliaire, si l'intégrale
est algébrique ou simplement périodique, et par des formules qui ne
renferment pas d'autres quantités irrationnelles que la racine carrée
d'un polynôme du quatrième degré, lorsque l'intégrale est doublement
périodique.

\DPPageSep{425.png}{417}


\Livre{VI}{Développement des Fonctions Elliptiques}

\Chapitre{Premier}{Les Intégrales Elliptiques}

\Section{Transformation générale de Jacobi}

\Paragraph{260.} Étant donnée une expression différentielle $\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$, où $Y$~désigne
un polynôme entier du quatrième degré en~$y$, la question traitée par
Jacobi (\textit{Fundamenta nova theoriæ fonctionum ellipticarum}, 1829) consiste
à déterminer deux polynômes $U$~et~$V$ entiers en~$x$, tous deux du
degré~$p$, ou l'un du degré~$p$, l'autre du degré~$p - 1$, de telle sorte que,
si l'on pose $y = \dfrac{U}{V}$, l'expression différentielle proposée se transforme en
une autre de la même forme~$\dfrac{dx}{\sqrt{X}}$, $X$~désignant un polynôme entier en~$x$
du quatrième degré.

Soit
\[
Y = (y - a)(y - b)(y - c)(y - d);
\]
on~a
\[
\sqrt{Y} = \frac{1}{V^{2}} \sqrt{(U - aV)(U - bV)(U - cV)(U - dV)}.
\]
Le polynôme en~$x$ placé sous le radical est du degré~$4p$. Supposons-le
décomposé en ses facteurs premiers; pour que la transformation s'opère,
\DPPageSep{426.png}{418}
il est nécessaire que tous ces facteurs soient doubles, excepté quatre;
alors un polynôme du degré~$2p - 2$ sortira du radical, et il restera sous
le radical un polynôme du quatrième degré.

Cette condition suffit. On a, en effet,
\[
dy = \frac{V\, \dfrac{dU}{dx} - U\, \dfrac{dV}{dx}}{V^{2}}\, dx.
\]
Le polynôme $M = V\, \dfrac{dU}{dx} - U\, \dfrac{dV}{dx}$ est du degré~$2p - 2$; car, si les deux
polynômes $U$~et~$V$ sont du degré~$p$, les deux termes du degré~$2p - 1$
se détruisent. Les facteurs doubles sous le radical ne proviennent pas
de deux facteurs distincts; car, si une valeur de~$x$ annulait, par exemple,
$U - aV$ et $U - bV$, elle annulerait les deux polynômes $U$~et~$V$, que l'on
peut supposer premiers entre eux. En mettant~$M$ sous la forme
\[
M = V\, \frac{d(U - aV)}{dx} - (U - aV)\, \frac{dV}{dx},
\]
on reconnaît que tout facteur double de $U - aV$ divise~$M$. Le polynôme
du degré~$2p - 2$, que nous faisons sortir du radical, divise donc le
polynôme~$M$, qui est du même degré; le quotient est une constante, et,
par conséquent, on~a
\[
\frac{dy}{\sqrt{Y}} = \frac{dx}{\sqrt{X}},
\]
$X$~étant un polynôme du quatrième degré en~$x$.


\Section{Transformation du premier degré}

\Paragraph{261.} Lorsque les polynômes $U$~et~$V$ sont du premier degré, la transformation
réussit, quels que soient les coefficients de ces polynômes.
Si l'on pose $y = \dfrac{m + nx}{1 + x}$, on a, en effet,
\[
%[** TN: Break denominator, add ×, enclose in braces]
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = \frac{(n - m)\, dx}
         {\sqrt{\left\{\begin{aligned}
               &\bigl[(m - a) + (n - a)x\bigr]
                \bigl[(m - b) + (n - b)x\bigr] \\
               &\quad × \bigl[(m - c) + (n - c)x\bigr]
                \bigl[(m - d) + (n - d)x\bigr]\end{aligned}\right\}}}.
\]
\DPPageSep{427.png}{419}

On peut déterminer les coefficients $m$~et~$n$ de manière que le polynôme
du quatrième degré en~$x$, placé sous le radical, ne contienne que
des termes de degrés pairs; il suffit pour cela que, dans le produit
des deux premiers facteurs et dans celui des deux derniers, les termes
du premier degré soient nuls, ce qui donne les deux conditions
\begin{gather*}
(m - a)(n - b) + (n - a)(m - b) = 0, \\
(m - c)(n - d) + (n - c)(m - d) = 0;
\end{gather*}
d'où l'on déduit
\begin{gather*}
2mn - (a + b)(m + n) + 2ab = 0, \\
2mn - (c + d)(m + n) + 2cd = 0,
\end{gather*}
et, par suite,
\begin{gather*}
\Tag{(1)}
m + n = \frac{2(ab - cd)}{a + b - c - d}, \\[4pt]
\Tag{(2)}
m - n = 2 \frac{\sqrt{(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)}}{a + b - c - d}. \\[4pt]
\Tag{(3)}
%[** Break denominator, add ×, enclose in braces]
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = \frac{(n - m)\, dx}
         {\sqrt{\left\{\begin{aligned}
               &\bigl[(m - a)(m - b) + (n - a)(n - b) x^{2}\bigr] \\
               &\quad × \bigl[(m - c)(m - d) + (n - c)(n - d) x^{2}\bigr]
             \end{aligned}\right\}}}.
\end{gather*}
Une transformation ultérieure très-simple ramènera le polynôme~$X$,
placé sous le radical, à la forme canonique $(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})$.


\Section{Autre transformation du premier degré}

\Paragraph{262.} En introduisant une constante de plus dans la formule de transformation,
on peut effectuer d'un seul coup la transformation complète.
Si l'on pose, en effet, $y = \dfrac{m + nz}{1 + n'z}$ on~a
\[
%[** Break denominator, add ×, enclose in braces]
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = \frac{(n - mn')\, dx}
         {\sqrt{\left\{\begin{aligned}
                 &\bigl[(m - a) + (n - n'a)x\bigr]
                  \bigl[(m - b) + (n - n'b)x\bigr] \\
                 &\quad × \bigl[(m - c) + (n - n'c)x\bigr]
                  \bigl[(m - d) + (n - n'd)x\bigr]\end{aligned}\right\}}}.
\]
\DPPageSep{428.png}{420}
Le polynôme du quatrième degré en~$x$ sera ramené à la forme canonique
$(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})$, si l'on~a
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\frac{n - n'a}{m - a} &= 1,      & \frac{n - n'c}{m - c} &= k, \\
\frac{n - n'b}{m - b} &= -1,\quad& \frac{n - n'd}{m - d} &= -k,
\end{alignedat}
\right.
\]
ce qui fait quatre équations à quatre inconnues $m, n, n', k$. On déduit
de deux d'entre elles
\[
\Tag{(5)}
n' = \frac{a + b - 2m}{a - b},\quad
n  = \frac{2ab - m(a + b)}{a - b},
\]
et, en remplaçant dans les deux autres,
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
  2ab - (a + b)c + c(a - b)k &= m\bigl[a + b - 2c + (a - b)k\bigr], \\
  2ab - (a + b)d - d(a - b)k &= m\bigl[a + b - 2d - (a - b)k\bigr];
\end{aligned}
\right.
\]
l'élimination de~$m$ conduit à une équation du second degré
\[
\Tag{(7)}
(a - b)(c - d)(k^{2} + 1) - 2\bigl[(a + b)(c + d) - 2ab - 2cd\bigr]k = 0.
\]
Remarquons que
\begin{gather*}
(a + b)(c + d) - 2ab - 2cd = (a - d)(c - b) + (a - c)(d - b) = A + B, \\
(a - b)(c - d) = (a - d)(c - b) - (a - c) (d - b) = A - B.
\end{gather*}
En résolvant l'équation du second degré, on trouve
\[
k = \frac{A + B \mp 2\sqrt{AB}}{A - B}
  = \frac{(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})^{2}}{A - B}
  = \frac{\sqrt{A} \mp \sqrt{B}}{\sqrt{A} ± \sqrt{B}}.
\]
Si l'on pose
\[
H = \sqrt{(a - d)(c - b)},\quad
H' = \sqrt{(a - c)(d - b)},
\]
\DPPageSep{429.png}{421}
on aura
\[
\Tag{(8)}
k = \frac{H - H'}{H + H'}.
\]
De l'une des équations~\Eq{(6)}, on tire ensuite
\[
m = \frac{b(a - c)H - a(c - b)H'}{(a - c)H - (c - b)H'}.
\]
En divisant les deux termes par~$\sqrt{(a - c)(c - b)}$ et posant
\[
G  = \sqrt{(a - c)(a - d)},\quad
G' = \sqrt{(c - b)(d - b)},
\]
on~a
\[
\Tag{(9)}
m  = \frac{bG - aG'}{G - G'},\quad
n  = \frac{bG + aG'}{G - G'},\quad
n' = \frac{ G +  G'}{G - G'}.
\]
On en déduit
\begin{gather*}
m - a = - \frac{(a - b)G}{G - G'},\quad
m - b = - \frac{(a - b)G'}{G - G'}, \\
%
m - c = -\frac{(c - b)G + (a - c)G'}{G - G'}
  = -\sqrt{(c - b)(a - c)}\, \frac{H + H'}{G - G'}, \\
%
m - d = -\frac{(d - b)G + (a - d)G'}{G - G'}
  = -\sqrt{(d - b)(a - d)}\, \frac{H + H'}{G - G'}, \\
%
n - mn' = \frac{2(a - b)GG'}{(G - G')^{2}}, \\
%
\sqrt{(m - a)(m - b)(m - c)(m - d)}
  = \frac{(a - b) GG' (H + H')}{(G - G')^{2}}.
\end{gather*}
La formule de transformation devient
\[
\Tag{(10)}
y = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2}\, \frac{n' + x}{1 + n'x},
\]
et, si l'on pose $g = \dfrac{H + H'}{2}$, on~a
\[
\Tag{(11)}
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
   = \frac{dx}{g \sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
\DPPageSep{430.png}{422}

Il résulte de là que l'intégration de l'équation différentielle
\[
\frac{dy}{dz} = \sqrt{Y}
\]
est ramenée à celle de l'équation
\[
\frac{dx}{dz} = g \sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})},
\]
dont la fonction intégrale est $x = \lambda(z - z_{0}, g, k)$.

Nous avons effectué la transformation en disposant dans un certain
ordre les quatre facteurs du premier degré qui forment le polynôme~$Y$.
Examinons combien on obtient de transformations, en disposant ces facteurs
dans différents ordres. Lorsqu'on permute les deux lettres $a$~et~$b$,
ou les deux lettres $c$~et~$d$, les deux racines de l'équation~\Eq{(7)} et, par
conséquent, les deux valeurs de~$k$ changent de signe; mais on obtient
la même expression transformée~\Eq{(11)}. Si l'on permute en même
temps $a$~et~$c$, $b$~et~$d$, l'équation~\Eq{(7)} ne change pas. En ne distinguant
pas les valeurs de~$k$ égales et de signes contraires, on n'a ainsi que
trois équations différentes du second degré; elles correspondent aux
trois dispositions $(a, b, c, d)$, $(a, c, b, d)$, $(a, d, b, c)$, et donnent six
valeurs de~$k$ réciproques deux à deux.


\Section{Première transformation du second degré}

\Paragraph{263.} Lorsque les polynômes $U$~et~$V$ sont du second degré, chacun
des facteurs sous le radical étant du second degré, il est nécessaire
que deux de ces facteurs soient carrés parfaits. Nous choisirons donc
les deux polynômes $U$~et~$V$, de manière que l'on ait
\[
\Tag{(12)}
U - aV = A (m' + mx)^{2},\quad
U - bV = B (n' + nx)^{2};
\]
la formule de transformation sera
\[
\Tag{(13)}
\frac{y - b}{y - a}
  = \frac{B}{A}\, \frac{(n' + nx)^{2}}{(m' + mx)^{2}},
\]
\DPPageSep{431.png}{423}
et nous aurons
\begin{align*}
dy &= \frac{V\, dU - U\, dV}{V^{2}}
   = \frac{(U - bV)\, d(U - aV) - (U - aV)\, d (U - bV)}{(a - b)V^{2}}, \\
%
dy &= \frac{2 AB (mn' - nm') (m' + mx) (n' + nx)\, dx}{(a - b)V^{2}}, \\
%
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
   &= \frac{2 (mn' - nm') \sqrt{AB}}{a - b}\,
     \frac{dx}{\sqrt{(U - cV)(U - dV)}}.
\end{align*}
La transformation réussit, quelles que soient les valeurs attribuées aux
constantes $m, m', n, n', A, B$, que l'on peut réduire à quatre, pourvu
que la quantité $mn' - nm'$ soit différente de zéro.

Proposons-nous maintenant de déterminer ces constantes, de manière
que le polynôme du quatrième degré en~$x$, placé sous le radical,
ait la forme canonique $(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})$. Il y a deux manières d'y
arriver: c'est de poser, soit
\[
\Tag{(14)}
U - cV = C(1 - x^{2}),\quad
U - dV = D(1 - k^{2}x^{2}),
\]
soit
\[
\Tag{(15)}
U - cV = C(1 - x)(1 - kx),\quad
U - dV = D(1 + x)(1 + kx).
\]

Examinons d'abord le premier mode. Des équations~\Eq{(14)}, on déduit
\[
\frac{y - c}{y - d} = \frac{C}{D}\, \frac{1 - x^{2}}{1 - k^{2}x^{2}};
\]
cette expression de~$y$ ne contenant pas la première puissance de~$x$, il est
nécessaire que le second membre de l'équation~\Eq{(13)} ne la contienne pas
non plus, ce qui exige que l'on ait, par exemple, $m = 0$, $n' = 0$. On
peut, dans ce cas, faire $m' = n = 1$, et réduire les équations \Eq{(12)}~et~\Eq{(13)}
à la forme
\begin{gather*}
\Tag{(16)}
U - aV = A,\quad
U - bV = Bx^{2}, \\
%
\Tag{(17)}
\frac{y - b}{y - a} = \frac{B}{A} x^{2}.
\end{gather*}
\DPPageSep{432.png}{424}
Pour que les polynômes $U - cV$, $U - dV$, qui ne contiennent pas la
première puissance de~$x$, aient la forme voulue, il est nécessaire et il
suffit qu'ils s'annulent, le premier pour $x = 1$, le second pour $x = \dfrac{1}{k}$,
c'est-à-dire que les valeurs correspondantes de~$y$ soient $c$~et~$d$; il en
résulte, d'après l'équation~\Eq{(17)}, les deux relations
\[
\Tag{(18)}
\frac{c - b}{c - a} = \frac{B}{A},\quad
\frac{d - b}{d - a} = \frac{B}{A}\, \frac{1}{k^{2}},
\]
d'où
\[
\Tag{(19)}
k = \sqrt{\frac{(c - b)(d - a)}{(c - a)(d - b)}}.
\]
On en déduit le module complémentaire
\[
k' = \sqrt{\frac{(b - a)(d - c)}{(c - a)(d - b)}}.
\]
On déterminera les coefficients $C$~et~$D$, en remarquant qu'à $x = 0$ correspond
$y = b$; d'où
\[
\Tag{(20)}
\frac{C}{A} = \frac{b - c}{b - a},\quad
\frac{D}{A} = \frac{b - d}{b - a};
\]
le coefficient~$A$ reste arbitraire.

La formule de transformation~\Eq{(17)} devient
\[
\Tag{(21)}
y = \frac{b(c - a) - a(c - b) x^{2}}{(c - a) - (c - b) x^{2}},
\]
et si l'on pose
\[
\Tag{(22)}
g = \frac{1}{2} \sqrt{(c - a)(d - b)},
\]
on~a
\[
\frac{dy}{\sqrt{Y}} = \frac{dx}{g \sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
\DPPageSep{433.png}{425}


\Section{Deuxième transformation du second degré}

\Paragraph{264.} Examinons maintenant le second mode. Nous avons posé
\[
\Tag{(15)}
U - cV = C(1 - x)(1 - kx),\quad
U - dV = D(1 + x)(1 + kx).
\]
Pour que les polynômes $U - cV$, $U - dV$ aient la forme voulue, il est
nécessaire et il suffit qu'ils s'annulent, le premier pour $x = 1$ et $x = \dfrac{1}{k}$,
le second pour $x = -1$ et $x = -\dfrac{1}{k}$, ou, ce qui est la même chose, que
les valeurs correspondantes de~$y$ soient $y = c$ et $y = d$. Il en résulte,
d'après l'équation~\Eq{(13)}, les quatre conditions
\[
\Tag{(23)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{c - b}{c - a}
  &= \frac{B}{A} \left(\frac{n' + n}{m' + m}\right)^{2}
   = \frac{B}{A} \left(\frac{n'k + n}{m'k + m}\right)^{2}, \\
\frac{d - b}{d - a}
  &= \frac{B}{A} \left(\frac{n' - n}{m' - m}\right)^{2}
   = \frac{B}{A} \left(\frac{n'k - n}{m'k - m}\right)^{2}.
\end{aligned}
\right.
\]
On en déduit
\[
\left(\frac{n'k + n}{m'k + m}\right)^{2}
  = \left(\frac{n' + n}{m' + m}\right)^{2},\quad
\left(\frac{n'k - n}{m'k - m}\right)^{2}
  = \left(\frac{n' - \DPtypo{k}{n}}{m' - m}\right)^{2},
\]
et par suite
\[
\frac{n'k + n}{m'k + m} = ± \frac{n' + n}{m' + m},\quad
\frac{n'k - n}{m'k - m} = ± \frac{n' - n}{m' - m};
\]
il faut prendre le signe~$-$ devant les deux seconds membres, sans quoi
on aurait $k = 1$, $U - cV$ et~$U - dV$ seraient carrés parfaits; mais déjà
nous avons supposé que les deux polynômes $U - aV$, $U - bV$ sont
carrés parfaits; or il est facile de s'assurer que les quatre polynômes ne
peuvent être à la fois carrés parfaits. On a donc
\[
\frac{n'k + n}{m'k + m} = -\frac{n' + n}{m' + m},\quad
\frac{n'k - n}{m'k - m} = -\frac{n' - n}{m' - m},
\]
\DPPageSep{434.png}{426}
d'où
\[
k = -\frac{mn}{m'n'},\quad mn' + nm' = 0.
\]
Aucune des deux constantes $m'$~et~$n'$ ne peut être nulle; on fera pour
simplifier $m' = n' = 1$; on a ainsi $n = -m$, $k = m^{2}$; on prendra $m = \sqrt{k}$,
$n = -\sqrt{k}$. Si l'on remplace $m$~et~$n$ par leurs valeurs, les relations~\Eq{(23)}
deviennent
\[
\Tag{(24)}
\frac{c - b}{c - a}
  = \frac{B}{A} \left(\frac{1 - \sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\right)^{2},\quad
\frac{d - b}{d - a}
  = \frac{B}{A} \left(\frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\right)^{2}.
\]
On en déduit
\[
\frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}
  = \sqrt{\frac{(a - c)(d - b)}{(a - d)(c - b)}}.
\]
Si l'on pose, comme au \no{262},
\[
H  = \sqrt{(a - d)(c - b)},\quad
H' = \sqrt{(a - c)(d - b)},
\]
on~a
\[
\Tag{(25)}
\sqrt{k} = -\frac{\sqrt{H} - \sqrt{H'}}{\sqrt{H} + \sqrt{H'}}.
\]

L'une des équations~\Eq{(24)} donne le rapport
\[
\frac{B}{A}
  = \frac{c - b}{c - a} \left(\frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\right)^{2}.
\]
On obtient les deux rapports $\dfrac{C}{A}$~et~$\dfrac{D}{A}$, en remarquant qu'aux valeurs
$x = -1$, $x = 1$ correspondent respectivement les valeurs $y = d$, $y = c$
et comparant les expressions \Eq{(12)}~et~\Eq{(15)}; on trouve ainsi
\[
\Tag{(27)}
\frac{C}{A} = \frac{d - c}{d - a}\, \frac{(1 - \sqrt{k})^{2}}{2(1 + k)},\quad
\frac{D}{A} = \frac{c - d}{c - a}\, \frac{(1 + \sqrt{k})^{2}}{2(1 + k)}.
\]
\DPPageSep{435.png}{427}

La formule de transformation est
\[
\Tag{(28)}
\frac{y - b}{y - a}
  = \frac{c - b}{c - a} \left[
    \frac{(1 + \sqrt{k}) (1 - x \sqrt{k})}
         {(1 - \sqrt{k}) (1 + x \sqrt{k})}\right]^{2},
\]
et l'on a (\textit{Fundamenta} de \bsc{Jacobi})
\[
\Tag{(29)}
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = \frac{4 \sqrt{k}}{a - b} \sqrt{\frac{AB}{CD}}\,
    \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}.
\]


\Section{Transformations réelles}

\Paragraph{265.} Lorsque le polynôme~$Y$ a ses coefficients réels, et que $y$~varie
entre des limites telles\DPtypo{,}{} que $\sqrt{±Y}$~soit réelle, ce qui a lieu dans les applications,
on cherche à opérer la transformation à l'aide d'une formule
réelle, et de manière que le module~$k$ soit inférieur à l'unité et que $x$~varie
entre $-1$~et~$+1$. Il y a plusieurs cas à considérer, suivant que
les quatre racines du polynôme~$Y$ sont réelles, deux réelles et deux imaginaires,
ou les quatre imaginaires, et que le polynôme, sous le radical,
est précédé du signe~$+$ ou du signe~$-$.

Considérons d'abord le cas où les \emph{quatre racines sont réelles}. Nous les
supposerons rangées par ordre de grandeurs croissantes, savoir:
$a < b < c < d$. Nous opérerons la transformation par une formule du
second degré, et nous adopterons de préférence le premier mode, qui
est plus simple que le second (\no{263}):

\Primo~Soit d'abord à transformer~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$. Pour que le radical soit réel, il
faut que $y$~varie de~$b$ à~$c$, ou de~$d$ à~$+\infty$ et de~$-\infty$ à~$a$.

Dans le premier cas, nous prendrons les formules telles qu'elles ont
été établies
\begin{gather*}
\Tag{(30)}
k  = \sqrt{\frac{(c - b)(d - a)}{(c - a)(d - b)}},\
k' = \sqrt{\frac{(b - a)(d - c)}{(c - a)(d - b)}},\
g = \frac{1}{2} \sqrt{(c - a)(d - b)}, \\
%
\Tag{(31)}
y = \frac{b(c - a) - a(c - b)x^{2}}{(c - a) - (c - b)x^{2}};
\end{gather*}
le module~$k$ et le multiplicateur~$g$ sont réels, et le module inférieur à
\DPPageSep{436.png}{428}
l'unité. La formule inverse
\[
x^{2} = \frac{(c - a)(y - b)}{(c - b)(y - a)}
  = \frac{c - a}{c - b} \left(1 - \frac{b - a}{y - a}\right),
\]
déduite de l'équation~\Eq{(17)}, montre que, quand $y$~croît de~$b$ à~$c$, $x$~croît
de~$0$ à~$1$.

Dans le second cas, nous prendrons les formules que l'on déduit des
précédentes, en permutant $a$~et~$c$, $b$~et~$d$; le module et le multiplicateur
ne changent pas; la formule de transformation devient
\[
\Tag{(32)}
y = \frac{d(c - a) - c(d - a)x^{2}}{(c - a) - (d - a)x^{2}}.
\]
La formule inverse
\[
x^{2} = \frac{(c - a)(y - d)}{(d - a)(y - c)}
  = \frac{c - a}{d - a} \left(1 - \frac{d - c}{y - c}\right)
\]
montre que, quand $y$~croît de~$d$ à~$+\infty$, puis de~$-\infty$ à~$a$, $x$~croît
de~$0$ à~$\sqrt{\dfrac{c - a}{d - a}}$, puis de cette quantité à~$1$.

\Secundo~Soit maintenant à transformer~$\dfrac{dy}{\sqrt{-Y}}$. Pour que le radical soit réel,
il faut que $y$~varie de~$a$ à~$b$ ou de~$c$ à~$d$. Dans le premier cas, nous prendrons
les formules que l'on déduit de \Eq{(30)}~et~\Eq{(31)} par une permutation
circulaire des quatre lettres $a, b, c, d$ en sens rétrograde, en ayant soin
toutefois de multiplier~$g$ par~$\sqrt{-1}$,
\begin{gather*}
\Tag{(33)}
k  = \sqrt{\frac{(b - a)(d - c)}{(c - a)(d - b)}},\
k' = \sqrt{\frac{(d - a)(c - b)}{(c - a)(d - b)}},\
g  = \frac{1}{2} \sqrt{(c - a)(d - b)}, \\
%
\Tag{(34)}
y = \frac{a(d - b) + d(b - a)x^{2}}{(d - b) + (b - a)x^{2}},\quad
x^{2} = \frac{(d - b)(y - a)}{(b - a)(d - y)}.
\end{gather*}
Quand $y$~croît de~$a$ à~$b$, $x$~croît de~$0$ à~$1$.

On obtient les formules relatives au second cas en permutant dans
les formules précédentes $a$~et~$c$, $b$~et~$d$; le module et le multiplicateur
\DPPageSep{437.png}{429}
ne changent pas; la formule de transformation devient
\[
\Tag{(35)}
y = \frac{c(d - b) - b(d - c)x^{2}}{(d - b) - (d - c)x^{2}},\quad
x^{2} = \frac{d - b}{d - c} \left(1 - \frac{c - b}{y - b}\right).
\]
Quand $y$~croît de~$c$ à~$d$, $x$~croît de~$0$ à~$1$.

\Paragraph{266.} On déduit facilement de ce qui précède les formules de transformation
relatives au cas où le polynôme placé sous le radical est du
troisième degré; car l'expression
\[
\sqrt{\frac{±Y}{d}}
  = \sqrt{\mp (y - a)(y - b)(y - c)\left(1 - \frac{y}{d}\right)}
\]
se réduit à
\[
\sqrt{\mp (y - a)(y - b)(y - c)} = \sqrt{\mp Y_{1}}
\]
quand $d$~augmente indéfiniment. Il suffira d'introduire cette hypothèse
dans les formules, en ayant soin de diviser~$g$ par~$\sqrt{d}$.

Supposons les trois racines réelles et rangées par ordre de grandeurs
croissantes, $a < b < c$. \Primo~Soit d'abord à transformer $\dfrac{dy}{\sqrt{-Y_{1}}}$; pour que
le radical soit réel, il faut que $y$~varie de~$b$ à~$c$ ou de~$-\infty$ à~$a$. Dans le
premier cas, on emploiera les formules \Eq{(30)}~et~\Eq{(31)}, qui se réduisent à
\begin{gather*}
\Tag{(36)}
k  = \sqrt{\frac{c - b}{c - a}},\quad
k' = \sqrt{\frac{b - a}{c - a}},\quad
g  = \frac{1}{2} \sqrt{c - a}, \\
%
\Tag{(37)}
y = \frac{b(c - a) - a(c - b) x^{2}}{(c - a) - (c - b) x^{2}},\quad
x^{2} = \frac{c - a}{c - b} \left(1 - \frac{b - a}{y - a}\right).
\end{gather*}
Quand $y$~croît de~$b$ à~$c$, $x$~croît de~$0$ à~$1$. Dans le second cas, on emploiera
les formules \Eq{(30)}~et~\Eq{(32)}; le module et le multiplicateur sont les mêmes
que dans le cas précédent; la formule de transformation se réduit à
\[
\Tag{(38)}
y = c -  \frac{c - a}{x^{2}},\quad
x^{2} = \frac{c - a}{c - y}.
\]
Quand $y$~croît de~$-\infty$ à~$a$, $x$~croît de~$0$ à~$1$.

\Secundo~Soit maintenant à transformer~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y_{1}}}$. Pour que le radical soit réel,
\DPPageSep{438.png}{430}
il faut que $y$~varie de~$a$ à~$b$ ou de~$c$ à~$+\infty$. Dans le premier cas, on
prendra les formules \Eq{(33)}~et~\Eq{(34)}, qui se réduisent à
\begin{gather*}
\Tag{(39)}
k  = \sqrt{\frac{b - a}{c - a}},\quad
k' = \sqrt{\frac{c - b}{b - a}},\quad
g  = \frac{1}{2} \sqrt{c - a}, \\
%
\Tag{(40)}
y = a + (b-a) x^{2},\quad
x^{2} = \frac{y - a}{b - a}.
\end{gather*}
Quand $y$~croît de~$a$ à~$b$, $x$~croît de~$0$ à~$1$. Dans le second cas, on prendra
les formules \Eq{(33)}~et~\Eq{(35)}. Le module et le multiplicateur sont les mêmes
que dans le cas précédent; la formule de transformation devient
\[
\Tag{(41)}
y = \frac{c - b x^{2}}{1 - x^{2}},\quad
x^{2} = 1 - \frac{c - b}{y - b}.
\]
Quand $y$~croît de~$c$ à~$+\infty$, $x$~croît de~$0$ à~$1$.

\Paragraph{267.} Considérons actuellement le cas où le polynôme du quatrième
degré~$Y$ a \emph{deux racines réelles et deux imaginaires}. Soient $a$~et~$b$ les
deux racines réelles, $a$~étant plus grand que~$b$, $c = \alpha + \beta i$, $d = \alpha - \beta i$
les deux racines imaginaires, $\beta$~étant un nombre positif. Nous commencerons
par opérer la transformation du premier degré la plus
simple, celle qui consiste à faire disparaître les termes du premier
degré dans le polynôme~$X$ (\no{261}). On a posé, pour cela, $y = \dfrac{m + nx}{1 + x}$;
on détermine les deux constantes $m$~et~$n$ à l'aide des formules \Eq{(1)}~et~\Eq{(2)},
qui deviennent ici
\[
\Tag{(42)}
\left\{
\begin{aligned}
m + n &= \frac{2(ab - \alpha^{2} - \beta^{2})}{a + b - 2\alpha}, \\
m - n &= 2 \frac{\bigl[(a - \alpha)^{2} + \beta^{2}\bigr]
                 \bigl[(b - \alpha)^{2} + \beta^{2}\bigr]}
                {a + b - 2\alpha}.
\end{aligned}
\right.
\]
Pour effectuer le calcul, nous emploierons deux angles auxiliaires $\phi_{1}$~et~$\phi_{2}$,
définis par les formules
\[
\Tag{\DPtypo{43)}{(43)}}
\tang \phi_{1} = \frac{a - \alpha}{\beta},\quad
\tang \phi_{2} = \frac{b - \alpha}{\beta},
\]
\DPPageSep{439.png}{431}
et nous poserons
\[
\Tag{(44)}
\phi'  = \frac{\phi_{1} + \phi_{2}}{2},\quad
\phi'' = \frac{\phi_{1} - \phi_{2}}{2}.
\]
Des formules~\Eq{(43)} on déduit
\[
\Tag{(45)}
\left\{
\begin{aligned}
\alpha &= \frac{a + b}{2}
  - \frac{a - b}{2}\, \frac{\sin 2\phi'}{\sin 2\phi''}, \\
\beta  &= \frac{(a - b) \cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}{\sin 2\phi''}
  = \frac{a - b}{2}\, \frac{\cos 2\phi' + \cos 2\phi''}{\sin 2\phi''}.
\end{aligned}
\right.
\]
Les équations~\Eq{(42)} deviennent
\begin{align*}
m + n &= (a + b)
  - (a - b) \frac{1 + \cos 2\phi' \cos 2\phi''}{\sin 2\phi' \sin2\phi''}, \\
%
m - n &= (a - b) \frac{\cos 2\phi' + \cos 2\phi''}{\sin 2\phi' \sin2\phi''},
\end{align*}
d'où
\[
\Tag{(46)}
m = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} \tang \phi' \tang \phi'',\quad
n = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} \cot \phi' \cot \phi''.
\]
On en déduit
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{2}
m - a &= -\frac{a - b}{2}\, \frac{\cos\phi_{2}}{\cos\phi' \cos\phi''},\quad &
n - a &= -\frac{a - b}{2}\, \frac{\cos\phi_{2}}{\sin\phi' \sin\phi''}, \\
%
m - b &=  \frac{a - b}{2}\, \frac{\cos\phi_{1}}{\cos\phi' \cos\phi''},\quad &
n - b &= -\frac{a - b}{2}\, \frac{\cos\phi_{1}}{\sin\phi' \sin\phi''}, \\
%
m - \alpha
  &= (a - b) \frac{\sin\phi' \cos\phi_{1} \cos\phi_{2}}{\sin 2\phi'' \cos\phi'},\quad &
n - \alpha
  &= -(a - b)\frac{\cos\phi' \cos\phi_{1} \cos\phi_{2}}{\sin 2\phi'' \sin\phi'},
\end{alignedat} \displaybreak[1] \\
%
\begin{aligned}
(m - a)(m - b) &= -\left(\frac{a - b}{2}\right)^{2}
  \frac{\cos\phi_{1} \cos\phi_{2}}{\cos^{2}\phi' \cos^{2}\phi''}, \\
%
(n - a)(n - b) &=  \left(\frac{a - b}{2}\right)^{2}
  \frac{\cos\phi_{1} \cos\phi_{2}}{\sin^{2}\phi' \sin^{2}\phi''},
\end{aligned} \displaybreak[1] \\
%
\begin{aligned}
(m - c)(m - d) &= (m - \alpha)^{2} + \beta^{2}
  = (a - b)^{2} \frac{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}}
                     {\sin^{2} 2\phi'' \cos^{2}\phi'}, \\
%
(n - c)(n - d) &= (n - \alpha)^{2} + \beta^{2}
  = (a - b)^{2} \frac{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}}
                     {\sin^{2} 2\phi'' \sin^{2}\phi'}.
\end{aligned}
\end{gather*}
\DPPageSep{440.png}{432}
La formule de transformation $y = \dfrac{m + nx}{1 + x}$ devient
\[
\Tag{(47)}
y = \frac{a + b}{2}
  - \frac{a - b}{2}\,
    \frac{\tang \phi' \tang \phi'' + x \cot \phi' \cot \phi''}{1 + x},
\]
et l'on~a
\begin{multline*}
%[** TN: Set on one line in original; added ×]
\Tag{(48)}
\frac{dy}{\sqrt{±Y}}
  = -\frac{2}{a - b}\,
     \frac{\cot \phi' \cos \phi''}{\sqrt{\mp \cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}} \\
   × \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2} \cot^{2}\phi' \cot^{2}\phi'')
                     (1 + x^{2} \cot^{2}\phi')}}.
\end{multline*}

On effectuera une seconde transformation en posant
\[
\Tag{(49)}
x = \tang\phi' \tang\phi'' \cos\phi,
\]
ce qui donne
\begin{gather*}
\Tag{(50)}
y = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2}\,
  \frac{\tang \phi' \tang \phi'' + \cos \phi}
       {1 + \tang \phi' \tang \phi'' \cos \phi}, \\
%
\Tag{(51)}
\frac{dy}{\sqrt{±Y}}
  = \frac{\sqrt{\mp \cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}}{\beta}\,
    \frac{d\phi}{\sqrt{1 - \sin^{2} \phi'' \sin^{2} \phi}}.
\end{gather*}
Si l'on pose enfin
\[
\Tag{(52)}
k = \sin \phi'',\quad
g = \frac{\beta}{\sqrt{\mp \cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}},\quad
h = \tang \phi' \tang \phi'',
\]
on~a
\begin{gather*}
\Tag{(53)}
y = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2}\, \frac{h + \cos \phi}{1 + h \cos \phi}, \\
\Tag{(54)}
\frac{dy}{\sqrt{±Y}} = \frac{±d\phi}{g \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\phi}},
\end{gather*}
et l'expression différentielle est ramenée à la forme simple des intégrales
elliptiques (\no{230}).

\Primo~Proposons-nous d'abord de transformer l'expression~$\dfrac{dy}{\sqrt{-Y}}$. Le
radical n'est réel que si $y$~varie de~$b$ à~$a$. Appelons $\psi_{1}$~et~$\psi_{2}$ les angles
définis par les formules~\Eq{(43)}, et compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$~et~$\dfrac{\pi}{2}$; dans le cas
actuel, nous prendrons $\phi_{1} = \psi_{1}$, $\phi_{2} = \psi_{2}$; de cette manière, $\cos\phi_{1}$~et
\DPPageSep{441.png}{433}
$\cos\phi_{2}$ sont positifs, et le multiplicateur~$g$ réel; $\beta$~étant positif et $a$~plus
grand que~$b$, l'angle $\phi'' = \dfrac{\phi_{1} - \phi_{2}}{2}$ est positif; puisque $\dfrac{1 + h}{1 - h} = \dfrac{\cos \phi_{2}}{\cos \phi_{1}}$,
la constante~$h$ est comprise entre $-1$~et~$+1$. La formule de transformation~\Eq{(53)}
pouvant être mise sous la forme
\[
\Tag{(55)}
y = b + \frac{a - b}{1 + \dfrac{1 + h}{1 - h} \cot^{2} \dfrac{\phi}{2}}
  = b + \frac{a - b}{1 + \dfrac{\cos\phi_{2}}{\cos\phi_{1}} \cot^{2}\dfrac{\phi}{2}},
\]
on voit que, quand $\phi$~croît de~$0$ à~$\dfrac{\pi}{2}$, $y$~croît de~$b$ à~$a$. On mettra donc
le signe~$+$ devant le second membre de l'équation~\Eq{(54)}.

\Secundo~Soit maintenant à transformer~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$. Le radical est réel quand $y$~varie
de~$a$ à~$+\infty$ et de~$-\infty$ à~$b$. Nous prendrons ici $\phi_{2} = \psi_{2}$ et
$\phi_{1} = \psi_{1} + \pi$; de cette manière, $\cos\phi_{2}$~étant positif, $\cos\phi_{1}$~négatif, le
multiplicateur~$g$ est réel; la constante~$h$ est plus grande que~$1$ en valeur
absolue. L'angle $\phi'' = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\psi_{1} - \psi_{2}}{2}$ est compris entre $\dfrac{\pi}{2}$~et~$\pi$. La formule~\Eq{(55)}
montre que, quand $\phi$~croît de~$0$ à l'angle dont le cosinus
est~$-\dfrac{1}{h}$, $y$~décroît de~$b$ à~$-\infty$, et que, quand $\phi$~croît de cet angle à~$\pi$,
$y$~décroît de~$+\infty$ à~$a$. Il faudra mettre le signe~$-$ devant le second
membre de l'équation~\Eq{(54)}.

\Paragraph{268.} Le cas où le polynôme est du troisième degré et n'a qu'une
racine réelle se déduit du précédent; car l'expression
\[
\sqrt{\frac{±Y}{a}}
  = \sqrt{\mp (y - b)(y - c)(y - d) \left(1 - \frac{y}{a}\right)}
\]
se réduit à
\[
\sqrt{\mp (y - b)(y - c)(y - d)} = \sqrt{\mp Y_{1}},
\]
quand $a$~augmente indéfiniment. Il faudra diviser~$g$ par~$\sqrt{a}$: on a alors
$\psi_{1} = \dfrac{\pi}{2}$, $h = 1$, et, en prenant $\phi_{2} = \psi_{2}$,
\[
\Tag{(56)}
k = \sin \left(\frac{\pi}{4} ± \frac{\phi_{2}}{2}\right),\quad
g = \sqrt{\frac{\beta}{\cos \phi_{2}}}.
\]
\DPPageSep{442.png}{434}
La formule de transformation~\Eq{(50)} peut être mise sous la forme
\[
y = \frac{a \cos \phi_{1} \sin^{2} \dfrac{\phi}{2}
        + b \cos \phi_{2} \cos^{2} \dfrac{\phi}{2}}
         {\cos \phi_{1} \sin^{2} \dfrac{\phi}{2}
        + \cos \phi_{2} \cos^{2} \dfrac{\phi}{2}};
\]
si l'on remarque que $a\cos\phi_{1}$ tend vers la limite~$\mp\beta$, elle se réduit à
\[
\Tag{(57)}
y = b \mp \frac{\beta}{\cos\phi_{2}} \tang^{2} \frac{\phi}{2}.
\]

\Paragraph{269.} Il nous reste à examiner le cas où le polynôme du quatrième
degré~$Y$ a ses \emph{quatre racines imaginaires} $a = \alpha + \beta i$, $b = \alpha - \beta i$,
$c = \gamma + \delta i$, $d = \gamma - \delta i$, $\beta$~et~$\delta$ étant supposés positifs et $\alpha - \gamma$ positif.
Nous commencerons encore par effectuer la transformation du premier
degré en posant $y = \dfrac{m + nx}{1 + x}$, de manière à faire disparaître les termes
du premier degré (\no{261}). on~a
\begin{gather*}
m + n
  = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2} - \gamma^{2} - \delta^{2}}{\alpha - \gamma}, \\
m - n = \frac{\sqrt{
  \bigl[(\alpha - \gamma)^{2} + (\beta + \delta)^{2}\bigr]
  \bigl[(\alpha - \gamma)^{2} + (\beta - \delta)^{2}\bigr]}}
  {\alpha - \gamma}.
\end{gather*}
Posons
\[
\Tag{(58)}
\tang\phi_{1} = \frac{\beta + \delta}{\alpha - \gamma},\
\tang\phi_{2} = \frac{\beta - \delta}{\alpha - \gamma},\quad
\phi'  = \frac{\phi_{1} + \phi_{2}}{2},\
\phi'' = \frac{\phi_{1} - \phi_{2}}{2},
\]
nous aurons
\begin{gather*}
m + n = \frac{\alpha \cos 2\phi'' + \gamma \cos 2\phi'}
             {\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}},\quad
m - n = \frac{\alpha - \gamma}{ \cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}, \\
%
\Tag{(59)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
m &= \frac{\alpha \cos^{2}\phi'' - \gamma \sin^{2}\phi'}{\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}},\quad &
\beta &= (\alpha - \gamma)\, \frac{\sin \phi' \cos \phi'}{\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}},
\\
n &= \frac{-\alpha \sin^{2}\phi'' + \gamma \cos^{2}\phi'}{\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}},\quad &
\delta &= (\alpha - \gamma)\, \frac{\sin \phi'' \cos \phi''}{\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}},
\end{alignedat}
\right. \displaybreak[1] \\
\begin{alignedat}{2}
(m - \alpha)^{2} + \beta^{2}
  &= (\alpha - \gamma)^{2}\! \frac{\sin^{2}\phi'}{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}},\ &
(n - \alpha)^{2} + \beta^{2}
  &= (\alpha - \gamma)^{2}\! \frac{\cos^{2}\phi'}{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}},
\\
\DPtypo{}{(}m - \gamma)^{2} + \delta^{2}
  &= (\alpha - \gamma)^{2}\! \frac{\cos^{2}\phi''}{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}}, &
(n - \gamma)^{2} + \delta^{2}
  &= (\alpha - \gamma)^{2}\! \frac{\sin^{2}\phi''}{\cos^{2}\phi_{1} \cos^{2}\phi_{2}},
\end{alignedat} \\
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = - \frac{\cos \phi'}{\beta \cos \phi''}\,
  \frac{dx}{\sqrt{(1 + x^{2} \cot^{2}\phi') (1 + x^{2} \tang^{2}\phi'')}}.
\end{gather*}
\DPPageSep{443.png}{435}

Pour achever la transformation, on posera $x = -\tang\phi' \tang\phi$, d'où
\[
\frac{dy}{\sqrt{Y}}
  = \frac{\sin \phi'}{\beta \cos \phi''}\,
  \frac{d\phi}{\sqrt{1 - \dfrac{\cos\phi_{1} \cos\phi_{2}}
                               {\cos^{2}\phi' \cos^{2}\phi''}\, \sin^{2}\phi}}.
\]
Si l'on pose ensuite
\[
\Tag{(60)}
k^{2} = 1 - \tang^{2}\phi' \tang^{2}\phi''
  = \frac{\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}}{\cos^{2}\phi' \cos^{2}\phi''},\quad
g = \frac{\beta \cos \phi''}{\sin \phi'},
\]
on a finalement
\[
\frac{dy}{\sqrt{Y}} = \frac{d\phi}{g \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\phi}}.
\]

On prendra pour $\phi_{1}$~et~$\phi_{2}$ des angles compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$~et~$+\dfrac{\pi}{2}$, de
manière que $\cos\phi_{1}$~et~$\cos\phi_{2}$ soient positifs. Le module~$k$ est moindre
que~$1$. La formule de transformation est
\[
\Tag{(61)}
y = n + \frac{m - n}{1 + x}
  = n + \frac{2 \beta}{\sin 2\phi'}\,
        \frac{1}{1 - \tang \phi' \tang \phi}.
\]
Quand $\phi$~croît de~$-\dfrac{\pi}{2}$ à~$\dfrac{\pi}{2} - \phi'$, $y$~croît de~$n$ à~$+\infty$; $\phi$~croissant ensuite
de~$\dfrac{\pi}{2} - \phi'$ à~$\dfrac{\pi}{2}$, $y$~croît de~$-\infty$ à~$n$.

Remarquons que, dans les deux cas traités aux \nos~\nref{267}~et~\nref{269}, si
l'on pose $\sin\phi = t$ pour ramener l'intégrale elliptique à la forme canonique,
les formules de transformation \Eq{(50)}~et~\Eq{(61)} sont irrationnelles
par rapport à~$t$.


\Section{Les trois intégrales elliptiques}

\Paragraph{270.} Après l'intégration des expressions rationnelles, les géomètres
se sont occupés des expressions irrationnelles, et d'abord de celles qui
renferment un radical carré. Lorsque le polynôme placé sous le radical
est du premier ou du second degré, l'intégrale s'exprime par des quantités
algébriques ou logarithmiques; mais il n'en est plus de même
lorsque le polynôme est d'un degré plus élevé. Le cas où le polynôme
est du troisième ou du quatrième degré donne naissance à une classe
d'intégrales définies, que l'on a appelées \emph{intégrales elliptiques}, parce
qu'elles servent à l'évaluation des arcs des sections coniques. Le célèbre
\DPPageSep{444.png}{436}
théorème d'Euler, dont nous parlerons plus tard, a été le point de
départ des recherches sur ce sujet. Legendre a découvert ensuite un
grand nombre de propriétés de ces nouvelles transcendantes (\textit{Mémoire
sur les transcendantes elliptiques}, 1794); son \textit{Traité des fonctions elliptiques}
contient l'exposé de ses propres découvertes et de celles de ses
devanciers.

Considérons l'intégrale définie
\[
\Tag{(1)}
\int F(y, \sqrt{Y})\, dy,
\]
où $Y$~désigne un polynôme entier du troisième ou du quatrième degré,
et $F(y, \sqrt{Y})$ une fonction rationnelle en $y$~et~$\sqrt{Y}$. Cette fonction peut
être mise sous la forme
\[
\frac{M + M' \sqrt{Y}}{N + N' \sqrt{Y}}
  = \frac{(M + M' \sqrt{Y})(N - N \sqrt{Y})}{N^{2} - N'^{2} Y}
  = \frac{P + P' \sqrt{Y}}{Q},
\]
$M, M', N, N', P, P', Q$ désignant des polynômes entiers en~$y$; on en
déduit
\[
\int F(y, \sqrt{Y})\, dy
  = \int \frac{P}{Q}\, dy + \int \frac{P' \sqrt{Y}}{Q}\, dy.
\]
La première intégrale du second membre, portant sur une fraction
rationnelle, s'exprime par une fraction rationnelle et des termes de la
forme $\log(y - \alpha)$. Il reste à considérer la seconde intégrale, que l'on
écrit
\[
\int \frac{P'Y}{Q}\, \frac{dy}{\sqrt{Y}}.
\]

Nous avons vu comment, par une substitution du premier ou du
second degré, on transforme l'expression~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$ en une autre~$\dfrac{dx}{\sqrt{X}}$, où $X$~est
un polynôme du quatrième degré en~$x$ de la forme canonique
$(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})$. L'intégrale précédente se ramène ainsi à l'intégrale
\[
\Tag{(2)}
\int f(x)\, \frac{dx}{\sqrt{X}},
\]
\DPPageSep{445.png}{437}
$f(x)$~désignant une fraction rationnelle en~$x$. Cette fraction rationnelle
peut se mettre sous la forme
\[
\frac{M_{1} + M'_{1} x}{N_{1} + N'_{1} x}
  = \frac{(M_{1} + M'_{1} x) (N_{1} - N'_{1} x)}{N_{1}^{2} - {N'}_{1}^{2}x^{2}}
  = \frac{P_{1} + P'_{1} x}{Q_{1}},
\]
$M_{1}, M_{1}', N_{1}, N_{1}', P_{1}, P_{1}', Q_{1}$ désignant des polynômes entiers en~$x^{2}$. On
a ainsi
\[
\int f(x)\, \frac{dx}{\sqrt{X}}
  = \int \frac{P_{1}}{Q_{1}}\, \frac{dx}{\sqrt{X}}
  + \int \frac{P'_{1} x}{Q_{1}}\, \frac{dx}{\sqrt{X}}.
\]
On obtient la seconde intégrale en posant $x^{2} = x'$; car alors le radical
ne porte plus que sur un polynôme du second degré. Il reste à étudier
l'intégrale
\[
\Tag{(3)}
\int \frac{P_{1}}{Q_{1}}\, \frac{dx}{\sqrt{X}}.
\]

\Paragraph{271.} La fraction rationnelle~$\dfrac{P_{1}}{Q_{1}}$ peut être décomposée en termes de
la forme~$Ax^{2n}$, $n$~étant un nombre entier positif ou négatif, et en termes
de la forme $\dfrac{A}{(x^{2} - h^{2})^{p}}$, $p$~étant un nombre entier positif. Considérons
d'abord les termes de la première sorte. Soit $X = A + B x^{2} + C x^{4}$. on~a
\begin{align*}
\Diff_{x}(x^{2n+1} \sqrt{X})
  &= (2n + 1) x^{2n} \sqrt{X} + \frac{x^{2n+1} (Bx + 2C x^{3})}{\sqrt{X}} \\
  &= \frac{(2n + 1) Ax^{2n} + (2n + 2) Bx^{2n+2} + (2n + 3) Cx^{2n+4}}
         {\sqrt{X}},
\end{align*}
et, en intégrant,
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{gathered}
x^{2n + 1} \sqrt{X}
  = (2n + 1) A \int \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{X}}
  + (2n + 2) B \int \frac{x^{2n + 2}\, dx}{\sqrt{X}} \\
  + (2n + 3) C \int \frac{x^{2n + 4}\, dx}{\sqrt{X}}.
\end{gathered}
\right.
\]
Quand $n$~est positif ou nul, cette équation ramène l'intégrale
\[
\int \frac{x^{2n+1}\, dx}{\sqrt{X}}
\]
\DPPageSep{446.png}{438}
aux deux précédentes
\[
\int \frac{x^{2n+2}\, dx}{\sqrt{X}},\quad
\int \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{X}}.
\]
En opérant ainsi plusieurs fois successivement, on arrive aux deux
intégrales
\[
\Tag{(5)}
\int \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{X}},\quad
\int \frac{dx}{\sqrt{X}}.
\]
Quand $n$~est négatif, cette même équation ramène l'intégrale
\[
\int \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt{X}}
\]
aux deux autres
\[
\int \frac{x^{2n+2}\, dx}{\sqrt{X}},\quad
\int \frac{x^{2n+1}\, dx}{\sqrt{X}},
\]
et, après plusieurs opérations successives, on arrive encore aux deux
intégrales~\Eq{(5)}.

\Paragraph{272.} Considérons maintenant les termes de la seconde sorte, on~a
\begin{align*}
\Diff_{x} \frac{x\sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p-1}}
  &= \frac{\sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p-1}}
   + \frac{x (Bx + 2C x^{3})}{(x^{2} - h^{2})^{p-1} \sqrt{X}}
   - \frac{2(p - 1) x^{2}\sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p}} \\
%
  &= \frac{(A + 2B x^{2} + 3C x^{4})(x^{2} - h^{2})
        - 2(p - 1)(Ax^{2} + B x^{4} + C x^{6})}
          {(x^{2} - h^{2})^{p} \sqrt{X}}.
\end{align*}
Posons
\[
A + 2B x^{2} + 3C x^{4}
  = A_{1} + 2B_{1} (x^{2} - h^{2}) + 3C (x^{2} - h^{2})^{2},
\]
les deux constantes $A_{1}$~et~$B_{1}$ ayant les valeurs
\[
A_{1} = A + 2B h^{2} + 3C h^{4},\quad
B_{1} = B + 3C h^{2}.
\]
Si l'on multiplie les deux membres de cette égalité par~$2x\, dx$, et si
l'on intègre, on obtient
\[
Ax^{2} + Bx^{4} + Cx^{6}
  = E + A_{1} (x^{2} - h^{2})
      + B_{1} (x^{2} - h^{2})^{2}
      + C (x^{2} - h^{2})^{3},
\]
\DPPageSep{447.png}{439}
en posant $E = h^{2}(A + Bh^{2} + Ch^{4})$. Il en résulte
\begin{align*}
\Diff_{x} \frac{x \sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p-1}}
  = &-\frac{(2p - 2)E}{(x^{2} - h^{2})^{p} \sqrt{X}}
     -\frac{(2p - 3) A_{1}}{(x^{2} - h^{2})^{p - 1} \sqrt{X}} \\
    &-\frac{(2p - 4) B_{1}}{(x^{2} - h^{2})^{p - 2} \sqrt{X}}
     -\frac{(2p - 5) C}{(x^{2} - h^{2})^{p - 3} \sqrt{X}},
\end{align*}
et par suite
\[
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{-x \sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p-1}}
  &= (2p - 2) E \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p} \sqrt{X}} \\
  &+ (2p - 3) A_{1} \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-1} \sqrt{X}} \\
  &+ (2p - 4) B_{1} \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-2} \sqrt{X}} \\
  &+ (2p - 5) C \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-3} \sqrt{X}}.
\end{aligned}
\right.
\]
Si la constante~$E$ n'est pas nulle, de cette équation on déduira la première
intégrale en fonction des trois suivantes, et, comme l'opération
peut être continuée jusqu'à ce que l'on ait $p = 2$, on arrivera à l'intégrale
\[
\Tag{(7)}
\int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2}) \sqrt{X}}
\]
et à d'autres de la première sorte, se ramenant, par conséquent, aux
deux intégrales~\Eq{(5)}.

Si l'on avait $E = 0$, l'équation se réduirait à
\[
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(8)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{-x \sqrt{X}}{(x^{2} - h^{2})^{p-1}}
  &= (2p - 3) A_{1} \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-1} \sqrt{X}} \\
  &+ (2p - 4) B_{1} \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-2} \sqrt{X}} \\
  &+ (2p - 5) C \int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2})^{p-3} \sqrt{X}}.
\end{aligned}
\right.
\]
Nous remarquons que la constante~$A_{1}$ ne peut être nulle en même temps
que~$E$; car on aurait alors $B^{2} - 4AC = 0$, et le polynôme~$X$ serait
carré parfait. La relation précédente ramène l'intégrale cherchée aux
deux intégrales~\Eq{(5)}.

En résumé, l'intégrale
\[
\int F(y, \sqrt{Y})\, dy
\]
\DPPageSep{448.png}{440}
est ainsi ramenée aux trois intégrales
\[
\Tag{(9)}
\int \frac{dx}{\sqrt{X}},\quad
\int \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{X}},\quad
\int \frac{dx}{(x^{2} - h^{2}) \sqrt{X}}.
\]
A la place de la seconde, Legendre considérait l'intégrale
\[
\int \sqrt{X}\, dx,
\]
qui s'exprime aisément à l'aide des deux premières.

L'\emph{intégrale de première espèce}
\[
\Tag{(10)}
z = \int_{0}^{x} \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}
\]
est l'inverse de la fonction elliptique $x = \lambda(z, k)$. A chaque valeur
de~$x$ correspondent deux séries de valeurs de~$z$ de la forme
\[
z + 2m\omega + m'\omega',\quad
\omega - z + 2m\omega + m'\omega'.
\]


\Section{Intégrale elliptique de seconde espèce}

\Paragraph{273.} L'intégrale elliptique de seconde espèce est
\[
\Tag{(11)}
u = \int_{0}^{x} \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
Le radical admet les quatre points critiques $a = 1$, $b = \dfrac{1}{k}$, $c = -1$,
$d = -\dfrac{1}{k}$ (\Figref{77}, \no{221}), qui sont aussi des points critiques algébriques
pour la fonction~$u$. Cette fonction devient infinie avec~$x$, et le point~$O'$
sur la sphère est un pôle du second degré pour chacune des branches
de la fonction; mais, comme il n'entre dans l'expression que des puissances
paires, l'intégrale définie relative au lacet~$O'$, ou au circuit qui
dans le plan embrasse les quatre points critiques, est nulle, et les
périodes se réduisent à deux (\no{113}). A chaque système de cycles
\DPPageSep{449.png}{441}
donnant un couple de périodes elliptiques $2\omega, \omega'$ de l'intégrale de
première espèce correspond un couple de périodes $2\omega_{1}, \omega'_{1}$ de l'intégrale
de seconde espèce. Il en résulte qu'à chaque valeur de~$x$ correspondent
deux séries de valeurs de~$u$ de la forme
\[
u + 2m\omega_{1} + m'\omega'_{1},\quad
\omega_{1} - u + 2m\omega_{1} + m'\omega'_{1}.
\]

Si l'on change de variable en posant $x = \lambda(z, k)$, d'où
\[
\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}} = dz,
\]
l'intégrale de seconde espèce prend la forme
\[
\Tag{(12)}
u = \zeta(z) = \int_{0}^{z} \lambda^{2}(z)\, dz.
\]
Elle devient infinie avec~$\lambda(z)$, c'est-à-dire aux points
\[
\alpha = \frac{\omega'}{2} + m\omega + m'\omega';
\]
si l'on pose $z = \alpha + z'$, on a, dans le voisinage de l'un des points~$\alpha$,
\begin{align*}
\lambda^{2}(z)
  &= \frac{1}{k^{2}\lambda^{2}(z')}
  = \frac{1}{k^{2}z'^{2}} + \beta + \gamma z'^{2} + \ldots, \\
%
u &= -\frac{1}{k^{2} z'} + C + \beta z' + \frac{\gamma}{3}\, z'^{3} + \ldots.
\end{align*}
On en conclut que $u$~est une fonction \emph{méromorphe} de~$z$, admettant
comme pôles simples ceux de~$\lambda(z)$.

Il est facile d'exprimer cette fonction à l'aide de l'une des fonctions $\theta$~ou~$\vartheta$,
formées avec les deux constantes $\omega$~et~$\omega'$. De l'équation
\[
\lambda^{2}(z) = \frac{1}{k^{2}} \left[
  \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \Diff_{z}^{2} \log \theta(z)
\right]
  = \frac{1}{k^{2}} \left[
    \frac{\vartheta''(0)}{\vartheta(0)} - \Diff_{z}^{2} \log \vartheta(z)
  \right],
\]
trouvée au \no{169}, on déduit en effet
\[
\Tag{(13)}
\zeta(z) = \frac{1}{k^{2}} \left[
  z \frac{\vartheta''(0)}{\theta(0)} - \Diff_{z} \log \theta(z)\right]
  = \frac{1}{k^{2}} \left[
    z \frac{\vartheta''(0)}{\vartheta(0)} - \Diff_{z} \log \vartheta(z)\right].
\]
\DPPageSep{450.png}{442}
Quand $z$~augmente de~$\omega$ ou de~$\omega'$, le second membre éprouve des accroissements
constants
\[
\Tag{(14)}
\omega_{1}  = \frac{1}{k^{2}}\, \frac{\theta''(0)}{\theta(0)}\, \omega,\quad
\omega'_{1} = \frac{1}{k^{2}}\, \frac{\vartheta''(0)}{\vartheta(0)}\, \omega'
  = \frac{1}{k^{2}} \left[\frac{\theta''(0)}{\theta(0)}
      + \frac{2\pi i}{\omega \omega'} \right] \omega';
\]
on en déduit la relation
\[
\Tag{(15)}
\omega \omega'_{1} - \omega' \omega_{1} = \frac{2\pi i}{k^{2}},
\]
entre les périodes des intégrales de première et de seconde espèce.

Lorsque le module~$k$ est réel et inférieur à l'unité, si $z$~est réelle, la
formule~\Eq{(13)} ne contient que des quantités réelles; si $z$~est imaginaire
et de la forme~$yi$, $y$~étant réelle, le second membre est de la forme~$Yi$,
$Y$~étant réelle.

\Paragraph{274.} Considérons maintenant la fonction inverse~$x$ de la variable~$u$,
fonction définie par l'équation différentielle
\[
\frac{dx}{du} = \frac{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}{x^{2}},
\]
à laquelle on joint la condition initiale $x = 0$ pour $u = 0$. En répétant
le raisonnement du \no{219}, on voit que, lorsque la variable~$u$ se meut
dans le voisinage d'un point où la fonction~$x$ acquiert l'une des valeurs
$±1, ± \dfrac{1}{k}$, la fonction reste monotrope. L'étude de l'intégrale définie
montre que, quand $x$~partant de l'origine y revient par différents
chemins, $u$~acquiert les valeurs $u_{1} = m \omega_{1} + m' \omega'_{1}$; réciproquement,
si $u$~va de l'origine à l'un de ces points~$u_{1}$ par un chemin
convenable, la fonction~$x$ s'annule. L'équation différentielle
\[
du = \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}\, dx,
\]
dont le second membre se développe en une série convergente, pour les
valeurs de~$x$ dont le module est inférieur à~$1$ et au module de~$\dfrac{1}{k}$, est de
\DPPageSep{451.png}{443}
la forme
\[
du = ±(x^{2} + ax^{4} + \ldots)\, dx;
\]
on en déduit
\begin{gather*}
u - u_{1} = ±\left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{a x^{5}}{5} + \ldots\right), \\
x = ±\sqrt[3]{3} (u - u_{1})^{\efrac{1}{3}} + \ldots;
\end{gather*}
ainsi, quand la variable~$u$ tourne autour du point~$u_{1}$ la branche considérée
de la fonction~$x$ acquiert trois valeurs différentes; ce point est
donc un point critique algébrique pour cette branche de la fonction.
La fonction~$x$ conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies
de~$u$; on en conclut qu'elle admet une infinité de valeurs pour chaque
valeur de~$u$; car si elle n'en admettait qu'un nombre limité, une fonction
symétrique et entière de ces valeurs serait une fonction holomorphe et
doublement périodique de~$u$, ce qui est impossible (\no{146}).


\Section{Intégrale elliptique de troisième espèce}

\Paragraph{275.} L'intégrale de troisième espèce est
\[
\Tag{(16)}
u = \int_{0}^{x} \frac{dx}{(x^{2} - h^{2}) \sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
Outre les quatre points critiques du radical $a = 1$, $b = \dfrac{1}{k}$, $c = -1$,
$d = -\dfrac{1}{k}$, qui sont aussi des points critiques algébriques pour la fonction~$u$,
la fonction placée sous le signe d'intégration a deux pôles
$x = ±h$, qui sont des points critiques logarithmiques de la fonction~$u$
(\no{60}), et qui fournissent une période polaire
\[
\omega'' = \frac{\pi i}{h \sqrt{(1 - h^{2})(1 - k^{2}h^{2})}}.
\]
Le point~$O'$ sur la sphère étant un point ordinaire, l'intégrale définie
relative au circuit qui embrasse tous les points critiques est nulle; il
en résulte que, si l'on fait abstraction de la période polaire, toutes les
autres périodes se réduisent à deux; à chaque couple de périodes
\DPPageSep{452.png}{444}
elliptiques $2\omega, \omega'$ de l'intégrale de première espèce correspond un
couple de périodes $2\omega_{2}, \omega'_{2}$ de l'intégrale de troisième espèce. Cette
intégrale admet donc trois périodes distinctes, de sorte qu'à chaque
valeur de~$x$ correspondent deux séries de valeurs de~$u$ de la forme
\[
u + 2m \omega_{2} + m' \omega''_{2} + m'' \omega'',\quad
\omega_{2} - u + 2m \omega_{2} + m' \omega'_{2} + m'' \omega''.
\]

Si l'on change de variable en posant $x = \lambda(z, k)$, et si l'on remplace
la constante~$h$ par~$\lambda(a)$, l'intégrale de troisième espèce prend la
forme
\[
\Tag{(17)}
u = \int_{0}^{z} \frac{dz}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)}.
\]
Elle devient infinie aux points critiques logarithmiques
\[
z = ±a + m \omega + m' \omega',
\]
et admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de~$z$. On peut aussi
l'exprimer à l'aide de la fonction~$\theta$.

La fonction doublement périodique $\dfrac{1}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)}$ aux périodes $\omega, \omega'$, a
deux infinis simples $z = ±a$; les résidus correspondants sont
\[
±\frac{1}{2\lambda(a) \lambda'(a)}.
\]
On a donc, d'après le théorème de M.~Hermite (\no{168}),
\[
\frac{1}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)}
  = H + \frac{1}{2 \lambda(a) \lambda'(a)}\,
    \Diff_{z} \log \frac{\theta_{1}(z - a)}{\theta_{1}(z + a)},
\]
et, en remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$,
\[
\frac{k^{2} \lambda^{2}(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  = H + \frac{1}{2 \lambda(a) \lambda'(a)}\,
    \Diff_{z} \log \frac{\theta (z - a)}{\theta (z + a)}.
\]
Si l'on fait $z = 0$ dans cette dernière équation, on obtient la constante
\[
H = \frac{1}{\lambda(a) \lambda'(a)}\, \Diff_{a} \log \theta(a).
\]
\DPPageSep{453.png}{445}
Les deux équations précédentes deviennent ainsi
\begin{align*}
\Tag{(18)}
\frac{\lambda(a) \lambda'(a)}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)}
  &= \Diff_{a} \log \theta(a)
  + \frac{1}{2} \Diff_{z} \log \frac{\theta_{1}(a - z)}{\theta_{1}(a + z)}, \\
%
\Tag{\DPtypo{}{(}19)}
\frac{k^{2}\lambda(a) \lambda'(a) \lambda^{2}(z)}
     {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  &= \Diff_{a} \log \theta(a)
  + \frac{1}{2} \Diff_{z} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta(a + z)}.
\end{align*}

On en déduit
\begin{gather*}
%[** Re-broken]
\Tag{(20)}
\begin{aligned}[t]
\int_{0}^{z} \frac{\lambda(a) \lambda'(a)\, dz}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)}
  &= z \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
     + \frac{1}{2} \log \frac{\theta_{1}(a - z)}{\theta_{1}(a + z)} \\
  &= z \frac{\vartheta'(a)}{\vartheta(a)}
     + \frac{1}{2} \log \frac{\vartheta_{1}(a - z)}{\vartheta_{1}(a + z)},
\end{aligned} \\
%
\Tag{(21)}
\begin{aligned}[t]
\int_{0}^{z} \frac{k^{2}\lambda(a) \lambda'(a) \lambda^{2}(z)\, dz}
                  {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  &= z \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
     + \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta(a + z)} \\
  &= z \frac{\vartheta'(a)}{\vartheta(a)}
     + \frac{1}{2} \log \frac{\vartheta(a - z)}{\vartheta(a + z)},
\end{aligned}
\end{gather*}
les logarithmes s'annulant pour $z = 0$.

C'est à Jacobi que l'on doit l'expression des intégrales elliptiques de
seconde et de troisième espèce par la fonction~$\theta$ (\textit{Fundamenta}); l'intégrale~\Eq{(21)}
est celle que Jacobi appelait spécialement \emph{intégrale de
troisième espèce}, et il l'a désignée par le symbole~$\Pi(z, a, k)$, ou, plus
simplement~$\Pi(z, a)$, en sous-entendant le module~$k$. La variable~$z$ est
l'\emph{argument}, la constante~$a$ le \emph{paramètre} de l'intégrale. On a ainsi
\[
\Tag{(22)}
\Pi (z, a)
  = z \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
    + \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta (a + z)}
  = z \frac{\vartheta'(a)}{\vartheta(a)}
    + \frac{1}{2} \log \frac{\vartheta(a - z)}{\vartheta(a + z)}.
\]
Quand $z$~augmente de~$\omega$ ou de~$\omega'$, le second membre éprouve des accroissements
constants
\[
\Tag{(23)}
\omega_{2}  = \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}\, \omega,\quad
\omega'_{2} = \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}\, \omega' + \frac{2\pi ai}{\omega}.
\]
D'ailleurs le logarithme donne la période polaire $\omega'' = \pi i$. On en déduit
la relation
\[
\Tag{(24)}
\omega \omega'_{2} - \omega' \omega_{2} = 2\pi ai,
\]
entre les périodes des intégrales de première et de troisième espèce.
\DPPageSep{454.png}{446}

\Paragraph{276.} Examinons maintenant la fonction inverse~$x$ de~$u$, fonction
définie par l'équation différentielle
\[
\frac{dx}{du} = (x^{2} - h^{2}) \sqrt{(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})},
\]
à laquelle on joint la condition initiale $x = 0$ pour $u = 0$. On verra,
comme précédemment, que, lorsque la variable~$u$ se meut dans le voisinage
d'un point où la fonction acquiert l'une des valeurs $±1, ±\dfrac{1}{k}$,
la fonction reste monotrope. L'étude de l'intégrale définie~\Eq{(16)} montre
que, quand $x$~s'éloigne à l'infini par un chemin déterminé, $u$~tend vers
une valeur finie~$u_{1}$; réciproquement, quand $u$~va de l'origine au point~$u_{1}$
par un chemin convenable, $x$~devient infinie; en posant $x = \dfrac{1}{x'}$, on~a
\begin{gather*}
du = -\frac{x'^{2}\, dx'}{(1 - h^{2} x'^{2})\sqrt{(1 - x'^{2}) (k^{2} - x'^{2})}}
  = \mp \left(\frac{x'^{2}}{k} + ax'^{4} + \ldots\right) dx, \\
%
u - u_{1}
  = \mp \left(\frac{x'^{\DPtypo{2}{3}}}{3k} + \frac{a x'^{5}}{5} + \ldots\right), \\
x' = ±\sqrt[3]{3k} (u - u_{1})^{\efrac{1}{3}} + \ldots.
\end{gather*}
Ainsi, quand la variable~$u$ tourne autour du point~$u_{1}$, la branche considérée
de la fonction~$x$ acquiert trois valeurs différentes; ce point est
donc un point critique algébrique pour cette branche de la fonction.
La fonction~$x$ admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de~$u$;
car si elle n'admettait qu'un nombre limité, une fonction symétrique
de ces valeurs serait une fonction monotrope triplement périodique, ce
qui est impossible (\no{143}). L'étude de l'intégrale définie~\Eq{(16)} montre
aussi que $u$~ne devient infinie que quand $x$~tend vers l'une des valeurs~$±h$;
on en conclut que, réciproquement, toutes les branches de la
fonction~$x$ tendent vers l'une des deux valeurs~$±h$, quand la variable~$u$
s'éloigne à l'infini; sur la sphère, le point $u = \infty$ est un point d'indétermination,
et la fonction~$x$ se comporte comme une exponentielle
(\no{59}).
\DPPageSep{455.png}{447}

\Paragraph{277.} De la formule~\Eq{(22)} on déduit les suivantes:
\[
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{aligned}
\Pi \left(z, a + \frac{\omega}{2}\right)
  &= z\, \frac{\theta'_{3}(a)}{\theta_{3}(a)}
   + \frac{1}{2} \log \frac{\theta_{3}(a - z)}{\theta_{3}(a + z)}, \\
\Pi \left(z, a + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= z\, \frac{\theta'_{1}(a)}{\theta_{1}(a)}
   + \frac{1}{2} \log \frac{\theta_{1}(a - z)}{\theta_{1}(a + z)}, \\
\Pi \left(z, a + \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= z\, \frac{\theta'_{2}(a)}{\theta_{2}(a)}
   + \frac{1}{2} \log \frac{\theta_{2}(a - z)}{\theta_{2}(a + z)},
\end{aligned}
\right.
\]
et celles-ci donnent
\[
\Tag{(26)}
\left\{
\begin{aligned}
\Pi \left(z, a + \frac{\omega}{2}\right) - \Pi(z, a)
  &= z\, \frac{\nu'(a)}{\nu(a)}
       + \frac{1}{2} \log \frac{\nu(a - z)}{\nu(a + z)}, \\
\Pi \left(z, a + \frac{\omega'}{2}\right) - \Pi(z, a)
  &= z\, \frac{\lambda'(a)}{\lambda(a)}
       + \frac{1}{2} \log \frac{\lambda(a - z)}{\lambda(a + z)}, \\
\Pi \left(z, a + \frac{\omega + \omega'}{2}\right) - \Pi(z, a)
  &= z\, \frac{\mu'(a)}{\mu(a)}
       + \frac{1}{2} \log \frac{\mu(a - z)}{\mu(a + z)}.
\end{aligned}
\right.
\]

Si, dans la formule~\Eq{(22)}, on permute les lettres $z$~et~$a$, il vient
\[
\Pi(a, z)
  = a\, \frac{\theta'(z)}{\theta(z)}
  + \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta(a + z)},
\]
d'où
\[
\Tag{(27)}
\Pi(z,a) - \Pi(a,z)
  = z\, \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  - a\, \frac{\theta'(z)}{\theta(z)}
  = k^{2} \bigl[a\, \zeta(z) - z\, \zeta(a)\bigr].
\]
Cette dernière relation effectue la permutation du paramètre et de l'argument.

De la formule~\Eq{(22)} on déduit encore la relation
\[
\Tag{(28)}
\left\{
\begin{aligned}
\Pi(z, a)
  &= \Pi \left(\frac{a + z}{2}, \frac{a + z}{2}\right)
  - \Pi \left(\frac{a - z}{2}, \frac{a - z}{2}\right) \\
  &\quad
  - \frac{a + z}{2}\,
  \frac{\theta'\left(\dfrac{a + z}{2}\right)}
       {\theta \left(\dfrac{a + z}{2}\right)}
  +  \frac{a - z}{2}\,
  \frac{\theta'\left(\dfrac{a - z}{2}\right)}
       {\theta \left(\dfrac{a - z}{2}\right)}
  + z\, \frac{\theta'(a)}{\theta(a)},
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{456.png}{448}
que l'on met sous la forme
\[
\Tag{(29)}
\left\{
\begin{aligned}
\Pi(z,a)
  &= \Pi\left(\frac{a + z}{2}, \frac{a + z}{2}\right)
   - \Pi\left(\frac{a - z}{2}, \frac{a - z}{2}\right) \\
  &\quad
   + k^{2}\, \frac{a + z}{2}\, \zeta\left(\frac{a + z}{2}\right)
   - k^{2}\, \frac{a - z}{2}\, \zeta\left(\frac{a - z}{2}\right)
   - k^{2}z \zeta(a).
\end{aligned}
\right.
\]
L'intégrale de troisième espèce~$\Pi(z, a)$, qui dépend des trois quantités
$k, a, z$, s'exprime ainsi par une somme de fonctions dont chacune ne
dépend que de deux quantités.

\Paragraph{278.} Dans l'intégrale~\Eq{(21)}, représentons le dénominateur par
$1 + n\lambda^{2}(z)$, c'est-à-dire posons $n = -k^{2}\lambda^{2}(a)$. Si la quantité donnée~$n$
est réelle, le module~$k$ réel, positif, et moindre que l'unité, et qu'on
veuille calculer~$a$, plusieurs cas se présentent: \Primo~si $n$~est positive,
on posera $\lambda^{2}(ai) = -\dfrac{n}{k^{2}}$, $a$~étant réelle et positive (\no{236}), et l'intégrale
sera représentée par~$\Pi(z, ai)$; \Secundo~si $n$~est comprise entre $0$~et~$-k^{2}$,
on posera $\lambda^{2}(a) = -\dfrac{n}{k^{2}}$, $a$~étant réelle et positive, et l'intégrale
sera~$\Pi(z, a)$; \Tertio~si $n$~est comprise entre $-k^{2}$~et~$-1$, on posera
$\lambda^{2} \left(ai + \dfrac{\omega}{2}\right) = -\dfrac{n}{k^{2}}$, $a$~étant encore réelle et positive (\no{225}), et
l'intégrale sera $\Pi\left(z, ai + \dfrac{\omega}{2}\right)$; \Quarto~si $n$~est comprise entre $-1$~et~$-\infty$,
on posera $\lambda^{2} \left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right) = -\dfrac{n}{k^{2}}$, $a$~étant toujours réelle et positive, ce
qui donne l'intégrale $\Pi \left(z, a + \dfrac{\omega'}{2}\right)$. D'après les formules~\Eq{(25)}, le troisième
cas se ramène au premier, et le quatrième au second; et, par
conséquent, dans l'intégrale de troisième espèce, lorsque la quantité~$n$
est réelle, on peut supposer le paramètre~$a$ réel ou de la forme~$ai$,
$a$~étant réelle.

Considérons le cas où la variable~$z$ est réelle. Si le paramètre~$a$ est
réel, le second membre de l'équation~\Eq{(22)} ne contient que des quantités
réelles. Si le paramètre~$a$ est imaginaire et de la forme~$a'i$, d'après la
définition, la fonction~$\Pi$ est imaginaire et de la forme~$Ai$; les termes
du second membre présentent la même forme, mais chacune des deux
\DPPageSep{457.png}{449}
fonctions $\theta(a - z)$, $\theta(a + z)$ dépend de trois quantités réelles
distinctes $k, z$ et~$a'$.

Considérons maintenant le cas où $z$~est imaginaire et de la forme~$yi$.
Lorsque le paramètre~$a$ est réel, ce cas se ramène au précédent par la
permutation du paramètre et de l'argument. Lorsque le paramètre~$a$ est
imaginaire et de la forme~$a'i$, les deux fonctions $\theta(a - z)$, $\theta(a + z)$
sont de la forme~$\theta(bi)$, $b$~étant réel, et on les obtient sans difficulté.


\Section{Remarques sur les périodes}

\Paragraph{279.} Considérons deux périodes correspondantes quelconques $\Omega$~et~$\Omega_{1}$
des intégrales elliptiques de première et de seconde espèces; ces
périodes sont les intégrales définies
\[
\Omega = \int \frac{dx}{\Delta x},\quad
\Omega_{1} = \int \frac{x^{2}\, dx}{\Delta x},
\]
relatives à un même cycle partant de l'origine et y revenant; ce sont
des fonctions du module~$k$ qui ont pour dérivées
\[
\frac{d\Omega}{dk}     = k\int \frac{x^{2}\, dx}{(1 - k^{2}x^{2})\Delta x},\quad
\frac{d\Omega_{1}}{dk} = k\int \frac{x^{4}\, dx}{(1 - k^{2}x^{2})\Delta x}.
\]
De l'égalité
\[
\Diff_{x}\, \frac{x(1 - x^{2})}{\Delta x}
  = \frac{1 - x^{2}}{\Delta x} - \frac{k'^{2}x^{2}}{(1 - k^{2}x^{2})\Delta x},
\]
on déduit par l'intégration
\[
\Tag{(30)}
\frac{d\Omega}{dk} = \frac{k}{k'^{2}}(\Omega - \Omega_{1}).
\]
On a d'ailleurs
\[
\frac{d\Omega}{dk} - k^{2}\, \frac{d\Omega_{1}}{dk} = k\Omega_{1},
\]
d'où
\[
\Tag{(31)}
\frac{d\Omega_{1}}{dk}
  = \frac{1}{kk'^{2}}\bigl[\Omega - (2 - k^{2}) \Omega_{1}\bigr].
\]
\DPPageSep{458.png}{450}
Des deux équations différentielles simultanées \Eq{(30)}~et~\Eq{(31)} on déduit
les équations différentielles du second ordre
\[
\Tag{(32)}
\frac{\Erratum{}{d}\left(kk'^{2}\, \dfrac{d\Omega}{dk}\right)}{dk} = k\Omega,\quad
\frac{d\left(k^{3}k'^{2}\, \dfrac{d\Omega_{1}}{dk}\right)}{dk}
  = 3k^{3}\Omega_{1},
\]
auxquelles satisfont séparément les périodes $\Omega$~et~$\Omega_{1}$.

Si l'on considère en particulier les cycles qui se rapportent à un
couple de périodes elliptiques $2\omega, \omega'$ de l'intégrale de première espèce,
il résulte de ce qui précède que les premières périodes $2\omega, 2\omega_{1}$ satisfont
aux équations différentielles simultanées \Eq{(30)}~et~\Eq{(31)}, ainsi qu'aux
équations du second ordre~\Eq{(32)}, et que les secondes périodes $\omega', \omega'_{1}$ satisfont
aussi à ces mêmes équations. En remplaçant dans les équations
\[
\frac{d\omega}{dk}  = \frac{k}{k'^{2}}(\omega - \omega_{1}),\quad
\frac{d\omega'}{dk} = \frac{k}{k'^{2}}(\omega' - \omega'_{1})
\]
$\omega_{1}$~et~$\omega'_{1}$ par leurs valeurs données par les formules~\Eq{(14)}, on obtient
les deux équations différentielles du premier ordre
\begin{align*}
\Tag{(33)}
\frac{d\omega}{dk}
  &= \frac{1}{kk'^{2}} \left[k^{2} - \frac{\theta''(0)}{\theta(0)}\right]\omega, \\
\Tag{(34)}
\frac{d\omega'}{dk}
  &= \frac{1}{kk'^{2}} \left[k^{2} - \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \frac{2\pi i}{\omega\omega'}\right]\omega',
\end{align*}
auxquelles satisfont $\omega, \omega'$; on en déduit
\[
\Tag{(35)}
\omega\, \frac{d\omega'}{dk} - \omega'\, \frac{d\omega}{dk}
  = \frac{2\pi i}{kk'^{2}}.
\]
\DPPageSep{459.png}{451}


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\Chapitre[Dével.\ des Fonctions Ellipt.\ en Séries Entières]
{II}{Développement des Fonctions Elliptiques en Séries Entières}

\Section{Développement de la fonction inverse}

\Paragraph{280.} Si l'on pose $u = \lambda(z)$, on~a
\[
\frac{du}{dz} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 + k^{2}) u^{2} + k^{2}u^{4}}}.
\]
Le second membre est développable suivant les puissances entières
de~$u$, pour les valeurs ayant un module inférieur à~$1$ ou au module de~$\dfrac{1}{k}$.
On obtient ce développement à l'aide d'une formule
\[
(1 - 2\alpha z + z^{2})^{-\efrac{1}{2}}
  = 1 + \frac{z}{1} \Diff_{\alpha} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)
  + \frac{z^{2}}{1·2} \Diff_{\alpha}^{2}\left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)^{2}
  + \ldots,
\]
établie au \no{97}. En remplaçant, dans cette formule, $z$~par~$ku^{2}$ et posant
$\alpha = \dfrac{1}{2} \left(k + \dfrac{1}{k}\right)$, on en déduit
\[
\bigl[1 - (1 + k^{2})u^{2} + k^{2}u^{4}\bigr]^{-\efrac{1}{2}}
  = 1 + \frac{ku^{2}}{1} \Diff_{\alpha} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)
  + \frac{k^{2} u^{4}}{1·2} \Diff_{\alpha}^{2} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)^{2}
  + \ldots,
\]
et, par suite; en intégrant,
\[
\Tag{(1)}
z = u
  + \frac{k}{1}\, \frac{u^{3}}{3}
    \Diff_{\alpha} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)
  + \frac{k^{2}}{1·2}\, \frac{u^{5}}{5}
    \Diff_{\alpha}^{2} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)^{2} + \ldots.
\]

Nous représenterons cette série par
\[
\Tag{(2)}
z = u + a_{1} u^{3} + a_{2} u^{5} + \ldots.
\]
\DPPageSep{460.png}{452}
Un coefficient quelconque
\[
\Tag{(3)}
a_{n} = \frac{1}{2n + 1}\, \frac{k^{n}}{1·2\cdots n}
  \Diff_{\alpha}^{n} \left(\frac{\alpha^{2} - 1}{2}\right)^{n}
\]
est un polynôme entier en~$k$, pair, réciproque et du degré~$2n$. Les
premiers coefficients sont
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  3 a_{1} &=& \alpha k, \\
  5 a_{2} &=& \dfrac{3 \alpha^{2} - 1}{1·2}\, k^{2}, \\
\Strut[22pt]
  7 a_{3} &=& \dfrac{15 \alpha^{3} - 9 \alpha}{1·2·3}\, k^{3}, \\
\Strut[22pt]
  9 a_{4} &=& \dfrac{105 \alpha^{4} - 90 \alpha^{2} + 9}{1·2·3·4}\, k^{4}, \\
\Strut[22pt]
  11 a_{5}
  &=& \dfrac{945\alpha^{5} - 1050\alpha^{3} + 225\alpha}{1·2·3·4·5}\, k^{5}, \\
\Strut[22pt]
  13 a_{6}
  &=& \dfrac{10395\alpha^{6} - 14175\alpha^{4} + 4725\alpha^{2} - 225}
            {1·2·3·4·5·6}\, k^{6}, \\
  \hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
En remplaçant $k\alpha$ par $\dfrac{k^{2} + 1}{2}$, on~a
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  3 a_{1}  &=& \dfrac{1 + k^{2}}{2}, \\
\Strut[22pt]
  5 a_{2}  &=& \dfrac{3 + 2k^{2} + 3k^{4}}{2·4}, \\
\Strut[22pt]
  7 a_{3}  &=& \dfrac{15 + 9k^{2} + 9k^{4} + 15k^{6}}{2·4·6}, \\
\Strut[22pt]
  9 a_{4}  &=& \dfrac{105 + 60k^{2} + 54k^{4} + 60k^{6} + 105k^{8}}{2·4·6·8}, \\
\Strut[22pt]
  11 a_{5} &=& \dfrac{945 + 525k^{2} + 450k^{4} + 450k^{6} + 525k^{8} + 945k^{10}}{2·4·6·8·10}, \\
  \hdotsfor{3}.
\end{array}
\]

Du développement précédent on déduit celui de~$z^{n}$, suivant les
puissances de~$u$. Si l'on pose
\[
\Tag{(4)}
z^{n} = u^{n} + a_{1}^{(n)} u^{n + 2} + a_{2}^{(n)} u^{n + 4} + \ldots,
\]
\DPPageSep{461.png}{453}
on a, en effet,
\[
\Tag{(5)}
a_{p}^{(n)}
  = \frac{1}{1·2\cdots 2p}
    \left[\Diff_{u}^{2p} \left(\frac{z}{u}\right)^{n}\right]_{u = 0},
\]
$\dfrac{z}{u}$ étant une fonction de~$u$, donnée par la série~\Eq{(2)}.


\Section{Développement des fonctions elliptiques}

\Paragraph{281.} Les fonctions $\lambda(z), \mu(z), \nu(z)$, ayant les mêmes infinis, se
développent en séries ordonnées suivant les puissances entières et
croissantes de~$z$, et convergentes dans un même cercle, qui a pour rayon
la distance de l'origine au pôle le plus voisin. Lorsque le multiplicateur~$g$
est égal à l'unité et le module~$k$ réel, positif et plus petit que~$1$,
si l'on choisit les périodes comme nous l'avons expliqué aux \nos~\nref{228}~et~\nref{229},
le rayon du cercle de convergence est~$\dfrac{\omega'}{2i}$.

La fonction~$\lambda(z)$ étant impaire, son développement est de la forme
\[
\Tag{(6)}
\lambda(z) = \frac{z}{1}
  - \A_{1}\, \frac{z^{3}}{1·2·3}
  + \A_{2}\, \frac{z^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots.
\]
De l'équation différentielle
\[
\frac{d\lambda}{dz} = 1 - (1 + k^{2})\lambda^{2} + k^{2}\lambda^{4},
\]
on déduit
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  \dfrac{d^{2} \lambda}{dz^{2}}
  &=& -(1 + k^{2})\lambda + 2 k^{2}\lambda^{3}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{3} \lambda}{dz^{3}}
  &=& -(1 + k^{2} - 6 k^{2}\lambda^{2})\, \dfrac{d\lambda}{dz}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{4}\lambda}{dz^{4}}
  &=& -(1 + k^{2} - 6 k^{2}\lambda^{2})\, \dfrac{d^{2}\lambda}{dz^{2}}
     + 12 k^{2}\lambda\, \dfrac{d\lambda}{dz}, \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
En faisant $\lambda = 0$, on obtient les valeurs des dérivées pour $z = 0$ et, par
conséquent, les coefficients de la série. Ces coefficients sont des polynômes
entiers en~$k$, pairs et à coefficients entiers. D'après sa définition
par l'équation différentielle (\no{221}), la fonction~$\lambda(z)$ se réduit à~$\sin z$,
lorsque le module~$k$ est nul et le multiplicateur~$g$ égal à l'unité; il en
résulte que les premiers termes de tous les polynômes, ordonnés par
\DPPageSep{462.png}{454}
rapport aux puissances croissantes de~$k$, sont égaux à l'unité, ce qui
est d'ailleurs évident par le calcul lui-même.

La relation
\[
\lambda \left(kz, \frac{1}{k}\right) = k \lambda (z, k),
\]
établie au \no{234}, fait voir que le polynôme~$\A_{n}$ satisfait à la relation
\[
\Tag{(7)}
\A_{n}(k) = k^{2n}\, \A_{n} \left(\frac{1}{k}\right),
\]
et, par conséquent, qu'il est de degré~$2n$ et réciproque.

Nous remarquerons encore la propriété suivante: si l'on pose
\[
x = \sqrt{2k}\, \lambda (z),\quad
\zeta = z \sqrt{2k},
\]
la série prend la forme
\[
x = \zeta - \frac{\A_{1}}{2k}\, \frac{\zeta^{3}}{1·2·3}
    + \frac{\A_{2}}{(2k)^{2}}\, \frac{\zeta^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots,
\]
et l'équation différentielle devient
\[
\left(\frac{dx}{d\zeta}\right)^{2}
  = 1 - \alpha x^{2} + \frac{1}{4} x^{4},
\]
d'où
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  \dfrac{d^{2}x}{d \zeta^{2}}
  &=& -\alpha x + \dfrac{1}{2} x^{3}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{3}x}{d \zeta^{3}}
  &=& -\left(\alpha - \dfrac{3}{2} x^{2}\right) \dfrac{dx}{d\zeta}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{4}x}{d \zeta^{4}}
  &=& -\left(\alpha - \dfrac{3}{2} x^{2}\right) \dfrac{d^{2}x}{d\zeta^{2}}
     + 3x \left(\dfrac{dx}{d\zeta}\right)^{2}, \\
  \hdotsfor{3};
\end{array}
\]
les valeurs des dérivées successives, pour $x = 0$, étant des fonctions
entières de~$\alpha$, à coefficients entiers, on en conclut que $\A_{n}$~est égal au
produit de~$(2k)^{n}$ par une fonction entière de~$\alpha$, à coefficients entiers.

Du développement précédent on déduit celui de~$\lambda^{n}(z)$, suivant les
\DPPageSep{463.png}{455}
puissances de~$z$. Soit
\[
\Tag{(8)}
\lambda^{n}(z)
  = \A_{0}^{(n)}\, \frac{z^{n}}{1·2\cdots n}
  - \A_{1}^{(n)}\, \frac{z^{n+2}}{1·2\cdots(n + 2)}
  + \A_{2}^{(n)}\, \frac{z^{n+4}}{1·2\cdots(n + 4)} + \ldots,
\]
on~a
\[
\Tag{(9)}
\A_{p}^{(n)} = (-1)^{p} (2p + 1)(2p + 2)\ldots(2p + n)
  \left[\Diff_{z}^{2p} \left(\frac{u}{z}\right)^{n}\right]_{z = 0},
\]
$\dfrac{u}{z}$ étant une fonction de~$z$, donnée par la série~\Eq{(6)}.

La formule de Lagrange établit des relations entre les coefficients
des séries \Eq{(6)}~et~\Eq{(8)} et ceux des séries inverses \Eq{(2)}~et~\Eq{(4)}. D'une part,
si l'on regarde $u$~comme une fonction implicite de~$z$, définie par
l'équation
\[
u = z\, \frac{1}{\;\left(\dfrac{z}{u}\right)\;},
\]
dans laquelle $\dfrac{z}{u}$~désigne la fonction de~$u$, donnée par la série~\Eq{(2)}, on~a
\begin{gather*}
\Tag{(10)}
\A_{p} = (-1)^{p} \left[
  \Diff_{u}^{2p}\, \frac{1}{\left(\dfrac{z}{u}\right)^{2p + 1}}
\right]_{u = 0}, \\
\Tag{(11)}
\A_{p}^{(n)} = (-1)^{p} (2p + 1)(2p + 2)\ldots(2p + n - 1) n \left[
  \Diff_{u}^{2p} \frac{1}{\left(\dfrac{z}{u}\right)^{2p + n}}
\right]_{u = 0}.
\end{gather*}
D'autre part, si l'on regarde~$z$ comme une fonction implicite de~$u$,
définie par l'équation
\[
z = u\, \frac{1}{\;\left(\dfrac{u}{z}\right)\;},
\]
dans laquelle $\dfrac{u}{z}$~désigne la fonction de~$z$, donnée par la série~\Eq{(6)}, on~a
\begin{align*}
\Tag{(12)}
a_{p} &= \frac{1}{1·2\cdots(2p + 1)} \left[
  \Diff_{z}^{2p}\, \frac{1}{\left(\dfrac{u}{z}\right)^{2p + 1}}
\right]_{z = 0}, \\
\Tag{(13)}
a_{p}^{(n)} &= \frac{n}{2p + n}\, \frac{1}{1·2\cdots 2p} \left[
  \Diff_{z}^{2p}\, \frac{1}{\left(\dfrac{u}{z}\right)^{2p + n}}
\right]_{z = 0}.
\end{align*}
\DPPageSep{464.png}{456}

\Paragraph{282.} Le développement de la fonction paire~$\mu(z)$ est de la forme
\[
\Tag{(14)}
\mu(z)
  = 1 - \B_{1}\, \frac{z^{2}}{1·2}
      + \B_{2}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots.
\]
De l'équation différentielle (\no{159})
\[
\left(\frac{d\mu}{dz}\right)^{2}
  = 1 - k^{2} + (2k^{2} - 1) \mu^{2} - k^{2}\mu^{4}
\]
on déduit
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  \dfrac{d^{2}\mu}{dz^{2}}
  &=& (2k^{2} - 1) \mu - 2k^{2}\mu^{3}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{3}\mu}{dz^{3}}
  &=& - \bigl[1 + (2k)^{2} - 6k^{2}(1 - \mu^{2})\bigr] \dfrac{d\mu}{dz}, \\
\Strut[22pt]
  \dfrac{d^{4}\mu}{dz^{4}}
  &=& - \bigl[1 + (2k)^{2} - 6k^{2}(1 - \mu^{2})\bigr] \dfrac{d^{2}\mu}{dz^{2}}
     - 3 (2k)^{2} \mu \left(\dfrac{d\mu}{dz}\right)^{2}, \\
  \hdotsfor{3};
\end{array}
\]
en faisant $\mu = 1$, on obtient les valeurs des dérivées successives pour
$z = 0$ et, par conséquent, les coefficients de la série. Ces coefficients
sont des polynômes entiers en~$k$, pairs et à coefficients entiers. La fonction~$\mu(z)$
se réduisant à~$\cos z$, lorsque le module~$k$ est nul, les premiers
termes de tous ces polynômes, ordonnés par rapport aux puissances
croissantes de~$k$, sont égaux à l'unité.

Remarquons que les valeurs des premières dérivées sont des fonctions
entières de~$2k$, à coefficients entiers, et que la même propriété se
continue, parce que la quantité $1 + (2k)^{2} - 6k^{2}(1 - \mu^{2})$, qui entre
dans l'expression de la seconde dérivée, se réduit à~$1 + (2k)^{2}$ et sa dérivée
à~$3(2k)^{2}$, de sorte que, dans le calcul ultérieur, les coefficients
de tous les termes, à partir du second, seront des fonctions entières
de~$2k$.

Le développement de la fonction paire~$\nu(z)$ est de la même forme
\[
\Tag{(15)}
\nu(z) = 1 - \C_{1}\, \frac{z^{2}}{1·2}
           + \C_{2}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots;
\]
l'équation différentielle
\[
\left(\frac{d\nu}{dz}\right)^{2}
  = - (1 - k^{2}) + (2 - k^{2}) \nu^{2} - \nu^{4}
\]
\DPPageSep{465.png}{457}
montre, comme précédemment, que les coefficients sont des polynômes
entiers en~$k$, pairs et à coefficients entiers. La fonction~$\nu(z)$ se réduisant
à une constante, lorsque le module~$k$ est nul, les coefficients $\C_{1}, \C_{2}, \ldots$
s'annulent et, par conséquent, renferment $k^{2}$~en facteur commun.

La relation
\[
\mu \left(kz, \frac{1}{k}\right) = \nu(z, k),
\]
démontrée au \no{234}, fait voir que les coefficients $\B$~et~$\C$ satisfont à la
relation
\[
\Tag{(16)}
\C_{n}(k) = k^{2n} \B_{n} \left(\frac{1}{k}\right).
\]
On en conclut que le polynôme~$\C_{n}(k)$ est du degré~$2n$, et, comme il
n'a pas de terme indépendant de~$k$, que le polynôme~$\B_{n}(k)$ est du
degré $2n - 2$.


\Section{Méthode de M.~Hermite}

\Paragraph{283.} Le calcul des coefficients par les dérivées successives est impraticable.
M.~Hermite a donné une méthode qui permet de trouver
directement un coefficient quelconque~$\B_{n}$ du développement de~$\mu(z)$
et qui n'exige que la résolution d'équations du premier degré. Cette
méthode repose sur une formule que l'on peut établir de la manière
suivante: considérons la fonction
\[
\phi(z) = A\, \frac{\lambda(z)\, \nu(z)}{\mu(z)},
\]
qui admet les deux périodes $\omega$~et~$\omega'$ et qui satisfait aux relations
\begin{gather*}
  \phi \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right) = - \phi(z), \\
  \phi \left(z + \frac{\omega'}{2}\right) \phi(z) = A^{2}.
\end{gather*}
La quantité $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$ joue, dans les propriétés de cette fonction, le même
\DPPageSep{466.png}{458}
rôle que la quantité~$\omega$ dans celles de la fonction proposée~$\lambda(z)$. Déterminons
la constante~$A$, de manière que la fonction~$\phi$ ait une valeur
égale à l'unité pour $z = \dfrac{\omega + \omega'}{4}$. De la relation
\[
\mu \left(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\right) \mu(z)
  = - \frac{ik'}{k}\qquad  \text{(\no{77})},
\]
on déduit
\[
\mu \left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right) = \sqrt{\frac{-ik'}{k}},
\]
d'où
\[
\lambda\left(\frac{\omega + \omega'}{\Erratum{k}{4}}\right)
  = \sqrt{\frac{k + ik'}{\Erratum{4}{k}}},\quad
\nu \left(\frac{\omega}{4}\right) = \sqrt{-ik' (k + ik')};
\]
on fera donc
\[
A = k - ik'.
\]
De cette manière, la fonction~$\phi(z)$ est une fonction~$\lambda$, admettant les
périodes elliptiques $\omega + \omega', \omega'$, au lieu de $2\omega, \omega'$. Si l'on désigne par
$g_{1}$~et~$k_{1}$ le multiplicateur et le module de cette nouvelle fonction~$\lambda$,
on~a
\[
g_{1} = A = k - ik',\quad
k_{1} = \frac{1}{A^{2}} = \frac{k + ik'}{k - ik'},
\]
et l'on obtient ainsi la formule
\[
\Tag{(17)}
\lambda \left[(k - ik')z, \frac{k + ik'}{k - ik'}\right]
  = (k - ik')\, \frac{\lambda(z, k)\, \nu(z, k)}{\mu(z, k)}.
\]
On en déduit
\[
\Tag{(18)}
\mu \left[(k - ik')z, \frac{k + ik'}{k - ik'}\right]
  = (k - ik')\, \frac{k \mu^{2}(z, k) + ik'}{\mu(z, k)},
\]
et, en changeant le signe de~$i$,
\[
\Tag{(19)}
\mu \left[(k + ik')z, \frac{k - ik'}{k + ik'}\right]
  = (k + ik')\, \frac{k \mu^{2}(z, k) - ik'}{\mu(z, k)};
\]
\DPPageSep{467.png}{459}
la combinaison de ces deux relations donne
\[
\Tag{(20)}
\left\{
\begin{aligned}
  (k + ik') \mu &\left[(k - ik') z, \frac{k + ik'}{k - ik'}\right] \\
+ (k - ik') \mu &\left[(k + ik') z, \frac{k - ik'}{k + ik'}\right]
  = 2k \mu (z, k).
\end{aligned}
\right.
\]

Si l'on pose $k = \cos\gamma$, cette dernière équation prend la forme
\[
\Tag{(21)}
  e^{ \gamma i}\, \mu (z e^{-\gamma i}, e^{ 2 \gamma i})
+ e^{-\gamma i}\, \mu (z e^{ \gamma i}, e^{-2 \gamma i})
= 2 \cos \gamma\, \mu (z, \cos \gamma).
\]
En remplaçant les fonctions~$\mu$ par leurs développements en séries, on
reconnaît que le polynôme~$\B_{n}(k)$, pair et du degré~$2n - 2$, satisfait à
la relation
\[
\Tag{(22)}
  e^{ (2n - 1) \gamma i} \B_{n} (e^{-2 \gamma i})
+ e^{-(2n - 1) \gamma i} \B_{n} (e^{ 2 \gamma i})
= 2 \cos \gamma \B_{n} (\cos \gamma).
\]
Soit
\[
\Tag{(23)}
\B_{n} (k) = b_{0} + b_{1} (2k)^{2} + b_{2} (2k)^{4} + \ldots
  + b_{n - 1} (2k)^{2n-2},
\]
la relation précédente devient
\[
\Tag{(24)}
  \sum_{q = 0}^{q = n-1} 2^{2q} b_{q} \cos (2n - 4q - 1) \gamma
= \sum_{p = 0}^{p = n-1} 2^{2p} b_{p} \cos^{2p+1} \gamma.
\]

Si l'on remplace les puissances de~$\cos\gamma$ par leurs expressions en
fonction des cosinus des multiples de l'arc~$\gamma$, expressions données par la
formule
\begin{multline*}
2^{2p} \cos^{2p+1} \gamma
  = \cos (2p + 1) \gamma + \frac{(2p + 1)}{1} \cos (2p - 1) \gamma \\
  + \frac{(2p + 1)2p}{1·2} \cos (2p - 3) \gamma + \ldots
  + \frac{(2p + 1)\ldots (p + 2)}{1·2\cdots p} \cos\gamma,
\end{multline*}
\DPPageSep{468.png}{460}
et, si l'on ordonne le second membre par rapport à ces cosinus, on la
transforme en la suivante:
\begin{multline*}
\Tag{(25)}
\sum_{q = 0}^{q = n-1} 2^{2q} b_{q} \cos (2n - 4q - 1) \gamma
  = \sum_{p = 0}^{p = n-1} \left[b_{p} + \frac{2p + 3}{1}\, b_{p+1} \right. \\
  + \left. \frac{(2p + 5)(2p + 4)}{1·2}\, b_{p+2} + \ldots
  + \frac{(2n - 1)\ldots(n + p + 1)}{1·2\cdots (n - p - 1)}\, b_{n-1}\right]
    \cos(2p + 1) \gamma\DPtypo{,}{.}
\end{multline*}
Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit~$\gamma$, les coefficients de
mêmes cosinus dans les deux membres doivent être égaux entre eux.
A une valeur donnée de~$p$ correspond pour~$q$ l'une des deux valeurs
$\dfrac{n - p - 1}{2}$, $\dfrac{n + p}{2}$, suivant que le nombre $2n - 4q - 1$ est positif ou
négatif; on a donc
\begin{multline*}
\Tag{(26)}
2^{n-p-1} b_{\tfrac{n-p-1}{2}}\quad\text{ou}\quad
2^{n+p} b_{\tfrac{n+p}{2}} = b_{p} + \frac{2p + 3}{1}\, b_{p+1} \\
  + \frac{(2p + 5)(2p + 4)}{1·2}\, b_{p+2} + \ldots
  + \frac{(2n - 1)\ldots(n + p + 1)}{1·2\cdots(n - p - 1)}\, b_{n-1}.
\end{multline*}
En attribuant à~$p$ les $n$~valeurs décroissantes $n-1, n-2, n-3,
n-4, \ldots, 0$, on obtient ainsi un système de $n$~équations linéaires et
homogènes
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  b_{0}
  &=& b_{n-1}, \\
  2^{2n-2} b_{n-1}
  &=& b_{n-2} + \dfrac{2n-1}{1}\, b_{n-1}, \\
\Strut[22pt]
  2^{2}b_{1}
  &=& b_{n-3} + \dfrac{2n-3}{1}\, b_{n-2}
              + \dfrac{(2n-1)(2n-2)}{1·2}\, b_{n-1}, \\
\Strut[22pt]
  2^{2n-4} b_{n-2}
  &=& \begin{aligned}[t]
    b_{n-4} + \dfrac{2n-5}{1}\, b_{n-3} &+ \dfrac{(2n-3)(2n-4)}{1·2}\, b_{n-2} \\
    &+ \dfrac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{1·2·3}\, b_{n-1},
  \end{aligned} \\
\hdotsfor{3}, \\
\left.
\begin{aligned}
2^{n-1} b_{\tfrac{n-1}{2}} & \\
2^{n} b_{\tfrac{n}{2}} &
\end{aligned}
\right\}
  &=& b_{0} + \dfrac{3}{1}\, b_{1} + \dfrac{5·4}{1·2}\, b_{2} + \ldots
    + \dfrac{(2n-1)\ldots(n + 1)}{1·2·3\cdots (n-1)}\, b_{n-1},
\end{array}
\]
entre les $n$~nombres entiers cherchés $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n-1}$; mais ces
\DPPageSep{469.png}{461}
équations se réduisent à $n-1$~équations distinctes; car, en les ajoutant
membre à membre, on a la même identité qu'en faisant $\gamma = 0$
dans l'équation~\Eq{(21)}. On connaît le premier coefficient $b_{0} = 1$; le
système des $n-1$~équations linéaires permettra de déterminer les
autres. Remarquons que le dernier coefficient~$b_{n-1}$, est aussi égal à~$1$.

\Paragraph{284.} Appliquons cette méthode au cas où $n = 7$; nous aurons à
résoudre les cinq équations
\begin{align*}
  2^{12} &= b_{5} + \frac{13}{1}, \\
  2^{2}b_{1} &= b_{4} + \frac{11}{1}\, b_{5} + \frac{13·12}{1·2}, \\
  2^{10} b_{5}
  &= b_{3} + \frac{9}{1} b_{4}\, + \frac{11·10}{1·2}\, b_{5}
           + \frac{13·12·11}{1·2·3}, \\
  2^{4}b_{2}
  &= b_{2} + \frac{7}{1}\, b_{3} + \frac{9·8}{1·2}\, b_{4}
           + \frac{11·10·9}{1·2·3}\, b_{5} + \frac{13·12·11·10}{1·2·3·4}, \\
  2^{8} b_{4}
  &= b_{1} + \frac{5}{1}\, b_{2} + \frac{7·6}{1·2}\, b_{3}
           + \frac{9·8·7}{1·2·3}\, b_{4} + \frac{11·10·9·8}{1·2·3·4}\, b_{5}
           + \frac{13·12·11·10·9}{1·2·3·4·5}.
\end{align*}
On en déduit
\[
b_{1} = 74733,\quad
b_{2} = 1434066,\quad
b_{3} = 1670672,\quad
b_{4} = 253941,\quad
b_{5} = 4083.
\]

Voici les premiers coefficients du développement de~$\mu(z)$:
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\B_{1} &=& 1, \\
\B_{2} &=& 1 + (2k)^{2}, \\
\B_{3} &=& 1 + 11 (2k)^{2} + (2k)^{4}, \\
\B_{4} &=& 1 + 102 (2k)^{2} + 57 (2k)^{4} + (2k)^{6}. \\
\B_{5} &=& 1 + 922 (2k)^{2} + 1923 (2k)^{4} + 247 (2k)^{6} + (2k)^{8}, \\
\B_{6} &=& 1 + 8303 (2k)^{2} + 54415 (2k)^{4} + 24040 (2k)^{6} + 1013 (2k)^{8} + (2k)^{10}, \\
\B_{7} &=& \begin{aligned}[t]
    1 &+ 74733 (2k)^{2} + 1434066 (2k)^{4} + 1670672 (2k)^{6} + 253941 (2k)^{8} \\
      &+ 4083 (2k)^{10} + (2k)^{12},
    \end{aligned} \\
\B_{8} &=& \begin{aligned}[t]
  1 &+ 672604 (2k)^{2} + 36644374 (2k)^{4} + 99026018 (2k)^{6} + 38517533 (2k)^{8} \\
  &+ 2477514 (2k)^{10} + 16369 (2k)^{12} + (2k)^{14},
\end{aligned} \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
\DPPageSep{470.png}{462}

On en déduit immédiatement, d'après la relation~\Eq{(16)}, ceux du développement
de~$\nu(z)$
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
  \C_{1} &=& k^{2}, \\
  \C_{2} &=& k^{2}(k^{2} + 2^{2}), \\
  \C_{3} &=& k^{2}(k^{4} + 11·2^{2}k^{2} + 2^{4}), \\
  \hdotsfor{3}.
\end{array}
\]

Une fois que l'on connaît les développements de~$\mu(z)$ et de~$\nu(z)$,
on obtient aisément celui de~$\lambda(z)$; car la relation $\lambda'(z) = \mu(z) \nu(z)$
donne
\[
\A_{n} = \B_{n} + \frac{2n(2n-1)}{1·2} \B_{n-1} \C_{1}
  + \frac{2n(2n-1\Add{)}(2n-2)(2n-3)}{1·2·3·4} \B_{n-2} \C_{2}
  + \dots +  \C_{n};
\]
en groupant les termes deux à deux, on a un polynôme en~$k$, réciproque
et du degré~$2n$. On trouve ainsi
\[
\begin{array}{@{}r@{\,}c@{\,}l}
\A_{1} &=& 1 + k^{2}, \\
\A_{2} &=& (1 + k^{4}) + 14 k^{2}, \\
\A_{3} &=& (1 + k^{6}) + 135 k^{2}(1 + k^{2}), \\
\A_{4} &=& (1 + k^{8}) + 1228 k^{2}(1 + k^{4}) + 5478 k^{4}, \\
\A_{5} &=& (1 + k^{10}) + 11069 k^{2}(1 + k^{6}) + 165826 k^{4}(1 + k^{2}), \\
\A_{6} &=& (1 + k^{12}) + 99642 k^{2}(1 + k^{8}) + 4494351 k^{4}(1 + k^{4})
              + 13180268 k^{6}, \\
\A_{7} &=& (1 + k^{14}) + 896803 k^{2}(1 + k^{10}) + 116294673 k^{4}(1 + k^{6})
              + 834687179 k^{6} (1 + k^{2}), \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
Ces coefficients, exprimés à l'aide de la quantité~$\alpha$, comme on l'a dit au
\no{281}, prennent la forme plus simple
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\A_{1} &=& (2k) \alpha, \\
\A_{2} &=& (2k)^{2} (\alpha^{2} + 3), \\
\A_{3} &=& (2k)^{3} (\alpha^{3} + 33 \alpha), \\
\A_{4} &=& (2k)^{4} (\alpha^{4} + 306 \alpha^{2} + 189), \\
\A_{5} &=& (2k)^{5} (\alpha^{5} + 2766 \alpha^{3} + 8289 \alpha), \\
\A_{6} &=& (2k)^{6} (\alpha^{6} + 24909 \alpha^{4} + 255987 \alpha^{2} + 68607), \\
\A_{7} &=& (2k)^{7} (\alpha^{7} + 224199 \alpha^{5} + 6988167 \alpha^{3} + 7660737 \DPtypo{a}{\alpha}), \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
\DPPageSep{471.png}{463}

En multipliant par lui-même le développement de~$\lambda(z)$, on obtient
celui de~$\lambda^{2}(z)$, que nous avons représenté par
\[
\Tag{(27)}
\lambda^{2}(z)
  = \A_{0}^{(2)}\, \frac{z^{2}}{1·2}
  - \A_{1}^{(2)}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4}
  + \A_{2}^{(2)}\, \frac{z^{6}}{1·2\cdots 6} - \ldots.
\]
On trouve
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\A_{0}^{(2)} &=& 2, \\
\A_{1}^{(2)} &=& 2^{4} k \alpha, \\
\A_{2}^{(2)} &=& 2^{4} k^{2}(2^{3}\alpha^{2} + 9), \\
\A_{3}^{(2)} &=& 2^{8} k^{3}(2^{2}\alpha^{3} + 27 \alpha), \\
\A_{4}^{(2)} &=& 2^{9} k^{4}(2^{4}\alpha^{4} + 486 \alpha^{2} + 189), \\
\A_{5}^{(2)} &=& 2^{12} k^{5} (2^{4}\alpha^{5} + 2016 \alpha^{3}+ 3429 \alpha), \\
\A_{6}^{(2)} &=& 2^{11} k^{\DPtypo{5}{6}} (2^{8} \alpha^{6} + 130464 \alpha^{4} + 667872 \alpha^{2} + 130977), \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
La fonction~$\lambda^{2}(z)$ se réduisant à~$\sin^{2}z$ ou à~$\dfrac{1 - \cos 2z}{2}$, lorsque le module~$k$
devient nul et, par suite, $k \alpha$~égal à~$\frac{1}{2}$, le coefficient du premier
terme de~$\A_{p}^{(2)}$ est~$2^{3p+1}$.


\Section{Expression de $\lambda^{2n+1} (z)$ en fonction de~$\lambda (z)$ et de ses dérivées}

\Paragraph{285.} Nous avons vu (\no{166}) qu'une puissance impaire de~$\lambda(z)$ est
égale à une fonction linéaire de~$\lambda(z)$ et de ses dérivées d'ordres pairs,
et que si l'on pose
\[
\frac{1}{\lambda^{2n+1} (z)}
  = \frac{1}{z^{2n+1}} + \frac{A_{2n-1}}{z^{2n-1}} + \ldots
  + \frac{A_{1}}{z} + \ldots,
\]
le multiplicateur~$g$ étant supposé égal à l'unité, on~a
\[
\Tag{(28)}
\left\{
\begin{aligned}
k^{2n} \lambda^{2n + 1} (z)
  &= A_{1} \lambda(z) + \frac{A_{3}}{1·2}\, \lambda''(z) + \ldots \\
  &\quad + \frac{A_{2n-1}}{1·2\cdots (2n-2)}\, \lambda^{(2n-2)}(z)
  + \frac{1}{1·2\cdots 2n}\, \lambda^{(2n)}(z).
\end{aligned}
\right.
\]

On peut exprimer les coefficients $A_{1}, A_{3}, \ldots$ au moyen des coefficients~$a_{p}^{(n)}$
\DPPageSep{472.png}{464}
considérés au \no{280}. On a, en effet,
\[
\left(\frac{z}{\lambda(z)}\right)^{2n + 1}
  = 1 + A_{2n-1} z^{2} + A_{2n-3} z^{4} + \ldots + A_{1} z^{2n} + \ldots;
\]
d'où
\[
A_{2n+1-2p}
  = \frac{1}{1·2\cdots 2p}
  \left[\Diff_{z}^{2p} \left(\frac{z}{\lambda(z)}\right)^{2n+1}\right]_{z = 0}.
\]
Mais, si dans la formule~\Eq{(13)} on remplace~$n$ par~$2n - 2p + 1$, on~a
\[
a_{p}^{2n+1-2p}
  = \frac{2n - 2p + 1}{2n + 1}\, \frac{1}{1·2\cdots 2p}
  \left[\Diff_{z}^{2p} \left(\frac{z}{\lambda(z)}\right)^{2n+1} \right]_{z = 0};
\]
on en déduit
\[
\Tag{(29)}
A_{2n+1-2p} = \frac{2n + 1}{2n + 1 - 2p}\, a_{p}^{(2n+1-2p)},
\]
et l'équation~\Eq{(28)} devient
\[
\Tag{(30)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{k^{2n} \lambda^{2n+1} (z)}{2n + 1}
   = \frac{a_{n}}{1}\, \lambda(z)
   + \frac{a_{n-1}^{(3)}}{1·2·3}\, \lambda''(z) + \ldots \\
  &\qquad\qquad
   + \frac{a_{1}^{(2n-1)}}{1·2\cdots (2n-1)}\, \lambda^{(2n-2)} (z)
   + \frac{1}{1·2\cdots (2n + 1)}\, \lambda^{(2n)} (z).
\end{aligned}
\right.
\]

En remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$, on a l'expression de $\dfrac{1}{\lambda^{2n+1} (z)}$ par une
fonction linéaire de~$\lambda \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)$ et de ses dérivées.


\Section{Expression de~$\lambda^{2n}(z)$ en fonction de $\lambda^{2}(z)$ et de ses dérivées}

\Paragraph{286.} Nous avons vu (\no{167}) qu'une puissance paire de~$\lambda(z)$ est
égale à une fonction linéaire de~$\lambda^{2}(z)$ et de ses dérivées d'ordres pairs,
et que, si l'on pose
\[
\frac{1}{\lambda^{2n} (z)}
  = \frac{1}{z^{2n}} + \frac{A_{2n-2}}{z^{2n-2}} + \ldots
  + \frac{A_{2}}{z^{2}} + \ldots,
\]
on~a
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(31)}
\begin{aligned}[t]
k^{2n-2} D \lambda^{2n} (z)
  = \frac{A_{2}}{1}\, \Diff \lambda^{2}(z)
  &+ \frac{A_{4}}{1·2·3}\, \Diff^{3}\lambda^{2}(z) + \ldots \\
  &+ \frac{1}{1·2\cdots (2n-1)}\, \Diff^{2n-1} \lambda^{2}(z).
\end{aligned}
\]
\DPPageSep{473.png}{465}
Les coefficients $A_{2}, A_{4}, \ldots$ s'expriment aussi par les coefficients~$a_{p}^{(n)}$;
on~a
\[
\Tag{(32)}
A_{2n-2p} = \frac{2n}{2n - 2p}\, a_{p}^{(2n-2p)},
\]
et l'équation précédente devient
\begin{align*}
%[** TN: Breaking]
\frac{k^{2n-2}\, \Diff\lambda^{2n} (z)}{2n}
  = \frac{a_{n-1}^{(2)}}{1·2}\, \Diff\lambda^{2}(z)
  &+ \frac{a_{n-2}^{(4)}}{1·2·3·4}\, \Diff^{3}\lambda^{2}(z) + \ldots \\
  &+ \frac{1}{1·2\cdots 2n}\, \Diff^{2n-1}\lambda^{2}(z).
\end{align*}

Si l'on intègre de~$0$ à~$z$, en observant que, d'après la série~\Eq{(27)}, la
valeur de~$\Diff^{2p} \lambda^{2}(z)$, pour $z = 0$, est égale à $(-1)^{p-1} \A_{p-1}^{(2)}$, on a finalement
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{k^{2n-2} \lambda^{2n}(z)}{2n}
  &= \frac{a_{n-1}^{(2)}}{1·2}\, \lambda^{2}(z) \\
  &+ \frac{a_{n-2}^{(4)}}{1·2·3·4}\, \Diff^{2}\lambda^{2}(z) + \dots \\
  &+ \frac{1}{1·2\cdots 2n}\, \Diff^{2n-2} \lambda^{2}(z) \\
  &- \left[
     \frac{a_{n-2}^{(4)} \A_{0}^{(2)}}{1·2·3·4}
   - \frac{a_{n-3}^{(6)} \A_{1}^{(2)}}{1·2\cdots 6} + \ldots
   + (-1)^{n}\, \frac{\A_{n-2}^{(2)}}{1·2\cdots 2n}\right].
\end{aligned}
\right.
\]

En remplaçant~$z$ par $z + \dfrac{\omega'}{2}$, on a l'expression de~$\dfrac{1}{\lambda^{2n}(z)}$ par une
fonction linéaire de~$\lambda^{2}\left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)$ et de ses dérivées.


\Section{Fonctions de M.~Weierstrass}

\Paragraph{287.} D'après les relations établies au~\no{169}, lorsque le multiplicateur~$g$
est égal à l'unité, les fonctions~$\theta$ satisfont aux équations différentielles
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{alignedat}{6}
&\Diff^{2} \log \theta(z) &&+ k^{2}\lambda^{2}(z) &&= H,\quad
&&\Diff^{2} \log \theta_{1}(z) &&+ \ \ \frac{1}{\lambda^{2}(z)} &&= H, \\
&\Diff^{2} \log \theta_{2}(z) &&+ \ \frac{\nu^{2}(z)}{\mu^{2}(z)} &&= H,
&&\Diff^{2} \log \theta_{3}(z) &&+ k^{2}\, \frac{\mu^{2}(z)}{\nu^{2}(z)} &&= H,
\end{alignedat}
\right.
\]
dans lesquelles $H$~désigne la constante~$\dfrac{\theta''(0)}{\theta(0)}$. On simplifie ces équations
en substituant aux fonctions~$\theta$ les fonctions~$\Al$ (initiales du mot \emph{alle})
de M.~Weierstrass, fonctions définies par les formules
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
\Al (z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\theta(z)}{\theta(0)}, &
\Al_{1} (z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\theta_{1}(z)}{\theta'_{1}(0)}, \\
\Al_{2} (z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{2}(0)}, &
\Al_{3} (z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{3}(0)}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{474.png}{466}
En désignant par~$H$\DPnote{** Italic H in orig} la nouvelle constante $\dfrac{\vartheta''(0)}{\vartheta(0)}$ égale à $H + \dfrac{2\pi i}{\omega\omega'}$, on~a
aussi (\no{173})
\[
\Tag{(3)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\Al(z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\vartheta(z)}{\vartheta (0)},\quad &
\Al_{1}(z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\vartheta_{1}(z)}{\vartheta'_{1}(0)}, \\
\Al_{2}(z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\vartheta_{2}(z)}{\vartheta_{2}(0)}, &
\Al_{3}(z) &= e^{\efrac{-Hz^{2}}{2}}\, \frac{\vartheta_{3}(z)}{\vartheta_{3}(0)}.
\end{alignedat}
\right.
\]
Les trois fonctions $\Al(z), \Al_{2}(z), \Al_{3}(z)$ sont paires et se réduisent
à l'unité pour $z = 0$; la fonction $\Al_{1}(z)$ est impaire et sa dérivée est
égale à l'unité pour $z = 0$. Comme on~a
\[
\Tag{(4)}
\lambda(z) = \frac{\Al_{1}(z)}{\Al(z)},\quad
\mu(z) = \frac{\Al_{2}(z)}{\Al(z)},\quad
\nu(z) = \frac{\Al_{3}(z)}{\Al(z)},
\]
les quatre fonctions~$\Al$ satisfont aux relations
\[
\Tag{(5)}
\Al_{2}^{2} + \Al_{1}^{2} = \Al_{3}^{2} = k^{2} \Al_{1}^{2} = \Al^{2}.
\]
Les équations~\Eq{(1)} deviennent
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{alignedat}{6}
&\Diff^{2} \log \Al(z) &&+ k^{2} \lambda^{2}(z) &&= 0,\quad
&&\Diff^{2} \log \Al_{1}(z) &&+ \ \ \frac{1}{\lambda^{2}(z)} &&= 0, \\
&\Diff^{2} \log \Al_{2}(z) &&+ \ \frac{\nu^{2}(z)}{\mu^{2}(z)} &&= 0,
&&\Diff^{2} \log \Al_{3}(z) &&+ k^{2}\, \frac{\mu^{2}(z)}{\nu^{2}(z)} &&= 0;
\end{alignedat}
\right.
\]
on peut les mettre sous la forme
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
&\Al \frac{d^{2} \Al}{dz^{2}} &&- \left(\frac{d \Al}{dz}\right)^{2}
  &&+ k^{2} &&\Al_{1}^{2} = 0, \\
&\Al_{1} \frac{d^{2} \Al_{1}}{dz^{2}} &&- \left(\frac{d \Al_{1}}{dz}\right)^{2}
  &&{}+{} &&\Al^{2} = 0, \\
&\Al_{2} \frac{d^{2} \Al_{2}}{dz^{2}} &&- \left(\frac{d \Al_{2}}{dz}\right)^{2}
  &&{}+{} &&\Al_{3}^{2} = 0, \\
&\Al_{3} \frac{d^{2} \Al_{3}}{dz^{2}} &&- \left(\frac{d \Al_{3}}{dz}\right)^{2}
  &&+ k^{2} &&\Al_{2}^{2} = 0.
\end{alignedat}
\right.
\]

Les fonctions $\Al(z)$, étant holomorphes, sont développables en séries
ordonnées suivant les puissances entières de~$z$, et convergentes pour
toutes les valeurs de~$z$. Nous représenterons ces séries par
\[
\Tag{(8)}
\left\{
\begin{aligned}
\Al (z)
  &= 1 - \fraka^{(1)}\, \frac{z^{2}}{1·2}
       + \fraka^{(2)}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4}  - \ldots, \\
\Al_{1}(z)
  &= z - \fraka_{1}^{(1)}\, \frac{z^{3}}{1·2·3}
       + \fraka_{1}^{(2)}\, \frac{z^{5}}{1·2·3·4·5} - \ldots, \\
\Al_{2}(z)
  &= 1 - \fraka_{2}^{(1)}\, \frac{z^{2}}{1·2}
       + \fraka_{2}^{(2)}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots, \\
\Al_{3}(z)
  &= 1 - \fraka_{3}^{(1)}\, \frac{z^{2}}{1·2}
       + \fraka_{3}^{(2)}\, \frac{z^{4}}{1·2·3·4} - \ldots.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{475.png}{467}
On obtient les coefficients des deux dernières séries en différentiant
plusieurs fois successivement les deux dernières des équations~\Eq{(7)},
faisant ensuite $z = 0$ et tenant compte des conditions initiales
$\Al_{2}(0) = \Al_{3}(0) = 1$, $\Al'_{2}(0) = \Al'_{3}(0) = 0$; ceci montre que les
coefficients $\fraka_{2}$~et~$\fraka_{3}$ sont des polynômes entiers en~$k$, pairs, et à coefficients
entiers. La première des équations~\Eq{(7)}, mise sous la forme
\[
\Al\, \frac{d^{2} \Al}{dz^{2}} - \left(\frac{d \Al}{dz}\right)^{2}
  + k^{2} \Al^{2} - k^{2} \Al_{2}^{2} = 0,
\]
et différentiée plusieurs fois successivement, donne les coefficients du
développement de~$\Al(z)$ à l'aide de ceux du développement de~$\Al_{2}(z)$.
De la relation $\Al_{1}(z) = \lambda(z) \Al(z)$, on déduira enfin ceux du développement
de~$\Al_{1}(z)$. Ces coefficients sont aussi des polynômes entiers
en~$k$, pairs, et à coefficients entiers. Les séries par lesquelles s'expriment
les quatre fonctions~$\Al(z)$ étant convergentes pour toutes les
valeurs de~$z$ et de~$k$, il en résulte que ces fonctions sont holomorphes,
non-seulement par rapport à~$z$, mais encore par rapport à~$k$, pour
toutes les valeurs de ces variables.

\Paragraph{288.} Les fonctions~$\Al$ n'admettent aucune période, mais elles rentrent
dans la catégorie des fonctions intermédiaires dont nous avons
parlé dans le \Ref{4.3}{Chapitre~III du Livre~IV}; quand on remplace~$z$ par $z + \omega$
ou par~$z + \omega'$, elles sont multipliées par les quantités
\[
± e^{-k^{2}\omega_{1} \bigl(z + \efrac{\omega}{2}\bigr)},\quad
± e^{-k^{2}\omega'_{1} \bigl(z + \efrac{\omega'}{2}\bigr)},
\]
$\omega_{1}$~et~$\omega'_{1}$ étant les périodes de l'intégrale elliptique de seconde espèce
données par les formules~\Eq[273]{(14)} du \no{273}.

D'après les formules du \no{\Erratum{201}{221}}, lorsque le module~$k$ est nul, la
première période~$\omega$ devient égale à~$\pi$, la seconde~$\omega'$ infinie, et la
quantité~$q$ est nulle; les deux fonctions $\Al(z)$~et~$\Al_{3}(z)$ se réduisent
à l'unité, la fonction $\Al_{1}(z)$ à~$\sin z$, la fonction $\Al_{2}(z)$ à~$\cos z$.

D'après leur définition (\nos~\nref{73}~et~\nref{173}), les fonctions $\theta$~et~$\vartheta$ sont homogènes
et du degré zéro par rapport aux trois quantités $z, \omega, \omega'$ qu'elles
renferment; elles ne changent pas lorsqu'on multiplie ces trois quantités
par une même quantité, et, par conséquent, les fonctions $\theta(z, g, k)$,
$\vartheta(z, g, k)$ s'expriment à l'aide de fonctions dont le multiplicateur est
\DPPageSep{476.png}{468}
égal à l'unité; elles sont respectivement égales aux fonctions $\theta(gz, k)$,
$\vartheta(gz, k)$. Nous avons trouvé (\no{234}) les relations qui existent entre
les fonctions~$\theta$ ou les fonctions~$\vartheta$ relatives à deux modules réciproques;
des relations~\Eq{(35)},
\[
\frac{\vartheta_{3} \left(kz, \dfrac{1}{k}\right)}{\vartheta_{2} (z, k)}
  = \frac{\vartheta_{2} \left(kz, \dfrac{1}{k}\right)}{\vartheta_{3} (z, k)}
  = \frac{\vartheta \left(kz, \dfrac{1}{k}\right)}{\sqrt{i} \vartheta (z, k)}
  = \frac{\vartheta_{1} \left(kz, \dfrac{1}{k}\right)}{\sqrt{i} \vartheta (z, k)}
  = 1,
\]
on déduit les relations
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\Al \left(kz, \frac{1}{k}\right) &= \Al(z, k),\quad &
\Al_{1} \left(kz, \frac{1}{k}\right) &= k \Al_{1} (z, k), \\
\Al_{2} \left(kz, \frac{1}{k}\right) &= \Al_{3}(z, k), &
\Al_{3} \left(kz, \frac{1}{k}\right) &= \Al_{2}(z, k),
\end{alignedat}
\right.
\]
entre les fonctions~$\Al$ relatives à deux modules réciproques.

On conclut de là que les coefficients des séries satisfont aux relations
\[
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\fraka^{(n)} (k)
  &= k^{2n} \fraka^{(n)} \left(\frac{1}{k}\right),\quad &
\fraka_{1}^{(n)} (k)
  &= k^{2n} \fraka_{1}^{(n)} \left(\frac{1}{k}\right), \\
\fraka_{3}^{(n)} (k)
  &= k^{2n} \fraka_{2}^{(n)} \left(\frac{1}{k}\right), &
\fraka_{2}^{(n)} \DPtypo{}{(k)}
  &= k^{2n} \fraka_{3}^{(n)} \left(\frac{1}{k}\right).
\end{alignedat}
\right.
\]
Il en résulte que les polynômes $\fraka^{(n)}$~et~$\fraka_{1}^{(n)}$ sont réciproques par rapport
à~$k$, et que les polynômes $\fraka_{2}^{(n)}$~et~$\fraka_{3}^{(n)}$ se déduisent l'un de l'autre. Les
polynômes $\fraka^{(n)}$~et~$\fraka_{3}^{(n)}$ s'annulant pour $k = 0$ et les deux autres se réduisant
à l'unité, $\fraka^{(n)}$~et~$\fraka_{2}^{(n)}$ sont du degré $2n - 2$, $\fraka_{1}^{(n)}$~et~$\fraka_{3}^{(n)}$ du degré~$2n$.

En éliminant $\lambda(z)$ entre la première des équations~\Eq{(6)} et l'équation
\[
\lambda'^{2}(z)
  = \bigl[1 - \lambda^{2}(z)\bigr] \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z)\bigr],
\]
on arrive à l'équation différentielle du troisième ordre
\[
\Tag{(11)}
\bigl[\Diff^{3} \log \Al(z)\bigr]^{2}
  + 4 \Diff^{2} \log \Al(z) \bigl[1 + \Diff^{2} \log \Al(z)\bigr]
    \bigl[k^{2} + \Diff^{2} \log \Al(z)\bigr] = 0.
\]
Quand on remplace~$z$ par l'une des quantités $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$,
la fonction $\Diff^{2} \log \Al(z)$ se change en $\Diff^{2} \log \Al_{3}(z)$, $\Diff^{2} \log \Al_{1}(z)$,
\DPPageSep{477.png}{469}
$\Diff^{2} \log \Al_{2}(z)$; il en résulte que les quatre fonctions $\log \Al(z)$ satisfont
à cette même équation différentielle.

\Paragraph{289.} On abrége le calcul des séries à l'aide d'équations aux différentielles
partielles, auxquelles satisfont les fonctions holomorphes~$\Al(z)$
des deux variables $z$~et~$k$. Considérons d'abord les fonctions~$\theta$, représentées
par les formules~\Eq[74]{(8)} du \no{74}; le multiplicateur~$g$ étant supposé
égal à l'unité, la période~$\omega$, donnée par la formule~\Eq[205]{(31)} du \no{205}, est
une fonction de~$q$; les fonctions~$\theta$ dépendent donc uniquement des deux
quantités $z$~et~$q$. De l'expression
\[
  \theta(z)
  = 1 + 2 \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} q^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega},
\]
on déduit
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\frac{\dd \theta}{\dd z}
  &= -\frac{4\pi}{\omega}
     \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} n q^{n^{2}} \sin \frac{2n\pi z}{\omega}, \\
\frac{\dd^{2} \theta}{\dd z^{2}}
  &= -\frac{8\pi^{2}}{\omega^{2}}
     \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} n^{2}q^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega},
\end{aligned} \\
\frac{\dd \theta}{\dd \log q}
  = 2 \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} n^{2} q^{n^{2}} \cos \frac{2n\pi z}{\omega}
    + \frac{4\pi z}{\omega}\, \frac{d \log \omega}{d \log q}
       \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} n q^{n^{2}} \sin \frac{2n\pi z}{\omega},
\end{gather*}
d'où
\[
\Tag{(12)}
\frac{\dd \theta}{\dd \log q}
  + \frac{\omega^{2}}{4\pi^{2}}\, \frac{\dd^{2} \theta}{\dd z^{2}}
  + \frac{d \log \omega}{d \log q}\, z \frac{\dd \theta}{\dd z} = 0.
\]
En répétant le même calcul, on reconnaît que les trois autres fonctions~$\theta$
satisfont à cette même équation aux différentielles partielles. Des formules
\Eq[279]{(33)}~et~\Eq[279]{(34)} du \no{279} on tire
\begin{align*}
  d \log \omega &= \frac{k^{2} - H}{kk'^{2}}\, dk, \\
  d \log q &= \pi id \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)
  = \frac{2\pi^{2}}{kk'^{2}\omega^{2}}\, dk,
\end{align*}
et l'équation~\Eq{(12)} devient
\[
\Tag{(13)}
\frac{\dd^{2} \theta}{\dd z^{2}} + 2(k^{2} - H) z\, \frac{\dd \theta}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \theta}{\dd k} = 0.
\]
\DPPageSep{478.png}{470}

\Paragraph{290.} Remplaçons maintenant la fonction~$\theta$ par sa valeur
\[
\theta(z) = \theta(0) e^{\efrac{Hz^{2}}{2}} \Al(z);
\]
l'équation se transforme en la suivante:
\[
\Tag{(14)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd^{2} \Al}{\dd z^{2}} + 2 k^{2}z\, \frac{\dd \Al}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \Al}{\dd k}
  &+ \left(2k^{2}H - H^{2} + kk'^{2}\, \frac{dH}{dk}\right) z^{2} \Al \\
  &\quad + \left[H + 2kk'^{2}\, \frac{d \log \theta(0)}{dk}\right] \Al = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
De la relation
\[
H = k^{2} - \frac{kk'^{2}}{\omega}\, \frac{d\omega}{dk},
\]
on déduit
\[
\frac{dH}{dk} = 2k - \frac{1}{\omega}\,
  \frac{d \left(kk'^{2}\, \dfrac{d\omega}{dk}\right)}{dk}
  + \frac{kk'^{2}}{\omega^{2}} \left(\frac{d\omega}{dk}\right)^{2},
\]
et, en vertu de l'équation~\Eq[279]{(32)} du \no{279},
\[
\frac{dH}{dk} = k + kk'^{2} \left(\frac{d \log \omega}{dk}\right)^{2}
  = \frac{k^{2} - 2k^{2}H + H^{2}}{kk'^{2}}.
\]
Le coefficient du quatrième terme de l'équation~\Eq{(14)} se réduit ainsi
à~$k^{2}$. L'équation~\Eq{(13)} est la même pour les quatre fonctions~$\theta$; les
équations analogues à l'équation~\Eq{(14)}, et qui se rapportent aux quatre
fonctions~$\Al$, ne diffèrent que par le coefficient du dernier terme; il
suffit de remplacer dans ce coefficient~$\theta(0)$ par l'une des quantités
$\theta'_{1}(0), \theta_{2}(0), \theta_{3}(0)$. Des relations
\[
\theta(0) = \sqrt{\frac{\omega k'}{\pi}},\quad
\theta'_{1}(0) = \sqrt{\frac{\omega kk'}{\pi}},\quad
\theta_{2}(0) = \sqrt{\frac{\omega k}{\pi}},\quad
\theta_{3}(0) = \sqrt{\frac{\omega}{\pi}},
\]
établies au \no{205}, on déduit
\begin{align*}
  H &= -2kk'^{2}\, \frac{d \log \theta(0)}{dk}
     = k'^{2} - 2kk'^{2}\, \frac{d \log \theta'_{1}(0)}{dk} \\
    &= 1 - 2kk'^{2}\, \frac{d \log \theta_{2}(0)}{dk}
     = k^{2} - 2kk'^{2}\, \frac{d \log \theta'_{3}(0)}{dk},
\end{align*}
\DPPageSep{479.png}{471}
et l'on obtient les quatre équations
\[
\Tag{(15)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\dd^{2} \Al}{\dd z^{2}}
  + 2k^{2}z\, \frac{\dd \Al}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \Al}{\dd k} + k^{2}z^{2} \Al = 0, \\
%
&\frac{\dd^{2} \Al_{1}}{\dd z^{2}}
  + 2k^{2}z\, \frac{\dd \Al_{1}}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \Al_{1}}{\dd k} + (k'^{2} + k^{2}z^{2}) \Al_{1} = 0, \\
%
&\frac{\dd^{2} \Al_{2}}{\dd z^{2}}
  + 2k^{2}z\, \frac{\dd \Al_{2}}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \Al_{2}}{\dd k} + (1 + k^{2}z^{2}) \Al_{2} = 0, \\
%
&\frac{\dd^{2} \Al_{3}}{\dd z^{2}}
  + 2k^{2}z\, \frac{\dd \Al_{3}}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \Al_{3}}{\dd k} + (k^{2} + k^{2}z^{2}) \Al_{3} = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
qui sont dues à M.~Weierstrass (\textit{Journal de Crelle},~1856).

Il est aisé de reconnaître que les quatre fonctions~$\Al$, $\sqrt{k} \Al_{1}$,
$\sqrt{\dfrac{k}{k'}} \Al_{2}$, $\dfrac{1}{\sqrt{k'}} \Al_{3}$ satisfont à la même équation
\[
\Tag{(16)}
\frac{\dd^{2} u}{\dd z^{2}} + 2k^{2}z\, \frac{\dd u}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd u}{\dd k} + k^{2}z^{2}u = 0.
\]

\Paragraph{291.} Les équations~\Eq{(15)} permettent d'exprimer un coefficient quelconque
de l'une des séries à l'aide des deux coefficients précédents.
Calculons d'abord le développement de~$\Al(z)$; en substituant la série
dans la première des équations~\Eq{(15)} et égalant à zéro le coefficient
de~$z^{2m}$, on obtient la relation
\[
\Tag{(17)}
\fraka^{(n+1)}
  = 4nk^{2} \fraka^{(n)}
  + 2k(1 - k^{2})\, \frac{d\fraka^{(n)}}{dk}
  - 2n(2n - 1) k^{2} \fraka^{(n - 1)}.
\]
Le premier coefficient est égal à l'unité; en faisant $n = 0$, on trouve
$\fraka^{(1)} = 0$; en faisant $n = 1$, on trouve $\fraka^{(2)} = -2k^{2}$, et ainsi de suite. Les
polynômes étant réciproques, on abrége le calcul en posant $\fraka^{(n)} = k^{n} \frakb^{(n)}$,
$k + \dfrac{1}{k} = \beta$; la relation précédente devient
\[
\Tag{(18)}
\frakb^{(n+1)}
  = 2n \beta \frakb^{(n)}
  - 2 (\beta^{2} - 4)\, \frac{d \frakb^{(n)}}{d\beta}
  - 2n(2n - 1) \frakb^{(n-1)},
\]
\DPPageSep{480.png}{472}
et l'on trouve
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\frakb^{(1)} &=& 0, \\
\frakb^{(2)} &=& -2, \\
\frakb^{(3)} &=& -2^{3}\beta, \\
\frakb^{(4)} &=& -2^{2}(2^{3} \beta^{2} + 1), \\
\frakb^{(5)} &=& -2^{5}(2^{2} \beta^{3} + 3 \beta), \\
\frakb^{(6)} &=& -2^{3}(2^{6} \beta^{4} + 2^{3}·15 \beta^{2} + 51), \\
\frakb^{(7)} &=& -2^{5}(2^{6} \beta^{5} + 2^{5}·7  \beta^{3} + 237 \beta), \\
\frakb^{(8)} &=& -2^{4}(2^{9} \beta^{6} + 2^{6}·45 \beta^{4}
  + 2^{4}·345 \beta^{2} - 849), \\
\frakb^{(9)} &=& -2^{8}(2^{7} \beta^{7} + 2^{5}·33 \beta^{5}
  + 2^{2}·795 \beta^{3} - 2439 \beta), \\
\frakb^{(10)} &=& -2^{5}(2^{12} \beta^{8} + 2^{9}·91 \beta^{6}
  + 2^{6}·3165 \beta^{4} - 2^{4}·34137 \beta^{2} - 26199), \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
En considérant les premiers coefficients, on remarque que $\frakb^{(2n'-1)}$~et~$\frakb^{(2n')}$
sont divisibles respectivement par~$2^{n'+l}$ et par~$2^{n'}$; la relation~\Eq{(18)}
montre que cette propriété est générale.

Si l'on remplace~$\beta$ par sa valeur~$k + \dfrac{1}{k}$, on~a
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
-\fraka^{(1)} &=& 0\Add{,} \\
-\fraka^{(2)} &=&    2 k^{2}, \\
-\fraka^{(3)} &=&    8 (k^{2} + k^{4}), \\
-\fraka^{(4)} &=&   32 (k^{2} + k^{6}) + 68k^{4}, \\
-\fraka^{(5)} &=&  128 (k^{2} + k^{8}) + 480 (k^{4} + k^{6}), \\
-\fraka^{(6)} &=&  512 (k^{2} + k^{10}) + 3008 (k^{4} + k^{8}) + 5400k^{6}, \\
-\fraka^{(7)} &=& 2048 (k^{2} + k^{12}) + 17408 (k^{4} + k^{10})
  + 49568 (k^{6} + k^{8}), \\
-\fraka^{(8)} &=& 8192 (k^{2} + k^{14}) + 95232 (k^{4}+ k^{12})
  + 395520 (k^{6} + k^{10}) + 603376 k^{8}, \\
-\fraka^{(9)} &=& \begin{aligned}[t]
  & 32768 (k^{2} + k^{16}) + 499712 (k^{4}+ k^{14})
  + 2853888 (k^{6} + k^{12}) \\
  &+ 5668096 (k^{8} + k^{10}),
  \end{aligned} \\
-\fraka^{(10)} &=& \begin{aligned}[t]
  &131072 (k^{2} + k^{18}) + 2539520 (k^{4} + k^{16})
  + 19097600 (k^{8} + k^{14}) \\
  &+ 38153728 (k^{8} + k^{12}) + 42090784 k^{16},
  \end{aligned} \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]

Les coefficients du développement de~$\Al_{1}(z)$ sont donnés par la
relation
\[
\Tag{(19)}
\fraka_{1}^{(n+1)}
  = \bigl[1 + (4n + 1)k^{2}\bigr] \fraka_{1}^{(n)}
  +  2k(1 - k^{2})\, \frac{\fraka_{1}^{(n)}}{dk}
  -  2n(2n + 1) k^{2} \fraka_{1}^{(n-1)};
\]
\DPPageSep{481.png}{473}
ces coefficients étant aussi réciproques, on posera, comme précédemment,
\[
\fraka_{1}^{(n)} = k^{2} \frakb_{1}^{(n)},
\]
ce qui met la relation sous la forme
\[
\Tag{(20)}
\frakb_{1}^{(n+1)}
  = (2n + 1)\beta \frakb_{1}^{(n)}
  - 2(\beta^{2} - 4)\, \frac{d\frakb_{1}^{(n)}}{d\beta}
  - 2n(2n + 1) \frakb_{1}^{(n-1)}.
\]
On trouve ainsi
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\frakb_{1}^{(1)} &=& \beta, \\
\frakb_{1}^{(2)} &=& \beta^{2} + 2, \\
\frakb_{1}^{(3)} &=& \beta^{3} + 2·3 \beta, \\
\frakb_{1}^{(4)} &=& \beta^{4} + 2^{2}·3 \beta^{2} - 2^{2}·9, \\
\frakb_{1}^{(5)} &=& \beta^{5} + 2^{2}·5 \beta^{3} - 2^{2}·141 \beta, \\
\frakb_{1}^{(6)} &=& \beta^{6} + 2·15 \beta^{4} - 2^{2}·1479  \beta^{2}
  - 2^{3}·69, \\
\frakb_{1}^{(7)} &=& \beta^{7} + 2·21 \beta^{5} - 2^{2}·13851 \beta^{3}
  - 2^{3}·1731 \beta, \\
\frakb_{1}^{(8)} &=& \beta^{8} + 2^{3}·7 \beta^{6} - 2^{3}·62907 \beta^{4}
  - 2^{5}·8355 \beta^{2} + 2^{4}·321, \\
\frakb_{1}^{(9)} &=& \beta^{9} + 2^{3}·9 \beta^{7} - 2^{3}·567255\beta^{5}
  - 2^{5}·140937 \beta^{3} - 2^{4}·26487 \beta, \\
\frakb_{1}^{(10)} &=& \begin{aligned}[t]
  &\beta^{10} + 2·45 \beta^{8} - 2^{3}·5107185 \beta^{6}
  - 2^{4}·4252365 \beta^{4} - 2^{4}·1500465 \beta^{2} \\
  &- 2^{5}·160839,
  \end{aligned} \\
\hdotsfor{3}\Add{,}
\end{array}
\]
ou, en remplaçant~$\beta$ par sa valeur,
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\fraka_{1}^{(1)} &=& 1 + k^{2}, \\
\fraka_{1}^{(2)} &=& 1 + k^{4} + 4k^{2}, \\
\fraka_{1}^{(3)} &=& 1 + k^{6} + 9 (k^{2} + k^{4}), \\
\fraka_{1}^{(4)} &=& 1 + k^{8} + 16 (k^{2} + k^{6}) - 6 k^{4}, \\
\fraka_{1}^{(5)} &=& 1 + k^{10} + 25 (k^{2} + k^{8}) - 494 (k^{4} + k^{6}), \\
\fraka_{1}^{(6)} &=& 1 + k^{12} + 36 (k^{2} + k^{10}) - 5781 (k^{4} + k^{8})
  - 12184 k^{6}, \\
\fraka_{1}^{(7)} &=& 1 + k^{14} + 49 (k^{2} + k^{12}) - 55173 (k^{4} + k^{10})
  - 179605 (k^{6} + k^{8}), \\
\fraka_{1}^{(8)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + k^{16} + 64 (k^{2} + k^{14}) - 502892 (k^{4} + k^{12})
  - 2279488 (k^{6} + k^{10}) \\
  &- 3547930 k^{8},
  \end{aligned} \\
\fraka_{1}^{(9)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + k^{18} + 81 (k^{2} + k^{16}) - 4537500 (k^{4} + k^{14})
  - 27198588 (k^{6} + k^{12})\DPtypo{,}{} \\
  &- 59331498 (k^{8} + k^{10}),
  \end{aligned} \\
\fraka_{1}^{(10)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + k^{20} + 100 (k^{2} + k^{18}) - 40856715 (k^{4} + k^{16})
  - 313180080 (k^{6} + k^{14}) \\
  &- 909015270 (k^{8} + k^{12}) - 1278530856 k^{10},
  \end{aligned} \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]
\DPPageSep{482.png}{474}

On calculera le développement de~$\Al_{2}(z)$ au moyen de la relation
\[
\Tag{(21)}
\fraka_{2}^{(n+1)}
  = (1 + 4nk^{2})\fraka_{2}^{(n)}
  + 2k (1 - k^{2}) \frac{d\fraka_{2}^{(n)}}{dk}
  - 2n (2n - 1) k^{2} \fraka_{a}^{(n-1)},
\]
et l'on abrégerait un peu le calcul en posant~$2k^{2} = h$, et remarquant que
les coefficients sont des polynômes en~$h$ à coefficients entiers. On trouve
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\fraka_{2}^{(1)} &=& 1, \\
\fraka_{2}^{(2)} &=& 1 +  2 k^{2}, \\
\fraka_{2}^{(3)} &=& 1 +  6 k^{2} + 8 k^{4}, \\
\fraka_{2}^{(4)} &=& 1 + 12 k^{2} + 60 k^{4} + 32 k^{6}, \\
\fraka_{2}^{(5)} &=& 1 + 20 k^{2} + 348 k^{4} + 448 k^{6} + 128 k^{8}, \\
\fraka_{2}^{(6)} &=& 1 + 30 k^{2} + 2372 k^{4} + 4600 k^{6} + 2880 k^{8}
  + 512 k^{10}, \\
\fraka_{2}^{(7)} &=& 1 + 42 k^{2} + 19308 k^{4} + 51816 k^{6} + 45024 k^{8}
  + 16896 k^{10} + 2048 k^{12}, \\
\fraka_{2}^{(8)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + 56 k^{2} + 169320 k^{4} + 628064 k^{6} + 757264 k^{8}
  + 370944 k^{10} + 93144 k^{12}\DPtypo{,}{} \\
  &+ 8192 k^{14},
  \end{aligned} \\
\fraka_{2}^{(9)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + 72 k^{2} + 1515368 k^{4} + 7594592 k^{6}
  + 12998928 k^{8} + 9100288 k^{10}\DPtypo{,}{} \\
  &+ 2725888 k^{12} + 491520 k^{14} + 32768 k^{16},
  \end{aligned} \\
\fraka_{2}^{(10)} &=& \begin{aligned}[t]
  &1 + 90 k^{2} + 13623480 k^{4} + 89348080 k^{6}
  + 211064400 k^{8} + 219361824 k^{10} \\
  &+ 100242944 k^{12} + 18450432 k^{14} + 2506752 k^{16} + 131072 k^{18},
  \end{aligned} \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]

Le développement de~$\Al_{3}(z)$ se déduit de celui de~$\Al_{2}(z)$, en vertu de
la relation $\fraka_{3}^{(n)} = k^{2n} \fraka_{3}^{(n)} \left(\dfrac{1}{k}\right)$; on a ainsi
\[
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\fraka_{3}^{(1)} &=& k^{2}, \\
\fraka_{3}^{(2)} &=& 2 k^{2} + k^{4}, \\
\fraka_{3}^{(3)} &=& 8 k^{2} + 6 k^{4} + k^{6}, \\
\hdotsfor{3}.
\end{array}
\]

On obtient une vérification très-simple des calculs précédents en
remarquant que, si le module~$k$ est égal à l'unité, la quantité~$p$ est
nulle, et que les quatre fonctions~$\Al$ deviennent respectivement
\[
\Al(z) = e^{-\efrac{z^{2}}{2}} \cosh z,\quad
\Al_{1}(z) = e^{-\efrac{z^{2}}{2}} \sinh z,\quad
\Al_{2}(z) = \Al_{3}(z) = e^{-\efrac{z^{2}}{2}}.
\]
\DPPageSep{483.png}{475}


%[** TN: Running head in original reads "Développement des Fonctions Ellipt...."]
\Chapitre[Dével.\ des Fonctions Ellipt.\ en Séries Trigonométriques]
{III}{Développement des Fonctions Elliptiques en Séries
Trigonométriques}

\Section{Développement de $\lambda(z)$}

\Paragraph{292.} D'après le théorème du \no{99}, la fonction~$\lambda(z)$, qui admet la
période~$2\omega$, est développable en une série de la forme
\[
\lambda(z) = \sum_{m = -\infty}^{m = \infty} A_{m} e^{\efrac{m\pi zi}{\omega}},
\]
et convergente dans une bande limitée par deux droites parallèles à la
direction~$\omega$. On a posé $t = e^{\efrac{\pi zi}{\omega}}$; aux valeurs $z = \dfrac{\omega'}{2} + m\omega + n\omega'$, qui
rendent la fonction~$\lambda(z)$ infinie, correspondent les valeurs $t = ±e^{\efrac{(2n+1) \pi\omega' i}{2\omega}}$,
dont les modules varient en progression géométrique, et les arguments
en progression arithmétique. Dans le plan sur lequel on figure la variable~$z$,
les pôles sont disposés par files parallèles à la direction~$\omega$.
Dans le plan sur lequel on figure la variable~$t$, les valeurs correspondantes
de~$t$ sont marquées par des points placés sur deux spirales qui,
d'une part, s'éloignent à l'infini, d'autre part se rapprochent indéfiniment
de l'origine; ces points sont les pôles de la fonction~$\lambda$, considérée
comme une fonction de~$t$. La série, ordonnée suivant les puissances
entières de~$t$, positives ou négatives, est convergente pour les valeurs
de~$t$ comprises entre deux circonférences ayant pour centre l'origine
et passant par les points $t = e^{\efrac{(2n+1) \pi\omega' i}{2\omega}}$, $t = e^{\efrac{(2n-1) \pi\omega' i}{2\omega}}$; la série sera
donc convergente pour les valeurs de~$z$, comprises entre deux droites
\DPPageSep{484.png}{476}
parallèles à la direction~$\omega$ et passant par les points $z = (2n + 1) \dfrac{\omega'}{2}$,
$z = (2n - 1) \dfrac{\omega'}{2}$, c'est-à-dire entre deux files voisines.

Supposons $n = 0$; la série sera convergente dans la bande comprise
\Fig[2in]{80}
entre les parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$ à la direction~$\omega$, menées par les points
$z = \dfrac{\omega'}{2}, z = -\dfrac{\omega'}{2}$ (\Figref{80}). Les coefficients de la série sont donnés
par l'intégrale définie
\[
A_{m} = \frac{1}{2 \omega} \int_{z_{0}}^{z_{0} + 2\omega}
  \lambda(z) e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz,
\]
relative à une ligne située dans la bande. Nous remarquons d'abord
que $A_{-m} = -A_{m}$; car, en posant $z = -z'$, on~a
\[
A_{-m} = \frac{1}{2\omega} \int_{-\omega}^{\omega}
  \lambda(z) e^{\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz
  = -\frac{1}{2\omega} \int_{-\omega}^{\omega}
  \lambda(z') e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz'
  = -A_{m}.
\]
Nous remarquons ensuite que
\[
A_{m} = \frac{1}{2\omega} \int_{z_{0}}^{z_{0} + \omega}
  \lambda(z) e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz
  + \frac{1}{2\omega} \int_{z_{0} + \omega}^{z_{0} + 2\omega}
  \lambda(z) e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz,
\]
et, en remplaçant~$z$ par~$\omega + z$ dans la seconde partie,
\[
A_{m} = \frac{1 - (-1)^{m}}{2\omega} \int_{z_{0}}^{z_{0} + \omega}
  \lambda(z) e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]
\DPPageSep{485.png}{477}
Il en résulte que $A_{2m} = 0$ et que
\[
A_{2m-1} = \frac{1}{\omega} \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \lambda(z) e^{-(2m-1) \efrac{\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]

Pour évaluer ce dernier coefficient, considérons l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \lambda(z) e^{-(2m-1) \efrac{\pi zi}{\omega}}\, dz
\]
relative au contour du parallélogramme~$A'EFA$, dont les sommets
$A$~et~$A'$ correspondent à $z = ±\dfrac{\omega}{2}$, et les sommets $F$~et~$E$ à
$z = ±\dfrac{\omega}{2} - n'\omega'$; les parties relatives aux deux côtés opposés $FA, A'E$
sont égales et de signes contraires; la partie relative au côté~$EF$ est
infiniment petite, quand $n'$~est très-grand; l'intégrale se réduit donc
à la partie relative au côté~$AA'$, c'est-à-dire à~$-\dfrac{\omega}{2\pi i} A_{2m-1}$. Mais l'intégrale
définie relative au contour du parallélogramme est égale à la
somme des résidus relatifs aux infinis $\alpha = -(2n-1) \dfrac{\omega'}{2}$, $n$~variant
de~$1$ à~$n'$. L'un de ces résidus étant égal à~$\dfrac{1}{gk} q^{(2n-1) \efrac{2m-1}{2}}$, on~a
\[
A_{2m-1}
  = -\frac{2\pi i}{g\omega k} \sum_{n=1}^{n=\infty} q^{(2n-1) \efrac{2m-1}{2}}
  = -\frac{2\pi i}{g\omega k}\, \frac{q^{\efrac{2m-1}{2}}}{1 - q^{2m-1}},
\]
et la série devient
\[
\Tag{(1)}
\lambda(z) = \frac{4\pi \sqrt{q}}{g\omega k} \sum_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{q^{m-1}}{1 - q^{2m-1}} \sin \frac{(2m-1) \pi z}{\omega}.
\]


\Section{Développement de $\mu(z)$}

\Paragraph{293.} Les mêmes considérations s'appliquent à la fonction~$\mu(z)$, qui
admet aussi la période~$2\omega$ et les mêmes infinis que~$\lambda(z)$. En effectuant
\DPPageSep{486.png}{478}
le développement dans la bande comprise entre les parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$,
on aura
\[
A_{m} = \frac{1}{2\omega} \int_{z_{0}}^{z_{0} + 2\omega}
  \mu(z) e^{-\efrac{m\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]
Ici $A_{-m} = A_{m}$; on a d'ailleurs $A_{2m} = 0$ et
\[
A_{2m-1} = \frac{1}{\omega} \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \mu(z) e^{-(2m-1) \efrac{\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]
On obtiendra le coefficient~$A_{2m-1}$, comme précédemment, par la considération
de l'intégrale définie relative au contour du parallélogramme~$A'EFA$;
le résidu relatif à l'un des infinis $\alpha = -(2n - 1) \dfrac{\omega'}{2}$ étant
égal à~$\dfrac{(-1)^{n-1} i}{gk} q^{(2n-1) \efrac{2m-1}{2}}$, on aura
\[
A_{2m-1} = \frac{2\pi}{g\omega k} \sum_{n=1}^{n=\infty}
  (-1)^{n-1} q^{(2n-1) \efrac{2m-1}{2}}
  = \frac{2\pi}{g\omega k}\, \frac{q^{\efrac{2m-1}{2}}}{1 + q^{2m-1}};
\]
d'où
\[
\Tag{(2)}
\mu(z) = \frac{4\pi \sqrt{q}}{g\omega k} \sum_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{q^{m-1}}{1 + q^{2m-1}} \cos \frac{(2m-1) \pi z}{\omega}.
\]


\Section{Développement de $\nu(z)$}

\Paragraph{294.} Cette fonction admettant la période~$\omega$, la série sera de la forme
\[
\nu(z) = \sum_{m=-\infty}^{m=\infty} A_{m}\, e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}},
\]
et, pour la bande comprise entre les parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$, on aura
\[
A_{m} = \frac{1}{\omega}  \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \nu(z) e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]
\DPPageSep{487.png}{479}
On a ici $A_{-m} = A_{m}$. Pour évaluer le coefficient~$A_{0}$, considérons l'intégrale
définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \nu(z)\, dz,
\]
relative au contour du parallélogramme~$A'D'DA$ (\Figref{80}), dont les
sommets $D$~et~$D'$ correspondent aux valeurs $z = ±\dfrac{\omega}{2} - \omega'$; les parties
relatives aux deux côtés $A'D', DA$ étant égales et de signes contraires,
celles relatives aux deux côtés $D'D, AA'$ étant égales, l'intégrale relative
au contour se réduit à deux fois l'intégrale relative au côté~$AA'$,
c'est-à-dire à~$ -\dfrac{\omega}{\pi i}\, A_{0}$. Mais cette intégrale est égale au résidu relatif au
pôle~$-\dfrac{\omega'}{2}$, situé dans le parallélogramme; on en conclut que $A_{0} = \dfrac{\pi}{g\omega}$.

On évaluera un autre coefficient~$A_{m}$ par la considération du parallélogramme~$A'EFA$,
comme précédemment, et l'on trouvera
\[
A_{m} = \frac{2\pi}{g\omega} \sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n-1} q^{(2n-1)m}
  = \frac{2\pi}{g\omega}\, \frac{q^{m}}{1 + q^{2m}}.
\]
On obtient ainsi la série
\[
\Tag{(3)}
\nu(z) = \frac{\pi}{g\omega} \left(
  1 + 4 \sum_{m=1}^{m=\infty} \frac{q^{m}}{1 + q^{2m}} \cos \frac{2m\pi z}{\omega} \right).
\]


\Section{Développement des fonctions $\Diff \log \theta(z)$}

\Paragraph{295.} La fonction méromorphe $\Diff \log \theta(z) = \dfrac{\theta'(z)}{\theta(z)}$ admet la période~$\omega$;
elle devient infinie aux mêmes points que les fonctions elliptiques; elle
est donc développable en une série de la forme
\[
\Diff \log \theta(z)
  = \sum_{m=-\infty}^{m=\infty} A_{m}\, e^{\efrac{2m\pi z}{\omega}},
\]
\DPPageSep{488.png}{480}
et convergente dans la bande comprise entre les parallèles $B_{0}C_{0}, B_{1}C_{1}$
(\Figref{80}). Les coefficients sont donnés par la formule
\[
A_{m} = \frac{1}{\omega}  \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \Diff \log \theta(z) e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}}\, dz.
\]
La fonction $\Diff \log \theta(z)$ étant impaire, on a $A_{0} = 0$ et $A_{-m} = -A_{m}$. On
déterminera le coefficient~$A_{m}$ à l'aide du parallélogramme~$A'EFA$,
comme précédemment; les parties de l'intégrale relative aux deux
côtés opposés $A'E, FA$ étant égales et de signes contraires, et celle relative
au côté~$EF$ étant infiniment petite, l'intégrale relative au contour de
ce parallélogramme se réduit à~$-\dfrac{\omega}{2\pi i} A_{m}$. Le résidu relatif au point
$\alpha = -(2n - 1) \dfrac{\omega'}{2}$ est égal à~$q^{(2n-1)m}$, puisque le résidu de~$\Diff \log \theta(z)$
est égal à l'unité. On a donc
\[
A_{m} = -\frac{2\pi i}{\omega} \sum_{n=1}^{n=\infty}
  q^{(2n - 1) m} = -\frac{2\pi i}{\omega}\, \frac{q^{m}}{1 - q^{2m}},
\]
et la série devient
\[
\Tag{(4)}
\Diff \log \theta(z)
  = \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{q^{m}}{1 - q^{2m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}.
\]
En remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega}{2}$, on en déduit la série
\[
\Tag{(5)}
\Diff \log \theta_{3}(z)
  = \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{m}}{1 - q^{2m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega},
\]
convergente dans la même bande.

\Paragraph{296.} Le développement de la fonction $\Diff \log \theta_{1}(z)$ ne peut pas s'effectuer
dans cette bande, à cause des infinis $z = m\omega$, situés sur la
droite~$AA'$; mais on évite cette difficulté en développant la fonction
\[
\phi(z) = \Diff \log \frac{\theta_{1}(z)}{\sin \dfrac{\pi z}{\omega}}
  = \Diff \log \theta_{1}(z) - \frac{\pi}{\omega} \cot \frac{\pi z}{\omega},
\]
\DPPageSep{489.png}{481}
qui n'a plus ces infinis. Cette fonction impaire, admettant la période~$\omega$,
est développable en une série de la forme
\[
\phi(z) = \sum_{m=1}^{m=\infty} A_{m} \left(
  e^{\efrac{2m\pi zi}{\omega}} - e^{-\efrac{2m\pi zi}{\omega}}\right),
\]
et convergente dans la bande comprise entre les parallèles à la direction~$\omega$
menées par les points $z = ±\omega'$. Pour évaluer les coefficients
\[
A_{m} = \frac{1}{\omega}  \int_{-\efrac{\omega}{2}}^{\efrac{\omega}{2}}
  \phi(z) e^{\efrac{-2m\pi zi}{\omega}}\, dz,
\]
on considère l'intégrale définie
\[
\frac{1}{2\pi i} \int \phi(z) e^{\efrac{-2m\pi zi}{\omega}}\, dz,
\]
relative au contour d'un parallélogramme~$A'EFA$, dont les sommets $A$~et~$A'$
sont les points $z = ±\dfrac{\omega}{2}$, et les sommets $F$~et~$E$ les points
$z = ±\dfrac{\omega}{2} - (2n' + 1) \dfrac{\omega'}{2}$. Les parties relatives aux côtés $A'E, EA$ se
détruisant, et celle relative au côté~$EF$ étant infiniment petite, l'intégrale
se réduit à~$-\dfrac{\omega}{2\pi i} A_{m}$. D'autre part, la somme des résidus relatifs
aux pôles $\alpha = -n\omega'$, situés dans ce parallélogramme, est $\dfrac{q^{2m}}{1 - q^{2m}}$. On
a donc
\[
A_{m} = -\frac{2\pi i}{\omega}\, \frac{q^{2m}}{1 - q^{2m}},
\]
et par suite
\begin{gather*}
\phi(z) = \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{q^{2m}}{1 - q^{2m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}, \\
%
\Tag{(6)}
\Diff \log \theta_{1}(z)
  = \frac{\pi}{\omega} \cot \frac{\pi z}{\omega}
  + \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{q^{2m}}{1 - q^{2m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}.
\end{gather*}
\DPPageSep{490.png}{482}
En remplaçant~$z$ par~$z + \dfrac{\omega}{2}$ on obtient la série
\[
\Tag{(7)}
\Diff \log \theta_{2}(z)
  = -\frac{\pi}{\omega} \tang \frac{\pi z}{\omega}
  + \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{(-1)^{m} q^{2m}}{1 - q^{2m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega},
\]
convergente dans la même étendue.


\Section{Développement des logarithmes des fonctions elliptiques}

\Paragraph{297.} Des développements que nous venons de trouver, on déduit
immédiatement ceux des logarithmes des rapports des fonctions~$\theta$ deux
à deux. On a, par exemple,
\begin{align*}
  \Diff \log\lambda(z) &= \Diff \log\theta_{1}(z) - \Diff \log\theta(z), \\
  \Diff \log\mu(z) &= \Diff \log\theta_{2}(z) - \Diff \log\theta(z), \\
  \Diff \log\nu(z) &= \Diff \log\theta_{3}(z) - \Diff \log\theta(z),
\end{align*}
et par suite
\begin{align*}
\Tag{(8)}
\Diff \log \lambda(z)
  &= \frac{\pi}{\omega} \cot \frac{\pi z}{\omega}
   - \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
     \frac{q^{m}}{1 + q^{m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}, \\
%
\Tag{(9)}
\Diff \log \mu(z)
  &= -\frac{\pi}{\omega} \tang \frac{\pi z}{\omega}
   - \frac{4\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
     \frac{q^{m}}{1 + (-1)^{m} q^{m}} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}, \\
%
\Tag{(10)}
\Diff \log \nu(z)
  &= -\frac{8\pi}{\omega} \sum_{m=1}^{m=\infty}
     \frac{q^{2m-1}}{1 - q^{2(2m - 1)}} \sin \frac{2(2m - 1) \pi z}{\omega}.
\end{align*}
Ces séries sont convergentes dans la partie du plan comprise entre les
parallèles à la direction~$\omega$ menées par les points $±\dfrac{\omega'}{2}$. Par l'intégration,
on obtiendrait les développements des fonctions $\log\theta(z)$ et des fonctions
$\log\lambda(z), \log\mu(z), \log\nu(z)$.

%[** TN: Heading is small-capped in original]
\Paragraph{298.} \Remarque[I] L'équation~\Eq{(9)} donne une démonstration
simple d'une propriété remarquable des nombres entiers. Le premier
\DPPageSep{491.png}{483}
membre est égal à~$\dfrac{-g\lambda(z)\nu(z)}{\mu(z)}$; sa dérivée, pour $z = 0$, se réduit à~$-g^{2}$;
en prenant de même la dérivée du second membre et faisant $z = 0$, on
obtient l'équation
\[
\Tag{(11)}
\frac{g^{2}\omega^{2}}{\pi^{2}}
  = 1 + 8 \sum_{m=1}^{m=\infty} \frac{mq^{m}}{1 + (-1)^{m} q^{m}}.
\]
Mais nous avons trouvé (\no{205})
\[
\Tag{(12)}
\sqrt{\frac{g\omega}{\pi}} = \theta_{3}(0)
  = 1 + 2 \sum_{m=1}^{m=\infty} q^{m^{2}}.
\]
Il en résulte l'identité
\[
\Tag{(13)}
1 + 8 \sum_{m=1}^{m=\infty} \frac{mq^{m}}{1 + (-1)^{m} q^{m}}
  = \left(1 + 2 \sum_{m=1}^{m=\infty} q^{m^{2}}\right)^{4}.
\]
Le premier membre, ordonné par rapport aux puissances croissantes
de~$q$, contient toutes les puissances de~$q$, et dans le second membre,
ordonné de la même manière, chacun des exposants est la somme de
quatre carrés; à cause de l'identité, on en conclut que tout nombre
entier est la somme de quatre carrés.

%[** TN: Heading is small-capped in original]
\Paragraph{299.} \Remarque[II] L'équation différentielle
\[
\frac{du}{dz} = \sqrt{(1 - u^{2}) (1 - k^{2}u^{2})},
\]
à laquelle satisfait la fonction $u = \lambda(z)$, dont le multiplicateur est
égal à l'unité, peut s'écrire
\[
\frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \sqrt{1 - k^{2}u^{2}}\, dz = \nu(z)\, dz;
\]
on en déduit
\[
\arcsin u = \int_{0}^{z} \nu(z)\, dz,
\]
\DPPageSep{492.png}{484}
et, en vertu de la série~\Eq{(3)},
\[
\Tag{(14)}
\arcsin \lambda(z)
  = \frac{\pi z}{\omega} + 2 \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{q^{m}}{m(1 + q^{2m})} \sin \frac{2m\pi z}{\omega}.
\]

La même équation différentielle peut s'écrire
\[
\frac{du}{\sqrt{1 - k^{2}u^{2}}} = \sqrt{1 - u^{2}}\, dz = \mu(z)\, dz;
\]
on en déduit
\[
\frac{1}{k} \arcsin ku = \int_{0}^{z} \mu(z)\, dz,
\]
et, en vertu de la série~\Eq{(2)},
\[
\Tag{(15)}
\arcsin k\lambda(z)
  = 4 \sqrt{q} \sum_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{q^{m-1}}{(2m - 1) (1 + q^{2m-1})} \sin \frac{(2m - 1)\pi z}{\omega}.
\]

Si, dans cette dernière équation, on fait $z = \dfrac{\omega}{2}$, on obtient la série
\[
\Tag{(16)}
\arcsin k = 4\sqrt{q} \sum_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{(-1)^{m-1} q^{m-1}}{(2m - 1) (1 + q^{2m-1})},
\]
ou, d'après une remarque faite au \no{68},
\[
\Tag{(17)}
\arcsin k = 4 \sum_{m=1}^{m=\infty} (-1)^{m-1} \arctang q^{\efrac{2m-1}{2}}.
\]

Les développements exposés dans ce Chapitre ont été trouvés par
Jacobi (\textit{Fundamenta nova}).

\DPPageSep{493.png}{485}

\Livre{VII}{Addition, Multiplication et Division des Arguments
dans les Fonctions Elliptiques}

\Chapitre{Premier}{Propriétés des Fonctions $\theta$}

\Section{Formule fondamentale}

\Paragraph{300.} Les fonctions
\[
A \frac{\theta_{1}(z - x) \theta_{1}(z + x - a - b)}
       {\theta_{1}(z - a) \theta_{1}(z - b)},\quad
B \frac{\theta_{1}(z - y) \theta_{1}(z + y - a - b)}
       {\theta_{1}(z - a) \theta_{1}(z - b)}
\]
admettant les deux périodes $\omega, \omega'$, leur somme
\[
\phi(z) = \frac{A \theta_{1}(z - x) \theta_{1}(z + x - a - b)
              + B \theta_{1}(z - y) \theta_{1}(z + y - a - b)}
                 {\theta_{1}(z - a) \theta_{1}(z - b)}
\]
admet ces mêmes périodes; c'est une fonction méromorphe doublement
périodique du second ordre, dont les infinis sont $a$~et~$b$. Or on peut
disposer des coefficients $A$~et~$B$, de manière que le numérateur s'annule
pour $z = a$ et pour $z = b$; il suffit pour cela que ces coefficients satisfassent
à la condition
\[
A \theta_{1}(x - a) \theta_{1}(x - b) +
B \theta_{1}(y - a) \theta_{1}(y - b) = 0,
\]
qui, à cause de la symétrie, est la même pour les deux racines; alors
\DPPageSep{494.png}{486}
la fonction~$\phi(z)$, qui ne devient plus infinie, est une constante. L'un des
coefficients restant arbitraire, on peut en disposer de manière que cette
valeur constante soit égale à l'unité. On a ainsi l'équation
\[
\theta_{1}(z - a) \theta_{1}(z - b)
  = A \theta_{1}(z - x) \theta_{1}(z + x - a - b)
  + B \theta_{1}(z - y) \theta_{1}(z + y - a - b).
\]
Si l'on y fait successivement $z = y$, $z = x$, on obtient les coefficients
\[
A = \frac{\theta_{1}(y - a) \theta_{1}(y - b)}
         {\theta_{1}(x - y) \theta_{1}(x + y - a - b)},\quad
B = \frac{\theta_{1}(x - a) \theta_{1}(x - b)}
         {\theta_{1}(x - y) \theta_{1}(x + y - a - b)},
\]
et l'équation devient
\begin{alignat*}{4}
 & \theta_{1}(x - a) &&\theta_{1}(x - b) &&\theta_{1}(y + z - a - b) &&\theta_{1}(y - z) \\
+& \theta_{1}(y - a) &&\theta_{1}(y - b) &&\theta_{1}(z + x - a - b) &&\theta_{1}(z - x) \\
+& \theta_{1}(z - a) &&\theta_{1}(z - b) &&\theta_{1}(x + y - a - b) &&\theta_{1}(x - y) = 0.
\end{alignat*}
Nous y remplacerons $a$~et~$b$ par $-a$~et~$-b$, et nous l'écrirons sous la
forme
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
  &\theta_{1}(x + a) &&\theta_{1}(x + b) &&\theta_{1}(y + z + a + b) &&\theta_{1}(y - z) \\
+ &\theta_{1}(y + a) &&\theta_{1}(y + b) &&\theta_{1}(z + x + a + b) &&\theta_{1}(z - x) \\
+ &\theta_{1}(z + a) &&\theta_{1}(z + b) &&\theta_{1}(x + y + a + b) &&\theta_{1}(x - y) = 0.
\end{alignedat}
\right.
\]

Cette équation renferme cinq quantités arbitraires $x, y, z, a, b$. On
déduit le deuxième terme du premier, et le troisième du deuxième, par
la permutation circulaire des lettres $x, y, z$. Le premier membre est une
fonction symétrique des deux quantités $a$~et~$b$, et une fonction alternée
des trois quantités $x, y, z$ deux à deux. On vérifie aisément que l'équation
ne change pas lorsqu'on ajoute $\omega$~ou~$\omega'$ à l'une quelconque des cinq
quantités $x, y, z, a, b$, et qu'elle ne change pas non plus lorsqu'on
ajoute $\dfrac{\omega}{2}$~ou~$\dfrac{\omega'}{2}$ aux cinq quantités à la fois.

\Paragraph{301.} De cette équation fondamentale on déduit un grand nombre
d'équations de même forme, en ajoutant, soit~$\dfrac{\omega}{2}$, soit~$\dfrac{ \omega'}{2}$, soit~$\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, à
une ou à plusieurs des cinq quantités $x, y, z, a, b$, ce qui remplace les
\DPPageSep{495.png}{487}
fonctions~$\theta_{1}$ par d'autres fonctions~$\theta$. Chacune des lettres $x, y, z$ entre
dans deux des quatre fonctions~$\theta$ qui composent chaque terme de l'équation;
chacune des lettres $a$~et~$b$ entre aussi dans deux de ces fonctions.
Quelles que soient les quatre fonctions~$\theta$ qui composent un terme, on
reconnaît que, lorsqu'on ajoute $\dfrac{\omega}{2}$~ou~$\dfrac{\omega'}{2}$ à l'une des quantités $x, y, z$,
deux fonctions~$\theta$ sont remplacées par d'autres, et, au signe près, les
trois termes de l'équation sont multipliés par un même facteur dont
on peut faire abstraction; il en est de même lorsqu'on ajoute $\dfrac{\omega}{2}$~ou~$\dfrac{\omega'}{2}$
à l'une des quantités $a$~et~$b$. Le premier membre de chacune des équations
renferme douze fonctions portant sur les quantités
\begin{align*}
&(x + a, x + b, y + z + a + b, y - z), \\
&(y + a, y + b, z + x + a + b, z - x), \\
&(z + a, z + b, x + y + a + b, x - y),
\end{align*}
que nous supposerons toujours disposées dans le même ordre, ce qui
nous dispensera de les écrire. Chacune des quatre fonctions~$\theta$ pouvant
porter sur douze quantités, les équations renferment en tout
$12 × 4$~ou $48$~fonctions~$\theta$.

Nous déduirons toutes ces équations de l'équation fondamentale, en
attribuant à chacune des cinq lettres $x, y, z, a, b$ qu'elle renferme
quatre valeurs différentes; par exemple, nous attribuerons à~$x$ les quatre
valeurs $x$, $x + \dfrac{\omega}{2}$, $x + \dfrac{\omega'}{2}$, $x + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$. Puisque l'équation ne change
pas lorsque les cinq lettres éprouvent la même modification, nous
pouvons laisser invariable l'une des lettres et nous borner à attribuer à
chacune des quatre autres les quatre valeurs dont elle est susceptible,
ce qui donnera $4^{4}$~ou $256$~équations différentes. Lorsque les deux lettres
$a$~et~$b$ éprouvent une même modification, l'équation reste symétrique
par rapport à~$a$ et à~$b$; mais si une seule de ces lettres est modifiée, ou
si elles éprouvent des modifications différentes, l'équation cesse d'être
symétrique. Lorsqu'une seule des trois lettres $x, y, z$, par exemple~$x$,
est modifiée, ou lorsque les deux lettres $y$~et~$z$ éprouvent la même modification,
le premier membre de l'équation est encore alterne par rapport
aux deux lettres $y$~et~$z$; mais il cesse de l'être par rapport à~$x$ et
\DPPageSep{496.png}{488}
à~$y$ et par rapport à~$x$ et à~$z$. Nous sommes conduits de la sorte à
ranger les $256$~équations en six classes, de la manière suivante.

\Paragraph{302.} \begin{Classe}{Première classe.}{Relations alternes par rapport à deux quelconques
des lettres $x, y, z$ et symétriques en $a$~et~$b$.} On les déduit de
l'équation fondamentale en ajoutant aux deux lettres $a$~et~$b$ la même
quantité $0$, $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, ce qui donne les \emph{quatre} équations
\begin{align*}
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} &= 0, \\
%
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} +
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} +
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} &= 0.
\end{align*}
\end{Classe}

\Paragraph{303.} \begin{Classe}{Deuxième classe.}{Relations alternes par rapport à deux quelconques
des lettres $x, y, z$, mais non symétriques en $a$~et~$b$.} On les
déduit de l'équation fondamentale en ajoutant aux deux lettres $a$~et~$b$
des quantités différentes; comme on peut ajouter les six couples de
quantités
\[
\left(0, \frac{\omega'}{2}\right), \
\biggl(0, \frac{\omega}{2}\biggr), \
\left(0, \frac{\omega + \omega'}{2}\right), \
\left(\frac{\omega'}{2}, \frac{\omega}{2}\right), \
\left(\frac{\omega'}{2}, \frac{\omega + \omega'}{2}\right), \
\left(\frac{\omega}{2}, \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
\]
dans un ordre ou dans l'autre, on obtient \emph{douze} équations de la seconde
classe. On a d'abord les six équations
\begin{align*}
\theta_{1} \padtheta \padtheta \theta_{1} +
\theta_{1} \padtheta \padtheta \theta_{1} +
\theta_{1} \padtheta \padtheta \theta_{1} &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} +
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} &= 0.
\end{align*}
En ajoutant aux lettres $a$~et~$b$ les mêmes quantités en ordre inverse,
on obtient six autres équations qui se déduisent des précédentes par
la permutation des lettres $a$~et~$b$; afin de laisser les quantités $x + a,
x + b, \ldots$ dans le même ordre, on permutera dans chaque terme les
deux premières fonctions~$\theta$ considérées comme de purs symboles, de
\DPPageSep{497.png}{489}
manière que la fonction qui portait sur~$x + a$ porte maintenant sur~$x + b$,
et réciproquement.
\end{Classe}

\Paragraph{304.} \begin{Classe}{Troisième classe.}{Relations alternes par rapport à deux des
lettres $x, y, z$ et symétriques en $a$~et~$b$.} Si, dans les équations de la
première classe, on ajoute à~$x$ l'une des quantités $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on
forme douze équations symétriques en $a$~et~$b$, et alternes par rapport
à $y$~et~$z$:
\begin{align*}
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta +
\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} -
\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta +
\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta -
\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta -
\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta &= 0;
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} -
\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2} +
\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} -
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} +
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} &= 0, \\
%
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} -
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2} +
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2} &= 0;
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} -
\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3} +
\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3} &= 0, \\
%
\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} -
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} +
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} -
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} &= 0.
\end{align*}
On a de même douze équations alternes par rapport à $z$~et~$x$, et douze
alternes par rapport à $x$~et~$y$, ce qui fait $4 × 3 × 3$~ou $36$~équations de
la troisième classe. Des premières on déduit les secondes en permutant
circulairement les trois lettres $x, y, z$; ceci revient à permuter circulairement
les trois termes considérés comme des symboles, en laissant
toujours les quantités $x + a, x + b, \ldots$ dans le même ordre; on déduit
de même les troisièmes des secondes.
\end{Classe}

\Paragraph{305.} \begin{Classe}{Quatrième classe.}{Relations alternes par rapport à deux des
lettres $x, y, z$, mais non symétriques en $a$~et~$b$.} Elles se déduisent de
celles de la seconde classe de la même manière que la troisième classe
de la première. Si, dans les équations de la seconde classe, on ajoute
à~$x$ l'une des quantités $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on forme $12 × 3$~ou $36$~équations
\DPPageSep{498.png}{490}
non symétriques en $a$~et~$b$, et alternes par rapport à $y$~et~$z$. On
a d'abord les $18$~équations
\begin{align*}
\padtheta \theta_{1} \padtheta \theta_{1} -
\theta_{1} \padtheta \theta_{1} \padtheta +
\theta_{1} \padtheta \theta_{1} \padtheta &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{3} \padtheta +
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{3} \padtheta &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{2} \padtheta +
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{2} \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} -
\padtheta \theta_{2} \theta_{2} \padtheta +
\padtheta \theta_{2} \theta_{2} \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} -
\padtheta \theta_{3} \theta_{3} \padtheta +
\padtheta \theta_{3} \theta_{3} \padtheta &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{2} \padtheta \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} \padtheta -
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} \padtheta &= 0;
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} -
\theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2} +
\theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{2} +
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{2} \padtheta \theta_{3} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{3} \padtheta \theta_{2} +
\theta_{1} \theta_{3} \padtheta \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{2} \padtheta \theta_{2} -
\padtheta \theta_{2} \padtheta \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{3} \padtheta \theta_{2} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{3} \theta_{1} \theta_{2} -
\padtheta \theta_{3} \theta_{1} \theta_{2} &= 0, \\
%
\theta_{1} \padtheta \padtheta \theta_{1} +
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} -
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} &= 0;
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{3} \theta_{2} \padtheta \theta_{1} -
\theta_{1} \padtheta \theta_{2} \theta_{3} +
\theta_{1} \padtheta \theta_{2} \theta_{3} &= 0, \\
%
\theta_{3} \padtheta \theta_{2} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{2} \padtheta \theta_{3} +
\theta_{1} \theta_{2} \padtheta \theta_{3} &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{1} -
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{3} +
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{3} &= 0, \\
%
\theta_{2} \padtheta \theta_{3} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{2} \theta_{1} \theta_{3} -
\padtheta \theta_{2} \theta_{1} \theta_{3} &= 0, \\
\theta_{2} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{1} +
\padtheta \theta_{3} \padtheta \theta_{3} -
\padtheta \theta_{3} \padtheta \theta_{3} &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{1} \padtheta \theta_{1} -
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{3} +
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{3} &= 0.
\end{align*}
On obtient les $18$~autres en permutant dans chaque terme les deux
premières fonctions~$\theta$. On a, de même, $36$~équations alternes par rapport
à $z$~et~$x$, que l'on déduit des précédentes par la permutation circulaire
des termes, et $36$~équations alternes par rapport à $x$~et~$y$, ce
qui fait en tout $12 × 3 × 3 = 108$ équations de la quatrième classe.
\end{Classe}

\Paragraph{306.} \begin{Classe}{Cinquième classe.}{Relations non alternes par rapport à deux
des lettres $x, y, z$, et symétriques en $a$~et~$b$.} On les déduit des
équations de la première classe, en ajoutant aux trois lettres $x, y, z$
trois quantités différentes, prises à volonté parmi les quatre quantités
$0$, $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$; mais nous pouvons exclure la dernière $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$;
car supposons que l'on ajoute à $x, y, z$ respectivement $0$, $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$;
\DPPageSep{499.png}{491}
en retranchant des cinq lettres la même quantité~$\dfrac{\omega'}{2}$, ce qui ne
change pas l'équation, on ramène ce cas à celui où l'on ajoute
$-\dfrac{\omega'}{2}, 0, \dfrac{\omega}{2}$, ou $\dfrac{\omega'}{2}, 0, \dfrac{\omega}{2}$.  De même, supposons que l'on ajoute à~$x, y, z$
respectivement $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$; en retranchant des cinq lettres la même
quantité $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on ramène ce cas à celui où l'on ajoute $\dfrac{\omega}{2}, \dfrac{\omega'}{2}, 0$. Ainsi
nous pouvons nous borner à ajouter à~$x, y, z$ les trois quantités $0,
\dfrac{\omega'}{2}, \dfrac{\omega}{2}$ prises dans un ordre quelconque; nous obtiendrons de la sorte
$4 × 6$, ou $24$~équations de la cinquième classe.

En remplaçant, dans les équations de la première classe, $y$~par
$y + \dfrac{\omega'}{2}$ et $z$~par $z + \dfrac{\omega}{2}$ sans changer~$x$, on forme les quatre équations
\begin{align*}
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} +
\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2} -
\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \theta &= 0, \\
%
\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3} +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} -
\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \theta &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} -
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2} -
\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta &= 0, \\
%
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} -
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} -
\padtheta \padtheta \padtheta \theta &= 0.
\end{align*}
Concevons maintenant que l'on permute deux quelconques des trois
lettres $x, y, z$, par exemple $y$~et~$z$; les douze quantités
\begin{align*}
&(x + a, x + b, y + z + a + b, y - z), \\
&(y + a, y + b, z + x + a + b, z - x), \\
&(z + a, z + b, x + y + a + b, x - y),
\end{align*}
sur lesquelles portent les douze fonctions~$\theta$ qui entrent dans chaque
équation, deviennent
\begin{align*}
&(x + a, x + b, y + z + a + b, -y + z), \\
&(z + a, z + b, x + y + a + b, -x + y), \\
&(y + a, y + b, z + x + a + b, -z + x).
\end{align*}
Comme on peut changer le signe de la quantité sur laquelle porte la
dernière fonction~$\theta$ dans chaque terme, puisque cette fonction est paire,
\DPPageSep{500.png}{492}
on substituera à ces quantités les suivantes:
\begin{align*}
&(x + a, x + b, y + z + a + b, y - z), \\
&(z + a, z + b, x + y + a + b, x - y), \\
&(y + a, y + b, z + x + a + b, z - x).
\end{align*}
Pour rétablir l'ordre primitif, il suffit de permuter les deux derniers
termes de l'équation. Il résulte de là que l'on peut, dans les quatre
équations précédentes, permuter les termes deux à deux de toutes les
manières possibles; les trois termes de chaque équation présentant six
arrangements, on a ainsi les $24$~équations de la cinquième classe.
\end{Classe}

\Paragraph{307.} \begin{Classe}{Sixième classe.}{Relations non alternes par rapport à deux des
lettres $x, y, z$, et non symétriques en $a$~et~$b$.} Elles se déduisent de
celles de la deuxième classe, comme la cinquième classe de la première,
ce qui fait $12 × 6$~ou $72$~équations. Si, dans les $12$~équations
de la deuxième classe, on remplace~$y$ par $y + \dfrac{\omega'}{2}$ et $z$ par $z + \dfrac{\omega}{2}$, sans
changer~$x$, on obtient les $6$~équations
\begin{align*}
\theta_{1} \padtheta \theta_{2} \theta_{3} +
\padtheta \theta_{1} \theta_{3} \theta_{2} -
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} \theta &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{2} \padtheta \theta_{3} -
\padtheta \theta_{3} \theta_{1} \theta_{2} +
\theta_{2} \theta_{1} \theta_{3} \theta &= 0, \\
%
\theta_{1} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{3} -
\padtheta \theta_{2} \padtheta \theta_{2} +
\theta_{2} \padtheta \theta_{2} \theta &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{2} \theta_{1} \theta_{3} -
\theta_{1} \theta_{3} \padtheta \theta_{2} -
\theta_{3} \theta_{1} \theta_{2} \theta &= 0, \\
%
\padtheta \theta_{3} \padtheta \theta_{3} -
\theta_{1} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{2} -
\theta_{3} \padtheta \theta_{3} \theta &= 0, \\
%
\theta_{2} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{3} -
\theta_{3} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{2} +
\theta_{1} \padtheta \theta_{1} \theta &= 0,
\end{align*}
et les~$6$ que l'on en déduit en permutant dans chaque terme les deux
premières fonctions~$\theta$. En permutant ensuite les termes deux à deux,
comme nous l'avons expliqué, on formera les $72$~équations cherchées.
\end{Classe}


\Section{Équations à deux lettres}

\Paragraph{308.} \textsc{Première espèce.}\ --- Les équations précédentes renferment
cinq quantités arbitraires $x, y, z, a, b$. Si l'on attribue à quelques-unes
de ces lettres des valeurs déterminées, ou si l'on établit entre elles
certaines relations, les équations ne renfermeront plus qu'un moindre
\DPPageSep{501.png}{493}
nombre de quantités. Supposons que l'on fasse $x = y = z = 0$; les
quatre fonctions~$\theta$, qui composent chaque terme, porteront sur les
quantités $a, b, a + b, 0$; les équations des quatre premières classes,
qui sont alternes au moins par rapport à deux des lettres $x, y, z$, se
réduisent à des identités; les équations des deux dernières classes,
étant indépendantes de l'ordre des termes, se réduisent à seize équations
distinctes, savoir: quatre pour la cinquième classe et douze pour
la sixième. On a ainsi un premier groupe de quatre équations
\begin{align*}
\theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{3}(0) +
\padtheta(a) \padtheta(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \padtheta(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\padtheta(a) \padtheta(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{3}(0) +
\theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \padtheta(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{3}(0) -
\theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \padtheta(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{3}(0) -
\theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{2}(0) -
\padtheta(a) \padtheta(b) \padtheta(a + b) \theta(0) &= 0,
\end{align*}
et un second groupe formé des six équations
\begin{align*}
\theta_{1}(a) \padtheta(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{3}(0) +
\padtheta(a) \theta_{1}(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{2}(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\theta_{2}(a) \theta_{3}(b) \theta_{2}(a + b) \theta_{3}(0) -
\theta_{3}(a) \theta_{2}(b) \theta_{3}(a + b) \theta_{2}(0) +
\theta_{1}(a) \padtheta(b) \theta_{1}(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\theta_{1}(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(a + b) \theta_{3}(0) -
\padtheta(a) \theta_{2}(b) \padtheta(a + b) \theta_{2}(0) +
\theta_{2}(a) \padtheta(b) \theta_{2}(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\padtheta(a) \theta_{2}(b) \theta_{1}(a + b) \theta_{3}(0) -
\theta_{1}(a) \theta_{3}(b) \padtheta(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{3}(a) \theta_{1}(b) \theta_{2}(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\theta_{1}(a) \theta_{2}(b) \padtheta(a + b) \theta_{3}(0) -
\padtheta(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(a + b) \theta_{2}(0) +
\theta_{2}(a) \theta_{1}(b) \theta_{3}(a + b) \theta(0) &= 0, \\
%
\padtheta(a) \theta_{3}(b) \padtheta(a + b) \theta_{3}(0) -
\theta_{1}(a) \theta_{2}(b) \theta_{1}(a + b) \theta_{2}(0) -
\theta_{3}(a) \padtheta(b) \theta_{3}(a + b) \theta(0) &= 0,
\end{align*}
et des six qu'on en déduit en permutant $a$~et~$b$, ou, ce qui est la même
chose, les deux premières fonctions~$\theta$ dans chaque terme. Ces seize
équations trinômes entre les quatre quantités~$\theta(a + b)$ déterminent les
rapports de trois de ces quantités à la quatrième, et, par conséquent,
se réduisent à un système de trois équations distinctes.

\Paragraph{309.} \textsc{Seconde espèce.}\ --- Supposons que l'on fasse $y = z = 0$ et
$b = -a$, les douze quantités sur lesquelles portent les fonctions~$\theta$,
dans chaque équation, deviennent
\[
(x + a, x - a, 0, 0),\quad
(a, -a, x, -x),\quad
(a, -a, x, x).
\]
Les deux quantités $y$~et~$z$ étant égales, les équations des deux premières
classes se réduisent à des identités. La troisième classe se compose
\DPPageSep{502.png}{494}
de trois groupes de douze équations; celles du premier groupe,
étant alternes par rapport à $y$~et~$z$, se réduisent aussi à des identités;
celles du troisième groupe, se déduisant de celles du deuxième par la
permutation de $y$~et~$z$, se confondent avec celles-ci; il suffit donc de
considérer les douze équations du deuxième groupe. La cinquième classe
se compose de deux groupes de douze équations, tels que le second se
déduit du premier par la permutation des deux derniers termes; ces
deux groupes se confondant, il suffit de considérer les douze équations
du premier groupe. Ainsi la troisième et la cinquième classe donnent
les $24$~équations suivantes:
\begin{align*}
\theta_{1}(x + a) \theta_{1}(x - a) \theta^{2}(0)
  &= \Neg\theta^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta^{2}(x)
   = \theta_{2}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x) - \theta_{3}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x), \\
%
\theta_{1}(x + a) \theta_{1}(x - a) \theta_{2}^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{2}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x)
   = \theta_{3}^{2}(a) \theta^{2}(x) - \theta^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x), \\
%
\theta_{1}(x + a) \theta_{1}(x - a) \theta_{3}^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{3}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x)
   = \theta_{2}^{2}(a) \theta^{2}(x) - \theta^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x);
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\padtheta(x + a) \padtheta(x - a) \theta^{2}(0)
  &= -\theta_{1}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta^{2}(a) \theta^{2}(x)
   = \theta_{3}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x) - \theta_{2}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x), \\
%
\padtheta(x + a) \padtheta(x - a) \theta_{2}^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{3}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x)
   = \theta_{2}^{2}(a) \theta^{2}(x) + \theta_{1}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x), \\
%
\padtheta(x + a) \padtheta(x - a) \theta_{3}^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{2}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x)
   = \theta_{1}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x) + \theta_{3}^{2}(a) \theta^{2}(x);
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{2}(x + a) \theta_{2}(x - a) \theta^{2}(0)
  &= -\theta_{3}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{2}^{2}(a) \theta^{2}(x)
   = \theta^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x), \\
%
\theta_{2}(x + a) \theta_{2}(x - a) \theta_{2}^{2}(0)
  &= -\theta_{1}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{2}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x)
   = \theta_{3}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x) - \theta^{2}(a) \theta^{2}(x), \\
%
\theta_{2}(x + a) \theta_{2}(x - a) \theta_{3}^{2}(0)
  &= -\theta^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{2}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x)
   = \theta_{3}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta^{2}(x);
\displaybreak[1] \\[4pt]
%
\theta_{3}(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta^{2}(0)
  &= -\theta_{2}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{3}^{2}(a) \theta^{2}(x)
   = \theta^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x), \\
%
\theta_{3}(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta_{2}^{2}(0)
  &= \Neg\theta^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{3}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x)
   = \theta_{1}^{2}(a) \theta^{2}(x) + \theta_{2}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x), \\
%
\theta_{3}(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta_{3}^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{1}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x) + \theta_{3}^{2}(a) \theta_{3}^{2}(x)
   = \theta_{2}^{2}(a) \theta_{2}^{2}(x) + \theta^{2}(a) \theta^{2}(x).
\end{align*}
Les deuxièmes membres proviennent de la troisième classe, les troisièmes
de la cinquième classe. Les premiers membres étant symétriques ou
alternes par rapport à $x$~et~$a$, les deuxièmes et les troisièmes membres
jouissent de la même propriété. Les produits $\theta(x + a) \theta(x - a)$, formés
d'une même fonction~$\theta$, sont égaux, d'après cela, à des expressions
binômes renfermant les carrés de deux fonctions~$\theta(x)$ et les carrés
de deux fonctions~$\theta(a)$.

Remarquons que les six expressions d'un même produit peuvent
se déduire de l'une d'entre elles, à l'aide des deux relations linéaires
qui existent entre les quatre fonctions~$\theta^{2}(x)$ et de celles qui existent
entre les quatre fonctions~$\theta^{2}(a)$ (\no{157}).
\DPPageSep{503.png}{495}

\Paragraph{310.} La quatrième classe se compose de trois groupes de $36$~équations;
le premier groupe se réduisant à des identités, et le troisième se
confondant avec le deuxième, il suffit de considérer celui-ci. Dans ce
deuxième groupe, il y a $12$~équations qui renferment la quantité
nulle~$\theta_{1}(0)$, et qui, par conséquent, se réduisent à des identités; il
en reste~$24$, qui se confondent deux à deux; le nombre des équations
distinctes est donc~$12$. On reconnaît d'ailleurs que la sixième classe
donne les mêmes équations que la quatrième. Ces équations sont les
six suivantes:
\begin{align*}
\theta_{1}(x + a) \padtheta(x - a) \theta_{3}(0) \theta_{2}(0)
  &= \Neg\theta_{2}(a) \theta_{3}(a) \padtheta(x) \theta_{1}(x)
   + \theta_{1}(a) \padtheta(a) \theta_{3}(x) \theta_{2}(x), \\
%
\theta_{1}(x + a) \theta_{2}(x - a) \theta_{3}(0) \padtheta(0)
  &= \Neg\padtheta(a) \theta_{3}(a) \theta_{2}(x) \theta_{1}(x)
   + \theta_{1}(a) \theta_{2}(a) \theta_{3}(x) \padtheta(x), \\
%
\theta_{1}(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta_{2}(0) \padtheta(0)
  &= \Neg\padtheta(a) \theta_{2}(a) \theta_{3}(x) \theta_{1}(x)
   + \theta_{1}(a) \theta_{3}(a) \theta_{2}(x) \padtheta(x), \\
%
\padtheta(x + a) \theta_{2}(x - a) \theta_{2}(0) \padtheta(0)
  &= \Neg\theta_{1}(a) \theta_{3}(a) \theta_{3}(x) \theta_{1}(x)
   + \padtheta(a) \theta_{2}(a) \theta_{2}(x) \padtheta(x), \\
%
\padtheta(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta_{3}(0) \padtheta(0)
  &= \Neg\theta_{1}(a) \theta_{2}(a) \theta_{2}(x) \theta_{1}(x)
   + \padtheta(a) \theta_{3}(a) \theta_{3}(x) \padtheta(x), \\
%
\theta_{2}(x + a) \theta_{3}(x - a) \theta_{2}(0) \theta_{2}(0)
  &= -\theta_{1}(a) \padtheta(a) \padtheta(x) \theta_{1}(x)
   + \theta_{2}(a) \theta_{3}(a) \theta_{3}(x) \theta_{2}(x),
\end{align*}
et les six qu'on en déduit, en remplaçant~$a$ par~$-a$. Les deuxièmes
membres, comme les premiers, sont symétriques ou alternes par rapport
à $x$~et~$a$. Les produits $\theta(x + a) \theta(x - a)$, formés de deux fonctions~$\theta$
différentes, sont égaux à des binômes renfermant chacun les quatre
fonctions~$\theta(x)$ et les quatre fonctions~$\theta(a)$.


\Section{Formules de Jacobi}

\Paragraph{311.} Des relations précédentes on déduit aisément des formules remarquables
trouvées par Jacobi (\textit{Journal de Crelle}, 1845). Soient
$a, b, c, d$ quatre quantités arbitraires; si l'on désigne par $a', b', c', d'$
quatre quantités nouvelles définies par les formules
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
2a' &= -a + b + c + d,\quad & 2b' &= a - b + c + d, \\
2c' &= \Neg a + b - c + d,  & 2d' &= a + b + c - d,
\end{alignedat}
\right.
\]
on a réciproquement
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
2a &= -a' + b' + c' + d',\quad & 2b &= a' - b' + c' + d', \\
2c &= \Neg a' + b' - c' + d',  & 2d &= a' + b' + c' - d'.
\end{alignedat}
\right.
\]
\DPPageSep{504.png}{496}
On peut remplacer ces deux systèmes de formules par les relations
équivalentes
\[
\Tag{(3)}
a + a' = b + b' = c + c' = d + d',\quad
a + b = c' + d'.
\]
On a aussi la relation
\[
\Tag{(4)}
a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = a'^{2} + b'^{2} + c'^{2} + d'^{2}.
\]

Supposons maintenant que, dans les six classes d'équations générales,
on fasse $a = \alpha$, $b = -\alpha$, c'est-à-dire $a + b = 0$; chacune d'elles
renfermera les douze quantités
\[
(x + \alpha, x - \alpha, y + z, y - z),\quad
(y + \alpha, y - \alpha, z + x, z - x),\quad
(z + \alpha, z - \alpha, x + y, x - y),
\]
dans l'ordre où nous les avons écrites. Si l'on pose
\[
x + \alpha = a,\quad
x - \alpha = b,\quad
y + z = c,\quad
y - z = d,
\]
d'où
\[
x = \frac{a + b}{2},\quad
\alpha = \frac{a - b}{2},\quad
y = \frac{c + d}{2},\quad
z = \frac{c - d}{2},
\]
on aura
\[
y + \alpha = b',\quad
y - \alpha = a',\quad
z + x = d',\quad
z - x = -c'.
\]
Dans chaque équation, les quatre facteurs du premier terme porteront
sur $a, b, c, d$ les quatre facteurs du second terme sur $b', a', d', -c'$;
afin de conserver l'ordre alphabétique des lettres, on permutera dans
le second terme les deux premiers facteurs entre eux, ainsi que les deux
derniers, en ayant soin, avant la permutation, de changer le signe de
la quantité qui entre dans le dernier facteur.

Dans le troisième terme entrent les quantités
\begin{alignat*}{2}
z + \alpha &= \frac{ a - b + c - d}{2}, &
x + y &= \frac{a + b + c + d}{2}, \\
z - \alpha &= \frac{-a + b + c - d}{2}, \quad &
x - y &= \frac{a + b - c - d}{2},
\end{alignat*}
que nous désignerons par $a'', b'', c'', d''$. De cette manière, dans chacune
des équations, les quatre fonctions qui forment le premier terme porteront
\DPPageSep{505.png}{497}
sur les quantités $a, b, c, d$, celles du second sur $a', b', c', d'$, et
celles du troisième sur $a'', b'', c'', d''$, dans l'ordre alphabétique des
lettres.

\Paragraph{312.} Cela posé, considérons celles de ces équations qui renferment
le terme $\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}$, que nous supposerons placé au troisième rang par
des permutations circulaires, et égalons les valeurs qu'on en tire pour
$\theta_{3}(a'') \theta_{3}(b'') \theta_{3}(c'') \theta_{3}(d'')$; nous aurons
\[
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta +
(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2})'
  &= \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}
   + (\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta)' \\
%
= \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} +
 (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3})'
  &= \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}
   + (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1})'.
\end{aligned}
\right.
\]
En égalant les valeurs de $\theta(a'') \theta(b'') \theta(c'') \theta(d'')$, on a de même
\[
\Tag{(6)}
\padtheta \padtheta \padtheta \theta +
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} =
(\padtheta \padtheta \padtheta \theta)' +
(\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1})'.
\]
Les termes non accentués renferment les lettres $a, b, c, d$, les termes
accentués les lettres $a', b', c', d'$. Les relations \Eq{(5)}~et~\Eq{(6)} ont la même
forme que les relations~\Eq{(3)}; les deux suites de quantités
\[
\Tag{(A)}
\left\{
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
\padtheta \padtheta \padtheta \theta, &
\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}, &
\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}, &
\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}, \\
%
(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2})', &
(\padtheta \padtheta \padtheta \theta)', &
(\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3})', &
(\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1})'
\end{array}
\right.
\]
y jouent le même rôle que les deux suites de quantités
\[
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
  a,  & b,  & c,  & d, \\
  a', & b', & c', & d'
\end{array}
\]
dans les équations~\Eq{(3)}. On en déduit les formules
\[
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{aligned}
2(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2})'
  &= -\padtheta \padtheta \padtheta \theta
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}
   + \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}, \\
%
2(\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta)\DPtypo{}{'}
  &= \Neg\padtheta \padtheta \padtheta \theta
   - \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}
   + \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}, \\
%
2(\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3})'
  &= \Neg\padtheta \padtheta \padtheta \theta
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}
   - \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3}, \\
%
2(\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1})'
  &= \Neg\padtheta \padtheta \padtheta \theta
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2}
   + \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}
   - \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3},
\end{aligned}
\right.
\]
analogues aux formules~\Eq{(1)}. On en déduit ainsi la relation
\[
\Tag{(8)}
\left\{
\begin{array}{*{4}{c@{\,}c@{\,}}}
 &(\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta)^{2} &+&
  (\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2})^{2} &+&
  (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1})^{2} &+&
  (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3})^{2} \\
%
  =&\bigl[(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{2} \theta_{2})'\bigr]^{2} &+&
    \bigl[(\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta)'\bigr]^{2} &+&
    \bigl[(\theta_{3} \theta_{3} \theta_{3} \theta_{3})'\bigr]^{2} &+&
    \bigl[(\theta_{1} \theta_{1} \theta_{1} \theta_{1}')\bigr]^{2},
\end{array}
\right.
\]
analogue à la relation~\Eq{(4)}.
\DPPageSep{506.png}{498}

A cause de la symétrie des formules, il est clair que l'on peut permuter
à volonté deux termes de l'une des lignes~$A$, pourvu que l'on
permute aussi les termes correspondants de l'autre ligne. Les relations
ne changent pas.

\Paragraph{313.} En égalant de même les valeurs de~$(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3})''$ et celles de
$(\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1})''$, on obtient les relations
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{array}{*{4}{c@{\,}c@{\,}}}
  &\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} &+&
  (\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3})' &=&
  \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3} &+&
  (\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1})'\phantom{,} \\
%
= &\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta &+&
  (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2})' &=&
  \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2} &+&
  (\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta)', \\
%
  &\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1} &+&
  \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta &=&
  (\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1})' &+&
  (\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta)',
\end{array}
\right.
\]
analogues aux relations~\Eq{(3)}, par rapport aux deux suites de quantités
\[
\Tag{(B)}
\left\{
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
  \padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1}, &
  \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3}, &
  \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta, &
  \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2}, \\
%
  (\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3})', &
  (\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1})', &
  (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2})', &
  (\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta)'.
\end{array}
\right.
\]

On en déduit les formules
\[
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{aligned}
2(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3})'
  &= -\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3}
   + \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2}, \\
%
2(\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1})'
  &= \Neg\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1}
   - \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3}
   + \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2}, \\
%
2(\theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2})'
  &= \Neg\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3}
   - \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta
   + \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2}, \\
%
2(\theta_{1} \theta_{1} \padtheta \padtheta)'
  &= \Neg\padtheta \padtheta \theta_{1} \theta_{1}
   + \theta_{2} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{3}
   + \theta_{1} \theta_{1} \padtheta \theta
   - \theta_{3} \theta_{3} \theta_{2} \theta_{2}.
\end{aligned}
\right.
\]

En égalant les valeurs de $(\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \theta\,)''$ et celles de $(\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1})''$, on
obtient les relations
\[
\Tag{(11)}
\left\{
\begin{array}{*{4}{c@{\,}c@{\,}}}
  &\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2} &+&
  (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3})' &=&
  \theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3} &+&
  (\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2})'\phantom{,} \\
%
=& \theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta &+&
  (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1})' &=&
  \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1} &+&
  (\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta)', \\
%
  &\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{1} &-&
  \theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta &=&
  (\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2})' &+&
  (\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \padtheta)',
\end{array}
\right.
\]
analogues aux relations~\Eq{(3)}, par rapport aux deux suites de quantités
\[
\Tag{(C)}
\left\{
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
  \padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2}, &
  \theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3}, &
  \theta_{2} \theta_{2} \padtheta \theta, &
  \theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1}, \\
%
  (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{3} \theta_{3})', &
  (\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2})', &
  (\theta_{3} \theta_{3} \theta_{1} \theta_{1})', &
  (\theta_{2} \theta_{2} \padtheta \theta)'.
\end{array}
\right.
\]

En égalant les valeurs de $(\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \theta\,)''$ et celles de $(\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1})''$, on
\DPPageSep{507.png}{499}
obtient les relations
\[
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{array}{*{4}{c@{\,}c@{\,}}}
  &\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3} &+&
  (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2})' &=&
  \theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2} &+&
  (\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3})'\phantom{,} \\
%
=& \theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta &+&
  (\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1})' &=&
  \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1} &+&
  (\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta)', \\
%
  &\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3} &+&
  \theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta &=&
  -(\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3})' &+&
  (\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \padtheta)',
\end{array}
\right.
\]
analogues aux relations~\Eq{(3)}, par rapport aux deux suites de quantités
\[
\Tag{(D)}
\left\{
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
  \padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3}, &
  \theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2}, &
  \theta_{3} \theta_{3} \padtheta \theta, &
  \theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1}, \\
%
  (\theta_{1} \theta_{1} \theta_{2} \theta_{2})', &
  (\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3})', &
  (\theta_{2} \theta_{2} \theta_{1} \theta_{1})', &
  (\theta_{3} \theta_{3} \padtheta \theta)'.
\end{array}
\right.
\]

Dans les trois groupes de relations caractérisés par les dispositions
\Eq{(B)}, \Eq{(C)}, \Eq{(D)}, on peut, à cause de la symétrie des relations, permuter
deux termes de l'une des lignes et les deux termes correspondants de la
seconde ligne. La symétrie des formules \Eq{(1)}~et~\Eq{(2)} permet aussi de
permuter deux quelconques des lettres $a, b, c, d$; ceci revient à changer
l'ordre des facteurs dans les relations précédentes. Nous avons ainsi
toutes les relations où la même fonction forme deux facteurs d'un terme,
et une autre les deux autres facteurs.

\Paragraph{314.} En égalant les valeurs de $(\theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta\,)''$ et celles de $(\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3})''$,
on obtient aussi les relations
\[
\Tag{(13)}
\left\{
\begin{array}{*{4}{c@{\,}c@{\,}}}
  &\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3} &+&
  (\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3})' &=&
  \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \padtheta &+&
  (\theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \padtheta)'\phantom{,} \\
%
=& \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} &+&
  (\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1})' &=&
  \theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2} &+&
  (\theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2})', \\
%
  &\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3} &+&
  \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1} &=&
  (\theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta)' &+&
  (\theta_{1} \padtheta \theta_{2} \theta_{3})',
\end{array}
\right.
\]
analogues aux relations~\Eq{(3)}, par rapport aux deux suites de quantités
\[
\Tag{(E)}
\left\{
\begin{array}{c*{3}{>{\quad}{c}}}
  \padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3}, &
  \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta, &
  \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1}, &
  \theta_{1} \padtheta  \theta_{3} \theta_{2}, \\
%
  (\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3})', &
  (\theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta)', &
  (\theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1})', &
  (\theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2})'.
\end{array}
\right.
\]

On en déduit les formules
\[
\Tag{(14)}
\left\{
\begin{aligned}
2(\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3})'
  &= -\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3}
   + \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta
   + \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1}
   + \theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2}, \\
%
2(\theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \padtheta)'
  &= \Neg\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3}
   - \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta
   + \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1}
   + \theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2}, \\
%
2(\theta_{2} \theta_{3} \theta_{1} \padtheta)'
  &= \Neg\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3}
   + \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta
   - \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1}
   + \theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2}, \\
%
2(\theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2})'
  &= \Neg\padtheta \theta_{1} \theta_{2} \theta_{3}
   + \theta_{3} \theta_{2} \theta_{1} \theta
   + \theta_{2} \theta_{3} \padtheta \theta_{1}
   - \theta_{1} \padtheta \theta_{3} \theta_{2}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{508.png}{500}
Chaque terme est formé des quatre fonctions~$\theta$. On obtient toutes les
relations de cette sorte, en permutant de la même manière les facteurs
dans tous les termes.

\Paragraph{315.} Si, dans les équations générales, on fait $x = y = 0$, les douze
fonctions~$\theta$, qui entrent dans chacune d'elles, portent sur les quantités
\[
(a, b, a + b + z, -z),\quad
(a, b, a + b + z,  z),\quad
(z + a, z + b, a + b, 0).
\]
Les équations de la troisième classe qui contiennent l'un des termes
$\padtheta \padtheta \padtheta \padtheta$, $\padtheta \padtheta \theta_{3} \theta_{3}$, $\padtheta \padtheta \theta_{2} \theta_{2}$, donnent
\begin{align*}
  &\theta(a + z) \theta(b + z) \theta(a + b) \theta(0) \\
  &\quad= \theta(a) \theta(b) \theta(z) \theta(a + b + z)
  + \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z), \\
%
  &\theta(a + z) \theta(b + z) \theta_{3}(a + b) \theta_{3}(0) \\
  &\quad= \theta(a) \theta(b) \theta_{3}(z) \theta_{3}(a + b + z)
  + \theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z), \\
%
  &\theta(a + z) \theta(b + z) \theta_{2}(a + b) \theta_{2}(0) \\
  &\quad= \theta(a) \theta(b) \theta_{2}(z) \theta_{2}(a + b + z)
   + \theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z).
\end{align*}
En divisant membre à membre les équations précédentes et celles que
l'on obtient en remplaçant~$z$ par~$-z$, on~a
\begin{align*}
  \frac{\theta(a + z) \theta(b + z)}{\theta(a - z) \theta(b - z)}
  &= \frac{\theta(a) \theta(b) \padtheta(z) \padtheta(a + b + z)
         + \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z)}
          {\theta(a) \theta(b) \padtheta(z) \padtheta(a + b - z)
         - \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b - z)} \\
%
  &= \frac{\theta(a) \theta(b) \theta_{3}(z) \theta_{3}(a + b + z)
         + \theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z)}
          {\theta(a) \theta(b) \theta_{3}(z) \theta_{3}(a + b - z)
         - \theta_{2}(a) \theta_{2}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b - z)} \\
%
  &= \frac{\theta(a) \theta(b) \theta_{2}(z) \theta_{2}(a + b + z)
         + \theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z)}
          {\theta(a) \theta(b) \theta_{2}(z) \theta_{2}(a + b - z)
         - \theta_{3}(a) \theta_{3}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b - z)}.
\end{align*}

Si l'on désigne le premier membre par~$N$, on en déduit
\[
\Tag{(15)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda(a) \lambda(b)
  &= \frac{1}{k}\, \frac{\padtheta(z)}{\theta_{1}(z)}\,
     \frac{N \padtheta(a + b - z) - \padtheta(a + b + z)}
          {N \theta_{1}(a + b - z) + \theta_{1}(a + b + z)}, \\
%
\mu(a) \mu(b)
  &= \frac{\PadTo[l]{1}{k'}}{k}\, \frac{\theta_{3}(z)}{\theta_{1}(z)}\,
     \frac{N \theta_{3}(a + b - z) - \theta_{3}(a + b + z)}
          {N \theta_{1}(a + b - z) + \theta_{1}(a + b + z)}, \\
%
\nu(a) \nu(z)
  &= k'\, \frac{\theta_{2}(z)}{\theta_{1}(z)}\,
     \frac{N \theta_{2}(a + b - z) - \theta_{2}(a + b + z)}
          {N \theta_{1}(a + b - z) + \theta_{1}(a + b + z)}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{509.png}{501}

\Paragraph{316.} Ces dernières relations permettent de résoudre une question
de Calcul intégral, intéressante par son analogie avec les fonctions
abéliennes (\textit{Académie des Sciences; Savants étrangers}, 1851; \textit{Mémoire
de Rosenhain}). Les deux équations différentielles simultanées
\[
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{gathered}
\frac{du}{\Delta u} + \frac{dv}{\Delta v} = dx, \\
%
\left[-\frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  + \frac{k^{2} \lambda(a) \lambda'(a) u^{2}}{1 - k^{2} \lambda^{2}(a) u^{2}}
\right] \frac{du}{\Delta u} +
\left[-\frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  + \frac{k^{2} \lambda(a) \lambda'(a) v^{2}}{1 - k^{2} \lambda^{2}(a) v^{2}}
\right] \frac{dv}{\Delta v} \rlap{$= dy$,}
\end{gathered}
\right.
\]
auxquelles on joint les conditions initiales $u = 0$, $v = 0$, $\Delta u = 1$,
$\Delta v = 1$ pour $x = 0$ et $y = 0$, $\Delta u$~et~$\Delta v$ désignant les deux radicaux
$\sqrt{(1 - u^{2}) (1 - k^{2}u^{2})}$, $\sqrt{(1 - v^{2}) (1 - k^{2}v^{2})}$, définissent deux fonctions $u$~et~$v$
des deux variables indépendantes $x$~et~$y$. On peut les mettre sous
la forme
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(17)}
\left\{
\begin{aligned}
&\int_{0}^{u} \frac{du}{\Delta u} + \int_{0}^{v} \frac{dv}{\Delta v} = x, \\
&\int_{0}^{u} \left[-\frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  + \frac{k^{2} \lambda(a) \lambda'(a) u^{2}}{1 - k^{2} \lambda^{2}(a) u^{2}}
\right] \frac{du}{\Delta u} \\
+&
\int_{0}^{v} \left[-\frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  + \frac{k^{2} \lambda(a) \lambda'(a) v^{2}}{1 - k^{2} \lambda^{2}(a) v^{2}}
\right] \frac{dv}{\Delta v} = y.
\end{aligned}
\right.
\]

Si l'on pose
\[
z = \int_{0}^{u} \frac{du}{\Delta u},\quad
t = \int_{0}^{v} \frac{dv}{\Delta v},
\]
d'où $u = \lambda(z)$, $v = \lambda(t)$, ces équations deviennent, en vertu de la formule~\Eq{(21)}
du \no{275},
\[
\Tag{(18)}
\left\{
\begin{aligned}
& z + t = x, \\
& \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta(a + z)}
+ \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - t)}{\theta(a + t)} = y,
\end{aligned}
\right.
\]
ou
\[
\Tag{(19)}
\left\{
\begin{aligned}
& z + t = x, \\
& \frac{\theta(z + a) \theta(t + a)}{\theta(z - a) \theta(t - a)} = e^{-2y}.
\end{aligned}
\right.
\]

En remplaçant $a, b, z$ par $z, t, a$ dans les équations~\Eq{(15)}, et remarquant
\DPPageSep{510.png}{502}
que la quantité~$N$ devient égale à~$e^{-2y}$, on~a
\[
\Tag{(20)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda(z) \lambda(t)
  &= \frac{1}{k}\, \frac{\theta(a)}{\theta_{1}(a)}\,
     \frac{e^{-y} \padtheta(x - a) - e^{y} \padtheta(x + a\DPtypo{}{)}}
          {e^{-y} \theta_{1}(x - a) + e^{y} \theta_{1}(x + a)}, \\
%
\mu(z) \mu(t)
  &= \frac{k'}{k}\, \frac{\theta_{3}(a)}{\theta_{1}(a)}\,
     \frac{e^{-y} \theta_{3}(x - a) - e^{y} \theta_{3}(x + a)}
          {e^{-y} \theta_{\DPtypo{2}{1}}(x - a) +  e^{y} \theta_{1}(x + a)}, \\
%
\nu(z) \nu(t)
  &= k'\, \frac{\theta_{2}(a)}{\theta_{1}(a)}\,
     \frac{e^{-y} \theta_{2}(x - a) - e^{y} \theta_{2}(x + a)}
          {e^{-y} \theta_{1}(x - a) + e^{y} \theta_{1}(x + a)}.
\end{aligned}
\right.
\]
Les seconds membres de ces équations sont des fonctions monotropes
des deux variables indépendantes $x$~et~$y$. La première donne le produit~$uv$,
la seconde donne $\sqrt{(1 - u^{2}) (1 - v^{2})}$, d'où l'on déduira $u^{2} + v^{2}$.
On en conclut que $u^{2}$~et~$v^{2}$ sont les racines d'une équation du second
degré
\[
\Tag{(21)}
\phi^{2} - P\phi + Q = 0,
\]
dont les coefficients $P$~et~$Q$ sont des fonctions monotropes des deux
variables $x$~et~$y$. A chaque système de valeurs de $x$~et~$y$ correspond un
seul système de valeurs de $u^{2}$~et~$v^{2}$; ces valeurs de~$u^{2}$ et de~$v^{2}$ se permutent,
quand les variables $x$~et~$y$ arrivent aux mêmes points par différents
chemins.

A l'inspection des équations~\Eq{(20)}, on reconnaît que les quantités $u^{2} v^{2}$
et~$u^{2} + v^{2}$ reprennent les mêmes valeurs quand on augmente~$x$ de~$\omega$,
$y$~ne changeant pas, ou $y$~de~$\pi i$, $x$~ne changeant pas, ou simultanément
$x$~de~$\omega'$ et $y$~de~$\dfrac{2\pi ai}{\omega}$. On en conclut que les deux fonctions monotropes $P$~et~$Q$
reprennent les mêmes valeurs pour tous les systèmes de valeurs
de~$x$ et de~$y$ compris dans les formules
\[
x + m\omega + m''\omega',\quad
y + m'\pi i + m''\, \frac{2\pi ai}{\omega},
\]
$m, m', m''$ étant des nombres entiers quelconques. Ces deux fonctions
admettent donc trois systèmes de périodes conjuguées:
\begin{alignat*}{4}
&\text{pour } x,\quad&& \omega,\quad&& 0,\quad&&  \omega'; \\
&\text{pour } y,\quad&& 0,\quad&& \pi i,\quad&& \frac{2\pi ai}{\omega}.
\end{alignat*}
\DPPageSep{511.png}{503}


\Chapitre[Addition des Arguments]
{II}{Addition des Arguments dans les Fonctions Elliptiques}

\Paragraph{317.} Nous avons trouvé (\no{308}) seize équations trinômes, linéaires
et homogènes, entre les quatre quantités $\theta(a + b)$, $\theta_{1}(a + b)$, $\theta_{2}(a + b)$,
$\theta_{3}(a + b)$, qui déterminent leurs rapports et qui, par conséquent,
peuvent se réduire à trois d'entre elles. Si l'on divise tous les termes
par le produit $\theta(a) \theta(b) \theta(a + b) \theta(0)$, elles se transforment en des relations
linéaires entre les trois quantités $\lambda(a + b)$, $\mu(a + b)$, $\nu(a + b)$.
Les quatre premières
\begin{align*}
&\mu(a + b) + \lambda(a) \lambda(b) \nu(a + b) - \mu(a) \mu(b) = 0, \\
&\nu(a + b) + k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \mu(a + b) - \nu(a) \nu(b) = 0, \\
&\nu(a) \nu(b) \mu(a + b) - \mu(a) \mu(b) \nu(a + b)
  + k'^{2}\lambda(a) \lambda(b) = 0, \\
&\nu(a) \nu(b) \nu(a + b) - k^{2}\mu(a) \mu(b) \mu(a + b)
  - k'^{2} \DPtypo{}{= 0},
\end{align*}
sont symétriques en $a$~et~$b$; les douze autres sont les suivantes:
\begin{align*}
&\lambda(a) \mu(a + b) + \lambda(b) \nu(a + b)
  - \mu(a) \nu(b) \lambda(a + b) = 0, \\
&\mu(a) \nu(b) \mu(a + b) - \nu(a) \mu(b) \nu(a + b)
  + k'^{2}\lambda(a) \lambda(a + b) = 0, \\
&\lambda(a) \nu(b) \lambda(a + b) + \mu(a) \mu(a + b) - \mu(b) = 0, \\
&\mu(b) \lambda(a + b) - \lambda(b) \nu(a) \mu(a + b) - \lambda(a) \nu(b) = 0, \\
&\nu(b) \lambda(a + b) - \lambda(b) \mu(a) \nu(a + b) - \lambda(a) \mu(b) = 0, \\
&\nu(a) \nu(a + b) + k^{2}\lambda(a) \mu(b) \lambda(a + b) - \nu(b) = 0,
\end{align*}
et les six qu'on en déduit par la permutation des lettres $a$~et~$b$.

\Paragraph{318.} Les deux premières donnent $\mu(a + b)$~et~$\nu(a + b)$; en substituant
ces expressions dans la cinquième, ou dans l'une des suivantes,
\DPPageSep{512.png}{504}
on trouve~$\lambda(a + b)$. On obtient ainsi les formules
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda(a + b)
  &= \frac{\lambda(a) \mu(b) \nu(b) + \lambda(b) \mu(a) \nu(a)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)}, \\
%
\mu(a + b)
  &= \frac{\mu(a) \mu(b) - \lambda(a) \lambda(b) \nu(a) \nu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)}, \\
%
\nu(a + b)
  &= \frac{\nu(a) \nu(b) - k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \mu(a) \mu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)},
\end{aligned}
\right.
\]
relatives à l'addition des arguments dans les fonctions elliptiques. Quand
on connaît les valeurs des fonctions elliptiques pour les arguments $a$~et~$b$,
elles donnent leurs valeurs pour un argument~$a + b$ égal à la
somme des deux premiers.

A l'aide de ces formules et de celles du \no{235}, on peut, lorsque le
module~$k$ est réel, positif et inférieur à l'unité, calculer les valeurs des
fonctions elliptiques $\lambda(z), \mu(z), \nu(z)$ pour une valeur imaginaire
$z = x + yi$ attribuée à l'argument.

Les relations de seconde espèce conduisent encore plus rapidement
à ces formules. Considérons, en effet, les trois équations (\no{310})
\begin{align*}
  \theta_{1}(x + a) \theta(x - a) \theta_{3}(0) \theta_{2}(0)
  &= \theta_{2}(a) \theta_{3}(a) \padtheta(x) \theta_{1}(x)
   + \theta_{1}(a) \padtheta(a) \theta_{3}(x) \theta_{2}(x), \\
%
  \theta_{2}(x + a) \theta(x - a) \theta_{2}(0) \padtheta(0)
  &= \padtheta(a) \theta_{2}(a) \theta_{2}(x) \padtheta(x)
   - \theta_{1}(a) \theta_{3}(a) \theta_{3}(x) \theta_{1}(x), \\
%
  \theta_{3}(x + a) \theta(x - a) \theta_{3}(0) \padtheta(0)
  &= \padtheta(a) \theta_{3}(a) \theta_{3}(x) \padtheta(x)
   - \theta_{1}(a) \theta_{2}(a) \theta_{2}(x) \theta_{1}(x),
\end{align*}
et divisons chacune d'elles membre à membre par la quatrième équation
du \no{309}
\[
\theta(x + a) \theta(x - a) \theta^{2}(0)
  = \theta^{2}(a) \theta^{2}(x) - \theta_{1}^{2}(a) \theta_{1}^{2}(x),
\]
nous obtiendrons immédiatement les formules~\Eq{(1)}.

%[** TN: Manually added vertical space to improve next two page breaks]
\Paragraph{319.} Les formules précédentes, dans lesquelles on remplace~$b$ par~$-b$,
deviennent
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
  \lambda(a - b)
  &= \frac{\lambda(a) \mu(b) \nu(b) - \lambda(b) \mu(a) \nu(a)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)}, \\[4pt]
%
\mu(a - b)
  &= \frac{\mu(a) \mu(b) + \lambda(a) \lambda(b) \nu(a) \nu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)}, \\[4pt]
%
\nu(a - b)
  &= \frac{\nu(a) \nu(b) + k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \mu(a) \mu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{513.png}{505}

On en déduit un grand nombre de relations, parmi lesquelles nous
citerons les suivantes:
\begin{align*}
\Tag{(3)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda(a + b) + \lambda(a - b)
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(b) \nu(b)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\mu(a + b) + \mu(a - b)
  &= \frac{2\mu(a) \mu(b)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\nu(a + b) + \nu(a - b)
  &= \frac{2\nu(a) \nu(b)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)};
\end{aligned}
\right.\displaybreak[1] \\[8pt]
%
\Tag{(4)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda(a + b) - \lambda(a - b)
  &= \frac{2\lambda(b) \mu(a) \nu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\mu(a + b) - \mu(a - b)
  &= \frac{2\lambda(a) \lambda(b) \nu(a) \nu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\nu(a + b) - \nu(a - b)
  &= \frac{2k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \mu(a) \mu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)};
\end{aligned}
\right.\displaybreak[1] \\[8pt]
%
\Tag{(5)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda(a + b) \lambda(a - b)
  &= \frac{\lambda^{2}(a) - \lambda^{2}(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\mu(a + b) \mu(a - b)
  &= \frac{\dfrac{1}{k^{2}}\bigl[\nu^{2}(a) \nu^{2}(b) - k'^{2}\bigr]}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\nu(a + b) \nu(a - b)
  &= \frac{k^{2} \mu^{2}(a) \mu^{2}(b) + k'^{2}}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)};
\end{aligned}
\right.\displaybreak[1] \\[8pt]
%
\Tag{(6)}
&\left\{
\begin{aligned}
\mu(a + b) \nu(a - b) + \mu(a - b) \nu(a + b)
  &= \frac{2\mu(a) \nu(a) \mu(b) \nu(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\mu(a + b) \nu(a - b) - \mu(a - b) \nu(a + b)
  &= \frac{-2k'^{2}\lambda(a) \lambda(b)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\lambda(a + b) \nu(a - b) + \lambda(a - b) \nu(a + b)
  &= \frac{2\lambda(a) \nu(a) \mu(b)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\lambda(a + b) \nu(a - b) - \lambda(a - b) \nu(a + b)
  &= \frac{2\lambda(b) \nu(b) \mu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\lambda(a + b) \mu(a - b) + \lambda(a - b) \mu(a + b)
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(a) \nu(b)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}, \\[4pt]
\lambda(a + b) \mu(a - b) - \lambda(a - b) \mu(a + b)
  &= \frac{2\lambda(b) \mu(b) \nu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda_{2}(b)}.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
Le groupe~\Eq{(5)} résulte immédiatement des relations du \no{309}.
\DPPageSep{514.png}{506}

La première des équations~\Eq{(4)} peut être mise sous la forme
\[
\Tag{(7)}
\lambda(a + b) - \lambda(a - b)
  = \frac{1}{k}
    \Diff_{a} \log \frac{1 + k\lambda(a) \lambda(b)}
                        {1 - k\lambda(a) \lambda(b)};
\]
on a aussi
\[
\Tag{(8)}
\lambda^{2}(a + b) - \lambda^{2}(a - b)
  = -\frac{1}{k^{2}}
    \Diff_{ab}^{2}\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(b)\bigr].
\]
Jacobi s'est servi de ces dernières formules pour trouver les développements
des \nos~\nref{285}~et~\nref{286}.

\Paragraph{320.} Si, dans les relations~\Eq{(3)}, on ajoute à~$a$ l'une des quantités $\dfrac{\omega'}{2}$,
$\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on obtient les neuf relations
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda(a + b)} + \frac{1}{\lambda(a - b)}
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(b) \nu(b)}{\lambda^{2}(a) - \lambda^{2}(b)}, \\
\frac{1}{\mu(a + b)} + \frac{1}{\mu(a - b)}
  &= \frac{2k^{2}\mu(a) \mu(b)}{\nu^{2}(a) \nu^{2}(b) - k'^{2}}, \\
\frac{1}{\nu(a + b)} + \frac{1}{\nu(a - b)}
  &= \frac{2\nu(a) \nu(b)}{k'^{2} + k^{2} \mu^{2}(a) \mu^{2}(b)}, \\
%
\frac{\mu(a + b)}{\nu(a + b)} + \frac{\mu(a - b)}{\nu(a - b)}
  &= \frac{2\mu(a) \mu(b) \nu(a) \nu(b)}
          {k'^{2} + k^{2} \mu^{2}(a) \mu^{2}(b)}, \\
\frac{\nu(a + b)}{\mu(a + b)} + \frac{\nu(a - b)}{\mu(a - b)}
  &= \frac{2k^{2}\mu(a) \mu(b) \nu(a) \nu(b)}
          {\nu^{2}(a)\nu^{2}(b) - k'^{2}}, \\
\frac{\nu(a + b)}{\lambda(a + b)} + \frac{\nu(a - b)}{\lambda(a - b)}
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(b) \nu(a)}{\lambda^{2}(a) - \lambda^{2}(b)}, \\
%
\frac{\lambda(a + b)}{\nu(a + b)} + \frac{\lambda(a - b)}{\nu(a - b)}
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(b) \nu(a)}
          {k'^{2} + k^{2} \mu^{2}(a) \mu^{2}(b)}, \\
\frac{\lambda(a + b)}{\mu(a + b)} + \frac{\lambda(a - b)}{\mu(a - b)}
  &= \frac{2k^{2}\lambda(a) \mu(a) \nu(b)}
          {\nu^{2}(a)\nu^{2}(b) - k'^{2}}, \\
\frac{\mu(a + b)}{\lambda(a + b)} + \frac{\mu(a - b)}{\lambda(a - b)}
  &= \frac{2\lambda(a) \mu(a) \nu(b)}{\lambda^{2}(a) - \lambda^{2}(b)}.
\end{aligned}
\right.
\]
Les équations~\Eq{(4)} donneraient, de la même manière, neuf relations
analogues aux précédentes.

\Paragraph{321.} \Remarque Nous avons dit (\no{260}) que le problème de la
\DPPageSep{515.png}{507}
transformation est de trouver une fonction~$y$ de~$x$, telle que l'expression
différentielle~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$, où $Y$~désigne un polynôme entier du troisième
ou du quatrième degré en~$y$, se transforme en un autre de même
forme~$\dfrac{dx}{\sqrt{X}}$, $X$~étant aussi un polynôme entier du troisième ou du quatrième
degré en~$x$. La formule $\lambda(z + t) = \dfrac{\lambda(z) \mu(t) \nu(t) + \lambda(t) \mu(z) \nu(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}$,
dans laquelle on regarde $z$~comme une variable et $t$~comme une constante,
opère la transformation la plus simple. Si l'on pose, en effet,
$x = \lambda(z)$, $y = \lambda(z + t)$, et que l'on représente par~$a$ la constante~$\lambda(t)$,
cette formule devient
\[
\Tag{(10)}
y = \frac{x \sqrt{(1 - a^{2}) (1 - k^{2}a^{2})}
        + a \sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}}{1 - k^{2} a^{2} x^{2}};
\]
mais on~a
\[
dz = \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}},\quad
d(z + t) = dz = \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k^{2}y^{2})}},
\]
d'où
\[
\Tag{(11)}
\frac{dy}{\sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k^{2}y^{2})}}
  = \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
Ainsi, quand on remplace~$y$ par sa valeur donnée par l'équation~\Eq{(10)},
la première expression différentielle se transforme en une autre tout
à fait semblable. Cette fonction~$y$ de~$x$ est l'intégrale de l'équation
différentielle~\Eq{(11)}, à laquelle on joint la condition initiale $y = a$
pour $x = 0$.

La découverte d'Euler, à laquelle nous avons fait allusion au \no{270},
et qui a été le premier pas dans l'étude des fonctions elliptiques, consiste
dans l'intégration, sous forme algébrique, de l'équation différentielle
\[
\Tag{(12)}
\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}} +
\frac{dy}{\sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k^{2}y^{2})}} = 0.
\]
La formule de l'addition donne immédiatement cette intégrale; car,
si l'on pose $x = \lambda(z, k)$, $y = \lambda(t, k)$, l'équation précédente se réduit
\DPPageSep{516.png}{508}
à $dz + dt = 0$; l'intégrale générale est $z + t = C$, ou bien
\[
\lambda(z + t) = \lambda(C) = C',
\]
$C$~et~$C'$ étant des constantes arbitraires. En développant $\lambda(z + t)$,
d'après la formule~\Eq{(3)}, on obtient l'intégrale trouvée par Euler
\[
\Tag{(13)}
\frac{x \sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k^{2}y^{2})}
    + y \sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}}{1 - k^{2}x^{2} y^{2}} = C'.
\]


\Section{Autre méthode}

\Paragraph{322.} On peut obtenir directement les formules de l'addition sans
recourir aux propriétés des fonctions~$\theta$. La fonction
\[
f(z) = \lambda(z + t) + \lambda(z - t),
\]
dans laquelle on regarde $t$~comme une constante et $z$~comme la variable,
est impaire et admet les périodes $2\omega, \omega'$, comme la fonction~$\lambda(z)$.
Elle est du quatrième ordre; car elle a quatre infinis dans chacun des
parallélogrammes du réseau construit sur les périodes, savoir les deux
infinis $z = \dfrac{\omega'}{2} - t$, $z = \omega + \dfrac{\omega'}{2} - t$ de~$\lambda(z + t)$ et les deux infinis
$z = \dfrac{\omega'}{2} + t$, $z = \omega + \dfrac{\omega'}{2} + t$ de~$\lambda(z - t)$. Les quatre zéros sont $0$,~$\omega$, $\dfrac{\omega'}{2}$,
$\omega + \dfrac{\omega'}{2}$; les deux premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis
de~$\lambda(z)$. On a d'ailleurs $f(\omega - z) = f(z)$. D'après le théorème du
\no{160}, cette fonction est égale à une fraction rationnelle du second
degré en~$\lambda(z)$. La fonction s'annulant quand $\lambda(z)$~devient infinie, le
numérateur est du premier degré, le dénominateur du second degré;
la fonction étant impaire, le numérateur est impair, le dénominateur
pair. Le dénominateur, devant s'annuler pour les quatre valeurs de~$z$,
qui rendent $f(z)$~infinie, est de la forme
\[
\left[\lambda(z) - \lambda\left(\frac{\omega'}{2} - t\right)\right]
\left[\lambda(z) - \lambda\left(\frac{\omega'}{2} + t\right)\right]
  = \lambda^{2}(z) - \lambda'\left(\frac{\omega'}{2} + t\right);
\]
\DPPageSep{517.png}{509}
on a donc
\[
f(z) = \frac{A \lambda(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]
On déterminera la constante~$A$ en prenant la dérivée et faisant $z = 0$,
ce qui donne
\[
2\lambda'(t) = A\lambda'(0),
\]
d'où
\[
A = 2\mu(t) \nu(t).
\]
On obtient ainsi
\[
\Tag{(14)}
\lambda(z + t) + \lambda(z - t)
  = \frac{2\lambda(z) \mu(t) \nu(t)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

En permutant les lettres $z$~et~$t$, on en déduit
\[
\Tag{(15)}
\lambda(z + t) - \lambda(z - t)
  = \frac{2\lambda(t) \mu(z) \nu(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

En ajoutant ces deux expressions membre à membre, on arrive à la
formule
\[
\Tag{(16)}
\lambda(z + t)
  = \frac{2\lambda(z) \mu(t) \nu(t) + \lambda(t) \mu(z) \nu(z)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

\Paragraph{323.} La fonction paire
\[
 F(z) = \mu(z + t) + \mu(z - t),
\]
qui admet les périodes $2\omega, \omega + \omega'$, comme la fonction~$\mu(z)$, et a les
quatre infinis $z = ±\dfrac{\omega'}{2} \mp t$ des deux fonctions $\mu(z + t)$, $\mu(z - t)$,
est aussi du quatrième ordre; les zéros sont $±\dfrac{\omega}{2}$ et $±\dfrac{\omega'}{2}$; les deux
premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis de~$\mu(z)$. D'après
le même théorème, cette fonction paire est égale à une fraction rationnelle
du second degré en~$\mu(z)$. La fonction s'annulant quand
$\mu(z)$~devient infini, le numérateur est du premier degré, le dénominateur
du second degré; la fonction s'annulant avec~$\mu(z)$, le numérateur
\DPPageSep{518.png}{510}
ne contient pas de terme constant; on a donc
\[
F(z) = \frac{A \mu(z)}
            {\left[\mu(z) - \mu\left(\dfrac{\omega'}{2} - t\right)\right]
             \left[\mu(z) - \mu\left(\dfrac{\omega'}{2} + t\right)\right]}
  = \frac{A' \mu(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]
En faisant $z = 0$, on détermine la constante $A' = 2\mu(t)$. On obtient
ainsi
\[
\Tag{(17)}
\mu(z + t) + \mu(z - t)
  = \frac{2\mu(z) \mu(t)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

Considérons maintenant la fonction impaire
\[
\mu(z + t) - \mu(z - t),
\]
qui admet les quatre zéros $0$,~$\omega$, $±\dfrac{\omega + \omega'}{2}$, dont les deux premiers sont
ceux de~$\lambda(z)$, et les deux derniers ceux de~$\nu(z)$. La fonction paire
\[
\phi(z) = \frac{\mu(z + t) - \mu(z - t)}{\lambda(z) \nu(z)},
\]
qui admet les périodes $\omega, \omega'$ et les deux infinis $z = ±\left(\dfrac{\omega'}{2} + t\right)$, est du
second ordre par rapport à ces périodes; elle a un zéro double $z = \dfrac{\omega'}{2}$.
Elle est donc égale à une fraction rationnelle du premier degré en~$\lambda^{2}(z)$,
et l'on~a
\[
\phi(z)
  = \frac{A}{\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}\left(\dfrac{\omega'}{2} + t\right)}
  = \frac{A'}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)},
\]
d'où
\[
\mu(z + t) - \mu(z - t)
  = \frac{A'\lambda(z) \nu(z)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]
En prenant la dérivée et faisant $z = 0$, on trouve
\[
2\mu'(t) = A'\lambda'(0),
\]
d'où
\[
A' = -2\lambda(t) \nu(t),
\]
\DPPageSep{519.png}{511}
et par suite
\[
\Tag{(18)}
\mu(z + t) - \mu(z - t)
  = -\frac{2\lambda(z) \nu(z) \lambda(t) \nu(t)}
          {1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

Des deux expressions précédentes, on déduit la formule
\[
\Tag{(19)}
\mu(z + t)
  = \frac{\mu(z) \mu(t) - \lambda(z) \lambda(t) \nu(z) \nu(t)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

On arrive, de la même manière, à la formule
\[
\Tag{(20)}
\nu(z + t)
  = \frac{\nu(z) \nu(t) - k^{2}\lambda(z) \lambda(t) \mu(z) \mu(t)}
         {1 -  k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]

Ce mode de démonstration des trois formules relatives à l'addition
est dû à M.~Liouville.


\Section{Addition des arguments dans les intégrales elliptiques
de seconde espèce}

\Paragraph{324.} Nous avons trouvé (\no{273}) l'expression de l'intégrale de
seconde espèce par la fonction~$\theta$, savoir
\[
\zeta(z) = \int_{0}^{z} \lambda^{2}(z)\, dz
  = \frac{1}{k^{2}} \left[
    z\, \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \Diff_{z} \log \theta(z)
  \right].
\]
En remplaçant, dans cette formule, $z$~successivement par~$z + t$ et par~$z - t$,
on~a
\begin{align*}
\zeta(z + t)
  &= \frac{1}{k^{2}} \left[
    (z + t)\, \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \Diff_{z} \log \theta(z + t)
  \right], \\
\zeta(z - t)
  &= \frac{1}{k^{2}} \left[
    (z - t)\, \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \Diff_{z} \log \theta(z - t)
  \right],
\end{align*}
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(21)}
\zeta(z + t) + \zeta(z - t) - 2\zeta(z)
  = -\frac{1}{k^{2}}
     \Diff_{z} \log \frac{\theta(z + t) \theta(z - t)}{\theta^{2}(z)}.
\]

Pour transformer cette expression, nous nous servirons de la relation
\DPPageSep{520.png}{512}
\[
\Tag{(22)}
\theta(z + t) \theta(z - t) \theta^{2}(0)
  = \theta^{2}(t) \theta^{2}(z) - \theta_{1}^{2}(t) \theta_{1}^{2}(z),
\]
qui est l'une de celles du \no{309}, et qu'il est facile de trouver directement,
en remarquant que la fonction
\[
\frac{A\theta^{2}(z) + B\theta_{1}^{2}(z)}{\theta(z + t) \theta(z - t)}
\]
admet les deux périodes $\omega$~et~$\omega'$, et disposant des coefficients $A$~et~$B$
de manière que le numérateur s'annule pour les valeurs $z = \dfrac{\omega'}{2} ± t$
qui annulent le dénominateur; il suffit pour cela que ces coefficients
satisfassent à la relation $A\theta_{1}^{2}(t) + B\theta^{2}(t) = 0$; la fonction est alors
une constante; on détermine ensuite le coefficient~$A$ de manière qu'elle
se réduise à l'unité pour $z = 0$, d'où $A\theta^{2}(0) = \theta^{2}(t)$ et, par suite,
$B\theta^{2}(0) = -\theta_{1}^{2}(t)$. On a ainsi
\[
\frac{\theta^{2}(t) \theta^{2}(z) - \theta_{1}^{2}(t) \theta_{1}^{2}(z)}
     {\theta(z + t) \theta(z - t) \theta^{2}(0)} = 1,
\]
ce qui est la relation cherchée.

De cette relation, on déduit
\[
\Tag{(23)}
\frac{\theta(z + t) \theta(z - t) \theta^{2}(0)}{\theta^{2}(z) \theta^{2}(t)}
  = 1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t);
\]
en remplaçant dans l'équation~\Eq{(21)}, on~a
\[
\zeta(z + t) + \zeta(z - t) - 2\zeta(z)
  = \frac{2\lambda^{2}(t) \lambda(z) \mu(z) \nu(z)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)},
\]
et, si l'on permute les lettres $z$~et~$t$,
\[
\zeta(z + t) - \zeta(z - t) - 2 \zeta(z)
  = \frac{2\lambda^{2}(z) \lambda(t) \mu(t) \nu(t)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t)}.
\]
On en conclut
\[
\Tag{(24)}
\zeta(z + t) = \zeta(z) + \zeta(t) + \lambda(z) \lambda(t) \lambda(z + t).
\]
\DPPageSep{521.png}{513}

Quand le module~$k$ est réel, positif et plus petit que un, cette formule
permet de calculer la valeur de la fonction~$\zeta(z)$ pour une valeur imaginaire
$x + yi$ attribuée à~$z$.


\Section{Addition des arguments et des paramètres dans les intégrales
de troisième espèce}

\Paragraph{325.} \textsc{Addition des arguments.}\ --- De la formule
\[
\Tag{(25)}
\Pi(z, a) = z\, \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  + \frac{1}{2} \log \frac{\theta(a - z)}{\theta(a + z)},
\]
trouvée au \no{275}, on déduit
\[
\Tag{(26)}
\Pi(z + t, a) = \Pi(z, a) - \Pi(t, a)
  = \frac{1}{2} \log \frac{\theta(z + a) \theta(t + a) \theta(z - t - a)}
                          {\theta(z - a) \theta(t - a) \theta(z + t + a)}.
\]

On peut transformer le second membre de plusieurs manières. Si,
dans la deuxième équation de la troisième classe (\no{304}), on fait
$x = y = 0$, il vient
\[
\theta(a + z) \theta(b + z) \theta(a + b) \theta(0)
  = \theta(a) \theta(b) \theta(z) \theta(a + b + z)
  + \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z),
\]
et, en remplaçant~$z$ par~$-z$,
\[
\theta(a - z) \theta(b - z) \theta(a + b) \theta(0)
  = \theta(a) \theta(b) \theta(z) \theta(a + b - z)
  - \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b - z);
\]
d'où
\[
\frac{\theta(a + z) \theta(b + z)}{\theta(a - z) \theta(b - z)}
  = \frac{\theta(a) \theta(b) \theta(z) \theta(a + b + z)
        + \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b + z)}
         {\theta(a) \theta(b) \theta(z) \theta(a + b - z)
        - \theta_{1}(a) \theta_{1}(b) \theta_{1}(z) \theta_{1}(a + b - z)}.
\]
On en déduit
\[
\frac{\theta(a + z) \theta(b + z) \theta(a + b - z)}
     {\theta(a - z) \theta(b - z) \theta(a + b + z)}
  = \frac{1 + k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \lambda(z) \lambda(a + b + z)}
         {1 - k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \lambda(z) \lambda(a + b - z)}
\]
et, en remplaçant $a, b, z$ par $z, t, a$,
\[
\Tag{(27)}
\frac{\theta(z + a) \theta(t + a) \theta(z + t - a)}
     {\theta(z - a) \theta(t - a) \theta(z + t + a)}
  = \frac{1 + k^{2}\lambda(z) \lambda(t) \lambda(a) \lambda(z + t + a)}
         {1 - k^{2}\lambda(z) \lambda(t) \lambda(a) \lambda(z + t - a)}.
\]
\DPPageSep{522.png}{514}
On a ainsi la formule trouvée par Legendre
\[
\Tag{(28)}
\Pi(z + t, a) - \Pi(z, a) - \Pi(t, a)
  = \frac{1}{2}
    \log \frac{1 + k^{2}\lambda(z) \lambda(t) \lambda(a) \lambda(z + t + a)}
              {1 - k^{2}\lambda(z) \lambda(t) \lambda(a) \lambda(z + t - a)}.
\]

\Paragraph{326.} L'équation~\Eq{(23)}, dans laquelle on remplace $z$~et~$t$ successivement
par $z + a$, $t + b$, et par $z - a$, $t - b$, devient
\begin{align*}
\frac{\theta(z + t + a + b) \theta(z - t + a - b) \theta^{2}(0)}
     {\theta^{2}(z + a) \theta^{2}(t + b)}
  &= 1 - k^{2}\lambda^{2}(z + a) \lambda^{2}(t + b), \\
%
\frac{\theta(z + t - a - b) \theta(z - t - a + b) \theta^{2}(0)}
     {\theta^{2}(z - a) \theta^{2}(t - b)}
  &= 1 - k^{2}\lambda^{2}(z - a) \lambda^{2}(t - b);
\end{align*}
on en déduit, en divisant membre à membre,
\[
\frac{\theta(z + t - a - b) \theta(z - t - a + b) \theta^{2}(z + a) \theta^{2}(t + b)}
     {\theta(z + t + a + b) \theta(z - t + a - b) \theta^{2}(z - a) \theta^{2}(t - b)}
  = \frac{1 - k^{2}\lambda^{2}(z - a) \lambda^{2}(t - b)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z + a) \lambda^{2}(t + b)}
\]
et, en permutant les lettres $a$~et~$b$,
\[
\frac{\theta(z + t - a - b) \theta(z - t + a - b) \theta^{2}(z + b) \theta^{2}(t + a)}
     {\theta(z + t + a + b) \theta(z - t - a + b) \theta^{2}(z - b) \theta^{2}(t - a)}
  = \frac{1 - k^{2}\lambda^{2}(z - b) \lambda^{2}(t - a)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z + b) \lambda^{2}(t + a)}.
\]
En multipliant les deux dernières équations membre à membre, on~a
\[
\Tag{(29)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\theta^{2}(z + a) \theta^{2}(z + b) \theta^{2}(t + a) \theta^{2}(t + b)
       \theta^{2}(z + t - a - b)}
      {\theta^{2}(z - a) \theta^{2}(z - b) \theta^{2}(t - a) \theta^{2}(t - b)
       \theta^{2}(z + t + a + b)} \\
&\quad= \frac{\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z - a) \lambda^{2}(t - b)\bigr]
              \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z - b) \lambda^{2}(t - a)\bigr]}
             {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z + a) \lambda^{2}(t + b)\bigr]
              \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z + b) \lambda^{2}(t + a)\bigr]}.
\end{aligned}
\right.
\]

Si l'on fait $b = 0$, cette équation se simplifie et devient
\begin{multline*}
%[** TN: Breaking]
\Tag{(30)}
\frac{\theta^{2}(z + a) \theta^{2}(t + a) \theta^{2}(z + t - a)}
     {\theta^{2}(z - a) \theta^{2}(t - a) \theta^{2}(z + t + a)} \\
  = \frac{\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(t) \lambda^{2}(z - a)\bigr]
          \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t - a)\bigr]}
         {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(t) \lambda^{2}(z + a)\bigr]
          \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t + a)\bigr]}.
\end{multline*}
On obtient ainsi l'équation
\begin{multline*}
%[** TN: Breaking]
\Tag{(31)}
\Pi(z + t, a) - \Pi(z, a) - \Pi(t, a) \\
  = \frac{1}{4}
    \log \frac{\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(t) \lambda^{2}(z - a)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t - a)\bigr]}
              {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(t) \lambda^{2}(z + a)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z) \lambda^{2}(t + a)\bigr]}.
\end{multline*}

\Paragraph{327.} \textsc{Addition des paramètres.}\ --- En effectuant la permutation du
paramètre et de l'argument, d'après l'équation~\Eq{(27)} du \no{277}, on~a
\[
\Pi(z, a + b) - \Pi(a + b, z)
  = k^{2} \bigl[(a + b) \zeta(z) - z\zeta(a + b)\bigr].
\]
\DPPageSep{523.png}{515}
En remplaçant $\Pi(a + b, z)$~et~$\zeta(a + b)$ par leurs valeurs tirées des
équations \Eq{(26)}~et~\Eq{(24)}, on arrive à l'équation
\[
\Tag{(32)}
\left\{
\begin{aligned}
&\Pi(z, a + b) - \Pi(z, a) - \Pi(z, b) \\
&\quad= -k^{2} z \lambda(a) \lambda(b) \lambda(a + b)
  + \frac{1}{2} \log \frac{\theta(z + a) \theta(z + b) \theta(z - a - b)}
                          {\theta(z - a) \theta(z - b) \theta(z + a + b)},
\end{aligned}
\right.
\]
qui, à l'aide des relations \Eq{(27)}~ou~\Eq{(30)}, se met sous les deux formes
\[
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
&\Pi(z, a + b) - \Pi(z, a) - \Pi(z, b) \\
&= -k^{2} z \lambda(a) \lambda(b) \lambda(a + b)
  + \frac{1}{2}
    \log \frac{1 + k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \lambda(z) \lambda(a + b + z)}
              {1 - k^{2}\lambda(a) \lambda(b) \lambda(z) \lambda(a + b - z)} \\
%[** TN: Re-breaking]
&= -k^{2} z \lambda(a) \lambda(b) \lambda(a + b) \\
&\qquad\qquad + \frac{1}{4}
    \log \frac{\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(b) \lambda^{2}(z - a)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z - b)\bigr]}
              {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(b) \lambda^{2}(z + a)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z + b)\bigr]}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{328.} \textsc{Formules générales.}\ --- Proposons-nous enfin de calculer la
fonction $\Pi(z + t, a + b)$. Si, dans l'équation~\Eq{(32)}, on remplace~$z$ par~$z + t$,
qu'on substitue ensuite à~$\Pi(z + t, a)$ et à~$\Pi(z + t, b)$ leurs valeurs
tirées de l'équation~\Eq{(26)}, il vient
\[
\Tag{(34)}
\left\{
\begin{aligned}
&\Pi(z + t, a + b) - \Pi(z, a) - \Pi(z, b) - \Pi(t, a) - \Pi(t, b) \\
&\quad= -k^{2}(z + t) \lambda(a) \lambda(b) \lambda(a + b) \\
&\qquad + \frac{1}{2}
  \log \frac{\theta(z + a) \theta(z + b) \theta(t + a) \theta(t + b)
             \theta(z + t - a - b)}
            {\theta(z - a) \theta(z - b) \theta(t - a) \theta(t - b)
             \theta(z + t + a + b)},
\end{aligned}
\right.
\]
et, en vertu de la relation~\Eq{(29)},
\[
\Tag{(35)}
\left\{
\begin{aligned}
&\Pi(z + t, a + b) - \Pi(z, a) - \Pi(z,b ) - \Pi(t, a) - \Pi(t, b) \\
&\quad= -k^{2}(z + t) \lambda(a) \lambda(b) \lambda(a + b) \\
&\qquad+ \frac{1}{4}
    \log \frac{\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z - a) \lambda^{2}(t - b)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z - b) \lambda^{2}(t - a)\bigr]}
              {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z + a) \lambda^{2}(t + b)\bigr]
               \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(z + b) \lambda^{2}(t + a)\bigr]}.
\end{aligned}
\right.
\]
A l'aide de cette formule, le calcul de la fonction~$\Pi(z, a)$, quand on
attribue à l'argument et au paramètre des valeurs imaginaires quelconques,
est ramené aux cas où ces deux quantités sont réelles, ou
imaginaires et de la forme~$\alpha i$.
\DPPageSep{524.png}{516}


\Chapitre{III}{Multiplication de l'Argument}

\Paragraph{329.} Nous avons vu (\no{75}) que les quatre fonctions~$\theta$ satisfont aux
relations
\begin{gather*}
\Tag{(1)}
\frac{\theta(z + \omega)}{\theta(z)}
  = \frac{\theta_{1}(z + \omega)}{-\theta_{1}(z)}
  = \frac{\theta_{2}(z + \omega)}{-\theta_{2}(z)}
  = \frac{\theta_{3}(z + \omega)}{\theta_{3}(z)} = 1, \\[4pt]
%
\Tag{(2)}
\frac{\theta(z + \omega')}{-\theta(z)}
  = \frac{\theta_{1}(z + \omega')}{-\theta_{1}(z)}
  = \frac{\theta_{2}(z + \omega')}{\theta_{2}(z)}
  = \frac{\theta_{3}(z + \omega')}{\theta_{3}(z)}
  = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2z + \omega')}, \\[4pt]
%
\Tag{(3)}
\frac{\theta(z + n\omega')}{(-1)^{n} \theta(z)}
  = \frac{\theta_{1}(z + n\omega')}{(-1)^{n} \theta_{1}(z)}
  = \frac{\theta_{2}(z + n\omega')}{\theta_{2}(z)}
  = \frac{\theta_{3}(z + n\omega')}{\theta_{3}(z)}
  = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + n^{2}\omega')}, \\[4pt]
%
\Tag{(4)}
\frac{\theta\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{\theta_{3}(z)}
  = \frac{\theta_{3}\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{\theta(z)}
  = \frac{\theta_{1}\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{\theta_{2}(z)}
  = \frac{\theta_{2}\left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{-\theta_{1}(z)}
  = 1, \\[4pt]
%
%[** TN: Breaking]
\Tag{(5)}
\begin{aligned}[t]
\frac{\theta\left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{i\theta_{1}(z)}
  = \frac{\theta_{1}\left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{i\theta(z)}
  = \frac{\theta_{2}\left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{\theta_{3}(z)}
  &= \frac{\theta_{3}\left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{\theta_{2}(z)} \\
  &= e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(z + \efrac{\omega'}{4}\right)},
\end{aligned} \\[4pt]
%
\Tag{(6)}
\frac{\theta\left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{\theta_{2}(z)}
\begin{aligned}[t]
  &= \frac{\theta_{2}\left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{-i\theta(z)}
   = \frac{\theta_{1}\left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{\theta_{3}(z)} \\
  &= \frac{\theta_{3}\left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{i\theta_{1}(z)}
   = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(z - \efrac{\omega'}{4}\right)}.
\end{aligned}
\end{gather*}

Nous nous servirons aussi, dans ce Chapitre, de quatre des relations
du \no{309}, savoir
\[
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta(z + a)\, \padtheta(z - a)\, \theta^{2}(0)
  &= \Neg\theta^{2}(a)\, \theta^{2}(z) - \theta_{1}^{2}(a)\, \theta_{1}^{2}(z), \\
\theta_{1}(z + a)\, \theta_{1}(z - a)\, \theta^{2}(0)
  &= -\theta_{1}^{2}(a)\, \theta^{2}(z) + \theta^{2}(a)\, \theta_{1}^{2}(z), \\
\theta_{2}(z + a)\, \theta_{2}(z - a)\, \theta^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{2}^{2}(a)\, \theta^{2}(z) - \theta_{3}^{2}(a)\, \theta_{1}^{2}(z), \\
\theta_{3}(z + a)\, \theta_{3}(z - a)\, \theta^{2}(0)
  &= \Neg\theta_{3}^{2}(a)\, \theta^{2}(z) - \theta_{2}^{2}(a)\, \theta_{1}^{2}(z).
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{525.png}{517}


%[** TN: Size-dependent page break]
\newpage
\Section{Multiplication par un nombre impair}

\Paragraph{330.} La fonction~$\theta_{1}(nz)$ admet les zéros $z + m\dfrac{\omega}{n} + m'\dfrac{\omega'}{n}$, $m$~et~$m'$
étant des nombres entiers quelconques; elle satisfait aux relations
\begin{align*}
\theta_{1}(nz + n\omega)
  &= -\theta_{1}(nz), \\
\theta_{1}(nz + n\omega')
  &= -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2n^{2}z + n^{2}\omega')}\, \theta_{1}(nz).
\end{align*}
La fonction
\[
f_{1}(z)
  = \prod \theta_{1}\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right), \\
\]
formée par le produit des $n^{2}$~fonctions $\theta_{1}\left(z + p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, que l'on obtient
en donnant $n$~valeurs entières consécutives à chacun des nombres
$p$~et~$q$, admet les mêmes zéros et satisfait aux relations
\begin{gather*}
f_{1}(z + \omega) = -f_{1}(z), \\
f_{1}(z + \omega')
  = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left[2n^{2}z +n^{2}\omega'
         + 2\sum \left(p \efrac{\omega}{n} + q \efrac{\omega'}{n}\right)\right]} f_{1}(z).
\end{gather*}
Si l'on attribue à chacun des nombres $p$~et~$q$ les $n$~valeurs consécutives
\[
-\frac{n - 1}{2},\Add{\ }\ldots,\ -1,\ 0,\ 1,\Add{\ } \ldots,\ \frac{n - 1}{2},
\]
les $n^{2}$~valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$ étant égales deux à deux et
de signes contraires, leur somme est nulle, et la relation précédente
se réduit à
\[
f_{1}(z + \omega')
  = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2n^{2}z + n^{2}\omega')} f_{1}(z).
\]
De cette manière, le rapport~$\dfrac{\theta_{1}(nz)}{f_{1}(z)}$, admettant les deux périodes $\omega, \omega'$
et restant holomorphe pour toutes les valeurs de~$z$, est une constante~$A_{1}$
(\no{146}), et l'on~a
\[
\theta_{1}(nz)
  = A_{1} \prod \theta_{1}\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]
\DPPageSep{526.png}{518}

Nous mettrons à part le facteur~$\theta_{1}(z)$, qui correspond à $p = 0$, $q = 0$;
puis nous combinerons, avec la valeur $p = 0$, les valeurs positives
$1, 2, \ldots, \dfrac{n - 1}{2}$ de~$q$, et avec les valeurs positives $1, 2, \ldots, \dfrac{n - 1}{2}$ de~$p$
les $n$~valeurs $0, ±1, ±2$, $\ldots, ±\dfrac{n - 1}{2}$ de~$q$; si l'on appelle~$a$ l'une
quelconque des $\dfrac{n^{2} - 1}{2}$~valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$ ainsi obtenues,
les autres valeurs étant respectivement égales aux précédentes et de
signes contraires, on aura
\[
\theta_{1}(nz) = n\theta_{1}(z) \prod
    \frac{\theta_{1} (z + a) \theta_{1} (z - a)}{\theta_{1}^{2}(a)}.
\]
En remplaçant le produit $\theta_{1}(z + a) \theta_{1}(z - a)$ par la valeur donnée
par la seconde des relations~\Eq{(7)}, il vient
\[
\Tag{(8)}
\theta_{1}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)
  = n \theta_{1}(z) \prod \left[
    \theta^{2}(z) - \frac{\theta^{2}(a)}{\theta_{1}^{2}(a)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\]

\Paragraph{331.} Les zéros de la fonction~$\theta(nz)$ sont compris dans la formule
$z = m \dfrac{\omega}{n} + (2m' + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$, que l'on peut mettre sous la forme
$z = \dfrac{\omega'}{2} + m \dfrac{\omega}{n} + m'_{1} \dfrac{\omega'}{n}$, puisque $n$~est impair, $m$~et~$m'_{1}$ étant des nombres
entiers quelconques; ils sont les mêmes que ceux de la fonction
\[
f(z) = \prod \theta \left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right),
\]
formée par le produit des $n^{2}$~fonctions $\theta \left(z + p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, que l'on
obtient en donnant à~$p$ et à~$q$ les mêmes valeurs que précédemment;
d'ailleurs ces deux fonctions satisfont aux relations
\begin{align*}
\frac{\theta(nz + n\omega)}{\theta(nz)}
  &= \frac{f(z + \omega)}{f(z)} = 1, \\
\frac{\theta(nz + n\omega')}{\theta(nz)}
  &= \frac{f(z + \omega')}{f(z)}
   = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2n^{2}z + n^{2}\omega')};
\end{align*}
\DPPageSep{527.png}{519}
elles sont donc dans un rapport constant, et l'on~a
\[
\theta(nz)
  = A \prod \theta \left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]
En combinant les facteurs comme précédemment, il vient
\[
\theta(nz) = \theta(z) \prod \frac{\theta(z + a) \theta(z - a)}{\theta^{2}(a)}
\]
et, en vertu de la première des relations~\Eq{(7)},
\[
\Tag{(9)}
\theta(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)
  = \theta(z) \prod \left[
    \theta^{2}(z) - \frac{\theta_{1}^{2}(a)}{\theta^{2}(a)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\]

On trouve, de la même manière,
\begin{align*}
\Tag{(10)}
\theta_{2}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)
  &= \theta_{2}(z) \prod \left[
    \theta^{2}(z) - \frac{\theta_{3}^{2}(a)}{\theta_{2}^{2}(a)}\, \theta_{1}^{2}(z)
    \right], \\
%
\Tag{(11)}
\theta_{3}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)
  &= \theta_{3}(z) \prod \left[
    \theta^{2}(z) - \frac{\theta_{2}^{2}(a)}{\theta_{3}^{2}(a)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\end{align*}

\Paragraph{332.} Les formules précédentes, appliquées aux fonctions~$\Al$ de
M.~Weierstrass, donnent
\[
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{aligned}
\Al(nz) &= \PadTo[r]{n \Al_{1}(z)}{\Al(z)} \prod \left[
  \Al^{2}(z) - k^{2}\lambda^{2}(a) \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{1}(nz) &= n \Al_{1}(z) \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{1}{\lambda^{2}(a)} \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{2}(nz) &= \PadTo[r]{n \Al_{1}(z)}{\Al_{2}(z)} \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{\nu^{2}(a)}{\mu^{2}(a)} \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{3}(nz) &= \PadTo[r]{n \Al_{1}(z)}{\Al_{3}(z)} \prod \left[
  \Al^{2}(z) - k^{2}\, \frac{\mu^{2}(a)}{\nu^{2}(a)} \Al_{1}^{2}(z)
\right].
\end{aligned}
\right.
\]
Les seconds membres sont homogènes et du degré~$n^{2}$ par rapport aux
quatre fonctions~$\Al(z)$. On en déduit
\[
\Tag{(13)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Al(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \prod \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)\bigr] = P, \\
%
\frac{\Al_{1}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= n\lambda(z) \prod \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}(a)}
  \right] = \lambda(z) P_{1}, \\
%
\frac{\Al_{2}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \PadTo[r]{n\lambda(z)}{\mu(z)} \prod \left[
    1 - \frac{\nu^{2}(a)}{\mu^{2}(a)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \mu(z) P_{2}, \\
%
\frac{\Al_{3}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \PadTo[r]{n\lambda(z)}{\nu(z)} \prod \left[
    1 - k^{2}\, \frac{\mu^{2}(a)}{\nu^{2}(a)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \nu(z) P_{3},
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{528.png}{520}
et l'on~a
\[
\Tag{(14)}
\lambda(nz) = \frac{\lambda(z) P_{1}}{P},\quad
\mu(nz) = \frac{\mu(z) P_{2}}{P},\quad
\nu(nz) = \frac{\nu(z) P_{3}}{P}.
\]
Les lettres~$P$ désignent des polynômes entiers pairs en~$\lambda(z)$, et du
degré~$n^{2} - 1$.


\Section{Multiplication par un nombre pair}

\Paragraph{333.} Considérons d'abord la fonction~$\theta_{3}(nz)$, dont les zéros
\[
%[** TN: In-line in original]
z = (2m + 1) \frac{\omega}{2n} + (2m' + 1) \frac{\omega'}{2n}
\]
sont les mêmes que ceux de la fonction
\[
f_{3}(z) = \prod \theta_{1} \left[
  z + (2p + 1) \frac{\omega}{2n} + (2q + 1) \frac{\omega'}{2n}
\right],
\]
où $p$~et~$q$ reçoivent $n$~valeurs entières consécutives. Si l'on attribue à
$2p + 1$~et à~$2q + 1$ les $n$~valeurs impaires consécutives $±1, ±3, \ldots,
± (n - 1)$, les $n^{2}$~quantités $(2p + 1) \dfrac{\omega}{2n} + (2q + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$ étant égales deux
à deux et de signes contraires, leur somme est nulle, et l'on~a
\[
\frac{\theta_{3}(nz + n\omega')}{\theta_{3}(nz)}
  = \frac{f_{3}(z + \omega')}{f_{3}(z)}
  = e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2n^{2}z + n^{2}\omega')}.
\]
La fonction holomorphe~$\dfrac{\theta_{3}(nz)}{f_{3}(z)}$, admettant les deux périodes $\omega, \omega'$, est
une constante, et l'on~a
\[
\theta_{3}(nz)
  = A_{3} \prod \theta_{1} \left[
    z + (2p + 1) \frac{\omega}{2n} + (2q + 1) \frac{\DPtypo{\omega}{\omega'}}{2n}
  \right].
\]
Si l'on combine avec les $\dfrac{n}{2}$~valeurs positives de~$2p + 1$ les $n$~valeurs de
$2q + 1$ et si l'on désigne par~$a_{3}$ l'une quelconque des $\dfrac{n^{2}}{2}$~quantités
$(2p + 1) \dfrac{\omega}{2n} + (2q + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$ ainsi obtenues, il vient
\[
\frac{\theta_{3}(nz)}{\theta_{3}(0)}
  = \prod \frac{\theta_{1}(z + a_{3}) \theta_{1}(z - a_{3})}
               {\theta_{1}^{2}(a_{3})},
\]
\DPPageSep{529.png}{521}
et, en vertu de la seconde des relations~\Eq{(7)},
\[
\Tag{(15)}
\frac{\theta_{3}(nz) \theta^{n^{2}}(0)}{\theta_{3}(0)}
  = \prod \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2}(a_{3})}{\theta_{1}^{2}(a_{3})}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\]

\Paragraph{334.} Les zéros $z = m \dfrac{\omega}{n} + (2m' + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$ de la fonction~$\theta(nz)$ sont
les mêmes que ceux de la fonction
\[
f(z) = \prod \theta_{1}\left(z + p \frac{\omega}{n} + (2q + 1) \frac{\omega'}{2n}\right),
\]
où $n$~valeurs entières consécutives de l'une des lettres $p$~et~$q$ correspondent
à chacune des $n$~valeurs entières consécutives de l'autre. Nous
attribuerons à~$2q + 1$ les $n$~valeurs impaires consécutives $±1, ±3, \ldots,
±(n - 1)$, et à~$p$ d'abord les $n - 1$~valeurs consécutives $0, ±1, ±2, \ldots,
±\left(\dfrac{n}{2} - 1\right)$, puis la valeur~$\dfrac{n}{2}$ avec les valeurs positives de~$2q + 1$, et la
valeur~$-\dfrac{n}{2}$ avec les valeurs négatives de~$2q + 1$; de cette manière, les
$n^{2}$~valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + (2q + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$ seront encore égales deux
à deux et de signes contraires, et l'on aura
\[
\theta(nz) = A \prod \theta_{1}
  \left(z + p \frac{\omega}{n} + (2q + 1) \frac{\omega'}{2n}\right).
\]
Si l'on combine avec les valeurs $p = 0$ et $p = \dfrac{n}{2}$ les $\dfrac{n}{2}$~valeurs positives
de~$2q + 1$, et avec les valeurs positives $1, 2, \ldots, \dfrac{n}{2} - 1$ de~$p$ les $n$~valeurs
de~$2q + 1$, et si l'on désigne par~$a$ les $\dfrac{n^{2}}{2}$~valeurs correspondantes
de $p \dfrac{\omega}{n} + (2q + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$, il vient
\[
\frac{\theta(nz)}{\theta(0)}
  = \prod \frac{\theta_{1}(z + a) \theta_{1}(z - a)}{\theta_{1}^{2}(a)},
\]
et par suite
\[
\Tag{(16)}
\theta(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0) = \prod \left[
  \theta^{2}(z) - \frac{\theta^{2}(a)}{\theta_{1}^{2}(a)}\, \theta_{1}^{2}(z)
\right].
\]
\DPPageSep{530.png}{522}

\Paragraph{335.} Les zéros de la fonction~$\theta_{2}(nz)$ sont les mêmes que ceux de la
fonction
\[
f_{2}(z) = \prod \theta_{1}\left[
  z + (2p + 1) \frac{\omega}{2n} + q \frac{\omega'}{n}
\right],
\]
où nous attribuons à~$2p + 1$ les $n$~valeurs consécutives $±1, ± 3, \ldots,
±(n - 1)$, et à~$q$ d'abord les $n - 1$~valeurs consécutives $0, ±1,
±2, \ldots, ±\left(\dfrac{n}{2} - 1\right)$, puis la valeur~$\dfrac{n}{2}$ avec les valeurs positives de
$2p + 1$ et la valeur~$-\dfrac{n}{2}$ avec les valeurs négatives de~$2p + 1$; on a,
comme précédemment,
\[
\theta_{2}(nz) = A_{2} \prod \theta_{1}\left[
  z + (2p + 1) \frac{\omega}{2n} + q \frac{\omega'}{n}
\right].
\]
Si l'on combine avec les valeurs $q = 0$ et $q = \dfrac{n}{2}$ les $\dfrac{n}{2}$~valeurs positives
de~$2p + 1$, et avec les valeurs positives $1, 2, \ldots, \dfrac{n}{2} - 1$ de~$q$ les $n$~valeurs
de~$2p + 1$, et si l'on désigne par~$a_{2}$ les valeurs correspondantes de
$(2p + 1) \dfrac{\omega}{2n} + q \dfrac{\omega'}{n}$, il vient
\[
\frac{\theta_{2}(nz)}{\theta_{2}(0)}
  = \prod \frac{\theta_{1}(z + a_{2}) \theta_{1}(z - a_{2})}
               {\theta_{1}^{2}(a_{2})},
\]
et par suite
\[
\Tag{(17)}
\frac{\theta_{2}(nz) \theta^{n^{2}}(0)}{\theta_{2}(0)}
  = \prod \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2}(a_{2})}{\theta_{1}^{2}(a_{2})}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\]

\Paragraph{336.} Considérons enfin la fonction~$\theta_{1}(nz)$ dont les zéros sont les
mêmes que ceux de la fonction
\[
f_{1}(z)
  = \prod \theta_{1}\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right),
\]
dans laquelle $p$~et~$q$ reçoivent les $n^{2}$~couples de valeurs entières compris
\DPPageSep{531.png}{523}
dans le tableau suivant:
\begin{align*}
  &\,p = 0,\ q = 0;\qquad
   p = \frac{n}{2},\ q = 0;\qquad
   p = 0,\ q = \frac{n}{2};\qquad
   p = -\frac{n}{2},\ q = -\frac{n}{2}; \\
%
  &\begin{alignedat}{2}
  p &= 0,& q &= ±1,\ ±2,\ \ldots,\ ±\left(\frac{n}{2} - 1\right); \\
  q &= 0,& p &= ±1,\ ±2,\ \ldots,\ ±\left(\frac{n}{2} - 1\right); \\
  p &= \Neg\frac{n}{2},& q &= 1,\ 2,\ \ldots,\ \frac{n}{2} - 1; \\
  p &= -\frac{n}{2},\quad& q &= -1,\ -2,\ \ldots,\ -\left(\frac{n}{2} - 1\right); \\
  q &= \Neg\frac{n}{2},& p &= 1,\ 2,\ \ldots,\ \frac{n}{2} - 1; \\
  q &= -\frac{n}{2},& p &= -1,\ -2,\ \ldots,\ -\left(\frac{n}{2} - 1\right);
\end{alignedat} \\
  &\,p = ±1,\ ±2,\ \ldots,\ ±\left(\frac{n}{2} - 1\right),\quad
   q = ±1,\ ±2,\ \ldots,\ ±\left(\frac{n}{2} - 1\right).
\end{align*}
De cette manière, la somme des $n^{2}$~valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$
est nulle, et l'on~a
\[
\theta_{1}(nz) = A_{1} \prod
  \theta_{1} \left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]

Les quatre premières combinaisons donnent les quatre facteurs $\theta_{1}(z),
\theta_{2}(z)$, $\theta(z), \theta_{3}(z)$. Les autres valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$ sont
égales deux à deux et de signes contraires; en ne prenant que la moitié
des combinaisons, savoir:
\begin{align*}
  &\begin{alignedat}{2}
    p &= 0,\ \frac{n}{2},\quad& q &= 1,\ 2,\ \ldots,\ \frac{n}{2} - 1; \\
    q &= 0,\ \frac{n}{2},\quad& p &= 1,\ 2,\ \ldots,\ \frac{n}{2} - 1;
  \end{alignedat} \\
  &p =  1,\  2,\ \ldots,\ \frac{n}{2} - 1,\quad
   q = ±1,\ ±2,\ \ldots,\ ±\left(\frac{n}{2} - 1\right),
\end{align*}
\DPPageSep{532.png}{524}
et désignant par~$a_{1}$ les valeurs correspondantes de $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$ on aura
\[
\theta_{1}(nz)
  = \frac{n\theta_{1}(z) \theta(z) \theta_{2}(z) \theta_{3}(z)}
         {\theta(0) \theta_{2}(0) \theta_{3}(0)}
  \prod \frac{\theta_{1}(z + a_{1}) \theta_{1}(z - a_{1})}
             {\theta_{1}^{2}(a_{1})},
\]
et par suite
\begin{multline*}
%[** TN: Breaking]
\Tag{(18)}
\theta_{1}(nz) \theta^{n^{2} - 3}(0) \theta_{2}(0) \theta_{3}(0) \\
  = n\theta(z) \theta_{1}(z) \theta_{2}(z) \theta_{3}(z)
    \prod \left[\theta^{2}(z) - \frac{\theta^{2}(a_{1})}{\theta_{1}^{2}(a_{1})}\,
      \theta_{1}^{2}(z)\right].
\end{multline*}

\Paragraph{337.} Ces formules, appliquées aux fonctions~$\Al$, donnent
\[
\Tag{(19)}
\left\{
\begin{aligned}
\Al(nz) &= \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{1}{\lambda^{2}(a)} \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{1}(nz) &= n\Al(z) \Al_{1}(z) \Al_{2}(z) \Al_{3}(z) \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{1}{\lambda^{2}(a_{1})} \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{2}(nz) &= \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{1}{\lambda^{2}(a_{2})} \Al_{1}^{2}(z)
\right], \\
%
\Al_{3}(nz) &= \prod \left[
  \Al^{2}(z) - \frac{1}{\lambda^{2}(a_{3})} \Al_{1}^{2}(z)
\right].
\end{aligned}
\right.
\]
Les seconds membres sont homogènes et du degré~$n^{2}$ par rapport aux
quatre fonctions~$\Al(z)$. On en déduit
\[
\Tag{(20)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Al(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \prod \left[1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}(a)}\right]
   = P, \\
%
\frac{\Al_{1}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= n\lambda(z)\mu(z) \nu(z) \prod \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}(a_{1})}
  \right] = \lambda(z) \mu(z) \nu(z) P_{1}, \\
%
\frac{\Al_{2}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \prod \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}(a_{2})}
  \right] = P_{2}, \\
%
\frac{\Al_{3}(nz)}{\Al^{n^{2}}(z)}
  &= \prod \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}(a_{3})}
  \right] = P_{3},
\end{aligned}
\right.
\]
et l'on~a
\[
\Tag{(21)}
\lambda(nz) = \frac{\lambda(z) \mu(z) \nu(z) P_{1}}{P},\quad
\mu(nz) = \frac{P_{2}}{P},\quad
\nu(nz) = \frac{P_{3}}{P}.
\]
Les lettres~$P$ désignent des polynômes entiers pairs en~$\lambda(z)$; le polynôme~$P_{1}$
est du degré~$n^{2} - 4$, les trois autres du degré~$n^{2}$.
\DPPageSep{533.png}{525}


\Section{Méthode de calcul d'Abel}

\Paragraph{338.} Les quatre polynômes~$P$ renferment des systèmes de constantes
telles que~$\lambda(a)$, dont nous ne connaissons pas la valeur; mais on peut
obtenir ces polynômes par un calcul de proche en proche, imaginé par
Abel. De la première des relations du \no{310}, et des quatrième, huitième
et douzième relations du \no{309} on déduit, en remplaçant $x$~et~$a$
par~$nz$,
\[
\Tag{(22)}
\left\{
\begin{aligned}
\Al_{1}(2nz) &= 2\Al_{1}(nz) \Al(nz) \Al_{2}(nz) \Al_{3}(nz), \\
\Al(2nz) &= \Al^{4}(nz) - k^{2}\Al_{1}^{4}(nz), \\
\Al_{2}(2nz) &= \Al_{2}^{4}(nz) - k'^{2}\Al_{1}^{4}(nz), \\
\Al_{3}(2nz) &= \Al_{3}^{4}(nz) + k^{2} k'^{2}\Al_{1}^{4}(nz).
\end{aligned}
\right.
\]
Des première, quatrième, huitième et douzième relations du \no{309},
on déduit de même, en remplaçant $x$~et~$a$ par $(n + 1)z$~et~$nz$,
\[
\raisetag{-24pt}{\llap{(23)}}
\left\{
\begin{aligned}
\Al_{1} \bigl[(2n + 1)z\bigr] \Al_{1}(z)
  &= \Al_{1}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al^{2}(nz)
   - \Al^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{1}^{2}(nz), \\
%
\Al \bigl[(2n + 1)z\bigr] \Al(z)
  &= \Al^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al^{2}(nz)
   - k^{2} \Al_{1}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{1}^{2}(nz), \\
%
\Al_{2} \bigl[(2n + 1)z\bigr] \Al_{2}(z)
  &= \Al_{2}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{2}^{2}(nz)
   - k'^{2}\Al_{1}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{1}^{2}(nz), \\
%
\Al_{3} \bigl[(2n + 1)z\bigr] \Al_{3}(z)
  &= \Al_{3}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{3}^{2}(nz)
   + k^{2}k'^{2} \Al_{1}^{2} \bigl[(n + 1)z\bigr] \Al_{1}^{2}(nz).
\end{aligned}
\right.
\]

Faisons d'abord $n = 1$, les équations~\Eq{(22)} donnent les quatre fonctions $\Al(2z)$;
en les substituant dans les équations~\Eq{(23)} et remarquant
que les seconds membres sont divisibles respectivement par $\Al_{1}^{2}(z),
\Al^{2}(z), \ldots$, on obtient, pour les quatre fonctions~$\Al(3z)$, des expressions
entières contenant en facteur la fonction~$\Al(z)$ correspondante.
En faisant $n = 2$, on obtiendra ensuite $\Al(4z)$~et~$\Al(5z)$, et ainsi de
suite. D'après ce mode de calcul, il est évident que les coefficients des
polynômes, tels qu'ils se présentent, sont des fonctions entières de~$k^{2}$,
ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Si l'on remplace~$\Al_{2}^{2}(z)$
par $\Al^{2}(z) - \Al_{1}^{2}(z)$ et~$\Al_{3}^{2}(z)$ par $\Al^{2}(z) - k^{2}\Al_{1}^{2}(z)$,
les coefficients conservent les mêmes propriétés. On pourrait aussi
déduire de cette méthode de calcul les degrés des polynômes.
\DPPageSep{534.png}{526}

Une fois qu'on a trouvé de cette façon les expressions homogènes
des quatre fonctions~$\Al(nz)$, en les divisant par~$\Al^{n^{2}}(z)$, on en déduit
celles des quatre polynômes~$P$. Ces polynômes entiers~$P$, ordonnés par
rapport aux puissances de~$\lambda^{2}(z)$, ont pour coefficients des fonctions
entières de~$k^{2}$, ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers.
Si l'on remplace~$\lambda^{2}(z)$ par~$1 - \mu^{2}(z)$ et que l'on ordonne les polynômes~$P$
par rapport aux puissances de~$\mu^{2}(z)$, les coefficients jouiront
des mêmes propriétés; mais, si l'on remplace~$\lambda^{2}(z)$ par~$\dfrac{1 - \nu^{2}(z)}{k^{2}}$ et
que l'on ordonne les polynômes par rapport aux puissances de~$\nu^{2}(z)$,
les coefficients cesseront d'être entiers en~$k^{2}$; chacun d'eux sera égal
à une fonction entière de~$k^{2}$ divisée par une puissance de~$k^{2}$, au plus
égale à l'exposant de~$\nu^{2}(z)$.

Voici quelques propriétés de ces polynômes; représentons-les par
\[
\Tag{(24)}
\left\{
\begin{aligned}
P &= \sum A^{(m)} \lambda^{2m}(z)
   = \sum B^{(m)} \mu^{2m}(z)
   = \sum C^{(m)} \nu^{2m}(z), \\
%
P_{1} &= \sum A_{1}^{(m)} \lambda^{2m}(z)
  = \sum B_{1}^{(m)} \mu^{2m}(z)
  = \sum C_{1}^{(m)} \nu^{2m}(z), \\
%
P_{2} &= \sum A_{2}^{(m)} \lambda^{2m}(z)
  = \sum B_{2}^{(m)} \mu^{2m}(z)
  = \sum C_{2}^{(m)} \nu^{2m}(z), \\
%
P_{3} &= \sum A_{3}^{(m)} \lambda^{2m}(z)
  = \sum B_{3}^{(m)} \mu^{2m}(z)
  = \sum C_{3}^{(m)} \nu^{2m}(z).
\end{aligned}
\right.
\]
Concevons que l'on remplace~$k$ par~$\dfrac{1}{k}$ et~$z$ par~$kz$. D'après les relations
du \no{234}, la fonction~$\lambda(z)$ se change en~$k\lambda(z)$, et les fonctions $\mu(z)$~et~$\nu(z)$
se permutent. En vertu des relations~\Eq[288]{(9)} du \no{288}, les expressions
\Eq{(13)}~ou~\Eq{(20)} des polynômes~$P$ au moyen des~$\Al$ montrent que les
polynômes $P$~et~$P_{1}$ ne changent pas, tandis que les polynômes $P_{2}$~et~$P_{3}$
se permutent. D'après cela, les coefficients de ces polynômes doivent
satisfaire aux relations
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
A^{(m)}(k) &= k^{2m} A^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right),\quad
&
C^{(m)}(k) &= B^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right), \\
%
A_{1}^{(m)}(k) &= k^{2m} A_{1}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right), &
C_{1}^{(m)}(k) &= B_{1}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right), \\
%
A_{3}^{(m)}(k) &= k^{2m} A_{2}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right), &
C_{3}^{(m)}(k) &= B_{2}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right), \\
&&
C_{2}^{(m)}(k) &= B_{3}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right).
\end{alignedat}
\right.
\]
On en conclut que les coefficients $A^{(m)}, A_{1}^{(m)}, A_{2}^{(m)}, A_{3}^{(m)}$, $B^{(m)}, B_{1}^{(m)}, B_{2}^{(m)}$,
$B_{3}^{(m)}$, qui sont des polynômes entiers en~$k^{2}$, sont au plus du degré~$m$ par
\DPPageSep{535.png}{527}
rapport à~$k^{2}$. Le coefficient~$A^{(m)}$ est un polynôme réciproque en~$k$; de
même~$A_{1}^{(m)}$. Le coefficient~$A_{3}^{(m)}$ se déduit de~$A_{2}^{(m)}$, et, par conséquent,
$P_{3}$~de~$P_{2}$.


\Section{Méthode de calcul de Jacobi}

\Paragraph{339.} La méthode d'Abel donne les polynômes~$P$ par un calcul de
proche en proche. On obtient directement l'un quelconque d'entre eux
à l'aide d'une équation aux dérivées partielles due à Jacobi. Nous avons
vu (\no{290}) que les quatre fonctions
\[
u = \Al(z),\quad
u_{1} = \sqrt{k} \Al_{1}(z),\quad
u_{2} = \sqrt{\frac{k}{k'}} \Al_{2}(z),\quad
u_{3} = \frac{1}{\sqrt{k'}} \Al_{3}(z)
\]
satisfont à la même équation aux dérivées partielles
\[
\Tag{(26)}
\frac{\dd^{2} u}{\dd z^{2}} + 2 k^{2}z\, \frac{\dd u}{\dd z}
  + kk'^{2}\, \frac{\dd u}{\dd k} + k^{2} z^{2} u = 0,
\]
dans laquelle on suppose le multiplicateur~$g$ égal à l'unité. En remplaçant~$z$
par~$nz$, on en conclut que les quatre fonctions
\[
U = \Al(nz),\quad
U_{1} = \sqrt{k} \Al_{1}(nz),\quad
U_{2} = \sqrt{\frac{k}{k'}} \Al_{2}(nz),\quad
U_{3} = \frac{1}{\sqrt{k'}} \Al_{3}(nz)
\]
satisfont à l'équation
\[
\Tag{(27)}
\frac{\dd^{2} U}{\dd z^{2}}
  + 2n^{2}k^{2}z \frac{\dd U}{\dd z}
  + 2n^{2}k k'^{2} \frac{\dd U}{\dd k}
  +  n^{4}k^{2} z^{2} U = 0.
\]
Puisque
\[
\frac{\dd^{2} \log u}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log u}{\dd z}\right)^{2}
  = \frac{1}{u}\, \frac{\dd^{2} u}{\dd z^{2}},
\]
on peut mettre les deux équations sous la forme
\begin{align*}
\Tag{(28)}
&\frac{\dd^{2} \log u}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log u}{\dd z}\right)^{2}
  + 2k^{2}z\, \frac{\dd \log u}{\dd z}
  + 2kk'^{2}\, \frac{\dd \log u}{\dd k} + k^{2}z^{2} = 0, \\
%
\Tag{(29)}
&\begin{aligned}[t]
\frac{\dd^{2} \log U}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log U}{\dd z}\right)^{2}
  &+ 2n^{2}k^{2}z\, \frac{\dd \log U}{\dd z} \\
  &+ 2n^{2}kk'^{2}\, \frac{\dd \log U}{\dd k} + n^{4}k^{2}z^{2} = 0.
\end{aligned}
\end{align*}
\DPPageSep{536.png}{528}

Considérons les quatre fonctions
\[
V = \frac{U}{\Al^{n^{2}}(z)},\quad
V_{1} = \frac{U_{1}}{\Al^{n^{2}}(z)},\quad
V_{2} = \frac{U_{2}}{\Al^{n^{2}}(z)},\quad
V_{3} = \frac{U_{3}}{\Al^{n^{2}}(z)},
\]
que l'on obtient en divisant les quatre fonctions~$U$ par la même quantité~$\Al^{{n}^{2}}(z)$.
Si l'on remplace l'une quelconque des fonctions~$U$ par sa
valeur~$Vu^{{n}^{2}}$ dans l'équation~\Eq{(29)}, et si l'on tient compte de l'équation~\Eq{(28)},
on~a
\begin{multline*}
\frac{\dd^{2} \log V}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log V}{\dd z}\right)^{2}
  + 2n^{2} \left(\frac{\dd \log u}{\dd z} + k^{2}z\right)
      \frac{\dd \log V}{\dd z} \\
  + 2n^{2}kk'^{2} \frac{\dd \log V}{\dd k}
  -  n^{2}(n^{2} - 1) \frac{\dd^{2} \log u}{\dd z^{2}} = 0,
\end{multline*}
et en mettant à la place de~$\dfrac{\dd^{2} \log u}{\dd z^{2}}$ sa valeur~$-k^{2}\lambda^{2}(z)$ (\no{287}),
\[
\Tag{(30)}
\frac{\dd^{2} V}{\dd z^{2}}
  + 2n^{2} \left(\frac{\dd \log u}{\dd z} + k^{2}z\right) \frac{\dd V}{\dd z}
  + 2n^{2}kk'^{2} \frac{\dd V}{\DPtypo{dk}{\dd k}}
  +  n^{2}(n^{2} - 1) k^{2}\lambda^{2}(z) V = 0.
\]

\Paragraph{340.} Posons maintenant $x = \dfrac{u_{1}}{u} = \sqrt{k} \lambda(z, k)$, et regardons~$V$ comme
une fonction des deux variables indépendantes $x$~et~$k$; comme on~a
\begin{align*}
\frac{\dd V}{\dd z}
  &= \frac{\dd V}{\dd x}\, \frac{\dd x}{\dd z},\quad
\frac{\dd^{2} V}{\dd z^{2}}
   = \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}} \left(\frac{\dd x}{\dd z}\right)^{2}
   + \frac{\dd V}{\dd x}\, \frac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}, \\
%
\frac{\dd V}{\dd k}
  &= \left(\frac{\dd V}{\dd k}\right)
   + \frac{\dd V}{\dd x}\, \frac{\dd x}{\dd z},
\end{align*}
l'équation~\Eq{(30)} devient
\[
\Tag{(31)}
\left\{
\begin{aligned}
  \left(\frac{\dd x}{\dd z}\right)^{2} \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}}
  &+ \left[\frac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}
    + 2n^{2} \left(\frac{\dd \log u}{\dd z} + k^{2}z^{2}\right) \frac{\dd x}{\dd z}
    + 2 n^{2}k k'^{2} \frac{\dd x}{\dd k}\right] \frac{\dd V}{\dd x} \\
  &\qquad\qquad+ 2n^{2}k k'^{2} \frac{\dd V}{\dd k}
    + n^{2}(n^{2} - 1) k^{2}\lambda^{2}V = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Les deux fonctions $u$~et~$u_{1}$ satisfaisant à l'équation~\Eq{(28)}, on en déduit,
par soustraction,
\[
\frac{\dd^{2} \log \dfrac{u_{1}}{u}}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log u_{1}}{\dd z}\right)^{2}
  - \left(\frac{\dd \log u}{\dd z}\right)^{2}
  + 2k^{2}z \frac{\dd \log \dfrac{u_{1}}{u}}{\dd z}
  + 2kk'^{2} \frac{\dd \log \dfrac{u_{1}}{u}}{\dd k} = 0,
\]
\DPPageSep{537.png}{529}
ou
\[
\frac{\dd^{2} \log x}{\dd z^{2}}
  + \left(\frac{\dd \log x}{\dd z}\right)^{2}
  + 2 \left(\frac{\dd \log u}{\dd z} + k^{2}z\right) \frac{\dd \log x}{\dd z}
  + 2kk'^{2} \frac{\dd \log x}{\dd k} = 0,
\]
et par suite
\[
\frac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}
  + 2 \left(\frac{\dd \log u}{\dd z} + k^{2}z\right) \frac{\dd x}{\dd z}
  + 2kk'^{2} \frac{\dd x}{\dd z} = 0.
\]
Grâce à cette relation, le coefficient du second terme, dans l'équation~\Eq{(31)},
se simplifie, et l'équation devient
\[
\Tag{(32)}
\left(\frac{\dd x}{\dd z}\right)^{2} \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}}
  - (n^{2} - 1) \frac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}\, \frac{\dd V}{\dd x}
  + 2n^{2}kk'^{2} \frac{\dd V}{\dd k}
  +  n^{2}(n^{2} - 1) k^{2}\lambda^{2} V = 0.
\]

En remplaçant $\left(\dfrac{\dd x}{\dd z}\right)^{2}$~et~$\dfrac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}$ par leurs valeurs
\begin{align*}
  \left(\frac{\dd x}{\dd z}\right)^{2}
  &= k\lambda'^{2}(z)
   = k \left[1 - \left(k + \frac{1}{k}\right) x^{2} + x^{4}\right], \\
%
  \frac{\dd^{2} x}{\dd z^{2}}
  &= k \left[ -\left(k + \frac{1}{k}\right) x + 2x^{3}\right],
\end{align*}
on arrive enfin à l'équation différentielle
\[
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
  \left[1 - \left(k + \frac{1}{k}\right) x^{2} + x^{4}\right]
    \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}}
  &+ (n^{2} - 1) \left[\left(k + \frac{1}{k}\right) x - 2x^{3}\right]
    \frac{\dd V}{\dd x} \\
  &+ 2n^{2}k'^{2} \frac{\dd V}{\dd k}
   +  n^{2}(n^{2} - 1) x^{2}V = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
On la simplifie un peu en remplaçant la variable~$k$ par la nouvelle variable
$\alpha = \dfrac{1}{2} \left(k + \dfrac{1}{k}\right)$; l'équation devient
\[
\Tag{(34)}
\left\{
\begin{aligned}
(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}}
  &+ 2(n^{2} - 1) (\alpha x - x^{3}) \frac{\dd V}{\dd x} \\
  &+ 4 n^{2}(1 - \alpha^{2}) \frac{\dd V}{\dd \alpha}
   + n^{2}(n^{2} - 1) x^{2}V = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Les quatre fonctions~$V$ satisfont à cette même équation différentielle.

\Paragraph{341.} Supposons qu'au lieu de la variable $x = \dfrac{u_{1}}{u}$ on prenne la variable
\DPPageSep{538.png}{530}
$y = \dfrac{u_{2}}{u} = \sqrt{\dfrac{k}{k'}}\, \mu(z, k)$, la transformation de l'équation~\Eq{(30)}
s'opérera de la même manière: il suffit, dans les calculs, de remplacer~$u_{1}$
par~$u_{2}$ et $x$~par~$y$; on arrivera donc à l'équation
\[
\Tag{(35)}
\left(\frac{\dd y}{\dd z}\right)^{2} \frac{\dd^{2} V}{\dd y^{2}}
  - (n^{2} - 1) \frac{\dd^{2} y}{\dd z^{2}}\, \frac{\dd V}{\dd y}
  + 2n^{2}kk'^{2} \frac{\dd V}{\dd k}
  +  n^{2}(n^{2} - 1) k^{2}\lambda^{2}V = 0,
\]
analogue à l'équation~\Eq{(32)}. Mais on a (\no{159})
\begin{align*}
  \left(\frac{\dd y}{\dd z}\right)^{2}
  &= \frac{k}{k'} \mu'^{2}(z)
   = kk' \left(1 - \frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y^{2} - y^{4}\right), \\
  \frac{\dd^{2} y}{\dd z^{2}}
  &= -kk' \left(\frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y + 2y^{3}\right),
\end{align*}
et l'équation~\Eq{(35)} devient
\[
\Tag{(36)}
\left\{
\begin{gathered}
\left(1 - \frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y^{2} - y^{4}\right) \frac{\dd^{2} V}{\dd y^{2}}
  + (n^{2} - 1) \left(\frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y + 2y^{3}\right) \frac{\dd V}{\dd y} \\
  + 2n^{2}k' \frac{\dd V}{\dd k}
  +  n^{2}(n^{2} - 1) \left(\frac{k}{k'} - y^{2}\right) V = 0.
\end{gathered}
\right.
\]

On peut encore effectuer la même transformation en se servant de la
variable $t = \dfrac{u_{3}}{u} = \dfrac{1}{\sqrt{k'}} \nu(z, k)$; on obtient l'équation
\[
\Tag{(37)}
\left(\frac{\dd t}{\dd z}\right)^{2} \frac{\dd^{2} V}{\dd t^{2}}
  - (n^{2} - 1) \frac{\dd^{2} t}{\dd z^{2}}\, \frac{\dd V}{\dd t}
  + 2n^{2}k k'^{2} \frac{\dd V}{\dd k}
  +  n^{2}(n^{2} - 1) k^{2}\lambda^{2} V = 0,
\]
que l'on déduit de l'équation~\Eq{(32)} en remplaçant~$x$ par~$t$. Comme on~a
\begin{align*}
  \left(\frac{\dd t}{\dd z}\right)^{2}
  &= \frac{1}{k'^{2}} \nu'^{2}(z)
   = -k' + (2 - k^{2}) t^{2} - k't^{4}, \\
%
  \frac{\dd^{2} t}{\dd z^{2}}
  &= (2 - k^{2}) t  - 2k't^{3},
\end{align*}
l'équation devient
\[
\Tag{(38)}
\left\{
\begin{gathered}
\left(1 - \frac{2 - k^{2}}{k'} t^{2} + t^{4}\right) \frac{\dd^{2} V}{\dd t^{2}}
  + (n^{2} - 1) \left(\frac{2 - k^{2}}{k'} t - 2t^{3}\right) \frac{\dd V}{\dd t} \\
  - 2n^{2}kk' \frac{\dd V}{\dd k}
  -  n^{2}(n^{2} - 1) \left(\frac{1}{k'} - t^{2}\right) V = 0.
\end{gathered}
\right.
\]
\DPPageSep{539.png}{531}

\Paragraph{342.} Voici comment on peut, à l'aide de ces équations différentielles,
calculer les polynômes~$P$. Nous avons substitué aux variables $\lambda,
\mu, \nu$ les nouvelles variables
\[
\Tag{(39)}
x = \sqrt{k} \lambda(z) = \frac{\theta_{1}(z)}{\theta(z)},\quad
y = \sqrt{\frac{k}{k'}} \mu(z) = \frac{\theta_{2}(z)}{\theta(z)},\quad
t = \frac{1}{\sqrt{k'}} \nu(z) = \frac{\theta_{3}(z)}{\theta(z)},
\]
et nous avons considéré les quatre fonctions
\[
\Tag{(40)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
V &= \frac{\theta(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)},\quad &
V_{1} &= \frac{\theta_{1}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)}, \\
%
V_{2} &= \frac{\theta_{2}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)},\quad &
V_{3} &= \frac{\theta_{3}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)}.
\end{alignedat}
\right.
\]
Si, pour les quatre polynômes~$P$, on pose
\[
\Tag{(41)}
A^{(m)} = k^{m} a^{(m)},\quad
B^{(m)} = \left(\frac{k}{k'}\right)^{m} b^{(m)},\quad
C^{(m)} = \frac{1}{k'^{m}} c^{(m)},
\]
les formules~\Eq{(24)} deviennent
\[
\Tag{(42)}
\left\{
\begin{array}{l@{\,}l}
P &= \sum a^{(m)} x^{2m}
   = \sum b^{(m)} y^{2m}
   = \sum c^{(m)} t^{2m}, \\
%
P_{1}
  &= \sum a_{1}^{(m)} x^{2m}
   = \sum b_{1}^{(m)} y^{2m}
   = \sum c_{1}^{(m)} t^{2m}, \\
%
\hdotsfor{2},
\end{array}
\right.
\]
et les coefficients~$a^{(m)}$ satisfont aux relations
\[
\Tag{(43)}
a^{(m)}(k) = a^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right),\quad
a_{1}^{(m)}(k) = a_{1}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right),\quad
a_{2}^{(m)}(k) = a_{2}^{(m)} \left(\frac{1}{k}\right).
\]
Les coefficients $A^{(m)}$~et~$A_{1}^{(m)}$ étant des polynômes entiers et réciproques
en~$k$ du degré~$2m$ au plus, les nouveaux coefficients $a^{(m)}$~et~$a_{1}^{(m)}$ sont
des polynômes entiers en~$\alpha$ et du degré~$m$ au plus.

D'après les premières des équations \Eq{(13)}~et~\Eq{(20)}, le polynôme~$P$ est,
dans tous les cas, égal à la fonction~$V$; c'est un polynôme entier pair
en~$x$, du degré $n^{2} - 1$~ou~$n^{2}$; on le calculera à l'aide de l'équation aux
dérivées partielles~\Eq{(34)}. Si, dans cette équation, on remplace~$V$ par sa
valeur~$\sum a^{(m)} x^{2m}$, et que l'on égale à zéro l'ensemble des termes du degré~$2m$
\DPPageSep{540.png}{532}
en~$x$, on obtient une relation linéaire
\[
\Tag{(44)}
\left\{
\begin{aligned}
(2m + 1)(2m + 2) a^{(m + 1)} &+ 4m (n^{2} - 2m) \alpha a^{(m)} \\
   + 4n^{2}(1 - \alpha^{2}) \frac{da^{(m)}}{d\alpha}
  &+ (n^{2} - 2m + 1) (n^{2} - 2m + 2) a^{(m-1)} = 0
\end{aligned}
\right.
\]
entre trois coefficients consécutifs. Le premier coefficient~$a^{(0)}$ est égal
à~$1$; en faisant $m = 0$, on trouve~$a^{(1)} = 0$; en faisant $m = 1$, on trouve
$a^{(2)} = -\dfrac{n^{2}(n^{2} - 1)}{3·4}$, puis $a^{(3)} = \dfrac{2n^{2}(n^{2} - 1) (n^{2} - 4) \alpha}{3·5·6}$, et ainsi de suite.

\Paragraph{343.} Nous allons maintenant distinguer deux cas, suivant que~$n$
est impair ou pair. Lorsque $n$~est impair, d'après les équations~\Eq{(13)},
on~a
\[
\Tag{(45)}
V = P,\quad
V_{1} = x P_{1},\quad
V_{2} = y P_{2},\quad
V_{3} = t P_{3}.
\]
Il est évident que les quantités~$P$, qui sont des polynômes entiers
en~$\lambda^{2}(z)$, sont des fonctions de~$z$ doublement périodiques, aux périodes
$\omega, \omega'$, et de l'ordre~$n^{2} - 1$; elles sont représentées par les
formules
\[
\Tag{(46)}
\left\{
\begin{aligned}
P(z) &= \frac{\theta(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)},\quad &
P_{1}(z)
  &= \frac{\theta_{1}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}
          {\theta_{1}(z) \theta^{n^{2} - 1}(z)}, \\
%
P_{2}(z)
  &= \frac{\theta_{2}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}
          {\theta_{2}(z) \theta^{n^{2}-1}(z)},\quad &
P_{3}(z)
  &= \frac{\theta_{3}(nz) \theta^{n^{2} - 1}(0)}
          {\theta_{3}(z) \theta^{n^{2} - 1}(z)},
\end{aligned}
\right.
\]
que l'on déduit des formules~\Eq{(40)}, et elles satisfont aux relations
\[
\Tag{(47)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{P \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{P_{3}(z)}
  = \frac{P_{1} \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}
         {(-1)^{\efrac{n-1}{2}} P_{2}(z)}
  = \frac{1}{t^{n^{2} - 1}}, \\
%
&\frac{P \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}
      {(-1)^{\efrac{n-1}{2}} P_{1}(z)}
  = \frac{P_{2} \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{P_{3}(z)}
  = \frac{1}{x^{n^{2} - 1}}, \\
%
&\frac{P \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{P_{2}(z)}
  = \frac{P_{1} \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}
         {(-1)^{\efrac{n-1}{2}} P_{3}(z)}
  = \frac{1}{y^{n^{2} - 1}}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{541.png}{533}
Mais, quand on remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega}{2}$, $t$~se change en~$\dfrac{1}{t}$; quand on
remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$, $x$~se change en~$\dfrac{1}{x}$; enfin, quand on remplace~$z$
par~$z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, $y$~se change en~$\dfrac{-i}{y}$. Il en résulte que, si l'on regarde
les polynômes~$P$ comme des fonctions de l'une des variables $x, y, z$, on
aura les relations
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(48)}
\left\{
\begin{aligned}
P_{1}(x) &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} x^{n^{2} - 1} P \left(\frac{1}{x}\right), \\
P_{2}(y) &= y^{n^{2} - 1} P \left(\frac{-i}{y}\right), \\
P_{3}(t) &= t^{n^{2} - 1} P \left(\frac{1}{t}\right).
\end{aligned}
\right.
\]
Ainsi, une fois qu'on a calculé le polynôme~$P$, ordonné par rapport aux
puissances de~$x$, on en déduit immédiatement le polynôme~$P$, ordonné
aussi par rapport à~$x$; le coefficient du terme en~$x^{2}$ dans~$P$ étant nul,
celui du terme en~$x^{n^{2} - 3}$ dans~$P_{1}$ est aussi nul. Si maintenant on ordonne
le polynôme~$P$ par rapport à~$y$ ou à~$t$, après avoir remplacé~$x^{2}$ par sa
valeur~$k - k'y^{2}$ ou~$\dfrac{1 - k't^{2}}{k}$, on obtient $P_{2}(y)$~et~$P_{3}(t)$.

On a aussi les relations
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(49)}
\left\{
\begin{aligned}
P_{3}(x) &= x^{n^{2} - 1} P_{2} \left(\frac{1}{x}\right), \\
P_{3}(y) &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} P_{1} \left(\frac{-i}{y}\right), \\
P_{3}(t) &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} t^{n^{2} - 1} P_{1} \left(\frac{1}{t}\right).
\end{aligned}
\right.
\]
La première donne~$P_{3}(x)$, quand on connaît~$P_{2}(x)$; on en déduit
$a(3)^{(m)} = a_{2}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2} - m\bigr)}$, et, en vertu de la troisième des relations~\Eq{(43)},
$a_{2}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2} - m\bigr)}(k) = a_{2}^{(m)} \left(\dfrac{1}{k}\right)$, $a_{3}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2} - m\bigr)}(k) = a_{3}^{(m)} \left(\dfrac{1}{k}\right)$; les coefficients numériques
des termes également éloignés des extrêmes dans les polynômes
$P_{2}(x)$~ou~$P_{3}(x)$ sont donc égaux entre eux. Il suffirait, d'après
cela, pour avoir les quatre polynômes, de calculer directement la moitié
des coefficients de l'un des polynômes $P_{2}(x)$~ou~$P_{3}(x)$, à l'aide de
l'équation~\Eq{(34)}.

On connaît les premiers coefficients~$a$; les premières des relations~\Eq{(48)}
et~\Eq{(49)} donnent les derniers. Quand, dans l'un des polynômes~$P(x)$,
on remplace~$x^{2}$ par~$k - k'y^{2}$ ou par~$\dfrac{1 - k't^{2}}{k}$, le coefficient de la plus
haute puissance de~$y$ ou de~$t$ est égal au coefficient de la plus haute
\DPPageSep{542.png}{534}
puissance de~$x$ multiplié par~$k'^{\efrac{n^{2}-1}{2}}$ ou par~$\left(\dfrac{k'}{k}\right)^{\efrac{n^{2}-1}{2}}$. Connaissant de la
sorte les derniers coefficients $b$~et~$c$, les deuxièmes et troisièmes des relations
\Eq{(48)}~et~\Eq{(49)} donnent les premiers. On a ainsi
\[
\Tag{(50)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{a^{(0)}}{1}
  &= \frac{a_{1}^{(0)}}{n}
   = \frac{a_{2}^{(0)}}{1}
   = \frac{a_{3}^{(0)}}{1} \\
  &= \frac{a^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} n}
   = \frac{a_{1}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}
   = \frac{a_{2}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = \frac{a_{3}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = 1, \\
%
\frac{b^{(0)}}{1}
  &= \frac{b_{1}^{(0)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}
   = \frac{b_{2}^{(0)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} n}
   = \frac{b_{3}^{(0)}}{1} \\
  &= \frac{b_{\vphantom{1}}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} n}
   = \frac{b_{1}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}
   = \frac{b_{2}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = \frac{b_{3}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = k'^{\efrac{n^{2}-1}{2}}, \\
%
\frac{c^{(0)}}{1}
  &= \frac{c_{1}^{(0)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}
   = \frac{c_{2}^{(0)}}{1}
   = \frac{c_{3}^{(0)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} n} \\
  &= \frac{c^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} n}
   = \frac{c_{1}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}
   = \frac{c_{2}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = \frac{c_{3}^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)}}{1}
   = \left(\frac{k'}{k}\right)^{\efrac{n^{2}-1}{2}}.
\end{aligned}
\right.
\]
La connaissance du dernier coefficient, $a^{\bigl(\efrac{n^{2}-1}{2}\bigr)} = (-1)^{\efrac{n-1}{2}}n$, servira de
vérification dans le calcul de~$P$.

En appliquant cette méthode au cas simple où $n = 3$, on trouve
\begin{align*}
P &= 1 - 6 x^{4} + 8\alpha x^{6} - 3x^{8}
   = k'^{4} \left(1 + 6 y^{4} - 4 \frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y^{6} - 3y^{8}\right) \\
  &= \frac{k'^{4}}{k^{4}}
       \left(1 - 6t^{4} + 4 \frac{2 - k^{2}}{k'} t^{6} - 3t^{8}\right), \\
%
P_{1} &= 3 - 8\alpha x^{2} + 6x^{4} - x^{8}, \\
P_{2} &= k'^{4} \left(-3 + 4 \frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y^{2} + 6y^{4} + y^{8}\right)
  = 1 - \frac{4}{k} x^{2} + 6x^{4} - 4k x^{6} + x^{8}, \\
%
P_{3} &= \frac{k'^{4}}{k^{4}}
  \left(-3 + 4 \frac{2 - k^{2}}{k'} t^{2} - 6t^{4} + t^{8}\right)
  = 1 - 4k x^{2} + 6x^{4} - \frac{4}{k} x^{6} + x^{8}.
\end{align*}
\DPPageSep{543.png}{535}

En l'appliquant au cas où $n = 5$, on trouve
\begin{align*}%[** TN: Hard-coded spacing]
&\!\!P = 1 - 50x^{4} + 280\alpha x^{6} - 5(25 + 128\alpha^{2}) x^{8}
  + 32(23\alpha + 16\alpha^{3}) x^{10} - 20(15 + 48\alpha^{2}) x^{12} \\
 &\quad+ 720\alpha x^{14} - 105x^{16} - 160\alpha x^{18} + (62 + 64\alpha^{2}) x^{20}
  - 40\alpha x^{22} + 5x^{24}, \\
%
&\!\!P_{1} = 5 - 40\alpha x^{2} + (62 + 64\alpha^{2}) x^{4} - 160\alpha x^{6}
  - 105x^{8} + 720\alpha x^{10} - 20(15 + 48\alpha^{2}) x^{12} \\
  &\quad+ 32(23\alpha + 16\alpha^{3}) x^{14} - 5(25 + 128\alpha^{2}) x^{16}
   + 280\alpha x^{18} - 50x^{20} + x^{24}.
\end{align*}

\Paragraph{344.} Considérons maintenant le cas où $n$~est pair; on a, d'après les
équations~\Eq{(20)},
\[
\Tag{(51)}
V = P,\quad
V_{1} = x \sqrt{1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}}\, P_{1},\quad
V_{2} = \sqrt{\frac{k}{k'}}\, P_{2},\quad
V_{3} = \sqrt{\frac{1}{k'}}\, P_{3}.
\]
Les quantités~$P$ sont encore des fonctions de~$z$ doublement périodiques
aux périodes $\omega, \omega'$; elles sont représentées par les formules
\[
\Tag{(52)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
P(z) &= \frac{\theta(nz) \theta^{n^{2}-1}(0)}{\theta^{n^{2}}(z)},\quad &
P_{1}(z)
  &= \frac{\theta_{1}(nz) \theta_{2}(0) \theta_{3}(0) \theta^{n^{2}-3}(0)}
          {\theta_{1} (z) \theta_{2}(z) \theta_{3}(z) \theta^{n^{2}-3}(z)}, \\
%
P_{2}(z)
  &= \frac{\theta_{2}(nz) \theta^{n^{2}}(0)}{\theta^{n^{2}}(z) \theta_{2}(0)},\quad &
P_{3}(z)
  &= \frac{\theta_{3}(nz) \theta^{n^{2}}(0)}{\theta^{n^{2}}(z) \theta_{3}(0)},
\end{alignedat}
\right.
\]
et satisfont aux relations
\[
\Tag{(53)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{P \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{P(z)}
  = \frac{P_{2} \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{(-1)^{\efrac{n}{2}} P_{2}(z)}
  = \frac{P_{3} \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{P_{3}(z)}
  = \frac{P_{1} \left(z + \dfrac{\omega}{2}\right)}{-(-1)^{\efrac{n}{2}} t^{4} P_{1}(z)}
  \rlap{$= \dfrac{1}{t^{n^{2}}},$} \\
%
&\begin{aligned}[t]
\frac{P \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{(-1)^{\efrac{n}{2}} P(z)}
  = \frac{P_{2} \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{P_{2}(z)}
  = \frac{P_{3} \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{P_{3}(z)}
  &= \frac{P_{1} \left(z + \dfrac{\omega'}{2}\right)}{-(-1)^{\efrac{n}{2}} x^{4} P_{1}(z)} \\
  &= \frac{1}{x^{n^{2}}},
\end{aligned} \\
%
&\begin{aligned}[t]
\frac{P \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{(-1)^{\efrac{n}{2}} P(z)}
  = \frac{P_{2} \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{(-1)^{\efrac{n}{2}} P_{2}(z)}
  &= \frac{P_{3} \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{P_{3}(z)} \\
  &= \frac{P_{1} \left(z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}{y^{4} P_{1}(z)}
  = \frac{1}{y^{n^{2}}}\Add{.}
\end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]
On en déduit les relations
\[
\Tag{(54)}
\left\{
\begin{aligned}
P(x) &= (-1)^{\efrac{n}{2}} x^{n^{2}} P \left(\frac{1}{x}\right),\quad
P_{1}(x) = -(-1)^{\efrac{n}{2}} x^{n^{2}-4} P_{1} \left(\frac{1}{x}\right), \\
P_{2}(x) &= x^{n^{2}} P_{2} \left(\frac{1}{x}\right),\quad
P_{3}(x)  = x^{n^{2}} P_{3} \left(\frac{1}{x}\right),
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{544.png}{536}
et d'autres de même forme par rapport aux variables $y$~et~$t$. D'après
cela, dans chacun des polynômes, les coefficients des termes également
distants des extrêmes sont égaux, ou égaux et de signes contraires. On
connaît les premiers coefficients $a^{(0)} = 1$, $a_{1}^{(0} = n$, $a_{2}^{(0)} = 1$, $a_{3}^{(0)} = 1$, et
par suite les derniers. On calculera le polynôme~$P$, comme précédemment,
à l'aide de la relation~\Eq{(44)}, et il suffira de trouver la première
moitié des coefficients.

En faisant le calcul pour $n = 6$, on trouve
\begin{align*}
P &= (1 - x^{36}) - 105x^{6}(1 - x^{28}) + 896\alpha x^{6}(1 - x^{24})
  - 12(37 + 288\alpha^{2}) x^{8} (1 - x^{20}) \\
  &\quad+ 1536(3\alpha + 4\alpha^{3}) x^{10}(1 - x^{16})
   + 4(621 + 3360\alpha^{2} + 1024\alpha^{4}) x^{12}(1 - x^{12}) \\
  &\quad+ 384(33\alpha + 32\alpha^{3}) x^{14}(1 - x^{8})
   + 126(15 + 128\alpha^{2}) x^{16} (1 - x^{4}).
\end{align*}


\Section{Équations différentielles d'Abel}

\Paragraph{345.} Nous avons représenté par~$x$ la fonction~$\sqrt{k} \lambda(z)$. Si nous représentons
de même par~$X$ la fonction~$\sqrt{k} \lambda(nz)$, ces deux quantités vérifient
l'équation
\[
\Tag{(55)}
\sqrt{k}\, dz
  = \frac{dX}{n \sqrt{1 - 2\alpha X^{2} + X^{4}}}
  = \frac{dx}{  \sqrt{1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}}},
\]
où $\alpha$~désigne la constante~$\dfrac{1}{2} \left(k + \dfrac{1}{k}\right)$. D'après ce que nous avons dit,
$X$~est une fonction~$\dfrac{V_{1}}{V}$ de~$x$, rationnelle si $n$~est impair, égale au produit
d'une fraction rationnelle par le radical $\sqrt{1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}}$ si $n$~est pair.
Cette fonction transforme donc la première expression différentielle
en une autre de la même forme.

Cette équation peut s'écrire
\[
(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \left(\frac{dX}{dx}\right)^{2}
  = n^{2}(1 - 2\alpha X^{2} + X^{4}),
\]
ou
\[
\Tag{(56)}
(1 - 2 \alpha x^{2} + x^{4}) \left(\frac{d \log X}{dx}\right)^{2}
  = n^{2} \left(X^{2} + \frac{1}{X^{2}} - 2\alpha\right).
\]
On en déduit, en différentiant,
\[
(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \left(\frac{d^{2} \log X}{dx^{2}}\right)
  - 2(\alpha x - x^{3}) \frac{d \log X}{dx}
  = n^{2} \left(X^{2} + \frac{1}{X^{2}}\right),
\]
\DPPageSep{545.png}{537}
et, en remplaçant~$X$ par sa valeur~$\dfrac{V_{1}}{V}$,
\[
\Tag{(57)}
\left\{
\begin{aligned}
  &\frac{(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \biggl[
      V\, \dfrac{d^{2} V}{dx^{2}} - \left(\!\dfrac{dV}{dx}\!\right)^{2}
    \biggr] - 2(\alpha x - x^{3}) V\, \dfrac{dV}{dx} + n^{2}V_{1}^{2}}{V^{2}} \\
= &\frac{(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \biggl[
      V_{1}\, \dfrac{d^{2} V_{1}}{dx^{2}} - \left(\!\dfrac{dV_{1}}{dx}\!\!\right)^{2}
    \biggr]\! - 2(\alpha x - x^{3}) V_{1} \dfrac{dV_{1}}{dx} + n^{2}V^{2}}{V_{1}^{2}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Lorsque $n$~est impair, $V$~et~$V_{1}$ sont des polynômes entiers en~$x$, le
premier pair et du degré~$n^{2} - 1$, le second impair et du degré~$n^{2}$. Les
numérateurs des deux fractions précédentes sont donc des polynômes
entiers pairs, le premier du degré~$2n^{2}$, le second du degré~$2n^{2} + 2$;
les dénominateurs $V^{2}$~et~$V_{1}^{2}$ étant premiers entre eux, il en résulte que
chacun des numérateurs est divisible par le dénominateur correspondant,
et que le quotient est un polynôme pair du second degré, tel que
$G x^{2} + G'$. La première fraction se réduisant à~$2a^{(1)}$ et, par conséquent,
à zéro pour $x = 0$, la constante~$G'$ est nulle. Le terme de~$V_{1}$ du degré
le plus élevé est~$(-1)^{\efrac{n-1}{2}} x^{n^{2}}$; le terme le plus élevé dans le second
numérateur est~$n^{2} x^{2n^{2} + 2}$; en le divisant par le terme le plus élevé~$x^{2n^{2}}$
du second dénominateur, on obtient la constante~$G = n^{2}$. On conclut
de là que les deux polynômes $V$~et~$V_{1}$ vérifient les deux équations différentielles
simultanées
\[
%[** TN: Re-breaking]
\Tag{(58)}
\left\{
\begin{aligned}
&(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4})
  \left[V\, \frac{d^{2} V}{dx^{2}} - \left(\frac{dV}{dx}\right)^{2}\right] \\
&\qquad\qquad
  - 2(\alpha x - x^{3}) V\, \frac{dV}{dx}
  + n^{2}(V_{1}^{2} - x^{2}V^{2}) = 0, \\
%
&(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4})
  \left[V_{1}\, \frac{d^{2} V_{1}}{dx^{2}} - \left(\frac{dV_{1}}{dx}\right)^{2}\right] \\
&\qquad\qquad
  - 2(\alpha x - x^{3}) V_{1}\, \frac{dV_{1}}{dx}
  + n^{2}(V^{2} - x^{2}V_{1}^{2}) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Ce sont les intégrales de ces deux équations différentielles, auxquelles
on joint les conditions initiales $V = 1$, $V_{1} = 0$, $\dfrac{dV}{dx} = 0$, $\dfrac{dV_{1}}{dx} = n$
pour $x = 0$.

Lorsque $n$~est pair, le numérateur~$V_{1}$ est de la forme $v_{1} \sqrt{1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}}$,
$v_{1}$~étant un polynôme entier impair du degré~$n^{2} - 3$. Le premier numérateur
est un polynôme entier pair du degré~$2n^{2} + 2$. On reconnaît
aisément que le second numérateur est aussi un polynôme entier pair
du degré~$2n^{2}$. On en conclut, comme précédemment, que les deux
fractions sont égales à un même quotient entier~$Gx^{2} + G'$. En faisant
\DPPageSep{546.png}{538}
$x = 0$ dans la première fraction, on trouve $G' = 0$; en divisant les
termes les plus élevés du numérateur et du dénominateur de cette même
fraction, on trouve~$G = n^{2}$. Ainsi les deux fonctions $V$~et~$V_{1}$ vérifient
encore les deux équations différentielles~\Eq{(58)}.

Les équations~\Eq{(58)} peuvent être mises sous la forme
\[
\Tag{(59)}
\left\{
\begin{aligned}
\Diff_{x} \bigl[\Delta(x) \Diff_{x} \log\xi\bigr]
  + \PadTo{n^{2}\left(\dfrac{1}{X^{2}} - x^{2}\right)}{n^{2}\;(X^{2} - x^{2})} &= 0, \\
\Diff_{x} \bigl[\Delta(x) \Diff_{x} \log\xi\bigr]
  + n^{2} \left(\frac{1}{X^{2}} - x^{2}\right) &= 0,
\end{aligned}
\right.
\]
en représentant par~$\xi$ soit la fonction~$V$, soit la fonction~$V_{1}$, et désignant
par~$\Delta(x)$ le radical $\sqrt{1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}}$. Si, entre l'équation~\Eq{(56)}
et l'une ou l'autre des équations~\Eq{(59)}, on éliminait~$X$, il est clair qu'on
arriverait à une même équation différentielle du troisième ordre par
rapport à la fonction~$\xi$ de la variable~$x$. Cette équation admet les solutions
particulières $\xi = V$, $\xi = V_{1}$. Pour obtenir l'intégrale générale, il
suffît évidemment de considérer l'intégrale générale de l'équation~\Eq{(55)}
et de la substituer dans l'une des équations~\Eq{(59)}; la valeur de~$\xi$ sera
donnée ensuite par deux quadratures. L'équation~\Eq{(55)} admet pour intégrale
générale
\[
X = \sqrt{k} \lambda (nz + \beta)
  = \sqrt{k} \frac{\lambda(nz) \mu(\beta) \nu(\beta) + \lambda(\beta) \mu(nz) \nu(nz)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(\beta) \lambda^{2}(nz)},
\]
$\beta$~étant une constante arbitraire, ou, en posant $h = \sqrt{k} \lambda(\beta)$ et remplaçant
$\sqrt{k} \lambda(nz)$ par sa valeur~$\dfrac{V_{1}}{V}$ en fonction de~$x$,
\[
\Tag{(60)}
X = \frac{VV_{1} \Delta(h) + h \sqrt{V^{4} - 2\alpha V^{2}V_{1}^{2} + V_{1}^{4}}}
         {V^{2} - h^{2}V_{1}^{2}}.
\]
De la première des équations~\Eq{(59)} on déduit ensuite
\[
\Tag{(61)}
\log \xi = -\int \frac{dx}{\Delta(x)} \int n^{2}(X^{2} - x^{2})\, dx.
\]


\Section{Multiplication de l'argument dans les intégrales de seconde espèce}

\Paragraph{346.} La formule~\Eq[273]{(13)} du \no{273}, dans laquelle on remplace~$z$ par~$nz$,
devient
\[
\zeta(nz) = \frac{1}{k^{2}} \left[
  nz\, \frac{\theta''(0)}{\theta(0)} - \frac{1}{n} \Diff_{z} \log\theta(nz)
\right].
\]
\DPPageSep{547.png}{539}

De la première des formules~\Eq[342]{(40)} du \no{342}, on déduit
\[
\Diff_{z} \log\theta(nz) = n^{2}\Diff_{z} \log\theta(z) + \Diff_{z} \log V;
\]
on en conclut
\[
\Tag{(62)}
\zeta(nz) = n\zeta(z) - \frac{1}{nk^{2}} \Diff_{z} \log V
  = n\zeta(z) - \frac{\sqrt{k}\, \Delta(x)}{nk^{2}} \Diff_{z} \log V.
\]


\Section{Multiplication de l'argument et du paramètre dans les intégrales
de troisième espèce}

\Paragraph{347.} La formule~\Eq[275]{(22)} du \no{275}, dans laquelle on remplace $z$~et~$a$
par $nz$~et~$na$, devient
\[
\Pi (nz, na)
  = nz\, \frac{\theta'(na)}{\theta(na)}
  + \frac{1}{2} \log \frac{\theta\bigl[n(z - a)\bigr]}
                          {\theta\bigl[n(z + a)\bigr]}.
\]

On en déduit
\begin{align*}
\Pi(nz, na) - n^{2}\Pi (z, a)
  = z \left[n \frac{\theta'(na)}{\theta(na)} - n^{2} \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}\right]
 &+ \frac{1}{2} \log \frac{\theta \bigl[n(z - a)\bigr]}{\theta^{n^{2}}(z - a)} \\
 &- \frac{1}{2} \log \frac{\theta \bigl[n(z + a)\bigr]}{\theta^{n^{2}}(z + a)}.
\end{align*}

Si l'on pose $x_{1} = \sqrt{k} \lambda(z- a )$, $x_{2} = \sqrt{k} \lambda(z + a)$, $\epsilon = \sqrt{k} \lambda(a)$, on
a, en vertu de la première des formules~\Eq[342]{(40)} du \no{342},
\begin{gather*}
  \log \frac{\theta \bigl[n(z - a)\bigr]}{\theta^{n^{2}}(z - a)}
- \log \frac{\theta \bigl[n(z + a)\bigr]}{\theta^{n^{2}}(z + a)}
= \log V(x_{1}) - \log V(x_{2}), \\
%
n \frac{\theta'(na)}{\theta(na)} - n^{2} \frac{\theta'(a)}{\theta(a)}
  = \Diff_{a} \log V(\epsilon)
  = \sqrt{k}\, \Delta(\epsilon) \Diff_{\epsilon} \log V(\epsilon);
\end{gather*}
on en conclut la formule
\[
\Tag{(63)}
\Pi (nz, na)
  = n^{2}\Pi (z, a) + z \sqrt{k}\, \Delta(\epsilon) \Diff_{\epsilon} \log V(\epsilon)
  + \frac{1}{2} \log \frac{V(x_{1})}{V(x_{2})}.
\]
\DPPageSep{548.png}{540}


\Chapitre{IV}{Division de l'une des Périodes}

\Section{Division de la première période par un nombre impair}

\Paragraph{348.} La fonction $\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, que nous désignerons plus simplement
par $\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$, admet les zéros $z = m \dfrac{\omega}{n} + (2m' + 1) \dfrac{\omega'}{2}$; elle satisfait
aux relations
\begin{align*}
\theta\left(z + \frac{\omega}{n}, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \theta\left(z, \frac{\omega}{n}\right), \\
\theta\left(z + \frac{\omega'}{n}, \frac{\omega}{n}\right)
  &= -e^{-\efrac{n\pi i}{\omega} (2z + \omega')} \theta\left(z, \frac{\omega}{n}\right).
\end{align*}
La fonction
\[
f(z) = \prod \theta\left(z + p \frac{\omega}{n}, \omega, \omega'\right),
\]
formée par le produit des $n$~fonctions $\theta\left(z + p \dfrac{\omega}{n}, \omega, \omega'\right)$, que l'on obtient
en attribuant à~$p$ les $n$~valeurs entières consécutives $-\dfrac{n - 1}{2}, \ldots$,
$-1, 0, +1, \ldots$, $\dfrac{n - 1}{2}$, admet les mêmes zéros et satisfait aux mêmes
relations; car, lorsqu'on remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega}{n}$, chaque facteur devient
égal au suivant, et le dernier au premier. Les deux fonctions $\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$
et~$f(z)$ sont donc dans un rapport constant. Si dans cette relation on
\DPPageSep{549.png}{541}
remplace~$z$ par l'une des quantités $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on
obtient les quatre formules
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \padtheta\left(z, p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\theta_{1}\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \prod \theta_{1}\left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\theta_{2}\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \theta_{2}\left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\theta_{3}\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \theta_{3}\left(z + p \frac{\omega}{n}\right),
\end{aligned}
\right.
\]
la lettre~$A$ désignant une constante.

En mettant à part le facteur qui correspond à~$p = 0$, et en groupant
deux à deux ceux qui correspondent à des valeurs de~$p$ égales et de
signes contraires, on en déduit (\no{329})
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{2}(0)}
     {\theta\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \padtheta(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta_{1}'(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{1}'\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \theta_{1}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta_{2}(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \theta_{2}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{3}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta_{2}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta_{3}(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \theta_{3}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{2}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta_{3}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{349.} Nous avons appelé $g$~et~$k$ le multiplicateur et le module relatifs
aux périodes $\omega, \omega'$; nous appellerons de même $g_{1}$~et~$k_{1}$ le multiplicateur
et le module relatifs aux périodes $\dfrac{\omega}{n}, \omega'$. Les formules précédentes
\DPPageSep{550.png}{542}
peuvent être mises sous la forme
\[
\Tag{(3)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \padtheta\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \frac{\omega}{n}\right) \lambda^{2}(z)
  \right] = \scrP, \\
%
\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{1}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \frac{1}{g} \lambda(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
  \right] = \frac{1}{g} \lambda(z) \scrP_{1}, \\
%
\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \mu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - \frac{\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
             {\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \mu(z) \scrP_{2}, \\
%
\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  &= \nu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - k^{2} \frac{\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
                   {\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \nu(z) \scrP_{3},
\end{aligned}
\right.
\]
les lettres~$\scrP$ désignant des polynômes entiers pairs en~$\lambda(z)$, du degré $n - 1$.
En divisant membre à membre les trois dernières formules par
la première, on en déduit
\[
%[** TN: Broken, added brace]
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \frac{g_{1}}{g}\, \frac{\lambda(z) \scrP_{1}}{\scrP}, \\
\mu\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \frac{\mu(z) \scrP_{2}}{\scrP}, \\
\nu\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \dfrac{\nu(z) \scrP_{3}}{\scrP}.
\end{aligned}
\right.
\]

En faisant $z = 0$ dans les équations~\Eq{(1)}, on trouve les valeurs des
trois constantes $\sqrt{k_{1}}, \sqrt{k'_{1}}, g_{1}$, telles qu'elles sont définies par les formules~\Eq[76]{(17)}
du \no{76} et~\Eq[159]{(24)} du \no{159},
\[
%[** TN: Broken, added brace]
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{k_{1}}
  &= \sqrt{k^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}, \\
\sqrt{\smash[b]{k'_{1}}}
  &= \sqrt{k'^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{1}{\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}, \\
\frac{g_{1}}{g}
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)
          \nu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{551.png}{543}

Des formules~\Eq{(1)} on déduit aussi
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \sqrt{\frac{k^{n}}{k_{1}}}
  \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}} \lambda\left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\mu\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \sqrt{\frac{k^{n} k'_{1}}{k'^{n} k_{1}}}
  \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}} \mu\left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\nu\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \sqrt{\frac{k'_{1}}{k'^{n}}}
  \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}} \nu\left(z + p \frac{\omega}{n}\right).
\end{aligned}
\right.
\]

Les symboles $\sqrt{k}$~et~$\sqrt{k'}$ désignent des quantités bien déterminées;
afin de simplifier les notations, nous avons jusqu'à présent représenté
le quotient ou le produit de ces deux quantités par $\sqrt{\dfrac{k'}{k}}$ ou~$\sqrt{kk'}$; de
même, dans les formules précédentes, les expressions $\sqrt{k^{n}}$, $\sqrt{k'^{n}}$, et par
exemple $\sqrt{\dfrac{k^{n} k'_{1}}{k'^{n} k_{1}}}$, désignent les quantités $(\sqrt{k})^{n}$, $(\sqrt{k'})^{n}$, $\dfrac{(\sqrt{k^{n}})^{n} \sqrt{k'_{1}}}{(\sqrt{k'})^{n} \sqrt{k_{1}}}$.


\Section{Division de la seconde période par un nombre impair}

\Paragraph{350.} La division de la seconde période s'opère de la même manière.
La fonction $\theta\left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, ou plus simplement $\theta\left(z \dfrac{\omega'}{n}\right)$, admet les zéros
$z = m\omega + (2m' + 1) \dfrac{\omega'}{2n}$ et satisfait aux relations
\begin{align*}
\theta\left(z + \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \theta\left(z, \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\theta\left(z + \frac{\omega'}{n}, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(2z + \efrac{\omega'}{n}\right)}
  \theta\left(z, \frac{\omega'}{n}\right).
\end{align*}
La fonction
\[
f(z) = \prod \theta\left(z + p \frac{\omega'}{n}, \omega, \omega'\right),
\]
\DPPageSep{552.png}{544}
formée par le produit des $n$~fonctions $\theta \left(z + p \dfrac{\omega'}{n}\right)$, que l'on obtient en
donnant à~$p$ les $n$~valeurs entières consécutives $-\dfrac{n - 1}{2}, \ldots$, $-1, 0,
+1, \ldots$, $\dfrac{n - 1}{2}$, admet les mêmes zéros et satisfait aux mêmes relations;
car, lorsqu'on remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{n}$, chaque facteur devient
égal au suivant, et le dernier devient égal au premier multiplié par
$-e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(2z + \efrac{\omega'}{n}\right)}$. Les deux fonctions $\theta \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)$,~$f(z)$ sont donc dans un
rapport constant. En remplaçant dans cette relation~$z$ par l'une des
quantités $z + \dfrac{\omega}{2}$, $z + \dfrac{\omega'}{2}$, $z + \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on obtient les quatre formules
\[
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  =  A' \prod \padtheta \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\theta_{1} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  =  A' \prod \theta_{1} \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\theta_{2} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  =  A' \prod \theta_{2} \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\theta_{3} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  =  A' \prod \theta_{3} \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right),
\end{aligned}
\right.
\]
analogues aux formules~\Eq{(1)}. On en déduit de la même manière
\[
\Tag{(8)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \padtheta(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta_{1}'(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{1}'\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \theta_{1}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta_{2}(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \theta_{2}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{3}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta_{2}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta_{3}(0) \theta^{n-1}(0)}
     {\theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \theta_{3}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{2}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta_{3}^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right].
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{553.png}{545}

\Paragraph{351.} Nous appellerons $g_{2}$~et~$k_{2}$ le multiplicateur et le module relatifs
aux périodes $\omega, \dfrac{\omega'}{n}$. Des formules précédentes on déduit
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \frac{\omega'}{n}\right) \lambda^{2}(z)
  \right] = \scrP', \\
%
\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{1}'\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &=  \frac{1}{g} \lambda(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  \right] = \frac{1}{g} \lambda(z) \scrP_{1}', \\
%
\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \mu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - \frac{\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
             {\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \mu(z) \scrP_{2}', \\
%
\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
     {\theta^{n}(z) \theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  &= \nu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - k^{2}\, \frac{\mu^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
                     {\nu^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \lambda^{2}(z)
  \right] = \nu(z) \scrP_{3}',
\end{aligned}
\right.
\]
les lettres~$\scrP'$ désignant encore des polynômes entiers pairs en~$\lambda(z)$ du
degré $n - 1$, et l'on~a
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \frac{g_{2}}{g}\, \frac{\lambda(z) \scrP_{1}'}{\scrP'}, \\
\mu \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \frac{\mu(z) \scrP_{2}'}{\scrP'}, \\
\nu \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \frac{\nu(z) \scrP_{3}'}{\scrP'}.
\end{aligned}
\right.
\]

En faisant $z = 0$ dans les équations~\Eq{(7)}, on trouve, comme précédemment,
\[
\Tag{(11)}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{k_{2}} &= \sqrt{k^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{\mu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
       {\nu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)},\quad
\sqrt{k_{2}'} = \sqrt{k'^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{1}{\nu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}, \\
%
\frac{g_{2}}{g} &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)
        \nu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
       {\mu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{554.png}{546}

Des formules~\Eq{(7)} on déduit aussi
\[
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \sqrt{\frac{k^{n}}{k_{2}}} \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
     \lambda \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\mu \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \sqrt{\frac{k^{n} k_{2}'}{k'^{n} k_{2}}} \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
     \mu \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\nu \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \sqrt{\frac{k_{2}'}{k'^{n}}} \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{\DPtypo{q}{p}=\efrac{n-1}{2}}
     \nu \left(z + p \frac{\omega'}{n}\right).
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{352.} \Remarque Les relations établies au \no{348} montrent que les
fonctions $\theta(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega')$ sont égales à des polynômes entiers et homogènes,
du degré~$n$, par rapport aux fonctions~$\theta(z, \omega, \omega')$. Les relations du \no{350},
dans lesquelles on remplace~$\omega$ par~$\dfrac{\omega}{n}$, montrent que les fonctions
$\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ sont égales à des polynômes entiers et homogènes, du degré~$n$,
par rapport aux fonctions $\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$: en mettant à la place de ces dernières
leurs valeurs, nous obtiendrons les expressions des fonctions
$\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ par des polynômes entiers, du degré~$n^{2}$, par rapport aux
fonctions~$\theta(z, \omega, \omega')$. Les fonctions~$\theta(z, \omega, \omega')$ étant homogènes par
rapport aux trois lettres $z, \omega, \omega'$ (\no{73}), les fonctions $\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$
sont les mêmes que~$\theta(nz, \omega, \omega')$; nous arriverons ainsi, par deux
opérations successives, aux polynômes que nous avons obtenus directement
dans le Chapitre précédent (\nos~\nref{330}~et~\nref{331}).

Le même mode de transformation s'applique aux fonctions elliptiques.
Concevons que l'on divise par~$n$, d'abord la première période,
puis la seconde; après la seconde opération, on retrouve évidemment
le module primitif~$k$ et le multiplicateur~$ng$. Les formules \Eq{(10)}~et~\Eq{(11)},
dans lesquelles on remplace $g$~et~$k$ par $g_{1}$~et~$k_{1}$, et $g_{2}$ par~$ng$, donnent
\DPPageSep{555.png}{547}
les expressions de $\lambda\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\mu\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\nu\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ par des fractions
rationnelles en $\lambda\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, $\mu\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, $\nu\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, du
degré~$n$; mais les formules \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)} donnent les expressions de ces
dernières fonctions par des fractions rationnelles en $\lambda(z, \omega, \omega')$,
$\mu(z, \omega, \omega')$, $\nu(z, \omega, \omega')$; en substituant ces valeurs dans les formules
précédentes, on obtiendra les expressions des fonctions $\lambda(nz), \mu(nz),
\nu(nz)$ par des fractions rationnelles en~$\lambda(z), \mu(z), \nu(z)$, du degré~$n^{2}$.

En effectuant la même opération avec les formules \Eq{(6)}~et~\Eq{(12)}, on
trouve
\[
\Tag{(13)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda(nz) &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} k^{\efrac{n^{2}-1}{2}}
    \prod_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
    \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \lambda\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\mu(nz) &= \PadTo{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} k^{\efrac{n^{2}-1}{2}}}
                 {\left(\dfrac{k}{k'}\right)^{\efrac{n^{2}-1}{2}}}
    \prod_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
    \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \mu\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\nu(nz) &= \PadTo{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} k^{\efrac{n^{2}-1}{2}}}
                 {\dfrac{1}{k'^{\efrac{n^{2}-1}{2}}}}
    \prod_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
    \prod_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \nu\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\end{aligned}
\right.
\]


\Section{Autre méthode}

\Paragraph{353.} Au lieu d'exprimer les nouvelles fonctions elliptiques par des
produits, on peut les exprimer par des sommes. Les fonctions
\[
\lambda\Bigl(z, \frac{\omega}{n}\Bigr) \lambda\Bigl(t - z + \frac{\omega'}{2}\Bigr),\quad
\mu\Bigl(z, \frac{\omega}{n}\Bigr) \mu\Bigl(t - z + \frac{\omega'}{2}\Bigr),\quad
\nu\Bigl(z, \frac{\omega}{n}\Bigr) \nu\Bigl(t - z + \frac{\omega'}{2}\Bigr)
\]
admettant les périodes $\omega, \omega'$, la somme des résidus de chacune d'elles
dans un parallélogramme~$(\omega, \omega')$ est nulle. Considérons le parallélogramme
qui a pour sommets les points $±\dfrac{\omega}{2}, ±\dfrac{\omega}{2} + \omega'$, et supposons
le point~$t$ situé à l'intérieur. Les infinis des fonctions dans ce parallélogramme
\DPPageSep{556.png}{548}
sont $z = t$ et $z = \dfrac{\omega'}{2} - p \dfrac{\omega}{n}$, $p$~variant de $-\dfrac{n-1}{2}$
à~$\dfrac{n-1}{2}$. En remplaçant à la fin $t$~par~$z$, on obtient les équations
\[
\Tag{(14)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \frac{gk}{g_{1} k_{1}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
     (-1)^{p} \lambda \left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\mu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \frac{gk}{g_{1} k_{1}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
     (-1)^{p} \mu \left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\nu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \frac{g}{g_{1}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
     \nu \left(z + p \frac{\omega}{n}\right).
\end{aligned}
\right.
\]
Si l'on met à part le terme qui correspond à $p = 0$ et si l'on groupe
les autres termes deux à deux à l'aide des formules~\Eq[319]{(3)} du \no{319}, il
vient
\[
\Tag{(15)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \frac{gk}{g_{1}k_{1}}\, \lambda(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{(-1)^{p} \mu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)
                   \nu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\mu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &=  \frac{gk}{g_{1}k_{1}}\, \mu(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{(-1)^{p} \mu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\nu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \PadTo{\dfrac{gk}{g_{1}k_{1}}}{\dfrac{g}{g_{1}}}\, \nu(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{\nu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
\right].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{354.} Les fonctions
\begin{gather*}
%[** TN: Breaking]
\lambda \left(z, \frac{\omega'}{n}\right) \lambda \left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right), \\
\mu \left(z, \frac{\omega'}{n}\right) \mu \left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right), \\
\nu \left(z, \frac{\omega'}{n}\right) \nu \left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right)
\end{gather*}
admettant de même les périodes $\omega, \omega'$, la somme des résidus de chacune
d'elles dans un parallélogramme $(\omega, \omega')$ est nulle. Nous prendrons les
\DPPageSep{557.png}{549}
mêmes parallélogrammes que précédemment et nous supposerons le
point~$t$ à l'intérieur. Les infinis des fonctions dans le parallélogramme
sont $z = t$ et $z = \dfrac{\omega'}{2} - p \dfrac{\omega'}{n}$, $p$~variant de~$-\dfrac{n - 1}{2}$ à~$\dfrac{n - 1}{2}$. On trouve
ainsi
\[
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \PadTo{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}}{\dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}}
 \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \phantom{(-1)^{p}}\lambda\left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\mu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \frac{gk}{g_{2}k_{2}}
    \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    (-1)^{p} \mu\left(z + p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
\nu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \PadTo[l]{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}}
              {(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{g}{g_{2}}}
    \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    (-1)^{p} \nu\left(z + p \frac{\omega'}{n}\right),
\end{aligned}
\right.
\]
d'où
\[
\Tag{(17)}
\left\{\!%[** TN: Neg space to coax tag onto same line]
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \PadTo{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}}
           {\dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}} \lambda(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{\mu \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)
          \nu \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\mu\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \frac{gk}{g_{2}k_{2}} \mu(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{(-1)^{p} \mu\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\nu\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= \PadTo[l]{(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{gk}{g_{2}k_{2}}}
              {(-1)^{\efrac{n-1}{2}} \dfrac{g}{g_{2}}} \nu(z) \left[
    1 + 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \frac{(-1)^{p} \nu\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega'}{n}\right) \lambda^{2}(z)}
  \right].
\end{aligned}
\right.
\]

Nous ferons remarquer que les formules \Eq{(14)}~et~\Eq{(16)} sont des conséquences
des formules \Eq{(4)}~et~\Eq{(10)}. Considérons, par exemple, la première
des équations~\Eq{(4)}; si l'on y regarde $\lambda\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ comme une
quantité donnée et~$\lambda(z)$ comme l'inconnue, l'équation est du degré~$n$
par rapport à cette inconnue; le premier membre ne changeant pas
quand on y remplace~$z$ par~$z + \dfrac{2\omega}{n}$, on en conclut que les $n$~quantités
\DPPageSep{558.png}{550}
représentées par la formule $\lambda\left(z + p \dfrac{2\omega}{n}\right)$, dans laquelle $p$~reçoit $n$~valeurs
entières consécutives, sont les $n$~racines de l'équation; la somme
des racines étant égale à~$\dfrac{g_{1} k_{1}}{gk}\, \lambda\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, on~a
\[
\Tag{(18)}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  = \frac{gk}{g_{1}k_{1}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    \lambda\left(z + p \frac{2\omega}{n}\right)
  = \frac{gk}{g_{1}k_{1}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
    (-1)^{p} \lambda\left(z + p \frac{\omega}{n}\right).
\]

\Paragraph{355.} La combinaison des formules \Eq{(14)}~et~\Eq{(16)} donne l'expression
des fonctions $\lambda(nz), \mu(nz), \nu(nz)$ par des sommes. On a, en effet,
d'après la première des formules~\Eq{(17)},
\[
\lambda(nz, \omega, \omega')
  = \lambda\left(z, \frac{\omega}{n}, \frac{\omega'}{n}\right)
  = \frac{g_{1} k_{1}}{ngk} \sum_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}
    \lambda\left(z + q \frac{\omega'}{n}, \frac{\omega}{n}, \omega'\right),
\]
et, en remplaçant $\lambda\left(z + q \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ par sa valeur donnée par la première
des formules~\Eq{(14)},
\[
\Tag{(19)}
\lambda(nz)
  = \frac{1}{n} \sum_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
                \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  (-1)^{p} \lambda\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]
On a de même
\begin{align*}
\Tag{(20)}
\mu(nz) &= \frac{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}{n}
  \sum_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
  \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  (-1)^{p+q} \mu\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\Tag{(21)}
\nu(nz) &= \frac{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}{n}
  \sum_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}}\;
  \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  (-1)^{q} \nu\left(z + p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\end{align*}

On obtient directement ces dernières équations en appliquant la
méthode aux trois fonctions
\[
\lambda(nz) \lambda\left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right),\quad
\mu(nz) \mu\left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right),\quad
\nu(nz) \nu\left(t - z + \frac{\omega'}{2}\right),
\]
qui admettent les deux périodes $\omega, \omega'$. Les infinis contenus dans le parallélogramme
\DPPageSep{559.png}{551}
considéré précédemment sont $z = t$ et $z = \dfrac{\omega'}{2} - p \dfrac{\omega}{n} - q \dfrac{\omega'}{n}$,
$p$~et~$q$ variant de~$-\dfrac{n-1}{2}$ à~$\dfrac{n-1}{2}$. Si l'on met à part le facteur qui
correspond à $p = 0$, $q = 0$ et si l'on groupe ensuite les termes deux à
deux, on en déduit
\[
\Tag{(22)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda(nz) &= \frac{1}{n} \lambda(z) \left[
  1 + 2 \sum \frac{(-1)^{p} \mu(a) \nu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\mu(nz) &= \frac{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}{n} \mu(z) \left[
  1 + 2 \sum \frac{(-1)^{p+q} \mu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  \right], \\
%
\nu(nz) &= \frac{(-1)^{\efrac{n-1}{2}}}{n} \nu(z) \left[
  1 + 2 \sum \frac{(-1)^{q} \nu(a)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)}
  \right],
\end{aligned}
\right.
\]
la lettre~$a$ désignant les $\dfrac{n^{2} - 1}{2}$~valeurs de la quantité $p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$, que l'on
obtient quand on combine avec $p = 0$ les valeurs positives $1, 2, \ldots, \dfrac{n-1}{2}$
de~$q$, et avec les valeurs positives $1, 2, \ldots, \dfrac{n-1}{2}$ de~$p$ les $n$~valeurs $0,
±1, ±2, \ldots, ±\dfrac{n-1}{2}$ de~$q$ (\no{330}). D'après la remarque du numéro
précédent, elles sont aussi des conséquences des formules~\Eq[332]{(14)} du \no{332}.


\Section{Division de la première période par un nombre pair}

\Paragraph{356.} Le raisonnement du \no{348} conduit aux formules
\[
\Tag{(23)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \theta \left(z + 2p \frac{\omega}{2n}\right), \\
%
\theta_{1} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n}{2}-1} A \prod \theta_{1} \left(z + 2p \frac{\omega}{2n}\right), \\
%
\theta_{2} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \theta_{2} \left[z + (2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right], \\
%
\theta_{3} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= A \prod \theta_{3} \left[z + (2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right],
\end{aligned}
\right.
\]
dans lesquelles $p$~reçoit les $n$~valeurs entières consécutives $-\left(\dfrac{n}{2} - 1\right), \ldots$,
$-1, 0, 1, \ldots$, $\dfrac{n}{2} - 1, \dfrac{n}{2}$; on les déduit de la première en ajoutant à~$z$
\DPPageSep{560.png}{552}
l'une des quantités $\dfrac{\omega'}{2}$, $\dfrac{\omega}{2} - \dfrac{\omega}{2n}$, $\dfrac{\omega}{2} - \dfrac{\omega}{2n} + \dfrac{\omega'}{2}$. En groupant deux à deux
les facteurs, excepté ceux qui, dans les deux premières, correspondent
à $p = 0$ et à~$p = \dfrac{n}{2}$, on obtient les formules
\[
\Tag{(24)}
\left\{\!%[** TN: Neg space to coax tag onto same line]
\begin{aligned}
&\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta_{3}(0) \theta^{n-1}(0)}
      {\theta\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \theta(z) \theta_{3}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right], \\
%
&\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta_{1}'(0) \theta_{2}(0) \theta^{n-2}(0)}
      {\theta_{1}'\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \theta_{1}(z) \theta_{2}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \PadTo[l]{\rule{1in}{0pt}}{\ds\left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
           {\theta_{1}^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}\, \theta_{1}^{2}(z)
  \right],} \\
%
&\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta ^{n}(0)}
      {\theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{3}^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
           {\theta_{2}^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}\,
    \theta_{1}^{2}(z)\right\}, \\
%
&\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{2}^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
           {\theta_{3}^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}\,
    \theta_{1}^{2}(z)\right\},
\end{aligned}
\right.
\]
que l'on peut mettre sous la forme
\[
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \nu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}\left[
    1 - k^{2}\lambda^{2}\left(p \frac{\omega}{n}\right) \lambda^{2}(z)
  \right] = \nu(z) \scrP, \\
%
&\frac{\theta_{1}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{1}'\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \frac{1}{g}\, \lambda(z) \mu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2}\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
  \right] = \frac{1}{g}\, \lambda(z) \mu(z) \rlap{$\scrP_{1}$,} \\
%
&\frac{\theta_{2}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{2}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{
    1 - \frac{\nu^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
             {\mu^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}\,
    \lambda^{2}(z)\right\} = \scrP_{2}, \\
%
&\frac{\theta_{3}\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{3}\left(0, \dfrac{\omega}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{
    1 - k^{2}\frac{\mu^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
                  {\nu^{2}\left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}\,
    \lambda^{2}(z)\right\} = \scrP_{3},
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{561.png}{553}
les lettres $\scrP, \scrP_{1}, \scrP_{2}, \scrP_{3}$ désignant des polynômes entiers pairs en~$\lambda(z)$,
les deux premiers du degré~$n - 2$, les deux derniers du degré~$n$. On
a ainsi
\[
%[** TN: Re-breaking, added brace]
\Tag{(26)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \frac{g_{1}}{g}\, \frac{\lambda(z) \mu(z) \scrP_{1}}{\nu(z) \scrP}, \\
\mu\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \frac{\scrP_{2}}{\nu(z) \scrP}, \\
\nu\left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  &= \frac{\scrP_{3}}{\nu(z) \scrP}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{357.} Remarquons que les quantités $p \dfrac{\omega}{n}$ et $\left(\dfrac{n}{2} - p\right) \dfrac{\omega}{n}$ ou $\dfrac{\omega}{2} - p \dfrac{\omega}{n}$
prenant les mêmes valeurs, quand $p$~varie de~$1$ à~$\dfrac{n}{2} - 1$, on a, en vertu
des relations~\Eq[77]{(19)} du \no{77},
\begin{alignat*}{2}
\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \lambda\left(p \frac{\omega}{n}\right)
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \lambda\left(\frac{\omega}{2} - p \frac{\omega}{n}\right)
  &&= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \frac{\mu\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\nu\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}, \\
%
\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \mu\left(p \frac{\omega}{n}\right)
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \mu\left(\frac{\omega}{2} - p \frac{\omega}{n}\right)
  &&= k'^{\efrac{n}{2} - 1} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \frac{\lambda\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\nu\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}, \\
%
\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \nu\left(p \frac{\omega}{n}\right)
  &= \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \nu\left(\frac{\omega}{2} - p \frac{\omega}{n}\right)
  &&= k'^{\efrac{n}{2} - 1} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \frac{1}{\nu\left(p \dfrac{\omega}{n}\right)};
\end{alignat*}
ces trois relations se réduisent à deux
\[
\Tag{(27)}
\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \nu^{2}\left(p \frac{\omega}{n}\right)
  = k'^{\efrac{n}{2} - 1},\quad
\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \mu\left(p \frac{\omega}{n}\right)
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
    \lambda\left(p \frac{\omega}{n}\right) \nu\left(p \frac{\omega}{n}\right).
\]

Les quantités $(2p - 1) \dfrac{\omega}{n}$ et $\bigl[n - (2p - 1)\bigr] \dfrac{\omega}{2n}$ ou $\dfrac{\omega}{2} - (2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}$
prenant aussi les mêmes valeurs quand $p$~varie de~$1$ à~$\dfrac{n}{2}$, on trouve de
\DPPageSep{562.png}{554}
même
\[
\Tag{(28)}
\left\{
\begin{aligned}
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \nu^{2}\left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right]
  = k'^{\efrac{n}{2}}, \\
%
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \mu\left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right]
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
    \lambda\left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right]
    \nu\left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right].
\end{aligned}
\right.
\]

En faisant $z = 0$ dans les équations~\Eq{(23)}, on obtient ensuite le
multiplicateur~$g_{1}$ et le module~$k_{1}$ des nouvelles fonctions elliptiques
\[
%[** TN: Re-broken]
\Tag{(29)}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{k_{1}} &= k^{\efrac{n}{2}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
  \lambda^{2} \left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right], \\[12pt]
\frac{g_{1}}{g}
  &= \frac{\ds\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
          \lambda^{2} \left(p \frac{\omega}{n}\right)}
         {\ds\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
          \lambda^{2} \left[(2p - 1) \frac{\omega}{2n}\right]}.
\end{aligned}
\right.
\]


\Section{Division de la seconde période par un nombre pair}

\Paragraph{358.} On obtient de la même manière les formules
\[
\Tag{(30)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta\left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= A' \prod \theta \left[z + (2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right], \\
%
\theta_{1} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= -iA' e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left(z + \efrac{\omega'}{4n}\right)}
      \prod \theta_{1} \left(z + 2p \frac{\omega'}{2n}\right), \\
%
\theta_{2} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= A' e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left(z + \efrac{\omega'}{4n}\right)}
      \prod \theta_{2} \left(z + 2p \frac{\omega'}{2n}\right), \\
%
\theta_{3} \left(z, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= A' \prod \theta_{3} \left[z + (2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right],
\end{aligned}
\right.
\]
dans lesquelles $p$~reçoit les $n$~valeurs consécutives $-\left(\dfrac{n}{2} - 1\right), \ldots$,
$-1, 0, 1, \ldots, \dfrac{n}{2}$; on les déduit de la première en ajoutant à~$z$ l'une des
quantités $\dfrac{\omega}{2}$, $\dfrac{\omega'}{2} + \dfrac{\omega'}{2n}$, $\dfrac{\omega'}{2} + \dfrac{\omega'}{2n} + \dfrac{\omega}{2}$. Par le groupement des facteurs,
\DPPageSep{563.png}{555}
elles se mettent sous la forme
\[
\Tag{(31)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta\left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{1}^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}
           {\theta^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}\,
      \theta_{1}^{2}(z) \right\}, \\
%
&\frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta_{1}'(0) \theta^{n-1}(0)}
      {\theta_{1}' \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \theta(z) \theta_{1}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
  \PadTo[l]{\rule{1in}{0pt}}{\ds\left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta_{1}^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\,
      \theta_{1}^{2}(z)
  \right],} \\
%
&\frac{\theta_{2} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)
       \theta_{2}(0) \theta_{3}(0) \theta^{n-2}(0)}
      {\theta_{2} \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \theta_{2}(z) \theta_{3}(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
  \PadTo[l]{\rule{1.25in}{0pt}}{\ds\left[\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{3}^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta_{2}^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\,
      \theta_{1}^{2}(z)
  \right],} \\
%
&\frac{\theta_{3} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta_{3} \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{\theta^{2}(z)
    - \frac{\theta_{2}^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}
           {\theta_{3}^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}\,
      \theta_{1}^{2}(z)
  \right\},
\end{aligned}
\right.
\]
ou
\[
\Tag{(32)}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\padtheta \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \padtheta \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{
    1 - k^{2}\lambda^{2} \left[(2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right] \lambda^{2}(z)
  \right\} = \scrP', \\
%
&\frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{1}' \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \frac{1}{g}\, \lambda(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \left[
    1 - \frac{\lambda^{2}(z)}{\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  \right]
  = \frac{1}{g}\, \lambda(z) \scrP_{1}', \\
%
&\frac{\theta_{2} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{2} \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \mu(z) \nu(z) \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \left[
    1 - \frac{\nu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}
             {\mu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}\, \lambda^{2}(z)
  \right]
  = \mu(z) \rlap{$\nu(z) \scrP_{2}'$,} \\
%
&\frac{\theta_{3} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right) \theta^{n}(0)}
      {\theta^{n}(z) \theta_{3} \left(0, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \left\{
    1 - k^{2} \frac{\mu^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}
                   {\nu^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}\,
  \lambda^{2}(z) \right\}
  =  \scrP_{3}',
\end{aligned}
\right.
\]
et l'on~a
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \frac{g_{1}}{g}\, \frac{\lambda(z) \scrP_{1}'}{\scrP'}, \\
\mu \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &=  \frac{\mu(z) \nu(z) \scrP_{2}'}{\scrP'}, \\
\nu \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  &= \frac{\scrP_{3}'}{\scrP'}.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{564.png}{556}

On trouve, comme dans le numéro précédent,
\[
\Tag{(34)}
\left\{
\begin{aligned}
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \lambda^{2} \left(p \frac{\omega'}{n}\right)
  = \frac{(-1)^{\efrac{n}{2} - 1}}{k^{\efrac{n}{2}-1}}, \\
%
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \mu \left(p \frac{\omega'}{n}\right)
  = (-i)^{\efrac{n}{2}-1} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
  \lambda \left(p \frac{\omega'}{n}\right)
  \nu \left(p \frac{\omega'}{n}\right), \\
%
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \lambda^{2} \left[(2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right]
  = \frac{(-1)^{\efrac{n}{2}}}{k^{\efrac{n}{2}}}, \\
%
&\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}} \mu \left[(2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right]
  = (-1)^{\efrac{n}{2}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
    \lambda \left[(2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right]
    \nu \left[(2p - 1) \frac{\omega'}{2n}\right].
\end{aligned}
\right.
\]
et, en faisant $z = 0$ dans les équations~\Eq{(30)},
\[
\Tag{(35)}
\sqrt{k'_{2}} = k'^{\efrac{n}{2}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
  \frac{1}{\nu^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]},\quad
\frac{g_{1}}{g}
  = \frac{\ds\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
          \nu^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega'}{2n}\right]}
         {\ds\prod_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1}
          \nu^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]

\Paragraph{359.} \Remarque La première des équations~\Eq{(26)}, dont on élève
les deux membres au carré et dans laquelle on regarde $\lambda\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$ comme
une quantité connue et $\lambda^{2}(z)$ comme l'inconnue, est du degré~$n$ par
rapport à cette inconnue; les $n$~racines sont représentées par la formule
$\lambda^{2}\left(z + p \dfrac{\omega}{n}\right)$, où $p$~reçoit $n$~valeurs entières consécutives; la somme
des racines étant connue, il en résulte la relation
\[
\Tag{(36)}
\lambda^{2} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  = \left(\frac{gk}{g_{1} k_{1}}\right)^{2} \left[
    -1 - 2 \sum_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}-1} \lambda^{2} \left(p \frac{\omega}{n}\right)
    + \sum_{p=0}^{p=n-1} \lambda^{2} \left(z + p \frac{\omega}{n}\right)\
  \right].
\]
\DPPageSep{565.png}{557}
De la deuxième et de la troisième des équations~\Eq{(26)} on déduit de même
\begin{gather*}
\Tag{(37)}
\mu^{2} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  = \left(\frac{gk}{g_{1} k_{1}}\right)^{2}
  \PadTo[l]{\rule{2.75in}{0pt}}{\ds\left\{
    \sum_{p=0}^{p=n-1} \mu^{2} \left(z + p \frac{\omega}{n}\right)
    - 2k'^{2} \sum_{p=1}^{p=\efrac{n}{2}}
      \frac{\lambda^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
           {\mu^{2} \left[(2p - 1) \dfrac{\omega}{2n}\right]}
  \right\},} \\
%
\Tag{(38)}
\nu \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  = \frac{g}{g_{1}} \sum_{p=0}^{p=n-1} \nu \left(z + p \frac{\omega}{n}\right).
\end{gather*}

La considération du produit des racines dans les deux premières
équations conduit aux relations
\begin{alignat*}{2}
\Tag{(39)}
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= (-1)^{\efrac{n}{2}-1} \sqrt{\frac{k^{n}}{k'_{1}}}\;
  &&\prod_{p=0}^{p=n-1} \lambda \left(z + p \frac{\omega}{n}\right), \\
%
\Tag{(40)}
\mu^{2} \left(z, \frac{\omega}{n}\right)
  &= 1 - \frac{k^{n}}{k_{1} k'^{n}}
  &&\prod_{p=0}^{p=n-1} \mu^{2} \left(z + p \frac{\omega}{n}\right).
\end{alignat*}
Les formules~\Eq{(33)}, relatives à la division de la seconde période, donneraient
des relations analogues.

Dans ce qui précède, nous avons exprimé les fonctions $\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$,
$\theta\left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ au moyen des fonctions $\theta(z, \omega, \omega')$. Les fonctions
$\vartheta\left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\vartheta\left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ s'expriment par des formules toutes pareilles
au moyen des fonctions~$\vartheta(z, \omega, \omega')$.


\Section{Nombre des fonctions provenant de la division de l'une des périodes de
l'un des couples qui correspondent à un module donné}

\Paragraph{360.} Nous savons qu'à un module donné~$k$, le multiplicateur~$g$
étant supposé égal à l'unité, correspondent une infinité de couples de
périodes elliptiques. Désignons par $2\omega, \omega'$ l'un d'eux, par exemple
celui que nous avons déterminé, au \no{221}, à l'aide d'intégrales définies;
tous les autres $2\omega_{1}, \omega'_{1}$ sont définis par les relations
\[
\omega = (4a + 1) \omega_{1} + 4b \omega'_{1},\quad
\omega' = 4a' \omega_{1} + (4b' + 1) \omega'_{1},
\]
\DPPageSep{566.png}{558}
avec la condition $(4a + 1)(4b' + 1) - 16ba' = 1$ (\no{232}); mais nous
considérerons d'une manière plus générale les couples de périodes
définis par les relations
\[
\Tag{(41)}
\omega = (2a + 1) \omega_{1} + 2b \omega'_{1},\quad
\omega' = 2a' \omega_{1} + (2b' + 1) \omega'_{1},
\]
avec la condition
\[
\Tag{(42)}
(2a + 1)(2b' + 1) - 4ba' = 1;
\]
car les fonctions $\lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1})$, qui leur correspondent, sont égales à
$±\lambda(z, \omega, \omega')$ et ont pour modules~$±k$, de sorte que les polynômes~$\scrP$ qui
entrent dans les expressions des fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{\omega_{1}}{n}, \omega'_{1}\right)$, $\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$,
renferment la même fonction donnée~$\lambda^{2}(z, k)$, la même constante~$k^{2}$,
et ne diffèrent que par la valeur de l'une des constantes $\lambda^{2}\left(\dfrac{\omega}{n}, k\right)$,
$\lambda^{2}\left(\dfrac{\omega'}{n}, k\right)$, $\lambda^{2}\left(\dfrac{\omega}{2n}, k\right)$, $\lambda^{2}\left(\dfrac{\omega'}{2n}, k\right)$. Dans ce qui suit, nous ne distinguerons
pas deux fonctions égales et de signes contraires, ou ayant
leurs modules égaux et de signes contraires.

Nous remarquerons d'abord que, lorsque $n$~est impair, la division
de la seconde période donne les mêmes fonctions que celle de la première;
car deux couples de périodes satisfaisant aux relations~\Eq{(41)}
sont liés par des relations de même forme
\[
\omega_{2} = (2a_{1} + 1) \omega_{1} + 2b_{1} \omega'_{1},\quad
\omega'_{2} = 2a'_{1} \omega_{1} + (2b'_{1} + 1) \omega'_{1},
\]
avec la seule condition $(2a_{1} + 1)(2b'_{1} + 1) - 4b_{1} a'_{1} = 1$; d'où
\[
\frac{\omega_{2}}{n}
  = \frac{2a_{1} + 1}{n}\, \omega_{1} + 2b_{1}\, \frac{\omega'_{1}}{n},\quad
\omega'_{2} = 2a' \omega_{1} + (2b'_{1} + 1) n\, \frac{\omega'_{1}}{n}.
\]
Pour que les deux fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{\omega_{2}}{n}, \omega'_{2}\right)$, $\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$ soient dans un
rapport constant, il est nécessaire et il suffit que $2a_{1} + 1$~soit divisible
par~$n$, ce qui est impossible quand $n$~est pair; lorsque $n$~est impair et
égal à~$2m + 1$, il suffira de prendre $a_{1} = b_{1} = m$, $a'_{1} = b'_{1} = -m$; les
deux fonctions seront alors égales et leurs modules égaux ou égaux et
de signes contraires.

\Paragraph{361.} Proposons-nous maintenant de chercher le nombre des fonctions
\DPPageSep{567.png}{559}
$\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$, quand $n$~est impair. Les relations~\Eq{(41)} renferment
quatre nombres entiers $2a + 1, b, a', 2b' + 1$, assujettis à la seule
condition~\Eq{(42)}. Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans
lesquels le plus grand commun diviseur de~$2a + 1$ et $n$~soit un même
nombre~$n'$; posons $n = n'n''$, $2a + 1 = n'(2a_{1} + 1)$, les nombres $n''$
et~$2a_{1} + 1$ étant premiers entre eux. La première des relations~\Eq{(41)}
devient
\[
\frac{\omega}{n'} = (2a_{1} + 1) \omega_{1} + 2n''b\, \frac{\omega'_{1}}{n}.
\]
Puisque les nombres $2a_{1} + 1$~et~$4n''b$ sont premiers entre eux, on peut
déterminer deux nombres entiers $a''$~et~$2b'' + 1$ satisfaisant à la condition
\[
\Tag{(43)}
(2a_{1} + 1) (2b'' + 1) - 4n'' ba'' = 1.
\]
D'après cela, si l'on pose
\[
\omega'' = 2a'' \omega_{1} + (2b'' + 1)\, \frac{\omega'_{1}}{n},
\]
on voit que le couple des périodes $\omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}$ est équivalent au couple $\dfrac{\omega}{n}', \omega'$,
et que la fonction $\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$, est égale à~$±\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}', \omega''\right)$. Des relations
\Eq{(42)}~et~\Eq{(43)}, retranchées membre à membre, on déduit
\[
(2a_{1} + 1) \bigl[2b'' + 1 - n'(2b' + 1)\bigr] = 4b(n''a'' - a'),
\]
et par suite
\[
\Tag{(44)}
\left\{
\begin{aligned}
&n''a'' - a' = (2a_{1} + 1) t, \\
&2b'' + 1 - n'(2b' + 1) = 4bt,
\end{aligned}
\right.
\]
$t$~étant un nombre entier. Si, dans la valeur de~$\omega''$, on remplace $a''$~et~$2b'' + 1$
par leurs valeurs tirées de ces deux équations, on trouve
\[
\omega'' = \frac{\omega'}{n''} + 2t\, \frac{\omega}{n}
  = \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{n''}.
\]
Ainsi toutes les fonctions provenant de la division par~$n$ de la seconde
période des couples qui sont fournis par les systèmes de nombres entiers,
dans lesquels le plus grand commun diviseur de $2a + 1$~et~$n$
\DPPageSep{568.png}{560}
est égal à un même nombre~$n'$, sont comprises dans la formule
\[
\Tag{(45)}
\lambda \left(z, \omega_{1}, \frac{\omega'_{1}}{n}\right)
  = ±\lambda \left(z, \frac{\omega}{n'}, \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{n''}\right).
\]

On pourra effectuer l'opération à l'aide de deux divisions successives.
On exprimera d'abord $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, par une fraction rationnelle en~$\lambda(z, \omega, \omega')$
du degré~$n'$, puis $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n'}, \dfrac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{n''}\right)$ par une fraction rationnelle du
degré~$n''$ en $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n'}, \omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}\right)$ ou~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n'}, \omega'\right)$.

\Paragraph{362.} Nous remarquons que les trois nombres $n', n'', t$ n'ont pas de
facteur commun; car, si cela avait lieu, d'après la seconde des équations~\Eq{(44)},
ce facteur commun diviserait $2b'' + 1$ et, par suite, le premier
membre de l'équation~\Eq{(43)}, ce qui est impossible. On en conclut
que le nombre entier~$t$, qui entre dans la formule~\Eq{(45)}, n'est pas
arbitraire; il doit être premier avec le plus grand commun diviseur~$\delta$
des deux nombres $n'$~et~$n''$. Nous allons voir qu'on peut lui attribuer
une valeur quelconque première avec~$\delta$. L'équation~\Eq{(42)} est une conséquence
des équations \Eq{(43)}~et~\Eq{(44)}. Étant donné le nombre entier~$t$
premier avec~$\delta$, proposons-nous de déterminer six nombres entiers
$2a_{1} + 1, b, a', 2b' + 1, a'', 2b'' + 1$ satisfaisant aux trois équations \Eq{(43)}
et~\Eq{(44)}, et tels que $2a_{1} + 1$ soit premier avec~$n''$. Les deux équations~\Eq{(44)}
donneront immédiatement les deux nombres entiers $a'$~et~$2b'' + 1$, quand
les autres seront connus; l'équation~\Eq{(43)}, dans laquelle on remplace
$2b'' + 1$ par sa valeur tirée de la seconde des équations~\Eq{(44)}, devient
\[
\Tag{(46)}
n'(2a_{1} + 1)(2b' + 1) - 4n''ba'' = 1 - 4t (2a_{1} + 1) b;
\]
le premier membre étant divisible par~$\delta$, le second membre l'est aussi.
En appelant~$t'$ le quotient entier, on a la relation
\[
\Tag{(47)}
4t(2a_{1} + 1) b + \delta t' = 1,
\]
et l'équation~\Eq{(46)} se réduit à
\[
\Tag{(48)}
n'_{1} (2a_{1} + 1)(2b' + 1) - 4n''_{1} ba'' = t',
\]
\DPPageSep{569.png}{561}
$n'_{1}$~et~$n''_{1}$ désignant les quotients premiers entre eux des nombres $n'$~et~$n''$
par leur plus grand commun diviseur~$\delta$. La question revient à
trouver des nombres entiers satisfaisant aux deux équations \Eq{(47)}~et~\Eq{(48)}.
Les nombres donnés $4t$~et~$\delta$ étant premiers entre eux, on
peut déterminer des nombres entiers $x$~et~$t'$ satisfaisant à l'équation
$4tx + \delta t' = 1$. Prenons l'un quelconque des nombres~$x$; décomposons-le
en un produit de trois facteurs: l'un~$x'$, formé des facteurs
premiers qui entrent dans~$n'_{1}$; le deuxième~$x''$, des facteurs premiers
qui entrent dans~$n''_{1}$, quels que soient d'ailleurs leurs exposants; le
troisième~$y$, des facteurs premiers étrangers à~$n'_{1}$ et à~$n''_{2}$. En faisant
$2a_{1} + 1 = x'$, $b = x''y$, nous aurons deux nombres premiers entre eux
et satisfaisant à l'équation~\Eq{(47)}, avec la valeur correspondante de~$t'$;
en outre, d'après cette relation, le nombre~$2a_{1} + 1$ est premier avec~$\delta$;
comme il l'est déjà avec~$n''_{1}$, il l'est aussi avec~$n''$; d'ailleurs $b$~est premier
avec~$n'_{1}$. Les deux nombres $n'_{1} (2a_{1} + 1)$~et~$4n''_{1} b$, ainsi formés,
étant premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres entiers
$2b' + 1$~et~$a''$ vérifiant l'équation~\Eq{(48)}.

\Paragraph{363.} A l'inspection de la formule~\Eq{(45)}, on voit immédiatement que
deux valeurs de~$t$ dont la différence est un multiple de~$n''$ donnent la
même fonction; d'ailleurs, pour que deux de ces fonctions soient dans
un rapport constant, il est nécessaire que leurs périodes soient équivalentes,
ce qui exige, puisque le rapport~$\dfrac{\omega'}{\omega}$ est imaginaire, que la
différence des deux valeurs de~$t$ soit un multiple de~$n''$. Si donc on ne
regarde pas comme différentes deux fonctions égales et de signes contraires,
on pourra dire que le nombre des fonctions qui correspondent
à un plus grand commun diviseur~$n'$ entre $2a + 1$~et~$n$ est égal au
nombre des nombres inférieurs à~$n''$ et premiers avec~$\delta$, $n''$~étant le quotient
de~$n$ par~$n'$ et $\delta$~le plus grand commun diviseur entre $n'$~et~$n''$.
On procédera de même pour chaque diviseur du nombre~$n$. Le raisonnement
précédent montre que deux fonctions qui se rapportent à deux
diviseurs différents ne sont pas dans un rapport constant. En prenant
successivement tous les diviseurs, on obtiendra ainsi toutes les fonctions
$\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$.
\DPPageSep{570.png}{562}

Nous avons divisé par~$n$ la seconde période; on opérerait de même
la division de la première période. Tous les systèmes de nombres entiers
satisfaisant à la relation~\Eq{(42)}, et dans lesquels le plus grand commun
diviseur de $2b' + 1$~et~$n$ est~$n'$, donnent des fonctions représentées par
la formule
\[
\Tag{(49)}
\lambda \left(z, \frac{\omega_{1}}{n}, \omega'_{1}\right)
= ±\lambda \left(z, \frac{\omega + 2t \dfrac{\omega'}{n'}}{n''}, \frac{\omega'}{n'}\right),
\]
dans laquelle $t$~désigne encore un nombre entier premier avec~$\delta$; mais
nous avons vu que ces fonctions sont les mêmes que les précédentes.

Dans le cas particulier où $n$~est premier, il n'y a que deux hypothèses
possibles, soit $n' = n$, $n'' = 1$, soit $n' = 1$, $n'' = n$. Si l'on divise la seconde
période, la première hypothèse donne la fonction $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, la
seconde les $n$~fonctions représentées par la formule $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 2t \omega}{n}\right)$,
où l'on attribue à~$t$ les $n$~valeurs $0, 1, 2, \ldots, n-1$, ce qui fait en tout
$n + 1$~fonctions différentes. Si l'on divise la première période, la première
hypothèse donne la fonction $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, la seconde les $n$~fonctions
$\lambda \left(z, \dfrac{\omega + 2t \omega'}{n}, \omega'\right)$, ce qui reproduit les mêmes fonctions dans
un autre ordre.

\Paragraph{364.} Considérons actuellement le cas où le diviseur~$n$ est un nombre
pair, que nous représenterons par~$2^{h} n_{1}$, $n_{1}$~étant impair. Divisons
d'abord la seconde période. En posant $n_{1} = n'n''$ et appelant~$\delta$ le plus
grand commun diviseur de $n'$~et~$n''$, on démontre, comme précédemment,
que les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation~\Eq{(42)},
et dans lesquels le plus grand commun diviseur de $2a + 1$~et~$n$ ou~$n_{1}$
est égal à~$n'$, donnent les fonctions comprises dans la formule
\[
\Tag{(50)}
\lambda \left(z, \omega_{1}, \frac{\omega'_{1}}{n}\right)
  = ±\lambda \left(z, \frac{\omega}{n'}, \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{2^{h}n''}\right),
\]
où $t$~désigne un nombre entier premier avec~$\delta$. En divisant la première
\DPPageSep{571.png}{563}
période, on arrive de même à la formule
\[
\Tag{(51)}
\lambda \left(z, \frac{\omega_{1}}{n}, \omega'\right)
  = ±\lambda \left(z, \frac{\omega + 2t \dfrac{\omega'}{n'}}{2^{h} n''}, \frac{\omega'}{n'}\right),
\]
$t$~désignant toujours un nombre premier avec~$\delta$. Les fonctions représentées
par ces deux formules sont différentes. Le nombre des fonctions
données par chacune d'elles et se rapportant à un plus grand commun
diviseur~$n'$ est égal au nombre des nombres inférieurs à~$2^{h}n''$ et premiers
avec~$\delta$.

Nous avons vu (\no{236}) que, si $2\omega, \omega'$ sont des périodes elliptiques
de la fonction~$\lambda(z, k)$, la fonction~$\lambda(z, k')$ admet les périodes elliptiques
$-2\omega' i, \omega i$. En comparant les formules des \nos~\nref{349}~et~\nref{351}, \nref{357}~et~\nref{358},
on reconnaît que les deux fonctions $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\lambda \left(z, \dfrac{-\omega' i}{n}, \omega i\right)$ ont
des multiplicateurs égaux et des modules complémentaires, et de même
les deux fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, $\lambda \left(z, -\omega' i, \dfrac{\omega i}{n}\right)$.


\Section{Division par deux}

\Paragraph{365.} D'après leur définition par les formules~\Eq[74]{(6)} du \no{74}, les valeurs
des fonctions~$\theta(z)$ pour une valeur de~$z$ de la forme $z = a\omega + b\omega'$,
$a$~et~$b$ étant des constantes quelconques, sont des fonctions de la quantité
imaginaire $\rho = \dfrac{\omega'}{\omega} = r + si$, dans laquelle le coefficient~$s$ est positif
et différent de zéro; si l'on représente, à la façon ordinaire, la variable~$\rho$
par un point du plan ayant pour coordonnées $r$~et~$s$, ces valeurs des
fonctions~$\theta$ sont des fonctions holomorphes de~$\rho$ pour toute la moitié
du plan située au-dessus de l'axe des~$x$. Les quantités $\sqrt{k}$~et~$\sqrt{k'}$, définies
par les formules~\Eq[76]{(17)} du \no{76}, sont, d'après cela, des fonctions
holomorphes de~$\rho$; en considérant leurs expressions en produits par les
formules \Eq[205]{(29)}~et~\Eq[205]{(30)} du \no{205}, on voit que leurs racines carrées sont
\DPPageSep{572.png}{564}
elles-mêmes holomorphes par rapport à~$\rho$; nous poserons
\[
\Tag{(52)}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt[4]{k}
  &= \sqrt{2} q^{\efrac{1}{8}}
     \prod_{m=1}^{m=\infty} \frac{1 - q^{2m}}{1 + q^{2m-1}}
   = \sqrt{2} e^{\efrac{\pi\rho i}{8}}
     \prod_{m=1}^{m=\infty} \frac{1 + e^{2m\pi\rho i}}{1 + e^{(2m-1)\pi\rho i}}, \\
%
\sqrt[4]{k'}
  &= \prod_{m=1}^{m=\infty} \frac{1 - q^{2m-1}}{1 + q^{2m-1}}
   = \prod_{m=1}^{m=\infty} \frac{1 - e^{(2m-1)\pi\rho i}}{1 + e^{(2m-1)\pi\rho i}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Voici d'autres fonctions holomorphes de~$\rho$ qui nous seront utiles:

\Primo~Si, dans les formules~\Eq[75]{(13)} du \no{75}, on fait $z = -\dfrac{\omega}{4}$, on trouve
\[
\theta_{3}\left(\frac{\omega}{4}\right) = \theta\left(\frac{\omega}{4}\right),\quad
\theta_{2}\left(\frac{\omega}{4}\right) = \theta_{1}\left(\frac{\omega}{4}\right),
\]
d'où
\[
\nu\left(\frac{\omega}{4}\right) = \sqrt{k'},\quad
\mu\left(\frac{\omega}{4}\right)
  = \sqrt{k'} \lambda\left(\frac{\omega}{4}\right),\quad
\lambda^{2}\left(\frac{\omega}{4}\right) = \frac{1}{1 + k'}.
\]
En définissant le radical~$\sqrt{1 + k'}$ au moyen de $\lambda\left(\dfrac{\omega}{4}\right)$, on~a
\[
\Tag{(53)}
\lambda\left(\frac{\omega}{4}\right)
  = \frac{1}{\sqrt{1 + k'}},\quad
\mu\left(\frac{\omega}{4}\right) = \frac{\sqrt{k'}}{\sqrt{1 + k'}},\quad
\nu\left(\frac{\omega}{4}\right) = \sqrt{k'}.
\]
En définissant $\sqrt{1 - k'}$ par la relation $\sqrt{1 - k'} × \sqrt{1 + k'} = k$, on en
déduit
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(54)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(\frac{\omega}{4} + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{1 - k'}}, \\
\mu\left(\frac{\omega}{4} + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{-i\sqrt{k'}}{\sqrt{1 - k'}}, \\
\nu\left(\frac{\omega}{4} + \frac{\omega'}{2}\right)
  &= -i \sqrt{k'}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Secundo~Si, dans les formules~\Eq[75]{(14)} du \no{75}, on fait $z = -\dfrac{\omega'}{4}$, on trouve
\[
\theta_{3}\left(\frac{\omega'}{4}\right)
  = \theta_{2}\left(\frac{\omega'}{4}\right),\quad
\theta_{1}\left(\frac{\omega'}{4}\right)
  = i \theta\left(\frac{\omega'}{4}\right),
\]
d'où
\[
\lambda\left(\frac{\omega'}{4}\right) = \frac{i}{\sqrt{k}},\quad
\nu\left(\frac{\omega'}{4}\right)
  = \sqrt{k} \mu\left(\frac{\omega'}{4}\right),\quad
\nu^{2}\left(\frac{\omega'}{4}\right) = 1 + k.
\]
\DPPageSep{573.png}{565}
En définissant le radical~$\sqrt{1 + k}$ par la valeur de~$\nu\left(\dfrac{\omega'}{4}\right)$, on~a
\[
\Tag{(55)}
\lambda\left(\frac{\omega'}{4}\right) = \frac{i}{\sqrt{k}},\quad
\mu\left(\frac{\omega'}{4}\right) = \frac{\sqrt{1 + k}}{\sqrt{k}},\quad
\nu\left(\frac{\omega'}{4}\right) = \sqrt{1 + k}.
\]
En définissant~$\sqrt{1 - k}$ par la relation $\sqrt{1 - k} × \sqrt{1 + k} = k'$, on en
déduit
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(56)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(\frac{\omega}{2} + \frac{\omega'}{4}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{k}}, \\
\mu\left(\frac{\omega}{2} + \frac{\omega'}{4}\right)
  &= \frac{-i\sqrt{1 - k}}{\sqrt{k}}, \\
\nu\left(\frac{\omega}{2} + \frac{\omega'}{4}\right) &= \sqrt{1 - k}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Tertio~Si, dans les formules~\Eq[75]{(15)} du \no{75}, on fait $z = -\dfrac{\omega + \omega'}{4}$, on
trouve
\[
\theta\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  = e^{\efrac{\pi i}{4}} \theta_{2}\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right),\quad
\theta_{1}\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  = e^{\efrac{\pi i}{4}} \theta_{3}\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right),
\]
d'où l'on déduit
\[
\mu\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  = \sqrt{\frac{k'}{k}} e^{-\efrac{\pi i}{4}},\quad
\nu\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  = \sqrt{kk'} e^{-\efrac{\pi i}{4}} \lambda\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right),
\]
et, par suite,
\[
\lambda^{2}\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right) = \frac{k + ik'}{k}.
\]
En définissant le radical~$\sqrt{k + ik'}$ au moyen de~$\lambda\left(\dfrac{\omega + \omega'}{4}\right)$, on~a
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(57)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  &= \frac{\sqrt{k + ik'}}{\sqrt{k}}, \\
\mu\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  &= \sqrt{\frac{k'}{k}} e^{-\efrac{\pi i}{4}}, \\
\nu\left(\frac{\omega + \omega'}{4}\right)
  &= \sqrt{k'} \sqrt{k - ik'} e^{-\efrac{\pi i}{4}}.
\end{aligned}
\right.
\]
En définissant $\sqrt{k - ik'}$ par la relation $\sqrt{k - ik'} × \sqrt{k + ik'} = 1$, on en
déduit
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(58)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(\frac{\omega - \omega'}{4}\right)
  &= \frac{\sqrt{k - ik'}}{\sqrt{k}}, \\
\mu\left(\frac{\omega - \omega'}{4}\right)
  &= \sqrt{\frac{k'}{k}} e^{\efrac{\pi i}{4}}, \\
\nu\left(\frac{\omega - \omega'}{4}\right)
  &= \sqrt{k'} \sqrt{k - ik'} e^{\efrac{\pi i}{4}}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{366.} Divisons maintenant par deux la première période. Les formules~\Eq[357]{(29)}
\DPPageSep{574.png}{566}
du \no{357} donnent
\[
\Tag{(59)}
\frac{g_{1}}{g} = 1 + k',\quad
\sqrt{k_{1}} = \sqrt{\frac{1 - k'}{1 + k'}},
\]
et les formules~\Eq[356]{(26)} du \no{356} se réduisent à
\[
\Tag{(60)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda\left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= (1 + k') \frac{\lambda(z) \mu(z)}{\nu(z)}, \\
%
\mu\left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1 - (1 + k') \lambda^{2}(z)}{\nu(z)}, \\
%
\nu\left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1 - (1 - k') \lambda^{2}(z)}{\nu(z)}.
\end{aligned}
\right.
\]
D'après la dernière de ces formules, on~a
\[
k'_{1} = \nu\left(\frac{\omega}{4}, \frac{\omega}{2}\right)
  = \frac{2 \sqrt{k'}}{1 + k'}.
\]
La quantité~$\sqrt{\smash[b]{k'_{1}}}$ est la fonction holomorphe de~$\rho$ que l'on obtient en
remplaçant~$\rho$ par~$2\rho$ dans l'expression de~$\sqrt{k'}$; d'autre part, en vertu
de ce qui précède, la quantité $\dfrac{\sqrt{2} \sqrt[4]{k'}}{\sqrt{1 + k'}}$ est une fonction holomorphe
de~$\rho$; ces deux fonctions ont des valeurs, réelles positives et égales,
pour toutes les valeurs de~$\rho$ de la forme $\rho = si$; leur rapport est aussi
holomorphe, et conserve une valeur constante, quand la variable~$\rho$
décrit la partie positive de l'axe des~$y$; on en conclut, d'après le corollaire
du \no{114}, qu'il reste constant dans tout le demi-plan. On a donc,
pour toutes les valeurs de~$\rho$ dans lesquelles $s$~est positif,
\[
\Tag{(61)}
\sqrt{k'_{1}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{k'}}{\sqrt{1 + k'}}.
\]

Des formules du \no{205} on déduit, par un raisonnement analogue,
\begin{gather*}
\frac{\theta\left(0, \dfrac{\omega}{2}\right)}{\theta(0) \theta_{3}(0)}
  = \frac{\theta'_{1} \left(0, \dfrac{\omega}{2}\right)}{\theta_{1}(0) \theta_{2}(0)}
  = \frac{1}{\sqrt[4]{k'}} \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}, \\
%
\sqrt{1 + k'} \theta_{2} \left(0, \frac{\omega}{2}\right)
  = \sqrt{1 - k'} \theta_{3} \left(0, \frac{\omega}{2}\right)
  = \theta_{2}^{2}(0) \sqrt{\frac{\pi}{2g\omega}},
\end{gather*}
\DPPageSep{575.png}{567}
et les formules~\Eq[356]{(24)} du \no{356} deviennent
\[
\Tag{(62)}
\left\{
\begin{aligned}
\padtheta \left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{k'}} \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\, \theta(z) \theta_{3}(z), \\
%
\theta_{1} \left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{k'}} \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\, \theta_{1}(z) \theta_{2}(z), \\
%
\theta_{2} \left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1}{k'} \sqrt{\frac{\pi}{2g\omega}}
    \bigl[\sqrt{1 - k'} \theta^{2}(z) - \sqrt{1 + k'} \theta_{1}^{2}(z)\bigr], \\
%
\theta_{3} \left(z, \frac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{1}{k'} \sqrt{\frac{\pi}{2g\omega}}
    \bigl[\sqrt{1 + k'} \theta^{2}(z) - \sqrt{1 - k'} \theta_{1}^{2}(z)\bigr].
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{367.} En divisant par deux la seconde période, on a de même
\begin{gather*}
\Tag{(63)}
\frac{g_{2}}{g} = 1 + k,\quad
\sqrt{k'_{2}} = \sqrt{\frac{1 - k}{1 + k}},\quad
\sqrt{k_{2}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{k}}{\sqrt{1 + k}}, \\
%
\Tag{(64)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda \left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= (1 + k) \frac{\lambda(z)}{1 + k\lambda^{2}(z)}, \\
%
\mu \left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{\mu(z) \nu(z)}{1 + k\lambda^{2}(z)}, \\
%
\nu \left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1 - k\lambda^{2}(z)}{1 + k\lambda^{2}(z)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

On a aussi
\begin{gather*}
\frac{\theta_{2} \left(0, \dfrac{\omega'}{2}\right)}
     {\theta_{2}(0) \theta_{3}(0)}
  = \frac{\theta'_{1} \left(0, \dfrac{\omega'}{2}\right)}
         {\theta'_{1}(0) \theta(0)}
  = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{k}} \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}, \\
%
\sqrt{1 + k} \theta \left(0, \frac{\omega'}{2}\right)
  = \sqrt{1 - k} \theta_{3} \left(0, \frac{\omega'}{2}\right)
  = \theta^{2}(0) \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}};
\end{gather*}
d'où
\[
\Tag{(65)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{1}\left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \PadTo{\sqrt{1+k}}{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{k}}}
     \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\, \padtheta(z) \theta_{1}(z), \\
%
\theta_{2}\left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \PadTo{\sqrt{1+k}}{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{k}}}
     \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\, \theta_{2}(z) \theta_{3}(z), \\
%
\padtheta\left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{1 + k}}
     \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}} \bigl[\theta^{2}(z) + \theta_{1}^{2}(z)\bigr], \\
%
\theta_{3}\left(z, \frac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{1 - k}}
     \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}} \bigl[\theta^{2}(z) - \theta_{1}^{2}(z)\bigr].
\end{aligned}\right.
\]
\DPPageSep{576.png}{568}

\Paragraph{368.} \Remarque[I] De la division par deux de l'une des périodes,
M.~Hermite (\textit{Comptes rendus}, 1863) a déduit des formules qui donnent
immédiatement les expressions en séries de~$\sqrt[4]{k}$ et de~$\sqrt[4]{k'}$ trouvées par
Jacobi. Si l'on considère les fonctions~$\theta$ formées avec les deux constantes
$\omega$~et~$\omega + \omega'$, d'après les formules~\Eq{(52)}, la quantité~$\sqrt[4]{k}$ devient
$\sqrt[4]{\dfrac{k}{k'}} e^{\efrac{\pi i}{8}}$, et les formules du numéro précédent donnent
\[
\Tag{(66)}
\left\{
\begin{aligned}
\theta_{1} \left(z, \omega, \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{kk'}}\, e^{\efrac{\pi i}{8}}
     \sqrt{\frac{2\pi}{g\omega}}\, \theta_{1}(z) \theta_{3}(z), \\
%
\theta_{2} \left(z, \omega, \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt[4]{kk'}}\, e^{\efrac{\pi i}{8}}
     \sqrt{\frac{2\pi}{g\omega}}\, \theta(z) \theta_{2}(z), \\
%
\padtheta \left(z, \omega, \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{k' + ik}}\, \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\,
     \bigl[\theta_{3}^{2}(z) + i\theta_{1}^{2}(z)\bigr], \\
%
\theta_{3} \left(z, \omega, \frac{\omega + \omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\sqrt{k' - ik}}\, \sqrt{\frac{\pi}{g\omega}}\,
     \bigl[\theta_{3}^{2}(z) - i\theta_{1}^{2}(z)\bigr],
\end{aligned}
\right.
\]
les fonctions~$\theta$ des seconds membres étant celles qui sont formées
avec $\omega$~et~$\omega'$. A l'aide des deux premières formules de chacun des
groupes \Eq{(62)},~\Eq{(65)} et~\Eq{(66)}, on obtient les expressions suivantes des
fonctions elliptiques:
\[
\Tag{(67)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\lambda (z, \omega, \omega')
  &= \frac{e^{-\efrac{\pi i}{8}}}{\sqrt{2} \sqrt[4]{k}}\,
     \frac{\theta_{1} \left(z, \omega, \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}
          {\theta \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)}
  &&= \frac{\sqrt{2} e^{\efrac{\pi i}{8}}}{\sqrt[4]{k^{3}}}\,
     \frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)}
          {\theta_{2} \left(z, \omega, \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}, \\
%
\mu(z, \omega, \omega')
  &= \sqrt[4]{\frac{k'}{4k}}
     \frac{\theta_{2} \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)}
          {\theta \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)}
  &&= \sqrt[4]{\frac{4k'^{3}}{k^{3}}}\,
      \frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)}
           {\theta_{1} \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)}, \\
%
\nu(z, \omega, \omega')
  &= \sqrt[4]{k'} e^{\efrac{\pi i}{8}}\,
     \frac{\theta_{2} \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)}
          {\theta_{2} \left(z, \omega, \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}
  &&= \PadTo[l]{\rule{1in}{0pt}}{\ds
      \sqrt[4]{k'^{3}}\, e^{-\efrac{\pi i}{8}}\,
      \frac{\theta_{1} \left(z, \omega, \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)}
           {\theta_{1} \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)}.}
\end{alignedat}
\right.
\]

Si, dans les formules~\Eq[74]{(8)} du \no{74}, on remplace~$q$ par l'une des quantités
$q^{2}, \sqrt{q}, i\sqrt{q}$, et, dans le premier cas, $\omega$~par~$\dfrac{\omega}{2}$, on obtient les développements
des fonctions~$\theta$ relatives aux trois couples de constantes
\DPPageSep{577.png}{569}
$\left(\dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)$, $\left(\omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)$, $\left(\omega, \dfrac{\omega + \omega'}{2}\right)$, En faisant ensuite $z = 0$ dans les deux
dernières des équations précédentes, on trouve
\[
\Tag{(68)}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt[4]{k'} &=
  \frac{\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{\efrac{n(n-1)}{2}} q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}
       {\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}, \\
%
\sqrt[4]{k} &= \sqrt{2} q^{\efrac{1}{8}}
  \frac{\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{\efrac{n(n-1)}{2}} q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}
       {1 + 2 \ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n} q^{2n^{2}}}, \\
%
\sqrt[4]{k'^{3}} &=
  \frac{\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n-1} (2n-1) q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}
       {-\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{\efrac{n(n+1)}{2}} (2n - 1) q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}, \\
%
\sqrt[4]{k^{3}} &=  2\sqrt{2} q^{\efrac{3}{8}}
  \frac{\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{n-1} (2n - 1) q^{2n(n-1)}}
       {-\ds\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^{\efrac{n(n+1)}{2}} (2n - 1) q^{\efrac{n(n-1)}{2}}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Des formules précédentes on déduit aussi les expressions de certaines
fonctions méromorphes considérées au \no{226},
\begin{gather*}
  \sqrt{\bigl[1 +  \lambda(z, \omega, \omega')\bigr]
        \bigl[1 + k\lambda(z, \omega, \omega')\bigr]}
  = \lambda(z, 2\omega, \omega')
  + \frac{\mu(z, 2\omega, \omega')}{\nu(z, 2\omega, \omega')}, \\
%
  \sqrt{\bigl[1 +  \lambda(z, \omega, \omega')\bigr]
        \bigl[1 - k\lambda(z, \omega, \omega')\bigr]}
  = \mu(z, 2\omega, \omega')
  + \frac{k'\lambda(z, 2\omega, \omega')}{\nu(z, 2\omega, \omega')}.
\end{gather*}

\Paragraph{369.} \Remarque[II] Concevons que l'on divise la première période
\DPPageSep{578.png}{570}
plusieurs fois successivement par deux et appelons $k_{2}, k_{4}, \ldots$,
les modules des fonctions elliptiques correspondantes. En remplaçant~$q$
par~$q^{2^{m}}$ dans la seconde des formules~\Eq{(52)}, on obtient
\[
\sqrt[4]{k'_{2^{m}}}
  = \prod_{n=1}^{n=\infty} \frac{1 - q^{(2n-1) 2^{m}}}{1 + q^{(2n-1) 2^{m}}}.
\]
L'exposant $(2n - 1) 2^{m}$, dans lequel $n$~et~$m$ sont quelconques, désignant
tous les nombres pairs, on en déduit
\[
\sqrt[4]{k'_{2} k'_{4} k'_{8} \ldots}
  = \prod_{n=1}^{n=\infty} \frac{1 - q^{2n}}{1 + q^{2n}},
\]
et, en vertu des formules du \no{205}, où l'on fait $g = 1$,
\[
\Tag{(69)}
\frac{\omega}{\pi} = \sqrt{\frac{k'_{2} k'_{4} k'_{8} \ldots}{k'}}.
\]
En remplaçant $k'_{2}, k'_{4}, \ldots$, par leurs valeurs données par la formule~\Eq{(61)},
on~a
\[
\left(\frac{\omega}{\pi}\right)^{2}
  = \frac{1}{k'}\, \frac{2 \sqrt{k'}}{1 + k'}\,
  \frac{2 \sqrt{\smash[b]{k'_{2}}}}{1 + k'_{2}}\,
  \frac{2 \sqrt{\smash[b]{k'_{4}}}}{1 + k'_{4}}\,
  \frac{2 \sqrt{\smash[b]{k'_{8}}}}{1 + k'_{8}}\, \ldots,
\]
et, en divisant membre à membre cette équation par la précédente,
\[
\Tag{(70)}
\frac{\omega}{\pi}
  = \frac{2}{1 + k'}\, \frac{2}{1 + k'_{2}}\,
    \frac{2}{1 + k'_{4}}\, \frac{2}{1 + k'_{8}}\, \ldots.
\]

Si l'on pose
\[
\begin{array}{l>{\quad}l}
a_{1} = 1,  & b_{1} = k', \\
a_{2} = \dfrac{a_{1} + b_{1}}{2}, & b_{2} = \sqrt{a_{1} b_{1}}, \\
a_{3} = \dfrac{a_{2} + b_{2}}{2}, & b_{3} = \sqrt{a_{2} b_{2}}, \\
\hdotsfor{2},
\end{array}
\]
\DPPageSep{579.png}{571}
on a successivement
\begin{alignat*}{3}
\frac{b_{2}}{a_{2}} &= k'_{2}, &
\frac{b_{3}}{a_{3}} &= k'_{4}, &
\frac{b_{4}}{a_{4}} &= k'_{8}, \ldots, \\
%
\frac{a_{1}}{a_{2}} &= \frac{2}{1 + k'},\quad &
\frac{a_{2}}{a_{3}} &= \frac{2}{1 + k'_{2}},\quad &
\frac{a_{3}}{a_{4}} &= \frac{2}{1 + k'_{4}}, \ldots,
\end{alignat*}
et la relation précédente devient
\[
\Tag{(71)}
\frac{\omega}{\pi}
  = \frac{a_{1}}{a_{2}}\, \frac{a_{2}}{a_{3}}\, \frac{a_{3}}{a_{4}}\, \ldots.
\]
On en conclut, comme l'a observé Gauss, que les quantités~$a$ tendent
vers une limite égale à~$\dfrac{\pi}{\omega}$; les quantités~$b$ étendent vers la même limite.

Dans la formule
\[
\nu(z, \omega, \omega')
  = \sqrt{k'}  \prod_{n=1}^{n=\infty}
    \frac{1 + 2q^{2n-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2n-1)}}
         {1 - 2q^{2n-1} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{2(2n-1)}},
\]
déduite des formules~\Eq[202]{(20)} du \no{202}, remplaçons~$q$ successivement
par $q^{2}, q^{4}, q^{8}, \ldots$, sans changer~$\omega$, et faisons le produit des fonctions
ainsi obtenues; nous aurons
\[
\nu(z, \omega, 2\omega') \nu(z, \omega, 4\omega') \ldots
  = \frac{\omega}{\pi} \sqrt{k'} \prod_{n=1}^{n=\infty}
    \frac{1 + 2q^{2n} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4n}}
         {1 - 2q^{2n} \cos \dfrac{2\pi z}{\omega} + q^{4n}},
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(72)}
\nu(z, \omega, 2\omega') \nu(z, \omega, 4\omega') \ldots
  = \frac{\omega}{\pi} \tang \frac{\pi z}{\omega}\,
    \frac{\mu(z, \omega, \omega')}{\lambda(z, \omega, \omega')}.
\]


\Section{Équation aux dérivées partielles de Jacobi}

\Paragraph{370.} Si dans les formules~\Eq[74]{(8)} du \no{74} on regarde~$\omega$ comme une
fonction arbitraire de~$q$, les quatre fonctions~$\theta(z, \omega, \omega')$ deviennent
des fonctions des deux variables indépendantes $z$~et~$q$, et d'après le
calcul du \no{289}, elles satisfont à une même équation aux dérivées
\DPPageSep{580.png}{572}
partielles
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd u}{\dd \log q}
  + \frac{\omega^{2}}{4\pi^{2}}\, \frac{\dd^{2}u}{\dd z^{2}}
  + \frac{d \log \omega}{d \log q}\, z \frac{\dd u}{\dd z} = 0.
\]
On obtient les fonctions~$\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ en remplaçant dans ces formules~\Eq{(8)}
$\omega$~par~$\dfrac{\omega}{n}$ et $q$~par~$q^{n}$; en regardant encore~$\omega$ comme une fonction
arbitraire de~$q$, le même calcul montre que les quatre fonctions
$\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ vérifient l'équation
\[
\Tag{(2)}
\frac{\dd u}{\dd \log q}
  + \frac{\omega^{2}}{4\pi^{2} n}\, \frac{\dd^{2} u}{\dd z^{2}}
  + \frac{d \log \omega}{d \log q}\, z \frac{\dd u}{\dd z} = 0.
\]
On obtient les fonctions~$\theta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ en remplaçant dans les formules~\Eq{(8)}
$q$~par~$q^{\efrac{1}{n}}$; on reconnaît de la même manière que les quatre
fonctions $\theta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ satisfont aussi à l'équation~\Eq{(2)}.

Supposons maintenant que, dans toutes les fonctions précédentes,
$\omega$~soit la fonction de~$q$ définie par la formule~\Eq[205]{(31)} du \no{205}, où l'on
fait $g = 1$. Appelons $k$ le module de la fonction~$\lambda(z, \omega, \omega')$, lequel est
donné par la formule~\Eq[205]{(29)} de ce même numéro. Nous pouvons inversement
regarder~$q$ comme une fonction de~$k$; alors $\omega$~est une fonction
de~$k$, et les fonctions $\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, $\theta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ sont des fonctions des
deux variables indépendantes $z$~et~$k$. Les quantités $\omega$~et~$\omega'$ sont aussi
déterminées par les intégrales définies \Eq[221]{(3)}~et~\Eq[221]{(5)} du \no{221}, où l'on
fait $g = 1$, et elles satisfont aux relations \Eq[279]{(33)}~et~\Eq[279]{(34)} du \no{279}. A
l'aide de ces relations, nous avons opéré le changement de variable au
\no{289}; l'équation~\Eq{(2)} devient ainsi
\[
\Tag{(3)}
\frac{\dd^{2} u}{\dd z^{2}}
  + 2n(k^{2} - H)z\, \frac{\dd u}{\dd z}
  + 2nkk'^{2}\, \frac{\dd u}{\dd k} = 0.
\]
\DPPageSep{581.png}{573}

Désignons par $\phi, \phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}$, soit les quatre fonctions
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}{\theta(0, \omega)}, &
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}{\theta'_{1}(0, \omega)}, \\
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{2} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}{\theta_{2}(0, \omega)}, &
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{3} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}{\theta_{3}(0, \omega)},
\end{aligned}
\right.
\]
soit les quatre fonctions
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta\left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)}{\theta(0, \omega')}, &
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)}{\theta'_{1}(0, \omega')}, \\
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{2} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)}{\theta_{2}(0, \omega')}, &
&e^{-\efrac{nHz^{2}}{2}}\,
  \frac{\theta_{3} \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)}{\theta_{3}(0, \omega')};
\end{aligned}
\right.
\]
ces fonctions~$\phi$ joueront le même rôle que les fonctions~$\Al(z)$; en répétant
le calcul du \no{290}, on trouve qu'elles satisfont aux équations
\[
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{alignedat}{5}
&\frac{\dd \phi}{\dd z^{2}} &&+ 2n k^{2}z\, \frac{\dd \phi}{\dd z}
  &&+ 2nkk'^{2}\, \frac{\dd \phi}{\dd k} &&+ n^{2}k^{2}z^{2} \phi = 0, &&\\
%
&\frac{\dd \phi_{1}}{\dd z^{2}} &&+ 2n k^{2}z\, \frac{\dd \phi_{1}}{\dd z}
  &&+ 2nkk'^{2}\, \frac{\dd \phi_{1}}{\dd k}
  &&+ (nk'^{2} + n^{2}k^{2}z^{2}) \phi_{1} &&= 0, \\
%
&\frac{\dd \phi_{2}}{\dd z^{2}} &&+ 2n k^{2}z\, \frac{\dd \phi_{2}}{\dd z}
  &&+ 2nkk'^{2}\, \frac{\dd \phi_{2}}{\dd k}
  &&+ \PadTo{(nk'^{2}}{(n} + n^{2}k^{2}z^{2}) \phi_{2} &&= 0, \\
%
&\frac{\dd \phi_{3}}{\dd z^{2}} &&+ 2n k^{2}z\, \frac{\dd \phi_{3}}{\dd z}
  &&+ 2nkk'^{2}\, \frac{\dd \phi_{3}}{\dd k}
  &&+ \PadTo{(nk'^{2}}{(n k^{2}} + n^{2}k^{2}z^{2}) \phi_{3} &&= 0,
\end{alignedat}
\right.
\]
et, par conséquent, les quatre fonctions
\[
\Tag{(7)}
U = \phi(z),\quad
U_{1} = \sqrt{k} \phi_{1}(z),\quad
U_{2} = \sqrt{\frac{k}{k'}} \phi_{2}(z),\quad
U_{3} = \frac{1}{\sqrt{k'}} \phi_{3}(z)
\]
vérifient la même équation différentielle
\[
\Tag{(8)}
\frac{\dd^{2} U}{\dd z^{2}} + 2n k^{2}z\, \frac{\dd U}{\dd z}
  + 2nkk'^{2}\, \frac{\dd U}{\dd k} + n^{2}k^{2}z^{2} U = 0.
\]

Cette équation ne diffère de l'équation~\Eq[339]{(27)} du \no{339} qu'en ce que
$n^{2}$~est remplacé par~$n$. Il en résulte que les quatre fonctions
\[
\Tag{(9)}
V = \frac{U}{\Al^{n}(z)},\quad
V_{1} = \frac{U_{1}}{\Al^{n}(z)},\quad
V_{2} = \frac{U_{2}}{\Al^{n}(z)},\quad
V_{3} = \frac{U_{3}}{\Al^{n}(z)}
\]
\DPPageSep{582.png}{574}
satisfont aux équations aux dérivées partielles
\[
%[** Breaking]
\Tag{(10)}
\begin{aligned}[t]
(1 - 2\alpha x^{2}+ x^{4}) \frac{\dd^{2} V}{\dd x^{2}}
  &+ 2(n-1)(\alpha x - x^{3}) \frac{\dd V}{\dd x} \\
  &+ 4n(1 - \alpha^{2}) \frac{\dd V}{\dd \alpha} + n(n - 1)x^{2} V = 0,
\end{aligned}
\]
\begin{align*}
\Tag{(11)}
&\left\{
\begin{aligned}
\left(1 - \frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y^{2} - y^{4}\right) \frac{\dd^{2} V}{\dd y^{2}}
  &+ (n - 1) \left(\frac{1 - 2k^{2}}{kk'} y + 2y^{3}\right) \frac{\dd V}{\dd y} \\
  &+ 2nk'\, \frac{\dd V}{\dd k} + n(n - 1) \left(\frac{k}{k'} - y^{2}\right) V
   = 0,
\end{aligned}
\right. \\
%
\Tag{(12)}
&\left\{
\begin{aligned}
\left(1 - \frac{2 - k^{2}}{k'} t^{2} + t^{4}\right) \frac{\dd^{2} V}{\dd t^{2}}
  &+ (n - 1) \left(\frac{2 - k^{2}}{k'} t - 2t^{3}\right) \frac{\dd V}{\dd t} \\
  &+ 2nkk'\, \frac{\dd V}{\dd k} + n(n - 1) \left(\frac{1}{k'} - t^{2}\right) V
   = 0,
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
que l'on déduit des équations \Eq[340]{(34)},~\Eq[341]{(36)} et~\Eq[341]{(38)} des \nos~\nref{340}~et~\nref{341}, en
remplaçant $n^{2}$~par~$n$.

\Paragraph{371.} Ces quatre fonctions~$V$ ont pour expressions, à l'aide des~$\theta$,
\[
\Tag{(13)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
V &= \frac{\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n-1}(0)}
          {\theta^{n}(z)},\quad &
V_{1} &= \frac{\theta_{1} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n-1}(0)}
              {\theta^{n}(z)}, \\
%
V_{2} &= \frac{\theta_{2} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n-1}(0)}
              {\theta^{n}(z)},\quad &
V_{3} &= \frac{\theta_{3} \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right) \theta^{n-1}(0)}
              {\theta^{n}(z)},
\end{alignedat}
\right.
\]
s'il s'agit de la division de la première période, et des expressions
toutes pareilles s'il s'agit de la seconde période.

Lorsque $n$~est impair, on a, d'après les formules~\Eq[349]{(3)} du \no{349}, et
en vertu des relations du \no{205},
\[
\Tag{(14)}
V = \sqrt{\frac{g_{1} k'_{1}}{nk'}} \scrP,\
V_{1} = \sqrt{\frac{g_{1}^{3} k_{1} k'_{1}}{nkk'}} \scrP_{1} x,\
V_{2} = \sqrt{\frac{g_{1} k_{1}}{nk}} \scrP_{2} y,\
V_{3} = \sqrt{\frac{g_{1}}{n}} \scrP_{3} t.
\]
On a aussi
\[
%[** TN: Breaking, added brace]
\left\{
\begin{aligned}
V \Bigl(z + \frac{\omega}{2}\Bigr)
  &= \frac{1}{t^{n}} V_{3}(z), \\
V \Bigl(z + \frac{\omega'}{2}\Bigr)
  &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \frac{1}{x^{n}} V_{1}(z), \\
V \Bigl(z + \frac{\omega + \omega'}{2}\Bigr)
  &= \frac{1}{y^{n}} V_{2}(z),
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{583.png}{575}
et, par suite,
\[
\Tag{(15)}
V_{1}(x) = (-1)^{\efrac{n-1}{2}} x^{n} V \left(\frac{1}{x}\right),\
V_{2}(y) = y^{n} V\left(\frac{-i}{y}\right),\
V_{3}(t) = t^{n} V \left(\frac{1}{t}\right).
\]
Pour avoir les quatre polynômes~$\scrP$, il suffira donc de calculer le polynôme~$V(x)$,
qui est pair et du degré~$n - 1$. Si l'on pose $V = \sum a^{(m)} x^{2m}$,
l'équation différentielle~\Eq{(10)} donne une relation linéaire
\[
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{aligned}
(2m + 1)(2m + 2) a^{(m + 1)}
  &+ 4m(n - 2m)\alpha a^{(m)} + 4n(1 - \alpha^{2}) \frac{da^{(m)}}{d\alpha} \\
  &+ (n - 2m + 1)(n - 2m + 2) a^{(m-1)} = 0
\end{aligned}
\right.
\]
entre trois coefficients consécutifs. Le premier coefficient est $a^{(0)} = \sqrt{\dfrac{g_{1} k'_{1}}{nk'}}$,
le dernier $a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)} = (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \sqrt{\dfrac{g_{1}^{3} \Erratum{k'}{k_{1}}k'_{1}}{nkk'}}$.

L'équation~\Eq[279]{(35)} du \no{279}, qui peut être mise sous la forme
\[
\omega^{2}\, d\frac{\omega'}{\omega} = -\frac{2\pi i}{kk'^{2}}\, dk,
\]
a été établie en supposant le multiplicateur égal à l'unité; si le multiplicateur
est égal à~$g$, cette équation devient
\[
g^{2} \omega^{2}\, d \frac{\omega'}{\omega} = -\frac{2\pi i}{kk'^{2}}\, dk.
\]
En y remplaçant $\omega$~par~$\dfrac{\omega}{n}$, on~a
\[
g_{1}^{2} \omega^{2}\, \frac{d\omega'}{d\omega}
  = -\frac{2n\pi i}{k_{1} k_{1}'^{2}}\, dk_{1},
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(17)}
g_{1}^{2} = \frac{nkk'^{2}}{k_{1} k_{1}'^{2}}\, \frac{dk_{1}}{dk}.
\]
Pour effectuer le calcul des polynômes~$\scrP$ par cette méthode, il faudra
se servir de l'équation algébrique qui existe entre les modules $k$~et~$k_{1}$,
équation dont il sera question plus tard.
\DPPageSep{584.png}{576}


\Chapitre[Division de l'Argument]
{V}{Division de l'Argument dans les Fonctions Elliptiques}

\Paragraph{372.} C'est la question inverse de celle qui a été traitée dans l'avant-dernier
Chapitre. Nous avons trouvé les expressions de $\lambda(nz), \mu(nz),
\nu(nz)$ en fonction de $\lambda(z), \mu(z), \nu(z)$. Proposons-nous maintenant,
connaissant l'une des quantités $\lambda(nz), \mu(nz), \nu(nz)$, de trouver $\lambda(z),
\mu(z), \nu(z)$. Quand on donne $\mu(nz)$~ou~$\nu(nz)$ et que l'on
cherche $\mu(z)$~ou~$\nu(z)$,
l'équation est du degré~$n^{2}$; si $n$~est pair, elle s'abaisse au
degré moitié; mais, quand on donne~$\lambda(nz)$ et que l'on cherche~$\lambda(z)$,
l'équation est du degré~$n^{2}$ si $n$~est impair, du degré~$2n^{2}$ si $n$~est pair;
dans ce dernier cas, l'équation, ne contenant que des puissances paires
de l'inconnue, s'abaisse au degré~$n^{2}$.

Lorsque la quantité donnée est prise arbitrairement, les racines de
l'équation sont toutes différentes. Supposons que, $n$~étant impair, on
donne $y = \lambda(nz)$ et que l'on cherche $x = \lambda(z)$; l'inconnue est donnée
par une équation du degré~$n^{2}$
\[
\Tag{(1)}
yP - xP_{1} = 0,
\]
dans laquelle $P$~et~$P_{1}$ désignent des polynômes entiers pairs en~$x$ du
degré~$n^{2} - 1$, et que l'on sait former, par un calcul de proche en proche,
d'après la méthode d'Abel (\no{338}), ou, directement, par celle de Jacobi
(\no{342}). A une valeur de~$y$ correspondent les valeurs de~$nz$,
\[
nz + 2p\omega + q\omega',\quad
n\omega - nz + 2p\omega + q\omega',
\]
et, par conséquent, les valeurs de~$x$,
\[
\lambda \left(z + 2p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right),\quad
\lambda \left(\omega - z + 2p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right),
\]
\DPPageSep{585.png}{577}
$p$~et~$q$ étant deux nombres entiers quelconques; mais les valeurs de~$x$
données par cette dernière formule sont égales à celles que fournit la
première; on en conclut que les $n^{2}$~racines de l'équation sont représentées
par la formule
\[
\Tag{(2)}
x = \lambda \left(z + 2p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right),
\]
dans laquelle chacun des deux nombres $p$~et~$q$ reçoit $n$~valeurs entières
consécutives. Nous leur attribuerons les valeurs $-\dfrac{n-1}{2}, \ldots$,
$-1, 0, 1, \ldots, \dfrac{n-1}{2}$.

Pour que deux valeurs de~$x$ soient égales, il faut que la somme
de leurs arguments $2z + 2(p + p') \dfrac{\omega}{n} + (q + q') \dfrac{\omega'}{n}$ soit de la forme
$(2m + 1) \omega + m' \omega'$, ce qui exige que $nz$~soit de la forme $(2m_{1} + 1) \dfrac{\omega}{2} + m' \dfrac{\omega'}{2}$
et, par conséquent, que $y$~soit égal à~$±1$ ou à~$±\dfrac{1}{k}$.

Pour voir ce que deviennent les racines, nous distinguerons deux
cas, suivant que le nombre entier~$\dfrac{n-1}{2}$ est pair ou impair. Dans le
premier cas, lorsque $y = 1$, l'une des valeurs de~$nz$ est
\[
\frac{\omega}{2} + \frac{n-1}{2} \omega = \frac{n\omega}{2},\quad
\text{d'où}\quad
z = \frac{\omega}{2},
\]
et, par suite,
\[
x = \lambda \left(\frac{\omega}{2} + 2p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right);
\]
la combinaison $p = 0$, $q = 0$ donne la racine simple $x = 1$; deux valeurs
égales et de signes contraires de la quantité $2p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$ donnant
la même valeur de~$x$, toutes les autres racines sont doubles: on en
conclut que le polynôme $P - xP_{1}$ est égal au produit de~$1 - x$ par un
polynôme carré parfait. Lorsque $y = \dfrac{1}{k}$, l'une des valeurs de~$nz$ est de
la forme
\[
\frac{\omega + \omega'}{2} + \frac{n-1}{2} (\omega + \omega')
  = \frac{n(\omega + \omega')}{2},\quad \text{d'où}\quad
z = \frac{\omega + \omega'}{2},
\]
\DPPageSep{586.png}{578}
et, par suite,
\[
x = \lambda \left(\frac{\omega + \omega'}{2} + 2p \frac{\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right);
\]
la combinaison $p = 0$, $q = 0$ donne la racine simple $x = \dfrac{1}{k}$; toutes les
autres racines sont doubles: on en conclut que le polynôme $P - kxP_{1}$
est égal au produit de~$1 - kx$ par un polynôme carré parfait. Nous
remarquons que si, dans l'équation~\Eq{(1)}, on remplace~$y$ par~$-y$, les
racines de la seconde équation sont égales à celles de la première et de
signes contraires. Les cas où la quantité donnée~$y$ est égale à~$-1$ ou
à~$-\dfrac{1}{k}$ se ramènent ainsi aux précédents. Il en résulte que les deux
polynômes pairs $P$~et~$P_{1}$ satisfont aux deux identités
\[
\Tag{(3)}
P - xP_{1} = (1 - x)G_{1}^{2},\quad
P - kxP_{1} = (1 - kx) H_{1}^{2},
\]
$G_{1}$~et~$H_{1}$ étant des polynômes entiers en~$x$ du degré~$\dfrac{n^{2}-1}{2}$, et à celles
qu'on en déduit en remplaçant~$x$ par~$-x$.

Lorsque le nombre~$\dfrac{n-1}{2}$ est impair, on a les deux identités
\[
\Tag{(3')}
P - xP_{1} = (1 + x) G_{1}^{2},\quad
P - kxP_{1} = (1 + kx) H_{1}^{2}.
\]

La considération des équations qui donnent $\mu(z)$~ou~$\nu(z)$, quand on
connaît $\mu(nz)$~ou~$\nu(nz)$, conduit à des résultats analogues. La première
admet des racines égales, lorsque la quantité donnée~$\mu(nz)$ est
égale à~$±1$ ou à~$±\dfrac{ik'}{k}$, la seconde, lorsque la quantité donnée~$\nu(nz)$
est égale à~$±1$ ou à~$±k'$. On en déduit les identités
\begin{alignat*}{2}
\Tag{(4)}
P - \mu P_{2} &= (1 - \mu) G_{2}^{2},\quad &
&k'P - ik\mu P_{2} = (k' - ik\mu) H_{2}^{2}, \\
\Tag{(5)}
P - \nu P_{3} &= (1 - \nu) G_{3}^{2},\quad &
&k'P - \nu P_{3} = (k' - \nu) H_{3}^{2},
\end{alignat*}
quel que soit le nombre impair~$n$. D'après une remarque faite au \no{338},
les secondes des relations \Eq{(3)}~et~\Eq{(3')} se déduisent des premières, et les
relations~\Eq{(5)} des relations~\Eq{(4)}, en remplaçant~$k$ par~$\dfrac{1}{k}$ et~$z$ par~$kz$.
\DPPageSep{587.png}{579}


\Section{Division par deux}

\Paragraph{373.} Connaissant $X = \sqrt{k} \lambda(2z)$, cherchons $x = \sqrt{k} \lambda(z)$. La formule
\[
\lambda(2z) = \frac{2\lambda(z)\mu(z)\nu(z)}{1 - k^{2}\lambda^{4}(z)}
\]
conduit à l'équation du huitième degré
\[
X^{2}(1 - x^{4})^{2} - 4x^{2}(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) = 0;
\]
c'est une équation réciproque
\[
X^{2} \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}
  - 4 \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 4(X^{2} - 2\alpha) = 0,
\]
que l'on peut résoudre par des racines carrées. On en tire
\begin{gather*}
  x^{2} + \frac{1}{x^{2}}
  = \frac{2(1 + \sqrt{1 - 2\alpha X^{2} + X^{4}})}{X^{2}}
  = \frac{2(1 + \Delta X)}{X^{2}}, \\
%
  x^{2} = \frac{1 + \Delta X + \sqrt{2(1 - \alpha X^{2} + \Delta X)}}{X^{2}}
  = \frac{(1 + \sqrt{1 - kX^{2}})
          \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{1}{k}\, X^{2}}\right)}
         {X^{2}}, \\
%
  x = \sqrt{k\, \frac{1 + \sqrt{1 - \dfrac{1}{k}\, X^{2}}}
                     {1 - \sqrt{1 - kX^{2}}}};
\end{gather*}
les trois radicaux étant indépendants les uns des autres, cette formule
donne huit valeurs différentes.

Il est facile de reconnaître \textit{a~priori} que les racines sont réciproques
deux à deux; car elles sont représentées par les deux formules
\[
x = \sqrt{k} \lambda \left(z + p\omega + q \frac{\omega'}{2}\right),\quad
x = \sqrt{k} \lambda \left(\frac{\omega}{2} - z + p \omega + q \frac{\omega'}{2}\right),
\]
{\stretchyspace
dont la première donne les quatre valeurs $±\sqrt{k} \lambda(z)$, $±\sqrt{k} \lambda \Bigl(z + \dfrac{\omega'}{2}\Bigr)$,
\DPPageSep{588.png}{580}
réciproques deux à deux, la seconde les quatre valeurs $±\sqrt{k} \lambda \Bigl(\dfrac{\omega}{2} - z\Bigr)$,
$±\sqrt{k} \lambda \Bigl(\dfrac{\omega}{2} - z + \dfrac{\omega'}{2}\Bigr)$, qui sont aussi réciproques deux à deux.}


\Section{Résolution de l'équation d'où dépend la division de l'argument
par un nombre impair}

\Paragraph{374.} On effectuera la division de l'argument par un nombre impair
quelconque, en le divisant successivement par les facteurs premiers de
ce nombre. Nous venons d'effectuer la division par deux; il nous reste
à voir comment s'opère la division par un nombre premier plus grand
que deux. Nous supposerons plus généralement que le diviseur~$n$ est
un nombre impair quelconque. Abel a démontré que l'on peut exprimer
algébriquement les racines de l'équation~\Eq{(1)}, qui est du degré~$n^{2}$, au
moyen des quantités $k$~et~$y$, qui entrent dans cette équation, des racines
de l'équation binôme $x^{n} = 1$, et des deux quantités $\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$, $\lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$.

Nous ferons d'abord remarquer que, quand $n$~est impair, les quantités
$\lambda \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$, $\mu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$, $\nu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$, peuvent s'exprimer rationnellement à
l'aide de~$\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$ et du module~$k$, quel que soit le nombre entier~$p$. Il
résulte, en effet, des formules~\Eq[332]{(14)} du \no{332} et du calcul des polynômes~$P$
par la méthode d'Abel (\no{338}), que ces quantités sont
des fonctions rationnelles de~$k^{2}$ et de~$\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$, $\mu \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$, $\nu \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$.  Mais la
deuxième de ces formules~\Eq{(14)} indique que la quantité $\mu \left(n \dfrac{\omega}{n}\right)$, c'est-à-dire~$-1$,
est égale au produit de~$\mu \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$ par une fraction rationnelle en
$\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$; on en déduit l'expression de~$\mu \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$ par une fraction rationnelle
en~$\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$. La troisième donne pareillement l'expression de~$\nu \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$ par
une fraction rationnelle en~$\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$. Ainsi les quantités $\mu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$, $\nu \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$
sont des fonctions rationnelles de~$k^{2}$ et de~$\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$; la quantité $\lambda \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$
\DPPageSep{589.png}{581}
est égale au produit de~$\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$ par une fonction rationnelle de~$k^{2}$ et de
$\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$.

On verrait, de la même manière, que les quantités $\lambda \left(q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\mu \left(q \dfrac{\omega'}{n}\right)$,
$\nu \left(q \dfrac{\omega'}{n}\right)$ s'expriment rationnellement à l'aide de~$k^{2}$ et de~$\lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$, quel
que soit le nombre entier~$q$.

Les formules~\Eq[318]{(1)} du \no{318}, relatives à l'addition des arguments, montrent
ensuite que les trois quantités $\lambda \left(p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\mu \left(p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$,
$\nu \left(p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, s'expriment rationnellement à l'aide de~$k^{2}$ et des deux
quantités $\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$, $\lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$.

\Paragraph{375.} Soient $\alpha$~et~$\beta$ deux racines, différentes ou non, de l'équation
binôme $x^{n} = 1$. Considérons l'expression
\[
\begin{array}{c@{\,}l@{\,}l@{\,}l}
  &\lambda(z)
  &{}+ \alpha\lambda \left(z + 2\dfrac{\omega}{n}\right) +
  &\ldots + \alpha^{n-1} \lambda \left[z + (n - 1) \dfrac{2\omega}{n}\right] \\
%
\Strut[22pt]
  +& \beta \lambda \left(z + \dfrac{\omega'}{n}\right)
  &{}+ \alpha\beta \lambda \left(z + \dfrac{2\omega}{n} + \dfrac{\omega'}{n}\right) +
  &\ldots + \alpha^{n-1} \beta \lambda
   \left[z + (n - 1) \dfrac{2\omega}{n} + \dfrac{\Erratum{\omega}{\omega'}}{n}\right] \\
%
  +& \hdotsfor{3} \\
%
  +& \multicolumn{2}{@{\,}l}{\beta^{n-1} \lambda \left[z + (n - 1) \dfrac{\omega'}{n}\right]} & \\
  &&\multicolumn{2}{@{\,}l}{{}+ \alpha \beta^{n-1} \lambda
  \left[z + \dfrac{2\omega}{n} + (n - 1) \dfrac{\omega'}{n}\right] } \\
\Strut[22pt]
  &&\multicolumn{2}{r}{{}+ \ldots + \alpha^{n-1} \beta^{n-1} \lambda
   \left[z + (n - 1) \dfrac{2\omega}{n} + (n - 1) \dfrac{\omega'}{n}\right],}
\end{array}
\]
que nous représenterons par
\[
\Tag{(6)}
R(z, \alpha, \beta)
  = \sum_{q=0}^{q=n-1}\; \sum_{p=0}^{p=n-1} \alpha^{p} \beta^{q}
    \lambda \left(z + p \frac{2\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]
Remarquons d'abord que cette expression conserve la même valeur,
quand $p$~et~$q$ désignent $n$~nombres entiers consécutifs quelconques;
car, lorsqu'on augmente~$p$ d'une unité, les termes d'une même ligne
horizontale se permutent circulairement; de même, lorsqu'on augmente~$q$
d'une unité, les termes d'une même colonne verticale se permutent
circulairement.
\DPPageSep{590.png}{582}

Remplacer~$z$ par~$z + \dfrac{2\omega}{n}$ et multiplier tous les termes par~$\alpha$ revient
à augmenter~$p$ d'une unité; de même, remplacer~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{n}$ et multiplier
tous les termes par~$\beta$ revient à augmenter~$q$ d'une unité; on~a
donc
\[
R \left(z + \frac{2\omega}{n}\right) = \alpha^{-1} R(z),\quad
R \left(z + \frac{\omega'}{n}\right) = \beta^{-1} R(z).
\]
Comme on a d'ailleurs $R(z + \omega) = -R(z)$, on en déduit
\[
R \left(z + \frac{\omega}{n}\right)
  =  R \left(z + \omega - \frac{n - 1}{2}\, \frac{2\omega}{n}\right)
  = -R \left(z - \frac{n - 1}{2}\, \frac{2\omega}{n}\right),
\]
et par suite
\[
R \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = -\alpha^{\efrac{n-1}{2}} R(z).
\]

Les valeurs de~$z$ qui rendent infinie la fonction~$R(z)$ sont celles qui
rendent infini l'un de ses termes et qui, par conséquent, satisfont à la
relation
\[
z + p \frac{2\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}
  = \frac{\omega'}{2} + p' \omega + q' \omega',
\]
d'où
\[
nz = \frac{\omega'}{2} + (np' - 2p) \omega
  + \left(nq' - q + \frac{n - 1}{2}\right) \omega'.
\]
On peut déterminer les deux nombres entiers $p$~et~$q$ plus petits que~$n$
et les deux nombres entiers $p'$~et~$q'$, de manière que les deux coefficients
$np' - 2p$, $nq' - q + \dfrac{n - 1}{2}$ soient égaux à des nombres entiers quelconques.
Il est d'ailleurs facile de reconnaître que deux termes ne
peuvent devenir infinis à la fois. On en conclut que la fonction~$R(z)$
admet les mêmes infinis que la fonction~$\lambda(nz)$, chacun au premier
degré.

La fonction~$R(z)$ admet les périodes $2\omega, \omega'$; mais la fonction
\[
\Tag{(7)}
f(z) = \bigl[R(z)\bigr]^{n},
\]
\DPPageSep{591.png}{583}
qui satisfait aux relations
\[
f \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = -f(z),\quad
f \left(z + \frac{\omega'}{n}\right) = f(z),
\]
admet les deux périodes $\dfrac{2\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}$; elle a d'ailleurs les mêmes infinis que
la fonction~$\lambda(nz)$, aux mêmes périodes, chacun au degré~$n$. En vertu
du théorème de M.~Liouville (\no{161}), elle s'exprime rationnellement
à l'aide de la fonction~$\lambda(nz)$ et de sa dérivée; comme elle ne devient
infinie pour aucune valeur finie de~$\lambda(nz)$, le dénominateur est constant,
et l'on~a
\[
\Tag{(8)}
f(z) = M + N \lambda'(nz),
\]
{\stretchyspace$M$~et~$N$ étant des polynômes entiers en~$\lambda(nz)$; à cause de la relation
$f \Bigl(z + \dfrac{\omega}{n}\Bigr) = -f(z)$,} le polynôme~$M$ est impair et du degré~$n$, le polynôme~$N$
pair et du degré~$n - 3$ au plus. On en déduit
\[
\Tag{(9)}
R(z, \alpha, \beta)
  = \sum_{q=0}^{q=n-1}\; \sum_{p=0}^{p=n-1} \alpha^{p} \beta^{q}
    \lambda \left(z + p \frac{2\omega}{n} + q \frac{\omega'}{n}\right)
  =  \sqrt[n]{M + N \lambda'(nz)}.
\]

A chaque combinaison de deux racines $\alpha$~et~$\beta$, différentes ou non,
de l'équation binôme $x^{n} = 1$, correspond une équation analogue à la
précédente. Remarquons que, d'après la formule~\Eq[355]{(19)} du \no{355}, l'équation
qui se rapporte à la combinaison $\alpha = \beta = 1$ a son second membre
égal à~$n\lambda(nz)$. Si l'on ajoute ces $n^{2}$~équations membre à membre,
chacun des termes $\lambda \left(z + p \dfrac{2\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$ du premier membre, dans l'équation
résultante, aura son coefficient nul, à l'exception du terme~$\lambda(z)$,
dont le coefficient sera égal à~$n^{2}$, et l'on obtiendra la formule
\[
\Tag{(10)}
\lambda(z) = \frac{1}{n} \lambda(nz)
  + \frac{1}{n^{2}} \sum \sqrt[n]{M + N\lambda'(nz)},
\]
qui renferme $n^{2} - 1$~radicaux.

\Paragraph{376.} Voici comment on peut calculer ces deux polynômes $M$~et~$N$.
\DPPageSep{592.png}{584}
Si l'on développe chacun des termes de la fonction~$R(z)$ par la formule
\[
\lambda(z + a)
  = \frac{\lambda'(a) \lambda(z) + \lambda(a) \lambda'(z)}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(a) \lambda^{2}(z)},
\]
le multiplicateur~$g$ étant supposé égal à l'unité, la fonction~$R(z)$ se
composera de deux parties, l'une égale à une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$,
l'autre égale au produit de~$\lambda'(z)$ par une fraction rationnelle
en~$\lambda(z)$. Il en sera de même de la fonction~$f(z)$ ou~$\bigl[R(z)\bigr]^{n}$. Si l'on
prend la dérivée de l'expression de~$\lambda(nz)$ par une fraction rationnelle
en~$\lambda(z)$ (\no{332}), la valeur de~$\lambda'(nz)$ sera égale au produit de~$\lambda'(z)$ par
une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$; on en déduit la valeur de~$\lambda'(z)$ égale
au produit de~$\lambda'(nz)$ par une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$; la seconde
partie deviendra ainsi égale au produit de~$\lambda'(nz)$ par une fraction
rationnelle en~$\lambda(z)$, et l'on aura
\[
f(z) = \frac{A + B\lambda'(nz)}{C},
\]
$A, B, C$ étant des polynômes entiers en~$\lambda(z)$.

La fonction~$f(z)$ ne changeant pas quand on remplace~$z$ par
$z + 2p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$, les fractions rationnelles $\dfrac{A}{C}, \dfrac{B}{C}$ ne changent pas quand
on y remplace~$\lambda(z)$ par l'une quelconque des valeurs de~$x$ données par
la formule~\Eq{(2)}, c'est-à-dire par l'une quelconque des racines de l'équation~\Eq{(1)}.
On prendra, pour chacune de ces fractions, la moyenne arithmétique
de ses valeurs, lorsqu'on y remplace~$\lambda(z)$ successivement par
les $n^{2}$~racines de l'équation~\Eq{(1)}; cette moyenne arithmétique, étant une
fonction symétrique des racines, s'exprimera rationnellement à l'aide
des coefficients de l'équation~\Eq{(1)} et, par conséquent, à l'aide de~$k^{2}$ de
la quantité donnée $y = \lambda(nz)$. On arrivera ainsi à la forme~\Eq{(8)}.

L'expression trouvée de la sorte renferme, en outre, rationnellement
les constantes $\lambda(a), \mu(a), \nu(a)$, $a$~désignant les diverses quantités
$2p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}$; mais ces constantes, d'après la remarque faite au \no{374},
s'expriment rationnellement à l'aide de~$k^{2}$ et des deux quantités $\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right),
\lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$. On en conclut que les deux polynômes $M$~et~$N$, entiers par
\DPPageSep{593.png}{585}
rapport à~$\lambda(nz)$, renferment, en outre, rationnellement les trois constantes
$k^{2}, \lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right), \lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$.

\Paragraph{377.} La formule~\Eq{(10)}, qui donne les valeurs de l'inconnue, renferme
$n^{2} - 1$~radicaux; mais on peut les ramener à deux d'entre eux.
Si l'on suppose que $\alpha$~et~$\beta$ soient deux racines primitives de l'équation
binôme $x^{n} = 1$, deux racines quelconques de cette équation pourront
être représentées par $\alpha^{r}$~et~$\beta^{s}$, $r$~et~$s$ étant deux nombres entiers variant
de~$0$ à~$n - 1$. La fonction
\[
\Tag{(11)}
F(z) = \bigl[R(z, \alpha, 1)\bigr]^{n-r}
       \bigl[R(z, 1, \beta)\bigr]^{n-s} R(z, \alpha^{r}, \beta^{s}),
\]
qui satisfait aux relations
\[
F \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = (-1)^{r + s - 1} F(z),\quad
F \left(z + \frac{\omega'}{n}\right) = F(z),
\]
admet, dans tous les cas, les deux périodes $\dfrac{2\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}$; elle a les mêmes
infinis que la fonction~$\lambda(nz)$, aux mêmes périodes, chacun au degré
$2n - r - s + 1$; on a donc
\[
\Tag{(12)}
F(z) = P + Q\lambda'(nz),
\]
$P$~et~$Q$ étant des polynômes entiers en~$\lambda(nz)$. Quand le nombre $r + s$
est pair, le premier polynôme est impair, le second pair. Quand $r + s$
est impair, le premier est pair, le second impair. Le premier polynôme
est donc du degré $2n - r - s + 1$, le second du degré $2n - r - s - 2$
au plus. On les calculera comme on a calculé les polynômes $M$~et~$N$
dans le numéro précédent.

Des équations \Eq{(11)}~et~\Eq{(12)} on déduit
\[
\Tag{(13)}
R(z, \alpha^{r}, \beta^{s})
  = \frac{P + Q\lambda'(nz)}
         {\bigl[R(z, \alpha, 1)\bigr]^{n} \bigl[R(z, 1, \beta)\bigr]^{n}}\,
  \bigl[R(z, \alpha, 1)\bigr]^{r} \bigl[R(z, 1, \beta)\bigr]^{s}.
\]
Le premier facteur du second membre est une fraction rationnelle en
$\lambda(nz)$~et~$\lambda'(nz)$; de cette manière, tous les radicaux se ramènent aux
\DPPageSep{594.png}{586}
deux seuls radicaux $R(z, \alpha, 1), R(z, 1, \beta)$, et la formule~\Eq{(10)}, après la
substitution, ne donne plus que les $n^{2}$~valeurs de l'inconnue.

\Paragraph{378.} La fonction résolvante d'Abel se met sous la forme
\[
R(z, \alpha, \beta) = \frac{1}{\sqrt{k}} \sum \sum \alpha^{p} \beta^{q}\,
  \frac{\theta_{1} \left(z + 2p\dfrac{\omega}{n} + q\dfrac{\omega'}{n}\right)}
       {\theta \left(z + 2p\dfrac{\omega}{n} + q\dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]

Nous supposerons maintenant que l'on attribue à chacune des lettres
$p$~et~$q$ les $n$~valeurs consécutives $-\dfrac{n-1}{2}, \ldots, -1, 0, +1, \ldots, \dfrac{n-1}{2}$.
Considérons le produit des dénominateurs; les nombres~$2p$ donnant
pour résidus par rapport à~$n$ les $n$~nombres consécutifs $-\dfrac{n-1}{2}, \ldots,
-1, 0, 1, \ldots, \dfrac{n-1}{2}$, et la fonction~$\theta$ ne changeant pas quand l'argument
augmente ou diminue de~$\omega$, ce produit est égal à
\[
\prod \theta \left(z + p\frac{\omega}{n} + q\frac{\omega'}{n}\right);
\]
c'est la fonction~$\theta(nz)$, multipliée par un facteur constant (\no{331}).
Nous pouvons représenter deux racines quelconques de l'équation
binôme $x^{n} = 1$ par $\alpha = e^{\efrac{4a\pi i}{n}}$, $\beta = e^{\efrac{-2b\pi i}{n}}$, $a$~et~$b$ étant deux nombres
entiers. La fonction holomorphe
\[
\Phi(z) = R(z, \alpha, \beta) \theta(nz)
\]
satisfait aux relations
\[
\Phi \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = -e^{-\efrac{2a\pi i}{n}} \Phi(z),\quad
\Phi \left(z + \frac{\omega'}{n}\right)
  = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(2nz + \omega' - 2b \efrac{\omega}{n}\right)} \Phi(z).
\]
La fonction holomorphe
\[
\Psi(z)
  = e^{\efrac{2a\pi zi}{\omega}}
    \Phi \left(z + b\frac{\omega}{n^{2}} + a\frac{\omega'}{n^{2}}\right),
\]
\DPPageSep{595.png}{587}
satisfaisant aux relations
\[
\Psi \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = -\Psi(z),\quad
\Psi \left(z + \frac{\omega'}{n}\right)
  = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} (2nz + \omega')} \Psi(z),
\]
est égale à la fonction~$\theta_{1}(nz)$, multipliée par un facteur constant
(\no{150}). On en déduit
\[
\Phi(z) = Ae^{-\efrac{2a\pi zi}{\omega}}
  \theta_{1} \left(nz - b\frac{\omega}{n} - a\frac{\omega'}{n}\right),
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(14)}
R(z, \alpha, \beta)
  = A \frac{e^{-\efrac{2a\pi zi}{\omega}}
    \theta_{1} \left(nz - b\dfrac{\omega}{n} - a\dfrac{\omega'}{n}\right)}
           {\theta(nz)}.
\]

On connaît ainsi les zéros de la fonction doublement périodique~$R(z)$,
aux périodes $2\omega, \omega'$; ils sont donnés par la formule
\[
\Tag{(15)}
z = b\frac{\omega}{n^{2}} + a\frac{\omega'}{n^{2}}
  + p\frac{\omega}{n} + q\frac{\omega'}{n},
\]
dans laquelle $a$~et~$b$ sont deux nombres entiers constants, caractérisant
les deux racines $\alpha$~et~$\beta$ de l'équation binôme $x^{n} = 1$, $p$~et~$q$ deux
nombres entiers arbitraires. On déterminera la constante~$A$ en faisant
$z = \dfrac{\omega'}{2}$; on trouve
\[
A = (-1)^{b} \frac{n}{k}\,
  \frac{\theta'_{1}(0)}
       {\theta \left(b\dfrac{\omega}{n} + a\dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]

\Paragraph{379.} Considérons maintenant la résolvante $R(z, \alpha^{-1}, \beta^{-1})$; d'après
la formule~\Eq{(6)}, on~a
\[
R(z, \alpha^{-1}, \beta^{-1}) = -R(-z, \alpha, \beta);
\]
les $n$\iemes~puissances des deux résolvantes $R(z, \alpha, \beta)$, $R(z, \alpha^{-1}, \beta^{-1})$
sont donc des quantités conjuguées $M + N\lambda'(nz)$, $M - N\lambda'(nz)$. Pour
avoir l'expression de la seconde résolvante, il suffit de changer les
signes des nombres entiers $a$~et~$b$ dans la formule~\Eq{(14)}; la constante~$A$
\DPPageSep{596.png}{588}
ne change pas; on en déduit
\[
R(z, \alpha, \beta) R (z, \alpha^{-1}, \beta^{-1})
  = A^{2}\, \frac{
    \theta_{1} \left(nz - b\dfrac{\omega}{n} - a\dfrac{\omega'}{n}\right)
    \theta_{1} \left(nz + b\dfrac{\omega}{n} + a\dfrac{\omega'}{n}\right)}
  {\theta^{2}(nz)},
\]
et, par suite, en vertu de la seconde des relations~\Eq[329]{(7)} du \no{329},
\[
\Tag{(16)}
R(z, \alpha, \beta) R(z, \alpha^{-1}, \beta^{-1})
  =  n^{2} \left[\lambda^{2}(nz)
      - \lambda^{2} \left(b\frac{\omega}{n} + a\frac{\omega'}{n}\right)
  \right].
\]
Les radicaux conjugués se ramènent ainsi l'un à l'autre.

En élevant les deux membres de l'équation~\Eq{(16)} à la $n$\ieme~puissance,
on obtient la relation
\[
M^{2} - N^{2}\lambda'^{2}(nz) =  n^{2n} \left[\lambda^{2}(nz)
  - \lambda^{2} \left(b\frac{\omega}{n} + a\frac{\omega'}{n}\right)
  \right]^{n}.
\]
Si l'on pose $M = n^{n} M_{1}$, $N = n^{n} N_{1}$, $\rho = \lambda \left(b \dfrac{\omega}{n} + a \dfrac{\omega'}{n}\right)$, cette relation
devient
\[
\Tag{(17)}
M_{1}^{2} - N_{1}^{2}(1 - y^{2})(1 - k^{2}y^{2}) = (y^{2} - \rho^{2})^{n}.
\]
Elle peut faciliter le calcul des polynômes $M_{1}$~et~$N_{1}$ en~$y$: le premier,
qui est impair et du degré~$n$, renferme $\dfrac{n+1}{2}$~coefficients; le second,
qui est pair et du degré~$n-3$, en renferme~$\dfrac{n-1}{2}$, ce qui, avec~$\rho$, fait
$n + 1$~inconnues. L'identification des deux membres donne $n + 1$~équations
entre ces inconnues. Mais la constante~$\rho$ est l'une des racines~$x$,
autre que zéro, de l'équation~\Eq{(1)}, dans laquelle on fait $y = 0$. Comme
à chaque valeur de~$\rho^{2}$ correspond un couple de polynômes $M_{1}$~et~$N_{1}$,
les coefficients pourront s'exprimer rationnellement à l'aide de~$\rho^{2}$, en
tenant compte de l'équation qui détermine cette quantité. On retrouverait
d'ailleurs cette équation en éliminant les $n$~coefficients des polynômes
$M_{1}$~et~$N_{1}$ entre les $n + 1$~équations provenant de l'identification.


\Section{Multiplication de la première période par un nombre impair}

\Paragraph{380.} Dans le Chapitre précédent, nous avons trouvé les expressions
de~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ et de~$\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$ en fonction de~$\lambda(z, \omega, \omega')$. Il s'agit
\DPPageSep{597.png}{589}
maintenant, connaissant $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ ou $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, de trouver
$\lambda(z, \omega, \omega')$.

Proposons-nous d'abord, connaissant $y = \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, de trouver
$x = \lambda(z, \omega, \omega')$; on a l'équation du $n$\ieme~degré (\no{349})
\[
\Tag{(18)}
y\scrP - \frac{g_{1}}{g} x \scrP_{1} = 0.
\]
Les $n$~valeurs de l'inconnue sont comprises dans la formule
\[
\Tag{(19)}
x = \lambda \left(z + 2p \frac{\omega}{n}\right),
\]
dans laquelle $p$~reçoit $n$~valeurs entières consécutives.

On voit, comme au \no{372}, que l'équation a des racines égales lorsque
la quantité donnée~$y$ est égale à~$±1$ ou à~$±\dfrac{1}{k_{1}}$. Quand le nombre entier
$\dfrac{n-1}{2}$ est pair, si $y = 1$, l'équation admet la racine simple $x = 1$,
et toutes les autres racines sont doubles; si $y = \dfrac{1}{k_{1}}$, elle admet la racine
$x = \dfrac{1}{k}$, et toutes les autres racines sont encore doubles. On en conclut
que les polynômes pairs $\scrP$~et~$\scrP_{1}$ satisfont aux deux identités
\[
\Tag{(20)}
\scrP - \frac{g_{1}}{g} x \scrP_{1} = (1 - x) G^{2},\quad
\scrP - \frac{g_{1}}{g} k_{1} x\scrP_{1}  =  (1 - kx) H^{2},
\]
$G$~et~$H$ étant des polynômes entiers du degré~$\dfrac{n-1}{2}$, et à celles qu'on en
déduit en remplaçant~$x$ par~$-x$. Quand le nombre~$\dfrac{n-1}{2}$ est impair,
on a les deux identités
\[
\Tag{(20')}
\scrP - \frac{g_{1}}{g} x\scrP_{1} = (1 + x) G^{2},\quad
\scrP - \frac{g_{1}}{g} k_{1}x\scrP_{1} = (1 + kx) H^{2}.
\]

Pour résoudre l'équation~\Eq{(18)}, nous nous servirons de la fonction
\[
\Tag{(21)}
\scrR(z, \alpha)
  = \sum_{p=0}^{p=n-1} \alpha^{p} \lambda \left(z + p \frac{2\omega}{n}\right),
\]
\DPPageSep{598.png}{590}
qui, comme la fonction~$R(z, \alpha, \beta)$, satisfait aux relations
\[
\scrR \left(z + \frac{2\omega}{n}\right) = \alpha^{-1} \scrR(z),\quad
\scrR (z + \omega) = -\scrR(z),\quad
\scrR \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = -\alpha^{\efrac{n-1}{2}} \scrR(z).
\]
Cette fonction admet les deux périodes $2\omega, \omega'$; mais la fonction
\[
f(z) = \bigl[\scrR(z)\bigr]^{n},
\]
qui satisfait aux relations
\[
f \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = - f(z),\quad
f(z + \omega') = f(z),
\]
admet les périodes $\dfrac{2\omega}{n}, \omega'$; elle a d'ailleurs les mêmes infinis que la
fonction $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, aux mêmes périodes, chacun au degré~$n$. on~a
donc
\[
\Tag{(22)}
f(z) = \M + \Erratum{}{\frac{1}{g_{1}}}\N\lambda' \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right),
\]
$\M$~et~$\N$ étant des polynômes entiers en~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, le premier impair
et du degré~$n$, le second pair et du degré~$n - 3$ au plus. On en déduit
\[
\Tag{(23)}
\scrR(z, \alpha)
  = \sum_{p=0}^{p=n-1} \alpha^{p} \lambda \left(z + p \frac{2\omega}{n}\right)
  = \sqrt[n]{\M + \Erratum{}{\frac{1}{g_{1}}}\N\lambda' \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)}.
\]

A chaque racine~$\alpha$ de l'équation binôme $x^{n} = 1$ correspond une équation
analogue à la précédente. D'après la formule~\Eq[354]{(18)} du \no{354},
l'équation qui se rapporte à la racine $\alpha = 1$ a pour second membre
$\dfrac{g_{1} k_{1}}{gk} \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$. Si l'on ajoute membre à membre ces $n$~équations,
chacun des termes~$\lambda \left(z + p \dfrac{2\omega}{n}\right)$, dans le premier membre de l'équation
résultante, aura son coefficient nul, excepté le terme~$\lambda(z)$, dont le
coefficient sera égal à~$n$, et l'on obtiendra la formule
\[
\Tag{(24)}
\lambda(z, \omega, \omega')
  = \frac{g_{1} k_{1}}{ngk} \lambda \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  + \frac{1}{n} \sum \sqrt[n]{\M + \Erratum{}{\frac{1}{g_{1}}}\N\lambda' \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)},
\]
qui renferme $n - 1$~radicaux.
\DPPageSep{599.png}{591}

La méthode suivie au \no{376} permet de calculer les polynômes $\M$~et~$\N$.
Si l'on développe chaque terme, la fonction~$\scrR(z)$ se compose
de deux parties, l'une égale à une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$, l'autre
égale au produit de~$\Erratum{}{\dfrac{1}{g}}\lambda'(z)$ par une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$. Il
en sera de même de la fonction $f(z) = \bigl[\scrR(z)\bigr]^{n}$. De la dérivée de
l'expression de~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ par une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$, on
déduit $\Erratum{}{\dfrac{1}{g}}\lambda'(z)$ égale au produit de~$\Erratum{}{\dfrac{1}{g_{1}}}\lambda' \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$ par une fraction rationnelle
en~$\lambda(z)$; la seconde partie deviendra ainsi égale au produit de~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$
par une fraction rationnelle en~$\lambda(z)$, et l'on aura
\[
f(z) = \frac{A + \Erratum{}{\dfrac{1}{g_{1}}}B\lambda' \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}{C},
\]
$A, B, C$ étant des polynômes entiers en~$\lambda(z)$.

La fonction~$f(z)$ ne changeant pas quand on remplace~$z$ par
$z + p \dfrac{2\omega}{n}$, les fractions rationnelles $\dfrac{A}{C}, \dfrac{B}{C}$ ne changent pas quand on
remplace~$\lambda(z)$ par l'une quelconque des valeurs de~$x$ données par la
formule~\Eq{(19)}. On prendra, pour chacune de ces fractions, la moyenne
arithmétique de ses valeurs quand on y remplace~$\lambda(z)$ successivement
par les $n$~racines de l'équation~\Eq{(18)}; cette moyenne arithmétique, étant
une fonction symétrique des racines, s'exprime rationnellement à
l'aide des coefficients de l'équation et, par conséquent, à l'aide de la
quantité donnée $y = \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$ et des deux constantes $k^{2}$~et~$\lambda^{2}\left(\dfrac{\omega}{n}\right)$. On
arrive ainsi à la forme~\Eq{(22)}.

\Paragraph{381.} On peut ramener à un seul les $n-1$~radicaux que renferme
la formule~\Eq{(24)}. Désignons par~$\alpha$ une racine primitive de l'équation
binôme $x^{n} = 1$ et par~$\alpha^{r}$ une racine quelconque. La fonction
\[
\Tag{(25)}
F(z) = \bigl[\scrR(z, \alpha)\bigr]^{n-r} \scrR(z, \alpha^{r}),
\]
satisfaisant aux relations
\[
F \left(z + \frac{\omega}{n}\right) = (-1)^{r} F(z),\quad
F(z + \omega') = F(z),
\]
\DPPageSep{600.png}{592}
admet, dans tous les cas, les deux périodes $\dfrac{2\omega}{n}, \omega'$; elle a les mêmes
infinis que la fonction $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, aux mêmes périodes, chacun au
degré~$n - r + 1$; on a donc
\[
\Tag{(26)}
F(z) = P + \Erratum{}{\dfrac{1}{g_{1}}}Q\lambda' \left(z, \frac{\omega}{n}\right),
\]
$P$~et~$Q$ étant des polynômes entiers en~$\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$. Quand $r$~est pair, le
premier polynôme est pair, le second impair; c'est le contraire qui a
lieu quand $r$~est impair. Il en résulte que le premier polynôme est du
degré~$n - r + 1$, le second du degré~$n - r - 2$ au plus. On les calculera
comme on a calculé les polynômes $\M$~et~$\N$. On déduit de là
\[
\Tag{(27)}
\scrR (z, \alpha^{r})
  = \frac{P + \Erratum{}{\dfrac{1}{g_{1}}}Q\lambda' \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\bigl[\scrR(z, \alpha)\bigr]^{n}}\,
    \bigl[\scrR(z, \alpha)\bigr]^{r}.
\]
Les $n - 1$~radicaux se ramènent ainsi au radical~$\scrR(z, \alpha)$, et la formule~\Eq{(24)},
après la substitution, ne donne plus que les $n$~valeurs de
l'inconnue.

\Paragraph{382.} La résolvante peut être mise sous la forme (\no{173})
\[
\scrR(z, \beta)
  = \frac{1}{i\sqrt{k}} \sum_{p=-\efrac{n-1}{2}}^{p=\efrac{n-1}{2}} \alpha^{p}
    \frac{\vartheta_{1} \left(z + 2p \dfrac{\omega}{n}\right)}
         {\vartheta \left(z + 2p \dfrac{\omega}{n}\right)}.
\]
Concevons que l'on réduise les $n$~fractions au même dénominateur,
et prenons pour dénominateur commun la fonction $\vartheta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$. Le
numérateur, ou la fonction holomorphe
\[
\phi(z) = \scrR(z, \alpha) \vartheta \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right),
\]
satisfaisant aux relations
\[
\phi(z + \omega') = -\phi(z),\quad
\phi \left(z + \frac{\omega}{n}\right)
  = -e^{\efrac{\pi i}{\omega} \left(2z - 2n \efrac{\omega'}{n} + \efrac{\omega}{n}\right)} \phi(z),
\]
\DPPageSep{601.png}{593}
{\stretchyspace
si l'on pose, comme précédemment,~$\alpha = e^{\efrac{4a\pi i}{n}}$, est égal à la fonction}
$\vartheta_{1} \left(z - a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, multipliée par un facteur constant (\no{150}).
On a donc
\[
\Tag{(28)}
\scrR(z, \alpha)
  = \scrA_{1}\,
  \frac{\vartheta_{1} \left(z - a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
       {\vartheta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
  = \scrA\, \frac{e^{-\efrac{2a\pi zi}{\omega}}
      \theta_{1} \left(z - a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
       {\theta \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}.
\]
On connaît ainsi les zéros de la fonction~$\scrR(z, \alpha)$; ils sont donnés
par la formule $z = a \dfrac{\omega'}{n} + p \dfrac{\omega}{n} + q \omega'$. En faisant $z = \dfrac{\omega'}{2}$, on trouve
\[
\Tag{(29)}
\scrA_{1} = -\frac{1}{gk}\,
  \frac{\vartheta'_{1} \left(0, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
       {\vartheta \left(a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)},\quad
\scrA = \frac{1}{gk}\,
  \frac{\theta'_{1} \left(0, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
       {\theta \left(a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}.
\]

La résolvante~$\scrR(z, \alpha^{-1})$ étant égale à~$-\scrR(-z, \alpha)$, les $n$\iemes~puissances
des deux résolvantes $\scrR(z, \alpha)$, $\scrR(z, \alpha^{-1})$ sont des quantités
conjuguées $\M + \dfrac{1}{g_{1}} \N\lambda' \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$, $\M - \dfrac{1}{g_{1}} \N\lambda' \left(z, \dfrac{\omega}{n}\right)$. Pour avoir l'expression
de la seconde résolvante, il suffit de changer le signe du nombre
entier~$a$ dans la formule~\Eq{(28)}; on en déduit
\[
\scrR(z, \alpha) \scrR(z, \alpha^{-1})
  = \scrA^{2}\,
  \frac{\theta_{1} \left(z - a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)
        \theta_{1} \left(z + a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
       {\theta^{2} \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)},
\]
et par suite (\no{329})
\[
\Tag{(30)}
\scrR(z, \alpha) \scrR(z, \alpha^{-1})
  = \left(\frac{g_{1}k_{1}}{gk}\right)^{2}
    \left[\lambda^{2} \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
        - \lambda^{2} \left(a \frac{\omega'}{n}, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
    \right].
\]
Les radicaux conjugués se ramènent ainsi l'un à l'autre.

Si l'on pose $\M = \left(\dfrac{g_{1}k_{1}}{gk}\right)^{n} \M_{1}$, $\N = \left(\dfrac{g_{1}k_{1}}{gk}\right)^{n} \N_{1}$, $\rho_{1} = \lambda \left(a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$,
en élevant les deux membres de l'équation précédente à la $n$\ieme~puissance,
\DPPageSep{602.png}{594}
on obtient la relation
\[
\Tag{(31)}
\DPtypo{\N_{1}^{2}}{\M_{1}^{2}} - \N_{1}^{2}(1 - y^{2})(1 - k_{1}^{2}y^{2})
  = (y^{2} - \rho_{1}^{2})^{n},
\]
qui a la même forme que la relation~\Eq{(17)}, et qui pourra servir dans le
calcul des coefficients des polynômes $\M_{1}$~et~$\N_{1}$, à l'aide de la constante~$\rho_{1}$,
que l'on regardera comme connue; à chaque valeur de~$\rho_{1}$ correspond
un couple de polynômes.


\Section{Multiplication de la seconde période par un nombre impair}

\Paragraph{383.} Le même raisonnement s'applique à la multiplication de la
seconde période. En désignant par~$y$ la quantité donnée $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$
et par~$x$ l'inconnue $\lambda(z, \omega, \omega')$, on a l'équation du $n$\ieme~degré (\no{351})
\[
\Tag{(32)}
y\scrP' - \frac{g_{2}}{g} x\scrP'_{1} = 0.
\]
Les valeurs de l'inconnue sont comprises dans la formule
\[
x = \lambda \left(z + q \frac{\omega'}{n}\right).
\]
L'équation a des racines égales lorsque la quantité donnée~$y$ est égale
à~$±1$ ou à~$±\dfrac{1}{k_{2}}$; quand $y = 1$, elle admet la racine simple $x = 1$ et
toutes les autres racines sont doubles; quand $y = \dfrac{1}{k_{2}}$, elle admet la
racine simple $x = \dfrac{1}{k}$ et toutes les autres racines sont encore doubles.
On en conclut que les polynômes $\scrP'$~et~$\scrP'_{1}$ satisfont, quel que soit le
nombre impair~$n$, aux deux identités
\[
\Tag{(33)}
\scrP' - \frac{g_{2}}{g} x \scrP'_{1} = (1 - x) G^{2},\quad
\scrP' - \frac{g_{2}}{g} k_{2} x \scrP'_{1} = (1 - kx) H^{2},
\]
$G$~et~$H$ étant des polynômes entiers en~$x$ du degré~$\dfrac{n - 1}{2}$.
\DPPageSep{603.png}{595}

On résoudra l'équation~\Eq{(32)} à l'aide de la fonction
\[
\Tag{(34)}
\scrR(z, \beta)
  = \sum_{q=0}^{q=n-1} \beta^{q} \lambda \left(z + q \frac{\omega'}{n}\right),
\]
qui satisfait aux relations
\[
\scrR(z + \omega) = -\scrR(z),\quad
\scrR \left(z + \frac{\omega'}{n}\right) = \beta^{-1} \scrR(z).
\]
La fonction
\[
f(z) = \bigl[\scrR(z)\bigr]^{n},
\]
qui satisfait aux relations
\[
f(z + \omega) = -f(z),\quad
f \left(z + \frac{\omega'}{n}\right) = f(z),
\]
admet les périodes $2\omega, \dfrac{\omega'}{n}$, et l'on~a
\[
\Tag{(35)}
f(z) = \M' + \frac{1}{g_{2}} \N'\lambda' \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right),
\]
$\M'$~et~$\N'$ étant des polynômes entiers en~$\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, le premier impair
et du degré~$n$, le second pair et du degré~$n - 3$ au plus. On en déduit
\[
\Tag{(36)}
\scrR(z, \beta)
  = \sum_{q=0}^{q=n-1} \beta^{q} \lambda \left(z + q \frac{\omega'}{n}\right)
  = \sqrt[n]{\M' + \frac{1}{g_{2}} \N' \lambda' \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)},
\]
et par suite
\[
\Tag{(37)}
\lambda(z, \omega, \omega')
  = \frac{g_{1}k_{2}}{ngk} \lambda \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  + \frac{1}{n} \sum \sqrt[n]{\M' + \frac{1}{g_{2}} \N' \lambda' \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)}.
\]

On calculera les polynômes $\M'$~et~$\N'$ comme les précédents. On peut
de même réduire les $n - 1$~radicaux à un seul par la relation
\[
\Tag{(38)}
\scrR(z, \beta')
  = \frac{P' + \dfrac{1}{g_{2}} Q'\lambda' \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)
          \bigl[\scrR(z, \beta)\bigr]^{s}}
         {\bigl[\scrR(z, \beta)\bigr]^{n}},
\]
$\beta$~étant une racine primitive de l'équation binôme $x^{n} = 1$.
\DPPageSep{604.png}{596}

\Paragraph{384.} La résolvante peut être mise sous la forme
\[
\scrR(z, \beta)
  = \frac{1}{\sqrt{k}} \sum_{q=-\efrac{n-1}{2}}^{q=\efrac{n-1}{2}} \beta^{q}
    \frac{\theta_{1} \left(z + q \dfrac{\omega'}{n}\right)}
         {\theta \left(z + q \dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]
Concevons que l'on réduise les fractions au même dénominateur, et
prenons pour dénominateur commun $\theta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$; le numérateur, ou
la fonction holomorphe
\[
\phi(z) = \scrR(z, \beta) \theta \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right),
\]
satisfaisant aux relations
\[
\phi(z + \omega) = -\phi(z),\quad
\phi \left(z + \frac{\omega'}{n}\right)
  = -e^{-\efrac{\pi i}{\omega} \left(2z - 2b \efrac{\omega}{n} + \efrac{\omega'}{n}\right)} \phi(z),
\]
si l'on pose $\beta = e^{-\efrac{2b\pi i}{n}}$, est égal à la fonction $\theta_{1} \left(z - b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)$,
multipliée par un facteur constant. On a donc
\[
\Tag{(39)}
\scrR(z, \beta) = \scrB\,
 \frac{\theta_{1} \left(z - b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
      {\theta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
  = \scrB_{1} e^{\efrac{2b\pi zi}{\omega'}}\,
    \frac{\vartheta_{1} \left(z - b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
         {\vartheta \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]
On connaît les zéros $z = b \dfrac{\omega}{n} + p \omega + q \dfrac{\omega'}{n}$ de la fonction~$\scrR(z, \beta)$. En
faisant $z = \dfrac{\omega'}{2n}$, on trouve
\[
\Tag{(40)}
\scrB = (-1)^{b} \frac{1}{gk}\,
  \frac{\theta'_{1} \left(0, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
       {\theta \left(b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)},\quad
\scrB_{1} = -(-1)^{b} \frac{1}{gk}\,
  \frac{\vartheta'_{1} \left(0, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}
       {\vartheta \left(b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \dfrac{\omega'}{n}\right)}.
\]

La résolvante~$\scrR(z, \beta^{-1})$ étant égale à~$-\scrR(-z, \beta)$, les $n$\iemes~puissances
des deux résolvantes $\scrR(z, \beta)$, $\scrR(z, \beta^{-1})$ sont des quantités
\DPPageSep{605.png}{597}
conjuguées $\M' + \dfrac{1}{g_{2}} \N'\lambda' \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)$, $\M' - \dfrac{1}{g_{2}} \N'\lambda' \left(z, \dfrac{\omega'}{n}\right)$. On a d'ailleurs
\[
\Tag{(41)}
\scrR(z, \beta) \scrR(z, \beta^{-1})
  = \left(\frac{g_{2}k_{2}}{gk}\right)^{2} \left[
    \lambda^{2} \left(z, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
  - \lambda^{2} \left(b \frac{\omega}{n}, \omega, \frac{\omega'}{n}\right)
\right],
\]
et les radicaux conjugués se ramènent l'un à l'autre. Si l'on pose
\[
%[** TN: Next equation is in-line in original]
\M' = \left(\frac{g_{2}k_{2}}{gk}\right)^{n} \M'_{1},\quad
\N' = \left(\frac{g_{2}k_{2}}{gk}\right)^{n} \N'_{1},\quad
\rho_{2} = \lambda \left(b \frac{\omega}{n}, \omega, \frac{\omega'}{n}\right),
\]
on obtient
la relation
\[
\Tag{(42)}
\M'_{1} - \N'_{1}(1 - y^{2}) (1 - k_{2}^{2}y^{2}) = (y^{2} - \rho_{2}^{2})^{n},
\]
analogue à la relation~\Eq{(31)}, et qui pourra servir dans le calcul des
coefficients des polynômes $\M'$~et~$\N'$ à l'aide de la constante~$\rho_{2}$, que
l'on regardera comme connue. A chaque valeur de~$\rho_{2}$ correspond un
couple de polynômes.

Les trois relations \Eq{(17)},~\Eq{(31)} et~\Eq{(42)} ont la même forme; chacune
d'elles renferme le module de la fonction donnée; elles diffèrent par
la signification de la constante~$\rho$.

\Paragraph{385.} \Remarque Nous avons traité le problème de la division de
l'argument par un nombre impair~$n$, en résolvant une équation du
degré~$n^{2}$. On peut traiter la même question en résolvant successivement
deux équations du degré~$n$. On donne $y = \lambda(nz, \omega, \omega') = \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right)$;
cherchons d'abord $t = \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$; c'est la multiplication de la seconde
période par~$n$ (\no{383}). On a à résoudre l'équation du $n$\ieme~degré
\[
\frac{ng}{g_{1}} t \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
  1 - \frac{t^{2}}{\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)}
\right] - y \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
  1 - k_{1}^{2} t^{2} \lambda^{2} \left(p \frac{\omega'}{n}, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
\right] = 0.
\]
La formule~\Eq{(37)} devient
\[
\Tag{(43)}
t = \frac{gk}{g_{1}k_{1}} \left(y + \sum \sqrt[n]{\M'_{1} + \N'_{1} \Delta y}\right).
\]
\DPPageSep{606.png}{598}
Les polynômes $\M'_{1}$~et~$\N'_{1}$ en~$y$ satisfont à la relation
\[
\Tag{(44)}
\M_{1}'^{2} - \N_{1}'^{2} (1 - y^{2})(1 - k^{2}y^{2})
  = (y^{2} - \rho_{2}^{2})^{n},
\]
où $\rho_{2} = \lambda \left(b \dfrac{\omega}{n^{2}}, \dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega'}{n}\right) = \lambda \left(b \dfrac{\omega}{n}, \omega, \omega'\right)$.

Connaissant $t = \lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, on cherchera ensuite $x = \lambda(z, \omega, \omega')$;
c'est la multiplication de la première période (\no{380}). On a à résoudre
une seconde équation du $n$\ieme~degré
\[
\frac{g_{1}}{g} x \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
  1 - \frac{x^{2}}{\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)}
\right] - t \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \left[
  1 - k^{2} x^{2} \lambda^{2} \left(p \frac{\omega}{n}\right)
\right] = 0.
\]
La formule~\Eq{(24)} devient
\[
\Tag{(45)}
x = \frac{g_{1}k_{1}}{ngk} \left(t + \sum \sqrt[n]{\M_{1} + \N_{1} \Delta t}\right).
\]
Les polynômes $\M_{1}$~et~$\N_{1}$ en~$t$ satisfont à la relation
\[
\Tag{(46)}
\M_{1}^{2} - \N_{1}^{2} (1 - t^{2}) (1 - k_{1}^{2}t^{2})
  = (t^{2} - \rho_{1}^{2})^{n},
\]
où $\rho_{1} = \lambda \left(a \dfrac{\omega'}{n}, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$; cette dernière constante est une fraction rationnelle
de $\lambda \left(a \dfrac{\omega}{n}, \omega, \omega'\right)$. D'après les formules du \no{349}, les deux constantes
$k_{1}$~et~$\dfrac{g_{1}}{g}$ sont des fonctions rationnelles de~$\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right)$. Ainsi toutes
les constantes qui entrent dans ces calculs s'expriment rationnellement
au moyen du module donné~$k$ et des deux constantes $\lambda \left(\dfrac{\omega}{n}\right), \lambda \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$;
ceci est bien d'accord avec ce que nous avons dit au \no{376}.

Appliquons cette méthode au cas où $n = 3$. Les deux formules~\Eq{(43)}
et~\Eq{(45)} renferment chacune deux radicaux conjugués, qui se ramènent
immédiatement l'un à l'autre, en vertu des relations \Eq{(30)}~et~\Eq{(41)}; on
a donc
\begin{align*}
t &= \frac{gk}{g_{1}k_{1}} \left[
  y - \sqrt[3]{\M'_{1} + \N'_{1} \Delta y}
    + \frac{y^{2} - \rho_{2}^{2}}{\sqrt[3]{\M'_{1} + \N'_{1} \Delta y}}
  \right], \\
%
x &= \frac{g_{1}k_{1}}{3gk} \left[
  t - \sqrt[3]{\M_{1} + \N_{1} \Delta t}
    + \frac{t^{2} - \rho_{1}^{2}}{\sqrt[3]{\M_{1} + \N_{1} \Delta y}}
  \right].
\end{align*}
\DPPageSep{607.png}{599}
Le calcul des polynômes n'offre aucune difficulté. L'identification des
deux membres de l'équation \Eq{(44)}~ou~\Eq{(46)} donne
\begin{alignat*}{3}
\N'_{1} &= \rho_{2}^{3},\quad &
\M'_{1} &= y^{3} &&+ \tfrac{1}{2} \rho_{2}^{2}(k^{2}\rho_{2}^{4} - 3) y, \\
%
\N'_{1} &= \rho_{1}^{3},\quad &
\M'_{1} &= t^{3} &&+ \tfrac{1}{2} \rho_{1}^{2}(k_{1}^{2}\rho_{1}^{4} - 3) t.
\end{alignat*}
On peut supposer $a = b = 1$, d'où $\rho_{2} = \lambda \left(\dfrac{\omega}{3}\right)$, $\rho_{1} = \lambda \left(\dfrac{\omega'}{3}, \dfrac{\omega}{3}\right)$.


\Section{Calcul de $\lambda \left(\protect\dfrac{\omega}{n}\right)$}

\Paragraph{386.} Les formules précédentes renferment rationnellement le module~$k$
et les constantes $\lambda^{2} \left(\dfrac{\omega}{n}\right), \lambda^{2} \left(\dfrac{\omega'}{n}\right)$; ces dernières quantités sont
deux des racines de l'équation $P_{1} = 0$, à laquelle se réduit l'équation~\Eq{(1)},
quand on y fait $y = 0$, et qu'après avoir supprimé la solution
$x = 0$ on regarde~$x^{2}$ comme l'inconnue. Nous savons former le
polynôme pair~$P_{1}$ du degré~$\dfrac{n^{2} - 1}{2}$ par rapport à~$x^{2}$; les coefficients sont
des polynômes entiers en~$k^{2}$, qui ont eux-mêmes pour coefficients des
nombres entiers. Nous nous bornerons, dans l'étude de cette équation,
au cas où le nombre impair~$n$ est premier et nous poserons $n = 2m + 1$.
Nous supposerons en outre le multiplicateur~$g$ égal à l'unité.

Les racines de l'équation $P_{1} = 0$, qui est du degré~$m(n + 1)$, sont
représentées par la formule $x^{2} = \lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n} + q \dfrac{\omega'}{n}\right)$, dans laquelle $p$~et~$q$
désignent deux nombres entiers quelconques. On peut remplacer les
nombres $p$~et~$q$ par leurs résidus relatifs au diviseur~$n$, et prendre
ces résidus positifs ou négatifs, de manière que leurs valeurs absolues
soient inférieures ou égales à~$m$; d'ailleurs on peut supposer l'un d'eux
positif. Nous obtiendrons donc toutes les racines en combinant avec
$q = 0$ les $m$~valeurs positives $1, 2, \ldots, m$ de~$p$, et avec les $m$~valeurs positives
$1, 2, \ldots, m$ de~$q$ les $n$~valeurs consécutives $0, ±1, ±2, \ldots, ±m$
de~$p$. Les $m$~premières racines sont comprises dans la formule $\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$.
Les $mn$~suivantes peuvent être représentées par la formule $\lambda^{2} \left(q \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}\right)$,
\DPPageSep{608.png}{600}
dans laquelle $t$~reçoit $n$~valeurs entières consécutives; car les $n$~multiples
consécutifs du nombre~$2q$ premier avec~$n$ donnent pour résidus
par rapport à~$n$ les $n$~nombres $0, ±1, ±2, \ldots, ±m$; de cette manière,
nous disposerons les $m(n + 1)$~racines en $n + 1$~suites, comprenant
chacune $m$~racines. Les racines de la première suite sont données
par la formule $\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega}{n}\right)$, dans laquelle $p$~varie de~$1$ à~$m$; celles d'une
autre suite par la formule $\lambda^{2} \left(p \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}\right)$, dans laquelle $t$~est un nombre
constant et $p$~varie de~$1$ à~$m$. Désignons, en général, par~$\epsilon$ l'une des
$n + 1$~quantités $\dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}$; les $m$~racines d'une suite quelconque seront
\[
\Tag{(47)}
\lambda^{2}(\epsilon),\quad
\lambda^{2}(2\epsilon),\quad
\lambda^{2}(3\epsilon), \ldots,\quad
\lambda^{2}(m\epsilon).
\]

Remarquons que, si l'on remplace~$\epsilon$ par~$a\epsilon$, $a$~étant un nombre entier
premier avec~$n$, ces $m$~racines se reproduisent dans un autre ordre.

\Paragraph{387.} Cela posé, appelons~$\xi$ une fonction symétrique et rationnelle
des $m$~quantités de la suite~\Eq{(47)}, et concevons que dans cette fonction
on remplace les quantités $\lambda^{2}(2\epsilon), \lambda^{2}(3\epsilon), \ldots, \lambda^{2}(m\epsilon)$ par leurs expressions
rationnelles à l'aide de~$k^{2}$ et de~$\lambda^{2}(\epsilon)$\DPchg{,}{;} d'après les formules relatives
à la multiplication de l'argument, $\xi$~sera une fonction rationnelle
de~$k^{2}$ et de~$\lambda^{2}(\epsilon)$, que nous désignerons par~$F\bigl[\lambda^{2}(\epsilon)\bigr]$. Supposons que,
dans l'expression de la fonction~$\xi$, on remplace~$\epsilon$ par~$a\epsilon$, $a$~étant un
nombre entier, positif, inférieur ou égal à~$m$; comme nous venons de le
remarquer, les $m$~quantités de la suite~\Eq{(47)} se permutent, et, par conséquent,
la fonction symétrique~$\xi$ de ces $m$~quantités conserve la même
valeur; on aura donc
\[
F\bigl[\lambda^{2}(a\epsilon)\bigr] = F\bigl[\lambda^{2}(\epsilon)\bigr].
\]
Ainsi, la fonction~$F(x^{2})$ jouit de cette propriété de conserver la même
valeur, quand on y remplace~$x^{2}$ par l'une quelconque des $m$~racines
d'une même suite. La fonction~$\xi$ est donc égale à la moyenne arithmétique
des valeurs de la fonction~$F$, portant successivement sur les $m$~racines
de la suite, et l'on~a
\[
\xi = \frac{1}{m} \sum_{p=1}^{p=m} F\bigl[\lambda^{2}(p\epsilon)\bigr].
\]
\DPPageSep{609.png}{601}

La quantité~$\epsilon$ ayant $n + 1$~valeurs différentes, la fonction~$\xi$ a elle-même
$n + 1$~valeurs différentes, une pour chaque suite. La somme de
ces $n + 1$~valeurs de~$\xi$, savoir $\dfrac{1}{m} \sum\sum F(x^{2})$, est une fonction symétrique
et rationnelle des $m(n + 1)$~racines de l'équation $P_{1} = 0$; elle s'exprimera
donc rationnellement au moyen des coefficients de cette équation,
c'est-à-dire au moyen de~$k^{2}$.

Toute autre fonction symétrique et rationnelle des $m$~quantités de la
suite~\Eq{(47)} jouira des mêmes propriétés; elle aura $n + 1$~valeurs, dont
la somme s'exprimera rationnellement au moyen de~$k^{2}$. Telles sont les
fonctions $\xi^{2}, \xi^{3}, \ldots$. On en conclut que les coefficients $A_{1}, A_{2}, \ldots,
A_{n+1}$ de l'équation
\[
\Tag{(48)}
\xi^{n+1} + A_{1} \xi^{n} + A_{2} \xi^{n-1}
  + \DPtypo{,}{}\ldots\DPtypo{,}{} + A_{n+1} = 0,
\]
du degré~$n + 1$, qui admet pour racines les $n + 1$~valeurs de~$\xi$, sont
des fonctions rationnelles de~$k^{2}$.

Une autre fonction symétrique et rationnelle~$\eta$ des quantités de la
suite~\Eq{(47)} satisfera à une équation analogue à la précédente; mais, comme
à chaque système de valeurs de~$k^{2}$ et de~$\xi$ correspond une seule valeur
de~$\eta$, on conclut, d'après un raisonnement pareil à celui du \no{182},
que~$\eta$ s'exprimera rationnellement au moyen de~$k^{2}$ et de~$\xi$.

\Paragraph{388.} Considérons maintenant l'équation
\[
\Tag{(49)}
u^{m} - B_{1} u^{m-1} + B_{2} u^{m-2}
  - \DPtypo{,}{}\ldots\DPtypo{,}{} ± B_m = 0
\]
du degré~$m$, dont les racines sont les $m$~quantités de la suite~\Eq{(47)}.
D'après ce que nous venons de dire, les coefficients $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{m}$ de
l'équation, étant des fonctions symétriques et rationnelles de ces quantités,
s'expriment rationnellement au moyen de~$k^{2}$ et de~$\xi$.

Cette dernière équation peut être résolue par la méthode d'Abel.
Appelons, en effet, $\alpha$~une racine de l'équation binôme $x^{m} = 1$, et $r$~un
nombre entier, inférieur à~$n$, et qui soit racine primitive de ce nombre
premier~$n$. Puisque $r^{n-1}$~ou~$r^{2m}$ donne le résidu~$1$ par rapport au diviseur~$n$,
$r^{m}$~donnera le résidu~$-1$; il en résulte que les puissances
$r^{0}, r^{1}, r^{2}, \ldots, r^{m-1}$ donnent pour résidus les $m$~premiers nombres
\DPPageSep{610.png}{602}
$1, 2, \ldots, m$, affectés chacun de l'un des signes $+$~ou~$-$; d'après cela,
les $m$~quantités de la suite~\Eq{(47)} seront représentées par la formule
$x^{2} = \lambda^{2}(r^{s}\epsilon)$, dans laquelle on attribue à l'exposant~$s$ les $m$~valeurs
$0, 1, 2, \ldots, m-1$.

La fonction
\[
\Tag{(50)}
\scrR(\epsilon, \alpha)
  = \sum_{s=0}^{s=m-1} \alpha^{s} \lambda^{2}(r^{s}\epsilon)
\]
satisfaisant à la relation
\[
\scrR(r\epsilon) = \alpha^{-1} \scrR(\epsilon),
\]
la fonction $f(\epsilon) = \bigl[\scrR(\epsilon)\bigr]^{m}$ satisfait à la relation
\[
f(r\epsilon) = f(\epsilon).
\]
Si l'on remplace les quantités~$\lambda^{2}(r^{s}\epsilon)$ par leurs expressions rationnelles
au moyen de~$k^{2}$ et de~$\lambda^{2}(\epsilon)$, comme nous avons fait précédemment, la
fonction~$\scrR(\epsilon)$ deviendra une fonction rationnelle de~$k^{2}$ et de~$\lambda^{2}(\epsilon)$: il en
sera de même de la fonction~$f(\epsilon)$; nous désignerons cette dernière fonction,
ainsi transformée, par~$\psi\bigl[\lambda^{2}(\epsilon)\bigr]$. A cause de la relation $f(r^{s}\epsilon) = f(\epsilon)$,
la fonction~$\psi$ conserve la même valeur quand on y remplace la racine
$\lambda^{2}(\epsilon)$ par une autre racine quelconque $\lambda^{2}(r^{s}\epsilon)$ de la suite~\Eq{(47)}. La fonction~$f(\epsilon)$
est donc égale à la moyenne arithmétique des valeurs de la
fonction~$\psi$ portant successivement sur les $m$~racines de la suite, et l'on~a
\[
f(\epsilon)
  = \frac{1}{m} \sum_{s=0}^{s=m-1} \psi\bigl[\lambda^{2}(r^{s} \epsilon)\bigr].
\]
Le second membre, étant une fonction symétrique des racines de l'équation~\Eq{(49)},
s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients
de cette équation: ce sera donc une fonction rationnelle~$M$ de~$k^{2}$ et de~$\xi$.
On en déduit
\[
\Tag{(51)}
\scrR(\epsilon, \alpha)
  = \sum_{s=0}^{s=m-1} \alpha^{s}\lambda^{2}(r^{s} \epsilon) = \sqrt[m]{M}.
\]

A chaque racine de l'équation binôme $x^{m} = 1$ correspond une équation
\DPPageSep{611.png}{603}
analogue à la précédente. Le second membre de l'équation qui se
rapporte à la racine $\alpha = 1$ est égal à la somme des racines de l'équation~\Eq{(49)},
c'est-à-dire à~$B_{1}$. En ajoutant membre à membre les
$m$~équations ainsi obtenues, on arrive à la formule
\[
\Tag{(52)}
u = x^{2} = \lambda^{2}(\epsilon) = \frac{1}{m} (B_{1} + \Sum \sqrt[m]{M}),
\]
qui renferme $m - 1$~radicaux.

On ramène ces radicaux à un seul en observant que, si $\alpha$~est une
racine primitive de l'équation binôme $x^{m} = 1$, l'expression
\[
\scrR(\epsilon, \alpha)^{m-s} \scrR(\epsilon, \alpha^{s})
\]
est une fonction symétrique des racines de l'équation~\Eq{(49)} et, par
conséquent, une fonction rationnelle de~$k^{2}$ et de~$\xi$.

Ainsi, la résolution de l'équation $P_{1} = 0$ du degré~$m(n + 1)$, par
rapport à l'inconnue~$x^{2}$, est ramenée à la résolution d'une équation~\Eq{(48)}
du degré~$n + 1$ par rapport à une inconnue auxiliaire~$\xi$, de telle sorte
que les valeurs de~$x^{2}$ s'expriment par des radicaux à l'aide des
$n + 1$~valeurs de~$\xi$.

\Paragraph{389.} Étant donnée une fonction elliptique $\lambda(z, k)$, dont le multiplicateur
est égal à l'unité, nous avons vu (\no{363}) que la division par
un nombre impair et premier~$n$ de l'une quelconque des périodes
définies par les relations~\Eq[360]{(41)} du \no{360} donne $n + 1$~fonctions différentes,
savoir: la fonction $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ et les $n$~fonctions $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}\right)$,
$t$~recevant $n$~valeurs entières consécutives. Si l'on désigne, comme précédemment,
par~$\epsilon$ l'une des $n + 1$~quantités $\dfrac{\omega}{n}, \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}$, on déterminera
le module~$k_{1}$ et le multiplicateur~$g_{1}$ de ces diverses fonctions
par les formules
\[
\Tag{(53)}
\sqrt{k_{1}} = \sqrt{k^{n}} \prod_{p=1}^{p=m}
  \frac{1 - \lambda^{2}(p\epsilon)}{1 - k^{2}\lambda^{2}(p\epsilon)},\quad
g_{1} = ±\prod_{p=1}^{p=m}
  \frac{\lambda^{2}(p\epsilon) \bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(p \epsilon)\bigr]}
       {1 - \lambda^{2}(p\epsilon)},
\]
établies aux \nos~\nref{349}~et~\nref{351}. Le carré~$k_{1}^{2}$ du module~$k_{1}$, étant une fonction
\DPPageSep{612.png}{604}
symétrique et rationnelle des $m$~quantités de la suite~\Eq{(47)} et ayant
$n + 1$~valeurs, satisfait à une équation du degré~$n + 1$, dont les coefficients
sont des fonctions rationnelles de~$k^{2}$. On pourra s'en servir
comme d'une inconnue auxiliaire pour résoudre l'équation~\Eq{(49)}. Le
multiplicateur~$g_{1}$, qui est aussi égal à une fonction symétrique et
rationnelle des quantités de la suite~\Eq{(47)}, s'exprimera rationnellement
au moyen de $k^{2}$~et~$k_{1}^{2}$. Les polynômes $\scrP$~et~$\scrP_{1}$, $\scrP'$~et~$\scrP'_{1}$, entiers par rapport
à la fonction donnée~$\lambda(z, k)$, et à l'aide desquels on obtient les
fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$, $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}\right)$, ont pour coefficients des
fonctions symétriques et rationnelles des mêmes quantités; ces coefficients
s'exprimeront rationnellement au moyen de $k^{2}$~et~$k_{1}^{2}$.

\DPPageSep{613.png}{605}

\Livre{VIII}{Transformation}

\Chapitre{Premier}{Formules de Transformation}

\Paragraph{390.} Dans le \Ref{6.1}{Chapitre~I du Livre~VI}, nous nous sommes proposé,
étant donné un polynôme~$Y$ du quatrième degré en~$y$, de trouver une
fonction rationnelle~$y$ de~$x$, telle que l'expression différentielle~$\dfrac{dy}{\sqrt{Y}}$ se
transforme en une autre~$\dfrac{dx}{\sqrt{X}}$, $X$~étant un polynôme du quatrième degré
en~$x$, et nous avons examiné spécialement les transformations qui
donnent au nouveau polynôme~$X$ la forme canonique $(1 - x^{2})(1 - k^{2}x^{2})$.
Supposons maintenant que les polynômes $X$~et~$Y$ aient tous deux la
forme canonique, et considérons l'équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{dy}{g_{1} \sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k_{1}^{2}y^{2})}}
  = \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2})}}.
\]
Si l'on y joint la condition initiale $y = y_{0}$ pour $x = 0$, cette équation
définit une fonction~$y$ de~$x$. On donne le module~$k$; lorsque les deux
quantités $g_{1}$~et~$k_{1}$ sont prises arbitrairement, la fonction~$y$ de~$x$ est, en
général, transcendante. Abel s'est proposé de rechercher dans quels
cas $y$~est une fonction algébrique de~$x$, et de la déterminer (\textit{\OE{}uvres
complètes}).
\DPPageSep{614.png}{606}

Désignons, pour abréger, par~$\Delta x$ le second radical, par~$\Delta_{1}y$ le premier,
et posons
\[
z = \int_{0}^{x} \frac{dx}{\Delta x}
  = \int_{y_{0}}^{y_{1}} \frac{dy}{g_{1}\, \Delta_{1}y},\quad
\alpha = \int_{0}^{y_{0}} \frac{dy}{g_{1}\, \Delta_{1}y},
\]
d'où
\[
z + \alpha = \int_{0}^{y} \frac{dy}{g_{1}\, \Delta_{1}y},
\]
nous aurons
\[
\Tag{(2)}
x = \lambda(z, 1, k),\quad
y = \lambda(z + \alpha, g_{1}, k_{1}).
\]

Soit $(2\omega, \omega')$ un couple de périodes elliptiques de la fonction~$x$,
dont le module est~$k$ et le multiplicateur égal à l'unité, $(2\omega_{1}, \omega'_{1})$~un
couple de périodes elliptiques de la fonction~$y$, dont le module est~$k_{1}$
et le multiplicateur~$g_{1}$. A une valeur de~$x$ correspondent les deux
séries de valeurs de~$z$ représentées par les formules $z + 2m\omega + m'\omega'$,
$\omega - z + 2m\omega + m'\omega'$, où $m$~et~$m'$ sont des nombres entiers quelconques;
pour qu'à ces valeurs correspondent un nombre fini de valeurs de~$y$, il
est nécessaire que certains multiples de~$2\omega$ et de~$\omega'$ soient respectivement
égaux à des sommes de multiples de~$2\omega_{1}$ et de~$\omega'_{1}$, et, par conséquent,
que les réseaux construits sur les deux couples de périodes aient
un réseau de sommets communs (\no{175}). On doit donc avoir entre
ces deux couples de périodes des relations de la forme
\begin{alignat*}{4}
  2\Omega &= 2a \omega &&+ b \omega'
  &&= 2a_{1} \omega_{1} &&+ b_{1} \omega'_{1}, \\
  \Omega' &= 2a'\omega &&+ b'\omega'
  &&= 2a'_{1}\omega_{1} &&+ b'_{1} \omega'_{1},
\end{alignat*}
$a, b, \ldots$ étant des nombres entiers, et $2\Omega, \Omega'$ les périodes d'un réseau
formé de tous les sommets communs. Nous avons vu (\no{177}) que,
réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, les variables~$x$
et~$y$ sont liées par une équation algébrique du degré~$2N_{1}$ par rapport
à~$x$ et du degré~$2N$ par rapport à~$y$, $N$~et~$N_{1}$ étant les déterminants
$±(ab' - ba')$, $±(a_{1}b'_{1} - b_{1}a'_{1})$. Les coefficients de~$i$ dans les deux
rapports $\dfrac{\omega'}{\omega}, \dfrac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}$ étant positifs, les deux déterminants ont le même
signe; on peut les supposer positifs.

Nous avons démontré (\no{176}) que, lorsque deux réseaux $(2\omega, \omega')$,
\DPPageSep{615.png}{607}
$(2\omega_{1}, \omega'_{1})$ admettent un réseau de sommets communs, il existe un
réseau $(2\epsilon, \epsilon')$ auquel appartiennent tous les sommets des deux réseaux
proposés, de sorte que l'on~a
\begin{alignat*}{4}
2\omega &= 2p\epsilon &&+ q\epsilon',\quad &
2\omega_{1} &= 2p_{1}\epsilon &&+ q_{1}\epsilon', \\
%
\omega' &= 2p'\epsilon &&+ q'\epsilon',\quad &
\omega'_{1} &= 2p'_{1}\epsilon &&+ q'_{1}\epsilon',
\end{alignat*}
$p, q, \ldots$ étant des nombres entiers, et, quand la maille de ce réseau $(2\epsilon, \epsilon')$
est la plus grande possible, les déterminants $pq' - qp'$, $p_{1}q'_{1} - q_{1}p'_{1}$
sont égaux respectivement à~$N_{1}$ et à~$N$. En vertu du théorème du \no{179},
la relation qui existe entre les deux fonctions paires $\lambda \left(\dfrac{\epsilon}{2} + z, \epsilon, \epsilon'\right)$,
$\lambda \left(\dfrac{\omega}{2} + z, \omega, \omega'\right)$ est du premier degré par rapport à la première et du
degré~$N_{1}$ par rapport à la seconde; il en résulte que la fonction
$u = \lambda \left(\dfrac{\epsilon - \omega}{2} + z, \epsilon, \epsilon'\right)$ est égale à une fraction rationnelle du degré~$N_{1}$
par rapport à la fonction $x = \lambda(z, \omega, \omega')$. De même, la fonction
$v = \lambda \left(\dfrac{\epsilon - \omega_{1}}{2} + z + \alpha, \epsilon, \epsilon'\right)$ est égale à une fraction rationnelle du
degré~$N$ par rapport à la fonction $y = \lambda(z + \alpha, \omega_{1}, \omega'_{1})$. Désignons
par $k_{2}$~et~$g_{2}$ le module et le multiplicateur de la fonction~$\lambda(z, \epsilon, \epsilon')$; si
l'on pose $\zeta = \dfrac{\epsilon - \omega}{2} + z$, $\alpha' = \dfrac{\omega - \omega_{1}}{2} + \alpha$, on~a
\[
u = \lambda(\zeta, \epsilon, \epsilon'),\quad
v = \lambda(\zeta + \alpha', \epsilon, \epsilon'),
\]
d'où
\[
\Tag{(3)}
v = \frac{u\, \Delta_{2} h + h\, \Delta_{2} u}{1 - k_{2}^{2} h^{2} u^{2}},
\]
en appelant~$h$ la constante $\lambda(\alpha', \epsilon, \epsilon')$. Telle est la forme sous laquelle on
peut mettre la relation algébrique qui existe entre $x$~et~$y$; le premier
membre est une fonction rationnelle de~$y$, le second membre une fonction
rationnelle de~$x$ et d'un radical carré portant sur un polynôme
entier en~$x$. Le problème d'Abel revient ainsi à la recherche des fonctions
rationnelles~$u$ de~$x$ et~$v$ de~$y$, satisfaisant aux équations différentielles
\[
\frac{du}{g_{2}\, \Delta_{2} u} = \frac{dx}{\Delta x},\quad
\frac{dv}{g_{2}\, \Delta_{2} v} = \frac{dy}{g_{1}\, \Delta_{1} y}.
\]
\DPPageSep{616.png}{608}
Dans la première équation, on donne~$k$, et il faut déterminer $g_{2}, k_{2}$ et
la fonction~$u$ de~$x$; dans la seconde, $g_{2}$~et~$k_{2}$ étant connus, il faut déterminer
$g_{1}, k_{1}$ et la fonction~$v$ de~$y$.

\Paragraph{391.} Ordinairement, on donne le nom de \emph{transformation} à la résolution
de cette question particulière: trouver une fonction rationnelle~$y$
de~$x$ qui satisfasse à l'équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{dy}{g_{1} \sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k_{1}^{2} y^{2})}}
  = \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2} x^{2})}},
\]
dans laquelle le module~$k$ est connu, et les deux constantes $g_{1}$~et~$k_{1}$
inconnues. Jacobi a donné, en même temps qu'Abel, la solution de ce
problème (\textit{Fundamenta nova}).

En désignant par~$\alpha$ une constante, nous avons vu que $x$~et~$y$ sont
des fonctions elliptiques d'une même variable auxiliaire~$z$,
\[
\Tag{(2)}
x = \lambda(z, 1, k),\quad
y = \lambda(z + \alpha, g_{1}, k_{1}),
\]
et nous avons appelé $(2\omega, \omega')$ un couple de périodes elliptiques de la
première, $(2\omega_{1}, \omega'_{1})$~un couple de périodes elliptiques de la seconde.
Pour que l'équation entre $x$~et~$y$ soit du premier degré par rapport
à~$y$, il est nécessaire, d'abord, que le nombre~$N$ soit égal à~$1$ et, par
conséquent, que les deux réseaux $(2\omega, \omega')$, $(2\Omega, \Omega')$ coïncident; on
doit donc avoir
\[
\Tag{(4)}
2\omega = 2a\omega_{1} + b\omega'_{1},\quad
\omega' = 2a'\omega_{1} + b'\omega'_{1}.
\]
A une valeur de~$x$ correspondent deux valeurs $z$~et~$\omega - z$ de la variable~$z$;
il faut que les deux valeurs correspondantes de~$y$, savoir:
\[
\lambda(z + \alpha, \omega_{1}, \omega'_{1}),\quad
\lambda\bigl[\omega + 2\alpha - (z + \alpha), \omega_{1}, \omega'_{1}\bigr],
\]
soient égales, ce qui exige que la constante~$\alpha$ soit de la forme
\[
\Tag{(5)}
\alpha = -(a - 1) \frac{\omega_{1}}{2} - b \frac{\omega'_{1}}{4}
  + p \omega_{1} + q \frac{\omega'_{1}}{2},
\]
$p$~et~$q$ étant des nombres entiers. Quand ces conditions sont remplies,
\DPPageSep{617.png}{609}
$y$~est égal à une fonction rationnelle de~$x$; le déterminant positif
$n = ab' - ba'$ indique le degré des polynômes entiers qui composent
la fraction, ou du moins le degré de celui des deux polynômes qui est
du degré le plus élevé; c'est ce qu'on appelle le \emph{degré de la transformation}.

\Paragraph{392.} Nous ferons d'abord quelques remarques qui abrégeront la
discussion:

\Primo~L'équation différentielle renferme les modules $k$~et~$k_{1}$ seulement au
carré; par conséquent, si, dans une solution du problème de la transformation,
on remplace~$k$ par~$-k$ ou $k_{1}$ par~$-k_{1}$, on obtient une autre
solution de la même équation différentielle.

\Secundo~L'équation différentielle ne change pas quand on y remplace~$x$
par~$-x$ ou $y$ par~$-y$, et en même temps $g_{1}$ par~$-g_{1}$, le module~$k_{1}$
restant le même. Elle ne change pas non plus lorsqu'on remplace~$x$
par~$\dfrac{1}{kx}$ ou $y$ par~$\dfrac{1}{k_{1}y}$, et $g_{1}$ par~$±g_{1}$, le module~$k_{1}$ restant encore le
même. Si donc on opère l'une de ces substitutions dans une des solutions
du problème de la transformation, on aura une autre solution
de la même équation différentielle.

\Tertio~Les diverses valeurs du module cherché~$k_{1}$, qui, dans les transformations
du même degré, correspondent à une même valeur de~$k$,
sont réciproques deux à deux; car, si une fonction rationnelle~$y$ de~$x$
satisfait à l'équation~\Eq{(1)}, la fonction $y' = k_{1}y$ du même degré satisfait
à l'équation différentielle de même forme
\[
\Tag{(6)}
\frac{dy'}{g_{1} k_{1}
           \sqrt{(1 - y'^{2}) \left(1 - \dfrac{1}{k_{1}^{2}} y'^{2}\right)}}
  = \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2} x^{2})}},
\]
dans laquelle le nouveau module est~$\dfrac{1}{k_{1}}$ et le nouveau multiplicateur~$g_{1}k_{1}$;
c'est une autre solution du problème de la transformation.

De même, si l'on pose $x = \dfrac{x'}{k}$, l'équation~\Eq{(1)} devient
\[
\Tag{(7)}
\frac{dy}{\dfrac{g_{1}}{k} \sqrt{(1 - y^{2}) (1 - k_{1}^{2} y^{2})}}
  = \frac{dx'}{\sqrt{(1 - x'^{2}) \left(1 - \dfrac{1}{k^{2}} x'^{2}\right)}}.
\]
\DPPageSep{618.png}{610}
D'après cela, si l'on considère les transformations relatives aux équations
\Eq{(1)}~et~\Eq{(7)}, dans lesquelles le module donné a des valeurs réciproques,
les valeurs du module cherché~$k_{1}$ seront les mêmes; mais il est
clair que, si, dans les solutions de la première équation, on remplace
simplement $k$ par~$\dfrac{1}{k}$, on obtient celles de la seconde; comme on revient
de celle-ci à la première en remplaçant~$x'$ par~$kx$, il en résulte que,
si, dans une solution de l'équation~\Eq{(1)}, on remplace~$k$ par~$\dfrac{1}{k}$ et $x$ par~$kx$,
on obtient une autre solution de la même équation.

\Paragraph{393.} Nous distinguerons plusieurs cas dans le problème de la transformation,
suivant que les nombres entiers $a$~et~$b$ sont pairs ou
impairs.

\Case{Premier cas:}{$a$~impair, $b$~pair.} Les valeurs de~$\alpha$ sont de la forme
$p' \omega_{1} + q' \dfrac{\omega'_{1}}{2}$; elles se réduisent aux quatre valeurs $0, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{2}, \omega_{1} + \dfrac{\omega'_{1}}{2}$;
les deux premières donnent des fonctions~$y$ égales et de signes contraires,
et de même les deux dernières; aux deux valeurs $\alpha = 0$, $\alpha = \dfrac{\omega'_{1}}{2}$
correspondent des fonctions qui se déduisent l'une de l'autre par la
substitution~$\dfrac{1}{k_{1}y}$, le module~$k_{1}$ restant le même; on pourra donc se
borner à l'hypothèse $\alpha = 0$. Quand on aura trouvé les transformations
qui s'y rapportent, on en déduira les autres par les substitutions $-y$
et~$±\dfrac{1}{k_{1}y}$.

\Case{Deuxième cas:}{$a$~pair, $b$~impair.} Les valeurs de~$\alpha$ sont de la
forme $(2p' + 1) \dfrac{\omega_{1}}{2} + (2q' + 1) \dfrac{\omega'_{1}}{4}$; elles se réduisent aux quatre valeurs
$±\dfrac{\omega_{1}}{2} ± \dfrac{\omega'_{1}}{4}$; il suffira de chercher les transformations fournies
par l'hypothèse $\alpha = \dfrac{\omega_{1}}{2} + \dfrac{\omega'_{1}}{4}$; les autres s'en déduiront par les substitutions
$-y, ±\dfrac{1}{k_{1}y}$.

\Case{Troisième cas:}{$a$~et~$b$ impairs.} Les valeurs de~$\alpha$ sont de la forme
$p' \omega_{1} + (2q' + 1) \dfrac{\omega'_{1}}{4}$; il suffira de considérer l'hypothèse $\alpha = \dfrac{\omega'_{1}}{4}$. Mais
\DPPageSep{619.png}{611}
nous remarquons que ce troisième cas donne les mêmes transformations
que le précédent; car, si l'on met les relations~\Eq{(4)} sous la forme
$2\omega = 2(a - b) \omega_{1} + b (2\omega_{1} + \omega'_{1})$, $\omega' = 2(a' - b') \omega_{1} + b' (2\omega_{1} + \omega'_{1})$,
le \DPtypo{nouvau}{nouveau} coefficient $a - b$ devient pair; les fonctions de transformation
$\lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1})$, $\lambda(z, \omega_{1}, 2\omega_{1} + \omega'_{1})$, sont égales et ont des modules
égaux et de signes contraires.

\Case{Quatrième cas:}{$a$~et~$b$ pairs.} Les valeurs de~$\alpha$ sont de la forme
$(2p' + 1) \dfrac{\omega_{1}}{2} + q' \dfrac{\omega'_{1}}{2}$; elles se réduisent aux quatre valeurs $±\dfrac{\omega_{1}}{2},
±\dfrac{\omega_{1}}{2} + \dfrac{\omega'_{1}}{2}$. Il suffira de considérer l'hypothèse $\alpha = \dfrac{\omega_{1}}{2}$.


\Section{Transformations du premier degré}

\Paragraph{394.} Nous nous occuperons d'abord des transformations du premier
degré, ce qui revient à supposer $ab' - ba' = 1$. Le quatrième cas ne
se présentant pas et le troisième rentrant dans le deuxième, il suffit
d'examiner les deux premiers.

\Case{Premier cas:}{$a$~impair, $b$~pair, $\alpha = 0$.} Le nombre~$b'$ est impair.
Soient $a = 2a_{1} + 1$, $b = 2b_{1}$, $b' = 2b'_{1} + 1$; les relations~\Eq{(4)} deviennent
\[
\omega = (2a_{1} + 1) \omega_{1} + b_{1} \omega'_{1},\quad
\omega' = 2a' \omega_{1} + (2b'_{1} + 1) \omega'_{1}.
\]
Les deux fonctions $y = \lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1})$, $x = \lambda(z, \omega, \omega')$, ayant les mêmes
zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant.

\Subcase{\Primo~$b_{1} = 2b_{2}$.} En faisant $z = \dfrac{\omega}{2}$, on trouve que ce rapport est égal
à~$±1$; en faisant $z = \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on trouve $k_{1} = ±k$; on a ainsi la première
transformation
\[
\Tag{(a)}
k_{1} = k,\quad
g_{1} = 1,\quad
y = x,
\]
à laquelle nous joindrons celle que l'on en déduit par la substitution~$-y$,
savoir: $k_{1} = k$, $g_{1} = -1$, $y = -x$. La substitution~$\dfrac{1}{k_{1}y}$ donne la
transformation corrélative
\[
\Tag{(a')}
k_{1} = k,\quad
g_{1} = ±1,\quad
y = \frac{1}{kx},
\]
\DPPageSep{620.png}{612}
à laquelle nous joindrons de même celle qui s'en déduit par la substitution~$-y$,
savoir: $k_{1} = k$, $g_{1} = ±1$, $y = -\dfrac{1}{kx}$.

\Subcase{\Secundo~$b_{1} = 2b_{2} + 1$.} En faisant $z = \dfrac{\omega + \omega'}{2}$, on trouve que le rapport~$\dfrac{y}{x}$
est égal à~$±k$; en faisant ensuite $z = \dfrac{\omega}{2}$, on trouve $k_{1} = ±\dfrac{1}{k}$; on~a
ainsi la seconde transformation
\[
\Tag{(b)}
k_{1} = \frac{1}{k},\quad
g_{1} = k,\quad
y = kx,
\]
et la corrélative
\[
\Tag{(b')}
k_{1} = \frac{1}{k},\quad
g_{1} = ±k,\quad
y = \frac{1}{x},
\]
et celles que l'on en déduit par la substitution~$-y$.

\Case{Deuxième cas:}{$a$~pair, $b$~impair, $\alpha = \dfrac{\omega_{1}}{2} + \dfrac{\omega'_{1}}{4}$.} Soit $y = \dfrac{A + Bx}{1 + Cx}$;
en faisant $z = 0$, on a $x = 0$, $y = \lambda \left(\dfrac{\omega_{1}}{2} + \dfrac{\omega'_{1}}{4}, g_{1}, k_{1}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{k_{1}}}$ (\no{365}),
et par suite $A = \dfrac{1}{\sqrt{k_{1}}}$. Le nombre~$a'$ est impair, mais $b'$~est pair ou
impair.

\Subcase{\Primo~$b'$ pair.} Soient $a = 2a_{1}$, $b = 2b_{1} + 1$, $a' = 2a'_{1} + 1$, $b' = 2b'_{1}$.
Si l'on remplace~$z$ par~$z + \dfrac{\omega'}{2}$, $x$~se change en~$\dfrac{1}{kx}$, $y$~en~$-y$, et l'on
a l'identité
\[
-\frac{A + Bx}{1 + Cx}
  = \frac{A + \dfrac{B}{kx}}{1 + \dfrac{C}{kx}}
  = \frac{\dfrac{B}{C} + \dfrac{A}{C} kx}{1 + \dfrac{k}{C} x},
\]
d'où l'on déduit $C^{2} = k$, $B = -AC$, et la fonction de transformation
devient
\[
y = \frac{1}{\sqrt{k_{1}}}\, \frac{1 - Cx}{1 + Cx}.
\]
Supposons d'abord que les trois nombres $a_{1}, a'_{1}, b'_{1}$ soient pairs; à
\DPPageSep{621.png}{613}
cause de la relation $ab' - ba' = 1$, le nombre~$b_{1}$ sera impair. Pour
$z = \dfrac{\omega}{2}$, on~a
\[
x = 1,\quad
y = \lambda \left(\frac{\omega_{1}}{2}, g_{1}, k_{1}\right) = 1,
\]
et par suite
\[
\sqrt{k_{1}} = \frac{1 - C}{1 + C}.
\]
Faisons maintenant $z = -\dfrac{\omega_{1}}{2} = \dfrac{\omega'_{1}}{4} + z'$, $z'$~ayant une valeur très-petite,
et développons en séries suivant les puissances de~$z'$; en négligeant
les puissances supérieures à la première, nous aurons (\no{365})
\[
y = g_{1}z',\quad
x = \lambda \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\omega'}{4} - z'\right)
  = \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{iz'(1 - k)}{\sqrt{k}},
\]
et par suite
\[
g_{1} \sqrt{k_{1}} \left(1 + \frac{C}{\sqrt{k}}\right) z'
  = 1 - \frac{C}{\sqrt{k}} - \frac{C(1 - k)}{\sqrt{k}} iz';
\]
l'identification donne
\[
C = \sqrt{k},\quad
g_{1} = -\frac{i(1 - k)}{2\sqrt{k_{1}}}.
\]
On obtient ainsi la transformation
\[
\Tag{(c)}
k_{1} = \left(\frac{1 - \sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\right)^{2},\quad
g_{1} = ±\frac{i}{2} (1 + \sqrt{k})^{2},\quad
y = \frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\, \frac{1 - x\sqrt{k}}{1 + x\sqrt{k}}.
\]

Les autres combinaisons de nombres entiers se ramènent à la précédente,
à l'aide des transformations du premier cas. Considérons les
fonctions $y_{1} = \lambda_{1} \left(z + \dfrac{\omega_{1}}{2} + \dfrac{\omega'_{1}}{4}\right)$, $y_{2} = \lambda_{2} \left(z + \dfrac{\omega_{2}}{2} + \dfrac{\omega'_{2}}{4}\right)$, qui correspondent
aux deux couples de périodes définies par les formules
\begin{alignat*}{4}
  2\omega_{1} &= \Neg 2b' \omega &&- b\omega',\quad &
  2\omega_{2} &= \Neg 2b'_{1} \omega &&- b_{1} \omega', \\
%
  \omega'_{1} &= -2a'\omega &&+ a\omega',\quad &
  \omega'_{2} &= -2a'_{1} \omega &&+ a_{1} \omega',
\end{alignat*}
dans lesquelles les nombres homologues $a$~et~$a_{1}$, $b~$et~$b_{1}$, $a'~$et~$a'_{1}$,
\DPPageSep{622.png}{614}
$b'$~et~$b'_{1}$ sont en même temps pairs ou impairs. La quantité
\[
\frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{2} + \frac{\omega'_{2} - \omega'_{1}}{4}
  = \left(\frac{a' - a'_{1}}{2} - \frac{b' - b'_{1}}{2}\right) \omega
  - \left(\frac{a - a_{1}}{2} - \frac{b - b_{1}}{2}\right) \frac{\omega'}{2}
\]
est de la forme $p\omega + q \dfrac{\omega'}{2}$, et par suite de la forme $p_{1} \omega_{2} + q_{1} \dfrac{\omega'_{2}}{2}$, $p, q,
p_{1}, q_{1}$, étant des nombres entiers. Si l'on pose $z = -\dfrac{\omega_{1}}{2} - \dfrac{\omega'_{1}}{4} + z'$, on
aura donc
\[
y_{1} = \lambda_{1}(z'),\quad
y_{2} = \lambda_{2} \left(z' + p_{1} \omega_{2} + q_{1} \frac{\omega'_{2}}{2}\right).
\]
L'expression de~$y_{2}$ en fonction de~$y_{1}$ rentre ainsi dans le premier cas
de la transformation.

En faisant subir à la fonction~\Eq{(c)} la transformation~\Eq{(b)}, on obtient
la nouvelle fonction
\[
\Tag{(d)}
k_{1} = \left(\frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\right)^{2},\quad
g_{1} = ±\frac{i}{2} (1 - \sqrt{k})^{2},\quad
y = \frac{1 - \sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\, \frac{1 - x\sqrt{k}}{1 + x\sqrt{k}},
\]
dont le module est réciproque du précédent. Par la substitution~$\dfrac{1}{k_{1}y}$,
on en déduit les transformations corrélatives
\begin{align*}
\Tag{(c')}
k_{1} &= \left(\frac{1 - \sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 + \sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\, \frac{1 + x\sqrt{k}}{1 - x\sqrt{k}}, \\
%
\Tag{(d')}
k_{1} &= \left(\frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 - \sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 - \sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\, \frac{1 + x\sqrt{k}}{1 - x\sqrt{k}}.
\end{align*}
On a, en outre, les quatre fonctions qui se déduisent des précédentes
par la substitution~$-y$.

\Subcase{\Secundo~$b'$~impair.} Ce cas se ramène au précédent. Si, dans une solution
du problème de la transformation, on remplace~$k$ par~$-k$, il est
clair que l'on obtient une autre solution de la même équation différentielle.
Ceci revient à remplacer $\lambda(z, \omega, \omega')$ par la fonction égale
$\lambda(z, \omega, 2\omega + \omega')$, qui a un module égal à celui de la première et de
signe contraire; mais, si les nombres $b$~et~$b'$ sont impairs, dans les
relations~\Eq{(4)} mises sous la forme
\[
2\omega = 2a\omega_{1} + b\omega'_{1},\quad
2\omega + \omega' = 2(a + a') \omega_{1} + (b + b') \omega'_{1},
\]
\DPPageSep{623.png}{615}
le nouveau coefficient~$b + b'$ est pair. Ainsi les solutions qui se rapportent
au cas actuel se déduisent des précédentes par le changement
de~$k$ en~$-k$; on obtient de la sorte les deux nouvelles transformations
\begin{align*}
\Tag{(e)}
k_{1} &= \left(\frac{1 - i\sqrt{k}}{1 + i\sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 + i\sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 + i\sqrt{k}}{1 - i\sqrt{k}}\,
     \frac{1 - ix\sqrt{k}}{1 + ix\sqrt{k}}, \\
%
\Tag{(f)}
k_{1} &= \left(\frac{1 + i\sqrt{k}}{1 - i\sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 - i\sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 - i\sqrt{k}}{1 + i\sqrt{k}}\,
     \frac{1 - ix\sqrt{k}}{1 + ix\sqrt{k}},
\end{align*}
qui se rapportent à deux modules réciproques, et les deux corrélatives
\begin{align*}
\Tag{(e')}
k_{1} &= \left(\frac{1 - i\sqrt{k}}{1 + i\sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 + i\sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 + i\sqrt{k}}{1 - i\sqrt{k}}\,
     \frac{1 + ix\sqrt{k}}{1 - ix\sqrt{k}}, \\
%
\Tag{(f')}
k_{1} &= \left(\frac{1 + i\sqrt{k}}{1 - i\sqrt{k}}\right)^{2}, &
g_{1} &= ±\frac{i}{2} (1 - i\sqrt{k})^{2}, &
y &= \frac{1 - i\sqrt{k}}{1 + i\sqrt{k}}\,
     \frac{1 + ix\sqrt{k}}{1 - ix\sqrt{k}},
\end{align*}
et, en outre, celles qui s'en déduisent par la substitution~$-y$.


\Section{Transformations d'un degré impair}

\Paragraph{395.} Nous avons vu déjà (\no{393}) que le troisième cas rentre dans
le second. Une transformation du premier degré ramène le second cas
au premier. Si l'on considère, en effet, la fonction $u = \lambda(z, \omega_{2}, \omega'_{2})$,
relative au couple des périodes $2\omega_{2} = \omega'_{1}$, $\omega'_{2} = -2\omega_{1}$ équivalent au
couple $2\omega_{1}, \omega'_{1}$, on remarque que la fonction $y = \lambda(z + \alpha, \omega_{1}, \omega'_{1})$ est
égale à une fonction rationnelle de~$u$ du premier degré; en appelant $k_{2}$
et~$g_{2}$ le module et le multiplicateur de la fonction~$u$, on a, d'après la
formule~\Eq[394]{(c)} du numéro précédent,
\[
k_{1} = \left(\frac{1 -  \sqrt{k_{2}}}{1 + \sqrt{k_{2}}}\right)^{2},\quad
g_{1} = ±\frac{i}{2} g_{2} (1 + \sqrt{k_{2}})^{2},\quad
y = \frac{1 + \sqrt{k_{2}}}{1 - \sqrt{k_{2}}}\,
    \frac{1 - u\sqrt{k_{2}}}{1 + u\sqrt{k_{2}}}.
\]
Mais les relations~\Eq{(4)} deviennent
\[
2\omega = 2b \omega_{2} - a \omega'_{2},\quad
\omega' = 2b' \omega_{2} - a' \omega'_{2};
\]
\DPPageSep{624.png}{616}
le premier coefficient étant actuellement impair, le second pair, l'expression
de~$u$ par une fraction rationnelle en~$x$ rentre dans le premier
cas de la transformation.

Ce premier cas se subdivise en deux, suivant que $b$~est de la forme $4b_{1}$
ou~$4b_{1} + 2$. On ramène le second cas au premier par une autre transformation
du premier degré. Considérons, en effet, la fonction
$u = \lambda(z, \omega_{2}, \omega'_{2})$, relative au couple des périodes $2\omega_{2} = 2\omega_{1} + 2\omega'_{1}$,
$\omega'_{2} = \omega'_{1}$ équivalent au couple $2\omega_{1}, \omega'_{1}$ et désignons par $k_{2}$~et~$g_{2}$ son
module et son multiplicateur; on a, d'après la formule~\Eq{(b)},
\[
k_{1} = \frac{1}{k_{2}},\quad
g_{1} = k_{2} g_{2},\quad
y = k_{2} u.
\]
Les relations~\Eq{(4)} deviennent
\[
2\omega = 2a \omega_{2} + (b - 2a) \omega'_{2},\quad
\omega' = 2a' \omega_{2} + (b' - 2a') \omega'_{2};
\]
le second coefficient est maintenant de la forme~$4b_{1}$. Ainsi les transformations
fournies par les valeurs de~$b$ de la forme~$4b_{1} + 2$ présentent
des modules réciproques de ceux qui se rapportent aux transformations
fournies par les valeurs de~$b$ de la forme~$4b_{1}$.

\Paragraph{396.} Étudions d'abord les transformations d'un degré impair~$n$. Le
quatrième cas ne se présentant pas, il suffit, d'après ce que nous venons
de dire, de supposer $a = 2a_{1} + 1$, $b = 4b_{1}$, $\alpha = 0$, ce qui réduit les
relations~\Eq{(4)} à
\[
\Tag{(8)}
\omega = (2a_{1} + 1) \omega_{1} + 2b_{1} \omega'_{1},\quad
\omega' = 2a' \omega_{1} + b' \omega'_{1};
\]
les quatre nombres entiers qu'elles renferment ne sont assujettis qu'à
la condition
\[
\Tag{(9)}
(2a_{1} + 1)b' - 4b_{1}a' = n.
\]

Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans lesquels les
deux nombres $2a_{1} + 1$~et~$b_{1}$ admettent un même plus grand commun
diviseur~$n'$, qui sera nécessairement un diviseur de~$n$; posons $n = n'n''$,
$2a_{1} + 1 = n'(2a_{2} + 1)$, $b_{1} = n'b_{2}$; la première des relations~\Eq{(8)} devient
\[
\frac{\omega}{n'} = (2a_{2} + 1) \omega_{1} + 2b_{2} \omega'_{1},
\]
\DPPageSep{625.png}{617}
et la condition~\Eq{(9)} se réduit à
\[
\Tag{(10)}
(2a_{2} + 1) b' - 4b_{2} a' = n''.
\]
Les nombres $2a_{2} + 1$~et~$4b_{2}$ étant premiers entre eux, on peut déterminer
deux nombres $a''$~et~$2b'' + 1$ satisfaisant à la relation
\[
\Tag{(11)}
(2a_{2} + 1) (2b'' + 1) - 4b_{2} a'' = 1.
\]
Si l'on pose
\[
\omega'' = 2a'' \omega_{1} + (2b'' + 1) \omega'_{1},
\]
on voit que le couple des périodes $(\omega_{1}, \omega'_{1})$ est équivalent au couple
$\left(\dfrac{\omega}{n}, \omega''\right)$, que les fonctions $\lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1})$, $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n'}, \omega''\right)$, qui ont mêmes
zéros et mêmes infinis, sont égales, ou égales et de signes contraires,
et que leurs modules sont égaux, ou égaux et de signes contraires. Des
relations \Eq{(10)}~et~\Eq{(11)} on déduit
\[
\Tag{(12)}
a' = n''a'' - (2a_{2} + 1) t,\quad
b' = n'' (2b'' + 1) - 4b_{2} t,
\]
$t$~étant un nombre entier. En remplaçant $a''$~et~$2b'' + 1$ par leurs valeurs
tirées de ces dernières relations, on trouve
\[
\omega'' = \frac{\omega'}{n''} + 2t \frac{\omega}{n}
  =  \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{n''},
\]
et l'on arrive à la formule
\[
\Tag{(13)}
y = \lambda \left(z, \frac{\omega}{n'}, \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{n''}\right),
\]
pareille à celle du \no{361}. Mais, ici, la lettre~$t$ désigne un nombre entier
quelconque; car, quel que soit~$t$, en prenant arbitrairement les deux
nombres $2a_{2} + 1$~et~$b_{2}$ premiers entre eux, on déterminera les deux
nombres $2b'' + 1$~et~$a''$ par l'équation~\Eq{(11)}, puis les deux nombres $a'$
et~$b'$ par les équations~\Eq{(12)}; l'équation~\Eq{(10)} en résulte, et par suite
l'équation~\Eq{(9)}. Ainsi, lorsque $n$~est impair, les fonctions représentées
\DPPageSep{626.png}{618}
par la formule~\Eq{(13)}, et celles qu'on en déduit par des transformations
du premier degré, donnent toutes les transformations rationnelles du
degré~$n$.

\Paragraph{397.} Nous avons vu, au \no{363}, que les fonctions données par la formule~\Eq{(13)}
pour $n''$~valeurs consécutives de~$t$ sont, non-seulement différentes,
mais encore que deux d'entre elles ne peuvent être dans un
rapport constant; nous avons vu aussi qu'il en est de même pour celles
qui sont fournies par deux modes de division différents du nombre~$n$.
On en conclut que le nombre des transformations du degré~$n$, du
genre de celles que nous cherchons maintenant, est égal à la somme
des diviseurs de~$n$.

Nous les partagerons en deux classes: celles qui sont données par
les valeurs de~$t$ qui n'ont pas de diviseur commun avec $n'$~et~$n''$, et
celles qui correspondent aux combinaisons dans lesquelles les trois
nombres $n', n'', t$ admettent un plus grand commun diviseur. D'après
ce que nous avons dit au \no{362}, les premières sont égales à
$±\lambda \left(z, \dfrac{\omega_{1}}{n}, \omega'_{1}\right)$ ou à~$±\lambda \left(z, \omega_{1}, \dfrac{\omega'_{1}}{n}\right)$; elles proviennent de la division
par~$n$ de l'une des périodes des couples $(2\omega_{1}, \omega'_{1})$ définis par les formules~\Eq{(41)}
du \no{360}. Considérons maintenant les combinaisons dans
lesquelles le plus grand commun diviseur des trois nombres $n', n'', t$
est égal à~$h$, et soient $n' = hn'_{1}$, $n'' = hn''_{1}$, $n = h^{2} n_{1}$, $t = ht_{1}$; on obtiendra
les fonctions correspondantes
\[
y = \lambda \left(z, \frac{\omega}{hn'_{1}},
  \frac{\omega' + 2t_{1} \dfrac{\omega}{n'_{1}}}{hn''_{1}}\right)
  = \lambda \left(hz, \frac{\omega}{n'_{1}},
    \frac{\omega' + 2t_{1} \dfrac{\omega}{n'_{1}}}{n''_{1}}\right),
\]
en divisant par~$n_{1}$ l'une des périodes des couples $(2\omega_{1}, \omega'_{1})$ et multipliant
ensuite l'argument par~$h$. Cette deuxième classe ne se présente
pas lorsque les exposants des facteurs premiers du nombre~$n$ sont tous
égaux à l'unité.

Lorsque le module donné~$k$ est fini et différent de zéro, les deux périodes
particulières $2\omega, \omega'$, déterminées par des intégrales définies
(\no{221}), ont des valeurs finies différentes de zéro, et leur rapport
est imaginaire; il en est de même des deux périodes de chacune des
\DPPageSep{627.png}{619}
fonctions représentées par la formule~\Eq{(13)}, et, par conséquent, ces
fonctions ont toutes des modules et des multiplicateurs finis et différents
de zéro.

\Paragraph{398.} Nous ferons encore remarquer que les carrés des modules de
deux des fonctions représentées par la formule~\Eq{(13)} ne peuvent être
égaux ou réciproques, quel que soit le module donné~$k$. Cherchons
d'abord la condition pour que deux fonctions elliptiques
\[
\lambda(z, \omega, \omega') = \lambda(gz, k),\quad
\lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1}) = \lambda(g_{1}z, k_{1})
\]
aient leurs modules égaux, ou égaux et de signes contraires. Si l'on
avait $k_{1} = ±k$, les deux fonctions
\[
\Tag{(14)}
\lambda(z, \omega, \omega') = \lambda(gz, k),\quad
%[** TN: Small parentheses in original]
\lambda \left(z, \frac{g_{1}}{g} \omega_{1}, \frac{g_{1}}{g} \omega'_{1}\right)
  = \lambda(gz, k_{1}),
\]
seraient égales, et leurs périodes satisferaient à des relations de la
forme
\[
\Tag{(15)}
\frac{g_{1}}{g} \omega_{1} = (4a + 1) \omega + 2b \omega',\quad
\frac{g_{1}}{g} \omega'_{1} = 2a' \omega + (4b' + 1) \omega',
\]
avec la condition $(4a + 1)(4b' + 1) - 4ba' = 1$. En désignant par $\rho$~et~$\rho_{1}$
les rapports $\dfrac{\omega'}{\omega}, \dfrac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}$, on aurait
\[
\Tag{(16)}
\rho_{1} = \frac{2a' + (4b' + 1) \rho}{(4a + 1) + 2b \rho}.
\]

Cette condition est suffisante; car, lorsqu'elle est remplie, on peut
déterminer la quantité~$\dfrac{g_{1}}{g}$, de manière que les équations~\Eq{(15)} soient
vérifiées; les deux fonctions~\Eq{(14)} sont égales, et l'on a $k_{1} = ±k$.

Si l'on avait $k_{1} = ±\dfrac{1}{k}$, puisque la fonction $\lambda(z, \omega_{1} - \omega'_{1}, \omega'_{1})$ est
égale à $\lambda \left(g_{1} k_{1} z, \dfrac{1}{k_{1}}\right)$, la fonction
\[
\lambda \left[z, \frac{g_{1} k_{1}}{g} (\omega_{1} - \omega'_{1}),
                 \frac{g_{1} k_{1}}{g} \omega'_{1}\right]
  = \lambda \left(gz, \frac{1}{k_{1}}\right)
\]
\DPPageSep{628.png}{620}
serait égale à la première des fonctions~\Eq{(14)}, et l'on arriverait à la condition
\[
\Tag{(17)}
\frac{\rho_{1}}{1 - \rho_{1}}
  = \frac{2a' + (4b' + 1) \rho}{(4a + 1) + 2b \rho}.
\]

Considérons maintenant deux des fonctions~\Eq{(13)}, savoir
\[
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n'},
  \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'\vphantom{n'_{1}}}}{n''}\right),\quad
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n'_{1}}, \frac{\omega' + 2t_{1} \dfrac{\omega}{n'_{1}}}{n''_{1}}\right).
\]
Pour que leurs modules fussent égaux, ou égaux et de signes contraires,
quel que soit le module donné~$k$, il faudrait que la condition
\[
\frac{2t_{1} + n'_{1} \rho}{n''_{1}}
  = \frac{2\bigl[a'n'' + (4b' + 1) t\bigr] + (4b' + 1) n'\rho}
         {\bigl[(4a + 1) n'' + 4bt\bigr] + 2bn' \rho}
\]
fût vérifiée, quel que soit~$\rho$, ce qui ne peut avoir lieu que si $b = 0$, et,
par suite, $a = b' = 0$, $n'_{1} = n'$, $n''_{1} = n''$, $t_{1} = t + a'n''$; et alors les
deux fonctions seraient égales. Pour que les carrés des modules fussent
réciproques, il faudrait que la condition
\[
\frac{2t_{1} + n'_{1} \rho}{(n''_{1} - 2t_{1}) - n'_{1} \rho}
  = \frac{2\bigl[a'n'' + (4b' + 1) t\bigr] + (4b' + 1) n'\rho}
         {\bigl[(4a + 1) n'' + 4bt\bigr] + 2bn' \rho}
\]
fût vérifiée, quel que soit~$\rho$, ce qui est impossible, puisqu'on ne peut
avoir $4b' + 1 = -2b$.

\Paragraph{399.} Il est facile de vérifier que les fonctions dont nous venons de
parler satisfont bien aux conditions qui servent de base à la méthode
de Jacobi (\no{260}). Considérons, par exemple, la fonction (\no{349})
\[
y = \lambda \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  = g_{1} \frac{x \scrP_{1}}{\scrP};
\]
on a ici
\[
Y = g_{1}^{2} (1 - y)(1 + y)(1 - k_{1} y) (1 + k_{1} y),
\]
et, après la substitution,
\[
\sqrt{Y} = \frac{g_{1}}{\scrP^{2}}
  \sqrt{(\scrP - g_{1} x \scrP_{1})
        (\scrP + g_{1} x \scrP_{1})
        (\scrP - g_{1} k_{1} x \scrP_{1})
        (\scrP + g_{1} k_{1} x \scrP_{1})}.
\]
\DPPageSep{629.png}{621}
D'après les identités \Eq[380]{(20)}~ou~\Eq[380]{\DPtypo{(20)'}{(20')}} du \no{380}, chacun des quatre
binômes placés sous le radical est égal au produit d'un facteur du premier
degré en~$x$ par un polynôme carré parfait; on a donc
\[
\sqrt{Y} = \frac{g_{1} M}{\scrP^{2}} \sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2} x^{2})},
\]
$M$~étant un polynôme entier en~$x$ du degré~$2n - 2$.

Il en est de même des transformations relatives à la multiplication
de l'argument. Soit $y = \lambda(nz) = \dfrac{xP_{1}}{P}$ (\no{332}); on~a
\[
Y = n^{2} (1 - y) (1 + y) (1 - ky) (1 + ky),
\]
après la substitution
\[
\sqrt{Y} = \frac{n}{P^{2}}
  \sqrt{(P - xP_{1}) (P + xP_{1}) (P - kxP_{1}) (P + kxP_{1})},
\]
et, en vertu des identités \Eq[372]{(3)}~ou~\Eq[372]{\DPtypo{(3)'}{(3')}} du \no{372},
\[
\sqrt{Y} = \frac{nM}{P^{2}} \sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2} x^{2})},
\]
$M$~étant un polynôme entier en~$x$ du degré~$2n^{2} - 2$.


\Section{Transformations d'un degré pair}

\Paragraph{400.} Étudions maintenant les transformations d'un degré pair. Soit
$n = 2^{h} n_{1}$, $n_{1}$~étant impair. Les trois premiers cas de la transformation
se ramènent, comme nous l'avons dit au \no{395}, à celui où $a = 2a_{1} + 1$,
$b = 4b_{1}$, $\alpha = 0$. Considérons les systèmes de nombres entiers satisfaisant
à la relation~\Eq{(9)}, et dans lesquels les deux nombres entiers
$2a_{1} + 1$~et~$b_{1}$ admettent un même plus grand commun diviseur~$n'$, qui
sera nécessairement impair et diviseur de~$n_{1}$; en posant $n_{1} = n'n''$ et
raisonnant comme précédemment, on arrivera à la formule
\[
\Tag{(18)}
y = \lambda \left(z, \frac{\omega}{n}, \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{n'}}{2^{h} n''}\right),
\]
\DPPageSep{630.png}{622}
dans laquelle $t$~désigne un nombre entier quelconque. A chaque diviseur~$n''$
de~$n_{1}$ correspondent ainsi $2^{h}n''$~fonctions~$y$, et, par conséquent,
le nombre des transformations rationnelles de cette sorte est égal à la
somme des diviseurs de~$n_{1}$ multipliée par~$2^{h}$.

Il nous reste à examiner le quatrième cas de la transformation, celui
où les deux nombres $a$~et~$b$ sont pairs et $\alpha = \dfrac{\omega_{1}}{2}$. Considérons les systèmes
de nombres entiers vérifiant la relation $ab' - ba' = n$, et dans
lesquels les deux nombres $a$~et~$b$ admettent un même plus grand commun
diviseur~$2^{r}n'$; l'exposant~$r$ sera égal ou inférieur à~$h$, et le
nombre impair~$n'$ un diviseur de~$n_{1}$. Posons $a = 2^{r}a_{1}$, $b = 2^{r}b_{1}$,
l'un des nombres $a_{1}$~et~$b_{1}$ au moins étant impair. Nous commencerons
par diviser la première période $r$~fois successivement par~$2$. La première
des formules~\Eq[77]{(19)} du \no{77} donne
\[
\lambda \left(z + \frac{\omega}{4}, \frac{\omega}{2}, \omega'\right)
  = \frac{\mu \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)}
         {\nu \left(z, \dfrac{\omega}{2}, \omega'\right)};
\]
d'après les formules du \no{366}, on en déduit
\[
x_{1} = \lambda \left(z + \frac{\omega}{4}, \frac{\omega}{2}, \omega'\right)
  = \frac{1 - (1 + k') x^{2}}{1 - (1 - k') x^{2}},\quad
k_{1} = \frac{1 - k'}{1 + k'},\quad
g_{1} = 1 + k',
\]
$k_{1}$~et~$g_{1}$ étant le module et le multiplicateur de la fonction~$x_{1}$. Si l'on
pose $z_{1} = z + \dfrac{\omega}{4}$, on aura de même
\[
x_{2} = \lambda \left(z_{1} + \frac{\omega}{2^{3}}, \frac{\omega}{2^{2}}, \omega'\right)
  = \frac{1 - (1 + k'_{1}) x_{1}^{2}}{1 - (1 - k'_{1}) x_{1}^{2}},\quad
k_{2} = \frac{1 - k'_{1}}{1 + k'_{1}},\quad
g_{2} = g_{1} (1 + k'_{1}),
\]
$k_{2}$~et~$g_{2}$ étant le module et le multiplicateur de la fonction~$x_{2}$. On posera
ensuite $z_{2} = z_{1} + \dfrac{\omega}{2^{3}}$, $z_{3} = z_{2} + \dfrac{\omega}{2^{4}}, \ldots$, et l'on continuera de
cette manière jusqu'à la fonction
\[
x_{r} = \lambda \left(z_{r-1} + \frac{\omega}{2^{r+1}}, \frac{\omega}{2^{r}}, \omega'\right)
  = \lambda \left(\zeta, \frac{\omega}{2^{r}}, \omega'\right).
\]
\DPPageSep{631.png}{623}
Mais on~a
\[
\zeta = z + \frac{\omega}{2^{2}}
          + \frac{\omega}{2^{3}} + \ldots
          + \frac{\omega}{2^{r+1}}
  = z + \frac{\omega}{2} - \frac{\omega}{2^{r+1}},
\]
et, si l'on pose
\[
\alpha' = \frac{\omega_{1}}{2} - \frac{\omega}{2} + \frac{\omega}{2^{r+1}}
  = (a_{1} + 1) \frac{\omega_{1}}{2} + b_{1} \frac{\omega'_{1}}{4}
    - 2^{r-1} \left(a_{1} \omega_{1} + b_{1} \frac{\omega'_{1}}{2}\right),
\]
on aura à chercher la relation entre les deux fonctions
\[
y = \lambda(\zeta + \alpha', \omega_{1}, \omega'_{1}),\quad
x_{r} = \lambda \left(\zeta, \frac{\omega}{2^{r}}, \omega'\right).
\]
Les relations~\Eq{(4)} deviennent
\[
2 \frac{\omega}{2^{r}} = 2a_{1} \omega_{1} + b_{1} \omega'_{1},\quad
\omega' = 2a' \omega_{1} + b' \omega'_{1},
\]
avec la condition $a_{1}b' - b_{1}a' = 2^{h-r}n_{1}$. La nouvelle constante~$\alpha'$ a la
forme voulue pour que $y$~soit égal à une fraction rationnelle en~$x_{r}$;
l'un des nombres $a_{1}$~et~$b_{1}$ étant impair, on est ramené à l'un des trois
premiers cas de la transformation. On obtient ainsi les fonctions représentées
par la formule
\[
\Tag{(19)}
y = \lambda \left(z + \frac{\omega}{2} - \frac{\omega}{2^{r+1}}, \frac{\omega}{2^{r} n'},
  \frac{\omega' + 2t \dfrac{\omega}{2^{r}n'}}{2^{h-r} n''}\right),
\]
et celles que l'on en déduit par des transformations du premier degré.
\DPPageSep{632.png}{624}


\Chapitre{II}{Équation  Modulaire}

\Section{Existence de l'équation modulaire}

\Paragraph{401.} Nous nous occuperons spécialement du cas où $n$~est impair et
premier. Dans ce cas, la formule~\Eq[396]{(13)} du \no{396} donne $n + 1$~fonctions
de transformation, savoir: $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ et les $n$~fonctions représentées
par la formule $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 2t\omega}{n}\right)$, dans laquelle $t$~reçoit $n$~valeurs
entières consécutives; mais nous mettrons ces dernières sous la
forme $\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 16t\omega}{n}\right)$. Si l'on désigne par~$\epsilon$ l'une des $n + 1$~quantités
$\dfrac{2\omega}{n}, \dfrac{\omega' + 16t\omega}{n}$, les modules de ces $n + 1$~fonctions sont donnés par
la formule
\[
\sqrt{k_{1}} = \sqrt{k^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{\mu^{2}(p\epsilon)}{\nu^{2}(p\epsilon)}.
\]
Nous poserons $\sqrt{k} = u^{2}$, $\sqrt{k_{1}} = v^{2}$, et nous définirons les $n + 1$~valeurs
de~$v$ par la formule
\[
\Tag{(1)}
v = u^{n} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \frac{\mu(p\epsilon)}{\nu(p\epsilon)}
  = u \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
      \frac{\theta_{2}(p\epsilon)}{\theta_{3}(p\epsilon)},
\]
d'où l'on déduit
\[
\Tag{(2)}
\xi = \frac{v}{u^{n}} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{\mu(p\epsilon)}{\nu(p\epsilon)}.
\]
\DPPageSep{633.png}{625}
Si dans l'expression de~$\dfrac{\mu(nz)}{\nu(nz)}$ déduite des formules~\Eq[332]{(14)} du \no{332},
relatives à la multiplication de l'argument, on remplace~$z$ par~$p\epsilon$, et si
l'on remarque que cette quantité devient égale à~$1$, on obtient l'expression
de~$\dfrac{\mu(p\epsilon)}{\nu(p\epsilon)}$ par une fraction rationnelle en $k^{2}$~et~$\lambda^{2}(p\epsilon)$; chaque valeur
de~$\xi$ est donc une fonction symétrique et rationnelle des~$\dfrac{n - 1}{2}$ quantités
\[
\lambda^{2}(\epsilon),\quad
\lambda^{2}(2\epsilon),\quad
\lambda^{2}(3\epsilon), \ldots,\quad
\lambda^{2} \left(\frac{n - 1}{2} \epsilon\right).
\]
Grâce à la substitution de~$\dfrac{2\omega}{n}$ à~$\dfrac{\omega}{n}$ dans l'expression du premier module,
cette fonction ne change pas quand on remplace~$\epsilon$ par~$a\epsilon$, $a$~étant
un nombre entier premier avec~$n$. On en conclut, d'après le raisonnement
du \no{387}, que les $n + 1$~valeurs de~$\xi$ sont les racines d'une équation
algébrique du degré~$n + 1$ en~$\xi$, ayant pour coefficients des fractions
rationnelles de~$k^{2}$ ou de~$u^{8}$. En remplaçant~$\xi$ par~$\dfrac{v}{u^{n}}$ on obtient
une équation algébrique entre $u$~et~$v$, du degré~$n + 1$ par rapport à~$v$;
on lui donne le nom d'\emph{équation modulaire}. Quand on remplace~$u$ par
$u e^{\efrac{2h\pi i}{8}}$, les valeurs de~$\xi$ ne changent pas et, par conséquent, celles de~$v$
sont multipliées par le facteur constant~$e^{\efrac{2hn\pi i}{8}}$. Nous remarquons encore
que l'équation ne change pas quand on y remplace $u$~et~$v$ par $-u$~et~$-v$.


\Section{Expression des racines de l'équation modulaire}

\Paragraph{402.} Nous avons démontré au \no{365} que les quantités $\sqrt[4]{k}$~et~$\sqrt[4]{k'}$,
données par les formules \Eq[205]{(29)}~et~\Eq[205]{(30)} du \no{205}, sont des fonctions
holomorphes de la variable $\rho = r + si$, pour toutes les valeurs de cette
variable dans lesquelles le coefficient~$s$ est positif et différent de zéro,
c'est-à-dire pour la moitié du plan située au-dessus de l'axe des~$x$. Nous
poserons
\begin{align*}
\Tag{(3)}
\phi(\rho) &= \sqrt{2} e^{\efrac{\pi\rho i}{8}} \prod_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{1 + e^{2m\pi\rho i}}{1 + e^{(2m-1)\pi\rho i}}
  = \prod_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{1 - e^{-\efrac{(2m-1)\pi i}{\rho}}}{1 + e^{-\efrac{(2m-1)\pi i}{\rho}}}, \\
%
\Tag{(4)}
\psi(\rho) &= \prod_{m=1}^{m=\infty}
  \frac{1 - e^{(2m-1)\pi\rho i}}{1 + e^{(2m-1)\pi\rho i}}
  = \sqrt{2} e^{-\efrac{\pi i}{8\rho}} \prod_{m=1}^{m=\infty}
    \frac{1 + e^{-\efrac{2m\pi i}{\rho}}}{1 + e^{\efrac{(2m-1)\pi i}{\rho}}}.
\end{align*}
\DPPageSep{634.png}{626}

Les deux formes sous lesquelles nous avons écrit chacune de ces
fonctions s'accordent; car les deux premières quantités, par exemple,
dont les huitièmes puissances sont égales à~$k^{2}$, ayant des valeurs réelles
et positives pour les valeurs $\rho = si$, sont nécessairement égales pour
ces valeurs de~$\rho$, c'est-à-dire quand cette variable décrit l'axe des~$y$;
elles sont donc égales dans tout le demi-plan (\nos~\nref{114}~et~\nref{366}). A l'inspection
des formules précédentes, on reconnaît que les deux fonctions
qu'elles définissent, et qui ont été étudiées par M.~Hermite (\textit{Comptes
rendus}, 1858), jouissent des propriétés suivantes:
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{2}
  \phi(\rho) &= \psi \left(-\frac{1}{\rho}\right),\quad &
  \psi(\rho) &= \phi \left(-\frac{1}{\rho}\right), \\
%
  \psi(\rho + 1) &= \frac{1}{\psi(\rho)},\quad &
  \psi(\rho + 2) &= \psi(\rho),
\end{alignedat} \\
\phi(\rho + 1) = e^{\efrac{\pi i}{8}}\, \frac{\phi(\rho)}{\psi(\rho)},\quad
\phi(\rho + 2) = e^{\efrac{2\pi i}{8}} \phi(\rho),\quad
\phi(\rho + 2h) = e^{\efrac{2h\pi i}{8}}\phi(\rho).
\end{gather*}
Elles sont réelles et positives pour les valeurs $\rho = si$.

\Paragraph{403.} Dans ce qui suit, nous prendrons $u = \phi(\rho)$, et, pour distinguer
les $n + 1$~valeurs de~$v$, nous désignerons par~$V$ celle qui se rapporte à
la fonction $\lambda \left(z, \dfrac{\omega}{n}, \omega'\right)$ et par~$v_{t}$ celle qui se rapporte à la fonction
$\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega' + 16t\omega}{n}\right)$. Nous allons démontrer que ces quantités, telles
qu'elles sont définies par la formule~\Eq{(1)}, ont pour expressions
\[
\Tag{(5)}
V= (-1)^{\efrac{n^{2} - 1}{8}} \phi(n\rho),\quad
v_{t} = \phi \left(\frac{\rho + 16t}{n}\right).
\]
D'après la remarque faite au commencement du \no{365}, les quantités
$\dfrac{\theta_{2}(p\epsilon)}{\theta_{3}(p\epsilon)}$, et, par conséquent, les valeurs de~$v$ sont des fonctions holomorphes
de~$\rho$. Considérons d'abord~$V$ et donnons à~$\rho$ la valeur~$si$; dans
les développements de~$\theta_{2} \left(\dfrac{2p\omega}{n}\right)$ et de~$\theta_{3} \left(\dfrac{2p\omega}{n}\right)$ en produits d'après les
formules~\Eq[202]{(20)} du \no{202}, les facteurs placés sous le signe produit étant
tous réels et positifs, le quotient de ces deux quantités est réel et a le
signe de~$\cos \left(\dfrac{2p\pi}{n}\right)$; la valeur de~$V$ est donc réelle et a le signe du produit
\DPPageSep{635.png}{627}
des $\dfrac{n - 1}{2}$~facteurs $\cos \left(\dfrac{2p\pi}{n}\right)$, quand $p$~varie de~$1$ à~$\dfrac{n - 1}{2}$. Lorsque
$\dfrac{n - 1}{2}$~est pair et égal à~$2n'$, les $n'$~premiers facteurs étant positifs, les
$n'$~suivants négatifs, leur produit a le signe de~$(-1)^{n'}$. Lorsque $\dfrac{n - 1}{2}$~est
impair et égal à~$2n' - 1$, les $n' - 1$~premiers facteurs étant positifs, les
$n'$~suivants négatifs, leur produit a le signe de~$(-1)^{n'}$. Ainsi $V$~a le signe
de~$(-1)^{\efrac{n^{2}-1}{8}}$, et, comme~$\phi(n\rho)$ a une valeur réelle et positive, il y a
accord entre les deux formules. Pour abréger, nous désignons par~$\alpha$ le
nombre entier~$\dfrac{n^{2} - 1}{8}$.

On obtient~$v_{t}$ en attribuant à~$\epsilon$, dans la formule~\Eq{(1)}, la valeur
\[
\epsilon = \frac{\omega' + 16t\omega}{n}, \quad\text{d'où}\quad
\frac{\epsilon}{\omega} = \frac{\rho + 16t}{n}.
\]
Si l'on pose $\rho + 16t = \rho'$, on déduit des formules~\Eq[74]{(6)} du \no{74}
\[
\theta_{3}(p\epsilon) = \sum_{m=-\infty}^{m=+\infty}
  e^{\pi\rho'i \left(\efrac{2mp}{n} + m^{2}\right)},\quad
\theta_{2}(p\epsilon) = \sum_{m=-\infty}^{m=+\infty}
  e^{\pi\rho'i \left[\efrac{(2m + 1)p}{n} + \left(\efrac{2m + 1}{2}\right)^{2}\right]};
\]
on a d'ailleurs $u = \phi(\rho' - 16t) = \phi(\rho')$; pour $\rho' = s'i$, ces quantités
et, par suite, $v_{t}$ ont des valeurs réelles et positives. Il en est de même
de la quantité~$\phi \left(\dfrac{\rho'}{n}\right)$ donnée par la seconde des formules~\Eq{(5)}. Ainsi il
y a accord entre les formules.

Supposons que dans l'équation modulaire on remplace~$u$ par~$(-1)^{\alpha} V$;
pour avoir les racines de la nouvelle équation, il suffira de remplacer~$\rho$
par~$n\rho$ dans les formules~\Eq{(5)}; la racine~$v_{0}$ est égale à~$\phi(\rho)$, c'est-à-dire
à~$u$. De même, supposons que l'on remplace~$u$ par~$v_{t}$, ce qui revient
à remplacer~$\rho$ par~$\dfrac{\rho + 16t}{n}$; la racine~$V$ de la nouvelle équation
sera égale à~$(-1)^{\alpha}\phi(\rho + 16t)$, c'est-à-dire à~$(-1)^{\alpha}u$. Il en résulte qu'à
toute solution~$(u, v)$ de l'équation modulaire correspond une autre solution
$\bigl[v, (-1)^{\alpha}u\bigr]$ de la même équation.

\Paragraph{404.} De la troisième des formules~\Eq[367]{(63)} du \no{367}, relatives à la division
\DPPageSep{636.png}{628}
par~$2$ de la seconde période, on déduit
\[
\sqrt[4]{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 + k} \sqrt{k_{2}};
\]
mais, d'après les formules~\Eq[365]{(55)} du \no{365}, on~a
\[
\nu \left(\frac{\omega'}{4}, \omega, \omega'\right) = \sqrt{1 + k},\quad
\lambda \left(\frac{\omega'}{8}, \omega, \frac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{i}{\sqrt{k_{2}}};
\]
il en résulte l'expression
\[
\Tag{(6)}
\phi(\rho) = \sqrt[4]{k}
  = \frac{i}{\sqrt{2}}\,
    \frac{\nu \left(\dfrac{\omega'}{4}, \omega, \omega'\right)}
         {\lambda \left(\dfrac{\omega'}{8}, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)},
\]
qui nous permettra de trouver toutes les valeurs de~$\rho$ pour lesquelles
la fonction~$\phi(\rho)$ a une valeur donnée.

Nous avons vu, au \no{398}, que, pour que les carrés des modules de
deux fonctions elliptiques
\[
\lambda(z, \omega, \omega') = \lambda(gz, k),\quad
\lambda(z, \omega_{1}, \omega'_{1}) = \lambda(g_{1}z, k_{1})
\]
soient égaux, il est nécessaire et il suffit que les rapports $\rho = \dfrac{\omega'}{\omega}$,
$\rho_{1} = \dfrac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}$ satisfassent à la relation~\Eq{(16)}; on a alors $\phi^{8}(\rho_{1}) = \phi^{8}(\rho)$. Cherchons
maintenant la condition pour que les deux fonctions $\phi(\rho), \phi(\rho_{1})$
soient égales, ou égales et de signes contraires.

Comme on a $k_{1} = (-1)^{a'} k$, il faut d'abord que $a'$~soit pair; posons
$a' = 2a'_{1}$; comme on a $\sqrt{k_{1}} = (-1)^{a'_{1}} \sqrt{k}$, d'après la première des formules~\Eq[365]{(55)}
du \no{365}, il faut que le nombre~$a'_{1}$ soit lui-même pair;
posons $a'_{1} = 2a'_{2}$. Comme nous l'avons dit au \no{398}, il résulte des
formules~\Eq[398]{(15)} que les fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{g_{1}}{g} \omega_{1}, \dfrac{g_{1}}{g} \omega'_{1}\right)$, $\lambda(z, \omega, \omega')$ sont
égales, et, par suite, les fonctions $\nu \left(z, \dfrac{g_{1}}{g} \omega_{1}, \dfrac{g_{1}}{g} \omega'_{1}\right)$, $\nu(z, \omega, \omega')$; lorsque
$a'$~est pair, il en résulte aussi que les fonctions $\lambda \left(z, \dfrac{g_{1}}{g} \omega_{1}, \dfrac{g_{1}}{g}\, \dfrac{\omega'_{1}}{2}\right)$,
\DPPageSep{637.png}{629}
$\lambda \left(z, \omega, \dfrac{\omega'}{2}\right)$ sont égales. On a donc
\[
\llap{$\nu$} \left(\frac{\omega'_{1}}{4}, \omega_{1}, \omega'_{1}\right)
  = (-1)^{b'} \nu \left(\frac{\omega'}{4}, \omega, \omega'\right),\
\lambda \left(\frac{\omega'_{1}}{8}, \omega_{1}, \frac{\omega'_{1}}{2}\right)
  = (-1)^{a'_{2}} \lambda \left(\frac{\omega'}{8}, \omega, \frac{\omega'}{2}\right),
\]
et, par suite, en vertu de la formule~\Eq{(6)},
\[
\phi(\rho_{1}) = (-1)^{a'_{2} + b'} \phi(\rho) = (-1)^{a + a'_{2}} \phi(\rho).
\]
Ainsi, pour que $\phi(\rho_{1}) = ±\phi(\rho)$, il est nécessaire et il suffit que l'on ait
\[
\Tag{(7)}
\rho_{1} = \frac{8a'_{2} + (4b' + 1) \rho}{(4a + 1) + 2b \rho},
\]
avec la condition $(4a + 1)(4b' + 1) - 16ba'_{2} = 1$.


\Section{Points critiques}

\Paragraph{405.} Les périodes $\omega$~et~$\omega'$, déterminées par des intégrales définies,
comme nous l'avons expliqué aux \nos~\nref{221}~et~\nref{231}, sont des fonctions
continues de~$k^{2}$; il n'y a exception que pour $k^{2} = 0$ et $k^{2} = 1$; ces deux
quantités, et par suite leur rapport~$\rho$, sont donc des fonctions holomorphes
de la variable~$k^{2}$, dans toute portion du plan, à contour simple,
ne comprenant aucun de ces deux points critiques. Par rapport à la variable~$u$,
\Fig[3in]{81}
il y a neuf points critiques, savoir l'origine $u = 0$ et les huit
points $u = e^{\efrac{2h\pi i}{8}}$, placés aux sommets d'un octogone régulier $a_{0} a_{1}\ldots a_{7}$
(\Figref{81}). Chacune des valeurs de~$v$ est une fonction holomorphe de~$\rho$,
\DPPageSep{638.png}{630}
et par conséquent de~$u$, lorsque cette variable~$u$ se meut dans une portion
du plan, à contour simple, ne comprenant aucun des points critiques
dont nous venons de parler, et qui sont les seuls qui existent
dans le plan par rapport aux racines de l'équation modulaire.

Pour former les lacets, nous ferons partir la variable~$u$ d'un point~$b_{0}$
situé sur l'axe~$Ox$, à une distance du point~$O$ plus petite que l'unité.
Le lacet~$(a_{0})$ est formé d'une droite~$b_{0}c_{0}$ et d'un petit cercle; le lacet~$(a_{1})$
d'un arc~$b_{0}b_{1}$ égal à $\frac{1}{8}$~de circonférence, d'une droite~$b_{1}c_{1}$ et d'un petit
cercle; le lacet~$(a_{2})$ d'un arc~$b_{0}b_{1}b_{2}$ égal à $\frac{2}{8}$~de circonférence, d'une
droite~$b_{2}c_{2}$ et d'un petit cercle,~\ldots; le lacet~$(a_{7})$ d'un arc~$b_{0}b_{1}\ldots b_{7}$ égal
aux $\frac{7}{8}$~de la circonférence, d'une droite~$b_{7}c_{7}$ et d'un petit cercle; enfin
le lacet~$(O)$ d'un cercle~$b_{0}b_{1}\ldots b_{7}b_{0}$. Au point~$b_{0}$, la période~$\omega$ étant réelle
et positive, et la période~$\omega'$ de la forme~$\omega''i$, on a $\rho = \rho_{0} = si$, $s$~étant
une quantité réelle et positive; nous distinguerons les $n + 1$~racines
par leurs valeurs initiales
\begin{gather*}
%[** TN: Breaking]
V = (-1)^{\alpha} \phi(n\rho_{0}), \\
v_{0} = \phi \left(\frac{\rho_{0}\vphantom{1}}{n}\right),\quad
v_{1} = \phi \left(\frac{\rho_{0} + 16}{n}\right), \ldots,\quad
v_{n-1} = \phi \left(\frac{\rho_{0} + 16(n - 1)}{n}\right);
\end{gather*}
la première est réelle et a le signe de~$(-1)^{\alpha}$, la seconde est réelle et
positive.

Pour les valeurs de~$u$ situées à l'intérieur du cercle décrit de l'origine
avec un rayon égal à l'unité, en développant $(1 - k^{2}x^{2})^{-\efrac{1}{2}}$ en série, et
faisant $g = 1$, on déduit de la formule~\Eq[221]{(3)} du \no{221}
\[
\omega = \pi \left[1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} k^{2}
    + \left(\frac{1·3}{2·4}\right)^{2} k^{4} + \ldots\right].
\]

D'autre part, l'équation~\Eq[279]{(35)} du \no{279} donne
\[
\Tag{(8)}
\frac{d\rho}{dk} = \frac{2}{\pi i} \left(\frac{1}{k} + Ak + Bk^{2} + \ldots\right);
\]
on en déduit par l'intégration
\[
\Tag{(9)}
\rho - \rho_{0}
  = \frac{1}{\pi i} \left[
    8 \log \frac{u}{u_{0}} + A(k^{2} - k_{0}^{2})
    + \frac{B}{2} (k^{4} - k_{0}^{4}) + \ldots
  \right],
\]
\DPPageSep{639.png}{631}
en supposant que $\log \dfrac{u}{u_{0}}$~soit égal à zéro pour $u = u_{0}$, c'est-à-dire au
point~$b_{0}$. Lorsque $u$~tend vers zéro, le coefficient positif~$s$, dans l'expression
$\rho = r + si$, augmente à l'infini; si l'on prend la fonction~$\phi(\rho)$ sous
sa première forme, on reconnaît que les $n + 1$~valeurs de~$v$ tendent
vers zéro. Quand la variable~$u$ décrit le cercle~$O$ dans le sens positif, la
valeur de~$\rho$ devient~$\rho_{0} + 16$; la racine~$V$ reste holomorphe dans le voisinage
du point~$O$ et se développe en une série convergente
\[
\Tag{(10)}
V = (-1)^{\alpha} 2^{\Erratum{}{-}\efrac{n-1}{2}} u^{n} + \ldots,
\]
suivant les puissances entières de~$u$. La racine $v_{t} = \phi \left(\dfrac{\rho_{0} + 16t}{n}\right)$ devient
$\phi \left[\dfrac{\rho_{0} + 16(t + 1)}{n}\right]$, et, par conséquent, se change en~$v_{t+1}$; ainsi les
$n$~autres racines forment autour du point~$O$ un système circulaire $(v_{0}, v_{1},
v_{2}, \ldots, v_{n-1})$ se permutant dans l'ordre des indices; ces racines sont représentées,
dans le même ordre, par la série
\[
\Tag{(11)}
v = 2^{\efrac{n-1}{2n}}\, u^{\efrac{1}{n}} + \ldots,
\]
ordonnée suivant les puissances croissantes de~$u^{\efrac{1}{n}}$.

\Paragraph{406.} Considérons maintenant le point critique $u = 1$. La fonction
elliptique, au module complémentaire, admet les périodes $\omega_{1} = -\omega'i$,
$\omega'_{1} = \omega i$ (\no{236}), dont le rapport~$\rho'$ est égal à~$-\dfrac{1}{\rho}$. Quand le point~$u$
décrit la droite~$b_{0}a_{0}$, la première période~$\omega_{1}$ reste réelle et positive, le
rapport~$\rho$, donné par l'équation~\Eq{(\Erratum{10}{9})}, conserve la forme~$si$, et de même
le rapport~$\rho'$. La période~$\omega_{1}$ est représentée par une intégrale définie
analogue à celle qui donne~$\omega$ (\no{221}); faisant encore $g = 1$, il suffit
de remplacer dans celle-ci $k$~par~$k'$; elle peut être développée en une
série pareille à la série \Erratum{\Eq{(8)}}{qui donne~$\omega$} et convergente pour les valeurs de~$k'^{2}$
dont le module est plus petit que~$1$; on en déduit, comme précédemment,
\[
\Tag{(12)}
%[** TN: Parentheses incorrectly placed in original]
\frac{d\rho'}{dk'} = \frac{2}{\pi i}\left(\frac{1}{k'} + Ak' + Bk'^{2} + \ldots\right),
\]
\DPPageSep{640.png}{632}
les coefficients $A, B, \ldots$ étant les mêmes que dans l'équation~\Eq{(9)}, et
par suite
\[
\Tag{(13)}
\rho' - \rho'_{0}
  = \frac{1}{\pi i} \left[
    \log \frac{k'^{2}}{k_{0}'^{2}} + A(k'^{2} - k_{0}'^{2})
    + \frac{B}{2} (k'^{4} - k_{0}'^{4}) + \ldots
  \right].
\]
Lorsque $u$~tend vers~$1$, le coefficient~$s'$, dans l'expression $\rho' = r' + s'i$,
augmente à l'infini; si l'on prend la fonction~$\phi(\rho)$ sous sa seconde
forme, on reconnaît que la racine~$v_{0}$ tend vers~$1$, et la racine~$V$ vers~$(-1)^{\alpha}$.
Quand la variable~$u$ décrit autour du point~$a_{0}$, et dans le sens
positif, un cercle ne comprenant aucun autre point critique, l'argument
de~$k'^{2}$ augmente de~$2\pi$, $\rho'$~devient~$\rho'_{0} + 2$, et $\rho$~égal à~$\dfrac{\rho_{0}}{1 - 2\rho_{0}}$. La racine
$v_{0} = \phi \left(\dfrac{\rho}{n}\right) = \psi(n\rho')$, réelle et positive sur la droite~$b_{0}a_{0}$, reste holomorphe
dans le voisinage du point~$a_{0}$; on obtient son développement en
posant $u = 1 - u'$, $v_{0} = 1 - v'_{0}$; d'où
\begin{alignat*}{3}
\psi^{8}(\rho) &= 1 - (1 - u')^{8} &&= 8u' + \ldots,\quad &
u' &= \frac{1}{8} \psi^{8}(\rho) + \ldots, \\
\psi^{8} \left(\frac{\rho}{n}\right) &= 1 - (1 - v'_{0})^{8}
  &&= 8v'_{0} + \ldots,\quad &
v'_{0} &= \frac{1}{8} \psi^{8} \left(\frac{\rho}{n}\right) + \ldots,
\end{alignat*}
et, en se servant de la seconde forme de la fonction~$\psi(\rho)$,
\[
\Tag{(14)}
v'_{0} = 2^{-(n-1)} u'^{n} + \ldots.
\]

La racine~$V$, après $\gamma$~tours autour du point~$a_{0}$, devient $(-1)^{\alpha} \phi \left(\dfrac{n\rho_{0}}{1 - 2\gamma\rho_{0}}\right)$;
elle se change en une autre~$v_{t}$ que nous allons déterminer. D'après ce
que nous avons dit au \no{404}, les deux fonctions $\phi \left(\dfrac{n\rho_{0}}{1 - 2\gamma\rho_{0}}\right)$, $\phi \left(\dfrac{\rho_{0} + 16t}{n}\right)$
sont égales, ou égales et de signes contraires, lorsque leurs arguments
satisfont à une relation de la forme
\[
\frac{\rho_{0} + 16t}{n}
  = \frac{8a'(1 - 2\gamma\rho_{0}) + (4b' + 1) n\rho_{0}}
         {(4a + 1) (1 - 2\gamma\rho_{0}) + 2bn\rho_{0}}
  = \frac{8a' + \bigl[(4b' + 1)n - 16a' \gamma] \rho_{0}}
         {(4a + 1) + 2 \bigl[bn - (4a + 1) \gamma\bigr] \rho_{0}},
\]
avec la condition $(4a + 1)(4b' + 1) - 16ba' = 1$. Il faut pour cela que
$bn - (4a + 1)\gamma = 0$, ou $\dfrac{b}{4a + 1} = \dfrac{\gamma}{n}$; ces deux fractions, étant irréductibles,
\DPPageSep{641.png}{633}
auront leurs termes respectivement égaux, ou égaux et de signes
contraires. Si $n$~est de la forme~$4n' + 1$, on prendra $a = n'$, $b = \gamma$; la
relation précédente se réduira alors à
\[
\rho_{0} + 16t = 8a' + \bigl[(4b' + 1)n - 16a'\gamma\bigr] \rho_{0};
\]
on prendra $a' = 2t$, et l'on déterminera les deux nombres entiers $4b' + 1$
et~$t$ par la condition $32\gamma t - n(4b' + 1) = -1$. Si $n$~est de forme~$4n' - 1$,
on prendra $a = -n'$, $b = -\gamma$, $a' = -2t$, et l'on déterminera les deux
autres nombres par la condition $32\gamma t + n(4b' + 1) = -1$. Le rapport
des deux fonctions~$\phi$ étant $(-1)^{a}$~ou~$(-1)^{\alpha}$, la racine~$V$ devient égale à~$v_{t}$;
les deux nombres conjugués $\gamma$~et~$t$ sont liés par cette condition, que
le produit~$32\gamma t$ donne le résidu~$-1$ par rapport au diviseur~$n$.

En attribuant à~$\gamma$ les $n - 1$~valeurs successives $1, 2, \ldots, n - 1$, on
obtient pour~$t$ ces mêmes valeurs dans un certain ordre; il y a d'ailleurs
réciprocité entre les deux nombres; on en conclut que les $n$~racines
$V, v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n-1}$, dans un certain ordre, forment un système
circulaire autour du point critique $u = 1$. Si l'on pose $V = (-1)^{\alpha} (1 - v')$,
elles sont représentées par la série
\[
\Tag{(15)}
v' = 2^{\efrac{n-1}{n}}\, u'^{\efrac{1}{n}} + \ldots;
\]
nous désignerons ce système circulaire par $(V, v_{t_{1}}, v_{t_{2}}, \ldots, v_{t_{n-1}})$.

\Paragraph{407.} Considérons maintenant le lacet~$(a_{1})$. Quand la variable~$u$
décrit l'arc~$b_{0}b_{1}$, d'après l'équation~\Eq{(9)}, $\rho$~acquiert la valeur~$\rho_{0} + 2$;
la racine~$V$ devient $(-1)^{\alpha} \phi(n\rho_{0} + 2n)$ ou $e^{\efrac{2n\pi i}{8}} V$; la racine~$v_{t}$ devient
$\phi \left(\dfrac{\rho_{0} + 16t +2}{n}\right) = \phi \left[\dfrac{\rho_{0} + 16(t - \alpha)}{n} + 2n\right]$, c'est-à-dire $e^{\efrac{2n\pi i}{8}} v_{t-\alpha}$. Ceci
est bien d'accord avec une remarque faite au \no{401}, savoir que, quand
on remplace~$u$ par~$u e^{\efrac{2h\pi i}{8}}$, les valeurs de~$v$ sont multipliées respectivement
par~$e^{\efrac{2hn\pi i}{8}}$. Supposons que l'on parte du point~$b_{0}$ avec la valeur
initiale~$V$; en~$b_{1}$ on a cette même valeur multipliée par le facteur~$e^{\efrac{2n\pi i}{8}}$;
sur le lacet~$b_{1}a_{1}$, la racine acquerra la valeur qu'elle avait, au point
\DPPageSep{642.png}{634}
homologue, sur le lacet~$b_{0}a_{0}$, multipliée par ce facteur constant; quand
on aura parcouru $\gamma$~fois le lacet~$b_{1}a_{1}$, on aura en~$b_{1}$ la valeur $e^{\efrac{2n\pi i}{8}} v_{t_{\gamma}}$,
qui, lorsqu'on revient en~$b_{0}$, est~$v_{t_{\gamma} + \alpha}$. Ainsi la loi de permutation sur
le lacet~$(a_{1})$ se déduit de celle qui a lieu sur le lacet~$(a_{0})$, en ajoutant
le nombre constant~$\alpha$ aux indices des racines.

Considérons d'une manière générale le lacet~$(a_{h})$. Quand la variable
décrit l'arc~$b_{0}b_{1} \ldots b_{h}$, $\rho$~acquiert la valeur~$\rho_{0} + 2h$, la racine~$V$ devient
égale à $e^{\efrac{2hn\pi i}{8}} V$, et la racine~$v_{t}$ à~$e^{\efrac{2hn\pi i}{8}}  v_{t-h\alpha}$. En partant du point~$b_{0}$ avec
la valeur initiale~$V$, quand la variable~$u$ aura décrit $\gamma$~fois le lacet~$b_{h}a_{h}$,
on aura en~$b_{h}$ la valeur~$e^{\efrac{2hn\pi i}{8}} v_{t_{\gamma}}$, qui, au retour en~$b_{0}$, est~$v_{t_{\gamma} + h\alpha}$. Il suffit
donc d'ajouter le nombre constant~$h\alpha$ aux indices relatifs à la permutation
sur le lacet~$(a_{0})$ pour avoir la permutation sur le lacet~$(a_{h})$.

\Paragraph{408.} La fonction elliptique, au module réciproque, admet les périodes
$\omega_{1} = \omega - \omega'$, $\omega'_{1} = \omega'$ (\no{234}), et les valeurs de $\rho$~et~$\rho_{1}$, qui se
rapportent à ces deux couples de périodes, sont liées par la relation
$\dfrac{1}{\rho_{1}} = \dfrac{1}{\rho} - 1$; on en déduit
\[
u_{1} = \phi(\rho_{1})
  = \psi \left(-\frac{1}{\rho_{1}}\right)
  = \frac{1}{\psi \left(-\dfrac{1}{\rho}\right)}
  = \frac{1}{u}.
\]

Concevons que, dans l'équation modulaire, on remplace~$u$ par~$\dfrac{1}{u}$, et
désignons par~$(v)$ les racines de la nouvelle équation; il est facile de
reconnaître que ces racines sont réciproques de celles de la première
équation. Considérons d'abord la racine
\[
(V) = (-1)^{\alpha} \psi \left(-\frac{1}{n\rho_{1}}\right)
  = \frac{(-1)^{\alpha}}{\psi \left(-\dfrac{1}{n\rho_{1}} - 1\right)}
  = \frac{(-1)^{\alpha}}{\phi \left[\dfrac{n\rho}{1 + (n - 1)\rho}\right]};
\]
elle sera réciproque de la racine~$v_{\delta}$, si l'on~a
\[
\frac{\rho + 16\delta}{n}
  = \frac{8a' + \bigl[(4b' + 1)n + 8a'(n-1)\bigr]\rho}
         {(4a + 1) + \bigl[2bn + (4a + 1)(n - 1)\bigr] \rho},\quad
(-1)^{a + a'} = (-1)^{\alpha}.
\]
Il faut, pour cela, que le coefficient de~$\rho$ dans le second dénominateur soit
nul, et, par conséquent, que les deux fractions irréductibles $\dfrac{2b}{4a + 1}$,
\DPPageSep{643.png}{635}
$-\dfrac{n - 1}{2}$ soient égales. Si $n$~est de la forme~$4n' + 1$, on prendra $a = n'$,
$b = -2n'$, $a' = 2\delta$, et l'on déterminera les deux nombres $b'$~et~$\delta$ par
la condition $16(n - 1)\delta + n(4b' + 1) = 1$. Si $n$~est de la forme~$4n' - 1$,
on prendra $a = -n'$, $b = 2n' - 1$, $a' = -2\delta$, et l'on déterminera $b'$
et~$\delta$ par la condition $16(n - 1)\delta - n(4b' + 1) = 1$. Dans les deux cas,
l'indice~$\delta$ est tel, que le nombre~$16\delta$ donne le résidu~$-1$ par rapport
au diviseur~$n$. On verrait de même que la racine~$(v_{n-\delta})$ est réciproque
de~$V$.

Considérons maintenant une autre racine
\[
(v_{t'}) = \psi \left(-\frac{n}{\rho_{1} + 16t'}\right)
  = \frac{1}{\psi \left(-\dfrac{n}{\rho_{1} + 16t'} - 1\right)}
  = \frac{1}{\phi \left[\dfrac{16t' - (16t' - 1)\rho}{16t' + n - (16t' + n - 1)\rho}\right]};
\]
elle sera réciproque de~$v_{t}$ si l'on~a
\[
\frac{\rho + 16t}{n}
  = \frac{8(16t' + n)a' + 16t'(4b' + 1) - \bigl[(16t' - 1)(4b' + 1) + 8(16t' + n - 1)a'\bigr]\rho}
         {(16t' + n)(4a + 1) + 32t'b - \bigl[(16t' + n - 1)(4a + 1) + 2(16t' - 1)b\bigr]\rho}.
\]
Le coefficient de~$\rho$, dans le second dénominateur, doit être nul; la
fraction~$\dfrac{4a + 1}{2b}$ est irréductible; la fraction $\dfrac{-16t' + 1}{16t' + n - 1}$ est aussi irréductible,
si $t'$~n'est pas égal à~$n - \delta$; ces deux fractions étant égales,
on prendra $a = -4t'$, $b = 8t' + \dfrac{n - 1}{2}$. Le second dénominateur se
réduit alors à~$n$. On déterminera les deux nombres $b'$~et~$a'$ par la condition
\[
(16t' - 1)(4b' + 1) + 8(16t' + n - 1)a' = -1,
\]
et l'on fera
\[
t = (16t' + n) \frac{a'}{2} + t'(4b' + 1) = \frac{2a' + b'}{4}.
\]
Le nombre~$a'$ devant être pair, et $b'$~multiple de~$4$, posons $a' = 2a''$,
$b' = 4b''$; la condition précédente devient
\[
(16t' - 1)b'' + (16t' + n - 1)a'' = -t',
\]
ou
\[
(16t' - 1)t + na'' = -t';
\]
l'indice~$t$ est tel, que le nombre~$(16t' - 1)t$ donne le résidu~$-t'$ par
\DPPageSep{644.png}{636}
rapport au diviseur~$n$. Il y a exception, lorsque $t' = n - \delta$; mais nous
avons vu que la racine~$(v_{n-\delta})$ est réciproque de~$V$. Quel que soit~$n$, la
racine~$(v_{0})$ est réciproque de~$v_{0}$.

L'étude des valeurs de~$v$, quand la variable~$u$ est très-grande, est
ramenée ainsi à celle des valeurs de~$(v)$, quand la variable~$u_{1}$ est très-petite;
les $n + 1$~valeurs de~$(v)$ s'annulant pour $u_{1} = 0$, les $n + 1$~valeurs
de~$v$ deviennent infinies pour $u = \infty$. Sur la sphère, le point $u = \infty$
est donc un point critique analogue aux précédents; la racine~$v_{\delta}$ est méromorphe
et du degré~$n$; les $n$~autres sont du degré~$\dfrac{1}{n}$ et forment un système
circulaire.

Comme exemple, nous écrirons les permutations pour $n = 5$:
\[
\begin{array}{*{5}{c<{\,}}}
\llap{\text{\small Lacets:\ }} (a_{0}) & (a_{1}) & (a_{2}) & (a_{3}) & (a_{4}) \\
(Vv_{3}v_{1}v_{4}v_{3}), &
(Vv_{0}v_{4}v_{2}v_{1}), &
(Vv_{3}v_{2}v_{0}v_{1}), &
(Vv_{1}v_{0}v_{3}v_{2}), &
(Vv_{4}v_{3}v_{1}v_{0});
\end{array}
\]
{\stretchyspace sur les lacets $(a_{5}), (a_{6}), (a_{7})$, les permutations sont les mêmes que sur}
$(a_{0}), (a_{1}), (a_{2})$, parce qu'il suffit d'ajouter~$5\alpha$ aux indices. On a, d'ailleurs,
\[
(V) = \frac{1}{v_{4}},\quad
(v_{1}) = \frac{1}{V},\quad
(v_{0}) = \frac{1}{v_{0}},\quad
(v_{2}) = \frac{1}{v_{3}},\quad
(v_{3}) = \frac{1}{v_{1}},\quad
(v_{4}) = \frac{1}{v_{2}}.
\]
Supposons que l'on unisse le point initial~$b_{0}$ au point~$O'$, sur la sphère
par un lacet formé d'un arc de grand cercle passant entre les points $a_{0}$
et~$a_{7}$, et d'un petit cercle décrit autour du point~$O'$, dans le sens négatif
par rapport à ce point; ce lacet peut être remplacé par un circuit
positif se ramenant à la suite des lacets $(a_{0}), (a_{1}), \ldots, (a_{7}), (O)$; la racine~$v_{1}$
se reproduit, les autres se permutent dans l'ordre $V, v_{2}, v_{4}, v_{3}, v_{0}$.

\Paragraph{409.} Nous avons démontré au \no{401} l'existence de l'équation modulaire.
On pourrait aussi la déduire des considérations précédentes;
d'après le théorème du \no{135}, la fonction~$v$ de~$u$ n'ayant pas sur toute
la sphère de points singuliers autres que des pôles et des points critiques
algébriques, et admettant $n + 1$~valeurs en chaque point, est liée à la
variable~$u$ par une équation algébrique. Le lacet~$(a_{0})$, parcouru une
fois, et le lacet~$(O)$, décrit $n - 1$~fois, forment un système de lacets fondamentaux;
car, si l'on part du point~$b_{0}$ avec la valeur initiale~$V$, après
le lacet~$(a_{3})$ on a~$v_{t_{1}}$; en décrivant ensuite $n - 1$~fois le cercle~$O$, on
\DPPageSep{645.png}{637}
obtient dans l'ordre des indices croissants les $n - 1$~autres racines; on
conclut de là que l'équation modulaire est du degré~$n + 1$ par rapport
à~$v$, et irréductible. La somme des ordres négatifs de la fonction~$v$ sur la
sphère, c'est-à-dire la somme des degrés des racines infinies, étant~$n + 1$,
il résulte du corollaire~II du \no{135} que l'équation est aussi du degré
$n + 1$ par rapport à~$u$.


\Section{Formation de l'équation modulaire}

\Paragraph{410.} Supposons l'équation entre $u$~et~$v$ mise sous la forme entière, et
ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de~$v$. Les $n + 1$~valeurs
de~$v$ conservant des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de~$u$,
le coefficient du premier terme peut être supposé égal à l'unité.

Nous avons vu (\no{405}) que, pour $u = 0$, toutes les racines s'annulent;
leur produit $(-1)^{\alpha} u^{n+1}$, déduit des équations \Eq{(10)}~et~\Eq{(11)}, est le
dernier terme de l'équation. Quand on attribue à~$u$ une valeur très-petite,
tous les coefficients de l'équation, excepté le premier, ont des
valeurs très-petites; il y a deux manières de former le groupe des termes
du degré le moins élevé (\no{34}); le premier mode $Auv + (-1)^{\alpha} u^{n+1}$
donne la racine holomorphe~$V$, et l'on a, par conséquent, $A = -2^{\efrac{n-1}{2}}$;
le second mode~$v^{n+1} + Auv$ donne le système circulaire des $n$~autres racines.

D'après une remarque faite au \no{403}, l'équation se reproduit, quand
on y remplace $u$~et~$v$ respectivement par $v$~et~$(-1)^{\alpha} u$, et qu'on multiplie
tous les termes par~$(-1)^{\alpha}$; le premier et le dernier terme se permutent;
il en résulte que les coefficients des différentes puissances de~$v$
sont, par rapport à~$u$, du degré~$n$ au plus, et par conséquent que le
degré de l'équation modulaire, par rapport aux deux variables $u$~et~$v$,
ne surpasse pas~$2n$. D'après ce que nous avons dit au \no{408}, l'équation
se reproduit aussi quand on y remplace $u$~et~$v$ respectivement
par $\dfrac{1}{u}$~et~$\dfrac{1}{v}$, et qu'on multiplie tous les termes par $(-1)^{\alpha} u^{n+1} v^{n+1}$; le
terme~$Auv$ donnera le terme $(-1)^{\alpha} Au^{n} v^{n}$; on en conclut que l'équation
modulaire est bien du degré~$2n$. L'équation ne changeant pas
quand on y remplace $u$~et~$v$ par $-u$~et~$-v$, tous les termes sont d'un
degré pair.
\DPPageSep{646.png}{638}

Les coefficients de l'équation en~$\xi$ (\no{401}) sont des polynômes
entiers en~$u^{8}$; pour $u = 0$, la première racine est finie et égale à
$(-1)^{\alpha} 2^{-\efrac{n-1}{2}}$; les autres deviennent infinies; cette équation est donc de
la forme
\begin{multline*}
\Tag{(16)}
u^{8\beta_{0}} \xi^{n+1} + \sum_{p=1}^{p=n-1} u^{8\beta_{p}}
  (a_{p} + b_{p} u^{8} + c_{p} u^{16} + \ldots) \xi^{n+1-p} \\
  + (-2^{\efrac{n-1}{2}} + b_{n} u^{8} + \ldots) \xi + (-1)^{\alpha} = 0,
\end{multline*}
les exposants $\beta_{0}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}$ étant tous plus grands que zéro. En
remplaçant~$\xi$ par~$\dfrac{v}{u^{n}}$, et multipliant tous les termes par~$u^{n+1}$, on obtient
l'équation modulaire
\begin{multline*}
\Tag{(17)}
u^{8(\beta_{0} - \alpha)} v^{n+1} + \sum_{p=1}^{p=n-1} u^{np + 8(\beta_{p} - \alpha)}
  (a_{p} + b_{p} u^{8} + \ldots) v^{n+1-p} \\
  + u(-2^{\efrac{n-1}{2}} + b_{n} u^{8} + \ldots) v + (-1)^{\alpha} u^{n+1} = 0.
\end{multline*}
Le premier coefficient devant se réduire à l'unité, on a $\beta_{0} = \alpha$. Les exposants
$np + 8(\beta_{p} - \alpha)$ sont plus grands que zéro; on prendra pour
chacun d'eux la plus petite valeur de cette forme, et, dans les polynômes
placés entre parenthèses, on ira jusqu'à une puissance de~$u^{8}$ telle\DPtypo{,}{} que
le degré total du coefficient ne surpasse pas~$n$. On aura ensuite à déterminer
un certain nombre de coefficients numériques; la condition que
l'équation doit se reproduire, après chacune des deux substitutions dont
nous avons parlé plus haut, en restreint beaucoup le nombre; d'après ce
que nous avons dit au \no{406}, le premier membre devant pour $u = 1$ se
réduire à $(v - 1)\bigl[v - (-1)^{\alpha}\bigr]^{n}$, on aura encore entre ces coefficients
des relations qui suffiront à les déterminer dans les cas les plus simples.

\Paragraph{411.} Quand le nombre premier~$n$ ne surpasse pas~$7$, les polynômes
placés entre parenthèses se réduisent à des constantes. Pour $n = 3$, on
obtient immédiatement l'équation modulaire
\[
\Tag{(18)}
v^{4} + 2u^{3} v^{3} - 2uv - u^{4} = 0.
\]
Pour $n = 5$, elle est de la forme
\[
v^{6} + 4u^{5} v^{5} + a_{2}u^{2} v^{4} - a_{2}u^{4} v^{2} - 4uv - u^{6} = 0;
\]
\DPPageSep{647.png}{639}
le premier membre devant se réduire à $(v - 1)(v + 1)^{4}$ pour $u = 1$, on
a $a_{2} = 5$, et l'équation modulaire est
\[
\Tag{(19)}
v^{6} + 4u^{5} v^{5} + 5u^{2} v^{4} - 5u^{4} v^{2} - 4uv - u^{6} = 0.
\]
Pour $n = 7$, on trouve de même
\[
\Tag{(20)}
v^{8} - 8u^{7} v^{7} + 28u^{6} v^{6} - 56u^{5} v^{5} + 70u^{4}v^{4}
  - 56u^{3} v^{3} + 28u^{2} v^{2} - 8uv + u^{8} = 0.
\]
Pour $n = 11$, l'équation modulaire est de la forme
\[
\Tag{(21)}
\left\{
\begin{aligned}
  &\Neg v^{12} + u^{3}(a_{1} + 2^{5} u^{8}) v^{11}
    + a_{2} u^{6} v^{10} - u(a_{1} - b_{3} u^{8}) v^{9} \\
  &+ a_{4} u^{4} v^{8} + a_{5} u^{7} v^{7} + u^{2}(a_{2} - a_{2} u^{8}) v^{6}
    - a_{5} u^{5} v^{5} - a_{4} u^{8} v^{4} \\
  &- u^{3}(b_{3} - a_{1} u^{8}) v^{3} - a_{2} u^{6} v^{2}
    - u(2^{5} + a_{1} u^{8}) v - u^{12} = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Le premier membre devant se réduire à~$(v - 1)(v + 1)^{11}$ pour $u = 1$,
on a $a_{1} = -22$, $a_{2} = 44$, $a_{4} = 165$, $a_{5} = 132$, $b_{3} = 88$.

Dans tous les cas, le calcul des coefficients peut être effectué de la
manière suivante. Supposons que la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-\efrac{\pi\rho i}{8}} \phi(\rho)$, donnée par
la formule~\Eq[402]{(3)} du \no{402}, ait été développée en série suivant les puissances
entières de $q = e^{\pi\rho i}$; en remplaçant dans ce développement~$q$
par~$q^{n}$, on aura celui de~$\dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-\efrac{n\pi\rho i}{8}} \phi(n\rho)$; les deux quantités $u$~et~$V$ sont
égales à ces deux séries entières, multipliées respectivement par~$\sqrt{2} q^{\efrac{1}{8}}$
et par~$(-1)^{\alpha} \sqrt{2} q^{\efrac{n}{8}}$. Si on les substitue dans l'équation~\Eq{(17)}, et si l'on
divise tous les termes par~$q^{\efrac{n+1}{8}}$, le résultat de la substitution ne contiendra
plus que des puissances entières de~$q$; en l'ordonnant par rapport
aux puissances croissantes, et égalant à zéro les coefficients des
puissances successives de~$q$, on obtiendra des équations linéaires entre
les coefficients cherchés qui serviront à les déterminer. Il faudra pousser
le développement en série assez loin pour avoir un nombre suffisant
d'équations. Sohnke a calculé par ce procédé les coefficients des équations
modulaires jusqu'au nombre premier~$19$ inclusivement (\textit{Journal
de Crelle}, t.~XVI).


\Section{Points multiples}

\Paragraph{412.} Outre les points critiques, il existe des points multiples dans le
voisinage desquels chacune des racines reste holomorphe.
\DPPageSep{648.png}{640}

L'équation~\Eq[371]{(17)} du \no{371} devient
\[
\Tag{(22)}
g_{1}^{2} = \frac{nu(1 - u^{8})}{v(1 - v^{8})}\, \frac{dv}{du}.
\]
Lorsque, pour une valeur particulière de~$u$, deux valeurs de~$v$ deviennent
égales, les carrés des multiplicateurs correspondants sont
différents, sans quoi les deux fonctions de transformation seraient
égales, ou égales et de signes contraires, ce qui est impossible (\no{397});
il en résulte que les deux valeurs de~$\dfrac{dv}{du}$ diffèrent, et par conséquent
que les points multiples de la courbe analytique représentée par l'équation
modulaire sont à tangentes distinctes.

Nous allons démontrer qu'il n'y a pas d'autres points multiples que
des points doubles. Au point~$u$, si l'on suit un chemin convenable, trois
racines quelconques peuvent être représentées par $(-1)^{\alpha} \phi(n\rho)$, $\phi \left(\dfrac{n}{\rho}\right)$
et~$\phi \left(\dfrac{\rho + 16t}{n}\right)$, $t$~étant un certain nombre plus petit que~$n$. Pour qu'elles
soient égales, il est nécessaire que l'on ait
\[
\Tag{(23)}
n\rho = \frac{8a'n + (4b' + 1) \rho}{(4a + 1)n + 2b \rho}
  = \frac{8a'_{1}n + 16t(4b'_{1} + 1) + (4b'_{1} + 1) \rho}
         {(4a_{1} + 1)n + 32b_{1}t + 2b_{1} \rho},
\]
avec les conditions
\[
\Tag{(24)}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
(4\PadTo[l]{a_{1}}{a} + 1)(4\PadTo[l]{b'_{1}}{b'} + 1) &-& 16b a' &= 1,\quad
(-1)^{a+a'} &&= (-1)^{\alpha}, \\
%
(4a_{1} + 1)(4b'_{1} + 1) &-& 16b_{1}a'_{1} &= 1,\quad
(-1)^{a_{1}+a'_{1}} &&= (-1)^{\alpha}.
\end{alignedat}
\right.
\]
La quantité imaginaire~$\rho$ satisferait aux deux équations du second
degré
\[
\Tag{(25)}
\left\{
\begin{aligned}
&2b_{1}n\rho^{2}
  + \bigl[(4a + 1) n^{2} - (4b' + 1)\bigr] \rho - 8 a' n = 0, \\
%[** TN: Re-breaking]
&2b_{1} n \rho^{2}
  + \bigl[(4a_{1} + 1) n^{2} + 32 b_{1}tn - (4b'_{1} + 1)\bigr] \rho \\
&\qquad\qquad
  - 8 a'_{1}n - 16t(4b'_{1} + 1) = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
dont les coefficients seraient proportionnels; on aurait donc
\begin{gather*}
\Tag{(26)}
b_{1} a'n = b\bigl[a'_{1}n + 2t(4b'_{1} + 1)\bigr], \\
\Tag{(27)}
b_{1}\bigl[(4a + 1)n^{2} - (4b' + 1)\bigr]
  = b\bigl[(4a_{1} + 1)n^{2} + 32b_{1}tn - (4b'_{1} + 1)\bigr].
\end{gather*}
Nous remarquons d'abord que les deux nombres $b$~et~$b_{1}$ sont premiers
avec~$n$; supposons, par exemple, que $b$~soit divisible par~$n$; d'après la
\DPPageSep{649.png}{641}
première des relations~\Eq{(24)}, le nombre~$4b' + 1$ serait premier avec~$n$; en
vertu de la relation~\Eq{(27)}, $b_{1}$~serait aussi divisible par~$n$, et, par suite,
$4b'_{1} + 1$~serait premier avec~$n$; cette même relation~\Eq{(27)} apprend alors
que les deux nombres $b$~et~$b_{1}$ seraient divisibles par une même puissance
de~$n$, ce qui est impossible d'après la relation~\Eq{(26)}. Cela posé, en vertu
de cette relation~\Eq{(26)}, le nombre~$4b'_{1} + 1$ doit être divisible par~$n$, et,
par suite, d'après la relation~\Eq{(27)}, le nombre~$4b' + 1$ est aussi divisible
par~$n$. Posons $4b' + 1 = n(2\beta + 1)$; la condition pour que la première
des équations~\Eq{(25)} ait ses racines imaginaires devient
\[
\bigl[(4a + 1)n - (2\beta + 1)\bigr]^{2} + 64ba' < 0,
\]
et se réduit à
\[
\bigl[(4a + 1)n + (2\beta + 1)\bigr]^{2} < 4,
\]
en tenant compte de la première des relations~\Eq{(24)}. Le nombre entier
pair~$(4a + 1)n + (2\beta + 1)$, devant avoir son carré plus petit que~$4$,
est nul; cette relation~\Eq{(24)} se réduit alors à $(2\beta + 1)^{2} + 16ba' = -1$,
ce qui est impossible. Ainsi, en un même point~$u$, trois racines de
l'équation modulaire ne peuvent être égales entre elles, et, par conséquent,
à part les points critiques, tous les points multiples sont des
points doubles à tangentes distinctes. Il est clair que ces points sont
situés huit par huit aux sommets d'un octogone régulier.

\Paragraph{413.} On obtiendra ces points doubles en égalant à zéro le discriminant
de l'équation modulaire, lequel a pour expression $D = \prod(v_{i} - v_{h})^{2}$,
$v_{i}$~et~$v_{h}$ étant deux racines quelconques; cette fonction symétrique des
racines est égale à une fonction rationnelle de~$u$, et, comme elle ne devient
infinie pour aucune valeur finie de~$u$, elle est entière. Évaluons
son degré: pour $u = \infty$, les $n + 1$~racines de l'équation modulaire
deviennent infinies: l'une est du degré~$n$, les autres du degré~$\dfrac{1}{n}$ (\no{408});
$n$~facteurs binômes $v_{i} - v_{h}$ sont du degré~$n$, les autres du degré~$\dfrac{1}{n}$,
et, par conséquent, le discriminant est un polynôme entier en~$u$ du
degré~$2n^{2} + n - 1$. Pour $u = 0$, les $n + 1$~racines de l'équation modulaire
s'annulent; l'une est du degré~$n$, les autres du degré~$\dfrac{1}{n}$ (\no{405});
chaque facteur binôme est un infiniment petit du degré~$\dfrac{1}{n}$, et, par conséquent,
\DPPageSep{650.png}{642}
le polynôme~$D$ est divisible par~$u^{n+1}$. Pour $u = 1$, une racine
devient égale à~$1$, et les autres à~$(-1)^{\alpha}$; lorsque le nombre~$\alpha$ est pair,
toutes les racines deviennent égales; si l'on pose $u = 1 - u'$, tous les
facteurs binômes sont infiniment petits et du degré~$\dfrac{1}{n}$ par rapport à~$u'$
(\no{406}); le polynôme~$D$ est donc divisible par~$u'^{n+1}$ ou par~$(1 - u)^{n+1}$;
la même chose ayant lieu en chacun des points critiques $u = e^{\efrac{2h\pi i}{8}}$, on en
conclut que le polynôme est divisible par~$(1 - u^{8})^{n-1}$. Lorsque le
nombre~$\alpha$ est impair, une racine est égale à~$1$, les autres à~$-1$; parmi
les facteurs binômes,~$v - v'$, $n$~ont des valeurs finies voisines de~$2$, les
autres sont infiniment petits et du degré~$\dfrac{1}{n}$; le polynôme~$D$ est divisible
par~$(1 - u^{8})^{n-1}$. D'une manière générale, le polynôme~$D$ est divisible
par~$(1 - u^{8})^{n+(-1)^{\alpha}}$. Ainsi le discriminant est de la forme
\[
D = u^{n+1}(1 - u^{8})^{n+(-1)^{\alpha}}
  \bigl[a_{0} + a_{1} u^{8} + a_{2} u^{16} + \ldots + a_{m} u^{8m}\bigr].
\]
Les deux premiers facteurs se rapportent aux points critiques; le polynôme
placé entre parenthèses, et qui est du degré
\[
8m = 8\left[\frac{n^{2} - 1}{4} - n - (-1)^{\alpha}\right],
\]
donne les points doubles.

Soit $f(u, v) = 0$ l'équation modulaire. En prenant le discriminant
sous la forme $D = \prod f'_{v_{i}}(u, v_{i})$, on reconnaît sans peine que ce polynôme
est carré parfait; on voit aussi qu'il est réciproque. Le nombre
des points doubles est donc~$n^{2} - 1 - 4n - 4(-1)^{\alpha}$.

%[** TN: Size-dependent page break]
\newpage
\Section{Calcul des fonctions de transformation}

\Paragraph{414.} Proposons-nous maintenant de calculer les fonctions de transformation.
La première de ces fonctions est (\no{349})
\[
\Tag{(28)}
\lambda \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right)
  = g_{1}\, \frac{\lambda(z, \omega, \omega') \scrP_{1}}{\scrP}.
\]
Si l'on pose
\[
x = u^{2} \lambda(z, \omega, \omega'),\quad
y = v^{2} \lambda \left(z, \frac{\omega}{n}, \omega'\right),
\]
et si l'on se sert des polynômes~$V(x)$ définis au \no{371}, la question
\DPPageSep{651.png}{643}
est ramenée à la détermination de la fraction rationnelle
\[
\Tag{(29)}
y = \frac{V_{1}(x)}{V(x)}.
\]
D'après la première des relations~\Eq{(15)} de ce même numéro, les deux
polynômes ont les mêmes coefficients; nous les représenterons par
\begin{align*}
V(x) &= a^{(0)} + a^{(1)} x^{2} + a^{(2)} x^{4} + \ldots
  + a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)} x^{n-1}, \\
%
V_{1}(x) &= (-1)^{\efrac{n-1}{2}} \left[a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)} x
  + a^{\left(\efrac{n-3}{2}\right)} x^{3} + \ldots
  + a^{(1)} x^{n-2} + a^{(0)} x^{n}
\right].
\end{align*}

Le calcul de ces coefficients peut être effectué à l'aide de la relation~\Eq{(16)},
entre trois coefficients consécutifs, que l'on déduit de l'équation
aux dérivées partielles de Jacobi. Si l'on y remplace~$\alpha$ par sa valeur
$\dfrac{1}{2} \left(u^{4} + \dfrac{1}{u^{4}}\right)$, cette relation devient
\[
\Tag{(30)}
\left\{
\begin{aligned}
&(2m + 1)(2m + 2) a^{(m+1)}
  + 2m(n - 2m) \left(u^{4} + \frac{1}{u^{4}}\right) a^{(m)} \\
&\quad+ \frac{n}{2}\, \frac{1 - u^{3}}{u^{3}}\, \frac{da^{(m)}}{du}
  + (n - 2m + 1)(n - 2m + 2) a^{(m-1)} = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Le premier et le dernier coefficient sont
\[
\Tag{(31)}
a^{(0)} = \sqrt{\frac{g_{1}k'_{1}}{nk'}},\quad
a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)}
  = (-1)^{\efrac{n-1}{2}} g_{1} \frac{v^{2}}{u^{2}}\, a^{(0)},
\]
et, en vertu de l'équation~\Eq{(22)}, on a,
\[
\Tag{(32)}
\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}
  = \frac{1}{n}\, \frac{u}{v}\, \frac{dv}{du}
  = -\frac{1}{n}\, \frac{u f'_{u}}{v f'_{v}}.
\]
Afin d'éviter les quantités irrationnelles, nous mettrons l'équation~\Eq{(30)}
sous la forme
\[
\Tag{(33)}
\left\{
\begin{aligned}
&(2m + 1) (2m + 2) \frac{a^{(m+1)}}{a^{(m)}}
  + \frac{n}{8}\, \frac{1 - u^{8}}{u^{3}}\,
    \frac{d\log \left(\dfrac{a^{(m)}}{a^{(0)}}\right)^{4}}{du} \\
%
&\quad+ (n - 2m + 1)(n - 2m + 2) \frac{a^{(m-1)}}{a^{(m)}} \\
%
&\quad+ 2m(n - 2m) \left(u^{4} + \frac{1}{u^{4}}\right)
  + \frac{n}{8}\, \frac{1 - u^{8}}{u^{3}}\,
    \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du} = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{652.png}{644}
Le dernier terme est connu et rationnel, d'après l'équation~\Eq{(32)}. En
faisant successivement $m = 0$, $m = 1$, $m = 2, \ldots$, on obtiendra les
rapports des coefficients au premier, exprimés par des fractions rationnelles
en $u$~et~$v$. La connaissance de ces rapports suffit pour la
détermination de la fonction de transformation~\Eq{(29)}.

D'après le raisonnement du \no{387}, les deux quantités
\[
±g_{1} = \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}}
  \frac{\lambda^{2}(p\epsilon) \nu^{2}(p\epsilon)}{\mu^{2}(p\epsilon)},\quad
k'k'_{1} = k'^{n+1} \prod_{p=1}^{p=\efrac{n-1}{2}} \frac{1}{\nu^{4}(p\epsilon)},
\]
données par les formules \Eq[349]{(5)}~et~\Eq[351]{(11)} des numéros \nref{349}~et~\nref{351}, peuvent
s'exprimer rationnellement au moyen de $u$~et~$v$. Il en résulte d'abord
que la quantité~$k'^{2} k_{1}'^{2}$ ou $(1 - u^{8})(1 - v^{8})$ est égale au carré d'une
expression rationnelle en $u$~et~$v$. De l'équation~\Eq{(22)} on déduit
\[
\Tag{(34)}
g_{1}^{2} = -\frac{nu (1 - u^{8}) f'_{u}}{v (1 - v^{8}) f'_{v}}
  = n^{2} \frac{\bigl[u (1 - u^{8}) f'_{u}\bigr]^{2}}
               {(1 - u^{8})(1 - v^{8}) (-nuv f'_{u} f'_{v})};
\]
la quantité~$-nuvf'_{u} f'_{v}$ doit aussi être égale au carré d'une expression
rationnelle en $u$~et~$v$; en prenant la racine carrée, on aura le multiplicateur~$g_{1}$,
exprimé rationnellement au moyen de $u$~et~$v$.

De l'équation~\Eq{(30)}, dans laquelle on ferait $m = 0$ et $m = \dfrac{n - 1}{2}$, on
déduit
\begin{gather*}
\Tag{(35)}
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}
  = -\frac{n}{16}\, \frac{1 - u^{8}}{u^{3}}\,
     \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}, \\
%
\Tag{(36)}
\frac{a^{\left(\efrac{n-3}{2}\right)}}{a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)}}
  = -\frac{n - 1}{6}\, \frac{1 + u^{8}}{u^{4}}
    -\frac{n}{48}\, \frac{1 - u^{8}}{u^{3}}\,
     \frac{d\log \left[a^{\left(\efrac{n-1}{2}\right)}\right]^{4}}{du}.
\end{gather*}
On obtiendra ainsi le deuxième et l'avant-dernier coefficient.

\Paragraph{415.} On peut aussi se servir, pour le calcul des coefficients, de deux
équations différentielles simultanées, analogues aux équations différentielles
d'Abel (\no{345}), et auxquelles satisfont les deux fonctions $V$
\DPPageSep{653.png}{645}
et~$V_{1}$. Ces équations sont
\[
\Tag{(37)}
\left\{
\begin{aligned}
&(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \left[
  V_{1} \frac{d^{2} V_{1}}{dx^{2}} - \left(\frac{dV_{1}}{dx}\right)^{2}
\right] \\
&\quad+ 2(x^{3} - \alpha x) V_{1} \frac{dV_{1}}{dx}
  + \frac{v^{2}}{u^{2}} g_{1}^{2} V^{2}
  - \left(nx^{2} + 2 \frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}\right) V_{1}^{2} = 0, \\
%
&(1 - 2\alpha x^{2} + x^{4}) \left[
  V \frac{d^{2} V}{dx^{2}} - \left(\frac{dV}{dx}\right)^{2}
\right] \\
&\quad+ 2(x^{3} - \alpha x) V \frac{dV}{dx}
  + \frac{v^{2}}{u^{2}} g_{1}^{2} V_{1}^{2}
  - \left(nx^{2} + 2 \frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}\right) V^{2} = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
$2\alpha$~désignant la quantité $k + \dfrac{1}{k}$ ou~$u^{4} + \dfrac{1}{u^{4}}$. Si l'on y remplace $V$~et~$V_{1}$
par leurs valeurs, et que l'on égale à zéro l'ensemble des termes du
même degré, on aura des relations entre les coefficients $a^{(0)}, a^{(1)}, a^{(2)}, \ldots$.

Nous appliquerons ces méthodes aux cas les plus simples.


\Section{Transformation du troisième degré}

\Paragraph{416.} Pour $n = 3$, l'équation modulaire (\no{411}) est~\Eq[411]{(18)}
\[
f(u, v) = \tfrac{1}{2} (v^{4} - u^{4} - 2uv + 2u^{3} v^{3}) = 0.
\]

Si l'on représente par~$t$ le produit~$uv$, on~a
\[
uf'_{u} = 3t^{3} - t - 2u^{4},\quad
vf'_{v} = 3t^{3} - t + 2v^{4},\quad
-uvf'_{u} f'_{v} = 3t^{2}(1 - t^{2})^{2}.
\]
On déduit d'ailleurs de l'équation modulaire la relation
\[
\Tag{(38)}
(1 - u^{8}) (1 - v^{8}) = (1 - u^{2} v^{2})^{4};
\]
il en résulte
\[
g_{1} = \frac{(3t^{3} - t - 2u^{4})(1 - t^{2})}{t(1 - v^{8})}
  = \frac{2u^{3} + v}{-v}.
\]

Les formules relatives à la transformation du troisième degré sont
donc
\[
\Tag{(39)}
g_{1} = \frac{2u^{3} + v}{-v},\quad
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}} = -g_{1} \frac{u^{2}}{v^{2}},\quad
y = \frac{g_{1} \dfrac{v^{2}}{u^{2}} x - x^{3}}
         {1 - g_{1} \dfrac{v^{2}}{u^{2}} x^{2}}.
\]
\DPPageSep{654.png}{646}

Lorsque le module~$k$ est réel et plus petit que l'unité, le multiplicateur
de la première fonction est réel et positif. Pour les valeurs très-petites
de~$u$, on a approximativement $v = -\frac{1}{2} u^{3}$, $g_{1} = 3$, ce qui détermine
le signe. Mais on peut supposer que, dans les formules précédentes,
$v$~désigne l'une quelconque des quatre racines de l'équation modulaire;
car, lorsque la variable~$u$ décrit différents lacets, la racine~$V$, sur laquelle
nous avons raisonné, reproduit toutes les autres, et la fonction
de transformation correspondante devient égale à chacune des autres,
ou égale et de signe contraire: cela dépend du signe de~$g_{1}$. Les formules~\Eq{(39)}
représentent ainsi les quatre transformations du troisième
degré.


\Section{Transformation du cinquième degré}

\Paragraph{417.} Nous mettrons l'équation modulaire~\Eq[411]{(19)} sous la forme
\[
\Tag{(40)}
f(u, v) = (u^{2} - v^{2})^{3}
  + 8u^{2} v^{2}(u^{2} - v^{2})
  + 4uv(1 - u^{4}v^{4}) = 0.
\]

En prenant les dérivées partielles du polynôme, et retranchant trois
fois ce polynôme, on~a
\begin{align*}
   uf'_{u} &= (u^{2} + v^{2})\bigl[3(u^{2} - v^{2})^{2} + 8u^{2}v^{2}\bigr]
   - 8uv(1 + u^{4}v^{4}), \\
  -vf'_{v} &= (u^{2} + v^{2})\bigl[3(u^{2} - v^{2})^{2} + 8u^{2}v^{2}\bigr]
   + 8uv(1 + u^{4}v^{4}).
\end{align*}

Nous poserons, pour abréger,
\begin{gather*}
\Tag{(41)}
G = (u^{2} + v^{2}) \bigl[3(u^{2} - v^{2})^{2} + 8u^{2}v^{2}\bigr],\quad
H = 8uv(1 + u^{4}v^{4}), \\
uf'_{u} = P = G - H,\quad -vf'_{v} = Q = G + H.
\end{gather*}
Si, dans l'expression
\[
H^{2} = 64\bigl[u^{2}v^{2}(1 - u^{4}v^{4})^{2} + 4u^{6}v^{6}\bigr],
\]
on remplace $uv(1 - u^{4}v^{4})$ par sa valeur tirée de l'équation~\Eq{(40)}, on
trouve
\[
\Tag{(42)}
H^{2} = 4(u^{2} + v^{2})^{2}
  \bigl[(u^{2} - v^{2})^{4} + 12u^{2}v^{2}(u^{2} - v^{2})^{2} + 16u^{4}v^{4}\bigr],
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(43)}
PQ = G^{2} - H^{2} = 5(u^{2} + v^{2})^{2} (u^{2} - v^{2})^{4}.
\]
\DPPageSep{655.png}{647}
On a aussi
\begin{gather*}
\Tag{(44)}
(1 - u^{8}) (1 - v^{8}) = \frac{(u^{2} - v^{2})^{6}}{16u^{2} v^{2}}, \\
%
g_{1} = \frac{(u^{2} - v^{2}) P}{-4uv(1 - v^{8}) (u^{2} + v^{2})}
  = \frac{v - u^{5}}{v(1 - u v^{3})},\quad
\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}} = g_{1} \frac{u^{2}}{v^{2}}, \\
%
\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4} = \frac{1}{5}\, \frac{P}{Q},\quad
\frac{dv}{du} = \frac{v}{u}\, \frac{P}{Q}.
\end{gather*}

On calculera le rapport du second coefficient au premier à l'aide de
l'équation~\Eq{(35)}
\[
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}} = -\frac{5}{16}\, \frac{1 - u^{8}}{u^{3}}\,
  \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}.
\]
on~a
\[
\frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = \frac{1}{P}\, \frac{\dd P}{\dd u}
  - \frac{1}{Q}\, \frac{\dd Q}{\dd u}
  + \left(\frac{1}{P}\, \frac{\dd P}{\dd v}
        - \frac{1}{Q}\, \frac{\dd Q}{\dd v}\right) \frac{\dd v}{\dd u},
\]
et, en remplaçant $\DPtypo{\dfrac{dv}{du}}{\dfrac{\dd v}{\dd u}}$ par sa valeur,
\[
uQ \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = \left(v \frac{\dd P}{\dd v} - u \frac{\dd Q}{\dd u}\right)
  + \frac{1}{PQ} \left(Q^{2}u \frac{\dd P}{\dd u} - P^{2}v \frac{\dd Q}{\dd v}\right).
\]
Si, dans le dernier terme, on met à la place de~$Q^{2}$ et de~$P^{2}$ les quantités
égales $PQ + 2HQ$, $PQ - 2HP$, cette équation devient
\[
uQ \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = -2 \left(u \frac{\dd H}{\dd u} + v \frac{\dd H}{\dd v}\right)
    + \frac{2H}{PQ} \left(Qu \frac{\dd P}{\dd u} + Pv \frac{\dd Q}{\dd v}\right).
\]

Calculons le dernier terme
\[
Qu \frac{\dd P}{\dd u} + Pv \frac{\dd Q}{\dd v}
  = G \left(u \frac{\dd G}{\dd u} + v \frac{\dd G}{\dd v}\right)
  + H \left(u \frac{\dd H}{\dd u} - v \frac{\dd G}{\dd v}\right)
  - H \left(u \frac{\dd H}{\dd u} + v \frac{\dd H}{\dd v}\right).
\]
Comme on~a
\begin{gather*}
  u \frac{\dd G}{\dd u} + v \frac{\dd G}{\dd v} = 6G,\quad
  u \frac{\dd H}{\dd u} + v \frac{\dd H}{\dd v} = 16uv (1 + 5u^{4}v^{4}), \\
%
  u \frac{\dd G}{\dd u} + v \frac{\dd G}{\dd v}
  = 2(u^{2} - v^{2}) \bigl[9(u^{2} - v^{2})^{2} + 32u^{2}v^{2}\bigl],
\end{gather*}
\DPPageSep{656.png}{648}
il vient
\[
Qu \frac{\dd P}{\dd u} + Pv \frac{\dd Q}{\dd v}
  = 6G^{2} + 2H(u^{2} - v^{2}) \bigl[9(u^{2} - v^{2})^{2} + 32u^{2} v^{2}\bigr]
  - 16Huv (1 + 5u^{4} v^{4}),
\]
et, en remplaçant~$G^{2}$ par~$PQ + H^{2}$,
\[
Qu \DPtypo{\frac{dP}{du} + Pv \frac{dQ}{dv}}
          {\frac{\dd P}{\dd u} + Pv \frac{\dd Q}{\dd v}}
  = 6PQ + 2H \bigl[9(u^{2} - v^{2}) + 32u^{2} v^{2} (u^{2} - v^{2})
                   + 16uv(1 - u^{4} v^{4})\bigr];
\]
en vertu de l'équation modulaire~\Eq{(40)}, cette expression se réduit à
\[
Qu \frac{\dd P}{\dd u} + Pv \frac{\dd Q}{\dd v} = 6PQ + 10H (u^{2} - v^{2})^{3}.
\]

On a ainsi
\[
uQ \frac{d\log\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = 64uv (1 - u^{4} v^{4}) + \frac{20H^{2} (u^{2} - v^{2})^{3}}{PQ},
\]
et, en remplaçant $H^{2}$~et~$PQ$ par leurs valeurs \Eq{(42)}~et~\Eq{(43)}, et tenant
compte de l'équation modulaire,
\[
uQ \frac{d\log\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = \frac{64u^{2}v^{2} (u^{2} + v^{2})^{2}}{u^{2} - v^{2}},\quad
\frac{d\log\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = \frac{64uv^{2} P}{4(u^{2} - v^{2})^{5}}.
\]

On en déduit
\[
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}
  = -4 \frac{v^{2} (1 - u^{2}) P}{u^{2} (u^{2} - v^{2})^{5}}
  = -g_{1} \frac{v (u^{2} + v^{2})}{u^{3}}.
\]
On obtient de cette manière la formule de transformation
\[
\Tag{(45)}
g_{1} = \frac{v - u^{3}}{v (1 - u v^{3})},\quad
y = \frac{g_{1} \dfrac{v^{2}}{u^{2}} x - g_{1} \dfrac{v (u^{2} + v^{2})}{u^{3}} x^{3} + x^{5}}
         {1 - g_{1} \dfrac{v (u^{2} + v^{2})}{u^{3}} x^{2} + g_{1} \dfrac{v^{2}}{u^{2}} x^{4}}\DPtypo{,}{.}
\]

On arrive plus rapidement au résultat en se servant de l'une des
équations~\Eq{(37)}. Parmi les relations qu'elle fournit, les deux premières
sont
\begin{gather*}
6 \left(\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}\right)^{2}
  + 8\alpha \frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}
  - \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right)^{4}
  - 12 \frac{a^{(2)}}{a^{(0)}} + 5 = 0, \\
%
\begin{aligned}
\left(\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}\right)^{2} \left[
  \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right)^{2} - 4\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}} - 3
\right] &- 8\alpha \frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\, \frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}
  + 2 \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right)^{3} \\
  &- 4 \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right)^{2}
  + 10 \frac{a^{(2)}}{a^{(0)}} = 0.
\end{aligned}
\end{gather*}
\DPPageSep{657.png}{649}
L'élimination des termes contenant~$\dfrac{a^{(1)}}{a^{(0)}}$ à la première puissance donne
\[
\left(\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}\right)^{2}
  = \frac{a^{(2)}}{a^{(0)}} \left[
    \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right)^{2}
- 2 \left(\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}\right) + 5
\right];
\]
on verra que le second membre est carré, et l'on fera le choix du signe
en substituant dans l'une des deux relations.

Pour $n = 3$, l'équation modulaire n'a pas de point double; pour
$n = 5$, elle en a huit (\no{413}). Le produit~$PQ$, donné par la formule~\Eq{(43)},
est nul en tous les points où deux racines sont égales; le second facteur
$u^{2} - v^{2}$ correspond aux points critiques, le premier $u^{2} + v^{2}$ aux points
doubles; mais l'équation~\Eq{(40)}, dans laquelle on fait $v^{2} = -u^{2}$, se réduit
à $u^{8} + 1 = 0$, de sorte que le discriminant est $u^{6} (1 - u^{8})^{4} (1 + u^{8})^{2}$.


\Section{Transformation du septième degré}

\Paragraph{418.} L'équation modulaire~\Eq{(20)} se met sous la forme
\[
\Tag{(46)}
f(u, v) = \frac{1}{8} \bigl[(1 - u^{8}) (1 - v^{8}) - (1 - uv)^{8}\bigr] = 0.
\]

Nous poserons
\[
uv = t,\quad
P = t(1 - t)^{7} + t^{8},
\]
d'où
\[
u^{8} + v^{8} = 1 + t^{8} - (1 - t)^{8} = 1 + P - (1 - t)^{7}.
\]
On en déduit
\begin{gather*}
\Tag{(47)}
\left\{
\begin{aligned}
&u f'_{u} = P - u^{8} = \frac{(1 - t)^{7} (t - u^{8})}{1 - u^{8}}, \\
&v f'_{v} = P - v^{8} = \frac{(1 - t)^{7} (t - v^{8})}{1 - v^{8}}, \\
&(P - u^{8}) (P - v^{8}) = -7t^{2}(1 - t)^{8} (1 - t + t^{2})^{2},
\end{aligned}
\right. \\
g_{1} = \frac{(1 - u^{8}) (u^{8} - P)}{t(1 - t)^{8} (1 - t + t^{2})}
  = \frac{u^{8} - t}{t(1 - t) (1 - t + t^{2})}, \\
%
\bigl(a^{(0)}\bigr)^{4} = -\frac{1}{7}\, \frac{P - u^{8}}{P - v^{8}},\quad
\frac{dv}{du} = -\frac{v (P - u^{8})}{u (P - v^{8})}.
\end{gather*}
\DPPageSep{658.png}{650}

L'équation~\Eq{(35)} nous donnera le rapport du second coefficient au
premier. on~a
\begin{align*}
%[** TN: Re-breaking]
u (P - v^{8}) \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  &= \left(u \frac{\dd P}{\dd u} - 8u^{8}\right) \frac{P - v^{8}}{P - u^{8}} \\
  &+ \left(v \frac{\dd P}{\dd v} - 8v^{8}\right) \frac{P - u^{8}}{P - v^{8}}
  - u \frac{\dd P}{\dd u} - v \frac{\dd P}{\dd v};
\end{align*}
en remarquant que
\[
u \frac{\dd P}{\dd u} = v \frac{\dd P}{\dd v}
  = t(1 - t)^{7} - 7t^{2} (1 - t)^{6} + 8t^{8}
  = 8P - 7t (1 - t)^{6},
\]
cette équation se simplifie et devient
\begin{align*}
  u (P - v^{8}) \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  &= -8 (u^{8} + v^{8}) - 7t (1 - t)^{6}
    \left(\frac{P - v^{8}}{P - u^{8}} + \frac{P - u^{8}}{P - v^{8}} - 2\right) \\
  &= -8 (u^{8} + v^{8}) + \frac{(u^{8} - v^{8})^{7}}{t(1 - t)^{2} (1 - t + t^{2})^{2}}.
\end{align*}
Si l'on remplace $(u^{8} - v^{8})^{2}$ par sa valeur
\begin{align*}
&(u^{8} - v^{8})^{2}
  = (u^{8} + v^{8})^{2} - 4t^{8}
  = (u^{8} + v^{8} - 2t^{4}) (u^{8} + v^{8} + 2t^{4}) \\
&= \bigl[(1 - t^{4})^{2} - (1 - t)^{8}\bigr]
        \bigl[(1 + t^{4})^{2} - (1 - t)^{8}\bigr] \\
&= \bigl[(1 - t^{4}) - (1 - t)^{4}\bigr]
        \bigl[(1 - t^{4}) + (1 - t)^{4}\bigr]
        \bigl[(1 + t^{4}) - (1 - t)^{4}\bigr]
        \bigl[(1 + t^{4}) + (1 - t)^{4}\bigr] \\
&= 16t^{2} (1 - t)^{2}(1 - t + t^{2})^{2}(2 - t + t^{2})
  (1 - t + 2t^{2}) (2 - 3t + 2t^{2}),
\end{align*}
on trouve
\begin{gather*}
u (P - v^{8}) \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = 16t^{2} (1 - t + t^{2}) (2 - t + 2t^{2}), \\
%
\frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}
  = -\frac{16}{7}\, \frac{P - u^{8}}{u}\,
     \frac{2 - t + 2t^{2}}{(1 - t)^{8} (1 - t + t^{2})}, \\
%
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}}
  = \frac{(1 - u^{8}) (P - u^{8})}{u^{4}}\,
    \frac{2 - t + 2t^{2}}{(1 - t)^{8} (1 - t + t^{2})}
  = \frac{t - u^{8}}{u^{4}}\, \frac{2 - t + 2t^{2}}{(1 - t)(1 - t + t^{2})}.
\end{gather*}

\Paragraph{419.} Nous connaissons le dernier coefficient $a^{(3)} = -g_{1} \dfrac{v^{3}}{u^{2}} a^{(0)}$. On
en déduit, en remplaçant~$g_{1}$ par sa valeur tirée de l'équation~\Eq{(31)},
\[
\bigl(a^{(3)}\bigr)^{2}
  = 49 \frac{v^{4} (1 - u^{8})}{u^{4} (1 - \Erratum{v_{8}}{v^{8}})}
    \bigl(a^{(0)}\bigr)^{6}.
\]
\DPPageSep{659.png}{651}
L'équation~\Eq{(36)} nous donnera le rapport de l'avant-dernier coefficient
au dernier. on~a
\begin{gather*}
\frac{d\log \bigl(a^{(3)}\bigr)^{2}}{du}
  = \frac{d\log \dfrac{v^{4} (1 - u^{8})}{u^{4} (1 - v^{8})}}{du}
  + \frac{3}{2}\, \frac{d\log \bigl(a^{(0)}\bigr)^{4}}{du}, \displaybreak[1]\\
%
\begin{aligned}
&u (P - v^{8}) \frac{d\log \dfrac{v^{4} (1 - u^{8})}{u^{4} (1 - v^{8})}}{du} \\
&\quad
  = 4(u^{8} + v^{8} - 2P)
    - 8 \frac{u^{8} (1 - v^{8}) (P - v^{3}) + v^{8} (1 - u^{8}) (P - u^{3})}
             {(1 - u^{8}) (1 - v^{8})} \\
&\quad
  = 4(u^{8} + v^{8} - 2P) - 8 \frac{t (u^{8} + v^{8}) - 2t^{8}}{1 - t} \\
&\quad
  = 24t (1 - t + t^{2}) (1 - 4t + 4t^{2} - 4t^{3} + t^{4}),
\end{aligned} \displaybreak[1] \\
u (P - v^{8}) \frac{d\log \bigl(a^{(3)}\bigr)^{2}}{du} = 24t (1 - t + t^{2})^{3}, \\
%
\frac{d\log \bigl(a^{(3)}\bigr)^{2}}{du}
  = -\frac{24}{7}\, \frac{(P - u^{8}) (1 - t + t^{2})}{ut (1 - t)^{8}},
\end{gather*}
et, par suite,
\[
\frac{a^{(2)}}{a^{(3)}}
  = -\frac{1 + u^{8}}{u^{4}}
  + \frac{(1 - u^{8}) (P - u^{8}) (1 - t + t^{2})}{u^{4}t (1 + t)^{8}}
  = \frac{t^{3} - u^{8}}{u^{4}t (1 - t)}.
\]

On obtient ainsi les formules
\[
\Tag{(48)}
\left\{
\begin{aligned}
g_{1} &= \frac{u^{8} - t}{t (1 - t) (1 - t + t^{2})},\quad
\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}} = -g_{1} \frac{t (2 - t + 2t^{2})}{u^{4}}, \\
%
\frac{a^{(2)}}{a^{(0)}}
  &= -g_{1} \frac{(t^{3} - u^{8}) t}{u^{8} (1 - t)},\quad
\frac{a^{(3)}}{a^{(0)}} = -g_{1} \frac{v^{2}}{u^{2}}, \\
%
y &= -\frac{\dfrac{a^{(3)}}{a^{(\DPtypo{3}{0})}} x
          + \dfrac{a^{(2)}}{a^{(0)}} x^{3}
          + \dfrac{a^{(1)}}{a^{(0)}} x^{5} + x^{7}}
       {1 + \dfrac{a^{(1)}}{a^{(0)}} x^{2}
          + \dfrac{a^{(2)}}{a^{(0)}} x^{4}
          + \dfrac{a^{(3)}}{a^{(0)}} x^{6}}.
\end{aligned}
\right.
\]

Pour $n = 7$, l'équation modulaire a seize points doubles; d'après la
troisième des formules~\Eq{(47)}, ils sont donnés par l'équation $1 - t + t^{2} = 0$;
puisque $t^{3} + 1 = (t + 1) (t^{2} - t + 1)$, on a $t^{3} = -1$, et par suite,
$u^{8} + v^{8} = 2t$, $u^{8} v^{8} = t^{2}$; on en déduit $u^{8} = v^{8} = t$, d'où $1 - u^{8} + u^{16} = 0$.
Ainsi le discriminant est $u^{8}(1 - u^{8})^{8} (1 - u^{8} + u^{10})^{2}$.
\DPPageSep{660.png}{652}


\Section{Équation différentielle entre les modules}

\Paragraph{420.} Nous avons vu (\no{279}) qu'une période quelconque de l'intégrale
elliptique de première espèce satisfait à l'équation différentielle
linéaire du second ordre
\[
\Tag{(49)}
\frac{d \left(kk'^{2} \dfrac{d\xi}{dk}\right)}{dk} - k\xi = 0,
\]
qui admet, par conséquent, pour intégrale générale $\xi = a\omega + b\omega'$, $a$~et~$b$
étant deux constantes arbitraires. Si l'on pose $\zeta = kk'^{2} \xi^{2}$, cette équation
devient
\[
\Tag{(50)}
2\zeta \frac{d^{2}\zeta}{dk^{2}} - \left(\frac{d\xi}{dk}\right)^{2}
  + \left(\frac{1 + k^{2}}{kk'^{2}}\right) \zeta^{2} = 0.
\]

Considérons une autre solution $a'\omega + b'\omega'$ de l'équation~\Eq{(49)}, et
posons
\[
\rho = \frac{a'\omega + b'\omega'}{a\omega + b\omega'},
\]
nous aurons, en vertu de la relation~\Eq[279]{(35)} du \no{279},
\[
\xi^{2} \frac{d\rho}{dk}
  = (ab' - ba') \left(\omega \frac{d\omega'}{dk} - \omega' \frac{d\omega}{dk}\right)
  = -\frac{2\pi i (ab' - ba')}{kk'^{2}},
\]
et, par suite,
\[
\zeta = -2\pi i (ab' - ba') \frac{dk}{d\rho}.
\]
En substituant dans l'équation~\Eq{(50)}, et laissant la variable indépendante
quelconque, on obtient l'équation
\[
\Tag{(51)}
2\, dk\, d^{3}k - 3 (d^{2}k)^{2}
  + \left(\frac{1 + k^{2}}{kk'^{2}}\right)^{2} dk^{4}
  = \left(\frac{dk}{d\rho}\right)^{2}
    \bigl[2\, d\rho\, d^{3}\rho - 3 (d^{2}\rho)^{2}\bigr].
\]

En appelant $\omega_{1}, \omega'_{1}$ les périodes elliptiques relatives à un autre module~$k_{1}$,
et posant
\[
\rho_{1} = \frac{a'_{1}\omega_{1} + b'_{1}\omega'_{1}}
                {a_{1} \omega_{1} + b_{1} \omega'_{1}},
\]
\DPPageSep{661.png}{653}
on a de même
\[
2\, dk\, d^{3}k_{1} - 3 (d^{2}k_{1})^{2}
  + \left(\frac{1 + k_{1}^{2}}{k_{1}k_{1}'^{2}}\right)^{2} (dk_{1})^{4}
  = \left(\frac{dk_{1}}{d\rho}\right)^{2}
    \bigl[2\, d\rho_{1}\, d^{3}\rho_{1} - 3 (d^{2}\rho_{1})^{2}\bigr].
\]
Lorsque les deux modules $k$~et~$k_{1}$ varient simultanément, de manière
que l'on ait constamment $\rho_{1} = \rho$, des deux équations précédentes on
déduit l'équation différentielle du troisième ordre
\[
\Tag{(52)}
\left\{
\begin{aligned}
&2\, dk\, dk_{1} (dk\, d^{3}k_{1} - dk_{1}\, d^{3}k)
  - 3 \bigl[(dk\, d^{2}k_{1})^{2} - (dk_{1}\, d^{2}k)^{2}\bigr] \\
&\qquad\qquad
  + (dk\, dk_{1})^{2} \left[
    \left(\frac{1 + k_{1}^{2}}{k_{1}k_{1}'^{2}}\, dk_{1}\right)^{2}
  - \left(\frac{1 + k^{2}}{kk'^{2}}\, dk\right)^{2}
\right] = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
La relation $\rho_{1} = \rho$, qui est de la forme
\[
\Tag{(53)}
\frac{\omega'_{1}}{\omega_{1}}
  = \frac{\alpha'\omega + \beta'\omega'}{\omega + \beta\omega'},
\]
$\alpha', \beta', \beta$ étant trois constantes arbitraires, en est l'intégrale générale.

Les deux couples de périodes des fonctions elliptiques qui résolvent
le problème de la transformation satisfont à une relation de cette forme
(\no{390}); on en conclut, comme cas particulier, que l'équation modulaire,
quel que soit son degré, donne une solution de l'équation~\Eq{(52)}.
(\bsc{Jacobi}, \textit{Fundamenta nova}.)
\DPPageSep{662.png}{654}


\Chapitre{III}{Résolution de l'Équation du Cinquième Degré}

\Paragraph{421.} Galois avait annoncé que, jusqu'à $n = 11$, le degré de l'équation
modulaire peut être abaissé d'une unité. MM.~Hermite et~Betti ont
donné de ce théorème deux \DPtypo{démontrations}{démonstrations} basées sur des principes
différents. Considérons une fonction symétrique ou alternée $(v_{\alpha}, v_{\beta})$ de
deux racines de l'équation modulaire, puis la même fonction de deux
autres racines, et ainsi de suite jusqu'aux deux dernières racines, et
désignons par~$U$ une fonction symétrique de ces~$\dfrac{n + 1}{2}$ quantités; on démontre
aisément, à l'aide des lois de permutation établies précédemment,
que, lorsque $n$~ne surpasse pas~$11$, parmi les différentes manières
d'associer les racines deux à deux, il en est pour lesquelles la fonction~$U$
n'acquiert que $n$~valeurs pour chaque valeur de~$u$ et, par conséquent,
satisfait à une équation du degré~$n$.

Autour de chacun des points critiques, une racine~$v_{\alpha}$ reste holomorphe,
et la racine associée~$v_{\beta}$ acquiert les $n$~autres valeurs; la quantité
$(v_{\alpha}, v_{\beta})$ et, par conséquent, la fonction~$U$ prennent $n$~valeurs, formant
un système circulaire. Si cette fonction n'acquiert dans toute l'étendue
du plan que $n$~valeurs, il est impossible que deux de ces valeurs aient un
élément commun~$(v_{\alpha}, v_{\beta})$; car, par un chemin convenable, $v_{\alpha}$~devient
égal à la racine qui reste holomorphe autour de l'un des points critiques;
si deux valeurs de~$U$ avaient un élément commun~$(v_{\alpha}, v_{\beta})$, sans
être identiques, elles engendreraient deux systèmes circulaires de
$n$~valeurs chacun. On peut associer deux racines $v_{\alpha}$~et~$v_{\beta}$ prises à volonté;
car, autour du point critique où $v_{\alpha}$~reste holomorphe, $v_{\beta}$~acquiert les
$n$~autres valeurs. Dans une valeur de la fonction~$U$, deux éléments ne
peuvent présenter une même différence d'indices, parce que, si l'on
décrivait le lacet~$(O)$ un certain nombre de fois, l'un des éléments deviendrait
\DPPageSep{663.png}{655}
égal à l'autre. Dès qu'on a reconnu que le lacet~$(a_{0})$ fait
acquérir à la fonction~$U$ les mêmes valeurs que le lacet~$(O)$, on est
certain que cette fonction n'a que $n$~valeurs dans tout le plan, les autres
lacets se ramenant aux lacets $(a_{0})$~et~$(O)$.

\Paragraph{422.} Ces considérations permettent de trouver aisément les modes
favorables. Nous associerons les racines par différence, et nous ferons
le produit des $\dfrac{n + 1}{2}$~quantités.

Pour $n = 5$, si l'on prend comme premier facteur $V - v_{0}$, la combinaison
\[
\Tag{(1)}
U = (V - v_{0}) (v_{1} - v_{4}) (v_{2} - v_{3})
\]
est la seule dans laquelle la différence des indices dans les derniers
facteurs ne soit pas la même. Par le lacet~$(O)$, cette fonction acquiert
les cinq valeurs
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
U_{0} &= (V - v_{0}) (v_{1} - v_{4}) (v_{2} - v_{3}), \\
U_{1} &= (V - v_{1}) (v_{2} - v_{0}) (v_{3} - v_{4}), \\
U_{2} &= (V - v_{2}) (v_{3} - v_{1}) (v_{4} - v_{0}), \\
U_{3} &= (V - v_{3}) (v_{4} - v_{2}) (v_{0} - v_{1}), \\
U_{4} &= (V - v_{4}) (v_{0} - v_{3}) (v_{1} - v_{2}).
\end{aligned}
\right.
\]
D'après la loi de permutation écrite au \no{408}, le lacet~$(a_{0})$ reproduit
ces mêmes valeurs dans un autre ordre; on en conclut que la fonction~$U$
n'a que les cinq valeurs précédentes, et, par conséquent, qu'elle
satisfait à une équation algébrique entre $u$~et~$U$, du cinquième degré en~$U$.

Pour $n = 7$, il y a deux combinaisons favorables
\begin{gather*}
\Tag{(3)}
U = (V - v_{0}) (v_{2} - v_{3}) (v_{4} - v_{6}) (v_{1} - v_{5}), \\
\Tag{(4)}
U = (V - v_{0}) (v_{2} - v_{6}) (v_{5} - v_{4}) (v_{1} - v_{3}).
\end{gather*}
On les obtient de la manière suivante: sur le lacet~$(a_{0})$ la loi de
permutation est $(V, v_{5}, v_{6}, v_{4}, v_{3}, v_{1}, v_{2})$. Prenons comme premier facteur~$V - v_{0}$,
et comme second $v_{2} - v_{\alpha}$, par exemple $v_{2} - v_{3}$; quand on
décrit le lacet~$(a_{0})$, le produit $(V - v_{0}) (v_{2} - v_{3})$ devient $(v_{5} - v_{0}) (V - v_{1})$:
le premier produit complété, devant reproduire le second après le
lacet~$(O)$ parcouru une fois, contiendra le facteur $v_{4} - v_{6}$, qui donne
\DPPageSep{664.png}{656}
naissance à~$v_{5} - v_{0}$, et, par suite, le dernier facteur sera $v_{1} - v_{5}$. Par
le lacet~$(O)$, la fonction~\Eq{(3)} acquiert sept valeurs; ces mêmes valeurs
se reproduisent sur le lacet~$(a_{0})$; on en conclut que la fonction~$U$ satisfait
à une équation algébrique entre $u$~et~$U$, du septième degré en~$U$.
La fonction~\Eq{(4)} jouit de la même propriété.

Pour $n = 11$, on a aussi deux combinaisons favorables
\begin{align*}
\Tag{(5)}
U &= (V - v_{0}) (v_{10} - v_{5}) (v_{3} - v_{6}) (v_{9} - v_{7}) (v_{2} - v_{1}) (v_{4} - v_{8}), \\
\Tag{(6)}
U &= (V - v_{0}) (v_{10} - v_{9}) (v_{8} - v_{5}) (v_{7} - v_{3}) (v_{6} - v_{1}) (v_{2} - v_{4}),
\end{align*}
que l'on obtient de la même manière. Sur le lacet~$(a_{0})$ la loi de permutation
est $(V, v_{1}, v_{6}, v_{4}, v_{3}, v_{9}, v_{2}, v_{8}, v_{7}, v_{5}, v_{10})$. On prendra comme
premier facteur~$V - v_{0}$ et comme second~$v_{10} - v_{\alpha}$. Pour $n = 13$, il n'y
a pas de combinaison favorable.

\Paragraph{423.} De l'abaissement du degré de l'équation modulaire pour $n = 5$,
M.~Hermite a déduit une méthode de résolution de l'équation du cinquième
degré par les fonctions elliptiques (\textit{Comptes rendus}, t.~XVIII).
Formons l'équation du cinquième degré en~$U$. Les valeurs de~$U$ étant
finies pour toutes les valeurs finies de~$u$, le coefficient de~$U^{5}$ est égal à
l'unité. Pour $u = \infty$, les six valeurs de~$v$ sont infinies, l'une du degré~$5$,
les autres du degré~$\dfrac{1}{5}$ (\no{408}); les cinq valeurs de~$U$ sont infinies et
du degré~$\dfrac{27}{5}$; la somme des ordres négatifs de la fonction~$U$ étant égale
à~$27$, l'équation est du degré~$27$ par rapport à~$u$ (\no{135}).

Pour les valeurs de~$u$ très-petites, les valeurs approchées de~$v$ sont
\begin{gather*}
%[** TN: Re-breaking]
V = -2^{-2} u^{5}, \\
v_{0} = 2^{\efrac{2}{5}}u^{\efrac{1}{5}},\quad
v_{1} = v_{0} e^{\efrac{2\pi i}{5}},\quad
v_{2} = v_{0} e^{2\, \efrac{2\pi i}{5}},\quad
v_{3} = v_{0} e^{3\, \efrac{2\pi i}{5}},\quad
v_{4} = v_{0} e^{4\, \efrac{2\pi i}{5}},
\end{gather*}
et, par conséquent, celles de~$U$ sont
\[
%[** TN: Re-breaking, added brace]
\Tag{(7)}
\left\{
\begin{gathered}
U_{0} = 2^{\efrac{6}{5}} 5^{\efrac{1}{2}} u^{\efrac{3}{5}}, \\
U_{1} = U_{0} e^{\efrac{6\pi i}{5}},\quad
U_{2} = U_{0} e^{2\, \efrac{6\pi i}{5}},\quad
U_{3} = U_{0} e^{3\, \efrac{6\pi i}{5}},\quad
U_{4} = U_{0} e^{4\, \efrac{6\pi i}{5}}.
\end{gathered}
\right.
\]

Nous avons posé $\xi = \dfrac{v}{u^{5}}$; posons de même
\[
\Phi = \frac{U}{u^{15}}
  = (\xi - \xi_{0}) (\xi_{1} - \xi_{4}) (\xi_{2} - \xi_{3});
\]
\DPPageSep{665.png}{657}
les coefficients de l'équation en~$\xi$ étant des polynômes entiers en~$u^{8}$
(\no{401}), ceux de l'équation en~$\Phi$ jouiront de la même propriété; les
valeurs de~$\Phi$ ne devenant infinies que pour $u = 0$, cette équation est de
la forme
\[
u^{8\beta_{0}} \Phi^{5} + \sum_{p=1}^{p=4} u^{8\beta_{p}}
  (a_{p} + b_{p} u^{8} + c_{p} u^{16} + \ldots) \Phi^{5 - p}
  + (a_{5} + b_{5} u^{8} + c_{5} u^{16} + \ldots) = 0.
\]

En remplaçant~$\Phi$ par~$\dfrac{U}{u^{15}}$ et multipliant par~$u^{3}$, on obtient l'équation
\[
u^{8(\beta_{0} - 9)} U^{5} + \sum_{p=1}^{p=4} u^{8(\beta_{p} - 9) + 15p}
  (a_{p} + b_{p} u^{8}  \ldots) U^{5 - p}
  + u^{3} (a_{5} + \DPtypo{a_{5}}{b_{5}} u^{8} + \ldots) = 0.
\]
Pour les valeurs très-petites de~$u$, les valeurs de~$U$ étant très-petites du
degré~$\dfrac{3}{5}$, et formant un système circulaire, on a $\beta_{0} = 9$, $a_{5} = -2^{6} 5^{\efrac{5}{2}}$,
$8 (\beta_{p} - 9) + 15p > 3$, et, par suite, $\beta_{p} \geqq 10 - 2p$; nous prendrons
$\beta_{p} = 10 - 2p$. L'équation cherchée est donc de la forme
\[
\Tag{(8)}
U^{5} + \sum_{p=1}^{p=4} u^{8 - p}
  (a_{p} + b_{p} u^{8} + c_{p} u^{16}) U^{5 - p}
  + u^{3} (a_{5} + b_{5} u^{8} + c_{5} u^{16} + d_{5} u^{24}) = 0.
\]

Si l'on considère la fonction
\[
(U) = \bigl[(V) - (v_{0})\bigr]
      \bigl[(v_{1}) - (v_{4})\bigr]
      \bigl[(v_{2}) - (v_{3})\bigr],
\]
relative à la variable $u_{1} = \dfrac{1}{u}$, on~a
\[
(U) = \frac{-1}{V v_{0} v_{1} v_{2} v_{3} v_{4}}
  (V - v_{2}) (v_{3} - v_{1}) (v_{4} - v_{0})
  = \frac{U}{u^{6}},
\]
puisque le produit des racines de l'équation modulaire (\no{411}) est égal à~$-u^{6}$.
Ainsi l'équation~\Eq{(8)} ne doit pas changer quand on y remplace~$u$
par~$\dfrac{1}{u}$ et $U$ par~$\dfrac{U}{u^{6}}$. Mais, par cette substitution, l'équation devient
\[
U^{5} + \sum_{p=1}^{p=4} u^{7p - 8}
  (a_{p} + b_{p} u^{-8} + c_{p} u^{-16}) U^{5 - p}
  + u^{3} (d_{5} + c_{5} u^{8} + b_{5} u^{16} + a_{5} u^{24}) = 0;
\]
\DPPageSep{666.png}{658}
on en conclut qu'elle ne contient pas de terme en~$U^{4}$ et que l'on~a
\[
b_{2} = c_{2} = 0,\quad
c_{3} = 0,\quad
b_{3} = a_{3},\quad
c_{4} = a_{4},\quad
d_{5} = a_{5},\quad
c_{5} = b_{5}.
\]
L'équation se réduit à
\[
\Tag{(9)}
\left\{
\begin{aligned}
U^{5} + a_{2} u^{6} U^{3} + a_{3} u^{5} (1 + u^{8}) U^{2}
  &+ u^{4} (a_{4} + b_{4} u^{8} + a_{4} u^{16}) U \\
  &+ u^{3} (a_{5} + b_{5} u^{8} + b_{5} u^{16} + a_{5} u^{24}) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Pour $u = 1$, la racine~$v_{0}$ de l'équation modulaire est égale à~$+1$, et les
cinq autres à~$-1$ (\no{406}); les cinq valeurs de~$U$ s'annulent; les polynômes
en~$u$, coefficients des diverses puissances de~$U$ dans l'équation~\Eq{(9)},
devant s'annuler pour $u = 1$, on en déduit $a_{2} = 0$, $a_{3} = 0$,
$b_{4} = -2a_{4}$, $b_{5} = -a_{5}$, ce qui réduit l'équation à la forme simple
\[
\Tag{(10)}
U^{5}
  + a_{4} u^{4} (1 - u^{8})^{2} U
  + a_{5} u^{3} (1 - u^{8})^{2} (1 + u^{8}) = 0.
\]

Nous connaissons le coefficient~$a_{5}$; il reste à déterminer le coefficient~$a_{4}$;
nous suivrons la marche qui a été indiquée au \no{411} pour le calcul
de l'équation modulaire. A une valeur réelle, positive et très-petite de~$u$,
correspond une valeur de~$\rho$ de la forme $\rho = si$, $s$~étant positive et très-grande
et par conséquent une valeur de~$q$ réelle, positive et très-petite.
En développant~$\phi(\rho)$ en série et se bornant aux deux premiers termes,
on~a
\begin{align*}
  u &= 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{8}} (1 - q),\quad
  v_{0} = 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{40}} \left(1 - q^{\efrac{1}{5}}\right), \\
%
  v_{1} &= 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{40}}
  \left(e^{\efrac{2\pi i}{5}} - q^{\efrac{1}{5}} e^{-\efrac{2\pi i}{5}}\right), \quad
  v_{2} = 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{40}}
  \left(e^{\efrac{4\pi i}{5}} - q^{\efrac{1}{5}} e^{-\efrac{4\pi i}{5}}\right), \\
%
  v_{3} &= 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{40}}
  \left(e^{-\efrac{4\pi i}{5}} - q^{\efrac{1}{5}} e^{\efrac{4\pi i}{5}}\right), \quad
  v_{4} = 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{40}}
  \left(e^{-\efrac{2\pi i}{5}} - q^{\efrac{1}{5}} e^{\efrac{2\pi i}{5}}\right), \\
%
  v_{1} - v_{4} &= i2^{\efrac{3}{2}} \sin \frac{2\pi}{5}
    q^{\efrac{1}{40}} \left(1 + q^{\efrac{1}{5}}\right),\quad
  v_{2} - v_{3} = i2^{\efrac{3}{2}} \sin \frac{4\pi}{5}
    q^{\efrac{1}{40}} \left(1 + q^{\efrac{1}{5}}\right), \\
%
  U_{0} &= 2^{\efrac{3}{2}} 5^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{3}{40}}
    \left(1 + q^{\efrac{1}{5}}\right).
\end{align*}
En substituant dans l'équation~\Eq{(10)}, divisant tous les termes par~$q^{\efrac{3}{8}}$,
puis égalant à zéro le terme constant et le coefficient de~$q^{\efrac{1}{5}}$, on
\DPPageSep{667.png}{659}
trouve $a_{5} = -2^{6} 5^{\efrac{5}{2}}$, $a_{4} = -2^{4} 5^{3}$. L'équation cherchée est donc
\[
\Tag{(11)}
U^{5} - 2^{4} 5^{3} u^{4} (1 - u^{8})^{2} U
  - 2^{6} 5^{\efrac{5}{2}} u^{3} (1 - u^{8})^{2} (1 + u^{8}) = 0.
\]

\Paragraph{424.} Si l'on pose $x = hU$, cette équation devient
\[
\Tag{(12)}
x^{5} - 2^{4} 5^{3} h^{4} u^{4} (1 - u^{8})^{2}x
  - 2^{6} 5^{\efrac{5}{2}} u^{3} (1 - u^{8})^{2} (1 + u^{8}) = 0.
\]
On sait que M.~Jerrard a ramené l'équation générale du cinquième degré
à la forme
\[
\Tag{(13)}
x^{5} - Ax - B = 0.
\]
Or on peut disposer des deux paramètres $u$~et~$h$ que renferme l'équation~\Eq{(12)},
de manière à identifier les deux équations précédentes. Il
suffit pour cela de poser
\[
2^{4} 5^{3} h^{4} u^{4} (1 - u^{8})^{2} = A,\quad
2^{6} 5^{\efrac{5}{2}} h^{5} u^{3} (1 - u^{8})^{2} (1 + u^{8}) = B,
\]
d'où
\[
\Tag{(14)}
h = \frac{\sqrt{5}}{4}\, \frac{B}{A}\, \frac{u}{1 + u^{8}};
\]
en substituant cette valeur de~$h$ dans l'équation
\[
2^{2} 5^{\efrac{3}{2}} h^{2} u^{2} (1 - u^{8}) = \sqrt{A},
\]
on arrive à l'équation du second degré
\[
\Tag{(15)}
\left(u^{4} - \frac{1}{u^{4}}\right)^{2}
  + \frac{5^{\efrac{5}{2}} B^{2}}{4A^{2}\sqrt{A}}
    \left(u^{4} - \frac{1}{u^{4}}\right) + 4 = 0.
\]
De cette dernière équation, on déduira~$u^{4} - \dfrac{1}{u^{4}}$, et par conséquent $u^{4}$
ou~$k$; on cherchera l'une des valeurs correspondantes de~$q$ ou de~$\rho$; on
en déduira les six valeurs de~$v$, et par suite, à l'aide des formules~\Eq{(2)},
les cinq valeurs de~$U$; en les multipliant par la quantité connue~$h$, on
aura enfin les racines de l'équation proposée~\Eq{(13)}.
\DPPageSep{668.png}{660}

\Paragraph{425.} On verrait de la même manière que, pour $n = 7$, l'équation
en~$U$, qui est du $52$\ieme~degré en~$u$, est de la forme
\[
\Tag{(16)}
\left\{
\begin{aligned}
U^{7} + a_{3} u^{4} (1 - u^{8}) U^{4}
  &+ a_{5} u^{4} (1 - u^{8})^{4} U^{2} + a_{6} u^{8} (1 - u^{8})^{4} U \\
  &+ a_{7} u^{4} (1 - u^{8})^{4} (1 - u^{8} + u^{16}) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
La considération du discriminant (\no{413}) sert à déterminer le dernier
terme. On obtiendra les quatre coefficients qui restent dans l'équation
en développant en série, comme précédemment, la fonction~$\phi(\rho)$, et
poussant le développement jusqu'au cinquième terme, savoir:
\[
u = 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{8}} (1 - q + 2q^{2} - 3q^{3} + 4q^{4}),\quad
v_{0} = 2^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{4}{56}} \left(
  1 - q^{\efrac{1}{7}} + 2q^{\efrac{2}{7}} - 3q^{\efrac{3}{7}} + 4q^{\efrac{4}{7}}
\right).
\]
On trouve ainsi, pour la première combinaison,
\[
U = i2^{2} 7^{\efrac{1}{2}} q^{\efrac{1}{14}}
  \left(1 - \frac{1 - i\sqrt{7}}{2} q^{\efrac{2}{7}} + q^{\efrac{4}{7}}\right),
\]
d'où
\[
\llap{$a_{7}$} = i2^{12} 7^{\efrac{7}{2}},\quad
a_{5} = 0,\quad
a_{3} = -i2^{4} 7^{\efrac{5}{2}}\, \frac{1 - i\sqrt{7}}{2},\quad
a_{6} = 2^{8} 7^{4}
  \left[1 - \left(\frac{1 - i\sqrt{7}}{\DPtypo{1}{2}}\right)^{2}\right].
\]

On déduit la seconde combinaison de la première, en remplaçant~$i$
par~$-i$.

\DPPageSep{669.png}{661}


\Livre{IX}{Théorème D'Abel}

\Chapitre{Premier}{Intégrales Abéliennes}

\Paragraph{426.} Soit $F(x, y) = 0$ une équation algébrique et entière, irréductible,
et du degré~$m$ par rapport à~$y$. A chaque valeur de~$x$ correspondent
$m$~valeurs de~$y$. Lorsque la variable~$x$ part d'un point fixe~$x_{0}$,
$y$~ayant une valeur initiale~$y_{0}$, et décrit différents chemins qui aboutissent
à un même point~$x$, la fonction algébrique~$y$ acquiert $m$~valeurs
en ce point. Nous associerons à la variable~$x$ la valeur correspondante
de~$y$ sur chaque courbe, et nous appellerons \emph{point analytique} le système
des valeurs de $x$~et~$y$. Nous dirons que deux courbes décrites par
le point~$(x, y)$ se coupent, lorsqu'au point d'intersection des deux
courbes géométriques qui figurent la variation de~$x$ la valeur de~$y$ est
la même. Le point analytique décrit une courbe fermée, ou un cycle
(\no{104}), lorsque la valeur de~$y$ redevient la même au point de départ.

On a donné le nom d'\emph{intégrales abéliennes} aux intégrales définies
\[
\Tag{(1)}
\int \phi(x, y)\, dx,
\]
dans lesquelles $\phi(x, y)$~est une fonction rationnelle de $x$~et~$y$. Ces
intégrales rentrent dans la catégorie de celles que nous avons étudiées
dans le \Ref{3.4}{Chapitre~IV du troisième Livre}; car la quantité $u = \phi(x, y)$ est
elle-même une fonction algébrique de~$x$, satisfaisant à une équation du
degré~$m$ par rapport à~$u$.
\DPPageSep{670.png}{662}

Nous avons démontré (\no{106}) que, pour chaque valeur de~$x$, l'intégrale
acquiert $m$~valeurs, augmentées chacune de multiples quelconques
de certaines périodes. Nous nous proposons maintenant de rechercher
les intégrales auxquelles on peut ramener toutes les autres, quand
l'équation $F(x, y) = 0$ reste la même, et que la fraction rationnelle
$\phi(x, y)$ est quelconque.

Nous mettrons d'abord l'intégrale sous la forme adoptée par Abel.
Concevons que l'on opère une substitution du premier degré
\[
x = \frac{bx' + b'y' + b''}{ax' + a'y' + a''},\quad
y = \frac{cx' + c'y' + c''}{ax' + a'y' + a''};
\]
l'équation proposée se transforme en une équation $f(x', y') = 0$, du
même degré; désignons par~$m$ ce degré par rapport aux deux variables
$x'$~et~$y'$. Si l'on pose
\[
A = a'b'' - b'a'',\quad
A' = a''b - b''a,\quad
A'' = ab' - ba',
\]
et si l'on rend l'équation homogène en y remplaçant $x'$~et~$y'$ par $\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}$,
et multipliant par~$z'^{m}$, on~a
\[
dx = \frac{\left(A \dfrac{df}{dx'}
             + A'  \dfrac{df}{dy'}
             + A'' \dfrac{df}{dz'}\right) dx'}
          {(ax' + a'y' + a'')^{2} \dfrac{df}{dy'}}.
\]
La fraction~$\phi(x, y)$ est le quotient de deux polynômes entiers $M$~et~$N$;
appelons $n$~le degré du dénominateur, $n'$~celui du numérateur; après
la substitution, on aura
\[
\phi(x, y) = \frac{M'}{N'(ax' + a'y' + a'')^{n'-n}},
\]
$M'$~et~$N'$ étant des polynômes entiers en $x'$~et~$y'$, le premier du degré~$n'$,
le second du degré~$n$. Si l'on pose maintenant
\[
\psi(x', y')
  = \frac{M' \left(A \dfrac{df}{dx'}
               + A'  \dfrac{df}{dy'}
               + A'' \dfrac{df}{dz'}\right)}
         {N' (ax' + a'y' + a'')^{n'-n+2}},
\]
\DPPageSep{671.png}{663}
l'intégrale prend la forme
\[
\int \psi(x', y')\, \frac{dx'}{\left(\dfrac{df}{dy'}\right)}.
\]
Dans la nouvelle fraction rationnelle~$\psi(x', y')$, le degré du numérateur
surpasse de $m - 3$~unités celui du dénominateur.

\Paragraph{427.} D'après cela, étant donnée l'équation $f(x, y) = 0$ du degré~$m$
par rapport à~$x$ et à~$y$, nous considérerons l'intégrale
\[
\Tag{(2)}
\int \psi(x, y)\, \dfrac{dx}{f'_{y}},
\]
dans laquelle $\psi(x, y)$~désigne le quotient de deux polynômes entiers
$M$~et~$N$, dont le second est d'un degré quelconque~$n$, le premier du degré
$n + m - 3$. La substitution du premier degré nous permet de supposer
que l'équation renferme un terme en~$y^{m}$ et un en~$x^{m}$; les $m$~valeurs de~$y$
conservent alors des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de~$x$, et
deviennent infinies avec~$x$; nous pouvons supposer aussi que les $m$~valeurs
du rapport~$\dfrac{y}{x}$ restent finies et différentes, quand $x$~devient infini;
chaque branche de l'intégrale conserve alors une valeur finie au point
$x = \infty$ sur la sphère, et reste holomorphe dans le voisinage de ce
point; car la quantité $v = ux^{2}$ reste finie (\no{110}).

On peut remplacer la fraction rationnelle~$\dfrac{M}{N}$ par une autre dont le
dénominateur ne renferme que la variable~$x$. Soient, en effet,
\begin{alignat*}{4}
  f &= a_{0} y^{m} &&+ a_{1} y^{m-1} &&+ \ldots &&+ a_{m}, \\
  N &= b_{0} y^{n} &&+ b_{1} y^{n-1} &&+ \ldots &&+ b_{n},
\end{alignat*}
les coefficients $a$~et~$b$ étant des polynômes entiers en~$x$, dont les degrés
sont marqués par les indices. On sait que, si l'on élimine~$y$ entre les
deux équations $f = 0$, $N = 0$, le premier membre de l'équation résultante
\DPPageSep{672.png}{664}
$X = 0$ est le déterminant
\[
X =
\left\lvert
  \begin{matrix}
    a_{0} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{m} &    0 & \ldots & 0 \\
    0     & a_{0} & a_{1} & \ldots & \ldots& a_{m}& \ldots & 0 \\
    \ldots&\ldots &\ldots& \ldots & \ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\
    0     & 0     & 0    & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{m} \\
    b_{0} & b_{1} & b_{2} & \ldots & \ldots&\ldots& \ldots & 0 \\
    0     & b_{0} & b_{\DPtypo{2}{1}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\
    \ldots&\ldots & \ldots&  \ldots& \ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\
    0     & 0     & 0    & \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&b_{n}
  \end{matrix}
\right\rvert\Add{.}
\]
C'est un polynôme entier en~$x$ du degré~$mn$. Si l'on multiplie les éléments
de la première colonne verticale par~$y^{m+n-1}$\Add{,} ceux de la seconde
par $y^{m+n-2}, \ldots$, ceux de l'avant-dernière par~$y$, et qu'après les avoir ainsi
multipliés on les ajoute à la dernière, on remplace cette dernière colonne
par
\[
y^{n-1} f,\
y^{n-2} f,\ \ldots,\ f,\quad
y^{m-1} N,\
y^{m-2} N,\ \ldots,\ N,
\]
sans changer la valeur du déterminant; mais alors ce déterminant,
ordonné par rapport aux éléments de la dernière colonne, se compose
de deux parties, contenant en facteur, l'une~$f$, l'autre~$N$, et l'on~a
\[
\Tag{(3)}
X = Af + BN.
\]
Les polynômes $A$~et~$B$ sont les déterminants que l'on obtient en remplaçant
dans le déterminant~$X$ la dernière colonne par l'une ou l'autre
des deux suites
\begin{gather*}
  y^{n-1},\ y^{n-1},\ \ldots,\ 1,\quad 0,\ \ldots,\ 0,\ 0, \\
  0,\ \ldots,\ 0,\ \ldots,\ 0,\quad y^{m-1},\ y^{m-2},\ \ldots,\ 1;
\end{gather*}
ordonnés par rapport à~$y$, ils sont de la forme
\begin{alignat*}{4}
  A &= A_{0} y^{n-1} &&+ A_{1} y^{n-2} &&+ \ldots &&+ A_{n-1}, \\
  B &= B_{0} y^{m-1} &&+ B_{1} y^{m-2} &&+ \ldots &&+ B_{m-1}\DPtypo{,}{.}
\end{alignat*}
Les coefficients $A_{h}$~et~$B_{h}$, qui sont, au signe près, les sous-déterminants
relatifs aux éléments de la dernière colonne, sont des polynômes entiers
en~$x$ du degré $(m - 1) (n - 1) + h$, et, par conséquent, les degrés des
\DPPageSep{673.png}{665}
polynômes $A$~et~$B$ sont respectivement $mn - m$ et $mn - n$ par rapport
aux deux variables $x$~et~$y$.

Cela posé, si l'on multiplie par~$B$ les deux termes de la fraction~$\dfrac{M}{N}$,
on aura, en vertu de la relation~\Eq{(3)}, et en tenant compte de l'équation
$f = 0$,
\[
\frac{M}{N} = \frac{BM}{BN} = \frac{BM}{X}.
\]
Le dénominateur de la nouvelle fraction ne contient plus que la variable~$x$.
Le numérateur est un polynôme entier en $x$~et~$y$, du degré
$mn + m - 3$ par rapport à ces deux variables, mais seulement du degré
$n + 2m - 4$ par rapport à~$y$; nous le représenterons par
\[
BM = X_{(m-1)(n-1)} y^{2m+n-4}
   + X_{(m-1)(n-1) + 1} y^{2m+n-5} + \ldots
   + X_{mn+m-3},
\]
en indiquant par des indices les degrés des coefficients.

\Paragraph{428.} Il est clair que l'équation $f = 0$ permet de réduire ce polynôme
au degré~$m - 1$ par rapport à~$y$, sans changer le degré total; soit
\[
BM = X'_{mn-2} y^{m-1} + X'_{mn-1} y^{m-2} + \ldots + X'_{mn+m-3}.
\]
On peut même le réduire au degré~$m - 2$. On a, en effet,
\begin{gather*}
f'_{y} = ma_{0} y^{m-1} + (m - 1) a_{1} y^{m-2} + \ldots, \\
BM - \frac{X'_{mn-2}}{ma_{0}} f'_{y}
  = X''_{mn-1} y^{m-2} + X''_{mn} y^{m-3} + \ldots + X''_{mn+m-3} = H,
\end{gather*}
et, par suite,
\[
\int \frac{BM}{X}\, \frac{dx}{f'_{y}}
  = \int \frac{X'_{mn-2}}{ma_{0} X}\, dx + \int \frac{H}{X}\, \frac{dx}{f'_{y}}.
\]
En faisant abstraction de la première intégrale, qui s'exprime par une
quantité algébrique et le logarithme d'une quantité algébrique, on a à
considérer l'intégrale
\[
\Tag{(4)}
\int \frac{H}{X}\, \frac{dx}{f'_{y}},
\]
\DPPageSep{674.png}{666}
dans laquelle le dénominateur~$X$ est un polynôme entier en~$x$ du
degré~$mn$, et le numérateur~$H$ un polynôme entier en $x$~et~$y$ du degré
$mn + m - 3$ par rapport à ces deux variables, mais seulement du degré
$m - 2$ par rapport à~$y$.

Si l'on divise par~$X$ les coefficients $X''_{mn}, X''_{mn+1}, \ldots$ du polynôme~$H$, à
partir du second, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes
de~$x$, on aura des quotients $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{m-3}$ de degrés marqués
par les indices, et des restes $R_{0}, R_{1}, \ldots, R_{m-3}$ du degré~$mn - 1$. En posant
\begin{gather*}
  Q = c_{0} y^{m-3} + c_{1} y^{m-4} + \ldots + c_{m-3}, \\
  R = X''_{mn-1} y^{m-2} + R_{0} y^{m-3} + R_{1} y^{m-4} + \ldots + R_{m-3},
\end{gather*}
on a ainsi
\[
\frac{H}{X} = Q + \frac{R}{X},
\]
et l'intégrale~\Eq{(4)} se partage en deux parties
\[
\Tag{(5)}
\int \frac{Q\, dx}{f'_{y}},\quad
\int \frac{R}{X}\, \frac{dx}{f'_{y}}.
\]

Chacune des fractions rationnelles $\dfrac{X''_{mn-1}}{X}, \dfrac{R_{0}}{X}, \ldots$ se décompose en
une somme de fractions simples de la forme~$\dfrac{A}{(x - a)^{q}}$, $A$~étant une
constante et $a$~une racine du dénominateur. La seconde intégrale se
décompose donc en intégrales telles que
\[
\Tag{(6)}
\int \frac{G\, dx}{(x - a)^{q} f'_{y}},
\]
$G$~étant un polynôme entier en~$y$, indépendant de~$x$, et du degré~$m - 2$.


\Section{Intégrales abéliennes de première et de seconde espèce}

\Paragraph{429.} Considérons la première des intégrales~\Eq{(5)}, savoir
\[
\Tag{(7)}
V = \int \frac{Q\, dx}{f'_{y}}.
\]
Le polynôme~$Q$, du degré~$m - 3$ en $x$~et~$y$, renferme $\dfrac{(m - 1) (m - 2)}{2}$
\DPPageSep{675.png}{667}
coefficients; on peut donc ramener toutes les intégrales~\Eq{(7)} à
$\dfrac{(m - 1) (m - 2)}{2}$ intégrales particulières de cette sorte. Parmi ces intégrales,
il en est qui conservent une valeur finie sur toute la sphère; ce
sont celles-là que l'on appelle \emph{intégrales de première espèce}. D'après ce
que nous avons dit au \no{427}, les $m$~valeurs de~$y$ restent finies pour
toutes les valeurs finies de~$x$, et le point $x = \infty$ est un point ordinaire
pour la fonction~$V$; il suffit donc d'examiner ce qui a lieu quand $f'_{y} = 0$,
c'est-à-dire aux points où plusieurs racines de l'équation $f = 0$ deviennent
égales entre elles. Soit $(x_{1}, y_{1})$~un point où $n$~racines de l'équation
$f = 0$ sont égales à~$y_{1}$; posons $x = x_{1} + x'$, $y = y_{1} + y'$. Dans le
cas particulier où la dérivée~$f'_{x}$ n'est pas nulle, on a (\no{33})
\[
f = (Ax' + by'^{n}) + \ldots;
\]
les $n$~racines égales forment un système circulaire et sont représentées
par la série
\[
y' = v_{0} x'^{\efrac{1}{n}} + v_{1} x'^{\efrac{2}{n}} + \ldots;
\]
on en déduit
\[
f'_{y} = nB y'^{n-1} + \ldots = v'_{0} x'^{1-\efrac{1}{n}} + \ldots.
\]
La fonction $u = \dfrac{Q}{f'_{y}}$, placée sous le signe somme, étant une quantité
infiniment grande d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale conserve
une valeur finie, mais elle acquiert $n$~valeurs différentes, quand la
variable tourne autour du point critique (\no{107}).

En général, les $n$~racines égales se partagent en plusieurs systèmes
circulaires représentés chacun par une série de la forme
\[
y' = v_{0} x'^{\efrac{q}{p}} + v_{1} x'^{\efrac{q+1}{p}} + \ldots.
\]
Si $A y'^{\alpha} x'^{\beta}$ est le premier terme du premier groupe dans l'équation(\no{34}),
$f$~est, par rapport à~$x'$, un infiniment petit du degré~$\alpha \dfrac{q}{p} + \beta$, et, par
conséquent, $f'_{y}$~un infiniment petit d'un degré $(\alpha - 1) \dfrac{q}{p} + \beta$, égal ou supérieur
à l'unité. Supposons que dans le numérateur $Q = Q_{1} + \sum A'y'^{\alpha'} x'^{\beta'}$
on ait remplacé~$y'$ par sa valeur; pour que l'intégrale reste finie, il faudra
\DPPageSep{676.png}{668}
égaler à zéro le terme constant~$Q_{1}$ et les coefficients de tous les
termes dont les degrés sont inférieurs ou égaux à~$(\alpha - 1) \dfrac{q}{p} + (\beta - 1)$.
Chaque point double à tangentes distinctes donne la seule condition
$Q_{1} = 0$. On obtiendra ainsi un certain nombre de relations linéaires entre
les coefficients du polynôme~$Q$; si $m'$~est le nombre des relations distinctes,
il restera $m_{1} = \dfrac{(m - 1) (m - 2)}{2} - m'$ coefficients arbitraires; ce
sera le nombre des intégrales de première espèce. Pour toutes ces intégrales,
les points critiques sont ceux de la fonction algébrique~$y$,
définie par l'équation $f(x, y) = 0$; les mêmes cycles donneront leurs
périodes; nous avons vu (\nos~\nref{111}~et~\nref{242}) que le nombre des périodes
distinctes, pour chacune d'elles, est au plus égal à~$\sum (p - 1) - 2(m - 1)$.

Outre ces intégrales toujours finies, nous en prendrons $m'$~autres,
que nous choisirons de manière que chacune d'elles satisfasse aux $m'$~équations
de condition, excepté une; ce seront les \emph{intégrales de seconde
espèce}. La première satisfait aux $m'$~conditions, excepté la première;
la seconde aux $m'$~conditions, excepté la seconde, et ainsi de suite.
Chacune des intégrales de seconde espèce ne devient infinie qu'en un
point sur la sphère.


\Section{Intégrales abéliennes de troisième espèce}

\Paragraph{430.} Dans l'intégrale~\Eq{(6)}, la lettre~$a$ désigne un paramètre arbitraire,
et $q$~un nombre entier quelconque, cette intégrale étant la dérivée
d'ordre~$q$ par rapport à ce paramètre de l'intégrale
\[
\Tag{(8)}
\int \frac{G\, dx}{(x - a) f'_{y}};
\]
on peut se borner à étudier cette dernière. Le polynôme~$G$, indépendant
de~$x$, et du degré~$m - 2$ en~$y$, contient $m - 1$~coefficients; on~a
donc $m - 1$~intégrales de la forme~\Eq{(8)}. Mais nous considérerons le cas
plus général où $G$~est un polynôme entier en $x$~et~$y$, du degré~$m - 2$
par rapport à ces deux variables. Par une substitution entière et du
premier degré, analogue à une transformation de coordonnées, nous
mettrons la droite $x - a = 0$ sous la forme $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$; l'intégrale
\DPPageSep{677.png}{669}
devient alors
\[
\Tag{(9)}
V = \int \frac{G\, dx}{(\alpha x + \beta y + \gamma) f'_{y}}.
\]

Nous assujettirons d'abord le polynôme~$G$ à satisfaire aux conditions
nécessaires pour que l'intégrale conserve une valeur finie aux
points critiques relatifs à la fonction algébrique~$y$; il restera un
certain nombre de coefficients arbitraires. La droite $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$
coupe la courbe $f = 0$ en $m$~points $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \ldots, (x_{m}, y_{m})$;
nous assujettirons en outre la courbe $G = 0$, qui est du degré~$m - 2$,
à passer par $m - 2$ de ces points, par exemple par les $m - 2$~derniers;
de cette manière, la fonction~$V$ ne deviendra infinie qu'aux deux points
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$, qui sont des pôles simples de la fonction~$u$ placée sous
le signe somme, et des points critiques logarithmiques de l'intégrale
(\no{108}). Telles sont les \emph{intégrales de troisième espèce}.

On peut ramener toutes les intégrales~\Eq{(9)} à $m - 1$~intégrales particulières
de troisième espèce. Soient en effet $G_{1} = 0$, $G_{2} = 0, \ldots,
G_{m-1} = 0$ des courbes particulières du degré~$m - 2$, satisfaisant aux
conditions relatives aux points critiques, et passant par tous les points
d'intersection de la droite $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ et de la courbe $f = 0$,
excepté deux, savoir: la première, par tous les points, excepté le premier
et le dernier; la seconde, par tous les points, excepté le second et
le dernier, et ainsi de suite. Si $G$~est un polynôme quelconque du
degré~$m - 2$, on peut déterminer les constantes $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m-1}$ de
manière que la courbe
\[
G - A_{1}G_{1} - A_{2}G_{2} - \ldots - A_{m-1}G_{m-1} = 0
\]
passe par tous les points d'intersection, excepté le dernier; il suffit
pour cela de prendre
\[
A_{1} = \left(\frac{G}{G_{1}}\right)_{x_{1}}, \quad
A_{2} = \left(\frac{G}{G_{2}}\right)_{x_{2}},\ldots,\quad
A_{m-1} = \left(\frac{G}{G_{m-1}}\right)_{x_{m-1}};
\]
le premier membre de l'équation est alors décomposable en facteurs,
et l'on~a
\[
G - A_{1}G_{1} - A_{2}G_{2} - \ldots - A_{m-1}G_{m-1}
  = (\alpha x + \beta y + \gamma)H,
\]
\DPPageSep{678.png}{670}
$H$~étant un polynôme entier en $x$~et~$y$, du degré~$m - 3$. Si l'on appelle
$V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{m-1}$ les $m - 1$~intégrales de troisième espèce, qui
correspondent aux polynômes $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{m-1}$ on en déduit
\[
V = A_{1} V_{1} + A_{2} V_{2} + \ldots + A_{m-1} V_{m-1}
  + \int \frac{H\, dx}{f'_{y}}.
\]
Toutes les intégrales~\Eq{(9)} se ramènent donc à $m - 1$~intégrales de
troisième espèce, et à des intégrales de première et de seconde espèce.

\Paragraph{431.} Considérons une intégrale de troisième espèce~\Eq{(9)}, telle que la
courbe $G = 0$ passe par tous les points d'intersection de la droite
$\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ avec la courbe $f = 0$, excepté les deux premiers
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$. Afin de rendre les polynômes homogènes, concevons
que l'on remplace $x$~et~$y$ par $\dfrac{x}{z}$~et~$\dfrac{y}{z}$; les coordonnées d'un point quelconque
de cette droite pourront être représentées par
\[
x = x_{1} + tx_{2},\quad
y = y_{1} + ty_{2},\quad
z = z_{1} + tz_{2},
\]
à l'aide d'une variable~$t$. Les points d'intersection de la droite et de
la courbe $f = 0$ sont donnés par l'équation
\[
f(x_{1} + tx_{2}, y_{1} + ty_{2}, z_{1} + tz_{2})
  = u_{0} + u_{1} t + u_{2} t^{2} + \ldots + u_{m} t^{m} = 0,
\]
qui se réduit à
\[
u_{1} + u_{2} t + \ldots + u_{m-1}t^{m-2} = 0,
\]
puisque les coefficients $u_{0}$~et~$u_{m}$ sont nuls. Les points d'intersection de
la droite avec la courbe $G = 0$ sont de même donnés par l'équation
\[
G = v_{1} + v_{2} t + \ldots + v_{m-1} t^{m-2} = 0.
\]
Il faut que ces deux équations admettent les mêmes racines, et, par
conséquent, que leurs coefficients soient proportionnels; en multipliant
$G$~par une constante convenable, on peut faire en sorte que ces coefficients
soient égaux. On aura alors
\[
\frac{v_{1}}{u_{1}} =
\frac{v_{2}}{u_{2}} = \ldots =
\frac{v_{m-1}}{u_{m-1}} = 1,
\]
\DPPageSep{679.png}{671}
et, par suite,
\begin{alignat*}{4}
G_{x_{1}} &= v_{1} &&= u_{1}
  &&= x_{2} f'_{x_{1}} + y_{2} f'_{y_{1}} + z_{2} f'_{z_{1}}
  &&= (x_{2} - x_{1})f'_{x_{1}} + (y_{2} - y_{1})f'_{y_{1}}, \\
%
G_{x_{2}} &= v_{m-1} &&= u_{m-1}
  &&= x_{1} f'_{x_{2}} + y_{1} f'_{y_{2}} + z_{1} f'_{z_{2}}
  &&= (x_{1} - x_{2})f'_{x_{2}} + (y_{1} - y_{2})f'_{y_{2}}.
\end{alignat*}

Nous mettrons l'équation de la droite sous la forme
\[
\alpha x + \beta \DPtypo{x}{y} + \gamma
  = \left\lvert
    \begin{matrix}
      x & x_{1} & x_{2} \\
      y & y_{1} & y_{2} \\
      1 & 1 & 1
    \end{matrix}
  \right\rvert = 0,
\]
à l'aide d'un déterminant, que nous désignerons par le symbole $[x_{1}, x_{2}]$.
En se bornant à la partie principale, on a, dans le voisinage du point
$(x_{1}, y_{1})$,
\begin{gather*}
[x_{1}, x_{2}]
\begin{aligned}[t]
  &= (x - x_{1}) (y_{1} - y_{2}) - (y - y_{1}) (x_{1} - x_{2}) \\
  &= \frac{(x_{1} - x_{2}) f'_{x_{1}} + (y_{1} - y_{2}) f'_{y_{1}}}{f'_{y_{1}}}
    (x - x_{1}),
\end{aligned} \\
%
V = - \int \frac{dx}{x - x_{1}} = - \log (x - x_{1}),
\end{gather*}
et, dans le voisinage du point $(x_{2}, y_{2})$,
\begin{gather*}
[x_{1}, x_{2}]
\begin{aligned}[t]
  &= (x - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) - (y - y_{2}) (x_{1} - x_{2}) \\
  &= \frac{(x_{1} - x_{2}) f'_{x_{2}} + (y_{1} - y_{2}) f'_{y_{2}}}{f'_{y_{2}}}
    (x - x_{2}),
\end{aligned} \\
%
V =  \int \frac{dx}{x - x_{2}} = \log (x - x_{2}).
\end{gather*}
L'intégrale éprouve un accroissement $-2\pi i$ ou $+2\pi i$, quand le point
mobile~$(x, y)$ tourne autour du premier ou du second point, dans le
sens positif.


\Section{Intégrales ultra-elliptiques}

\Paragraph{432.} On appelle ainsi les intégrales abéliennes que l'on obtient
quand l'équation proposée est de la forme
\[
\Tag{(10)}
y^{2} = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \ldots (x - a_{2n}),
\]
le second membre étant un polynôme entier en~$x$, du degré~$2n$ ou~$2n - 1$,
\DPPageSep{680.png}{672}
et le second cas se ramène au premier. La réduction de ces intégrales
est facile. On a, comme au \no{270},
\begin{gather*}
\phi(x, y) = \frac{M + M'y}{N + N'y}
  = \frac{(M + M'y) (N + N'y)}{N^{2} - N'^{2}y^{2}}
  = \frac{P + P'y}{X}, \\
%
\int \phi(x, y)\, dx = \int \frac{P}{X}\, dx + \int \frac{P'y}{X}\, dx.
\end{gather*}
Faisant abstraction de la première partie, considérons la seconde, qui
est de la forme
\[
\int \frac{H}{X}\, \frac{dx}{y},
\]
$H$~et~$X$ étant des polynômes entiers en~$x$. En divisant le premier par le
second, appelant $Q$~le quotient et $R$~le reste d'un degré inférieur à celui
de~$X$, on arrive aux deux intégrales
\[
\int \frac{Q\, dx}{y},\quad
\int \frac{R}{X}\, \frac{dx}{y}.
\]

La première est une somme d'intégrales de la forme
\[
\Tag{(11)}
\int \frac{x^{m}\, dx}{y}.
\]

La seconde se décompose en intégrales de la forme
\[
\Tag{(12)}
\int \frac{dx}{(x - a)^{q} y}.
\]

\Paragraph{433.} Considérons les intégrales~\Eq{(11)}; on~a
\[
\Diff_{x} (x^{m} y)
  = m x^{m-1}y + x^{m} \Diff_{x} y
  = \frac{1}{y} \left[mx^{m-1} y^{2} + \frac{x^{m}}{2} \Diff_{x} (y^{2})\right];
\]
la quantité placée entre parenthèses est un polynôme entier en~$x$ du
degré~$2n + m - 1$, que nous représenterons par
\[
A_{0} x^{2n+m-1} + A_{1} x^{2n+m-2} + \ldots+ A_{2n+m-1};
\]
\DPPageSep{681.png}{673}
on en déduit, par l'intégration
\[
x^{m}y = A_{0} \int \frac{x^{2n+m-1}\, dx}{y}
       + A_{1} \int \frac{x^{2n+m-2}\, dx}{y} + \ldots
       + A_{2n+m-1} \int \frac{dx}{y},
\]
et la première intégrale s'exprime à l'aide des autres. On ramène ainsi
toutes les intégrales~\Eq{(11)} à celles dans lesquelles l'exposant est plus
petit que~$2n - 1$, c'est-à-dire aux $2n - 1$~intégrales
\[
\Tag{(13)}
\int \frac{dx}{y},\quad
\int \frac{x\, dx}{y},\quad
\int \frac{x^{2}\, dx}{y}, \ldots,\quad
\int \frac{x^{2n-2}\, dx}{y}.
\]

Pour que l'intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, il
est nécessaire et il suffit que l'exposant soit inférieur ou égal à~$n - 2$;
il y a donc $n - 1$~intégrales ultra-elliptiques de première espèce, savoir:
\[
\Tag{(14)}
\int \frac{dx}{y},\quad
\int \frac{x\, dx}{y},\quad
\int \frac{x^{2}\, dx}{y}, \ldots,\quad
\int \frac{x^{n-2}\, dx}{y}.
\]
D'après ce que nous avons dit au \no{113}, le nombre des périodes
pour chacune d'elles est~$2n - 2$; nous remarquons qu'il est double de
celui des intégrales de première espèce. Les $n$~intégrales suivantes sont
de seconde espèce.

Les intégrales~\Eq{(12)} sont les dérivées par rapport au paramètre~$a$ de
l'intégrale de troisième espèce
\[
\Tag{(15)}
\int \frac{dx}{(x - a) y}.
\]
Cette intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, excepté
aux deux points d'intersection de la droite $x = a$ avec la courbe~\Eq{(10)}.
Soit $b$ l'une des valeurs de~$y$ pour $x = a$; les deux points critiques sont
$(a, b), (a, -b)$; la partie principale de l'intégrale
\[
\Tag{(16)}
\int \frac{b\, dx}{(x - a) y}
\]
est $\log(x - a)$ dans le voisinage du premier point, et $-\log(x - a)$ dans
le voisinage du second point.
\DPPageSep{682.png}{674}


\Chapitre[Intégrales Abéliennes]
{II}{Relation Entre les Périodes de Deux Intégrales Abéliennes}

\Section{Relation entre les périodes de deux intégrales abéliennes
de première espèce}

\Paragraph{434.} Appelons $U$~et~$V$ deux intégrales de première espèce, relatives
à une même équation algébrique $f(x, y) = 0$ du degré~$m$. Le point~$O'$
sur la sphère étant un point ordinaire, l'intégrale $\int U\, dV$, prise sur
l'un quelconque des circuits, $U$~et~$V$ étant les valeurs des intégrales
comptées à partir de l'origine de ce circuit, est nulle (\no{111}). L'ensemble
des $m$~circuits donne donc l'équation
\[
\Tag{(1)}
\sum \int U\, dV = 0.
\]

Considérons les $p$~lacets binaires de première espèce
\[
(a)_{g_{0}}^{g_{1}},\quad
(a)_{g_{1}}^{g_{2}}, \ldots,\quad
(a)_{g_{p-1}}^{g_{0}},
\]
qui se rapportent à un système circulaire de $p$~racines se permutant
autour du point critique~$a$, et les $p$~circuits
\[
(C)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{0}},\quad
(C)_{\alpha_{1}}^{\alpha_{1}}, \ldots,\quad
(C)_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-1}},
\]
dans lesquels entrent respectivement ces lacets (\no{112}). Cherchons la
partie qui, dans le premier membre de l'équation~\Eq{(1)}, correspond à ces
lacets~$(Oa)$. Sur chaque circuit, un élément~$mm'$ de la droite~$Oa$ est
parcouru deux fois, dans des sens contraires. Nous désignerons par
$dV_{g_{0}}, dV_{g_{1}}, \ldots$ les valeurs de~$dV$ sur l'élément~$mm'$, quand la variable~$x$
décrit la droite~$Oa$, la racine~$y$ ayant en~$O$ l'une des valeurs initiales
\DPPageSep{683.png}{675}
$y_{g_{0}}, y_{g_{1}}, \ldots$. Sur le circuit~$(C)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{0}}$, quand on arrive à l'entrée du lacet~$(a)_{g_{0}}^{g_{1}}$,
l'intégrale~$U$ a acquis la valeur~$U_{\alpha_{0}}^{g_{0}}$; sur la droite~$Om$ elle augmente ensuite
de la quantité~$U_{g_{0}}^{m}$, de sorte qu'elle a en~$m$ la valeur $U_{\alpha_{0}}^{g_{0}} + U_{g_{0}}^{m}$,
et l'élément~$mm'$ donne l'élément différentiel $(U_{\alpha_{0}}^{g_{0}} + U_{g_{0}}^{m})\, dV_{g_{0}}$. Quand
la variable~$x$, après avoir décrit un petit cercle autour du point critique~$a$,
dans le sens positif, revient en~$m$, la fonction~$U$ a une autre
valeur~$U'$; en achevant le circuit, on aurait
\[
U' + U_{m}^{g_{1}} + U_{g_{1}}^{\alpha_{0}},\quad \text{d'où}\quad
U' = -U_{g_{1}}^{\alpha_{0}} + U_{g_{1}}^{m}.
\]
$dV$~ayant sur~$mm'$ la valeur~$-dV_{g_{1}}$, on a le second élément différentiel
$(U_{g_{1}}^{\alpha_{0}} - U_{g_{1}}^{m})\, dV_{g_{1}}$. Ainsi le circuit~$(C)_{\alpha_{0}}^{\alpha_{0}}$ donne, pour l'élément~$mm'$ de la
droite~$Oa$, les deux éléments différentiels
\[
(U_{\alpha_{0}}^{g_{0}} + U_{g_{0}}^{m})\, dV_{g_{0}} +
(U_{g_{0}}^{\alpha_{0}} - U_{g_{1}}^{m})\, dV_{g_{1}};
\]
le circuit~$(C)_{\alpha_{1}}^{\alpha_{1}}$ donne, pour le même élément~$mm'$,
\[
(U_{\alpha_{1}}^{g_{1}} + U_{g_{1}}^{m})\, dV_{g_{1}} +
(U_{g_{2}}^{\alpha_{1}} - U_{g_{2}}^{m})\, dV_{g_{2}},
\]
et ainsi de suite; enfin le circuit~$(C)_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-1}}$ donne
\[
(U_{\alpha_{p-1}}^{g_{p-1}} + U_{g_{p-1}}^{m})\, dV_{g_{p-1}} +
(U_{g_{0}}^{\alpha_{p-1}} - U_{g_{0}}^{m})\, dV_{g_{0}}.
\]
En ajoutant ces résultats, on obtient la partie qui dans la somme~\Eq{(1)}
se rapporte à l'élément~$mm'$, savoir:
\[
\Tag{(2)}
(U_{\alpha_{0}}^{g_{0}} + U_{g_{0}}^{\alpha_{p-1}})\, dV_{g_{0}} +
(U_{\alpha_{1}}^{g_{1}} + U_{g_{1}}^{\alpha_{0}})\, dV_{g_{1}} + \ldots +
(U_{\alpha_{p-1}}^{g_{p-1}} + U_{g_{p-1}}^{\alpha_{p-2}})\, dV_{g_{p-1}}.
\]
Posons
\[
U_{\alpha_{1}}^{g_{1}} + U_{g_{1}}^{\alpha_{0}}
  = A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}},\quad
U_{\alpha_{2}}^{g_{2}} + U_{g_{2}}^{\alpha_{1}}
  = A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}}, \ldots,\quad
U_{\alpha_{0}}^{g_{0}} + U_{g_{0}}^{\alpha_{p-1}}
  = A_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}},
\]
et remarquons que ces quantités sont les valeurs de l'intégrale~$U$, relatives
aux lacets de seconde espèce $(a')_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}}, (a')_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}},\ldots, (a')_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{0}}$, décrits dans
le sens négatif (\no{112}); la quantité précédente se réduit à
\[
\Tag{(3)}
A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}}\, dV_{g_{1}} +
A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}}\, dV_{g_{2}} + \ldots +
A_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}}\, dV_{g_{0}}.
\]

Il faut considérer maintenant les éléments successifs de la droite~$Oa$,
\DPPageSep{684.png}{676}
c'est-à-dire intégrer de~$O$ à~$a$. Si l'on appelle $h_{g_{0}}, h_{g_{1}}, \ldots$ les valeurs
de l'intégrale~$V$, relatives à la droite~$Oa$, quand la racine~$y$ a
en~$O$ l'une des valeurs initiales $y_{g_{0}}, y_{g_{1}}, \ldots$, on obtient la quantité
\[
\Tag{(4)}
A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}}\, h_{g_{1}} +
A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}}\, h_{g_{2}} + \ldots +
A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}}\, h_{g_{p-1}} +
A_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}}\, h_{g_{0}}.
\]

La somme des valeurs de l'intégrale~$U$, relatives aux $p$~lacets binaires
de seconde espèce étant nulle, on~a
\[
A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} +
A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} + \ldots +
A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}} +
A_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}} = 0,
\]
et la quantité~\Eq{(4)} devient
\[
\Tag{(5)}
- A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} (h_{g_{0}} - h_{g_{1}})
- A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} (h_{g_{0}} - h_{g_{2}}) - \ldots
- A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}} (h_{g_{0}} - h_{g_{p-1}}).
\]

Nous désignerons par $a_{g_{0}}^{g_{1}}, a_{g_{1}}^{g_{2}}, \ldots, a_{g_{p-1}}^{g_{0}}$ les valeurs de l'intégrale~$U$,
relatives aux $p$~lacets binaires de première espèce, et par $b_{g_{0}}^{g_{1}},
b_{g_{1}}^{g_{2}}, \ldots, b_{g_{p-1}}^{g_{0}}$ celles de l'intégrale~$V$, relatives aux mêmes lacets, décrits
dans le sens positif; comme on~a
\[
\begin{array}{@{}l@{}ll}
h_{g_{0}} - h_{g_{1}} &{}= b_{g_{0}}^{g_{1}}, & \\
h_{g_{0}} - h_{g_{2}}
  &{}= (h_{g_{0}} - h_{g_{1}}) + (h_{g_{1}} - h_{g_{2}})
     = b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}}, & \\
\hdotsfor{2}, \\
h_{g_{0}} - h_{g_{p-1}}
  &\multicolumn{2}{@{}l}{
    {}= (h_{g_{0}} - h_{g_{1}}) + (h_{g_{1}} - h_{g_{2}}) + \ldots +
        (h_{g_{p-2}} - h_{g_{p-1}})} \\ %[** TN: Added line break]
  &\multicolumn{2}{@{}l}{
   {} = b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots + b_{g_{p-2}}^{g_{p-1}},
}
\end{array}
\]
l'expression~\Eq{(5)} se met sous la forme
\[
\Tag{(6)}
- A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} b_{g_{0}}^{g_{1}}
- A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} (b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}}) - \ldots
- A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}}
  (b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots + b_{g_{p-2}}^{g_{p-1}}).
\]

Telle est la partie qui, dans la somme~\Eq{(1)}, correspond à un système
circulaire de racines. Chaque système circulaire donnant une quantité
analogue, on aura l'équation
\[
\Tag{(7)}
-\sum \bigl[A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} b_{g_{0}}^{g_{1}}
  + A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} (b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}}) + \ldots
  + A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}}
    (b_{g_{0}}^{g_{1}} + b_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots + b_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})
  \bigr] = 0,
\]
le signe~$\sum$ s'étendant à tous les systèmes circulaires de racines.

Cette équation peut être mise sous une autre forme. En intégrant
par parties et remarquant que les valeurs des intégrales $U$~et~$V$ sur
\DPPageSep{685.png}{677}
chaque circuit sont nulles, on a identiquement
\[
\Tag{(8)}
\sum \int U\, dV = -\sum \int V\, dU.
\]
Si l'on désigne par $B_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}}, B_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}}, \ldots, B_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}}$ les valeurs de l'intégrale$~V$ relatives
aux lacets de seconde espèce, décrits dans le sens négatif, on
obtiendra l'équation~\Eq{(7)} sous la forme
\[
\Tag{(9)}
\sum \bigl[B_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} a_{g_{0}}^{g_{1}}
  + B_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} (a_{g_{0}}^{g_{1}} + a_{g_{1}}^{g_{2}}) + \ldots
  + \DPtypo{B_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}}}{B_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}}}
    (a_{g_{0}}^{g_{1}} + a_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots + a_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})
  \bigr] = 0.
\]

\Paragraph{435.} Nous allons faire voir que l'on peut transformer cette équation,
de manière qu'elle ne renferme plus que les périodes de l'une et l'autre
intégrales. Après avoir choisi un système de lacets fondamentaux de
première espèce, appelons $U_{1}, U_{2}, \ldots$, $V_{1}, V_{2}, \ldots$ les valeurs des intégrales
$U$~et~$V$, relatives aux lignes fermées composées uniquement de
lacets fondamentaux et conduisant de la racine~$y_{0}$ à chacune des
autres $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m-1}$. A chaque lacet binaire de première espèce correspond
un cycle simple; nous désignerons par $\scrA_{g_{0}}^{g_{1}}$~et~$\scrB_{g_{0}}^{g_{1}}$ les valeurs
des intégrales $U$~et~$V$, relatives au cycle simple dans lequel entre le
lacet binaire~$(a)_{g_{0}}^{g_{1}}$. Ces intégrales sont nulles, lorsque le lacet binaire est
l'un des lacets fondamentaux; dans le cas contraire, ce sont des périodes
de l'une et de l'autre intégrales. Comme on a $\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} = V_{g_{0}} + b_{g_{0}}^{g_{1}} - V_{g_{1}}$,
l'équation~\Eq{(7)} devient
\begin{multline*}
-\sum \bigl[
    A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} \scrB_{g_{0}}^{g_{1}}
  + A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}})
  + \ldots
  + A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots
   + \scrB_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})\bigr] \\
  - \sum (A_{\alpha_{1}}^{\alpha_{0}} V_{g_{1}}
        + A_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}} V_{g_{2}} + \ldots
        + A_{\alpha_{p-1}}^{\alpha_{p-2}} V_{g_{p-1}}
        + A_{\alpha_{0}}^{\alpha_{p-1}} V_{g_{0}}) = 0.
\end{multline*}

La quantité~$V_{g}$ se trouve dans les parties relatives à différents systèmes
circulaires, dans toutes celles où un lacet binaire de première
espèce permute la racine déterminée~$y_{g}$ en une autre; mais nous avons
vu (\no{112}) qu'aux lacets de première espèce, qui permutent la racine~$y_{g}$
en une autre, correspondent les lacets binaires de seconde espèce,
qui entrent dans le circuit de seconde espèce~$(C')_{g}^{g}$; la somme des
quantités~$A$, par laquelle est multiplié~$V_{g}$, est donc nulle. La seconde
partie étant identiquement nulle, l'équation précédente se réduit à sa
première partie, c'est-à-dire à
\[
%[** TN: Broken, added brace]
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{aligned}
\sum \bigl[
    {a'}_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} \scrB_{g_{0}}^{g_{1}}
  &+ {a'}_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}} (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}})
  + \ldots \\
  &+ {a'}_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots
   + \scrB_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})\bigr] = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{686.png}{678}

Considérons maintenant les cycles formés chacun de lacets fondamentaux
et d'un lacet de seconde espèce; on a, comme précédemment,
${\scrA'}_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} = U_{\alpha_{0}} + a'^{\alpha_{1}}_{\alpha_{0}} - U_{\alpha_{1}}$, et l'équation précédente devient
\[
\Tag{(11)}
\left\{
%[** TN: Re-breaking]
\begin{aligned}
\sum \bigl[
    {\scrA'}_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} \scrB_{g_{0}}^{g_{1}}
  &+ {\scrA'}_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}})
  + \ldots \\
  &+ {\scrA'}_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots
   + \scrB_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})\bigr] \\
  &- \sum (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} U_{\alpha_{0}}
         + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}} U_{\alpha_{1}} + \ldots
         + \scrB_{g_{p-1}}^{g_{0}} U_{\alpha_{p-1}}) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
La quantité~$U_{\alpha}$ est multipliée par toutes les quantités~$\scrB$, relatives aux
cycles simples qui se rapportent aux lacets de première espèce correspondant
aux lacets de seconde espèce qui permutent la racine~$y_{\alpha}$ en une
autre; mais ces lacets de première espèce forment le circuit de première
espèce~$(C)^{\alpha}_{\alpha}$. Ce circuit pouvant être regardé comme la réunion des
cycles simples, la somme des quantités~$b$ par laquelle est multipliée
$U_{\alpha}$~est nulle. Ainsi la seconde partie est encore identiquement nulle, et
l'équation~\Eq{(11)} se réduit à
\[
%[** TN: Re-breaking, added brace]
\Tag{(12)}
\left\{
\begin{aligned}
\sum \bigl[
    {\scrA'}_{\alpha_{0}}^{\alpha_{1}} \scrB_{g_{0}}^{g_{1}}
  &+ {\scrA'}_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}})
  + \ldots \\
  &+ {\scrA'}_{\alpha_{p-2}}^{\alpha_{p-1}}
    (\scrB_{g_{0}}^{g_{1}} + \scrB_{g_{1}}^{g_{2}} + \ldots
   + \scrB_{g_{p-2}}^{g_{p-1}})\bigr] = 0;
\end{aligned}
\right.
\]
elle est de la forme
\[
\Tag{(13)}
\sum \omega \omega' = 0,
\]
$\omega$~et~$\omega'$ étant des périodes de l'une et l'autre intégrales.


\Section{Relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce
et d'une de troisième espèce}

\Paragraph{436.} Soient (\Figref{82})
\[
U = \int \frac{Q\, dx}{f'_{y}},\quad
V = \int \frac{G\, dx}{[x_{1}, x_{2}] f'_{y}}
\]
ces deux intégrales. Nous supposerons que l'on puisse joindre les deux
points logarithmiques $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ par une ligne qui ne coupe
aucun des lacets relatifs aux points critiques algébriques $a_{0}, a_{1}, \ldots$.
Dans ce cas, nous formerons un nouveau lacet avec cette ligne, deux
petits cercles décrits autour des points logarithmiques, et une ligne~$Oh$
\DPPageSep{687.png}{679}
allant de l'origine à un point de la ligne~$x_{1} x_{2}$. Dans le cas contraire,
on introduirait deux lacets nouveaux unissant l'origine à chacun des
points logarithmiques. Chaque circuit enveloppe tous les lacets. Les
valeurs des deux intégrales étant nulles sur chaque circuit, l'équation~\Eq{(1)}
subsiste. Le lacet~$(x_{1} x_{2})$ n'entre effectivement que dans un
circuit; quand la variable~$x$ décrit ce lacet, l'intégrale~$V$ acquiert sur
\Fig[2.25in]{82}
les petits cercles $x_{1}$~et~$x_{2}$ les accroissements $-2\pi i$~et~$+2\pi i$, et, par
conséquent, reprend à la fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée;
ce lacet ne modifie donc en rien les parties de la somme qui se rapportent
aux autres lacets. Il suffit d'y ajouter la partie fournie par ce
nouveau lacet; les lignes $Oh$~et~$x_{1} x_{2}$, étant parcourues deux fois
avec des valeurs de~$U\, dV$ égales et de signes contraires, ne donnent
rien dans la somme; il reste à considérer les deux petits cercles
$x_{1}$~et~$x_{2}$; le premier donne~$-2\pi iU_{x_{1}}$, le second~$+2\pi i U_{x_{2}}$, ensemble
$2\pi i (U_{x_{2}} - U_{x_{1}})$, ou~$2\pi i \ds\int_{x_{1}}^{x_{2}} dU$, l'intégrale étant prise le long de
la ligne~$x_{1} x_{2}$. On a donc l'équation
\[
\Tag{(14)}
\sum \omega \omega' + 2\pi i \int_{x_{1}}^{x_{2}} dU = 0.
\]


\Section{Relation entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce}

\Paragraph{437.} Soient
\[
U = \int \frac{G\, dx}{[x_{1}, x_{2}] f'_{y}},\quad
V = \int \frac{G'\, dx}{[x'_{1}, x'_{2}] f'_{y}},
\]
ces deux intégrales. Il faut considérer deux nouveaux lacets $(x_{1} x_{2}),
(x'_{1} x'_{2})$ unissant, l'un les deux points logarithmiques de la première
\DPPageSep{688.png}{680}
intégrale, l'autre ceux de la seconde. Nous supposerons que les deux
lignes $x_{1} x_{2}, x'_{1} x'_{2}$ ne coupent pas les lacets relatifs aux points critiques
et ne se coupent pas entre elles.

L'équation~\Eq{(1)} subsiste encore. Les nouveaux lacets ne modifient pas
la partie qui se rapporte aux premiers lacets. D'après le raisonnement
du numéro précédent, le lacet~$(x'_{1} x'_{2})$ donne~$2\pi i \ds\int_{x'_{1}}^{x'_{2}} dU$; la seconde
forme de l'équation~\Eq{(8)} montre que le lacet~$(x_{1} x_{2})$ donne de même
$-2\pi i \ds\int_{x_{1}}^{x_{2}} dV$. On a donc l'équation
\[
\Tag{(15)}
\sum \omega \omega'
  + 2\pi i \int_{x'_{1}}^{x'_{2}} dU
  - 2\pi i \int_{x_{1}}^{x_{2}} dV = 0.
\]


\Section{Application aux intégrales elliptiques}

\Paragraph{438.} Considérons deux intégrales elliptiques
\[
U = \int_{0}^{x} \frac{dx}{y},\quad
V = \int_{0}^{x} \frac{x^{2}\, dx}{y},\quad
y = \Delta x,
\]
l'une de première espèce, l'autre de seconde espèce (\no{273}). Supposons
que les lacets relatifs aux quatre points critiques $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$, qui
correspondent aux valeurs $+1, \dfrac{1}{k}, -1, -\dfrac{1}{k}$ de la variable~$x$, se succèdent
dans l'ordre positif, et que le rayon~$Ol$ du circuit passe entre les
points $a_{0}$~et~$a_{3}$. Sur les deux circuits, la valeur initiale de~$y$ étant~$±1$,
les fonctions $U$~et~$V$ ont au même point des valeurs égales et de signes
contraires, et, par conséquent, l'intégrale $\int U\, dV$ a la même valeur.
Elle devient infinie avec~$x$; car, si l'on pose $x = \dfrac{1}{x'}$, et si l'on développe
en série suivant les puissances croissantes de~$x'$, on~a
\begin{align*}
\frac{1}{y}
  &= \mp \frac{x'^{2}}{k} (1 + \alpha x'^{2} + \beta x'^{4} + \ldots), \\
\frac{dU}{dx'}
  &= \mp \frac{1}{k} (1 + \alpha x'^{2} + \beta x'^{4} + \ldots), \\
\frac{dV}{dx'}
  &= \mp \frac{1}{kx'^{2}}(1 + \alpha x'^{2} + \beta x'^{4} + \ldots);
\end{align*}
\DPPageSep{689.png}{681}
d'où l'on déduit
\begin{gather*}
U = \mp \frac{1}{k} \left(C + x' + \frac{\alpha x'^{3}}{3} + \ldots\right), \\
U \frac{dV}{dx'}
  = \frac{1}{k^{2} x'^{2}} (C + x' + \alpha' x'^{2} + \beta' x'^{3} + \ldots).
\end{gather*}
Le point~$O'$ sur la sphère est pôle de cette dernière fonction. L'intégrale
relative à chaque circuit, décrit dans le sens positif, est~$-\dfrac{2\pi i}{k^{2}}$, ce qui
fait pour les deux circuits~$-\dfrac{4\pi i}{k^{2}}$; tel est, dans ce cas, le second
membre de l'équation~\Eq{(1)}. Chaque lacet ne fournit qu'un seul terme,
et le premier membre, sous la forme~\Eq{(7)}, est égal à
\[
(a_{1} - a_{2} + a_{3}) b_{0}
  + (-a_{0} + a_{2} - a_{3}) b_{1}
  + ( a_{0} - a_{1} + a_{3}) b_{2}
  + (-a_{0} + a_{1} + a_{2}) b_{3},
\]
quantité qui se réduit à~$-2(a_{0} b_{1} - a_{1} b_{0})$ et par suite à~$-2(\omega \omega'_{1} - \omega' \omega_{1})$;
on retrouve ainsi la relation obtenue au \no{273},
\[
\Tag{(16)}
-2(\omega \omega'_{1} - \omega' \omega_{1}) = -\frac{4\pi i}{k^{2}}.
\]

\Paragraph{439.} L'intégrale elliptique de troisième espèce, telle qu'elle s'est
présentée d'abord, est donnée par la formule~\Eq[275]{(16)} du \no{275}; nous la
mettrons sous la forme
\[
\Tag{(17)}
V = \int_{0}^{x} \frac{\alpha\beta\, dx}{(x^{2} - \alpha^{2}) y},
\]
$\beta$~étant la valeur qu'acquiert~$y$ lorsque la variable~$x$ va de l'origine~$O$
au point~$\alpha$ par un chemin déterminé~$O\alpha$, $y$~ayant au point~$O$ la valeur
initiale~$+1$. Cette intégrale admet quatre points logarithmiques, savoir
les deux points~$(\alpha, ±\beta)$ et les deux points~$(-\alpha, ±\beta)$. Quand la variable~$x$
tourne autour de chacun d'eux dans le sens positif, l'intégrale
éprouve les accroissements $±\pi i, \mp\pi i$. Joignons les deux points géométriques
$\alpha$~et~$-\alpha$ par une ligne qui ne coupe aucun des lacets relatifs
aux points critiques algébriques, et complétons le lacet qui enveloppe
ces deux points par le chemin déterminé~$O\alpha$.
\DPPageSep{690.png}{682}

Si $U$~est l'intégrale de première espèce, et $V$~une de troisième espèce,
l'intégrale $\int U\, dV$, conservant une valeur finie quand $x$~devient infinie,
est nulle sur chacun des deux circuits. Le lacet qui enveloppe les deux
points $(\alpha, \beta), (-\alpha, \beta)$ entre dans l'un des circuits; le même lacet,
considéré comme enveloppant les deux points $(\alpha, -\beta), (-\alpha, -\beta)$,
entre dans l'autre circuit; ces deux lacets donnent d'ailleurs des termes
égaux. En désignant par $2\epsilon$~et~$\epsilon'$ les périodes de~$V$ fournies, comme
celles de~$U$, par les deux cycles formés, l'un des deux lacets $(a_{0})$~et~$(a_{2})$,
l'autre des deux lacets $(a_{1})$~et~$(a_{0})$, on a l'équation
\[
-2(\omega \epsilon' - \omega \epsilon)
  + 2\pi i \int_{(-\alpha, \beta)}^{(\alpha, \beta)} dU = 0.
\]
Pour préciser, nous supposerons que la ligne déterminée~$O\alpha$ passe entre
les points $a_{1}$~et~$a_{2}$, ce qui est toujours possible, quelle que soit la position
du point~$\alpha$, et nous appellerons~$a$ la valeur de l'intégrale de première
espèce, quand la variable~$x$ décrit la ligne~$O\alpha$, avec la valeur
initiale $y = 1$. Si l'on considère le cycle formé par la ligne qui joint les
deux points $\alpha$~et~$-\alpha$, la ligne~$O\alpha$ et une ligne symétrique allant de
l'origine au point~$-\alpha$, on~a
\[
\int_{0}^{\alpha} dU + \int_{\alpha}^{-\alpha} dU + \int_{-\alpha}^{0} dU
  = a_{2} - a_{3} = \omega',
\]
d'où
\[
\int_{-\alpha}^{\alpha} dU = 2 \int_{0}^{\alpha} dU - \omega' = 2a - \omega';
\]
et l'équation précédente devient
\[
\Tag{(18)}
\omega \epsilon' - \omega' (\epsilon - \pi i) = 2\pi ai.
\]

Le même raisonnement s'applique au cas où $U$~est l'intégrale de
deuxième espèce, $V$~étant toujours une intégrale de troisième espèce.
L'intégrale $\int U\, dV$ conserve encore une valeur finie, quand $x$~devient
infinie, et l'on obtient l'équation
\[
\Tag{(19)}
\omega_{1} \epsilon' - \omega'_{1} (\epsilon - \pi i) = 2\pi i\zeta(a).
\]
\DPPageSep{691.png}{683}

Des deux relations précédentes, on déduit
\[
\Tag{(20)}
\epsilon  = \frac{\theta'(a)}{\theta(a)} \omega  + \pi i,\quad
\epsilon' = \frac{\theta'(a)}{\theta(a)} \omega' + \frac{2\pi ai}{\omega}.
\]

\Paragraph{440.} Considérons maintenant deux intégrales elliptiques de troisième
espèce
\[
U = \int_{0}^{x} \frac{\alpha\beta\, dx}{(x^{2} - \alpha^{2}) y},\quad
V = \int_{0}^{x} \frac{\alpha'\beta'\, dx}{(x^{2} - \alpha'^{2}) y}.
\]
Joignons les points $\alpha$~et~$-\alpha$, $\alpha'$~et~$-\alpha'$ par des lignes qui ne coupent
pas les lacets relatifs aux points critiques algébriques et qui ne se coupent
pas entre elles. Si l'on appelle $2\epsilon_{1}$~et~$\epsilon'_{1}$ les périodes de la seconde intégrale,
relatives aux deux cycles précédents, on a l'équation
\[
-2(\epsilon \epsilon'_{1} - \epsilon' \epsilon_{1})
  + 2\pi i \int_{-\alpha'}^{\alpha'} dU
  - 2\pi i \int_{-\alpha}^{\alpha} dV = 0.
\]
Supposons que le lacet~$(\alpha)$ précède le lacet~$(\alpha')$; avec une disposition
convenable de ces lacets, et en raisonnant comme précédemment, on
obtient
\[
\int_{-\alpha}^{\alpha} dV = 2 \int_{0}^{\alpha} dV - \epsilon'_{1} - \pi i,\quad
\int_{-\alpha'}^{\alpha'} dU = 2 \int_{0}^{\alpha'} dU - \epsilon',
\]
et l'équation devient
\[
2\pi i \int_{0}^{\alpha'} dU - 2\pi i \int_{0}^{\alpha} dV
  = (\epsilon - \pi i) \epsilon'_{1} - \epsilon'(\epsilon_{1} - \pi i)
  + \pi^{2},
\]
ou, en vertu des relations~\Eq{(20)},
\[
\Tag{(21)}
\int_{0}^{\alpha'} dU - \int_{0}^{\alpha} dV
  = k^{2} \bigl[a\zeta(a') - a'\zeta(a)\bigr] - \frac{\pi i}{2}.
\]

L'intégrale~\Eq{(17)}, exprimée à l'aide de la variable~$z$, est
\[
\Tag{(22)}
\varpi(z, a) = \int_{0}^{z} \frac{\lambda(a) \lambda'(a)\, dz}
                                 {\lambda^{2}(z) - \lambda^{2}(a)};
\]
c'est celle qui est donnée par la formule~\Eq[275]{(20)} du \no{275}; nous la désignons
\DPPageSep{692.png}{684}
par la lettre~$\varpi$, afin de la distinguer de l'intégrale~$\Pi(z, a)$ considérée
par Jacobi. L'équation~\Eq{(21)} devient
\[
\Tag{(23)}
\varpi(a', a) - \varpi(a, a')
  = k^{2} \bigl[a\zeta(a') - a'\zeta(a)\bigr] - \frac{\pi i}{2}.
\]
Elle effectue la permutation du paramètre et de l'argument.

On passe d'une forme à l'autre, en remarquant que l'on a identiquement
\[
\frac{k^{2}\lambda(a) \lambda'(a) x^{2}}{1 - k^{2}\lambda^{2}(a) x^{2}}
  = \frac{\lambda \left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)
          \lambda'\left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)}
         {x^{2} - \lambda^{2} \left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)}
    - \frac{\lambda'(a)}{\lambda(a)},
\]
et, par suite,
\[
\Tag{(24)}
\int_{0}^{x} \frac{k^{2}\lambda(a) \lambda'(a) x^{2}\, dx}
                  {\bigl[1 - k^{2}\lambda^{2}(a) x^{2}\bigr] y}
%[** TN: Large integral sign in original]
  = \!\int_{0}^{x} \frac{\lambda \left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)
                       \lambda'\left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)}
  {\left[x^{2} - \lambda^{2} \left(a + \dfrac{\omega'}{2}\right)\right] y}\, dx
  - \frac{\lambda'(a)}{\lambda(a)} \int_{0}^{x} \frac{dx}{y},
\]
ou
\[
\Tag{(25)}
\Pi(z, a) = \varpi \left(z, a + \frac{\omega'}{2}\right)
  - z \frac{\lambda'(a)}{\lambda(a)}.
\]
L'équation~\Eq{(24)} montre que les périodes $2\omega_{2}$~et~$\omega'_{2}$ de l'intégrale~$\Pi(z, a)$,
fournies par les deux cycles $(a_{0}) + (a_{2})$, $(a_{1}) + (a_{0})$ sont égales à celles
de l'intégrale $\varpi \left(z, a + \dfrac{\omega'}{2}\right)$, augmentées respectivement des quantités
$-2\omega \Diff_{a} \log\lambda(a)$, $-\omega' \Diff_{a} \log\lambda(a)$; ce sont précisément celles qui sont
données par les formules~\Eq[275]{(23)} du \no{275}.
\DPPageSep{693.png}{685}


\Chapitre{III}{Théorème d'Abel}

\Paragraph{441.} Une courbe $\phi(x, y) = 0$ du degré~$n$ coupe la courbe $f(x, y) = 0$
du degré~$m$ en $mn$~points, que nous désignerons par $(\xi_{1}, \eta_{1}), (\xi_{2},\eta_{2}), \ldots$.
Une autre courbe $\psi(x, y) = 0$ du degré~$n$ coupe de même la courbe
$f = 0$ en $mn$~points $(\xi'_{1}, \eta'_{1}), (\xi'_{2}, \eta'_{2}), \ldots$. Joignons ces points deux à
deux par des lignes $\xi_{1}\xi'_{\DPtypo{2}{1}}, \xi_{2}\xi'_{2}, \ldots$ qui ne se coupent pas, c'est-à-dire
telles qu'au point d'intersection des deux lignes géométriques figurant
la variation de~$x$, la valeur de~$y$ ne soit pas la même. A l'aide de chacune
des lignes~$\xi\xi'$, de deux petits cercles décrits autour des points $\xi$
et~$\xi'$ et d'une ligne~$Og$ unissant l'origine~$O$ à cette ligne~$\xi\xi'$, nous formerons
un lacet enveloppant les deux points $\xi$~et~$\xi'$; nous aurons
$mn$~lacets de ce genre. Soit
\[
U = \log \frac{\phi}{\psi},\quad
V = \int \frac{G\, dx}{[x_{1}, x_{2}] f'_{y}}.
\]
Nous supposons d'une manière générale que les lignes analytiques qui
forment les lacets~$(\xi\xi')$, le lacet~$(x_{1} x_{2})$, et ceux relatifs aux points critiques
de la fonction algébrique~$y$ de~$x$, ne se coupent pas. Sur chaque
circuit, enveloppant tous ces lacets, l'intégrale~$\int U\, dV$ étant nulle, on
a, pour l'ensemble des $m$~circuits, l'équation
\[
\Tag{(1)}
\sum \int U\, dV = -\sum \int V\, dU = 0.
\]

Quand la variable~$x$ décrit l'un des lacets~$(\xi\xi')$, la fonction~$U$, éprouvant
aux points $\xi$~et~$\xi'$ les accroissements $+2\pi i$~et~$-2\pi i$, reprend à la
fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée; de même, la fonction~$V$
sur le lacet~$(x_{1} x_{2})$. Il en résulte que ces lacets n'ont pas d'influence
\DPPageSep{694.png}{686}
sur la partie de l'intégrale qui se rapporte aux lacets relatifs aux points
critiques de la fonction algébrique; cette partie sera donc de la forme
$\sum \omega\omega'$, $\omega$~et~$\omega'$ étant des périodes des deux fonctions $U$~et~$V$ (\no{435});
mais, quand la variable~$x$ décrit un cycle, les fonctions entières $\phi$~et~$\psi$
reprenant leurs valeurs primitives, la fonction~$\log \dfrac{\phi}{\psi}$ éprouve une variation
égale à~$2m'\pi i$, $m'$~étant un nombre entier; l'expression $\sum \omega\omega'$ se
réduit ainsi à la forme~$2\pi i \sum m'\omega'$.

Le lacet~$(x_{1} x_{2})$, d'après ce que nous avons dit au \no{436}, donne le
terme $2\pi i \ds\int_{x_{1}}^{x_{2}} d\log \dfrac{\phi}{\psi}$. De même, d'après la seconde forme de l'équation,
chaque lacet~$(\xi\xi')$ donne un terme $2\pi i \ds\int_{\xi}^{\xi'} dV$. On obtient ainsi
l'équation
\[
\Tag{(2)}
\sum \int_{\xi}^{\xi'} dV + \int_{x_{1}}^{x_{2}} d\log \frac{\phi}{\psi}
  + \sum m' \omega' = 0,
\]
qui constitue le théorème d'Abel, dans son acception générale.

\Paragraph{442.} On peut associer les points $\xi$~et~$\xi'$ deux à deux, de manière que
tous les nombres entiers~$m'$ soient nuls. On sait, en effet, que, si l'on fait
passer une courbe du degré~$n$ par un certain nombre de points pris à
volonté sur la courbe $f = 0$ du degré~$m$, les autres points d'intersection
en résultent. Lorsque $n$~est plus petit que~$m$, le nombre~$n'$ des points
que l'on peut prendre à volonté est égal à~$\dfrac{n(n + 3)}{2}$; la courbe du degré~$n$
est alors déterminée; mais, lorsque $n$~est égal ou supérieur à~$m$, ce nombre
est égal à $mn - \dfrac{(m - 1) (m - 2)}{2}$; il est moindre que celui qui est nécessaire
pour déterminer la courbe. A $n'$~points $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n'}$ d'intersection de
la courbe $\phi = 0$ avec la courbe $f = 0$, faisons correspondre $n'$~points pris
à volonté parmi les $mn$~points d'intersection de la courbe $\psi = 0$ avec $f = 0$,
désignons-les par $\xi'_{1}, \xi'_{2}, \ldots, \xi'_{\DPtypo{n}{n'}}$, et joignons-les aux précédents par des
lignes arbitraires $\xi_{1}\xi'_{1}, \xi_{2}\xi'_{2}, \ldots, \xi_{n'}\xi'_{n'}$, avec la restriction indiquée.
Sur ces lignes prenons des points $\xi''_{1}, \xi''_{2}, \ldots, \xi''_{n'}$ voisins respectivement
des points $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n'}$; par ces $n'$~points nous pourrons faire passer
une courbe $\phi'' = 0$ du degré~$n$ et différant très-peu de la courbe $\phi = 0$;
\DPPageSep{695.png}{687}
cette courbe coupe la courbe $f = 0$ en $mn - n'$~autres points $\xi''_{n'+1},
\xi''_{n'+2}, \ldots, \xi''_{mn}$, voisins respectivement de $\xi_{n'+1}, \xi_{n'+2}, \ldots, \xi_{mn}$. Sur les
mêmes lignes on prendra ensuite des points $\xi'''_{1}, \xi'''_{2}, \ldots, \xi'''_{n'}$, voisins respectivement
de $\xi''_{1}, \xi''_{2}, \ldots, \xi''_{n'}$, et l'on fera passer par ces points une
courbe $\phi''' = 0$ du degré~$n$ et différant très-peu de la courbe $\phi'' = 0$.
Cette courbe coupera $f = 0$ en d'autres points $\xi'''_{n'+1}, \xi'''_{n'+2}, \ldots, \xi'''_{mn}$, voisins
respectivement de $\xi''_{n'+1}, \xi''_{n'+2}, \ldots, \xi''_{mn}$, et ainsi de suite; on passera
de la sorte, par une déformation continue, de la courbe~$\phi$ à la courbe~$\psi$.
La série des points $\xi_{n'+1}, \xi''_{n'+1}, \xi'''_{n'+1}, \ldots$ formera une ligne continue
unissant le point~$\xi_{n'+1}$ de la courbe~$\phi$ à un certain point~$\xi'_{n'+1}$ de la
courbe~$\psi$; de même la série des points $\xi_{n'+2}, \xi''_{n'+2}, \xi'''_{n'+2}, \ldots$ formera
une ligne unissant le point~$\xi_{n'+2}$ de la courbe~$\phi$ à un certain point
$\xi'_{n'+2}$ de la courbe~$\psi$, et ainsi de suite. De cette manière, la corrélation
des $mn - n'$~autres points $\xi$~et~$\xi'$ est déterminée: elle résulte de celle
adoptée pour les $n'$~premiers points.

Lorsque $\psi = \phi$, la fonction~$\log \dfrac{\phi}{\psi}$ reste constante sur chaque cycle,
et par conséquent sa variation est nulle; les nombres~$m'$ sont nuls.
Lorsque la fonction~$\psi$ diffère très-peu de~$\phi$, le rapport~$\dfrac{\phi}{\psi}$ différant peu
de l'unité, l'intégrale $\ds\int d\log \dfrac{\phi}{\psi}$ sur un cycle différera peu de la précédente,
si elle en diffère; et, par conséquent, le nombre entier~$m'$ est
encore nul. On pourra continuer de cette manière tant que les lignes~$\xi\xi'$,
en s'allongeant, ne rencontrent pas les lacets relatifs aux points
critiques, ou le lacet~$(x_{1} x_{2})$. Avec ces restrictions, l'équation~\Eq{(2)} se
réduit à
\[
\Tag{(3)}
\sum \int_{\xi}^{\xi'} dV + \int_{x_{1}}^{x_{2}} d\log \frac{\phi}{\psi} = 0.
\]

Le même raisonnement s'applique à l'intégrale abélienne de première
espèce; le lacet~$(x_{1}, x_{2})$ n'existant plus, l'équation se simplifie
et devient
\[
\Tag{(4)}
\sum \int_{\xi}^{\xi'} dV = 0.
\]
La somme des valeurs de l'intégrale relatives aux diverses lignes qui
\DPPageSep{696.png}{688}
joignent les points d'intersection des courbes $f$~et~$\phi$ aux points d'intersection
des courbes $f$~et~$\psi$, de la façon indiquée, est nulle.

Dans ces deux derniers Chapitres, nous avons mis à profit l'ouvrage
de MM.~Clebsch et~Gordan que nous avons déjà cité (\no{113}).


\Section{Addition des intégrales elliptiques}

\Paragraph{443.} La formule de l'addition des intégrales elliptiques de première
espèce est une conséquence de cette loi générale. La courbe $f = 0$ est
ici
\[
\Tag{(5)}
y^{2} = (1 - x^{2}) (1 - k^{2}x^{2}) = 1 - (1 + k^{2})x^{2} + k^{2}x^{4}.
\]
Les points d'intersection de cette courbe et de la parabole
\[
\Tag{(6)}
y = px^{2} + qx + 1
\]
sont donnés par l'équation du troisième degré
\[
\Tag{(7)}
(p^{2} - k^{2})x^{3} + 2pq x^{2} + (q^{2} + 2p + 1 + k^{2})x + 2q = 0,
\]
abstraction faite de la racine $x = 0$. Appelons $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ les trois racines
de cette équation, et $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ les valeurs correspondantes de~$y$
données par l'équation~\Eq{(6)}. On peut déterminer les constantes $p$~et~$q$
de manière que deux des racines $x_{1}$~et~$x_{2}$ aient des valeurs données; la
troisième~$x_{3}$ sera alors fonction des deux premières. De l'équation~\Eq{(7)}
on déduit
\[
\Tag{(8)}
p = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{ x_{1} x_{2} x_{3}},
\]
d'où
\[
\Tag{(9)}
x_{3} = \frac{x_{1} + x_{2}}{p x_{1} x_{2} - 1}
  = -\frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}}
  = -\frac{x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}}{1 - k^{2} x_{1}^{2} x_{2}^{2}}.
\]

Supposons que la courbe~$\psi$ soit la parabole~\Eq{(6)} et la courbe~$\phi$ la parabole
particulière $y = -\dfrac{1 + k^{2}}{2} x^{2} + 1$, pour laquelle $x_{1} = x_{2} = 0$,
\DPPageSep{697.png}{689}
et, par suite, $x_{3} = 0$. On a, d'après l'équation~\Eq{(4)},
\[
\int_{0}^{x_{1}} dV + \int_{0}^{x_{2}} dV + \int_{0}^{x_{3}} dV = 0,
\]
ou
\[
\Tag{(10)}
z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0.
\]
La relation~\Eq{(9)}, sous sa dernière forme, donne la première des formules~\Eq[318]{(1)} du \no{318}, savoir
\[
\Tag{(11)}
\lambda(z_{1} + z_{2})
  = \frac{\lambda(z_{1}) \lambda'(z_{2}) + \lambda(z_{2}) \lambda'(z_{1})}
         {1 - k^{2}\lambda^{2}(z_{1}) \lambda^{2}(z_{2})}.
\]

\Paragraph{444.} Si $V$~est une intégrale elliptique de seconde espèce, on a approximativement,
pour les valeurs très-grandes de~$x$,
\begin{gather*}
y = ±kx^{2},\quad
\phi = \frac{(1 ± k)^{2}}{2} x^{2},\quad
\psi = (±k - p)x^{2} - qx, \\
\log \frac{\phi}{\psi} = C + \frac{q}{±k - p}\, \frac{1}{x},\quad
dV = ±\frac{1}{k}\, dx;
\end{gather*}
les deux circuits donnent $2\pi i \dfrac{q}{k(k \mp p)}$, ensemble $2\pi i \dfrac{2q}{k^{2} - p^{2}}$, ou, d'après
l'équation~\Eq{(7)}, $2\pi i x_{1} x_{2} x_{3}$; le second membre de l'équation~\Eq{(4)}
est alors égal à~$x_{1} x_{2} x_{3}$, et l'on~a
\[
\Tag{(12)}
\int_{0}^{x_{1}} dV + \int_{0}^{x_{2}} dV + \int_{0}^{x_{3}} dV
  = x_{1} x_{2} x_{3},
\]
ou
\[
\Tag{(13)}
\zeta(z_{1}) + \zeta(z_{2}) + \zeta(z_{3})
  = \lambda(z_{1}) \lambda(z_{2}) \lambda(z_{3});
\]
en vertu de la relation~\Eq{(10)}, c'est l'équation~\Eq[324]{(24)} du \no{324}.

\Paragraph{445.} Considérons enfin le cas où $V$~est une intégrale elliptique de
troisième espèce, mise sous la forme~\Eq[439]{(17)}, adoptée au \no{439}. D'après
l'hypothèse faite sur la position de la ligne~$O\alpha$, le lacet qui unit le
\DPPageSep{698.png}{690}
point $(\alpha, \beta)$ au point $(-\alpha, \beta)$ entre dans le premier circuit, et
donne
\[
\pi i \int_{(-\alpha, \beta)}^{(\alpha, \beta)} d\log \frac{\phi}{\psi}
  = \pi i \log \frac{\psi(-\alpha, \beta)}{\psi(\alpha, \beta)},
\]
puisque $\phi(-\alpha, \beta) = \phi(\alpha, \beta)$. L'autre lacet entre dans le second circuit,
et donne de même
\[
- \pi i \int_{(-\alpha, -\beta)}^{(\alpha, -\beta)} d\log \frac{\phi}{\psi}
  = -\pi i \log \frac{\psi(-\alpha, -\beta)}{\psi(\alpha, -\beta)}.
\]
L'équation~\Eq{(3)} devient donc
\[
\Tag{(14)}
\int_{0}^{x_{1}} dV + \int_{0}^{x_{2}} dV + \int_{0}^{x_{3}} dV
  + \frac{1}{2} \log \frac{\psi(-\alpha, \beta) \psi(\alpha, -\beta)}
                          {\psi(\alpha, \beta) \psi(-\alpha, -\beta)} = 0.
\]

Évaluons le dernier terme. on~a
\begin{align*}
\psi(\alpha, \beta) \psi(-\alpha, -\beta)
  &= (p x^{2}+ 1)^{2} - (\beta - q\alpha)^{2} \\ %[** TN: Added line break]
  &= 2q\alpha \beta + (2p - q^{2} + 1 + k^{2}) \alpha^{2}
    + (p^{2} - k^{2}) \alpha^{4} \\
%
  &= 2q\alpha \left[
  \beta + \frac{p^{2} - k^{2}}{2q} \alpha^{3}
    + \left(\frac{q^{2} + 2p + 1 + k^{2}}{2q} - q\right) \alpha
  \right] \\
  &= 2q\alpha \left[
  \beta - \frac{\alpha^{3}}{x_{1} x_{2} x_{3}}
    - \left(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + q\right) \alpha
  \right].
\end{align*}
De la relation $y_{3} = px_{3}^{2} + qx_{3} + 1$, dans laquelle on remplace~$p$ par sa
valeur~\Eq{(8)}, on déduit
\[
\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + q
  = \frac{x_{1} x_{2} y_{3} - x_{3}^{2}}{x_{1} x_{2} x_{3}};
\]
il en résulte
\[
\psi(\alpha, \beta) \psi(-\alpha, -\beta)
  = -\frac{2q\alpha^{2}}{x_{1} x_{2} x_{3}} \left[
    \alpha^{2} - x_{3}^{2}
    + \frac{x_{1} x_{2}}{\alpha} (\alpha y_{3} - x_{3} \beta)
  \right].
\]
On a de même
\[
\psi(-\alpha, \beta) \psi(\alpha, -\beta)
  = -\frac{2q\alpha^{2}}{x_{1} x_{2} x_{3}} \left[
    \alpha^{2} - x_{3}^{2}
    + \frac{x_{1} x_{2}}{\alpha} (\alpha y_{3} + x_{3} \beta)
  \right],
\]
\DPPageSep{699.png}{691}
et, par suite,
\[
\frac{\psi(\alpha, \beta) \psi(-\alpha, -\beta)}
     {\psi(-\alpha, \beta) \psi(\alpha, -\beta)}
  = \frac{1 + \dfrac{x_{1} x_{2}}{\alpha}\,
          \dfrac{\alpha y_{3} - x_{3}\beta}{\alpha^{2} - x_{3}^{2}}}
         {1 + \dfrac{x_{1} x_{2}}{\alpha}\,
          \dfrac{\alpha y_{3} + x_{3}\beta}{\alpha^{2} - x_{3}^{2}}}
  = \frac{1 + \dfrac{\lambda(z_{1}) \lambda(z_{2})}{\lambda(a) \lambda(a + z_{3})}}
         {1 + \dfrac{\lambda(z_{1}) \lambda(z_{2})}{\lambda(a) \lambda(a - z_{3})}}.
\]
On obtient ainsi la relation
\[
\Tag{(15)}
\varpi(z_{1}) + \varpi(z_{2}) + \varpi(z_{3})
  = \frac{1}{2} \log
    \frac{\ 1 + \dfrac{\lambda(z_{1}) \lambda(z_{2})}
                    {\lambda(a) \lambda(a - z_{1} - z_{2})}\ }
         {1 + \dfrac{\lambda(z_{1}) \lambda(\DPtypo{z}{z_{2}})}
                    {\lambda(a) \lambda(a + z_{1} + z_{2})}},
\]
d'où l'on déduit facilement l'équation~\Eq[325]{(28)} du \no{325}.

\vfill
\begin{center}
\Large FIN.
\end{center}
\vfill
\DPPageSep{700.png}{692}
\DPPageSep{701.png}{693}
\TableofContents
\iffalse %%%% Commented, unformatted table of contents
TABLE DES MATIÈRES.
                                                                  Pages.

PRÉFACE.............................................................  IV

LIVRE PREMIER.

LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES.

Chapitre I.--Définitions...........................................   1

Fonction d'une variable imaginaire.--Dérivée.......................   2

Fonctions monotropes.--Fonctions polytropes........................  10

Fonctions holomorphes.--Fonctions méromorphes.--Pôles..............  14

Emploi de la sphère................................................  15

Chapitre II.--Les fonctions algébriques............................  19

Nombre des racines d'un polynôme entier............................  19

Manière de déterminer le nombre des racines comprises dans un contour donné\ldots  23

Continuité des racines.............................................  31

Définition d'une fonction algébrique...............................  34

Loi de la permutation des racines autour des points critiques......  39

Manière d'obtenir les systèmes circulaires.........................  40

Pôles d'une fonction algébrique....................................  49

Système de lacets fondamentaux.....................................  51

Chapitre III.--Exemples de fonctions algébriques...................  57

LIVRE II.

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES SÉRIES.

Chapitre I.--Propriétés des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de
la variable........................................................  77

Cercle de convergence..............................................  78

Chapitre II.--Fonctions exponentielles et circulaires..............  88

Les fonctions e^z, \sin z, \cos z....................................  88

La fonction \log z..................................................  95

Les fonctions \arctang z, \arcsin z, \arccos z.....................  97
\DPPageSep{702.png}{694}

La fonction z^{a}...............................................................  102

Sinus et cosinus hyperboliques.....................................................  102

Chapitre III.---La fonction \Theta................................  105

Séries à double entrée............................................  106

Définition et propriétés de la fonction \Theta(z).................  110

Chapitre IV.--Les fonctions elliptiques...........................  113

Les quatre fonctions \theta........................................ 113

Les trois fonctions elliptiques.................................... 118

Relations entre les fonctions elliptiques.......................... 121

LIVRE III.

LES INTÉGRALES DÉFINIES.

Chapitre I.--Propriétés fondamentales des intégrales définies.....  123

Définition de l'intégrale défini entre limites imaginaires........  123

Intégration suivant différents chemins............................  134

Chapitre II.--Exemples d'intégrales définies......................  141

Chapitre III.--Développement des fonctions en séries entières.....  149

Théorème de Cauchy................................................  149

Développement d'une fonction algébrique...........................  153

Formule de Lagrange...............................................  155

Série de Fourier..................................................  161

Développement d'une fonction de plusieurs variables...............  163

Chapitre IV.--Périodes des intégrales définies....................  170

Cas général.......................................................  170

Cas où l'intégrale reste finie sur toute la sphère. Nombre des périodes...........  178

LIVRE IV.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS.

Chapitre I.--Théorèmes généraux sur les fonctions..................  187

Fonctions monotropes..............................................  187

Fonctions polytropes...............................................  207

Chapitre II.--Propriétés des fonctions X et Y.....................  222

Chapitre III.--Propriétés générales des fonctions doublement périodiques................  231

Des périodes.......................................................  231

Transformation des périodes........................................  234

Fonctions intermédiaires...........................................  236

Théorèmes sur les fonctions doublement périodiques.................  239

Relations algébriques entre les fonctions elliptiques..............  246

Équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions elliptiques....................  247

Les fonctions \var_theta(z)........................................  261

Chapitre IV.--Suite des fonctions doublement périodiques...........  268
\DPPageSep{703.png}{695}

Remarques sur les réseaux..........................................  268

Relation algébrique entre deux fonctions doublement périodiques dont les réseaux ont un
réseau de sommets communs..........................................  272

Relation algébrique entre une fonction doublement périodique et sa dérivée................  277

Chapitre V.--Développement des fonctions en sommes.................  281

Méthode générale pour le développement d'une fonction en une somme d'une infinité de
termes rationnels..................................................  281

Développement de $$, $$, \cot z, [**\cos z*unsure, could be cotangent (cot) as well?] \tang z...................  283

Développement d'une fonction doublement périodique en une somme d'une infinité de termes
simplement périodiques........................................................  286

Développement des fonctions elliptiques............................  291

Développement de $$, $$, D log\theta(z)............................  295

Chapitre III.--Développement des fonctions en produits.............  301

Propriétés des produits d'un nombre infini de facteurs.............  301

Méthode générale pour le développement d'une fonction en un produit d'une infinité de facteurs
rationnels.........................................................  305

Développement de \cos z, \sin z......................................  310

Développement des fonctions \theta(z), \var_theta(z)...............  312

Expressions du module et du multiplicateur en produits.............  317

LIVRE V.

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Chapitre I.--Existence de la fonction intégrale....................  325

Existence de l'intégrale d'une équation différentielle.............  327

Existence des intégrales d'un système d'équations différentielles\ldots  333

Fonctions implicites.........................................................  336

Cas où le coefficient différentiel devient infini..................  338

Chapitre II.--Exemples de fonctions définies par des équations différentielles............  341

Chapitre III.--Les fonctions elliptiques définies par des équations différentielles.........  351

Les fonctions \lambda, \mu, \nu....................................  351

Relations entre les fonctions elliptiques..........................  358

Réduction du multiplicateur à l'unité..............................  362

Cas où le module est réel, positif et inférieur à l'unité..........  363

Périodes elliptiques...............................................  366

Modules égaux et de signes contraires..............................  368

Modules réciproques................................................  369

Modules complémentaires............................................  371

Chapitre IV.--Intégration par les fonctions elliptiques............  376

Équation différentielle algébrique entre une fonction et sa dérivée.........................  376

Conditions pour que l'intégrale soit monotrope.....................  378

Comment on reconnaît si l'intégrale est algébrique, simplement ou doublement périodique\ldots  381

Équations différentielles binômes...................................  388

Équations du troisième degré........................................  393
\DPPageSep{704.png}{696}

Équations différentielles trinômes................................. 405

Méthode générale d'intégration..................................... 413

LIVRE VI.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Chapitre I.--Les intégrales elliptiques............................ 417

Transformation générale de Jacobi.................................. 417

Transformations du premier degré................................... 418

Transformations du second degré.................................... 422

Transformations réelles............................................ 427

Les trois intégrales elliptiques................................... 435

Intégrale elliptique de seconde espèce............................. 440

Intégrale elliptique de troisième espèce........................... 443

Remarques sur les périodes......................................... 449

Chapitre II.--Développement des fonctions elliptiques en séries entières.................. 451

Développement de la fonction inverse............................... 451

Développement des fonctions elliptiques............................ 453

Méthode de M. Hermite.............................................. 457

Expression de \lambda^{2n + 1}(z) en fonction de \lambda(z) et de ses dérivées........................... 463

Expression de \lambda^{2n}(z) en fonction de \lambda^{2}(z) et de ses dérivées............................. 464

Fonctions de M. Weierstrass........................................ 465

Chapitre III.--Développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques.......... 475

Développement de \lambda(z), \mu(z), \nu(z)........................ 475

Développement des fonctions Dlog\theta(z).......................... 479

Développement des logarithmes des fonctions elliptiques............ 482

LIVRE VII.

ADDITION, MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARGUMENTS DANS LES FONCTIONS
ELLIPTIQUES.

Chapitre I.--Propriétés des fonctions \theta....................... 485

Équations à cinq lettres........................................... 485

Équations à deux lettres........................................... 492

Formules de Jacobi................................................. 495

Chapitre II.--Addition des arguments dans les fonctions elliptiques\ldots 503

Addition des arguments dans les intégrales elliptiques de seconde espèce............... 511

Addition des arguments et des paramètres dans les intégrales de troisième espèce........... 513

Chapitre III.--Multiplication de l'argument....................... 516

Multiplication par un nombre impair............................... 517

Multiplication par un nombre pair................................. 520

Méthode de calcul d'Abel.......................................... 525

Méthode de calcul de Jacobi....................................... 527

Équations différentielles d'Abel.................................. 536

Multiplication de l'argument dans les intégrales de seconde espèce..................... 538
\DPPageSep{705.png}{697}

Multiplication de l'argument et du paramètre dans les intégrales de troisième espèce........ 539

Chapitre IV.--Division de l'une des périodes.......................... 540

Division de la première période par un nombre impair.................. 540

Division de la seconde période par un nombre impair................... 543

Division de la première période par un nombre pair.................... 551

Division de la seconde période par un nombre pair..................... 554

Nombre des fonctions provenant de la division de l'une des périodes de l'un des couples qui
correspondent à un module donné....................................... 557

Division par deux..................................................... 563

Équations aux dérivées partielles de Jacobi........................... 571

Chapitre V.--Division de l'argument dans les fonctions elliptiques.... 576

Division par deux..................................................... 579

Résolution de l'équation d'où dépend la division de l'argument par un nombre impair....... 580

Multiplication de la première période par un nombre impair............ 588

Multiplication[**M added] de la seconde période par un nombre impair............. 594

Calcul de $$.......................................................... 599

LIVRE VIII.

TRANSFORMATION.

Chapitre I.--Formules de transformation............................... 605

Transformations du premier degré...................................... 611

Transformations d'un degré impair..................................... 615

Transformations d'un degré pair....................................... 621

Chapitre II.--Équation modulaire...................................... 624

Existence de l'équation modulaire..................................... 624

Expression des racines de l'équation modulaire........................ 625

Points critiques...................................................... 629

Formation de l'équation modulaire..................................... 637

Points multiples...................................................... 639

Calcul des fonctions de transformation................................ 642

Transformation du troisième degré..................................... 645

Transformation du cinquième degré..................................... 646

Transformation du septième degré...................................... 649

Équation différentielle entre les modules............................. 652

Chapitre III.--Résolution de l'équation du cinquième degré par les fonctions elliptiques.... 654

LIVRE IX.

THÉORÈME D'ABEL.

Chapitre I.--Intégrales abéliennes.................................... 661

Réduction des intégrales abéliennes................................... 661

Intégrales abéliennes de première et de seconde espèce................ 666
\DPPageSep{706.png}{698}

Intégrales abéliennes de troisième espèce............................  668

Intégrales ultra-elliptiques.........................................  671

Chapitre II.--Relation entre les périodes de deux intégrales abéliennes................... 674

Relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce..... 674

Relation entre les périodes de deux intégrales, l'une de première, l'autre de troisième espèce\ldots  678

Relation entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce\ldots  679

Application aux intégrales elliptiques...............................  680

Chapitre III.--Théorème d'Abel.......................................  685

Errata...............................................................  699

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
\fi %%%% End of commented table of contents text
\DPPageSep{707.png}{699}
%[** TN: Two pages of errata text in original; errata applied, text omitted]
\DPPageSep{708.png}{700}
\vfill
\enlargethispage{18pt}
\hrule
\begin{center}\scriptsize%
PARIS.\ --- IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, \\
Quai des Augustins, 55.
\end{center}

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\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Théorie des Fonctions Elliptiques, by 
Charles Briot and Jean Claude Bouquet

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business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
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     Chief Executive and Director
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\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Théorie des Fonctions Elliptiques, by 
% Charles Briot and Jean Claude Bouquet                                   %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 36941-t.tex or 36941-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/6/9/4/36941/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
@ControlwordReplace = (
  ['\\Primo', '1^o'],
  ['\\Secundo', '2^o'],
  ['\\Tertio', '3^o'],
  ['\\Quarto', '4^o'],
  ['\\Cinqo', '5^o'],
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  ['\\end{Lemme}', ''],
  ['\\end{Théorème}', ''],
  ['\\Preface', 'Préface']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\pagenumbering', 1, 0, '', ''],
  ['\\pagestyle', 1, 0, '', ''],
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my $cline = 0;
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 print "done\\n";';
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This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  1 AUG 2011 19:57
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**36941-t.tex
(./36941-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count91
\calc@Bcount=\count92
\calc@Adimen=\dimen105
\calc@Bdimen=\dimen106
\calc@Askip=\skip43
\calc@Bskip=\skip44
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count93
\calc@Cskip=\skip45
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty
Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
Package textcomp Info: Sub-encoding information:
(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
(textcomp)               3 = 4 + \textohm
(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
(textcomp)               0 = TS1 (full)
(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
(textcomp)             See the documentation for details.
Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)
LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.

Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fix-cm.sty
Package: fix-cm 2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding TS1 on input line 42.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip46
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen107
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen108
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count94
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count95
\leftroot@=\count96
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count97
\DOTSCASE@=\count98
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen109
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count99
\c@MaxMatrixCols=\count100
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count101
\dspbrk@lvl=\count102
\tag@help=\toks17
\row@=\count103
\column@=\count104
\maxfields@=\count105
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen110
\alignsep@=\dimen111
\tagshift@=\dimen112
\tagwidth@=\dimen113
\totwidth@=\dimen114
\lineht@=\dimen115
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip47
\multlinetaggap=\skip48
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
\symrsfs=\mathgroup6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen116
\extrarowheight=\dimen117
\NC@list=\toks21
\extratabsurround=\skip49
\backup@length=\skip50
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty
Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks22
)
\captionmargin=\dimen118
\captionmarginx=\dimen119
\captionwidth=\dimen120
\captionindent=\dimen121
\captionparindent=\dimen122
\captionhangindent=\dimen123
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count106
))
\Gin@req@height=\dimen124
\Gin@req@width=\dimen125
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen126
\WF@size=\dimen127
\c@WF@wrappedlines=\count107
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks23
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count108
\Gm@cntv=\count109
\c@Gm@tempcnt=\count110
\Gm@bindingoffset=\dimen128
\Gm@wd@mp=\dimen129
\Gm@odd@mp=\dimen130
\Gm@even@mp=\dimen131
\Gm@dimlist=\toks24
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen132
\Hy@linkcounter=\count111
\Hy@pagecounter=\count112
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count113
\Field@Width=\dimen133
\Fld@charsize=\dimen134
\Choice@toks=\toks25
\Field@toks=\toks26
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count114
\c@Item=\count115
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count116
)
\c@LivreNo=\count117
\c@ChapNo=\count118
\c@SectNo=\count119
\resglyph=\box29
<./images/residue_sum_glyph.pdf, id=5, 469.755pt x 540.0175pt>
File: ./images/residue_sum_glyph.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/residue_sum_glyph.pdf>
\bigresglyph=\box30
<./images/bigresidue_sum_glyph.pdf, id=6, 451.6875pt x 650.43pt>
File: ./images/bigresidue_sum_glyph.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bigresidue_sum_glyph.pdf>
\TmpLen=\skip60
(./36941-t.aux)
\openout1 = `36941-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 758.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 758.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 758.

Package frenchb.ldf Warning: The definition of \@makecaption has been changed,
(frenchb.ldf)                frenchb will NOT customize it;
(frenchb.ldf)                reported on input line 758.

LaTeX Info: Redefining \dots on input line 758.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
)
\CenteringLeftskip=\skip61
\RaggedLeftLeftskip=\skip62
\RaggedRightLeftskip=\skip63
\CenteringRightskip=\skip64
\RaggedLeftRightskip=\skip65
\RaggedRightRightskip=\skip66
\CenteringParfillskip=\skip67
\RaggedLeftParfillskip=\skip68
\RaggedRightParfillskip=\skip69
\JustifyingParfillskip=\skip70
\CenteringParindent=\skip71
\RaggedLeftParindent=\skip72
\RaggedRightParindent=\skip73
\JustifyingParindent=\skip74
)
Package caption Info: hyperref package v6.74m (or newer) detected on input line
 758.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
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\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
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Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 758.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count125
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 758.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 758.
(./36941-t.out) (./36941-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `36941-t.out'.


Overfull \hbox (17.16376pt too wide) in paragraph at lines 792--792
[]\T1/cmtt/m/n/10 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÉORIE DES FONCTIO
NS ELLIPTIQUES ***[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 794.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 794.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 794.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] <./images/LW.png, id=217, 
99.0099pt x 30.3534pt>
File: ./images/LW.png Graphic file (type png)
<use ./images/LW.png> [2

 <./images/LW.png (PNG copy)>] [1

] <./images/signature.pdf, id=234, 469.755pt x 174.6525pt>
File: ./images/signature.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/signature.pdf> [2 <./images/signature.pdf>] <./images/device.png,
 id=243, 93.7101pt x 97.8054pt>
File: ./images/device.png Graphic file (type png)
<use ./images/device.png> [3 <./images/device.png (PNG copy)>] [4


] [5] [6] <./images/fig01.pdf, id=269, 194.7275pt x 195.73125pt>
File: ./images/fig01.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig01.pdf> [1



] [2 <./images/fig01.pdf>] <./images/fig02.pdf, id=313, 284.06125pt x 165.61874
pt>
File: ./images/fig02.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig02.pdf> [3 <./images/fig02.pdf>] <./images/fig03.pdf, id=331, 
163.61125pt x 208.78pt>
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<use ./images/fig03.pdf> [4 <./images/fig03.pdf>] [5] [6] [7] [8] <./images/fig
04.pdf, id=381, 144.54pt x 151.56625pt>
File: ./images/fig04.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig04.pdf> [9 <./images/fig04.pdf>] <./images/fig05.pdf, id=401, 
263.98625pt x 179.67125pt>
File: ./images/fig05.pdf Graphic file (type pdf)
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File: ./images/fig07.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig07.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 1466--1466
[]$[]$ $[]$ 
 []

[10 <./images/fig05.pdf>] [11 <./images/fig06.pdf> <./images/fig07.pdf>] [12] <
./images/fig08.pdf, id=463, 171.64125pt x 273.02pt>
File: ./images/fig08.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig08.pdf> [13] [14 <./images/fig08.pdf>] [15] [16] <./images/fig
09.pdf, id=508, 122.4575pt x 157.58875pt>
File: ./images/fig09.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig09.pdf> <./images/fig10.pdf, id=509, 146.5475pt x 164.615pt>
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<use ./images/fig11.pdf> <./images/fig12.pdf, id=512, 132.495pt x 132.495pt>
File: ./images/fig12.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig12.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 1752--1752
[]$[]$ $[]$ 
 []

[17


 <./images/fig09.pdf>] <./images/fig13.pdf, id=539, 139.52126pt x 132.495pt>
File: ./images/fig13.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig13.pdf> <./images/fig14.pdf, id=540, 146.5475pt x 170.6375pt>
File: ./images/fig14.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig14.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 1778--1778
[]$[]$ $[]$ 
 []

[18 <./images/fig10.pdf> <./images/fig11.pdf> <./images/fig12.pdf>] [19 <./imag
es/fig13.pdf> <./images/fig14.pdf>] [20] [21] [22] [23] <./images/fig15.pdf, id
=618, 171.64125pt x 133.49875pt>
File: ./images/fig15.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig15.pdf> [24] [25 <./images/fig15.pdf>] [26] [27] [28] <./image
s/fig16.pdf, id=658, 143.53625pt x 132.495pt>
File: ./images/fig16.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig16.pdf> [29] <./images/fig17.pdf, id=672, 173.64874pt x 155.58
125pt>
File: ./images/fig17.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig17.pdf> <./images/fig18.pdf, id=673, 211.79124pt x 186.6975pt>
File: ./images/fig18.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig18.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 2379--2379
[]$[]$ $[]$ 
 []

[30 <./images/fig16.pdf>] [31 <./images/fig17.pdf> <./images/fig18.pdf>] <./ima
ges/fig19.pdf, id=714, 125.46875pt x 241.90375pt>
File: ./images/fig19.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig19.pdf> <./images/fig20.pdf, id=717, 134.5025pt x 149.55875pt>
File: ./images/fig20.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig20.pdf> [32 <./images/fig19.pdf>] [33 <./images/fig20.pdf>] [3
4] [35] <./images/fig21.pdf, id=775, 181.67876pt x 147.55125pt>
File: ./images/fig21.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig21.pdf> [36] [37 <./images/fig21.pdf>] [38] [39] [40] [41] [42
] [43] <./images/fig22.pdf, id=842, 331.2375pt x 192.72pt>
File: ./images/fig22.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig22.pdf> [44] [45 <./images/fig22.pdf>] [46] [47] <./images/fig
23.pdf, id=877, 156.585pt x 159.59625pt>
File: ./images/fig23.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig23.pdf> [48 <./images/fig23.pdf>] [49] [50


] <./images/fig24.pdf, id=903, 220.825pt x 52.195pt>
File: ./images/fig24.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig24.pdf> [51 <./images/fig24.pdf>] [52] <./images/fig25.pdf, id
=931, 198.7425pt x 166.6225pt>
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<use ./images/fig25.pdf> [53] <./images/fig26.pdf, id=939, 243.91125pt x 100.37
5pt>
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<use ./images/fig26.pdf> [54 <./images/fig25.pdf>] [55 <./images/fig26.pdf>] <.
/images/fig27.pdf, id=971, 209.78375pt x 218.8175pt>
File: ./images/fig27.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig27.pdf> [56 <./images/fig27.pdf>] <./images/fig28.pdf, id=988,
 188.705pt x 203.76125pt>
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<use ./images/fig28.pdf> [57 <./images/fig28.pdf>] <./images/fig29.pdf, id=1009
, 109.40875pt x 111.41624pt>
File: ./images/fig29.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig29.pdf> [58] <./images/fig30.pdf, id=1019, 171.64125pt x 199.7
4625pt>
File: ./images/fig30.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig30.pdf> [59 <./images/fig29.pdf>] <./images/fig31.pdf, id=1033
, 220.825pt x 171.64125pt>
File: ./images/fig31.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig31.pdf> [60 <./images/fig30.pdf>] [61 <./images/fig31.pdf>]
Overfull \hbox (25.03297pt too wide) detected at line 3718
[] \OT1/cmr/m/n/12 = \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@[] [] \OML/cmm/m/it/12 :
 []

[62] [63] [64] <./images/fig32.pdf, id=1083, 199.74625pt x 55.20625pt>
File: ./images/fig32.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig32.pdf> [65 <./images/fig32.pdf>] [66] [67] [68


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.3983 Entières et Croissantes de la Variable}
                                               [69] <./images/fig33.pdf, id=112
8, 114.4275pt x 114.4275pt>
File: ./images/fig33.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig33.pdf> [70] [71 <./images/fig33.pdf>] [72] [73] [74] [75] [76
] [77] [78


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.4451 ...Fonctions Exponentielles et Circulaires}
                                                   [79] [80] [81] <./images/fig
34.pdf, id=1234, 212.795pt x 212.795pt>
File: ./images/fig34.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig34.pdf> [82 <./images/fig34.pdf>] [83] [84] [85] [86] [87] <./
images/fig35.pdf, id=1296, 199.74625pt x 35.13126pt>
File: ./images/fig35.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig35.pdf> [88 <./images/fig35.pdf>] [89] [90] <./images/fig36.pd
f, id=1335, 126.4725pt x 115.43124pt>
File: ./images/fig36.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig36.pdf> <./images/fig37.pdf, id=1336, 130.4875pt x 132.495pt>
File: ./images/fig37.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig37.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 5109--5109
[]$[]$ $[]$ 
 []

[91] [92 <./images/fig36.pdf> <./images/fig37.pdf>] [93] [94


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.3}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.5170 \Chapitre{III}{La Fonction~$\Theta$}
                                            [95] <./images/fig38.pdf, id=1391, 
391.4625pt x 329.23pt>
File: ./images/fig38.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig38.pdf> [96] [97 <./images/fig38.pdf>] [98]
Overfull \hbox (3.74403pt too wide) in paragraph at lines 5407--5407
[] 
 []


Underfull \vbox (badness 3439) has occurred while \output is active []

[99] [100] [101] [102] [103


] [104] [105] [106] [107] <./images/fig39.pdf, id=1517, 141.52875pt x 109.40875
pt>
File: ./images/fig39.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig39.pdf> [108 <./images/fig39.pdf>] <./images/fig40.pdf, id=153
7, 193.72375pt x 110.4125pt>
File: ./images/fig40.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig40.pdf> [109 <./images/fig40.pdf>] <./images/fig41.pdf, id=155
4, 110.4125pt x 142.5325pt>
File: ./images/fig41.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig41.pdf> [110 <./images/fig41.pdf>] [111] [112


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.6027 ...s Fondamentales des Intégrales Définies}
                                                   <./images/fig42.pdf, id=1587
, 166.6225pt x 127.47626pt>
File: ./images/fig42.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig42.pdf> [113] [114 <./images/fig42.pdf>] [115] [116] <./images
/fig43.pdf, id=1641, 168.63pt x 185.69376pt>
File: ./images/fig43.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig43.pdf> <./images/fig44.pdf, id=1642, 189.70876pt x 168.63pt>
File: ./images/fig44.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig44.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 6285--6285
[]$[]$ $[]$ 
 []

[117] <./images/fig45.pdf, id=1656, 208.78pt x 221.82875pt>
File: ./images/fig45.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig45.pdf> [118 <./images/fig43.pdf> <./images/fig44.pdf>] [119 <
./images/fig45.pdf>] [120] [121] <./images/fig46.pdf, id=1706, 148.555pt x 155.
58125pt>
File: ./images/fig46.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig46.pdf> [122 <./images/fig46.pdf>] [123] <./images/fig47.pdf, 
id=1730, 165.61874pt x 172.645pt>
File: ./images/fig47.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig47.pdf> <./images/fig48.pdf, id=1731, 162.6075pt x 154.5775pt>
File: ./images/fig48.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig48.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 6594--6594
[]$[]$ $[]$ 
 []

[124] [125 <./images/fig47.pdf> <./images/fig48.pdf>] [126] [127] [128]pdfTeX w
arning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) has been a
lready used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.6804 ...itre{II}{Exemples D'Intégrales Définies}
                                                   <./images/fig49.pdf, id=1789
, 220.825pt x 91.34125pt>
File: ./images/fig49.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig49.pdf> [129


 <./images/fig49.pdf>] <./images/fig50.pdf, id=1812, 190.7125pt x 98.3675pt>
File: ./images/fig50.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig50.pdf> [130 <./images/fig50.pdf>] <./images/fig51.pdf, id=182
8, 256.96pt x 133.49875pt>
File: ./images/fig51.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig51.pdf> [131 <./images/fig51.pdf>] <./images/fig52.pdf, id=184
7, 256.96pt x 145.54375pt>
File: ./images/fig52.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig52.pdf> [132] [133 <./images/fig52.pdf>] <./images/fig53.pdf, 
id=1870, 228.855pt x 133.49875pt>
File: ./images/fig53.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig53.pdf>
Underfull \vbox (badness 2050) has occurred while \output is active []

[134 <./images/fig53.pdf>] [135] [136


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.3}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.7100 les Puissances Entières de la Variable}
                                               <./images/fig54.pdf, id=1906, 13
2.495pt x 141.52875pt>
File: ./images/fig54.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig54.pdf> [137 <./images/fig54.pdf>] [138] [139] [140] [141] [14
2] [143] [144] <./images/fig55.pdf, id=1999, 168.63pt x 168.63pt>
File: ./images/fig55.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig55.pdf> [145]
Overfull \hbox (0.94675pt too wide) detected at line 7598
 []$[] \OT1/cmr/m/n/12 + [] [][] [] \OML/cmm/m/it/12 dz \OT1/cmr/m/n/12 + [] []
[] [] \OML/cmm/m/it/12 dz \OT1/cmr/m/n/12 + []  + [] [][] [] \OML/cmm/m/it/12 d
z \OT1/cmr/m/n/12 + [] [][] [] \OML/cmm/m/it/12 dz$ 
 []


Overfull \hbox (23.12477pt too wide) detected at line 7598
 []$[] \OT1/cmr/m/n/12 + [] [][] \OML/cmm/m/it/12 f\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/
it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/12 dz \OT1/cmr/m/n/12 + [] [][] \OML/cmm
/m/it/12 zf\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/1
2 dz \OT1/cmr/m/n/12 + []  + [] [][] \OML/cmm/m/it/12 z[]f\OT1/cmr/m/n/12 (\OML
/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/12 dz \OT1/cmr/m/n/12 + [] [][] [
] \OML/cmm/m/it/12 dz:  $ 
 []

[146 <./images/fig55.pdf>] <./images/fig56.pdf, id=2022, 277.035pt x 203.76125p
t>
File: ./images/fig56.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig56.pdf> [147] [148 <./images/fig56.pdf>] <./images/fig57.pdf, 
id=2054, 175.65625pt x 98.3675pt>
File: ./images/fig57.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig57.pdf>
Underfull \vbox (badness 2326) has occurred while \output is active []

[149 <./images/fig57.pdf>] [150] [151] [152] [153] [154]pdfTeX warning (ext4): 
destination with the same identifier (name{ChapNo.4}) has been already used, du
plicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.8012 ...re{IV}{Périodes des Intégrales Définies}
                                                   [155


] [156] [157] [158] [159] [160] [161] <./images/fig58.pdf, id=2167, 301.125pt x
 295.1025pt>
File: ./images/fig58.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig58.pdf> [162] [163 <./images/fig58.pdf>] <./images/fig59.pdf, 
id=2193, 215.80624pt x 235.88126pt>
File: ./images/fig59.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig59.pdf> [164 <./images/fig59.pdf>] [165] [166] [167] [168]pdfT
eX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) has be
en already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.8693 ...r}{Théorèmes Généraux sur les Fonctions}
                                                   <./images/fig60.pdf, id=2233
, 111.41624pt x 128.48pt>
File: ./images/fig60.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig60.pdf> [169


 <./images/fig60.pdf>] <./images/fig61.pdf, id=2263, 120.45pt x 128.48pt>
File: ./images/fig61.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig61.pdf> [170] [171 <./images/fig61.pdf>] <./images/fig62.pdf, 
id=2288, 120.45pt x 128.48pt>
File: ./images/fig62.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig62.pdf> [172 <./images/fig62.pdf>] [173] [174] <./images/fig63
.pdf, id=2323, 160.6pt x 178.6675pt>
File: ./images/fig63.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig63.pdf> <./images/fig64.pdf, id=2324, 169.63374pt x 189.70876p
t>
File: ./images/fig64.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig64.pdf>
Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 9011--9011
[]$[]$ $[]$ 
 []

[175 <./images/residue_sum_glyph.pdf>]
Overfull \hbox (7.39241pt too wide) in paragraph at lines 9061--9065
\T1/cmr/m/n/12 Les in-té-grales, le long des autres cir-con-fé-rences, donnent 
pa-reille-ment $\OT1/cmr/m/n/12 B[]\OML/cmm/m/it/12 ; \OT1/cmr/m/n/12 C[]\OML/c
mm/m/it/12 ; [] $\T1/cmr/m/n/12 .
 []

[176 <./images/fig63.pdf> <./images/fig64.pdf>] [177] [178] <./images/fig65.pdf
, id=2374, 148.555pt x 160.6pt>
File: ./images/fig65.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig65.pdf> [179 <./images/fig65.pdf>] [180] <./images/fig66.pdf, 
id=2401, 161.60374pt x 136.51pt>
File: ./images/fig66.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig66.pdf> [181 <./images/fig66.pdf>] [182] [183] [184] [185] [18
6] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195]
Underfull \hbox (badness 1377) in paragraph at lines 10019--10025
\T1/cmr/m/n/12 points cri-tiques $\OML/cmm/m/it/12 a; b; c; \OT1/cmr/m/n/12 O$\
T1/cmr/m/n/12 , aux-quels cor-res-pondent quatre la-cets bi-naires
 []

[196] [197] [198


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.10093 ...I}{Propriétés des Fonctions $X$ et $Y$}
                                                   [199] [200] [201] [202] [203
] [204] [205] [206


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.3}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.10506 ...s des Fonctions Doublement Périodiques}
                                                   [207] <./images/fig67.pdf, i
d=2614, 238.8925pt x 213.79875pt>
File: ./images/fig67.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig67.pdf> [208 <./images/fig67.pdf>] [209] <./images/fig68.pdf, 
id=2644, 302.12875pt x 252.945pt>
File: ./images/fig68.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig68.pdf> [210 <./images/fig68.pdf>]
Overfull \hbox (0.48058pt too wide) in paragraph at lines 10687--10701
 []\T1/cmr/bx/n/12 146. \T1/cmr/m/n/12 Cer-taines fonc-tions sim-ple-ment pé-ri
o-diques, telles que $\OML/cmm/m/it/12 e[]; [] z; [] z$\T1/cmr/m/n/12 ,
 []

[211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220]
Overfull \hbox (3.5833pt too wide) detected at line 11274
\OML/cmm/m/it/12 '\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 ) = [] [] 
[] \OML/cmm/m/it/12 ;
 []

[221] [222] [223] [224] [225] [226 <./images/bigresidue_sum_glyph.pdf>] [227]
Overfull \hbox (7.07785pt too wide) in paragraph at lines 11701--11701
[] 
 []


Overfull \hbox (7.07785pt too wide) in alignment at lines 11701--11701
[] [] 
 []


Overfull \hbox (0.33752pt too wide) detected at line 11709
\OMS/cmsy/m/n/12 ^^@[] [] \OML/cmm/m/it/12 ;
 []

[228] [229] [230]
Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 11859--11862
[]\T1/cmr/m/n/12 Il est fa-cile de re-con-naître que les se-conds membres des é
qua-tions
 []

[231] [232] [233] [234] [235]
Underfull \vbox (badness 8019) has occurred while \output is active []

[236]
Underfull \vbox (badness 6725) has occurred while \output is active []

[237] [238]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Ch
apNo.4}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.12289 ...e des Fonctions Doublement Périodiques}
                                                   <./images/fig69.pdf, id=2949
, 224.84pt x 129.48375pt>
File: ./images/fig69.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig69.pdf> [239


] [240 <./images/fig69.pdf>] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [2
49] [250


] <./images/fig70.pdf, id=3056, 193.72375pt x 193.72375pt>
File: ./images/fig70.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig70.pdf> [251 <./images/fig70.pdf>] [252] <./images/fig71.pdf, 
id=3092, 184.69pt x 185.69376pt>
File: ./images/fig71.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig71.pdf> [253 <./images/fig71.pdf>] [254] <./images/fig72.pdf, 
id=3129, 142.5325pt x 242.9075pt>
File: ./images/fig72.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig72.pdf> [255 <./images/fig72.pdf>] [256] [257]
Overfull \hbox (1.88702pt too wide) in paragraph at lines 13207--13207
[] 
 []

[258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] <./images/fig73.pdf, id=3256, 124.465
pt x 242.9075pt>
File: ./images/fig73.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig73.pdf> [265 <./images/fig73.pdf>] [266] [267] [268


] [269] [270] [271] [272] <./images/fig74.pdf, id=3338, 194.7275pt x 204.765pt>
File: ./images/fig74.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig74.pdf> [273 <./images/fig74.pdf>] [274] [275] <./images/fig75
.pdf, id=3376, 184.69pt x 185.69376pt>
File: ./images/fig75.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig75.pdf> [276] [277 <./images/fig75.pdf>] [278] [279] [280] [28
1]
Underfull \vbox (badness 1253) has occurred while \output is active []

[282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.14793 ...er}{Existence de la Fonction Intégrale}
                                                   [291] [292] [293] [294] [295
] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304]pdfTeX warning (ext4): d
estination with the same identifier (name{ChapNo.2}) has been already used, dup
licate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.15552 ...nies par des Équations Différentielles}
                                                   [305


] <./images/fig76.pdf, id=3674, 189.70876pt x 174.6525pt>
File: ./images/fig76.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig76.pdf> [306] [307 <./images/fig76.pdf>] [308] [309] [310] [31
1] [312]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapN
o.3}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.15933 ...nies par des Équations Différentielles}
                                                   <./images/fig77.pdf, id=3762
, 131.49126pt x 149.55875pt>
File: ./images/fig77.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig77.pdf> [313


] [314 <./images/fig77.pdf>] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] <.
/images/fig78.pdf, id=3886, 264.99pt x 49.18375pt>
File: ./images/fig78.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig78.pdf> [323] <./images/fig79.pdf, id=3900, 214.8025pt x 181.6
7876pt>
File: ./images/fig79.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig79.pdf> [324 <./images/fig78.pdf>] [325 <./images/fig79.pdf>]
Overfull \hbox (15.23718pt too wide) in paragraph at lines 16607--16607
[] 
 []

[326] [327] [328] [329]
Overfull \hbox (20.88512pt too wide) detected at line 16797
\OML/cmm/m/it/12 ^^U [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] \OML/cmm/m/it/12 ^^W [] \OT1/cmr/m
/n/12 = 1\OML/cmm/m/it/12 ;   ^^U[][]; ig; k[][] \OT1/cmr/m/n/12 = []\OML/cmm/m
/it/12 ;   ^^W [] \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 k;
 []

[330] [331] [332] [333] [334


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.4}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.16966 ...égration par les Fonctions Elliptiques}
                                                   [335] [336] [337] [338] [339
] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352]
[353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365]
Overfull \hbox (3.06058pt too wide) in paragraph at lines 18690--18696
\T1/cmr/m/n/12 On peut choi-sir les pé-riodes de ma-nière que les trois zé-ros 
simples soient $\OT1/cmr/m/n/12 0\OML/cmm/m/it/12 ; !; []$\T1/cmr/m/n/12 .
 []

[366] [367] [368]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
ame{ChapNo.1}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.18796 ...re{Premier}{Les Intégrales Elliptiques}
                                                   [369


] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382]

Overfull \hbox (19.33426pt too wide) in paragraph at lines 19661--19661
[] 
 []


Overfull \hbox (19.33426pt too wide) in alignment at lines 19661--19661
[] [] 
 []

[383] [384] [385]
Overfull \hbox (4.1755pt too wide) in paragraph at lines 19839--19839
[] 
 []

[386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.20435 ...nctions Elliptiques en Séries Entières}
                                                   [399] [400]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 20549.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [401] [402]
Underfull \vbox (badness 1264) has occurred while \output is active []

[403] [404] [405] [406]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[407]
Overfull \hbox (26.98415pt too wide) detected at line 21012
[]
 []

[408] [409] [410] [411] [412] [413] [414] [415] [416] [417] [418]
Overfull \hbox (0.18443pt too wide) detected at line 21721
[]
 []

[419] [420]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Ch
apNo.3}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.21748 Trigonométriques}
                          <./images/fig80.pdf, id=4923, 164.615pt x 152.57pt>
File: ./images/fig80.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig80.pdf> [421


] [422 <./images/fig80.pdf>] [423] [424] [425] [426] [427] [428]pdfTeX warning 
(ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) has been already 
used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.22135 ...ier}{Propriétés des Fonctions $\theta$}
                                                   [429


] [430] [431] [432] [433] [434] [435]
Overfull \hbox (12.76596pt too wide) in paragraph at lines 22609--22609
[] 
 []


Overfull \hbox (12.76596pt too wide) in paragraph at lines 22635--22635
[] 
 []


Overfull \hbox (4.08669pt too wide) in paragraph at lines 22714--22714
[] 
 []

[436]
Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active []

[437] [438]
Overfull \hbox (11.20251pt too wide) in paragraph at lines 22859--22863
\T1/cmr/m/n/12 tions cir-cu-laires, et éga-lons les va-leurs qu'on en tire pour
 $\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a[]\OT1/cmr/m/n/12 )\
OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 b[]\OT1/cmr/m/n/12 )\OML
/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 c[]\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cm
m/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 d[]\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m
/n/12 ;
 []

[439]
Overfull \hbox (0.18086pt too wide) in paragraph at lines 22969--22971
 []\T1/cmr/bx/n/12 313. \T1/cmr/m/n/12 En éga-lant de même les va-leurs de $\OT
1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]^^R[]^^R[]^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 )[]$ \T1/cmr
/m/n/12 et celles de $\OT1/cmr/m/n/12 ([][]\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]^^R[]\OT1/cmr/
m/n/12 )[]$\T1/cmr/m/n/12 ,
 []

[440] [441] [442] [443] [444]pdfTeX warning (ext4): destination with the same i
dentifier (name{ChapNo.2}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.23405 ...guments dans les Fonctions Elliptiques}
                                                   [445


] [446]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[447] [448] [449] [450] [451] [452]
Overfull \hbox (0.49438pt too wide) detected at line 23952
\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/
cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/i
t/12 b \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^
R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 b\OT1/c
mr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (0) = \OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/c
mr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/
12 (\OML/cmm/m/it/12 b\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OM
L/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m
/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 b \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/1
2 z\OT1/cmr/m/n/12 ) + \OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 
a\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 b\OT1
/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/
m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/
12 + \OML/cmm/m/it/12 b \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\O
ML/cmm/m/it/12 ;
 []


Overfull \hbox (1.46721pt too wide) detected at line 23958
\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \O
ML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/
m/it/12 b \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it
/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 b
\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (0) = \OML/cmm/m/it/12 ^^R
\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cm
r/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 b\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/1
2 (\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML
/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 b \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/c
mm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 ) \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/c
mr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 a\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/
n/12 (\OML/cmm/m/it/12 b\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 
(\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ^^R[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML
/cmm/m/it/12 a \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 b \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/c
mm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 );
 []

[453]
Overfull \hbox (0.42578pt too wide) detected at line 24016
[] \OT1/cmr/m/n/12 = []\OML/cmm/m/it/12 :
 []

[454] [455] [456]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
ame{ChapNo.3}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.24138 ...itre{III}{Multiplication de l'Argument}
                                                   [457


] [458] [459] [460] [461] [462] [463] [464]
Overfull \hbox (8.46486pt too wide) detected at line 24675
[] []
 []

[465] [466] [467] [468] [469] [470] [471] [472]
Overfull \hbox (24.72519pt too wide) in paragraph at lines 25263--25263
[] 
 []

[473]
Overfull \hbox (5.66624pt too wide) in paragraph at lines 25350--25350
[] 
 []

[474] [475] [476] [477] [478]pdfTeX warning (ext4): destination with the same i
dentifier (name{ChapNo.4}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.25556 ...tre{IV}{Division de l'une des Périodes}
                                                   [479


] [480] [481] [482]
Underfull \vbox (badness 5460) has occurred while \output is active []

[483] [484] [485] [486] [487] [488]
Underfull \vbox (badness 3849) has occurred while \output is active []

[489]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[490] [491]
Overfull \hbox (15.88792pt too wide) in paragraph at lines 26406--26412
\T1/cmr/m/n/12 dans les-quelles $\OML/cmm/m/it/12 p$ \T1/cmr/m/n/12 re-çoit les
 $\OML/cmm/m/it/12 n$ \T1/cmr/m/n/12 va-leurs consé-cu-tives $\OMS/cmsy/m/n/12 
^^@ [] \OML/cmm/m/it/12 ; [] $\T1/cmr/m/n/12 , $\OMS/cmsy/m/n/12 ^^@\OT1/cmr/m/
n/12 1\OML/cmm/m/it/12 ; \OT1/cmr/m/n/12 0\OML/cmm/m/it/12 ; \OT1/cmr/m/n/12 1\
OML/cmm/m/it/12 ; []  ; []$\T1/cmr/m/n/12 ;
 []


Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[492]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[493] [494] [495] [496] [497] [498] [499] [500] [501] [502] [503] [504] [505] [
506] [507] [508] [509] [510] [511] [512


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.5}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.27582 ...rgument dans les Fonctions Elliptiques}
                                                   [513] [514] [515] [516]
Overfull \hbox (9.54025pt too wide) detected at line 27811
[]
 []

[517] [518] [519]
Overfull \hbox (25.4891pt too wide) in paragraph at lines 27993--27999
\T1/cmr/m/n/12 Le pre-mier fac-teur du se-cond membre est une frac-tion ra-tion
-nelle en $\OML/cmm/m/it/12 ^^U\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 nz\OT1/cmr/m/n
/12 )$ \T1/cmr/m/n/12 et $\OML/cmm/m/it/12 ^^U[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/
12 nz\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 ;
 []

[520] [521] [522] [523]
Overfull \hbox (0.81561pt too wide) detected at line 28181
\U/rsfs/m/n/12 R [] \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 []\U/rsfs/m/n/12 R\OT1/
cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ;  \U/rsfs/m/n/
12 R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 z \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 !\OT
1/cmr/m/n/12 ) = \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@\U/rsfs/m/n/12 R\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/
m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 ;  \U/rsfs/m/n/12 R [] \OT1/cmr/m/n/
12 = \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@\OML/cmm/m/it/12 []\U/rsfs/m/n/12 R\OT1/cmr/m/n/12 (\
OML/cmm/m/it/12 z\OT1/cmr/m/n/12 )\OML/cmm/m/it/12 :
 []

[524] [525] [526] [527] [528] [529] [530] [531] [532] [533] [534] [535] [536]pd
fTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1}) has 
been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.28823 ...re{Premier}{Formules de Transformation}
                                                   [537


] [538] [539] [540]
Underfull \vbox (badness 1895) has occurred while \output is active []

[541] [542] [543] [544] [545] [546] [547] [548] [549] [550] [551] [552]pdfTeX w
arning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) has been a
lready used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.29651 \Chapitre{II}{Équation  Modulaire}
                                           [553


] [554] [555] [556] <./images/fig81.pdf, id=6344, 245.91875pt x 186.6975pt>
File: ./images/fig81.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig81.pdf> [557 <./images/fig81.pdf>] [558] [559] [560] [561]
Overfull \hbox (26.46002pt too wide) detected at line 30107
\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 v[]\OT1/cmr/m/n/12 ) = \OML/cmm/m/it/12   [] 
\OT1/cmr/m/n/12 = [] = [];
 []


Overfull \hbox (25.26662pt too wide) detected at line 30113
[] \OT1/cmr/m/n/12 = []\OML/cmm/m/it/12 :
 []

[562] [563]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[564] [565] [566] [567] [568] [569] [570] [571] [572] [573] [574]
Overfull \hbox (25.59601pt too wide) in paragraph at lines 30911--30911
[] 
 []

[575] [576] [577] [578]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identif
ier (name{ChapNo.3}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.31086 ...ution de l'Équation du Cinquième Degré}
                                                   [579


] [580] [581] [582] [583]
Overfull \hbox (0.75392pt too wide) detected at line 31419
[] \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i\OT1/cmr/m/n/12 2[]7[]\OML/cmm/m/it/12 ;
  a[] \OT1/cmr/m/n/12 = 0\OML/cmm/m/it/12 ;  a[] \OT1/cmr/m/n/12 = \OMS/cmsy/m/
n/12 ^^@\OML/cmm/m/it/12 i\OT1/cmr/m/n/12 2[]7[] []\OML/cmm/m/it/12 ;  a[] \OT1
/cmr/m/n/12 = 2[]7[] [] \OML/cmm/m/it/12 :
 []

[584]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.1
}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.31429 \Chapitre{Premier}{Intégrales Abéliennes}
                                                  [585


] [586] [587] [588] [589] [590] [591] [592] [593] [594] [595] [596


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.2}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.32000 ...Périodes de Deux Intégrales Abéliennes}
                                                   [597] [598] [599] <./images/
fig82.pdf, id=6793, 197.73875pt x 134.5025pt>
File: ./images/fig82.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig82.pdf> [600] [601 <./images/fig82.pdf>] [602] [603] [604] [60
5] [606


]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{ChapNo.3}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.32557 \Chapitre{III}{Théorème d'Abel}
                                        [607] [608] [609] [610] [611] [612


] (./36941-t.toc
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[613

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[614]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[615] [616] [617] [618])
\tf@toc=\write4
\openout4 = `36941-t.toc'.

[619] [620


]
Overfull \hbox (6.66632pt too wide) in paragraph at lines 33262--33262
[]\T1/cmtt/m/n/10 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÉORIE DES FONCTIONS
 ELLIPTIQUES ***[] 
 []


Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[1]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[2]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[3]
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[4]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[5]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[6]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[7] [8] (./36941-t.aux)

 *File List*
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   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
  fix-cm.sty    2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
textcase.sty    2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
 caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
./images/residue_sum_glyph.pdf
./images/bigresidue_sum_glyph.pdf
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 36941-t.out
 36941-t.out
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
./images/LW.png
./images/signature.pdf
./images/device.png
./images/fig01.pdf
./images/fig02.pdf
./images/fig03.pdf
./images/fig04.pdf
./images/fig05.pdf
./images/fig06.pdf
./images/fig07.pdf
./images/fig08.pdf
./images/fig09.pdf
./images/fig10.pdf
./images/fig11.pdf
./images/fig12.pdf
./images/fig13.pdf
./images/fig14.pdf
./images/fig15.pdf
./images/fig16.pdf
./images/fig17.pdf
./images/fig18.pdf
./images/fig19.pdf
./images/fig20.pdf
./images/fig21.pdf
./images/fig22.pdf
./images/fig23.pdf
./images/fig24.pdf
./images/fig25.pdf
./images/fig26.pdf
./images/fig27.pdf
./images/fig28.pdf
./images/fig29.pdf
./images/fig30.pdf
./images/fig31.pdf
./images/fig32.pdf
./images/fig33.pdf
./images/fig34.pdf
./images/fig35.pdf
./images/fig36.pdf
./images/fig37.pdf
./images/fig38.pdf
./images/fig39.pdf
./images/fig40.pdf
./images/fig41.pdf
./images/fig42.pdf
./images/fig43.pdf
./images/fig44.pdf
./images/fig45.pdf
./images/fig46.pdf
./images/fig47.pdf
./images/fig48.pdf
./images/fig49.pdf
./images/fig50.pdf
./images/fig51.pdf
./images/fig52.pdf
./images/fig53.pdf
./images/fig54.pdf
./images/fig55.pdf
./images/fig56.pdf
./images/fig57.pdf
./images/fig58.pdf
./images/fig59.pdf
./images/fig60.pdf
./images/fig61.pdf
./images/fig62.pdf
./images/fig63.pdf
./images/fig64.pdf
./images/fig65.pdf
./images/fig66.pdf
./images/fig67.pdf
./images/fig68.pdf
./images/fig69.pdf
./images/fig70.pdf
./images/fig71.pdf
./images/fig72.pdf
./images/fig73.pdf
./images/fig74.pdf
./images/fig75.pdf
./images/fig76.pdf
./images/fig77.pdf
./images/fig78.pdf
./images/fig79.pdf
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
./images/fig80.pdf
./images/fig81.pdf
./images/fig82.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 11295 strings out of 94074
 143024 string characters out of 1165154
 201467 words of memory out of 1500000
 10950 multiletter control sequences out of 10000+50000
 35142 words of font info for 84 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 34i,22n,45p,265b,507s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf/
fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex8.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/te
xmf-texlive/fonts/type1/hoekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1
/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfb
x1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0800.pfb></usr/shar
e/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/
public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm
0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share
/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
ublic/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0
800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/cm-super/sftt1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc12
00.pfb>
Output written on 36941-t.pdf (636 pages, 3874397 bytes).
PDF statistics:
 8171 PDF objects out of 8907 (max. 8388607)
 3396 named destinations out of 3580 (max. 131072)
 852 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

